Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet Stabilitet for logistisk ligning Stabilitet for Lotka-Voltera sstem Definition 18.1 Lad I, J være åbne intervaller og F (x, ) : I J R en reel funktion. En løsning til differentialligningen = F (x, ) er en differentiabel funktion (x) : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver (x) = F (x, (x)), x I Calculus 2-2006 Uge 49.2-1 Calculus 2-2006 Uge 49.2-2 Eksistens og entdighed Eksistens og entdighed Sætning 18.2 Antag at F (x, ) er kontinuert og F (x, ) eksisterer og er kontinuert i I J. For et givet (x 0, 0 ) I J findes entdigt bestemt et maximalt delinterval I I og en differentiabel funktion (x) : I J, som er en løsning til differentialligningen og opflder = F (x, ) (x 0 ) = 0 Bemærkning 18.3 Den udvidede ligning = F (x, ), (x 0) = 0 kaldes et begndelsesværdiproblem. Eksistens- og entdighedssætningen for begndelsesværdiproblemer har en naturlig og vigtig udvidelse til differentialligningssstemer. Calculus 2-2006 Uge 49.2-3 Calculus 2-2006 Uge 49.2-4 Ingen explicitte løsninger Exponentialfunktionen 18.4 Differentialligningen = x3 + e x har løsningskurver igennem ethvert (x 0, 0 ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart urkkes ved kene elementære funktioner. 18.5 Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er eksponentialfunktionen =, (0) = 1 (x) = e x Calculus 2-2006 Uge 49.2-5 Calculus 2-2006 Uge 49.2-6 Elementære funktioner Eksponential af matrix 18.8 Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er de trigonometriske funktioner 1 = 2 = (0) = 1, (0) = 0 (x) = cos x (x) = sin x 18.9 Lad A være en n n-matrix og lad Y(x) være en n n-matrix af funktioner. Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er en n n-matrix af funktioner dy = AY Y(0) = I n Y(x) = exp(ax) som kaldes eksponentialet. Calculus 2-2006 Uge 49.2-7 Calculus 2-2006 Uge 49.2-8
Eksponential af matrix Eksponential af matrix 18.9 - fortsat Hvis Λ er diagonalmatricen med indgange λ 1,..., λ n, så er exp(λ) diagonalmatricen med indgange e λ1x,..., e λnx. Hvis U diagonaliserer A, A = UΛU 1. Så kan eksponentialet beregnes ved Der gælder loven exp(ax) = U exp(λx)u 1 exp(ax 1 + Ax 2 ) = exp(ax 1 ) exp(ax 2 ) ( 18.10 ) ( ) 1 x Lad A =. Så er eksponentialet exp(ax) =. 0 0 LØSNING. Differentialligningssstemet er: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 = = 1 2 0 2 0 0 samt betingelsen ( ) 1 (0) 2 (0) 1 (0) 2 (0) ( ) 1 0 = Hvilket giver 1 (x) = 0, 2 (x) = 1, 1 (x) = 1, 2 (x) = x. Calculus 2-2006 Uge 49.2-9 Calculus 2-2006 Uge 49.2-10 løsning [S] 7.2 Direction fields... ; [LA] 18 Generel diff... Logistisk ligning grafisk 1 - Retningsfelt = x3 + e x 1 x For den logistiske ligning ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstkker. I et givet punkt (t 1, 1 ) vil en tangent have ligning = 1 + 0.08 1 (1 1 )(t t 1) Calculus 2-2006 Uge 49.2-11 Calculus 2-2006 Uge 49.2-12 løsning Logistisk ligning - Retningsfelt 2 For det logistiske begndelsesværdiproblem ), (0) = 100 00 t prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. I et givet punkt ( n, t n ) vil differentialet være og = 0.08 n (1 n ) n + 0.08 n (1 n )(t t n) Calculus 2-2006 Uge 49.2-13 Calculus 2-2006 Uge 49.2-14 Tabellæg løsning til For Lotka-Volterra sstemet ), (0) = 100 n t n n 1 10.72.0 2 20.0 285.9 3 30.0 449.3 4 40.0 647.2 5 50.0 829.9 n t n n 6 60.0 942.8 7 70.0 985.9 8 80.0 997.0 9 90.0 999.4 100.0 999.9 = kr arw = rw + brw er hastighedsfeltet i RW -planen givet ved vektorerne (, ) = (kr arw, rw + brw ) Calculus 2-2006 Uge 49.2-15 Calculus 2-2006 Uge 49.2-16
1 For Lotka-Volterra sstemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = 0.00002 = 0.08R 0.001RW = 0.02W + 0.00002RW tegnes hastighedsfeltet i RW -planen. 1 - figur W 100 000 Hastighedsfeltet R Calculus 2-2006 Uge 49.2-17 Calculus 2-2006 Uge 49.2-18 1 - For Lotka-Volterra sstemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = 0.00002 = 0.08R 0.001RW = 0.02W + 0.00002RW prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. I et givet punkt (R n, W n ) vil differentialet være = (0.08R n 0.001R n W n ) = ( 0.02W n + 0.00002R n W n ) 1 - Tabellæg løsning til R = og W = 75 månedsvis: 000 75 1 1005 75 2 1010 75 3 1015 75 4 1020 75 5 1025 75 6 1030 75 7 1035 75 8 1040 75 9 1045 75 1050 75 11 1055 75 12 1060 75 13 1065 76 14 1069 76 15 1074 76 16 1079 76 17 1083 76 18 1087 76 19 1091 76 2095 76 Calculus 2-2006 Uge 49.2-19 Calculus 2-2006 Uge 49.2-20 Vi viser nu hastighedsfelter for forskellige lineære sstemer. figur 1 To positive egenværdier figur 2 En positiv og en negativ egenværdi figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 figur 4 Ingen reelle egenværdier Figur 1 To positive egenværdier Calculus 2-2006 Uge 49.2-21 Calculus 2-2006 Uge 49.2-22 Figur 2 En positiv og en negativ egenværdi Figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 Calculus 2-2006 Uge 49.2-23 Calculus 2-2006 Uge 49.2-24
Autonom ligning Figur 4 Ingen reelle egenværdier Definition 19.1 En differentialligning = F () kaldes et autonom sstem. En konstant løsning (x) = b, F (b) = 0 kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning (x) som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for x gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsstemer. Calculus 2-2006 Uge 49.2-25 Calculus 2-2006 Uge 49.2-26 Ligevægt 19.2 Den autonome ligning Bemærkning 19.3 For en ligevægt (x) = b, F (b) = 0 for det autonome sstem = a + b, a 0 har ligevægtsløsningen (x) = b a Der gælder: a < 0: stabil ligevægt a > 0: ustabil ligevægt FASEDIAGRAM = a + b gælder F (b) < 0: Stabil ligevægt. F (b) > 0: Ustabil ligevægt. F (b) = 0: Ingen konklusion. = F () Calculus 2-2006 Uge 49.2-27 Calculus 2-2006 Uge 49.2-28 Bemærkning 19.3 - figur Bemærkning 19.4 I en omegn af en ligevægt (x) = b, F (b) = 0 kan det autonome begndelsesværdiproblem = F (), (x 0) = b + ɛ tilnærmes med den lineære ligning Fasediagram = F () hvor (x) b + z(x). dz = F (b)z, z(x 0 ) = ɛ Calculus 2-2006 Uge 49.2-29 Calculus 2-2006 Uge 49.2-30 Logistisk stabilitet Logistisk stabilitet 19.6 Den logistiske ligning 19.6 - figur har ligevægts løsninger = k (1 K ) (t) = 0, (t) = K og F ( ) = 2k K + k F (0) = k > 0: 0 Ustabil ligevægt. F (K) = k: K Stabil ligevægt. Fasediagram = k (1 K ) Calculus 2-2006 Uge 49.2-31 Calculus 2-2006 Uge 49.2-32
Lotka-Volterra stabilitet Lotka-Volterra stabilitet 19.7 For Lotka-Volterra sstemet, a, b, k, r > 0, er der to ligevægtsløsninger = kr arw = rw + brw 19.7 - fortsat I (R, W ) = (0, 0) er den lineære approximation som giver en ustabil ligevægt. = kr = rw (R, W ) = (0, 0), (R, W ) = (r/b, k/a) Calculus 2-2006 Uge 49.2-33 Calculus 2-2006 Uge 49.2-34 Lotka-Volterra stabilitet 19.7 - fortsat I (R, W ) = (r/b, k/a) er den lineære approximation for ( R, W ) = (R r/b, W k/a) d R = ar b W d W = bk a R som har en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne t (R(t), W (t)) for det oprindelig sstem er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cklisk udvikling i modellen. 1 - figur W 100 000 Hastighedsfeltet R Calculus 2-2006 Uge 49.2-35 Calculus 2-2006 Uge 49.2-36