Kanoniske transformationer (i)
|
|
- Mads Damgaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kanonske transformatoner () 9.1 Værden af transformatoner: Polære koordnater: (x, y, z) =(r cos φ sn θ,rsn φ sn θ,rcos θ) T = 1 2 m ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 1 2 m ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ φ 2. Hvs V = V (r, θ) φ er en cyklsk koordnat og p φ = mr 2 sn 2 θ φ er bevaret. Den deelle transformaton må være én, hvor alle koordnater blver cyklske. Opgave 1.10: Punkttransformaton: q = q (Q 1,Q 2,...,Q n,t) ( =1,...,n) q = q Q Q j + q q og j t Q = q. For Lagrangefunktonen L = L(q, q,t)fås j Q j d ³ L L = d ³ L q + L q ³ L q + L q dt Q j Q j dt q Q j q Q j q Q j q Q j = d ³ L q ³ L q + L q = q d ³ L + L q ³ L q + L q dt q Q j q Q j q Q j Q j dt q q Q j q Q j q Q j h d ³ L = L q = 0. dt q q Q j Lagrangelgnngerne er formnvarante mht. en transformaton konfguratonsrummet. I Hamltonformulerngen er der 2n uafhængge koordnater q og p, og den tlsvarende generelle transformaton faserummet er: Q = Q (q, p,t), P = P (q, p,t), og omvendt q = q (Q, P,t), p = p (Q, P,t) H 7 K = K(Q, P,t), Q = K, P P = K. Krav: Q Q og P er kanonske varable, men kke nødvendgvs at K(Q, P,t)=H q(q, P,t), p(q, P,t),t. Øvelse: Vs at bevægelseslgnngerne for de transformerede varable, tlfældet n = 1, H q = q(q, P ), p = p(q, P ) er Q = J H DP, P = J Q, D hvor J D er Jacob-determnanten J D = (q, p) (Q, P ).
2 Q = K, P eller Kanonske transformatoner () 9.2 P = K, δ Q Z t2 t 1 p q H(q, p,t) dt =0 δ λ p q H = P Q K + df dt, bemærk δ Z t2 t 1 Z t2 t 1 P Q K(Q, P,t) dt =0 df h dt dt = δ t2 F (q, p, Q, P,t) =0 t 1 Udvdet kanonsk transformaton: (λ 6= 1) ³ Q Q = µq, P = νp K = K(Q, P,t)=µνH µ, P,t ν = µνh(q, p,t) det λ = µν µν p q H = P Q K Kanonsk transformaton: (λ =1) p q H = P Q K + df dt p dq P dq +(K H)dt = df Udtrykket vser at q, Q og t er de uafhængge varable F,ogF = F (q, Q,t) kaldes for frembrngerfunktonen eller generatoren for den kanonske transformaton. F = F 1 = F 1 (q, Q,t) df = df 1 = F 1 dq q + F 1 dq Q + F 1 t dt, som ndsat gver ³ p F ³ 1 dq q + P F ³ 1 dq Q + K H F 1 dt =0, eller t p = F 1 (1), P q = F 1 (2), K = H + F 1 (3) Q t De tre lgnnger fastlægger transformatonen: (2) er en relaton mellem P og (q, Q,t)som bestemmer q = q (Q, P,t). Indsættes dette (1) fås p = p q(q, P,t), Q,t.Lgnng(3) gver sluttelg K = K(Q, P,t), når de to resultater ndsættes denne lgnng.
3 Kanonske transformatoner () 9.3 Kanonsk transformaton: p dq P dq +(K H)dt df =0 Genererende funkton F 2 (q, P,t) kombneret med Legendre transformaton: F = F 2 (q, P,t) Q P, df 2 = F 2 dq q + F 2 dp P + F 2 t dt p dq P dq +(K H)dt df 2 + Q dp + P dq =0 eller ³ p F ³ 2 dq q + Q F ³ 2 dp P + K H F 2 dt =0 ogdermed t p = F 2, Q q = F 2, K = H + F 2 P t () F = F 1 (q, Q,t) p = F 1, P q = F 1, K = H + F 1 Q t () F = F 2 (q, P,t) Q P p = F 2, Q q = F 2, K = H + F 2 P t () F = F 3 (p, Q,t)+q p q = F 3, P p = F 3, K = H + F 3 Q t (v) F = F 4 (p, P,t)+q p Q P q = F 4, Q p = F 4, K = H + F 4 P t + forskellge kombnatoner af () (v) for forskellge frhedsgrader: F. eks. () og (v) F = F 5 (q 1,p 2,P 1,P 2,t) Q 1 P 1 + q 2 p 2 Q 2 P 2 p 1 = F 5, Q q 1 = F 5, q 1 P 2 = F 5, Q 2 p 2 = F 5, K = H + F 5 2 P 2 t
4 Eksempler på kanonske transformatoner 9.4 (): F 2 = q P p = F 2 q = P, Q = F 2 P = q (denttet) (): F 1 = q Q p = F 1 q = Q, P = F 1 Q = q (q,p ) 7 ( P,Q ) ṗ = H q 7 Q = H ( P ), q = H p (ombytnng) 7 P = H Q (): F 2 = f j (q,t)p j Q = F 2 = f P (q,t), p = F 2 = f j P q Den første lgnng bestemmer q = q (Q,t). Den anden lgnng kan vendes om ved udregnngen: p q Q = q f j P k Q k = Q j q P q Q j = Q j P k Q j = P k. (f j Q j ). k Denne kanonske transformaton er dentsk med punkttransformatonen af Lagrangefunktonen: L = L(q, q,t), hvor q = q (Q,t)og q = q Q Q j + q j t.detsdsteudtrykbetyder: P k = L Q = L q k q Q + L q q q k q Q = p k Q = p, som ovenfor. k Q k Benyttes stedet F 2 = f j (q,t)p j + g(q,t)erq = f (q,t) som før, men den kanonske bevægelsesmængde P k ændres og bestemmes nu af lgnngen: p = f j P + g q Denne transformaton svarer tl punkttransformatonen af L, hvorq = q (Q,t) kombneres med at Lagrangefunktonen L erstattes af L 0 = L dg dt. [Øvelse].
5 Den harmonske oscllator () 9.5 Hamlton for den éndmensonale harmonske oscllator: H = T + V = p2 2m kq2 eller H = 2m 1 p 2 + m 2 ω 2 q 2, ω 2 = k m Fnd en kanonsk transformaton, (q, p) 7 (Q, P ), hvor Q er en cyklsk koordnat: p = f(p )cosq, q = f(p ) mω sn Q K = H = f 2 (P ) cos 2 Q +sn 2 Q = f 2 (P ) 2m 2m Benyt F 1 = 1 2 mωq2 cot Q p = F 1 q = mωq cot Q (1), P = F 1 Q = mωq2 2sn 2 Q (2). r 2P (2) q = mω sn Q, hvorefter (1) p = 2Pmω cos Q eller f(p )= 2Pmω [trykfejl lgnng (9.39b)]. Resultat: Transformatonen q = K = H = f 2 (P ) 2m H = T + V = E P = E ω. r 2P mω sn Q, p = 2Pmω cos Q er kanonsk og = ωp, som er cyklsk Q P er bevægelseskonstant. Hamltons bevægelseslgnng for Q er Q = H = ω Q = Q(t) =ωt + α P r 2E Slutresultat: q = mω sn(ωt + α), p = 2mE cos(ωt + α) 2
6 Den harmonske oscllator () 9.6 Q = ωt + α, P = E r ω 2E q = sn(ωt + α) mω2 p = 2mE cos(ωt + α) Faserumsvolumen: ZZ Z A(E 0 )= dpdq = E<E 0 pdq = πab = 2πE 0 ω Indsættes det kvantemekanske resultat E = ~ω fås det kvas-klassske resultat, at faserumsvolumnet pr. kvantetlstand er A =2π~ = h (pr. frhedsgrad). Indføres normalserede varable ( kaos ): r mω q 0 2 = q, p 0 = p 2 2m blver det tlsvarende bane (q 0,p 0 )-faserummet en crkel med arealet: A 0 = π E
7 Den symplektske metode () 9.7 Begrænset kanonsk transformaton (ngen eksplct t-afhængghed): Q = Q (q, p), P = P (q, p); q = q (Q, P), p = p (Q, P); K = H + F t = H Q = Q q j + Q ṗ j = Q H Q H Q = H P = H P + H P Betragtes stedet P fås analogt Symplektsk notaton, J µ Hamltons bevægelseslgnnger q = H p, ) Q = P, Q = P P = P, = Q Q, η = q, η +n = p ( =1, 2,...,n) ṗ = H omformes tl η = J H q η Nye kanonske koordnater: ζ = ζ(η) ζ = M η, M j = ζ η j ζ = M J H η = M Jf M H ζ, H = H ζ j H ³ fm = M η ζ j η j = ζ j j Kanonsk transformaton ζ = J H ζ M J f M = J (1) Matrcer der opfylder (1) kaldes symplektske. Denne drekte metode forudsætter at de nye koordnater eksplct defneres ud fra de gamle ζ = ζ(η). M J = J f M 1 JM J 2 = J 2 f M 1 J JM = f M 1 J f M JM = J H ζ j
8 Den symplektske metode () 9.8 Tdsafhængg kanonske transformaton: ζ = ζ(η,t), M = ζ M JM f = J η V vl vse at den symplektske lgnng er gyldg for en nfntesmal (tdsafhængg) kanonsk transformaton, Q = q + δq, P = p + δp eller ζ = η + δη En nfntesmal kanonsk transformaton kan genereres ved at benytte Q = F 2 P = P + ² G q δp = ² G q F 2 = F 2 (q, P,t)=q j P j + ²G(q, P,t) p = F 2 q = q + ² G = q P + ² G + O(² 2 ) δq p = ² G eller δη = ²J G p η M = ζ η = 1+ δη η = 1+² J 2 G η η, Benyttes g A B = e B e A, e J = J f M = 1 ² 2 G η η J M Jf M = ³ 2 G η η j fås µ 1+² J 2 G η η = 2 G η η j = ³ 2 G η η j µ J 1 ² 2 G η η J = J + O(² 2 ) Den symplektske lgnng gælder for en vlkårlg nfntesmal kanonsk transformaton, også hvs transformatonen(g) afhænger eksplct af t. Den symplektske lgnng gælder derfor ved hvert skrdt af følgende sekvens af kanonske transformatoner: η 7 ζ(t 0 ) 7 ζ(t 0 + δt) 7 ζ(t 0 +2δt) 7 7 ζ(t 0 + t). Antager v at seren er konvergent har v dermed at den symplektske lgnng er gyldg også når den kanonske transformaton afhænger eksplct af t.
9 Possonparentes 9.9 Possonparentesen for to funktoner u(q, p, t)ogv(q, p, t)defneres: [u, v] q,p = X µ u v u v eller [u, v] q p p q η = g u η J v η Smple resultater (trykfejl lærebogen: lgnngen før (9.71) og (9.71)): [q j,q k ] q,p =0, [p j,p k ] q,p =0, [q j,p k ] q,p = [p j,q k ] q,p = δ jk eller [η, η] η = J Transformaton af varable (q, p) 7 (Q, P) ellerζ = ζ(η,t), hvor M = ζ η : [ζ, ζ] η = ζ η J g ζ η = M J f M = J kanonsk transformaton (M er symplektsk). [ζ, ζ] η =[ζ, ζ] ζ = J v = v ζ j = v ³ fm M η ζ j η ζ j = j j er uafhængg af en kanonsk transformaton. v ζ j v η = f M v ζ, [u, v] η = g u η J v η = f u ζ M Jf M v ζ = f u ζ J v ζ [u, v] ζ f g u η = M f u ζ = u f ζ M Alle possonparenteser er kanonsk nvarante (nvarante overfor kanonske transformatoner), hvlket også gælder(pr. defnton) for Hamltons bevægelseslgnnger. Bemærk, at v kke fremover behøver at specfcere, hvlke koordnater der benyttes ved udregnngen af Possonparenteserne: [u, v] η =[u, v] ζ =[u, v]. Klasssk mekank 7 Kvantemekank: Possonparentes 7 Kommutator mellem to operatorer (Drac), [u, v] Klasssk 7 1 ~ [û, ˆv] Kvantemekansk ([ˆx, ˆp x ]=~)
10 Possonparentes algebra: 9.10 [u, u] =0 [u, v] = [v, u] (antsymmetr) [au + bv, w] = a[u, w]+b[v, w], aog b er konstanter (lneartet). [uv,w] =u[v,w]+[u, w]v (produktregel) [u, [v, w]] + [v, [w,u]]+[w, [u, v]] = 0 (Jacobs denttet) Den sdste sætnng bevses lærebogen. Dette bevs samt de næste 2 sder er kursorsk læsnng [sde (nederst)]. Det dfferentelle volumenelement faserummet er kanonsk nvarant: dη = dq 1 dq 2...dq n dp 1 dp 2...dp n, dζ = dq 1 dq 2...dQ n dp 1 dp 2...dP n Sammenhænget mellem de to volumenelementer er gvet ved absolutværden af Jacobdetermnanten: dζ = JD dη = (Q 1,...,Q n,p 1,...,P n ) (q 1,...,q n,p 1,...,p n ) dη = ζ η dη = M dη = dη, f det M J M = J M 2 J = J Den symplektske betngelse medfører eksstensen af en genererende funkton F for transformatonen: De to metoder er ækvvalente [bevset på sde (nederst) er kursorsk læsnng].
11 Possonparenteser Hamltonteoren () 9.11 Vlkårlg funkton u = u(q, p,t) du dt = u q q + u ṗ p + u t = u H u H + u = [u, H]+ u q p p q t t Hamltonlgnngerne kan omskrves enten ved at benytte (1) u = u(q )=q eller u = u(p )=p lgnngen ovenfor, hvlke tlfælde u t =0 (2) defntonen, lgnng (9.67), af en Possonparentes: [q,h]= q H q H = δ q j 0( ṗ j )= q j [p,h]= p H p H =0 q j δ j ( ṗ j )=ṗ I symplektsk notaton, η =[η,h] og dermed også η = J H η =[η,h] Benyttes u = H fås umddelbart det kendte resultat: dh dt =[H, H]+ H t = H t Er u en bevægelseskonstant, u =0,fås [H, u] = u og dermed t [H, u] =0,hvsu kke afhænger eksplct af t (kvantemekank: Operatoren, svarende tl en bevægelseskonstant, kommuterer med Hamltonen). Jacobs denttet, [u, [v,w]]+[v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0, kan nogle tlfælde benyttes tl at dentfcere nye bevægelseskonstanter: Indsættes w = H og er u og v bevægelseskonstanter [H, [u, v]] = 0, eller at [u, v] er en ny bevægelseskonstant.
12 Possonparenteser Hamltonteoren () 9.12 Infntesmal kanonsk transformaton: F 2 = q P + ²G(q, P,t) η 7 ζ = η + δη (9.63) δη = ²J G η δu = u(η + δη) u(η) = g u η δη = ²g u η J G η ²[u, G] Benyttes G = P = p + O(²) δη j = ²[η j,g]=²[η j,p ]=² δ j dvs. δq = ² og δη j6= =0 eller δu = ²[u, p ]=δq [u, p ] δu = u =[u, p δq q ] Ved (uendelg mange) succesve anvendelser af generatoren svarende tl G genereres en (aktv) forskydnng af systemet faserummet, fra (0) tl (1), hvor q (0) 7 q (1) mens alle andre koordnater er uændret. En Taylor-rækkeudvklng gver, q = q (1) q (0), u(1) = u(0) + du(0) q dq + 1 d 2 u(0) ( q 2 dq 2 ) 2 + = u(0) + [u, p ] 0 q + 1 [[u, p 2 ],p ] 0 ( q ) [[[u, p 3! ],p ],p ] 0 ( q ) 3 + Eksempelvs: () (q,p )=(x, p x ) p x = mẋ genererer en forskydnng af m stykket x(1) x(0) x aksens retnng. () (q,p )=(φ,p φ )=(φ,l z ) L z = P (r p ) ẑ genererer en rotaton af et mange-partkel system vnklen φ(1) φ(0) omkrng z-aksen. Benyttes u = H og er p en bevægelseskonstant, [H, p ]=0, H(1) = H(0): Hvs Hamltonfunktonen er nvarant overfor en nfntesmal kanonsk transformaton, så er dens generator en bevægelseskonstant. Tdsudvklng: For u = u(q, p) ogdermed du =[u, H] fås analogt: dt u(t) =u(0) + [u, H] 0 t + 1 [[u, H],H] 2 0t [[[u, H],H],H] 3! 0t 3 + H er generatoren for en nfntesmal tdsforskydnng af systemet. (t, H) kan opfattes som kanonske varable. F.eks. hvs t er en cyklsk koordnat så er Ḣ = 0.
13 Louvlles teorem 9.13 Ensemble: En udgave af et makroskopsk (n =10 23 partkler) system med et bestemt valg af 2n begyndelsesbetngelser (der er overensstemmelse med gvne begrænsnnger). D = D(q, p,t): sandsynlghedstætheden af ensembler faserummet. Statstsk mdlng: hb(t) = R BDdΩ, hvordω er det dfferentelle volumen faserummet og R DdΩ =1. Det enkelte ensemble kan afbldes som et punkt faserummet, E (t). Antallet af ensembler, E 1,E 2,..., faserummet er konstant kontnutetslgnng: D(x)v x (x)δt x =1 A x+ δx D(x + δx)v x (x + δx)δt Idet2n-dmensonale faserum: D nx (D t + q ) + (Dṗ ) q p δdaδx = D(x)Av x (x)δt D(x + δx)av x (x + δx)δt δd = D(x + δx)v x(x + δx) D(x)v x (x) δt x δx eller flere dmensoner D(x,t) + X D(x,t)ẋ (x,t) =0 t x δd er den tdslge ændrng af D på stedetx. = D t + X D D ³ q q + ṗ q + D + ṗ =0 p q p q = H ṗ, = H q + ṗ =0, q q p p p q q p dd dt = D t + X ³ D q q + D ṗ p = D +[D, H] =0 t I lgevægt er hb(t) = konstant og derfor D t =0 dvs. (Louvlles teorem) [D, H] =0 D kan kun afhænge af bevægelseskonstanter (T + V, P, ogl).
Classical Mechanics (3. edition) by Goldstein, Poole & Safko
Classcal Mechancs (3. eton). by Golsten, Poole & Safko Mekansk bevægelse af en partkel: Newtons anen lov v = r p, p = mv, F = t t ṗ Bevarelsesteorem for en partkels bevægelsesmænge: Hvs en totale kraft
Læs mereχ 2 -fordelte variable
χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =
Læs mereNoter til fysik 3: Statistisk fysik
Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop
Læs mereFRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:
FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne
Læs mereHamiltons princip. Et systems bane (i konfigurationsrummet) fra t 1 til t 2 er bestemt
Hamtons prncp.1 Konfguratonsrum q 3 Et systems bane ( konfguratonsrummet) fra t t er bestemt af, at aktonsntegraet I = Lt har en statonær vær. t q 1 q () Systemet ska være monogensk, vs. ae kræfter (ekskusvt
Læs mereØkonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1
Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder I 24.november 2006 F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Paneldatametoder Sdste gang: Paneldata begreber og to-perode tlfældet (kap 13.3-4) Uobserveret effekt modellen:
Læs mereInertimoment for arealer
13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme
Læs mereStatistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt
Statsts mean 3 Sde af 9 Faselgevægt Hvs hver fase et PVT-system behandles særslt, vl hver fase alene raft af mulgheden for faseomdannelser udgøre et åbent system. Ved generalserng af udtry (3.48) fås dermed
Læs mereFysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori
Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal
Læs mereElektromagnetisk induktion
Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres
Læs mereElektromagnetisk induktion
Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 8 Elektromotorsk kraft Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres
Læs mereStøbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005
Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet
Læs mereLidt om lim. (k) og hvad de kan bruges til. Sara Arklint
Ldt om (k) og hvad de kan bruges tl Sara Arklnt Københavns Unverstet Kanddatprojekt (15 ECTS-pont) Aeveret 11. aprl 2007 Vejleder: Anders Frankld Indhold 1. Prolog 1 (k) 2. Beregnng af (k) 3. Forsvndng
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen
Læs mereEpistel E5 Statistisk Mekanik
Epstel E5 Statstsk Mekank Benny Lautrup 19. aprl 2004 Den statstske mekank danner bro mellem termodynamkkens makroskopske beskrvelse af stoet og mekankkens mkroskopske modeller. Medens man det 19. århundrede
Læs mereVægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen
Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge
Læs mereElektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi
lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereØkonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9
Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,
Læs mereAnalytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter
Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.
Læs mere2. Sandsynlighedsregning
2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har
Læs mereOpsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test
Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne
Læs mereLineær regressionsanalyse8
Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret
Læs mereNotat om porteføljemodeller
Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng
Læs mereFigur 3: Illustration af hvordan en børsteløs DC-motor kan betragtes rent magnetisk.
Opstlnng af oel for en børsteløs D-otor Danel R. Peersen & Jesper. Larsen 4. aprl 2003 I ette arbejsbla vl er blve opstllet en oel af en børsteløs D otor (LDM). Moellen er opstllet e et forål at kunne
Læs mereØkonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1
Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen
Læs mereNote til Generel Ligevægt
Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den
Læs mereDLU med CES-nytte. Resumé:
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr* Grane Høegh 17. august 2006 DLU med CES-nytte Resumé: Her papret undersøges det om en generalserng af den bagvedlggende nyttefunkton DLU fra Cobb-Douglas med
Læs mereReal valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved
Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den
Læs mereKvantemekanik 2 Side 1 af 11 Schrödingerligningen. Bølgefunktionen
Kvantemean Sde af Bølgefuntonen Inden for den lassse fys an en partels bevægelse besrves ved en, der ndeholder alle oplysnnger om partlens bevægelse. stedfunton r( t) Pga. den KM besrevne partel-bølge-dualtet
Læs mereØkonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005
Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 005 Emnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-8.4) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan fnder man en effcent estmator?
Læs mereØkonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006
Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder II Introdukton tl Instrumentvarabler 27. november 2006 Paneldata metoder Sdste gang: Paneldata med to eller flere peroder og fxed effects estmaton. Første-dfferens
Læs mereUgeseddel 8. Gruppearbejde:
Ugeseddel 8 Gruppearbejde: 1. Ved at nkludere en dummyvarabel for et bestemt landeområde, svarer tl at konstatere, at dsse lande har nogle unkke karakterstka, som har betydnng for væksten, som kke gør
Læs mereStatistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel
Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k
Læs mereLogistisk regression. Logistisk regression. Probit model Fortolkning udfra latent variabel. Odds/Odds ratio
Logstsk regresson Logstsk regresson Odds/Odds rato Probt model Fortolknng udfra latent varabel En varabel Y parameter p P( Y 1 Bernoull/bnomal fordelngen 1 1 p. er Bernoull- fordelt med sandsynlgheds hvs
Læs mereIndtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler
Læs mereKvantitative metoder 2
y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,
Læs mereBinomialfordelingen: april 09 GJ
Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen
Læs mereRegressionsmodeller. Kapitel Ikke-lineær regression
Kaptel 0 Regressonsmodeller V vl dette kaptel dskutere eksempler på mere komplceret modeller, med observatoner, der nok er uahængge, men kke dentsk ordelte I sådanne modeller kan der opstå et naturlgt
Læs mereG Skriverens Kryptologi
G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges
Læs mereØkonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol
Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat
Læs mereKvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med
Læs mereTabsberegninger i Elsam-sagen
Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot
Læs mereØkonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004
Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og
Læs mereBinomialfordelingen. Erik Vestergaard
Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk
Læs mereKvantitative metoder 2
Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet
Læs mereSpændingskvalitet. Tilslutningsbetingelserne med hensyn til spændingskvalitet for forbrugsanlæg tilsluttet transmissionsnettet
Teknsk forskrft TF 3.4.1 pændngskvaltet Tlslutnngsbetngelserne med hensyn tl spændngskvaltet for forbrugsanlæg tlsluttet transmssonsnettet 02.04.2013 02.04.2013 02.04.2013 09.04.2013 DATE 1.3 PHT FBC FJ
Læs mereVideregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005
Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION
Læs mereKvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,
Læs mereMen tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.
χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereSupplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik
Supplemet tl sadsylghedsregg og matematsk statstk 1. Bevs for lgg (4b) 22.4 ( 23.3) 8. (7.) udgave. Teorem 3 (4): Atallet af forskellge kombatoer med k elemeter, der ka daes ud af forskellge elemeter,
Læs mereFagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00
Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt
Læs mereElementær kredsløbsteknik OPGAVESAMLING. af Torben Elm Larsen
Elementær kredsløbsteknk OPGAVESAMLING af Torben Elm Larsen Elementær kredsløbsteknk Opgavesamlng 1. udgave,. oplag 001 Ingenøren bøger, Ingenøren A/S 1996 Forlagsredakton: Søren Flenng DTP: Torben Elm
Læs mereØkonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13
Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen
Læs mereØkonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?
Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan
Læs mereBeregning af strukturel arbejdsstyrke
VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste
Læs mereRESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen
RESEARCH PAPER Nr. 7, 23 Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd af Jørgen Ka Olsen INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-2 FREDERIKSBERG
Læs mereVi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser
Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for dag: Kvanttatve metoder Opsamlng vedr. nferens uden MLR.5: Beregnng af robuste standardfejl og kovarans under heteroskedastctet (W8.) W.6: Flere emner en multpel regressonsmodel Inferens den
Læs mereUdvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol
Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING
Læs mereKvantemekanik 2 Side 1 af 11 Schrödingerligningen. Bølgefunktionen
Kvantemean Sde af Bølgefuntonen Inden for den lassse fys an en partels bevægelse besrves ved en, der ndeholder alle oplysnnger om partlens bevægelse stedfunton r( t) Pga den KM besrevne partel-bølge-dualtet
Læs mereØkonometri 1. Interne evalueringer. Interne evalueringer. Dagens program. Heteroskedaticitet (Specifikation og dataproblemer) 2.
Dagens program Øonometr 1 Heterosedatctet (Specfaton og dataproblemer). november 005 dataproblemer 1 Interne evaluernger Emner for denne forelæsnng: Heterosedastctet (ap 8.4-8.5) Egensaber ved FGLS Esempel
Læs mereSandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen
Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...
Læs mereEstimation af CES - forbrugssystemet med og uden dynamik: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr [udkast] Andreas Østergaard Iversen 140609 Estmaton af CES - forbrugssystemet med og uden dynamk: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Forår 00 Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne
Læs mereSERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013
SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.
Læs mere! En model er en afbildning af et system. ! Modellen er ikke virkeligheden!! Modeloutput. system afgræ nsning. ! To formål: Andre.
Metodelære 2: Modellerng! Indhold:! Om og ng! Et ngseksempel! Gruppeopgave : Modeller jeres projektarbejde HVAD er en model?! En model er en afbldnng af et system! Modellen afblder systemet med en vs nøjagtghed
Læs mereForberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave
MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.
Læs mereMAKROøkonomi. Kapitel 10 - Stabiliseringspolitik på kort sigt. Vejledende besvarelse. Opgave 1
MAKROøkonom Kaptel 10 - Stablserngspoltk på kort sgt Vejledende besvarelse Opgave 1 I en lukket økonom med konstante prser gælder følgende relatoner for efterspørgslen på varemarkedet og pengemarkedet,
Læs mereStatistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)
Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereFastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke
d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne
Læs mereipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning
Pod/Phone speaker ALD1915H ASB4I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 13 FR 25 ES 37 DE 49 EL 62 DA 75 Indholdsfortegnelse
Læs mereDiffusion over membraner Hvor vil molekylerne være? Simple/komplexe systemer. Veterinær biofysik kapitel 8 Forelæsning 2
Dffson over ebraner Hvor vl olekylerne være? Sple/koplexe systeer Begreber Flx Inflx og efflx Kesk potentale Elektrokesk potentale Elektrokesk lgevægt Mebranpereabltet Modeller for ebranpereabltet Dffson
Læs mereStatistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel
Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen
Læs mereOutline. Chapter 6: (cont d) Qijin Chen. November 21, 2013 NH = =6 CH = 15 4
Chapter 6: Qjn Chen Department of Physcs, Zhejang Unversty November 1, 013 Copyrght c 013 by Qjn Chen; all rghts reserved. ω 3 4 1. (cont d) 1 3 n3n3n 3n (x 1, y 1, z 1 )(x, y, z ) (x 1 x ) + (y 1 y )
Læs mereMorten Frydenberg Biostatistik version dato:
Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -4- Bostatstk uge mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Resume: Hvad har v været gennem ndtl nu Lneær (normal) regresson en kontnuert forklarende varabel
Læs mereipod/iphone/ipad Speaker
Pod/Phone/Pad Speaker ASB8I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 16 FR 30 ES 44 DE 58 EL 73 DA 87 Indholdsfortegnelse
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol
Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E y] = α... [ 3 3 4 4
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereSalg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.
Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereKvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)
Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position,
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereInduktionsbevis og sum af række side 1/7
Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol
Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereUndersøgelse af pris- og indkomstelasticiteter i forbrugssystemet - estimeret med AIDS
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbedspapr* Mads Svendsen-Tune 13. marts 2008 Undersøgelse af prs- og ndkomstelastcteter forbrugssystemet - estmeret med AIDS Resumé: For at efterse nestnngsstrukturen forbrugssystemet
Læs mereNOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013
Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august
Læs mereStatikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller
Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereVægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen
Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger
Læs mere