Opgaver til Industriøkonomi 3. årsprøve Christian Schultz Revideret version april 2004
1 OPGAVESÆT NR. 1 1.1 Opgave 1 Betragt en monopolist med lineær efterspørgselskurve, q = a bp hvor a, b > 0. Hun producerer ved konstante marginalomkostninger, c, og uden faste omkostninger. Antag at 0 <c<a/b. (Denne antagelse er ofte foretaget implicit i opgaverne til industriøkonomi.) 1. Find monopolpris, -mængde og -profit. 2. Udled med udgangspunkt i efterspørgselskurven den inverse efterspørgselsfunktion, d.v.s. prisen udtrykt som funktion af mængden, P (q). Indtegn P (q), MR- og MC-kurven i et koordiantsystem. Hvordan kan den antagede øvre grænse for c fortolkes? Hvor ligger monopolprisen i intervallet [c, a/b]? 3. Hvilken betydning har det, om monopolisten fastsætter pris fremfor mængde? 4. Beregn velfærdstabet (d.v.s. dødvægtstabet) ved monopol. Kommentér størrelsesforholdet mellem dette og monopolprofitten. 5. Når b varieres, påvirkes velfærdstabet ved to modsatrettede effekter. Hvilke? (Tag udgangspunkt i figuren fra spm. ii) Hvordan varierer velfærdstabet med b? 6. Udled efterspørgselselasticiteten, ε, for en vilkårlig pris (eller mængde). Hvordan varierer ε med b? 7. Vis matematisk og grafisk, at efterspørgselselasticiteten er større end 1 for monopolistens løsning. 1
1.2 Opgave 2 På et marked for et gode gælder, at alle forbrugere er identiske. Hver enkelt forbruger efterspørger enten 0 eller 1 enheder af godet og har vurderingen s af godet. Vis, at monopol ikke medfører et velfærdstab. 1.3 Opgave 3 Betragt en monopolist, der står ovenfor et intertemporalt problem med to perioder. For begge perioder gælder samme lineære efterspørgselskurve: q t = 1 p t for t =1, 2. De marginale omkostninger er henholdsvis c iførsteperiode og c λq 1 iandenperiode,hvorλ er lille og positiv. Monopolisten benytter diskonteringsfaktoren δ<1. 1. Redegør (kort) verbalt for, hvordan monopolistens mængde i første periode er i forhold til en situation, hvor marginalomkostningerne er c ibeggeperioder. 2. Opstil og løs monopolistens problem, når mc 1 = c og mc 2 = c λq 1 ; detertilstrækkeligtatfinde q 1 og q 2 (hint: Løs først problemet for periode 2 og derefter for periode 1). Udled betingelsen på λ for, at monopolistens profitfunktion er strengt konkav. 3. Stiger eller falder den afsatte mængde over tid? 1.4 Opgave 4 Betragt en monopolist med en efterspørgselsfunktion, som har konstant elasticitet: q = D(p) =p ε, hvor efterspørgselselasticiteten ε er større end 1. De marginale omkostninger er konstante og lig c. 1. Kommenter begrænsningen på ε. 2
2. Udled løsningen til en social planlæggers problem, og udled den sociale velfærd, W c for denne løsning. 3. Udled løsningen til monopolistens problem. 3
2 OPGAVESÆT NR. 2 2.1 Opgave 1 En monopolist producerer et gode, for hvilket han vælger en pris p og en kvalitet s. Ladp = P (q, s) betegne den inverse efterspørgselsfunktion. Forbrugerne får nytten U = θs p, hvis de køber godet, og 0 hvis de ikke køber. θ er uniformt fordelt på intervallet [0, 10]. Antallet af forbrugere normaliseres til 1 (N =1). Monopolistens omkostningsfunktion er givet ved: C (q, s) = cs2 2 q 1. Fortolk θ, og redegør for, hvordan vi kan tale om, at der er flere forbrugere, når N =1. 2. Vis, at den inverse efterspørgselsfunktion er givet ved P (q, s) =10s (1 q) 3. Løs hhv. monopolistens og den sociale planlæggers problem, og kommenter. 2.2 Opgave 2 Antag, at der to typer af brugte biler: gode og dårlige. En god bil er 18.000 kr. værd for en køber og 15.000 kr. for en sælger. En dårlig bil er hhv. 12.000 kr. og 6.000 kr. værd for køber og sælger. Antag, at der er langt flere købere end sælgere på brugtbilsmarkedet, så markedsprisen, når bilernes kvalitet er kendt, er 18.000 kr. for en god og 12.000 kr. for en dårlig bil. 1. Antag, at der er dobbelt så mange dårlige som gode biler, og at både købere og sælgere er risikoneutrale. 4
2. Hvad er markedsprisen på brugte biler, hvis hverken købere eller sælgere kender bilernes kvalitet? Antag i de næste to spørgsmål, at sælgerne, men ikke køberne, kender bilernes kvalitet. 3. Hvilke(n) type(r) biler bliver solgt og til hvilke(n) pris(er)? 4. Ændres konklusionen i spm.2, hvis der er dobbelt så mange gode som dårlige biler? 2.3 Opgave 3 Vi betragter forbrugere, der står overfor to forskellige varer: et basisgode og et komplementært gode (f.eks. service). Basisgodet sælges til prisen p af en monopolist, der ikke har omkostninger ved at producere det. Det komplementære gode produceres ved konstante marginale omkostninger, c, og sælges under fuldkommen konkurrence (dvs. til prisen c). Hver forbruger kan vælge: (a) ikke at købe overhovedet; (b) at købe én enhed af basisgodet; eller (c) at købe én enhed af basisgodet og én enhed af det komplementære gode. Disse valg er forbundet med følgende nettonytte: (a) 0; (b) v p; og (c) w p c. Hvor v er forbrugerens vurdering (eller bruttonytte) af basisgodet alene, og hvor w er vurderingen af basisgodet sammen med det komplementære gode; w>v>0. Der er to typer af forbrugere: Type 1 ( lav efterspørgsel ) består af identiske forbrugere, som har vurderingerne v 1 og w 1 ; og type 2 ( høj efterspørgsel ) består af identiske forbrugere, som har vurderingerne v 2 v 1 og w 2. Andelen af type 2 forbrugere er α, mens type 1 forbrugere udgør den resterende del, dvs. 1 α. Antag,atw 2 v 2 >c>w 1 v 1 og α(w 2 c) <v 1. 1. Find det socialt efficiente forbrug af hhv. basis og det komplementære gode for begge typer af forbrugere. 5
I forbindelse med hvert af de nedenstående spørgsmål ønskes en redegørelse for, hvorvidt der er tale om henholdsvis første-, anden-, eller tredie-grads prisdiskriminering. 2. Antag, at monopolisten kan skelne mellem forbrugerne - dvs. hun ved hvilke, der er hhv. type 1 og 2. Find de priser, hun vil sætte overfor de to typer af forbrugere, og kommenter. (Der er ingen arbitragemuligheder mellem forbrugere af forskellig type.) 3. Antag, at monopolisten ikke kan skelne mellem forbrugerne. Løs monopolistens problem og kommenter. Antag, at monopolisten modtager et signal om forbrugerens type. Studerende er alle type 1 forbrugere. For forbrugere, der ikke er studerende, har hun ingen yderligere informationer. β>αer den betingede sandsynlighed for, at en forbruger, der ikke er studerende, er af type 2. Antag, at β (w 2 c) >v 1. 4. Find monopolistens optimale priser for hhv. studerende og ikke-studerende. Giver dette en socialt efficient allokering? Antag, at monopolisten nu også er monopolist på markedet for det komplementære gode. Antag yderligere, som i spm. 3, at monopolisten ikke modtager signaler om forbrugerens type, men at hun kan benytte tie-in sales (d.v.s. kan knytte det komplementære gode til basisgodet). 5. Find monopolistens priser for hhv. basisgodet alene og bundtet bestående af såvel basisgodet som det komplementære gode. 6. Stiger eller falder monopolistens profit iforholdtilprofitten i spørgsmål 3 som følge af muligheden for tie-in-sales? 6
3 OPGAVESÆT NR. 3 3.1 Opgave 1 Gertrud producerer en helt speciel type spadseredragt og har monopol på dette. Hun står overfor to geografisk adskilte markeder. Efterspørgslen er henholdsvis q 1 =1 p 1 og q 2 = 1 p 2 2. Gertrud har - måske lidt usædvanligt - ingen omkostninger ved at producere eller transportere dragterne. 1. Antag, at Gertrud vælger at sætte en uniform pris (dvs. sætte samme pris på begge markeder). Hvad er den uniforme pris og mængderne på hvert enkelt marked, når hun profitmaksimerer? 2. Antag, at Gertrud vælger at benytte tredie grads prisdiskriminering. Hvad er da priserne og mængderne, når hun profitmaksimerer? 3. Sammenlign situationen med uniform pris og den med tredie grads prisdiskriminering ved at beregne såvel profit som consumer surplus for hver af dem. Kommentér. 4. Gælder resultatet fra spm. 3 generelt? 3.2 Opgave 2 En monopolist producerer en vare, som hun sælger til tre detailhandlere, der bor i hver sin by, hvor de har lokalt monopol. Detailhandlernes eneste omkostning er udgiften ved køb af producentens vare. Hver detailhandler står overfor efterspørgselsfunktionen D a =1 ap,hvorp er prisen, detailhandleren sælger til, og a er enten 1 eller z. Den enkelte detailhandler kender den værdi af a, der gælder efterspørgselsfunktionen i hans by. Det vides, at itoafbyerneera = z ]1, 2], og den sidste er a = 1. Som i Tirole antages, at en detailhandler er tilfreds med en kontrakt, der giver 0 i profit. Producenten har valgt at sætte en engrospris, p w,ogetfranchisefeea. Dvs. 7
en detailhandler, der køber q enheder, skal betale ialt A+p w q til producenten. Hver detailhandler sætter detailprisen på sit eget marked. 1. Lad p w < 1 og A være givet. Find den pris en detailhandler vil sætte, 2 mængden han afsætter og hans profit, når der ses bort fra A. Hvem har størst profit, en detailhandler med a =1eller a = z? Producenten har konstante MC på c< 1. Antag endvidere, at producenten kender det a, der gælder for den respektive 2 detailhandler. 2. Hvilken engrospris og hvilket franchise fee skal producenten vælge, når z =2. Skal franchise feet være ens for alle? Er det muligt for producenten at få hele den vertikalt integrerede profit? Antag nu, og i resten af opgaven, at producenten ikke kender den enkelte detailhandlers a, menved,atitoafbyerneera = z = 2, og i en er a =1. Antag, at producenten ønsker at sælge til alle detailhandlere. 3. Find det franchise fee, producenten skal sætte som funktion af den engros pris, hun måtte vælge. 4. Find producentens optimale engrospris som funktion af c. Er engrosprisen større eller mindre end c? 5. Kan producenten få hele den vertikalt integrerede profit, når hun sætter den optimale engrospris og franchise fee? 6. Antag, at c = 1. Vis, at det er optimalt for producenten kun at sælge 4 til detailhandleren med a =1.Hvadskerder,hvisc går mod nul? 3.3 Opgave 3 Betragt et marked med en endelig efterspørgsel: D (p) =1 p 8
Varen produceres af en monopolistisk producent ved konstante marginalomkostninger c. Varen føres fra producenten til forbrugerne gennem N distributionsled, hvor hvert led i kæden er monopolist overfor det næste led. (Hvis N =1, er der altså ialt 2 led. nemlig producenten og en forhandler, som i Tirole s. 174-75.) Der er ingen omkostninger forbundet med distributionen. 1. Find den pris, forbrugerne betaler, som funktion af antallet af distributionsled. (Hint: I skal generalisere eksemplet i Tirole, s. 174-75.) 2. Hvad sker der med hhv. forbrugerprisen, distributionskædens samlede profit, consumer surplus og velfærdstabet, når antallet af distributionsled går mod uendelig? 9
4 OPGAVESÆT NR. 4 4.1 Opgave 1 Betragt et Cournot duopol med invers efterspørgselsfunktion P (Q) =a Q. Virksomhederne har asymmetriske marginalomkostninger, c 1 <c 2 <a. 1. Udled reaktionsfunktionen for de to virksomheder. 2. Illustrer de to reaktionsfunktioner, og kommentér restriktionen: a c 2 (a c 1 )/2 Antag i det følgende, at a c 2 (a c 1 )/2. 3. Find Nash-ligevægten for de to virksomheder - såvel grafisk som matematisk. 4.2 Opgave 2 Betragt påny et Cournot duopol, men lad nu c 1 = c 2.Markedsprisenergivet ved P (Q) =a Q, hvorq = q 1 + q 2. 1. For denne situation ønskes den tidligere betragtede restriktion (a c i (a c j ) /2 for i 6= j) kommenteret. Hver virksomhed har to mulige strategier: K) Udbyd halvdelen af mængden hørende til en monopolløsning for markedet, q m /2=(a c) /4; og C) Udbyd mængden hørende til Cournot-ligevægten, q c =(a c) /3. 2. Opstil spillet på normal form. (Bemærk at det er tilladt at reducere (og forlænge) profitudtrykkene med samme faktor.) 10
3. Find Nash-ligevægten i rene strategier. 4. Er der Nash-ligevægte i blandede strategier? 5. Kommentér resultatet i forhold til Prisoner s Dilemma. (Hint: Brugbar terminologi er - "entydig og Pareto-inefficient Nash-ligevægt"). 4.3 Opgave 3 Betragt et duopol med invers efterspørgselsfunktion P (q 1 + q 2 ),P 0 ( ) < 0, P 00 ( ) 0, og omkostningsfunktioner C i (q i ) for i =1, 2, hvorc i 0 (q i ) > 0 og Ci 00 (q i ) 0. 1. Er virksomhed i s profitfunktion konkav? 2. Ville dette også kunne gælde, hvis den inverse efterspørgselsfunktion var konveks? 3. Bevis, at virksomhed i s best-response-funktion, R i (q j ), er monoton i q j ogharenhældning,derliggermellem-1og0. 4. Hvad er betingelsen for, at mængderne er strategiske substitutter? 11
5 OPGAVESÆT NR. 5 I dette opgavesæt stilles I overfor tre eksamensopgaver. 5.1 Opgave 1 (Eksamensopgave juni 1994) Betragt et marked, hvor to virksomheder producerer en homogen vare. Den inverse efterspørgselskurve er p = a bq, a>0, b>o,hvorp er prisen, og Q er virksomhedernes samlede produktion. Virksomhederne har begge konstante marginalomkostninger, men virksomhed 1 s marginalomkostninger c 1 er større end virksomhed 2 s, altså c 1 >c 2. 1. Find Cournot ligevægten. Er der tale om strategiske substitutter eller strategiske komplementer? Illustrér. 2. Virksomhed 2 overvejer at opkøbe virksomhed 1. Vi antager, at ingen andre virksomheder har mulighed for at gå ind på dette marked. Hvor meget (udtrykt ved hjælp af modellens parametre a, b, c 1,c 2 )er virksomhed 1 værd for virksomhed 2? 3. Antag nu, at virksomhed 2 nedlægger sin produktion og i stedet bliver forhandler af virksomhed 1 s produkt. Virksomhed 1 stopper til gengæld med at levere direkte til forbrugerne, det overlades til virksomhed 2. Virksomhed 1 sælger sin vare til virksomhed 2 til engros prisen p w pr. enhed, virksomhed 2 får frihed til selv at bestemme færdigvareprisen p. (Det er nu smart at skrive efterspørgselskurven Q = ea e bp, hvor ea = a, e b = 1.) Find virksomhedernes samlede profit. Kunnedeopnå b b højere samlet profit ved at skrive en anden kontrakt? Hvis ja, forklar hvorledes den skulle se ud. 12
5.2 Opgave 2 (Eksamensopgave januar 1994) To virksomheder (1 og 2) producerer en homogen vare til det samme marked. De har begge konstante marginalomkostninger, c =1. Deres strategiske variabel er mængden, de producerer. Markedsefterspørgselskurven er givet ved D(p) =2 p. Prisen sættes af markedet, så efterspørgslen bliver lig det samlede udbud. 1. Find virksomhedernes reaktionsfunktioner og Cournot-ligevægten (tegn også gerne). 2. Varen, vi betragter, er en sommerartikel, hele salget ligger i maj måned. Virksomhed 1 har fået opsnuset, at virksomhed 2 først er i stand til at producere i april måned. Virksomhed 1 har mulighed for at producere i marts eller april, ikke i begge måneder. Omkostningerne er de samme i de to måneder. Hvis 1 gennemfører sin produktion i marts, vil 2 få den at vide. Hvad skal 1 gøre, producere i marts eller i april? 3. Nuviserdetsig,at1alligevelikkekanproducereimarts. Imidlertid har han fundet en maskine, der kan halvere hans marginalomkostninger. Maskinen vil eventuelt blive installeret i marts. 2 kan ikke nå at købe den, men 2 kan se, hvis 1 installerer den. Hvor meget er denne maskine værd for 1? 5.3 Opgave 3 (Eksamensopgave januar 1995) Betragt et marked for et differentieret produkt med to prissættende virksomheder, 1 og 2. 13
Hvis virksomhed 1 og 2 vælger henholdsvis priserne p 1 og p 2,bliverde efterspurgte mængder: q 1 = a p 1 + 1 2 p 2 q 2 = a p 2 + 1 2 p 1 hvor q 1 er virksomhed 1 s efterspørgsel. Virksomhederne er så heldige, at de kan få den råvare, der er nødvendig for produktionen, uden betaling. De har ingen andre omkostninger. 1. Find virksomhedernes reaktionsfunktioner, og indtegn dem i et diagram. Opfatter virksomhederne priserne som strategiske substitutter eller komplementer? 2. Find Bertrand-Nash ligevægten og virksomhedernes profitter i ligevægten. Minen, hvor virksomhederne førhen uden omkostninger kunne hente råvaren, bliver nu overtaget af en tredje virksomhed, som kræver betaling for råvaren, som der ikke findes substitutter for. Mineejeren kræver en råvarepris p w per enhed, som færdigvareproducenterne køber. Mineejeren henter råvarerne fra minen uden omkostninger. 3. Find mineejerens optimale råvarepris, og de resulterende profitter til mineejeren og de to færdigvareproducenter. Mineejeren overvejer at opkræve et ens franchise fee fra hver af de to færdigvareproducenter, som begge kun vil fortsætte på markedet, hvis de får ikke-negative profitter. 4. Find størrelsen af det optimale franchise fee og de resulterende profitter til mineejeren og de to færdigvareproducenter. Som alterternativ til franchise fees overvejer mineejeren at indføre resale price maintenance. 14
5. Find den optimale detailpris, som mineejeren kan pålægge færdigvareproducenterne, og find de resulterende profitter til mineejeren og de to færdigvareproducenter. 6. Sammenlign mineejerens profitter ved brug af henholdsvis franchise fees og resale price maintenance. Kommentér resultatet af denne sammenligning i lyset af, hvad en tilsvarende sammenligning ville have givet, hvis der kun havde været en færdigvareproducent. 5.4 Opgave 4 There are three identical firms in the industry, whose productions are denoted q 1,q 2 and q 3 respectively. The inversed demand is p =1 Q, where Q = q 1 + q 2 + q 3. The marginal cost is zero. 1. Compute the Cournot equilibrium. 2. Show that if two of the three firms merge (transforming the industry into a duopoly), the profit ofthesefirms decreases. Explain. 3. What happens if three firms merge? 4. If the firms were competing in prices and sold differentiated products, would a merger between two of them be profitable? 15
6 OPGAVESÆT NR. 6 6.1 Opgave 1 1. Vi betragter et marked, hvor alle forbrugere har en nyttefunktion af formen 1 (1 q) 2 θ i T 2 hvor q er antal enheder af varen forbrugeren køber, og T er den samlede udgift til købet af de enheder han køber. Derertotyperafforbrugere,andelenλ,hvor0 <λ<1, har θ i =2, mens andelen 1 λ har θ i =1. En monopolistisk udbyder kan producere med konstante marginalomkostninger, c, og ønsker at få så meget profit som muligt. Beklageligvis kan hun ikke skelne mellem forbrugernes typer, men kender fordelingen af forbrugere på typer (dvs kender λ) (a) Find den profitmaksimerendemådeatsælgepå,hvishunkan forhindre arbitrage. (b) Find den profitmaksimerende måde at sælge på, hvis hun ikke kan forhindre arbitrage 6.2 Opgave 2 16
Find de(n) underspilsperfekte ligevægt(e) i nedenstående spil o Spiller 1 / \ o o Spiller 2 / \ / \ 2 1 0 0 0 0 1 2 1. Find Nash ligevægten i følgende spil o Spiller 1 / \ o o Spiller 2 / \ / \ 2 1 0 0 0 0 1 2 Diskuter forskellen på de to foregående spil og forskellene i forudsigelse. Er der fornuftig økonomi og intuition i det. Find de underspilsperfekte ligevægte i følgende spil, samt Nash ligevægtene. 17
Diskutér forskellen. Hvad er "det rigtige" begreb o Spiller 1 / \ o o Spiller 2 / \ / \ 1 100 0 0 7 2 3 100 Igen find USPNLV og NL i de næste to spil. Diskutér forskel. o Spiller 1 / \ Spiller 3 o o Spiller 2 / \ / \ 3 2 0 2 3 2 1 2 0 3 1 4 18
Spiller 1 o 10 6 / \ Spiller 2 o o Spiller 2 / \ / \ 4 6 7 2 5 1 0 10 6.3 Opgave 3 DISCOUNT AIR is the only airline serving the route Copenhagen-Utopia. Currently the route yields an annual profit of 10 million EUR and this is also the estimate for the coming year. DISCOUNT AIR contemplates entering the potentially lucrative route Copenhagen-Atlantis. Currently, this route is only served by OLDSCHOOL AIR. This operation gives an annual profit to OLDSCHOOL AIR of 5 million EUR. If DISCOUNT AIR enters, its analysts haveestimatedthatitwillget50%marketshare,andthatitsannualprofit from the route will be 2 million EUR while OLDSCHOOL AIR s annual profit from the route will fall to 1 million EUR. OLDSCHOOL AIR has indicated, through the press, that if DISCOUNT AIR enters Copenhagen- Atlantis, OLDSCHOOL AIR will enter Copenhagen-Utopia. In this case, the analysts estimate that DISCOUNT AIR s annual profit from Copenhagen- Utopia will decrease to 5 million EUR, while OLDSCHOOL AIR s annual profit from the route will due to OLDSCHOOL AIR s burdensome coststructure be negative equal to minus 1 million EUR. 19
1. YouareaskedtoadvisetheboardofDISCOUNTAIRonwhetherit should enter the Copenhagen-Atlantis route or not. You know that the chairman of the board who is going to take the final decision - is only interested in annual profits one year ahead. What happens in the far future is beyond his date of retirement, so he couldn t care less. You got the feeling that the old guy has had a course in the past with some game theory. Rumor goes that he was very fond of this (probably it was Industriøkonomi, 3 år): He wants his advisors to carefully explain their suggestions and back them up by game theoretical analysis. So you better analyze the situation by using a little game theory. Which advice and analysis will you give to the chairman of the board? 6.4 Opgave 4 Betragt følgende normalformsspil: K C K (18, 18) (15, 20) C (20, 15) (16, 16) Spillet gentages tre gange: 1. Find alle SPE Spillet gentages nu istedet uendeligt mange gange. 2. Udled kravet på diskonteringsfaktoren for, at (K, K), (K, K), (K, K),... kan genereres som ligevægtssti, hvis (C, C), (C, C), (C, C),... benyttes som straffesti i forbindelse med en triggerstrategi. 20
3. Er dette en SPE i det uendeligt gentagne spil? 4. Fortolk resultatet i forhold til besvarelsen af opgave 2 i opgavesæt 4. (Hint: K står for "Kartel", og C står for "Cournot"). (For de avancerede): 5. Udled kravet på diskonteringsfaktoren for, at (K, C), (C, K), (K, C), (C, K),... kan generes som ligevægssti, når (C, C), (C, C), (C, C),... benyttes som straffesti i forbindelse med en triggerstrategi. Kommentér det fundne krav på diskonteringsfaktoren i forhold til løsningen af spm. 2 6.5 Opgave 5 Betragt et marked med n virksomheder, der alle har konstante marginalomkostninger c<anedenfor Virksomhederne sætter mængder - konkurrerer a la Cournot. Markedsprisen er bestemt ved p = a bq hvor Q = P n i=1 q i er den samlede produktion, q i er virksomhed i 0 s produktion og a, b > 0. 1. Find den symmetriske Cournot ligevægt. 2. Hvordan går det med prisen i Cournot ligevægten når vi hælder flere virksomheder ind i markedet, dvs når n vokser. Hvad sker der når n? 21
3. Nu gentager vi ovennævnte spil T< gange. Virksomhederne antages at være interesseret i den totale diskonterede profit. De har alle en diskonteringsfaktor, δ < 1. (og δ > 0). Find den underspilsperfekte Nash ligevægt. 4. Nu gentager vi spillet T = gange. Vis at hvis δ er tilstrækkeligt tæt på én, så findes der en underspilsperfekt Nashligevægt, hvor alle virksomhederne tjener en n te del af monopol-profitten. Find den laveste δ, δ min, for hvilket dette er muligt. 5. Hvordan går det med δ min når antallet af virksomheder n vokser? Kommenter resultatet. 22
7 OPGAVESÆT NR. 7 7.1 Opgave 1 En virksomhed er etableret på et marked overfor en potentiel entrant. Entranten har to muligheder entry eller ikke entry. Denne handling observeres af den etablerede virksomhed (incumbent), hvorefter denne bestemmer sig for en af to følgende strategier akkomoder eller priskrig. Hvis entrant bliver ude, får entrant 0 i payoff og incumbent 3. Givet entry kan 4 incumbent spille priskrig, hvorved begge spillere får -1 i payoff. Spillerin- cumbent akkomoder får hun 0 i payoff og entrant 1. 1. Opstil spillet på ekstensiv form. 2. Find NE 3. Find SPE Antag nu at der er tale om en kædebutik, denne er incumbent på n geografisk adskilte markeder og står overfor n potentielle entrants (en på hvert marked). De forskellige entrants beslutter sig for entry / ikke entry sekventielt (en ad gangen) og kan observere, hvad der er sket tidligere. Ellers er alt som ovenfor. 4. Antag n er endelig. Kan kædebutikken ved en aggresiv adfærd overfor tidligere entrants troværdigt afskrække senere entrants fra at komme ind på markederne? 7.2 Opgave 2 (Eksamensopgave januar 1995) Vi betragter et marked for et differentieret gode. Forbrugerne er jævnt (uniformt) fordelt over linjestykket [0; 1]. Der er ialt en forbruger. I hver ende 23
af linjestykket ligger en virksomhed (virksomhed 1 ligger i 0, virksomhed 2 liggeri1). Enforbrugerkøberentenénellernulenhederafvaren. Forbrugeren i punktet x har en indirekte nyttefunktion, s p 1 tx ved køb af til prisen p 1 fra virksomhed 1 U = s p 2 t(1 x) ved køb af til prisen p 2 fra virksomhed 1 0 hvis forbrugeren ikke køber hvor s>t>0. Virksomhederne vælger priser og har begge konstante marginalomkostninger,c.viantager,at s> 3 2 t + c, så i spørgsmål 1) og 2) er det i orden, hvis man stiltiende antager, at alle forbrugere køber. 1. Find efterspørgslen efter virksomhed 1 s vare som funktion af virksomhedens priser, p 1 og p 2. Find også efterspørgslen efter 2 s vare som funktion af p 1 og p 2. 2. Find Nash-ligevægten i priser. Kald profitten til en virksomhed i Nashligevægten for π n, og en virksomheds pris i Nash-ligevægten for p n. 3. Find de priser, der maksimerer den samlede profit påmarkedet. Kald denne profit den samlede monopolprofit, π m,prisenp m. 4. (Hvis du ikke kunne løse spm. 3), så antag blot i spm. 4) at π m /2 >π n, og p m >p n ) Antag nu, at virksomhederne står overfor på dette marked i uendeligt mange perioder. Virksomhederne er interesserede i summen af tilbagediskonteret profit. De har begge diskonteringsfaktoren δ, hvor0 <δ<1. Virksomhederne har ikke mulighed for at lave bindende kontrakter med hinanden. Er det muligt for virksomhederne, gennem tacit collusion, 24
at realisere den samlede monopolprofit, hvis diskonteringsfaktoren er tilstrækkelig høj, og hvis eventuelle trusler skal være troværdige? (Begrund svaret!) 5. Diskutér uformelt hvilke problemer stokastisk efterspørgsel og tidsforsinkelse i observation af modpartens handlinger kan give for karteldannelse. 25
8 OPGAVESÆT NR. 8 8.1 Opgave 1 Betragt følgende variant af Salops cirkulære by: Forbrugere er placeret uniformt på en cirkel med omkredsen 1. Tætheden af forbrugere er overalt 1. Forbrugerneønskerhveratkøbe1enhedafvarenogopnårdervedbruttonytten s, som indledningsvist antages tilstrækkelig stor til, at vi uden problemer kan antage, at alle forbrugere altid køber i de nedenstående ligevægte. Forbrugerne har kvadratiske transportomkostninger, 4, 8d 2,hvord er afstanden til den virksomhed, hvor forbrugeren køber. Virksomhederne, der har konstante marginalomkostninger, c =1, placerer sig altid således, at der er den samme afstand mellem to nabovirksomheder. 1. Antag at der er n>1 virksomheder på markedet. Find ligevægtsprisen som funktion af n. Virksomhederne antages at have entry omkostninger f =0, 1. 2. Find antallet af virksomheder i fri entry ligevægten. 3. Find det antal virksomheder, som en social planlægger ville ønske på markedet. 4. Find den (mindste) værdi af s, som sikrer, at alle forbrugere vil købe i spm.2og3). 8.2 Opgave 3 Antag i en given industri, at der er to virksomheder, hver med efterspørgselsfunktionen: D i =1 2p i + p j 26
Virksomhed 2 s (entrant) marginalomkostninger er lig 0. Virksomhed 1 s (incumbent) marginalomkostninger er initialt 1. Ved en investering 2 på I = 0, 205, kan incumbent købe ny teknologi og reducere sin marginalomkostninger til 0. Betragt følgende situation: Incumbent vælger, om hun vil investere; entrant observerer udfaldet af dette valg. Herefter konkurrerer virksomhederne i priser. 1. Vis, at i ligevægten vil incumbent ikke investere. 2. Vis, at hvis entrant ikke observerer incumbents valg, vil incumbent investere i ligevægten. Kommentér. 3. Forklar, hvorfor resultatet i spm. i) kan blive påvirket, hvis entrant skal betale en fast entry omkostning. Har det nogen betydning, om den potentielle entrant tager sin entry beslutning før eller efter incumbents investeringsbeslutning? (Bare argument - ingen udregninger) 27
9 Opgavesæt 9 9.1 Opgave 1 Betragt et marked med følgende efterspørgselsfunktion. D (p) =1 p Marginalomkostningerne i udgangspunktet er c = 1 2 En innovation kan bringe marginalomkostningerne ned på c = 1 4 Hvis der er flere virksomheder på dette marked har de samme margnialomkostninger i udgangspunktet c. Hvis en virksomhed innoverer, så kan den patentere innovationen og bliver den eneste virksomhed med marginalomkostninger c. 1. Er denne innovation drastisk i Tirole s forstand? 2. Find værdien af innovationen for (a) En monopolist, der er sikret mod entry (b) Socialplanlæggeren (c) En virksomhed, der er på et marked med Bertrand konkurrence 9.2 Opgave 2 Vi betragter et patent kapløb, som i Tirole kap 10.2.1, mellem en etableret monopolist og en potentiel entrant. Alle variable i denne opgave er som hos Tirole. Man kan altså finde definitioner mv der. 28
Antag, at monopolisten har en løbende profit påπ m ( c) =1 Hvis der kommer en innovation, er den drastisk, dvs efter innovationen vil den, der opnår patentet være monopolist. Den tilhørende profiterπ m (c) =2 Diskonteringsrenten er r =.1 Hvis der forskes med intensiteten x (og derfor har forskningsomkostninger x pr tidsenhed) er sandsynligheden for opdagelse i det lille tidsinterval dt lig h (x) dt, hvor h (x) = x x +1 Denne funktion gælder for begge virksomheder. Skitser den lige på et stykke papir. Er den konkav? Nedenfor er I velkomne til at bruge de formler, Tirole har udledt for jer, dvs udtrykkene for V 1 (x 1,x 2 ) og V 2 (x 1,x 2 ) som angivet på side 395. Men man må selvfø lgelig også gerne lige checke med sig selv om man har forstået udledningen. Udtrykkenebliverlidtgrimmeidenneopgave(beklager!),såbrugaf lommeregner osv er ok. 1. Med ovenstående h funktion og værdier for r, π m ( c) og π m (c) skal I nu finde udtrykkene for V 1 (x 1,x 2 ) og V 2 (x 1,x 2 ) 2. Find så virksomhedernes reaktionsfunktioner. (Bemærk, at I vil få løsninger til polynomier, kun en har positive værdier, den er relevant). 3. Skitser reaktionsfunktionerne, (udnyt evt en lommeregner). 4. Er der tale om strategiske substitutter eller komplementer? 5. Find Nash ligevægten i forskningsintensiteter. 6. Hvem er den sandsynlige første innovatør? 29
7. Hvordan hænger resultatet i f det sammen med den intuition Tirole omtaler? (Tænk i Efficiency Effect og Replacement effect). Kunne du have gættet det på forhånd? 10 Diverse gamle eksamensopgaver. 10.1 Opgave 1, 1997 II To virksomheder skal vælge produkt, og begge kan vælge mellem to produkter: L og R. Lad π i (s, k) være profitten til virksomhed i, hvis virksomhed 1 vælger produkt s, og virksomhed 2 vælger produkt k. Vælger begge samme produkt får de begge profitten nul, dvs. π i (L, L) =π i (R, R) =0, i =1, 2 (forestil dig, at de så, på Bertrandvis konkurrerer profitten væk). Vælger virksomhederne forskellige produkter, bliver profitterne følgende: π 1 (R, L) =π 2 (L, R) =2 og π 1 (L, R) =π 2 (R, L) =1. Virksomhedernes nytte er lineær i profitten, og al information er common knowledge. 1. Antag at virksomhederne vælger produkt samtidig. Illustrér denne situation dels som et spil på normal form og dels som et spil på ekstensiv form og find Nash ligevægten(e) i rene såvel som i blandede strategier. 2. Antag nu i stedet at virksomhed 1 vælger produkt først, og at virksomhed 2 observerer 1 s valg, inden 2 selv vælger produkt. Tegn spillet og find alle Nash-ligevægte i rene strategier. Find ligeledes alle underspilsperfekte Nash-ligevægte. 30
10.2 Opgave 2, 1997 II Betragt følgende 2-personers spil på normal form, G: L M R U (5, 5) ( 3, 6) 2 (0, 8) M (6, 3) 2 (1, 1 ) 2 2 (0, 3) D (8, 0) (3, 0) (1, 1) hvor payoffs er angivet i parentes med payoff til spiller 1 først. 1. Find Nash-ligevægten(e) i G og i det gentagne spil G(T ), hvorg gentages T< gange. 2. Antag at begge spillere diskonterer fremtidige payoffs med faktoren δ (0, 1) og definér G(,δ) som det uendeligt gentagne spil med G som grundspil. Antag at begge spillere anvender Trigger-strategier og angiv de diskonteringsfaktorer for hvilke hhv. (5, 5) og (6, 3 ) er mulige gennemsnitspayoff i en underspilsperfekt Nash-ligevægt i G(,δ). Beskriv 2 ligevægtsstrategierne og godtgør at ligevægten er underspilsperfekt. 3. Illustrér i et diagram mængden af mulige payoffs ig (vær præcis). Illustrér ligeledes i diagram mængden af payoffs ig, som kan fås som gennemsnitspayoffs i en underspilsperfekt Nash-ligevægt i G(,δ) for δ vilkårligt tæt på 1. (Hint: Brug Friedmann s Theorem.) 10.3 Opgave 2, 1998 I Betragt to forretninger, 1 og 2, som konkurrerer om forbrugernes gunst i en by. Byen er repræsenteret ved linjestykket fra 0 til 1 på den reelle akse. Byens forbrugere er uniformt fordelt langs byen og der er et kontinuum af dem normaliseret til 1. De to forretninger sælger det samme produkt, forretning 1sælgertilprisenp 1 og forretning 2 til prisen p 2 ; begge forretninger har 31
konstante marginale salgsomkostninger på c. Alle forbrugere efterspørger kun én enhed af varen. Forbrugerne har nytten S af varen og disnytten t gange den kvadrerede afstand af transport. Dvs., en forbruger med bopæl x [0, 1] har nytten S p t(a x) 2 af at handle med en forretning med placering a og pris p. Det kan i besvarelsen antages, at S er så stor, at alle i byen handler og ligeledes, at priserne aldrig er så forskellige, at en af forretningerne ikke har noget salg. Antag først, at virksomhed 1 s placering i byen er givet ved a = 0 og virksomhed 2 s placering er givet ved 1 b, hvorb = 0 og a<1 b. 1. Udled de to forretningers efterspørgsel, for givet lokalisering, som funktion af priserne p 1 og p 2. 2. Antag, at forretningerne konkurrerer på prisen og at de sætter priser samtidig. Find Nash-ligevægten i priser. Antag nu, at forretningerne også vælger deres placering i byen strategisk: Først vælger de samtidig hver deres placering i byen. Dernæst vælger de, givet disse placeringer, hver deres pris, ligeledes samtidig. 3. Vis, at forretningerne i Nash-ligevægten vælger placeringerne a =0og b =0, dvs., maksimal differentiering. 10.4 Opgave 3 1998 I Betragt en industri med to virksomheder, A og B. Virksomhederne producerer det samme homogene produkt under konstante marginale produktionsomkostninger c = 1. 4 Virksomhederne konkurrerer på mængden: Først beslutter virksomhed A, hvor meget den vil sende på markedet, q a. Virksomhed B observerer A s beslutning, hvorefter B vælger sin mængde q b. Når begge virksomheder har 32
produceret hver deres mængde, fastsættes prisen på markedet efter følgende inverse efterspørgselsfunktion: p(q) =1 q hvor q = q a + q b er det samlede udbud på markedet. 1. Opstil virksomhed A s profitfunktion, når A tager højde for virksomhed B s reaktion på sit (A s) udbud. 2. Find den underspilsperfekte Nash-ligevægt (også kaldet Stackelberg ligevægten) og angiv den profit, de to virksomheder opnår i ligevægten. Antag nu, at der er omkostninger forbundet med at etablere sig på markedet. Etableringsomkostningerne er en fast omkostning givet ved den kvadratiske funktion e 2. Antag videre, at virksomhed A allerede er etableret på markedet, mens B overvejer at etablere sig på markedet. Spillet afvikles nu som følger: Først beslutter virksomhed A hvor meget den vil sende på markedet, dvs. virksomhed A vælger q a.virksomhed B observerer A s beslutning, hvorefter B vælger at etablere sig på markedet og udbyde mængden q b eller ikke at etablere sig. 3. Opstil virksomhed B s profitfunktion. 4. Lad e = 1. Illustrér i et diagram virksomhed A s profitfunktion, når 10 A tager højde for virksomhed B s reaktion på sit (A s) udbud. 5. Find den underspilsperfekte Nash-ligevægt for alle e. 10.5 Opgave 1, 1998 II. Betragt en industri med to virksomheder. Virksomhederne producerer det samme homogene produkt under konstante marginalomkostninger c =2. 33
Virksomhederne konkurrerer på mængden: Først beslutter virksomhed 1, hvor meget den vil sende på markedet, q 1. Virksomhed 2 observerer 1 s beslutning, hvorefter 2 vælger sin mængde q 2. Når begge virksomheder har produceret hver deres mængde, fastsættes prisen på markedet efter følgende inverse efterspørgselsfunktion: p(q) =10 q hvor q = q 1 + q 2 er det samlede udbud på markedet. 1. Find den underspilsperfekte Nash-ligevægt (også kaldet Stackelberg ligevægten). Hvilken af de to virksomheder ville du helst eje? Begrund svaret. 2. Antag nu at virksomhed 2 vælger sin mængde uden at kende virksomhed 1 s valg (dette svarer til, at virksomhederne vælger mængder samtidig). Sammenlign de to virksomheders profitter i Nash-ligevægten i dette spil med profitterne i den underspilsperfekte Nash-ligevægt du fandt i spm. i)). 10.6 Opgave 2, 1998 II En monopolist producerer en homogen vare til et marked med to typer forbrugere, h og l. Monopolisten har konstante marginalomkostninger c = 1 og 4 ingen andre omkostninger. Der er et kontinuum af forbrugere normaliseret til 1, andelen af l-forbrugere er λ og andelen af h-forbrugere er 1 λ. Forbrugernes nytte, U i, ved handel afhænger af den købte mængde q, ogafden samlede betaling T, på følgende måde: U i (q, T) =θ i V (q) T, i = l, h. Den samlede betaling kan bestå dels af en fast afgift, A og dels af en stykpris, p, dvs.t = A + pq, hvora = 0,p= 0. Den faste afgift kan evt. afhænge af 34
forbrugerenes typer. Lad V (q) = 1 (1 q)2, 2 θ l = 1 2,ogθ h =1: 1. Udled efterspørgslen som funktion af stykprisen for hver af de to typer af forbrugere. Udled ligeledes den aggregerede efterspørgsel som funktion af prisen. 2. Angiv forbrugersurplus før betaling af evt. fast afgift (net consumer surplus) som funktion af stykprisen for hver af de to typer af forbrugere (hint: Udnyt eventuelt at efterspørgslen er lineær). Antag at monopolisten kan prisdiskriminere perfekt (1. grads prisdiskriminering) og angiv forbrug og betaling (A i,p) for de to typer forbrugere. 3. Antag at monopolisten ikke kan opkræve forskellige faste afgifter af forbrugerne (2. grads prisdiskriminering). Hvordan ser den optimale to-delte betaling (two-part tariff) ud, idet vi antager, at det er optimalt at sælge til begge typer af forbrugere? Sammenlign monopolistens profit hermedprofitten under spm. 2). 10.7 Opgave 3, 1998 II Betragt et marked med to virksomheder indekseret ved i = 1, 2. Virksomhederne producerer det samme homogene produkt under konstante marginalomkostninger c i, i =1, 2. Efterspørgslen på markedet er givet ved følgende efterspørgselsfunktion: D(p) =1 p 35
Virksomhederne konkurrerer på prisen. Virksomhederne sætter prisen samtidigt, hvorefter efterspørgslen efter virksomhed i s produktion bliver D i (p i,p j )= 1 p i hvis p i <p j 1 (1 p) hvis p 2 i = p j = p 0 hvis p i >p j 1. Angiv Nash-ligevægtspriser og -profitter når 1) c i = c j = 1 og 2) c 4 1 = 1 4 og c 2 = 1 3 Antag nu, at situationen overfor bliver gentaget i det uendelige og at begge virksomheder diskonterer fremtidige profitter med faktoren δ (0, 1) og lad c i = c j =0. 2. Angiv en underspilsperfekt Nash-ligevægt, som understøtter, at de to virksomheder tilsammen producerer monopolmængden i hver periode. Lad δ være den laveste værdi af δ, som muliggør dette. Udled δ. Antag nu at efterspørgslen varierer fra periode til periode, sådan at med sandsynligheden 1 er efterspørgslen på markedet: 2 D h (p) =2 p, og med sandsynligheden 1 2 er efterspørgslen: D l (p) =1 p, hvor h og l står for hhv. høj og lav. 3. Find en underspilsperfekt Nash-ligevægt, som understøtter, at de to virksomheder tilsammen producerer monopolmængden i hver periode, uanset om efterspørgslen er høj eller lav. Lad δ 0 være den laveste værdi af δ, der muliggør dette. Udled δ 0 og sammenlign med resultatet fra spm. 2. 36
4. Find den (symmetriske) underspilsperfekte Nash-ligevægt, som understøtter den højest forventede profit til virksomhederne når δ δ,δ 0. 5. Lad nu c ij være virksomhed i s marginalomkostninger, når efterspørgslen er j = l, h, og antag at c 1l = c 2l =0og c 1h = c 2h =1. Findenunderspilsperfekt Nash-ligevægt, som understøtter, at de to virksomheder tilsammen producerer monopolmængde i hver periode, uanset om efterspørgslen er høj eller lav. For hvilke værdier af δ er dette muligt? Kommentér. 10.8 Opgave 1, 1999 I Indtil for nylig var al telekommunikation monopoliseret i Danland; virksomheden TeleDanland stod for alle aktiviteter. Siden har virksomheden SonoFun etableret sig, så der nu er to konkurrerende udbydere på markedet. Virksomhederne er prissættere og de sætter priser samtidig, hvorefter efterspørgslen på markedet bestemmer, hvor meget de hver især omsætter. Efterspørgslen efter ydelser fra de to virksomheder vil typisk være forskellige. Efterspørgslen efter virksomhed i s ydelser q i, afhænger af begge virksomheders priser på følgende måde. q i (p i,p j )=a i p i + b i p j hvor i = t, s (som står for hhv. TeleDanland og SonoFun) og j 6= i. Vi antager for enkelthedens skyld, at virksomhederne ingen faste omkostninger har, og at de begge har konstante marginalomkostninger c. 1. Kommentér ovennævnte efterspørgselsfunktion. 2. Betragt følgende parameterværdier: a t =1,a s =0,b t = 1 2,b s =1og c = 1 4 og find Nash-ligevægten i priser, samt de tilhørende mængder. Kommentér resultatet og valget af parametre. 37
3. Som nævnt var TeleDanland alene på markedet, før SonoFun etablerede sig. Dengang var efterspørgslen efter TeleDanlands ydelser blot: q t (p t )= 3 4 p t Er TeleDanland ked af, at SonoFun har etableret sig i Danland? 4. Indtil nu har SonoFun ikke haft en særlig kundegruppe, som var loyal over for virksomheden. SonoFun overvejer nu via intensiv markedsføring at opbygge et loyalt kundegrundlag. Analyser denne situation ved hjælp af modellen oven for og svar på, om TeleDanland kan have noget imod SonoFuns initiativ. 10.9 Opgave 2, 1999 I Betragt en monopolist, der producerer et homogent produkt; monopolisten afsætter hele sin produktion (q) på et marked, hvor efterspørgslen (D) afhænger af prisen (p), på følgende måde: q = D(p) =p α hvor α>1. Monopolisten har konstante marginale produktionsomkostninger c, og der er ingen faste omkostninger. 1. Løs monopolistens problem! 2. Løs samfundsplanlæggerens problem og karakterisér forskellen i samfundsnytte (social welfare) mellem denne løsning og løsningen under monopol. Monopolisten overvejer, om han skal øge efterspørgslen ved at reklamere. Han er for nylig blevet bekendt med, hvorledes efterspørgslen efter hans produkt vil afhænge af en evt. reklameindsats. Lad s være det antal 38
kroner, monopolisten bruger på reklame; efterspørgslen er så beskrevet ved følgende situation: q = D(p, s) =p α s β hvor α som før er strengt større end 1, mens β blot er en positiv konstant. 3. Hvor stor en andel af omsætningen skal reklameudgifterne udgøre, hvis monopolisten ønsker at vælge pris og reklameindsats så han maksimerer sin profit? (Hint: vi er på jagt efter Dorfman-Steiner betingelsen som udledes fra de to førsteordensbetingelser for optimalt valg af hhv. pris og reklameindsats) 4. Er modellen ovenfor velegnet til at sige noget om samfundsnytten af reklamer? Her ønskes en kort diskussion. 10.10 Opgave 1, 1999 II Betragt en banksektor med 6 banker med navnene A, B, C, D, E og F. Bankerne har følgende markedsandele: A og B har hver 30%, C og D har hver 15% mens E og F hver har 5%. Myndighederne er på jagt efter nogle simple mål for graden af konkurrence på bankmarkedet. 1. Udregn Herfindahl-indekset og 5-virksomheds koncentrationsratioen for banksektoren. 2. Illustrér ved hjælp af en simpel moddel hvordan antallet af virksomheder (koncentrationen) kan tænkes at påvirke pris, mængde og profit på markedet. (Hint: Brug evt. Cournot modellen med n virksomheder og lineær efterspørgsel) 3. Illustrér med en model hvordan Herfindahl-indekset kan være relateret til profitabilitet og mark-up på et oligopol marked 39
4. Er koncentrationsmål nyttige for myndigheder, som ønsker at regulere markedet? 5. Her ønskes en kort diskussion. 10.11 Opgave 2, 1999 II Antag, at produktionsstrukturen på et marked er sådan, at virksomheden må installere et helt antal fabrikker, 0, 1, 2,..., n, som alle er ens. Omkostningen ved at bygge en fabrik er 2, 5 (dvs., en virksomhed, der bygger n fabrikker, har byggeomkostninger 2, 5 n). Hver fabrik producerer én enhed output. Dereringenvariable omkostninger forbundet med selve produktionen. Markedet er karakteriseret ved den omvendte efterspørgselsfunktion: P (K) =5 K hvor K er markedets samlede kapacitet målt i antal installerede fabrikker. 1. Hvor mange fabrikker vil en monopolist bygge? Betragt nu en situation, hvor to duopolister samtidigt vælger, hvor mange fabrikker de vil bygge. Lad K 1 og K 2 være antallet af fabrikker, som henholdvis virksomhed 1 og 2 bygger, og lad K = K 1 + K 2 være den samlede kapacitet på markedet. 2. Hvor mange fabrikker vil virksomhederne bygge i Cournot-ligevægten? Antag nu, at virksomhed 1 kan bygge sine fabrikker før virksomhed 2, og at virksomhed 2 vil observere hvor mange fabrikker, virksomhed 1 bygger, før virksomhed 2 træffer sin investeringsbeslutning. 3. Hvor mange fabrikker vil henholdsvis virksomhed 1 og virksomhed 2 bygge i denne situation? Betragt nu en tilsvarende model, hvor virksomhederne kan installere kapacitet kontinuert, dvs. vælge enhver værdi K = 0. Dergælder 40
den samme marginale installationsomkostning, mens virksomhederne nu desuden har en fast omkostning på F ved at gå ind på markedet. Antag, at situationen er som ovenfor, hvor virksomhed 1 først installerer sin kapacitet, virksomhed 2 observerer 1 s valg, hvorefter virksomhed 2 vælger, om den vil gå ind på markedet. 4. Hvor stor skal F (mindst) være for, at der er tale om blokeret entry, altså at virksomhed 1 kan opføre sig, som om der ingen entry trussel er? 41
10.12 Eksamensopgave 2002I INDUSTRIØKONOMI, 3ÅR EKSAMEN, FORÅR 2002 UDEN HJÆLPEMIDLER ALLE SPØRGSMÅL BEDES BESVARET. Ved bedømmelsen tillægges opgave 1: 30%, opgave 2: 20% og opgave 3: 50% 1. (a) I en nylig afgørelse fra konkurrencestyrelsen, hvor Danish Crown og Steff-Houlberg fik lov til at fusionere, kan man i et appendix finde et estimat for priselasticiteten i efterspørgslen efter fersk svinekød på 3. Antag, at den fusionerede virksomhed i realiteten vil have monopol på markedet for fersk svinekød (hvilket er lidt af en tilsnigelse). Hvor stor mark-up vil den fusionerede virksomhed have efter fusionen? Svaret skal begrundes med udledning af den relevante formel. (En lille hjælp: i udledningen kaldes efterspørgselselasticiteten ε (p) D0 (p)p, sæt værdien 3 ind til D(p) sidst). (b) Antag nu, at de to virksomheder konkurrerede på Cournot-vis inden fusionen. Antag også, at begge virksomheder havde de samme konstante marginalomkostninger, c > 0. Hvor stor var mark-uppen så inden fusionen? (En lille teknisk detalje: Husk at hvis Q = D (p), så er den inverse efterspørgsel givet ved p = p (Q). Dergælderogså,at ε (p) = D0 (p) p D (p) = D p p D = p p D = D p (Q) p 0 (Q) Q ) (c) Diskutér de samfundsmæssige aspekter af en sådan fusion. 2.. 42
(a) Betragt spillet i figur 1. Find Nash - ligevægten(e). (b) Find den underspilsperfekte Nash-ligevægt (c) Hvorfor er underspilsperfekt ligevægt det rigtige løsningsbegreb i sådant et spil? 3. Betragt Hotellings by. Forbrugerne er uniformt lokaliseret på liniestykket [0,1]. Der er to virksomheder. Den ene er lokaliseret i 0, den anden i 1. En forbruger køber enten nul eller en enhed af én af virksomhedernes produkt. Forbrugeren lokaliseret i x får nytten u tx 2 p 0 ved køb af en enhed fra virksomhed 0. Her er u>0, t>0 (som vi kalder transportomkostningen) og p 0 den pris virksomhed 0 sætter. Vi antager i det følgende at t<u.nytten ved køb fra virksomhed 1 er tilsvarende u t (1 x) 2 p 1 (a) Diskutér hvordan modellen kan fortolkes. (b) Givet virksomhederne har sat priserne p 0,p 1, find efterspørgslen efter hver virksomheds produkter. (c) Antag at virksomhederne har hver sin ejer, de har begge konstante marginalomkostninger c<u t, og de sætter priser. Find Nashligevægten i priser og den tilhørende profit til hver virksomhed. (d)antagnu,atdetovirksomhederharsammeejer,dersøgerat maksimere den samlede profit - som vi kalder monopolprofitten. Find den optimale monopolpris og profit. (e) Nu antager vi igen, at virksomhederne har hver sin ejer. Antag også, at der er uendeligt mange perioder n =0, 1,...,. Ihver 43
periode er situationen som beskrevet ovenfor. Virksomhederne er interesseret i summen af tilbagediskonteret profit X δ n π in, n=0 hvor δ, 0 <δ<1, er diskonteringsfaktoren og π in er profitten til virksomhed i iperioden. Vis, at hvis δ er høj nok, så er der en underspilsperfekt Nashligevægt til det uendeligt gentagne spil, hvor virksomhederne hver tjener halvdelen af den maksimale monopolprofit i hver periode. (f) Den svære: Diskutér hvorledes kravet til diskonteringsfaktoren ændres (hvis det skal være muligt at realisere den maksimale monopolprofit ihverperiode),hvis u er en stokastisk variabel, der er uafhængigt fordelt over tiden og i hver periode antager værdien u l med sandsynlighed 1 og værdien u 2 h med sandsynligheden 1, hvor u 2 l <u h. Det antages, virksomhederne kan observere realiseringen af u ihverperiode inden de vælger priser. Hvorledes ser den bedst mulige (symmetriske) ligevægt ud, hvis diskonteringsfaktoren er så lav, at monopolprofitten ikke kan realiseres i en underspilsperfekt Nash ligevægt? 44
10.13 Eksamensopgave 2003I INDUSTRIØKONOMI, 3ÅR EKSAMEN, JANUAR 2003 UDEN HJÆLPEMIDLER ALLE SPØRGSMÅL BEDES BESVARET. Ved bedømmelsen tillægges opgave 1: 30%, opgave 2: 30% og opgave 3: 40% 1. (a) Der ønskes en diskussion af det dobbelte marginaliseringsproblem (b) Hvilke vertikale restriktioner kan afhjælpe det dobbelte marginaliseringsproblem? (c) I Danmark er bindende videresalgspriser forbudt. Diskutér denne bestemmelse. 2.. (a) Forklar, hvorfor et marked med asymmetrisk information om en vares kvalitet (f.eks. et brugtbilsmarked) kan bryde sammen. (b) Diskutér, hvorledes problemet diskuteret i 2.a. kan afhjælpes af diverse foranstaltninger. 3. Betragtetmarkedmedtrevirksomheder,derproducererdetsammehomogene gode. Alle virksomheder har konstante marginalomkostninger, c. Efterspørgslen på markedet er givet ved den inverse efterspørgselsfunktion p = a bq hvor p er markedsprisen og a og b er postive konstanter, a>c. (a) Find den symmetriske Cournot-ligevægt 45
(b) Nu fusionerer virksomhed 1 og 2. På grund af synergier formindskes den fusionerede virksomheds marginalomkostninger med c. Der er derfor nu to virksomheder på markedet, den fusionerede med marginalomkostninger c c og virksomhed 3, der stadig har marginalomkostninger c. Find Cournot-ligevægten. Hvor stor skal synergi-effekten c være for at fusionen er profitabel? (c) Er fusionen mellem virksomhed 1 og 2 profitabel for virksomhed 3? Hvis det kun er tilfældet under visse betingelser, så angiv dem/n. (d) Udled betingelsen under hvilken fusionen er en fordel for forbrugerne. (e) Diskutér mere bredt samfundsmæssige fordele og ulemper ved fusioner. 46