Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen Antagelser for den smple lneære regressonsmodel: SLR Statstske egenskaber: Mddelret estmaton KM: F5 KM: F5
Egenskaber ved OLS Egenskaber ved OLS (fortsat) Den afhængge varabel y dekomponeres to komponenter: Forudsagte værd: y ˆ ˆ ˆ = β0 + βx + Resdualet: uˆ = Faktsk observaton: y Postve resdualer: Modellens forudsagte værd for observaton lgger under den faktske observaton af y Negatve resdualer: Modellens forudsagte værd for observaton lgger over den faktske observaton af y Bemærk: Resdual og fejlled er to forskellge tng. Den totale varaton kan også dekomponeres to dele: SST=SSE+SSR Total sum of squares Explaned sum of squares Resdual sum of squares n SST = ( y y) = n SSE = ( yˆ y) = n SSR = uˆ = KM: F5 3 KM: F5 4
Egenskaber ved OLS (fortsat) Goodness of ft: På baggrund af varansanalysen kan man defnere et mål, determnatonskoeffcenten R : SSE SSR R = = SST SST Mål for, hvor meget af varatonen, modellen (den forklarende varabel) forklarer. Hvlke værder kan R antage? Hvad kan R bruges tl? Funktonel form Ikke altd rmelgt at antage en lneær relaton mellem varablerne Nemt at lade kke-lneære transformatonener af varablerne ndgå (så længe modellen stadg er lneær parametrene) g( y) = β0 + βf( x) + u Man skal dog være opmærksom på, at fortolknngen af parametrene ændrer sg! KM: F5 5 KM: F5 6 3
Funktonel form (fortsat) Funktonel form (fortsat) I eksemplet med tmelønnen benytter man ofte følgende model log( tmelon) = β0 + β( uddaar) + u Fortolknngen af parameteren β : Den relatve ændrng lønnen ved ét års ekstra uddannelse (gvet alt-andet-lge betngelser) 00β er approxmatvt det procentvse afkast af et års mere uddannelse Samme afkast uanset uddannelsesnveau! Model Lneær Log-ln Ln-log Log-lneær Afhængg varabel y log(y) y log(y) Forklarende varabel x x log(x) Log(x) Hældnng β y x y y x x y x x y y x Elastctet y mht. x x β y β β x y β KM: F5 7 KM: F5 8 4
6 4 Funktonel form (fortsat) y=0.*x y=0.*log(x) log(y)=0.*x log(y)=0.*log(x) Funktonel form (fortsat) Defntonen på den lneære regressonsmodel er at modellen er lneær parametrene kke nødvendgvs varablerne. Er følgende modeller lneære regressonsmodeller? β y = β x + u y ( ) = β0 + β x + u Y = AL β U 0 0 0 5 0 x Kan de gøres lneære? KM: F5 9 KM: F5 0 5
Hvornår er OLS mddelret? Defnton (se appendx C. sde 766-67) Se på en gven estmator ( regneregel ) b En estmator b af β er mddelret (unbased) hvs Eb ( ) = β for alle værder af β Mddelret er en statstsk egenskab ved estmatoren Hvorfor er det vgtgt at estmatoren er mddelret? Mddelret.. (fortsat) Antagelser: SLR. (lneær parametrene): y = β0 + βx+ u Den afhængge varabel y kan beskrves ved følgende model: SLR. (tlfældg stkprøve): V har en tlfældg stkprøve (y,x ) =,..,n fra populatonen SLR.3 (varaton x): I data må kke alle x erne være lg den samme værd. SLR.4 (betnget mddelværd af fejlled): Eu ( x ) = 0 KM: F5 KM: F5 6
Mddelret.. (fortsat) Teorem. (OLS er mddelret) Under betngelserne SLR.-SLR.4 er OLSestmatoren mddelret: E( ˆ β ) = β E( ˆ β ) = β 0 0 Bevs for teorem. (tavlegennemgang) NB er fra denne forelæsnng Mddelret estmaton betyder kke, at det konkret beregnede estmatet vl være lg den sande værd (kun at mddelværden af estmatoren er lg den sande værd). SLR.-4 er nødvendge og tlstrækkelge for mddelret estmaton: Antagelse omkrng varansen på fejlleddet er kke nødvendg; Nogen bestemt fordelng, fx normaltet, er heller kke krævet. KM: F5 3 KM: F5 4 7
Næste gang Onsdag om resten af W. Mere om statstske egenskaber: Varansen på OLS estmatoren Homoskedastctet vs. heteroskedastctet Estmaton af varansen på OLS estmatoren Regressonslne gennem orgo. KM: F5 5 8