RESEARCH PAPER Nr. 7, 23 Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd af Jørgen Ka Olsen INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-2 FREDERIKSBERG TEL: 45 38 5 2 FAX NO: 45 38 5 2
Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd Jørgen Ka Olsen Insttut for Afsætnngsøkonom Handelshøjskolen København 23 2
Indholdsfortegnelse Sde. Indlednng 3 2. Logtmodellerne under homogen og heterogen forbrugeradfærd 5 3. Prsotmerng logtmodellen under homogen forbrugeradfærd 7 4. Prsotmerng logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd 4 5. Et eksemel å rsotmerng de to logtmodeller 7 6. Konsekvenserne for vrksomhedens loyaltetsoltk 23 7. Konkluson 34 Ltteraturfortegnelse 35 3
. Indlednng I den afsætnngsøkonomske teor er to af de vgtgste nteressevarable eller resonsvarable vrksomhedens afsætnng af et gvet mærke og vrksomhedens markedsandel for mærket. Endvdere er en af de vgtgste styrngsvarable eller handlngsarametre den rs, som vrksomheden fastsætter for st mærke. Det er derfor kke underlgt, at der den afsætnngsøkonomske ltteratur er ostllet en lang række kvanttatve modeller for en vrksomheds afsætnng og markedsandel, hvor varens rs ndgår som forklarende varabel. Se fx Llen, Kotler og Moorthy 992 katel 4 for en grundg gennemgang af en lang række kvanttatve rsresonsmodeller seelt for afsætnngens vedkommende. Blandt modellerne for vrksomhedens afsætnng er den lneære rsafsætnngsfunkton skkert den bedst kendte og mest oeratonelle. Men også den soelastske otensfunkton sller en vgtg rolle. Parametrene dsse to modeller er yderst smle at estmere å bass af et konkret talmaterale hhv. ved lneær og kke lneær regressonsanalyse. Og for begge modellers vedkommende er rsotmerngsroblemet let at løse, og det er ydermere grundgt behandlet ltteraturen. I den lneære model er otmalrsen således bestemt som gennemsnttet af de konstante varable enhedsomkostnnger og den rs, ved hvlken afsætnngen blver lg med nul. Og den soelastske otensmodel er otmalrsen bestemt som de varable enhedsomkostnnger multleret med rselastteten der er uafhængg af rsen og konstant dvderet med lus rselastteten. Blandt modellerne for vrksomhedens markedsandel er den logstske funkton formodentlg den mest nærlggende at benytte. Dette skyldes, at arametrene denne model - under homogen forbrugeradfærd som defneres nedenfor - forholdsvs let kan estmeres ved en logstsk regressonsanalyse, som ndgår de fleste statstske standardrogramakker. Imdlertd er rsotmerngsroblemet den logstske model kke set behandlet den afsætnngsøkonomske ltteratur. Hverken under homogen eller under heterogen forbrugeradfærd som også defneres nedenfor. Dette forhold er uheldgt af to årsager. For det første ford de to former for forbrugeradfærd - som det vl fremgå af afsnt 6 nedenfor sller en entral rolle for den ML-estmatonen af arametrene logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd er behandlet Olsen 23 B. 4
loyaltetsoltk, vrksomheden bør føre over for markedets forbrugere. For det andet ford vrksomheden ved en rsnedsættelse for et gvet mærke ofte står den stuaton, at den kun kan forøge sn totale afsætnng af mærket nævneværdgt ved at øge sn markedsandel for mærket å konkurrenternes bekostnng. Dette gælder fx for varer som benzn, vaskeulver, sæbe, tandasta, mælk, ost, smør, margarne, brød, gryn, mel, sukker, toletar, køkkenrulle, stanol samt skkert også kaffe og te. For sådanne nødvendghedsvarer vl en rsnedsættelse næsten aldrg resultere salg tl helt nye kundegruer, og den vl skkert også kun meget beskedent omfang resultere mersalg tl egne hdtdge kunder. Derfor er en forøgelse af markedsandelen vrksomhedens bedste eller måske eneste mulghed for en forøgelse af dens totale afsætnng. Problemstllngen nærværende artkel er derfor at vse, hvorledes rsen otmeres logtmodellen, når forbrugerne udvser homogen adfærd, at vse, hvorledes rsen otmeres logtmodellen, når forbrugerne udvser heterogen adfærd, at gve et eksemel å rsotmerngen henholdsvs under homogen og under heterogen forbrugeradfærd, samt at vse, at vrksomheden som hovedregel kan onå betydelge økonomske fordele ved at tlrettelægge sn loyaltetsoltk således, at forbrugerne udvser heterogen adfærd. Som det fremgår af denne roblemstllng, er de modeller, v betragter det følgende, alle artelle modeller med den af vrksomheden fastsatte rs for st mærke som den eneste forklarende varabel. Dette forhold er kke et udtryk for, at v mener, at sådanne artelle modeller gver en tlstrækkelg realstsk beskrvelse af vrkelgheden. Det er alene et udtryk for, at v er af den ofattelse, at man som modelkonstruktør nødvendgvs må ostlle og forstå smle modeller, før man blver stand tl at ostlle og forstå mere komlerede og samtdg mere realstske modeller. 5
2. Logtmodellerne under homogen og heterogen forbrugeradfærd Overalt det følgende vl v betragte en vrksomhed, der sælger et mærke kaldet mærke A konkurrene med ét eller flere andre mærker, som betragtes under ét og kaldes for mærke B. Mærket udbydes å et marked med N forbrugere alt, og den -te af dsse forbrugere foretager et stokastsk antal køb kaldet n - af roduktkategoren en gven erode, 2,..., N. Endvdere forudsættes n...,, n2, nn dentsk fordelt med mddelværden µ. Endelg forudsættes det, at såvel N som µ er uafhængg af den rs, som vrksomheden fastsætter for st mærke. Ved den -te forbrugers j-te køb af roduktkategoren en gven erode er der en sandsynlghed for, at forbrugeren vælger mærke A. Denne sandsynlghed kaldet købssandsynlgheden - er den samme ved ethvert af forbrugerens n køb eroden, og den afhænger altd af den rs kaldet som vrksomheden fastsætter for mærke A den betragtede erode. Herudover afhænger købssandsynlgheden af om forbrugerne å det betragtede marked udvser homogen adfærd, eller om forbrugerne å det betragtede marked udvser heterogen adfærd. Lad Y j, 2,..., N; j, 2,..., n være en stokastsk ndkatorvarabel, der er lg med, hvs den -te forbruger vælger mærke A ved det j-te køb af roduktkategoren en gven erode, og som er lg med ellers. Hvs forbrugerne udvser homogen adfærd, betragter v modellen ex P Y ; R ; R ;, 2,..., N; j, 2,..., ex j n, medens v, hvs forbrugerne udvser heterogen adfærd, betragter modellen 6
ex P Yj ; R ; R ;, 2,..., N; j, 2,..., n. ex Under homogen forbrugeradfærd gælder der altså, at såvel loyaltetsarameteren som rsreaktonsarameteren - og dermed købssandsynlgheden - er den samme for alle N forbrugere å det betragtede marked. Dermod har hver af markedets N forbrugere sn egen ndvduelle loyaltetsarameter og sn egen ndvduelle rsreaktonsarameter - og dermed sn egen ndvduelle købssandsynlghed - hvs forbrugerne udvser heterogen adfærd. I det sdst nævnte tlfælde lægger v dog en smel struktur å de enkelte forbrugeres arameterværdsæt. Mere ræst vl v antage, at samtlge forbrugeres værdsæt af de to arametre og, 2,..., N er uafhængge, dentsk fordelte realsatoner af en stokastsk varabel, der er fordelt efter den todmensonale normale fordelng med mddelværdvektoren, og med kovaransmatren 2 σ σ σ ρ Σ. 2 σ σ ρ σ Alt alt betyder dette, at modellen under homogen forbrugeradfærd kun ndeholder to arametre nemlg loyaltetsarameteren og rsreaktonsarameteren - medens modellen under heterogen forbrugeradfærd ndeholder 5 arametre nemlg foruden mddelværderne og også standardafvgelsen σ, standardafvgelsen σ og korrelatonskoeffenten ρ fordelngen af de ndvduelle loyaltets- og rsreaktonsarametre. I det følgende vl v vse, hvorledes rsotmerngen foretages de to forskellge logtmodeller, når vrksomhedens målsætnng er at maksmere den forventede roft for den betragtede erode. 7
8 3. Prsotmerng logtmodellen under homogen forbrugeradfærd Lad være de varable enhedsomkostnnger for mærke A, og antag, at dsse er konstante og dermed uafhængge af roduktonens og afsætnngens størrelse. Da er vrksomhedens forventede roft for mærke A en gven erode. ex ex N N µ µ π Denne funkton er let at maksmere mht.. Ved dfferentaton af π fås nemlg, at ]. [ ] [ ] [ N N N µ µ µ π Da er ostv for alle, er π, hvs og kun hvs. ex Men venstresden af dette udtryk er en lneært voksende funkton af, som er negatv når <, som er nul når, og som er ostv når >. Endvdere er højresden af udtrykket større end for alle værder af og monotont aftagende med som asymtote, når går mod uendelg. Heraf følger, at lgnngen π har en entydgt bestemt løsnng unktet, hvor er større end de varable enhedsomkostnnger.
Da d d [ ex ] [ ex ], som er negatv for alle værder af, følger det endvdere, at maksmerer den forventede roft π mht.. Da den otmale rs kke kan fndes ekslt, har v udvklet et seelt edb-rogram, der bestemmer vha. Newton-Rahsons teratonsmetode. Dette rogram vl v gøre brug af eksemlet afsnt 5. Egenskaberne ved den mlt gvne otmalrs studeres lettest vha. følgende sætnng, der er ostllet af Tue Tjur. Sætnng: Lad y hx betegne løsnngen tl lgnngen y ex x y. Funktonen ex f ex som er forventnngen af dæknngsbdraget ved et enkelt køb af roduktkategoren antager da st maksmum for, hvor 9
h. Den maksmale værd af forventnngen af dæknngsbdraget er. ex f Endvdere er den otmale købssandsynlghed. ex ex Endelg er rselastteten otmalunktet v. e Det sdste resultat er et velkendt og generelt resultat fra den økonomske teor.
Bevs: Ad Ovenfor er det vst, at π, hvs og kun hvs. ex ex ex h h Ad. ex ex ex ex f
2 Ad. ex ex f Ad v. ex ex e d d e Q.E.D.
Egenskaberne ved funktonen h studeres lettest ved at oskrve den omvendte funkton tl h x. Af defntonen h x ex x h x følger, at ln h x x h x x h x ln h x h y y ln y. Heraf følger nu, at dx dy dy dx y y. y Ved hjæl af funktonen h, der altså er en monotont voksende funkton af x, ford y er ostv, er det nu let at vse, at den otmale rs er en voksende funkton af, og, at den otmale købssandsynlghed er en voksende funkton af og og en aftagende funkton af, og at den maksmale forventede roft π er en voksende funkton af og og en aftagende funkton af. 3
4 Endvdere kan det vses, at den ovenfor omtalte Newton-Rahson teraton er ækvvalent med følgende smlere teraton:,,... ;,,... ; ex ex n f n f startværd n n n n n n Dette resultat skyldes Tue Tjur.
4. Prsotmerng logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd Når forbrugerne udvser heterogen adfærd, er den forventede roft, som vrksomheden onår å mærke A en gven erode, defneret således: π Nµ, 2 hvor er den margnale sandsynlghed for, at en forbruger vælger mærke A ved et gvet køb af roduktkategoren, dvs. at ex, g, d d ex hvor g, er sandsynlghedstætheden for den todmensonale normale fordelng med mddelværdvektoren, og kovaransmatren 2 σ σ σ ρ Σ. 2 σ σ ρ σ Da dobbeltntegralet, der bestemmer den margnale købssandsynlghed, kke kan udtrykkes å ekslt form, vl v aroksmere ved numersk ntegraton å samme måde som Olsen 23. Lad U, 2,..., N være en endmensonal stokastsk varabel, der er defneret således: U. Da følger det af den ovenfor ostllede forudsætnng om fordelngen af regressonsarametrene og, at U er fordelt efter den endmensonale normale fordelng med mddelværden 5
ξ og varansen 2 2 2 τ 2 σ σ 2σ σ ρ. Endvdere er den -te forbrugers købssandsynlghed for mærke A en gven erode en stokastsk varabel,, der er defneret således: ex ex U, ex ex U og som dermed alene afhænger af U. Dette betyder, at udtrykket ex ex U E [ ] E [ ], ex ex U kan bestemmes vha. den endmensonale normale fordelng. Lad endvdere V være en endmensonal stokastsk varabel, der er defneret således: U ξ V. τ Da er V fordelt efter den endmensonale standardserede normale fordelng, og U ξ τ. V Dette betyder, at udtrykket ex ξ τ V E [ ] ex ξ τ V 6
kan bestemmes vha. den endmensonale standardserede normale fordelng. Men udtrykket for den margnale købssandsynlghed kan stadg kke bestemmes ekslt. V aroksmerer derfor den standardserede normale fordelng ved en dskret stokastsk varabel Z med s lge sandsynlge udfald z, z2,..., z, altså med s P Z z r, s hvor z r er defneret således: r z r Φ ; r,2,..., s, 2s s hvor Φ er den nverse af fordelngsfunktonen for den standardserede normale fordelng, og hvor s er et stort ulge ostvt helt tal. I edb-rogrammet, der omtales nedenfor, har v sat s. Varatonsområdet for Φ er altså her de s unkter fra /2s tl -/2s. Og når s er ulge, blver medanen fordelngen af Z lg med z Φ ½. s / 2 Med denne aroksmaton blver den margnale købssandsynlghed ex ξ τ V E [ ] ex ξ τ V s s ex ξ τ zr. ex ξ τ z r r Da det sdste udtryk kan beregnes ekslt, har v udvklet et seelt edb-rogram, der bestemmer den margnale købssandsynlghed. Programmet maksmerer endvdere roftfunktonen π 2 Nµ mht.. Og den otmale rs kaldes det følgende for 2. Dette rogram vl v gøre brug af næste afsnt. 7
5. Et eksemel å rsotmerng de to logtmodeller I dette afsnt vl v ved hjæl af et eksemel vse, hvorledes rsotmerngen logtmodellen forløber hhv. under homogen og heterogen forbrugeradfærd. For at konkretsere vl v eksemlet antage, at roduktkategoren for mærke A er kaffe, og at erodelængden er år. Endvdere vl v antage, at N 2 Dvs. at målgruen for kaffe er å alt 2 mlloner forbrugere husstande. µ 26 Dvs. at en forbruger målgruen gennemsnt køber 26 oser kaffe r. år eller ose hver 4. dag. 3 Dvs. at den nugældende rs for en ose kaffe er 3 kr. nu 5 Dvs. at de varable enhedsomkostnnger ved rodukton og salg af en ose kaffe er 5 kr. 2. 5 Dvs. at loyaltetsarameteren under homogen adfærd og forventnngen af loyaltetsarameteren under heterogen adfærd er 2.5.. 2 Dvs. at rsreaktonsarameteren under homogen adfærd og forventnngen af rsreaktonsarameteren under heterogen adfærd er.2. σ. Dvs. at standardafvgelsen fordelngen af loyaltetsarameteren under heterogen adfærd er.. σ. 3 Dvs. at standardafvgelsen fordelngen af rsreaktonsarameteren under heterogen adfærd er.3. ρ. 75 Dvs. at korrelatonskoeffenten fordelngen af de to regressons- arametre under heterogen adfærd er.75. Endelg vl v antage, at alle ovennævnte størrelser er kendt uden uskkerhed af beslutnngstageren. Se Olsen 23 vedr. estmaton af modellens arametre. Flere af ovennævnte arameterværder stammer øvrgt fra denne artkel. 8
Under dsse antagelser vl v først betragte rsfastsættelsen logtmodellen under homogen forbrugeradfærd. Ved den nugældende rs r. ose kaffe å nu 3 kr. blver købssandsynlgheden for mærke A 3.2497 og den forventede roft for mærke A blver π 3 94797 kkr. r. år. Her og overalt det følgende angves den forventede roft kr., dvs. klokroner kkr.. Men den nugældende rs er kke otmal. Ved benyttelse af det afsnt 3 omtalte edb-rogram tl teratv bestemmelse af otmalrsen fås, at denne blver 27. 2. Ved anvendelse af denne rs blver den otmale købssandsynlghed for mærke A 27.2. 375, og den maksmale forventede roft for mærke A blver π 27.2 2599 kkr. r. år. I forhold tl den nugældende rs å 3 kr. kan vrksomheden altså onå en forøgelse af den forventede årlge roft å 682 kkr. dvs. 6.8 mlloner kr. ved at nedsætte rsen med 2.79 kr. Dette svarer tl en roftforøgelse å 3.5 % ved en rsnedsættelse å 9.3 %. Eller tl en aroksmatv rselasttet mht. den forventede roft å.38. V betragter herefter rsfastsættelsen logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd. Under denne model gælder der ved den nugældende rs r. ose kaffe å nu 3 kr., at den margnale købssandsynlghed for mærke A blver 3. 3278, og at den forventede roft for mærke A blver π 2 3 255682 kkr. r. år. Men den nugældende rs er heller kke otmal under modellen for heterogen forbrugeradfærd. Ved benyttelse af det afsnt 4 omtalte edb-rogram tl aroksmatv bestemmelse af otmalrsen fås, at denne blver 34. 2 56. Ved anvendelse af denne rs blver den otmale margnale købssandsynlghed for mærke A 34.56. 267, og den maksmale forventede roft for mærke A blver π 2 34.56 2658 kkr. r. år. 9
I forhold tl den nugældende rs å 3 kr. kan vrksomheden altså onå en forøgelse af den forventede årlge roft å 9436 kkr. dvs. 9.4 mlloner kr. ved at forhøje rsen med 4.56 kr. Dette svarer tl en roftforøgelse å 3.7 % ved en rsforhøjelse å 5.2 %. Eller tl en aroksmatv rselasttet mht. den forventede roft å.24. Som det fremgår af ovenstående eksemel, er der en betydelg forskel mellem de otmale løsnnger å rsfastsættelsesroblemet under henholdsvs homogen og heterogen forbrugeradfærd. Under homogen forbrugeradfærd skal man således nedsætte den nugældende rs fra 3 kr. tl 27.2 kr., medens man under heterogen adfærd skal forøge den nugældende rs tl 34.56 kr. Herved onår man det første tlfælde en købssandsynlghed å.375, medens man det andet tlfælde kun onår en købssandsynlghed å.267. Og forskellen den forventede årlge roft blver også ganske betydelg. Under homogen forbrugeradfærd onår man nemlg kun en forventet årlg roft å 2599 kkr., medens man under heterogen forbrugeradfærd onår en væsentlgt højere forventet årlg roft å 2658 kkr. Dette svarer tl en absolut forskel mellem de forventede årlge roftter å hele 6359 kkr. dvs. 63.5 mlloner kr. og tl en relatv forskel å hele 3.5 %. Da den eneste forskel å de to modeller er værdsættet af de tre arametre σ, σ og ρ, vl v - med henblk å at belyse den solerede effekt af dsse 3 arametre - analysere følgende 5 modeller: Model : σ. ; σ. ; ρ. Model 2: σ. ; σ. ; ρ. Model 3: σ. ; σ.3; ρ. Model 4: σ. ; σ.3 ; ρ. Model 5: σ. ; σ.3 ; ρ.75. Den første af dsse modeller er den ovenfor betragtede model under homogen forbrugeradfærd, medens den sdste model er den ovenfor betragtede model under fuld heterogen forbrugeradfærd. Hovedresultaterne af analysen af dsse 5 modeller fremgår af følgende tabel. 2
Tabel. Otmal rs, otmal købssandsynlghed og maksmal forventet roft ved alternatve værdsæt af arametrene σ, σ og ρ. Model σ σ ρ π... 27.2.375 2599 2... 29.9.328 22343 3..3. 29.53.2894 2869 4..3. 3.37.289 23977 5..3.75 34.56.267 2658 Det fremgår af tabel, at den otmale rs er mndst, når forbrugerne udvser homogen adfærd og størst, når forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. De 5 ndeks for den otmale rs er hhv.. ; 7.3 ; 8.5 ; 5.3 og 27., at den otmale købssandsynlghed er størst, når forbrugerne udvser homogen adfærd og mndst, når forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. De 5 ndeks for den otmale købssandsynlghed er hhv.. ; 95.4 ; 9. ; 88.5 og 82., at den maksmale forventede roft er mndst, når forbrugerne udvser homogen adfærd og størst, når forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. De 5 ndeks for den maksmale forventede roft er hhv.. ;.8 ; 8.5 ; 8.6 og 3.5. I næste afsnt vl v vurdere konsekvenserne af dsse resultater for den loyaltetsoltk, vrksomheden bør føre over for den betragtede målgrue af forbrugere. Inden da vl v gennemføre en yderlgere analyse nemlg en artel senstvtetsanalyse mht. størrelsen af samtlge arametre model 5, dvs. den model, hvor forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. 2
Senstvtetsanalysen gennemføres således, at v for én arameter ad gangen foretager en ændrng af den ågældende arameter forhold tl udgangsstuatonen model 5. Ændrngen er altd å %, og ændrngen foretages altd den retnng, der forøger den maksmale forventede roft. Herefter bestemmer v for hver ændrng den nye otmale rs, den nye otmale købssandsynlghed, den nye maksmale forventede roft samt endelg den roentvse ændrng den maksmale forventede roft relaton tl udgangsstuatonen model 5. Den sdst nævnte størrelse er efter dvson med - elastteten for den forventede roft mht. en ændrng af den ågældende arameter å %. Resultatet af dsse artelle senstvtetsanalyser fremgår af tabel 2. Parameter Tabel 2. Partelle senstvtetsanalyser relaton tl model 5. Værd model 5 Ny værd Otmal rs Otmal købsssh. Maksmal roft Ændrng af roft ----- ----- ----- 34.56.267 2658 ----- N 2 22 34.56.267 2963. % µ 26. 28.6 34.56.267 2963. % C 5. 3.5 33.23.2789 28655 7.9 % 2.5 2.75 35.2.2838 298254 2.5 % -.2 -.8 38.4.275 325292 22.7 % σ.. 35.9.2582 274 2.3 % σ.3.33 35.53.2544 27539 2.4 % ρ.75.825 34.88.259 267699. % Også denne tabel vl blve kommenteret næste afsnt. Endelg har v suleret ovenstående senstvtetsanalyse med analyserne tabellerne 3, 4 og 5. Dsse tre tabeller, som vses nedenfor og kommenteres næste afsnt, er artelle senstvtetsanalyser model 5 mht. hver af de tre seelt nteressante heterogentetsskabende arametre σ, σ og ρ. 22
Tabel 3. Partel senstvtetsanalyse mht. σ model 5. σ Otmal rs Otmal købsandel Maksmal roft. 27.2.375 2599.5 3.7.2742 23835. 34.56.267 2658.5 37.84.2498 296698 2. 4.4.244 3346 2.5 45.7.2348 3684 3. 49.6.2297 46864 Tabel 4. Partel senstvtetsanalyse mht. σ model 5. σ Otmal rs Otmal købsandel Maksmal roft. 27.2.375 2599. 3.36.2924 233534.2 32.7.2785 24779.3 34.56.267 2658.4 38.4.2374 288929.5 45.48.233 322242.6 9.2- mo Tabel 5. Partel senstvtetsanalyse mht. ρ model 5. ρ Otmal rs Otmal købsandel Maksmal roft -. 27.5.323 22437 -.67 28.58.346 2524 -.33 29.98.297 227254. 3.37.288 23977.33 32.77.273 2576.67 34.2.2627 262246. 35.65.2549 27375 23
6. Konsekvenserne for vrksomhedens loyaltetsoltk Det er klart, at de konklusoner, der kan drages å bass af resultaterne af det forrge afsnt gennemgåede eksemel, er af stor betydnng såvel for. den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft som for 2. den loyaltetsoltk vrksomheden bør føre over for forbrugerne å det ågældende marked. Vedrørende det første unkt har v allerede eksemlet konkluderet, at der er betydelg forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft det tlfælde, hvor forbrugerne udvser homogen adfærd og det tlfælde, hvor forbrugerne udvser heterogen adfærd, og at den otmale rs er størst, den otmale købssandsynlghed er mndst og den maksmale forventede roft er størst under heterogen forbrugeradfærd. I det følgende vl v derfor konentrere os om det andet unkt, dvs. om vrksomhedens generelle loyaltetsoltk. Før v drager konklusoner om loyaltetsoltkken, er det dog vgtgt at bemærke, at dsse konklusoner lgesom konklusonerne om rsen, købssandsynlgheden og roftten ovenfor naturlgvs et vst omfang - afhænger af de konkrete talværder for modellens arametre, der lgger tl grund for det valgte eksemel. Men også kun et vst omfang. Th ved gennemregnng af adskllge andre eksemler, der nøje svarer tl det ovenfor betragtede eksemel, men som bygger å tl tder helt andre talværder for modellens arametre, onås hver gang de samme rnelle konklusoner, men de konkrete talværder varerer naturlgvs fra tlfælde tl tlfælde. For alle de gennemregnede eksemler gælder det, at < 2, dvs. at den otmale rs ved homogen forbrugeradfærd er mndre end den otmale rs ved heterogen forbrugeradfærd. 24
Endvdere gælder det som en helt klar hovedregel, at >, dvs. at den otmale 2 købssandsynlghed ved homogen forbrugeradfærd er større end den otmale købssandsynlghed ved heterogen forbrugeradfærd. Endelg gælder det - også som en klar hovedregel - at π < π, dvs. at den maksmale 2 2 forventede roft ved homogen forbrugeradfærd er mndre end den maksmale forventede roft ved heterogen forbrugeradfærd. Dette er altd tlfældet, hvs de to otmale rser og 2 er større end og er lge store ½, som er den rs, ved hvlken de to købssandsynlgheder ½ ½ og lg med ½. I så fald befnder v os nemlg å den konvekse del af grafen for den logstske funkton, hvorfor v kan slutte, at det for enhver værd af Heraf følger seelt, at <, og dermed, at > gælder, at <. ½ π Nµ < Nµ Nµ 2 2 π 2 2. For alle mærker, hvs købssandsynlghed markedsandel otmalstuatonen er mndre end ½, og det vl skkert gælde for de fleste mærker, kan v altså slutte, at den maksmale forventede roft ved homogen forbrugeradfærd er mndre end den maksmale forventede roft ved heterogen forbrugeradfærd. For mærker, hvs købssandsynlghed otmalstuatonen er større end ½, er det fortsat hovedreglen, at π < π. Og de forholdsvs få tlfælde, hvor det med de a ror 2 2 valgte værder af de tre heterogentetsskabende arametre σ, σ og ρ gælder, at π > π 2 2, vser alle de gennemregnede eksemler, at man altd kan onå, at π < π ved at forøge størrelsen af arametrene σ, σ og ρ. 2 2 25
Efter dsse emrsk baserede bemærknnger tager v nu udgangsunkt den forrge afsnt gennemførte analyse af de 5 modeller, der bygger å stgende grad af forbrugernes heterogentet fra homogen adfærd tl fuld heterogen adfærd. På bass af denne analyse - hvs resultater fremgår af tabel - kan v drage følgende generelle konklusoner mht. vrksomhedens loyaltetsoltk: Vrksomheden bør tlrettelægge sn loyaltetsoltk således at forbrugernes ndvduelle loyaltetsarametre blver så forskellge som mulgt, dvs. at standardafvgelsen σ fordelngen af de ndvduelle loyaltetsarametre skal gøres så stor som mulg, at forbrugernes ndvduelle rsreaktonsarametre blver så forskellge som mulgt, dvs. at standardafvgelsen σ fordelngen af de ndvduelle rsreaktonsarametre skal gøres så stor som mulg, at korrelatonen mellem forbrugernes ndvduelle loyaltetsarameter og ndvduelle rsreaktonsarameter blver ostv og så stor som mulg, dvs. at korrelatonskoeffenten ρ skal gøres så stor som mulg. Dsse tre anbefalnger kan vrksomheden tlgodese gennem sn loyaltetsoltk ved at forkæle vsse gruer af forbrugere samtdg med, at den msrøgter andre gruer af forbrugere. Hvorledes dette helt konkret skal gøres rakss, lgger uden for denne artkels roblemstllng. Men rent metodemæssgt skal det gøres ved en meget fnmasket segmenterng af forbrugerne å det ågældende marked. Dette forhold vl v vende tlbage tl sdst dette afsnt. V tager herefter udgangsunkt den forrge afsnt gennemførte artelle senstvtetsanalyse mht. samtlge 8 arametre model 5, dvs. modellen med fuld heterogen forbrugeradfærd. På bass af denne analyse - hvs resultater fremgår af tabel 2 - kan v drage følgende konklusoner mht. vrksomhedens loyaltetsoltk: 26
Vrksomheden bør rmært forsøge at ændre de arametre, der ndgår modellen for homogen forbrugeradfærd - og som dermed ndgår samtlge modeller. Nævnt den eksemlet gældende rækkefølge efter betydnngen for den maksmale forventede roft er dsse 5 arametre: dvs. rsreaktonsarameteren, der eksemlet har elastteten 2.27, dvs. loyaltetsarameteren, der eksemlet har elastteten.25, N dvs. målgruens størrelse, der altd har elastteten., µ dvs. det forventede antal køb af roduktkategoren r. forbruger r. år, der altd har elastteten., dvs. de varable enhedsomkostnnger, der eksemlet har elastteten -.79. Det er klart, at det hovedsagelg er de to første arametre, der kan åvrkes gennem vrksomhedens loyaltetsoltk. Men eksemlet vser, at det er vgtgere at gøre markedets forbrugere rsufølsomme og loyale end at forøge antallet af forbrugere målgruen og/eller at forøge det årlge antal køb af roduktkategoren. Og en nedsættelse af de varable enhedsomkostnnger er eksemlet den arameter, der er mndst effektv at anvende for vrksomheden. Sekundært bør vrksomheden forsøge at ændre de 3 arametre, der skaber heterogenteten mellem forbrugerne. Igen nævnt den eksemlet gældende rækkefølge efter betydnngen for den maksmale forventede roft er dsse 3 arametre σ dvs. standardafvgelsen fordelngen af forbrugernes ndvduelle rsreaktonsarametre, der eksemlet har elastteten.24, σ dvs. standardafvgelsen fordelngen af forbrugernes ndvduelle loyaltetsarametre, der eksemlet har elastteten.23, ρ dvs. korrelatonskoeffenten mellem forbrugernes ndvduelle loyaltetsarametre og rsreaktonsarametre, der eksemlet har elastteten.. 27
Effektvteten af de heterogentetsskabende arametre er altså eksemlet, men skkert også generelt klart mndre end effektvteten af de arametre, der ndgår modellen under homogen forbrugeradfærd. Men de tre detaljerede artelle senstvtetsanalyser mht. hhv. σ, σ og ρ der er gennemført tabellerne 3, 4 og 5 - vser, at der allgevel er betydelge økonomske fordele forbundet med at gøre forbrugerne heterogene mht. deres købsadfærd for mærke A. Tabel 3 vser, at det er rentabelt for vrksomheden at anvende adskllge mlloner kroner r. år å et loyaltetsrogram, der skaber større heterogentet mellem forbrugerne mht. deres generelle loyaltet over for mærke A. Proftten måles som nævnt kr.. På tlsvarende måde vser tabel 4, at det er særdeles rentabelt for vrksomheden at skabe større heterogentet mellem forbrugerne mht. deres rsfølsomhed over for mærke A. Sdste række tabel 4 llustrerer øvrgt, at den otmale rs og den maksmale forventede roft går mod uendelg, når rsen går mod uendelg. Dette skyldes, at den margnale købssandsynlghed kke går mod nul, når rsen går mod uendelg, ford en med σ voksende del af forbrugerne har ostv rsreaktonsarameter dvs. ostv rselasttet og derfor vælger mærke A, selv om rsen er rnelt uendelg høj. For store værder af rsen er modellen derfor kke realstsk. Endelg vser tabel 5, at det er vgtgt for vrksomheden, at dens loyaltetsrogram er konsstent. Hermed menes, at vrksomheden gennem sn loyaltetsoltk skal sørge for, at de forbrugere, der udvser en høj lav generel loyaltet over for mærke A, også er de forbrugere, der udvser lav høj rsfølsomhed over for mærke A. Dette krav er ofyldt, hvs korrelatonskoeffenten mellem den ndvduelle loyaltetsarameter og den ndvduelle rsreaktonsarameter er ostv og stor. Tabel 5 vser øvrgt også, at effekten af korrelatonskoeffenten er mndre end effekten af de to heterogentetsskabende standardafvgelser. V vl nu vende tlbage tl sørgsmålet om, hvorledes vrksomheden va sn loyaltetsoltk mlt har mulghed for at åvrke størrelsen af modellens 5 arametre,, σ σ og ρ og dermed har mulghed for at følge de ovenfor seferede generelle anbefalnger., 28
Med dette formål for øje vl v antage, at den -te forbrugers regressonsarametre er og bestemt mlt af det beløb, x, som vrksomheden anvender salgsfremmende omkostnnger reklame, sælgerbesøg, varerøver, kredttd, generel serve osv. r. erode å den -te forbruger. V vl endvdere antage, at det gennemsntlge beløb, µ x, som vrksomheden anvender salgsfremmende omkostnnger r. forbruger r. erode, er en fast omkostnng, som kke skal gøres tl genstand for otmerng, og som derfor kke ndgår de roftfunktoner, der ostlles nedenfor. Modellen for den mlt gvne sammenhæng mellem x og kan eksemelvs være og α α x ; α R ; α R α α x ; α R ; α R ; x α < α, 2,..., N, hvor α, α, α og α er egentlge ukendte arametre. Denne model er en latent model, som kke er kendt ekslt af vrksomheden. Th modsat fald burde vrksomhedens vden om sammenhængen mellem de salgsfremmende omkostnnger og regressonsarametrene naturlgvs have været nddraget ekslt modelkonstruktonen. Hvs v yderlgere antager, at de salgsfremmende omkostnnger r. forbruger r. erode, dvs. X, 2 er normalfordelt σ fordelng med µ x, x, kan v slutte, at, er fordelt efter den todmensonale normale α α E µ x α α E µ x 2 2 2 V α σ x σ 29
2 2 2 V α σ x σ og ρ som bortset fra, at ρ er lg med er den afsnt 2 ostllede model. Med henblk å at llustrere vrksomhedens mulghed for at åvrke modellens arametre gennem sn loyaltetsoltk vl v af forenklngsmæssge grunde antage, at vrksomheden har odelt st marked kun to segmenter med homogen forbrugeradfærd nden for hvert segment. Men tankegangen er naturlgvs den samme, uanset om vrksomheden odeler markedet to eller rnelt uendelg mange segmenter. V vl endvdere antage, at de to segmenter er lge store, således at sandsynlgheden for, at en tlfældgt valgt forbruger tlhører et gvet segment fx det første, er ½. Endelg vl v med henblk å at eksemlfere - antage, at µ x ; σ x 2 25 α.5 ; α.2 ; α.8 ; α.6. Dsse arameterværder er valgt, ford de er konsstente med dvs. at de under den ostllede model fører tl de arameterværder, v har analyseret eksemlet afsnt 5. Bortset fra, at korrelatonskoeffenten ρ nu kke er.75, men.. V vl herefter først antage, at vrksomheden anvender det samme beløb salgsfremmende omkostnnger nemlg x µ x kr. r. år å samtlge forbrugere å hvert af de to segmenter. Denne antagelse hvor fordelngen af X altså kke er normal, men er udartet resulterer modellen for homogen forbrugeradfærd fra eksemlet afsnt 5, og resultaterne fra denne model fremgår af nedenstående tabel 6. 3
Tabel 6: To segmenter med homogen adfærd Parameter Segment Segment 2 Gennemsnt Segmentandel ½ ½ ---- X... 2.5 2.5 2.5 -.2 -.2 -.2 σ... σ... 27.2 27.2 27.2.32.32.32 f 3.88 3.88 3.88 I denne tabel angver f kke den totale forventede roft, men den forventede roft ved et enkelt køb af roduktkategoren. Denne roft skal derfor multleres med N µ 52 mlloner for at kunne sammenlgnes med resultaterne fra eksemlet afsnt 5. V antager dernæst, at vrksomheden dfferenterer sn salgsndsats r. forbruger mellem de to segmenter, således at den anvender 5 kr. r. forbruger r. år å samtlge forbrugere å det første segment og 5 kr. r. forbruger r. år å samtlge forbrugere å det andet segment. Denne antagelse medfører, at fordelngen af X blver en dskret tounktsfordelng. Da de to segmenter er lge store, anvender vrksomheden fortsat µ x kr. salgsfremmende omkostnnger r. forbruger r. år gennemsnt for de to segmenter. Men resultaterne blver nu helt anderledes. Tabel 7 vser dette for det tlfælde, hvor vrksomheden er nødt tl at fastsætte den samme rs for mærke A å de to segmenter, ford segmenterne kke kan holdes fyssk adsklt. Det er denne stuaton, v har betragtet eksemlet afsnt 5. 3
Tabel 7: To segmenter med heterogen adfærd og samme rs Parameter Segment Segment 2 Gennemsnt Segmentandel ½ ½ ---- X 5. 5.. 3.5.5 2.5 -.9 -.5 -.2 σ... σ...3 37.28 37.28 37.28.54.2.28 f.95.37 6.6 En sammenlgnng af tabellerne 6 og 7 vser, at den otmale rs er 37% højere under heterogen adfærd end under homogen adfærd, at der under heterogen adfærd er stor forskel å den otmale købssandsynlghed å de to segmenter, og at den gennemsntlge otmale købssandsynlghed er 2% mndre under heterogen adfærd end under homogen adfærd, samt at der under heterogen adfærd er stor forskel å den maksmale forventede roft å de to segmenter, og at den gennemsntlge maksmale forventede roft er 59% større under heterogen adfærd end under homogen adfærd. Dette svarer tl, at vrksomheden onår en total forventet merroft å hele 9 mlloner kroner r. år, hvs den dfferenterer sn salgsndsats mellem de to segmenter. En endnu bedre stuaton ostår, hvs vrksomheden er stand tl at gennemføre rsdfferenterng, således at den kan fastsætte forskellg rs for mærke A å de to segmenter. Resultatet af denne stuaton fremgår af tabel 8. 32
Tabel 8: To segmenter med heterogen adfærd og forskellg rs Parameter Segment Segment 2 Gennemsnt Segmentandel ½ ½ ---- X 5. 5.. 3.5.5 2.5 -.9 -.5 -.2 σ... σ...3 38.7 22.66 3.37.52.3.32 f.96. 6.48 Ved sammenlgnng af tabellerne 7 og 8 fremgår det, at der å segment er meget llle forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og sær å den maksmale forventede roft, når vrksomheden fastsætter hhv. den samme rs og forskellg rs å de to segmenter, at der å segment 2 er væsentlg større forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft, når vrksomheden fastsætter hhv. den samme rs og forskellg rs å de to segmenter, samt at den gennemsntlge maksmale forventede roft for de to segmenter under ét er 5% større, når vrksomheden har mulghed for at gennemføre rsdfferenterng, end hvs denne mulghed kke forelgger. Ovenstående analyse er af forenklngsmæssge grunde kun gennemført for to segmenter, men det er klart, at tankegangen bag segmenterngen kan udvdes tl at omfatte rnelt uendelg mange segmenter, hvorved v får den artklen behandlede model med fuld heterogen forbrugeradfærd. 33
I denne model onås resultater, der svarer tl eksemlet afsnt 5, hvs vrksomheden som hdtl antaget fastsætter samme rs for mærke A å hele markedet. I den teoretske dealstuaton, hvor vrksomheden har mulghed for at gennemføre fuldkommen rsdfferenterng ved at fastsætte en ndvduel rs for mærke A over for hver eneste af markedets forbrugere, onås der naturlgvs en endnu højere roft end den eksemlet afsnt 5 betragtede model for heterogen forbrugeradfærd. Selv om denne dealstuaton formodentlg er umulg at realsere rakss, vl v allgevel nævne, at den gennemsntlge otmale rs blver 3.72 kr., at den gennemsntlge otmale købssandsynlghed blver.32, og at den gennemsntlge maksmale forventede roft ved et enkelt køb af roduktkategoren blver 6.76 kr. Det bemærkes, at dsse uonåelge resultater lgger tæt å de evt. onåelge resultater tabel 8. Den teoretsk bedste løsnng for vrksomheden er da også at odele st marked kun to segmenter med størst mulg salgsndsats å det ene segment og mndst mulg salgsndsats å det andet segment, hvorefter der om mulgt gennemføres rsdfferenterng mellem de to segmenter. Konklusonen å ovenstående analyse er altså, at vrksomheden ofte selv vl have mulghed for at åvrke størrelsen af den orndelge models 5 arametre,, σ σ og ρ gennem sn, loyaltetsoltk eksemlet ved segmenterng af forbrugerne mht. salgsndsatsen. Som afslutnng å gennemgangen af ovenstående konklusoner der som nævnt et vst omfang er baseret å eksemler - er det vgtgt at bemærke, at vrksomheden et konkret tlfælde rakss altd kan og altd bør onå mere detaljeret nformaton - og dermed mere ræse konklusoner om den otmale rs, den otmale købssandsynlghed, den maksmale forventede roft og den otmale loyaltetsoltk for et gvet mærke - ved at ndsamle en stkrøve og estmere modellens arametre, fx således som det er beskrevet Olsen 23. 34
7. Konkluson I denne artkel har v betragtet to smle logtmodeller med kun én forklarende varabel for forbrugernes valg af et gvet mærke A nemlg rsen for det ågældende mærke. I den ene af dsse modeller udvser forbrugerne homogen adfærd mht. deres valg af mærke, medens forbrugerne den anden model udvser heterogen adfærd. For dsse to modeller har v endvdere bestemt den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft dels generelt, dels for et konkret eksemel. For det valgte eksemel er konklusonen den, at der er betydelg forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft det tlfælde, hvor forbrugerne udvser homogen adfærd og det tlfælde, hvor forbrugerne udvser heterogen adfærd. Således er den otmale rs størst, den otmale købssandsynlghed mndst og den maksmale forventede roft størst under heterogen forbrugeradfærd. Endelg har v artklen draget en række generelle konklusoner mht. sørgsmålet om, hvorledes vrksomheden bør tlrettelægge sn loyaltetsoltk over for markedets forbrugere. Konklusonen er her den, at vrksomheden som hovedregel kan onå en betydelg økonomsk gevnst ved at tlrettelægge sn loyaltetsoltk således, at forbrugerne udvser heterogen adfærd, dels mht. deres generelle loyaltet over for det betragtede mærke, dels mht. deres rsfølsomhed over for mærket. Artklen demonstrerer, at dette ofte vl kunne onås ved en segmenterng af forbrugerne å markedet - fx relaton tl vrksomhedens salgsndsats. Tak tl Tue Tjur for mange nteressante dskussoner af artklens roblemstllng. 35
Ltteraturfortegnelse Gary L. Llen, Phl Kotler and K. Srdhar Moorthy 992 Marketng Models Prente-Hall Internatonal Edtons Englewood Clffs, New Jersey Jørgen Ka Olsen 2 En oeratonel model tl målng af kundeloyaltet Researh Paer No Insttut for Afsætnngsøkonom, Handelshøjskolen København Jørgen Ka Olsen 23 A En stokastsk model for total og artel kundeloyaltet Researh Paer No Insttut for Afsætnngsøkonom, Handelshøjskolen København Jørgen Ka Olsen 23 B Maksmum lkelhood estmaton af arametrene logtmodellen med stokastske ndvdarametre Et smulatonsstude Researh Paer No 4 Insttut for Afsætnngsøkonom, Handelshøjskolen København Tue Tjur 23 A warnng onernng random effets and random oeffents n logst regresson models for bnary data Prernt No Deartment of Management Sene and Statsts Coenhagen Busness Shool 36