Differentialligninger

Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul

Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 4 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 5 Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet3 6 Eksempel pç brug af oplsningen i differentialligningen3 7 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 4 8 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 4 9 Bestem låsningerne til en differentialligning 5 10 Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet5 11 Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet 6 1 Opstil differentialligning Eksempel 16 13 Opstil differentialligning Eksempel 6 14 Logistisk differentialligning 7 15 Beviser9 GÇ ind pç http://mat1dk/noterhtm for at downloade neste version af dette häfte Differentialligninger for A-niveau i st, Ä 013 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra wwwmat1dk Det må bruges i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1dk som oplser at det bruges (skriv fulde titel og Årstal) og oplser hold, niveau, lärer og skole 9/5-013

1 OplÄg til differentialligninger En plantes håjde vokser sçdan at der pç ethvert tidspunkt t gälder at håjdens väksthastighed = håjden Dette kan vi skrive med smboler sçdan: Vi kan ogsç urkke dette ved at sige at i hvert punkt pç grafen er tangenthäldningen = -koordinaten Her har vi opstillet en differentialligning Ligningen er et eksempel pç en differentialligning For funktionen f ( ) 4e gälder at f ( ) 4e, sç f () opflder betingelsen for hvert Dette urkker vi ved at sige at f () er en låsning til differentialligningen eller at f () tilfredsstiller differentialligningen Vi ser at funktionen f ( ) e ogsç er en låsning Vi ser at differentialligningen har mange låsninger Smbolet betder det samme som d Differentialligningen kan ogsç skrives sçdan: d eller sçdan: f ( ) f ( ) Hvad er en differentialligning? En ligning er en differentialligning hvis den ubekene er en funktion og funktionens differentialkvotient indgçr En funktion er låsning til en differentialligning hvis funktionen opflder differentialligningen for hvert i funktionens definitionsmängde Differentialligninger for A-niveau i st Side 1 013 Karsten Juul

3 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 UndersÅg om funktionen f ( ) er en låsning til differentialligningen 1 Vi indsätter f ( ) for i 1 : ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen 4 UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel UndersÅg om funktionen d 1 f ( ) ln er en låsning til differentialligningen Vi indsätter f ( ) ln for i 1 d ( ln ) ( ln ) 1 1 ( ln 1) ln 1 1 ln 1 ( ln 1) 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 : Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen Differentialligninger for A-niveau i st Side 013 Karsten Juul

5 Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet En funktion f er låsning til differentialligningen d og grafen for f gçr gennem punktet P (3, 7) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P I punktet, ) (3,7) er tangenthäldningen a ( 1 1 d Tangenten i P : a 1 ) ( 3) 7 ( 1 3 7 1 6 Eksempel pç brug af oplsningen i differentialligningen En funktion f er defineret for ethvert tal og er låsning til differentialligningen 1 d 1 GÅr rede for at f har et minimum I ethvert punkt (, ) pç grafen for f er tangenthäldningen Dette tal har samme fortegn som 1, 1 1 for 1 er altid positivt da et tal i anden ikke kan väre negativt 1 0 For 1 har låsningen 1 er 1 1, og for 0 er 1 1 TangenthÄldningen er altsç negativ for f er aftagende i intervallet 1 og positiv for 1 Heraf fålger at f har minimum for 1 og voksende i intervallet 1 1, sç Differentialligninger for A-niveau i st Side 3 013 Karsten Juul

7 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 Udviklingen i et rs vägt kan beskrives ved differentialligningen 0,08 16,, 0 t 9 hvor t er tiden mçlt i uger, og er rets vägt mçlt i gram Bestem väksthastigheden pç det tidspunkt hvor rets vägt er 180 gram Vi indsätter 180 for i differentialligningen: 0,08180 16, 16, 0,08 180 11,16 NÇr rets vägt er 180 gram, er väksthastigheden 11, gram pr uge Ovenfor låste vi en ligning ved at träkke samme tal fra begge sider Hvis vi i stedet vil bruge solve, kan vi taste 8 Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel En plantes håjde er en funktion af tiden der opflder differentialligningen dh 0,06 0, 93 t h hvor h er håjden mçlt i mm, og t er tidspunktet mçlt i dågn Det oplses at h ( 1) 3 Bestem väksthastigheden til tidspunktet t 1 Vi indsätter 1 for t og 3 for h i differentialligningen: dh 0,06 0,93 dh 0,0754 1 3 Til tidspunktet t 1 er väksthastigheden 0,073 mm pr dågn Differentialligninger for A-niveau i st Side 4 013 Karsten Juul

9 Bestem låsningerne til en differentialligning Bestem forskrift for låsningerne til differentialligningen 1, 3 Nspire låser ligningen mht funktionen og fçr låsningerne c e 1, 3 Vi tastede I stedet for c skriver Nspire c1 eller c eller c3 osv NÇr vi i c e 1, 3 erstatter c med et bestemt tal, fçr vi Én af låsningerne Hvis vi ved at ( ) 5, dvs at punktet (, 5) ligger pç grafen, sç kan vi bestemme c Dette kan vi gåre med metoden fra ramme 10, men vi kan ogsç blot sätte og 5 ind for og i c e 1, 3 og låse mht c : 5 c e 1,3 hvoraf c 3,7 0, 500741 e LÅsningen hvor ( ) 5, er altsç 0,50 e 1, 3 10 Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet En funktion h er låsning til differentialligningen dh 0,5( h ) d og grafen for h gçr gennem punktet (, 1,6 ) Bestem en forskrift for h dh Nspire bestemmer forskriften for den låsning til 0,5( h ) hvor h( ) 1, 6 d h( ),67 1,84 4 og fçr Samme bogstav får h Vi tastede Samme bogstav Differentialligninger for A-niveau i st Side 5 013 Karsten Juul

11 Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet En funktion p er låsning til differentialligningen dp k p Det oplses at nçr t 0 er p, og at nçr t 1 er p 1, 5 Bestem en forskrift for p Nspire bestemmer en forskrift for den låsning p til p( t) ( k) e t 1 Da p ( 1) 1, 5, er ( k ) e k 1, 5 Nspire låser denne ligning mht k og fçr k 1, 1 dp Den sågte forskrift er altsç p ( t) ( 1,1) e 1, 1, dvs t p ( t) 0,79 e 1,1 k t k p hvor p ( 0), og fçr Vi tastede og Brug to forskellige punkter (0, ) og (1, 1,5) 1 Opstil differentialligning Eksempel 1 En samling celler deler sig sçdan at samlingens vägt vokser med en hastighed der er proportional med samlingens vägt, og proportionalitetskonstanten er 0,0 PÇ et tidspunkt begnder samlingen at blive spist med en hastighed pç 1,4 gram pr dågn IndfÅr passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver hvordan samlingens vägt nu Ändrer sig med tiden = tiden mçlt i dågn = samlingens vägt mçlt i gram Celledelingen fçr vägten til at stige med hastigheden 0,0 gram pr dågn Herfra skal träkkes 1,4 gram pr dågn 0,0 1,4 d 13 Opstil differentialligning Eksempel I hvert punkt pç grafen for en funktion f er der en tangent Tangentens häldningskoefficient er proportional med punktets -koordinat Proportionalitetskonstanten er 0,8 Opstil en differentialligning der har f som låsning TangenthÄldningen f () i et grafpunkt (, f ()) er lig 0,8 f ( ), sç f er låsning til differentialligningen f ( ) 0,8 f ( ) Differentialligninger for A-niveau i st Side 6 013 Karsten Juul

14 Logistisk differentialligning 14a 14b 14c 14d Vi opstiller en differentialligning For en population af r er N(t) Det er oplst at populationen vokser sçdan at (1) antallet af r pç tidspunktet t uger väksthastigheden er proportional med produktet af antallet og differensen mellem 300 og antallet Ud fra (1) kan vi opstille en differentialligning: () N k N ( 300 N) Vi finder proportionalitetskonstanten Det er oplst at väksthastigheden er 0 pç det tidspunkt hvor antallet er 100 dvs (3) N 0 nçr N 100 Ud fra () og (3) kan vi finde proportionalitetskonstanten k : Antallet N(t) 0 k 100(300 100) k 0,001 er altsç en låsning til differentialligningen (4) N 0,001 N (300 N) Hvad er en logistisk differentialligning? Differentialligning (4) er af tpen k ( M ) En differentialligning af denne tpe kaldes en logistisk differentialligning Hvordan Ändres väksthastigheden? Af (4) fçr vi: NÇr N 30 er N 8, 1 NÇr N 70 er N 16, 1 NÇr antallet er 70, sç vokser det altsç hurtigere end nçr det er 30 Grunden er at så länge der er god plads, gälder at når der er flere r, vil der komme flere unger Af (4) fçr vi: NÇr N 60 er N 10, 4 Se figur Se figur NÇr antallet er 60, sç vokser det altsç langsommere end nçr det er 70 Grunden er at når der er mange r, er der mindre plads pr r, og så kommer der ikke så mange unger N ' = väksthastigheden N = antallet 300 N = differensen mellem 300 og antallet SkÄrmbillede fra TI-Nspire Differentialligninger for A-niveau i st Side 7 013 Karsten Juul

14e Hvor stor er populationen når den vokser hurtigst? Vi vil finde ud af hvor stort antallet N er nçr väksthastigheden er stårst Vi skal altsç finde ud af hvad N skal väre for at fålgende urk er stårst: Se figur Vi fçr hast( N) 0,001 N (300 N) 0,3 N 0,001 N hast' ( N) 0,3 0, 00N sç hast' ( N) 0 netop nçr N 150 Da hast'( 100) 0, 1 og hast ( 00) 0, 1, er hast voksende i intervallet N 150 og aftagende i intervallet 150 N, sç stårste väksthastighed er hast ( 150), 5 NÅr antallet af r er 150, er väksthastigheden stçrst Den stçrste väksthastighed er,5 ' 14f 14g Vi finder forskrifter for lçsningerne til differentialligningen I formelsamlingen stçr at funktionerne (5) M 1 ce km t Af (5) fçr vi at funktionerne (6) er låsning til k ( M ) 300 N( t) er låsning til N 0,001 N (300 N) 0,3t 1 ce Vi finder den af lçsningerne der passer med populationen Det er oplst at til tiden t 0 er antallet N 10 300 Dette indsätter vi i (6) og fçr 10 1 ce Antallet af r er altsç fastlagt ved (7) N( t) 300 1 9e 0,3t 0,30 dvs SkÄrmbillede fra TI-Nspire 300 10 sç c 9 1 c 14h Hvad sker der med antallet i det lange lçb? Da 0,3t 9e er eksponentielt aftagende, er 9e 0,3t sç af (7) ser vi at N( t) 300 0 nçr t er stor nçr t er stor Se figur AltsÇ er 300 den Åvre gränse for hvor mange r der er plads til Tallet 300 kaldes bäreevnen SkÄrmbillede fra TI-Nspire For en logistisk funktion hvor k ( M ), er M den Åvre gränse for, og M er stårrelsen af nçr er stårst Differentialligninger for A-niveau i st Side 8 013 Karsten Juul

15 Beviser k k 15a HjÄlpesÄtning: e k e ' Bevis: For k e er den dre funktion ( e Differentialkvotienten af den dre er ), og den indre er k ( ) e, og differentialkvotienten af den indre er k, k ' ( k) k e e k k e sç differentialkvotienten af den sammensatte funktion er 15b SÄtning LÅsningerne til differentialligningen k er funktionerne ( ) BemÄrk at og at c e k pç k's plads i denne forskrift skal stç det tal der stçr pç k's plads i differentialligningen uanset hvilket tal vi skriver pç c's plads, sç fçr vi en låsning Det er altsç uendelig mange låsninger 1 del af beviset for sätningen For en funktion () med egenskaben k k e k k e k e Da e k e k k k er regel for at differentiere produkt k e k e da vi forudsatte at k 0 differentieret giver 0, mç c e Vi ganger begge denne lignings sider med k c e k k k k 0 da e e e e 1 k k e väre lig en konstant: og fçr Konklusion: Hvis en funktion () har egenskaben k sç har denne funktion en forskrift af tpen del af beviset for sätningen Vi indsätter k ( ) ce hvor c er et tal k c e for i ligningen k k k ce k ce Venstre side af ligningen giver k og fçr c k e Ligningen passer Konklusion: Funktionerne k ( ) c e har egenskaben k Differentialligninger for A-niveau i st Side 9 013 Karsten Juul

B bevis 9 bäreevne 8 D differentialligning1 L logistisk 7, 8 låsning1,, 5, 6 O opstil1, 6, 7 P population 7, 8 proportionalitetskonstant 6, 7 T tangent3 tilfredsstille 1 V väksthastighed4, 7, 8