Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1
Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen af OLS estmatoren Generelle hypotesetest under heteroskedastctet Test for heteroskedastctet Grafske test Formelle test: Breusch-Pagan test, Whte test Effcente estmatorer, når der er heteroskedastctet: Vægtnng af observatonerne (tlfældet med kendte vægte) Økonometr 1: F12 2
Konsekvenser af heteroskedastctet Ved heteroskedastctet gælder (gvet MLR.1-4): OLS estmaterne er mddelrette og konsstente Det sædvanlge estmat af OLS varansen er kke mddelret eller konsstent Gyldge test baseret på OLS estmatoren ved brug af robuste varansestmater Men: Uheldge konsekvenser af heteroskedastctet, som kke blver afhjulpet ved robust estmaton af varansen: OLS er kke længere den bedste lneære mddelrette estmator (BLUE): Der fndes andre lneære mddelrette estmatorer med mndre varans OLS er kke længere asymptotsk effcent Økonometr 1: F12 3
Hvorfor gver heteroskedastctet neffcente estmatorer? Intutvt: OLS gver samme vægt tl alle observatoner/- resdualer (mnmerer den smple sum af de kvadrerede resdualer) n n 2 2 uˆ ˆ ˆ ˆ = ( y β0 β1x1 βkxk) = 1 = 1 Ved heteroskedastctet fejlleddet: Observatonerne/ fejlleddene er trukket fra fordelnger med forskellg varans. En effcent estmator tllægger hver observaton/resdual en vægt, der er omvendt proportonal med varansen på fejlleddet for hver enhed. Økonometr 1: F12 4
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Heteroskedastctet af en kendt form (op tl en multplkatv faktor) hx ( ) Vu x 2 ( ) = σ hx ( ) antages at være en kendt funkton af de forklarende varable hx ( ) > 0 for alle mulge værder af x erne (varanser er altd postve) 2 σ er en ukendt parameter Et specaltlfælde af den generelle form af heterosk. Vu x hx 2 2 ( ) = σ = σ ( ) Økonometr 1: F12 5
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Eksempel: Opsparng- ndkomst Model: sav = β + β nc + u 0 1 2 = σ Vu ( nc) nc (##) I dette tlfælde er h(x)=h(nc)=nc (varansen er postv, hvs ndkomsten er postv for alle ): Varansen er proportonal med ndkomsten. Standard afvgelsen på u (betnget på ndkomsten) er σ nc Hvordan kan nformatonen om (##) bruges tl at estmere en udgave af opsparngs-ndkomstrelatonen, som er uden heteroskedastctet? Økonometr 1: F12 6
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Eksempel: opsparng-ndkomst Transformerer modellen: sav 1 nc u = β0 + β1 + nc nc nc nc 1 = β0 + β1 nc + nc To forklarende varabler, ntet konstantled: Samme parametre Fejlled med konstant varans: 2 2 u u 1 1 V( ) = E( ) = E( u ) = σ nc = σ nc nc nc u nc 2 2 2 nc Økonometr 1: F12 7
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Ved at bruge nformaton om formen for heterosk. kan modellen transformeres tl en ny model, som kke ndeholder heteroskedastctet. Generelt: Antag følgende multple regressonsmodel (som opfylder antagelserne MLR.1- MLR.4) y = β + β x + β x + + β x + u 0 1 1 2 2 k k 2 2 ( 1, 2,, k) = σ ( 1, 2,, k) = σ V u x x x h x x x h Gvet at h er en kendt funkton kan dens værd beregnes for hver observaton: h = h( x ) Økonometr 1: F12 8
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Hvs man nu konstruerer et nyt fejlled som vl den betngede mddelværd stadg være nul: u 1 E x 1, x2, xk = E( u x 1, x2, xk) = 0 ( ) h h og den betngede varans vl være konstant: 2 u 1 1 2 2 V x 1, x2, xk = V( u x 1, x2, xk) = σ h = σ ( ) h h h u h Økonometr 1: F12 9
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Regressonsmodel med dette fejlled ved at dvdere gennem med h Den transformerede model er y 1 x x x u = β + β + β + + β + h h h h h h 1 2 k 0 1 2 k Bemærk at modellen generelt kke længere ndeholder noget konstantled De nye forklarende varabler har sjældent en menngsfuld fortolknng Parametrene er de samme som den oprndelge model og skal fortolkes ud fra den. Men kan estmeres effcent fra den transformerede model. Økonometr 1: F12 10
Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Den transformerede model opfylder nu antagelsen MLR.5 (homoskedastctet) følge ( ). Antagelsen MLR.1 er også opfyldt, da modellen er lneær parametrene. Antagelsen MLR.2 er også stadg opfyldt (hvs stkprøven er udtaget tlfældgt tl den oprndelge model, gælder det også for den transformerede model). Antagelsen MLR.3 er stadg opfyldt. Antagelsen MLR.4 er også stadg opfyldt. ( ) (Mndre vgtgt: Hvs antagelsen MLR.6 er opfyldt for den oprndelge model, gælder antagelsen stadg) Økonometr 1: F12 11
Weghted Least Squares (WLS) I den transformerede model gælder MLR.1-MLR.5 OLS estmatoren den transformerede model vl være BLUE F- og t-test er gyldge for den transformerede model R 2 er sjældent menngsfuld (ny venstresdesvarabel!) Estmatoren som korrgerer for heteroskedastctet kaldes for Wegted Least squares (WLS) Navnet hentyder tl at estmaterne opnås ved at mnmere de vægtede kvadrerede resdualer. Økonometr 1: F12 12
Weghted Least Squares (WLS) n 2 ( y b0 bx 1 1 b2x2 bkxk) / h = 1 n = (( y b bx b x b x ) / h ) = 1 0 1 1 2 2 k k y 1 x x x = (( )) n 1 2 k b0 b1 b2 bk = 1 h h h h h 2 2 WLS er et eksempel på Generalzed Least Squares (GLS) Estmaterne vl generelt være forskellge fra OLS den oprndelge model GLS estmatoren er mere effcent end OLS Parametrene skal stadg fortolkes som den oprndelge model Økonometr 1: F12 13
Weghted Least Squares (WLS) Eksempel: Afhængge varabel er et gennemsnt (hvor de grupper af enheder der tages gennemsnt over, er af forskellg størrelse) m 1 m j = 1 I dsse modeller er heterosk. ofte relateret tl gruppens m størrelse I dette tlfælde skal vægtnngen være y = y, j 1 1 u = u V( u x) = m σ 2, j u m j= 1 h = 1/ m Økonometr 1: F12 14
NB er En effcent estmator tllægger hver observaton/resdual en vægt, der er omvendt proportonal med varansen på fejlleddet. Ved at bruge nformaton om formen for heterosk. kan modellen transformeres tl en ny model, som kke ndeholder heteroskedastctet. Den transformerede lgnng kan estmeres effcent. Parametrene er de samme som den oprndelge model og skal fortolkes ud fra den. Økonometr 1: F12 15
Næste gang: Mandag den 30. oktober WLS når varansfunktonen er ukendt: FGLS Mere om den lneære sandsynlghedsmodel Økonometr 1: F12 16