Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen i udtryk (4.4) er det nødendigt at bestee de tilladte energinieauer ed tilhørende degenerationsgrader. De enatoige ideale gasolekyler er begrænset til at beæge sig inde i beholderen, hor de til gengæld kan beæge sig frit, så de tilladte energinieauer er løsningerne til partikel-i-en-kasse -probleet, så ifølge KM opg. E haes ed hor n hn ε = 8V, (5.1) n = n + ny + n z, (5.) er et udtryk for antallet af knudepunkter på -aksen for den pågældende bølgefunktion, og tilsarende for ny og nz. En tilstand er således kendetegnet ed kantetallene n, ny, n z, og udtryk (5.) udtrykker dered degenerationen i systeet. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side af 11 Tilstandene er i den iste figur afbilledet i tilstandsruet ( n-ru ), idet her prik sarer til et sæt kantetal ( n, ny, n z) og dered til en kantetilstand. Jf. udtryk (5.) er energien af en tilstand giet ed afstanden n fra tilstanden ind til origo, sarende til at tilstandene ed energien ε ligger på en kugleoerflade ed radius n i første oktant. For akroskopisk V er antallet af gasolekyler, og dered antallet af besatte tilstande, så stort 1, at tilstandene i figuren ligger så tæt, at de udgør et kasikontinuu. Da Wigner-Seitz-cellen hørende til her tilstand netop har rufanget 1, er antallet af tilstande elle dg ed n og n n n ; n + dn + dn (skraeret oråde) : giet ed rufanget af kugleskallen ed radius dg 1 = 4 π n dn 8 π = ndn. (5.) 1 Se SM1 fodnote 1. Wigner-Seitz-cellen for en tilstand består af alle punkter i ruet, der ligger tættere på den pågældende tilstand end på alle andre tilstande. 4 4 4 4 dv = π( n + dn ) πn = π( n + n dn + n dn + dn ) πn = 4πn dn, idet der regnes til laeste orden forskellig fra nul, f. SM fodnote 5. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side af 11 dg er således antallet af tilstande ed ε ε ; ε + d ε og dered den kasikontinuerte pendant til degenerationsgraden (5.) i udtryk (4.4) fås g, så ed indsættelse af udtryk (5.1) og ε h n kt π 8 V kt 0 Z = e dg = n e dn, (5.4) idet tilstandssuen således er tilnæret ed et integral i dette kasi-kontinuerte regie 4. So det ises i en opgae, fører ealuering af integralet i udtryk (5.4) til Z ( 8k T ) 1 π 6 4 4h π = = h 8V kt π V : π kt Z = h / V, (5.5) og tilstandssuen ses således at afhænge af T og den ekstensie tilstandsariabel V. Det kan ises, at N g er eget lille ed alle andre teperaturer end teperaturer så lae 5, at en gas ille ære fortættet til æske. Dered er det i dette tilfælde uligt at anende den klassiske statistik. 4 Sarende til at der i en is forstand ses bort fra kantiseringen af energinieauerne. 5 Ved eget lae teperaturer il partiklerne ophobe sig i de laeste energitilstande. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 4 af 11 Ifølge udtryk (5.5) er π kt ln Z = ln + lnv, (5.6) h og gastrykket er dered ifølge udtryk (4.0) giet ed der genkendes so idealgasligningen. ln Z P = NkT V NkT =, V T (5.7) Ifølge udtryk (4.8) og (5.6) er 6 ln Z 1 Eint = NkT = NkT T T V = NkT = nrt, der genkendes so den indre energi af en enatoig ideal gas ed tre frihedsgrader 7. (5.8) Tilsarende haes ifølge opg. E: c V 1 E int = n T V = R. (5.9) 6 eærk, at ln og ln k = ln k + ln kun adskiller sig ed en konstant og dered har sae afledede. 7 For en fleratoig gas ed rotatoriske og ibratoriske frihedsgrader er energien ikke blot giet ed de translatoriske energinieauer i udtryk (5.1). Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 5 af 11 Ifølge udtryk (4.9), (5.5) og (5.8) er ( π k T ) / V S = Nk ln ln N 1 nr h + + : S ( π k T ) / V 5 +, (5.10) = Nk ln Nh eller alternatit ha. udtryk (5.9): ( π ) / k 5 ln s= R + lnt + lnv + Nh ( π k ) / 5 s= cv lnt + RlnV + R ln + Nh, (5.11) der er i oerenssteelse ed idealgas-udtrykket der indgik i løsningen af opg. C og D. T V s = cv ln Rln 0 T + + V s, (5.1) 0 0 eærk i den forbindelse, at udtryk (5.11), der er baseret på statistisk terodynaik, gier et absolut udtryk for entropien, horiod det rent terodynaiske udtryk (5.1) udelukkende angier tilæksten i entropien i forhold til en referencetilstand, efterso udtryk (1.) i odsætning til udtryk (1.15) angier en absolut ærdi for entropien. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 6 af 11 Fordelingen af olekylære farter Saenhængen elle de translatoriske energinieauer i udtryk (5.1) og farten af en partikel, der befinder sig i det pågældende energinieau, er sådan at hn 1 ε = 8 =, (5.1) V og n dn = 4V, h (5.14) = 4V d. h (5.15) Udtryk (5.) kan dered skries π 4V 4V dg = d : h h dg 4π V d =. (5.16) h Middelbesættelsestallet N s kasi-kontinuerte pendant er antallet af partikler, der i iddel er kendetegnet ed ε ε ; ε + d ε sarende til n ; eller n n + dn ; + d. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 7 af 11 Ved indsættelse af udtryk (5.5), (5.1) og (5.16) i udtryk (4.6) fås dered flg. udtryk for det antal gasolekyler, der i iddel har en fart elle og + d: N N d= π kt h 4π V / d V h e 1 kt : Der gælder nødendigis, at N d= 4N π kt / e kt d. (5.17) sarende til at 1 f N N = : 0 N d= N, (5.18) 4 / f = e π kt kt (5.19) er den norerede tæthedsfunktion for ideale gasolekylers fartfordeling ed teperaturen T. 8 His gasolekylernes hastighedsektorer til et giet tidspunkt afsættes i sae origo, udgør de punkter, so hastighedsektorerne definerer, gasolekylernes hastighedsfordeling i -ru. I den forbindelse er N d således det antal punkter, der i iddel befinder sig i en kugleskal ed radius elle og + d. 8 eærk, at udtryk (5.19) er udledt på baggrund af de translatoriske energinieauer i udtryk (5.1) og dered ikke er begrænset til enatoige gasser. For ideale gasolekyler ed en gien asse afhænger fartfordelingen således udelukkende af teperaturen, en den f energi E = nrt, det kræer at opnå denne teperatur, okser ed antallet af frihedsgrader. int Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 8 af 11 På en graf oer N( ) sarer dette til arealet under kuren fra til + d. eærk i ørigt, hordan grafen for N( ) er frekoet so produktet af N k K og e k. e K N( ) So det ises i opgae 1-7, er den est sandsynlige fart kt =, (5.0) og fartfordelingen rykker dered (so forentet) od større farter for øget teperatur, idet arealet under kuren ifølge udtryk (5.18) forblier konstant lig N. So det endidere ises i en opgae, er N( ) T T 9T 8kT = =, (5.1) π π rs kt = = =. (5.) Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 9 af 11 Fordelingen af olekylære hastigheder Da kugleskallen ed radius elle og af hastighedsektorer giet ed og da ρ = N d 4π d = N π kt + d har rufanget / e k T, 4π d, er tætheden (5.) er ρ ddydz = N, (5.4) / kt f = e (5.5) π kt således den norerede tæthedsfunktion for ideale gasolekylers hastighedsfordeling ed teperaturen T. Udtryk (5.5) er således en eksponentielt aftagende funktion ed sae for so den på s. 8 iste funktion e k. At tæthedsfunktionen kun afhænger af er således et udtryk for isotropi 9. 9 Gasolekylerne foretrækker farter okring, en har ingen foretrukne retninger for deres beægelse. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 10 af 11 Ved saenligning af fart- og hastighedsfordelingerne i udtryk (6.19) og (5.5) ses, at fartfordelingen er produktet af hastighedsfordelingen og kugleoerfladen f 4π 4π : 10 f =. (5.6) Andelen af hastighedsektorer ed koposanter [ ; +d ] y y; y + d y og z [ z; z + dz ] er giet ed d d f y z, d, (5.7) og tæthedsfunktionen for f.eks. -koposanten af hastigheden fås således ed at integrere udtryk (5.7) oer alle y- og z-koposanter: f / ( y z ) + kt kt d = d d d e d d = e d π kt f y z y z π r r kt 1 kt kt = K e rdrdθ e d = K π e d r e 0 0 0 kt K r kt kt kt kt Kπ kt = Kπ e e d = e d = e π k T d : f 0 ( ) k T kt = e. (5.8) π kt d 10 Hastighedsfordelingen aftager ed, horiod kugleoerfladen okser, og er den fart, for hilken dette produkt er aksialt, sarende til at er radius af den kugleskal i -ru, der indeholder flest partikler for en gien tykkelse d. eærk, at denne kugleskal ikke er den ed den største tilstandstæthed, efterso denne ifølge udtryk (5.5) er størst i origo. Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009
Statistisk ekanik 5 Side 11 af 11 Hastighedskoposanterne ses således at følge en Gaussisk fordeling 11 kt 1 (noralfordeling) ed iddelærdi = 0 og spredning σ = =. 1 Saenligning af udtryk (5.5) og (5.8) iser, at ( ) = ( ) ( ) f f f f y y z sarende til at de tre frihedsgrader er uafhængige af hinanden., (5.9) z 11 eærk, at i odsætning til 0. 1 En noralfordeling er giet ed ( ) σ 1 f = e. πσ Thoas. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 06/10/009