Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia

4. udg. 2011 12-12-2011

Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under x-værdien 0 at skrive øvrige y-værdier, idet du benytter vækstfaktoren a = 2: det vil sige, at hver gang x-værdien vokser med 1 (én), fås den nye funktionsværdi ved at gange den tidligere med vækstfaktoren x -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 3840 Sætning om vækst for eksponentielle funktioner f (x+1)= f ( x) a Lav en tilsvarende formel for f ( x+2)=... Lav en tilsvarende formel for f ( x+3)=... Lav en formel for f (x)=..., idet du isolerer f(x) i ligningen (i sætningen) Det ses nemt, at funktionen f er en voksende funktion, når vækstfaktoren er 2: når x- værdierne vokser, vokser y-værdierne også. Havde vi derimod valgt en vækstfaktor mellem 0 og 1, bliver funktionen aftagende: Udfyld den næste tabel ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 1024 under x-værdien 0 at skrive øvrige y-værdier, idet du benytter vækstfaktoren a = ¼: det vil sige, at hver gang x-værdien vokser med 1 (én), fås den nye funktionsværdi ved at gange den tidligere med vækstfaktoren x -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 1/16 171

Funktioner Logaritmisk skala I koordinatsystemer har vi akser. I det sædvanlige retvinklede koordinatsystem er akserne indrettet således, at hver gang vi bevæger os fx 1 cm længere ud vokser x- eller y-værdien med en bestemt værdi: 1, 5, 13 eller en anden fast værdi uafhængig af udgangspunktet. En sådan skala kaldes også en lineær skala. (På engelsk: metric scale) Hvis vi går over til en logaritmisk skala vokser x- eller mere typisk y-værdien med en bestemt faktor! Det betyder, at vi skal gange med et bestemt tal, hvis vi bevæger os et bestemt stykke - fx. 2 cm på aksen. Eksempel på logaritmisk skala Fra 1 til 3 er der ganget med 3. Fra 3 til 9 er der ganget med 3. Afstandene (fra 1 til 3 og fra 3 til 9) er de samme på aksen. Var afstandene større, skulle vi gange med et større tal, var de mindre, skulle vi gange med et tal mellem 1 og 3. 172

Eksponentielle funktioner Enkeltlogaritmisk papir På enkeltlogaritmisk papir indrettes x-aksen med en sædvanlig skala; værdierne kan være både positive og negative. På y-aksen anvendes kun positive værdier og alle tal skal svare til de fortrykte tal. Men ikke nødvendigvis være lig med de fortrykte tal. Bemærk, at nederst er y-værdien angivet til 1, halvt oppe findes igen 1, og øverst igen 1. Disse tal skal rettes afhængig af, hvilke y-værdier der passer med dit datamateriale, men altid på en måde, således at 1 ændres til 10 i en eller anden potens: Eksempler: 1, 10, 100, 1000, 10.000 osv. eller 0.1, 0.01, 0.001 Intervallet mellem 2 ens tal (fx fra 1 til næste 1) kaldes en dekade. Er et af tallene rettet skal de øvrige rettes tilsvarende: hver gang du går en dekade op, skal tallet være 10 gange større, hver gang du går en dekade ned, skal tallet være 10 gange mindre. På denne side er der en gengivelse af et enkeltlogaritmisk papir; dog vises kun ca. ¼ af den normale bredde.på dette papir findes der 2 dekader på y-aksen, men i princippet kan man selv vælge antallet af dekader: Typisk er 3. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 173

Funktioner x 1 2 3 4 5 7 9 10 15 20 30 45 50 y Indtil 1970'erne var regnestokken et almindeligt redskab for bl.a. ingeniører, der ofte skulle gange tal med hinanden før lommeregneren blev hver mands eje. I den simpleste udgave var den blå skala skrevet på en fast lineal og den røde skala var skrevet på en skyder, der kunne glide frem og tilbage inden i den første. Se fx. http://www.sliderule.ca/ 174

Eksponentielle funktioner John Napier of Merchiston (1550-1617) John var en skotsk adelsmand, der interesserede sig for astronomi. I astronomiske beregninger indgår mange multiplikationer, hvor det er vigtigt at resultaterne er nøjagtige: dvs. både faktorerne og produktet skal angives med mange betydende cifre. Du vil sikkert synes, at det at beregne 578 387 ville være uoverkommeligt; det var ikke noget problem for sir John. Men hvis de trecifrede tal blev 10-cifrede og der var mange af den slags problemer, var det et tidkrævende arbejde. Derfor ofrede han mange år af sit liv på at skrive Mirifici Logarithmorum canonis descriptio og Mirifici Logarithmorum canonis constructio som indeholder hhv. tabeller og konstruktionsforklaringer. Ideen var at gennemføre multiplikationer som additioner af de tilsvarende potensers eksponenter. En multiplikation kunne så gennemføres ved et tabelopslag for hver faktor, en addtion af tallene fundet i tabellen, og endelig kunne produktet findes ved et opslag efter summen i tabellen. Både Tycho Brahe (som Napier sendte sine foreløbige resultater til) og Kepler kunne anvende logaritmerne som en enorm hjælp; på samme tid udbredes kendskabet til 10-talssystemet som en yderligere hjælp. Sir John nåede dog også at blive far til 12 børn. For yderligere informationer: Se http://www.johnnapier.com/default.htm Logaritmerne en ide. x 0,01 0,1 1 10 100 1000 10.000 100.000 1 mio. 10 mio. log(x) -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 I tabellen er x-værdierne tal, vi gerne vil multiplicere. Omskrives fx 1000 = 10 3, kaldes 175

Funktioner eksponenten 3 for log(x). Tilsvarende for alle andre værdier af x. Lad os finde produktet af 100 og 10.000. Så fås ved opslag i tabellen: log(100) = 2 og log(10.000) = 4 De to logaritmer adderes: log(100) + log(10.000) = 2 + 4 =6 Nu læses logaritmetabellen nedefra og op: til logaritmen 6 svarer tallet 1 million eller 1.000.000, som netop er produktet af 100 og 10.000. At det er rigtigt her ses nemt af regnereglen for potenser: 10 2 10 4 =10 2+4 eller generelt 10 a 10 b =10 a+b Med denne beskedne tabel er tidsgevinsten beskeden. Napiers fortjeneste var at lave en tabel for uhyre mange x-værdier angivet meget nøjagtigt med de dertil hørende logaritmeværdier. Napier brugte ikke 10-talslogaritmen som her; den blev udviklet af hans arvtager Henry Briggs. Eksempler på eksponentielle funktioner Eksempel: Et beløb indsættes i en bank Niels Ole sætter 10 kr. i Sparekassen; en gang årligt beregner Sparekassen renter og lægger beløbet til saldoen. Niels Ole glemmer alt om indskuddet, men finder bogen 16 år senere og kan så se, at hans formue i årene har ændret sig som tabellen viser: År 1952 1956 1960 1964 1968 Saldo 10,00 12,62 15,94 20,12 25,40 Kroner Saldoens vækst 28,00 26,00 24,00 22,00 20,00 18,00 16,00 14,00 12,00 10,00 1950 1955 1960 1965 1970 År Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem får vi figuren til venstre. Vi tegner en ret linje tæt ved alle punkterne og ser, at der er et mønster i afvigelserne fra den rette linje: en graf gennem alle punkterne ville være bueformet. Forbinder vi alle nabopunkter med rette linjestykker, ville disse blive stejlere og stejlere. 176

Eksponentielle funktioner Hvis væksten var lineær, blev der tilskrevet det samme beløb i renter hvert år. Men Niels Ole har også fået renter af renterne (dvs. renters rente ); hans saldo vokser med den samme procent hvert år (svarende til større og større kronebeløb). Tegnes de samme punkter ind i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, fås figuren til højre: Kroner 100,00 Saldoens vækst Nu ses det, at punkterne ligger på en ret linje. 10,00 1950 1955 1960 1965 1970 År Om "at lægge renter til..." I tabellen herunder ses, hvorledes der er beregnet rente af kapitalen på 10 kr., og at denne rente herefter er lagt til kapitalen. Hvis man kun er interesseret i at vide, hvad kapitalen er i 1953, er det dog nemmere straks at beregne 106 % af de 10 kr. med fremskrivningsfaktoren (svarende til skalafaktor.) Denne kapital kan beregnes sådan: eller med tallene fra tabellen: NyKapital= GammelKapital 106 =GammelKapital 1,06 100 NyKapital=10,00 1,06=10,60 Den næste nye kapital (i 1954) fås fuldstændigt tilsvarende. NyKapital 54 =(10,00 1,06) 1,06=10,00 1,06 2 177

Funktioner År Kapital Procent 1952 Kr. 10,00 100 % + rente fra 1952 til 53 Kr. 0,60 6 % 1953 Kr. 10,60 106% Radioaktivitet Du eller bedre: en gruppe starter med at have 100 terninger. De simulerer (ligner / efterligner) det radioaktive materiale. Radiaktivt materiale henfalder dvs. den radioaktive stråling bliver mindre og mindre. For nogle materialer går det meget hurtigt og for andre meget meget langsomt. Men for alle typer er der tale om, at i løbet af en bestemt periode for hver materialetype henfalder en bestemt brøkdel af stoffet. Denne brøk er et gennemsnit; det faktiske henfald varierer tilfældigt. Ved denne simulation leger vi, at i tiden mellem 2 runder fjernes i gennemsnit 1/6 af radioaktiviteten. 178

Eksponentielle funktioner Øvelse Regneark De nedenstående opgaver løses med et regneark eller GeoGebra 1 I den forrige opgave om formuen på 3.000.000 kr. blev der ikke taget hensyn til hverken skat eller inflation. Definition: En eksponentiel funktion En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften: f (x)=b a x ; DM ( f )=R ;a>0; b>0. Bemærkning Du skal lægge mærke til, at begge parametrene er positive. Det medfører blandt andet, at y- værdierne ALDRIG bliver 0 (nul) eller negative. 1 Når sammenhængen skrives som y=b e kx, kan den sidste faktor omskrives: e kx =(e k ) x =a x ifølge almindelige potensregler, hvor a=(e k ) og e = 2,718282 179

Funktioner Tegn grafer for eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioners parametre Hvis f er en eksponentiel funktion, hvor f(x) = b a x, er: f(0) = b f (1)=b a f (1)/ f (0)=(b a)/b=a 180

Eksponentielle funktioner Find a og b? Eksponentielle funktioners parametre Hvis grafen går gennem punkterne P(x 1 ;y 1 ) og Q(x 2 ;y 2 ), kan parametrene beregnes med formlerne: a= x 2 x y 1 2 og b= y 1 = y 2 y 1 a x 1 a x 2 Bevis Da grafen går gennem P, må y 1 = b a x1 b = y 1 /a x1 hvilket viser den sidste påstand. Tilsvarende fås på samme måde da grafen går gennem Q - at b = y 2 /a x2 Heraf ses, at: y 1 /a x1 = y 2 /a x2 a x2 /a x1 = y 2 / y 1 Benyt potensregneregler på venstre side a x2 - x1 = y 2 / y 1 a = (x x ) 2 1 y y 2 1 181

Funktioner Bemærkning Kendes grafen kan man altså ved aflæsning af f(0) og f(1) og en simpel beregning nemt finde parametrene. Unøjagtigheden ved beregningen af a kan dog være ret stor. Tegn grafer for eksponentielle funktion Find forskriften 182

Eksponentielle funktioner Bemærkning om eksponentiel vækst 183

Funktioner Fordoblingskonstant Definition: Fordoblingskonstanten T2 For en eksponentiel funktion med forskriften: f (x)=b a x ; DM ( f )= R ;a>1 ;b>0. kaldes T2 fordoblingskonstanten, hvis f (x+t 2 )=2 f ( x) gælder for ethvert x i DM. Sætning: Fordoblingskonstanten T2 En eksponentiel funktion med forskriften: f (x)=b a x ; DM ( f )=R ;a>1;b>0. har en fordoblingskonstant T2, hvor T 2 = log(2) gælder for ethvert x i DM. log( a) Bevis Hvis T 2 er en fordoblingskonstant, gælder f (x+t 2 )=2 f ( x) b a x+t 2 =2 b a x 184

Eksponentielle funktioner b a x+t 2 = 2 b a x b a x b a x a x+t 2x =2 a T 2 =2 log(a T 2 )=log(2) T 2 log(a)=log(2) T 2 = log(2) log(a) Vi har vist, hvorledes formlen må se ud, hvis fordoblingskonstanten findes. Men da biimplikationen (dobbeltpilen) gælder hele vejen ses også, at hvis T2 er som beregnet, er det en fordoblingskonstant. Bemærkninger Her benyttes, definitionen på den eksponentielle funktion, at det er tilladt at dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet i en ligning (når tallet ikke er 0), reglen for division af potenser med samme grundtal at logaritmefunktionen er en voksende funktion, reglen om logaritmen til en potens; endelig at a > 1 medfører at log(a) > 0. Øvelse: Halveringskonstanten 185

Funktioner Opgave med besvarelse Opgavetekst December 2010, opgave 7 (HF Matematik C) Tabellen viser antallet af registrerede tilfælde af H1N1 (svineinfluenza) i USA i 2009. Antal dage efter 17. maj 2009 0 8 Antal registrerede tilfælde 4714 6552 I begyndelsen kunne influenzaepidemien beskrives ved en model af typen y=b a x hvor y er antal registrerede tilfælde og x er antal dage siden 17.maj. a) Bestem tallene a og b. b) Bestem fordoblingskonstanten. Gør rede for, hvad dette tal fortæller om udviklingen. c) Hvornår ville antallet af registrerede influenzatilfælde passere 21 000 ifølge modellen? Kommenter modellen, når det oplyses, at antallet af registrerede influenzatilfælde passerede 21 000 efter 36 dage. Kilde: www.who.int Besvarelsen a) Beregning af parametrene Den anførte model er en eksponentiel funktion; derfor kan vækstfaktoren a beregnes med a= x 2 x y 1 2 y 1 Fra tabellen noteres, at x 1 =0, y 1 =4714, x 2 =8, y 2 =6552. Disse kendte tal indsættes: a= 80 6552 4714 =1,0420 a = 1,042 Begyndelses værdien b findes umiddelbart som f(0), dvs. y 1 : b = 4714 186

Eksponentielle funktioner b) Bestemmelse af fordoblingskonstanten Fordoblingskonstanten bestemmes med formlen T 2 = log(2) log( a) log( 2) T 2 = log(1.042012764) =16,84 Fordoblingskonstanten T 2 =16,8 ; de kendte tal indsættes: Det vil sige, at hver gang, der er gået knap 17 dage, vil antal af influenzatilfælde være fordoblet ifølge modellen. c) 21 000 tilfælde! Hvornår? Med ukendt dageantal x skal modellens resultat være 21 000. Ligningen formuleres og løses, idet (y eller) f (x)=4714 1,042 x ; y=21000 4714 1,042 x =21000 1,042 x = 21000 4714 log(1,042 x )=log( 21000 4714 ) x log(1,042)=log ( 21000 4714 ) ( 21000 4714 ) x=log log(1,042) x=36,30 Dvs: ifølge modellen passeres 21 000 efter lidt mere end 36 dage. 2 Når det oplyses, at antallet af registrerede tilfælde passerede 21 000 efter 36 dage, er modellen bemærkelsesværdig nøjagtig. Øvelse: Eksponetielle funktioner (opg. 7) 2 Bemærk, at resultatet også kan findes direkte med formlen i formelsamlingen 187

Funktioner Den eksponentielle funktion: Oversigt og regler Parametre: a (vækstfaktor) og b (begyndelsesværdi) Forskrift: f (x)=b a x Graf: ret linje i enkeltlogaritmisk koordinatsystem Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier: Eksempel: a = 2 og b = 3 x 0 1 2 3 y 3 6 12 24 Regel: når x-værdien bliver én større, bliver y-værdien a "gange større" [* a] eller p % større. Forskrift DM Eksponentiel funktion f(x) = b*a x R VM R + Koordinatsystem Aflæs b "Aflæs a" Beregn a Enkeltlogaritmisk papir f(0) f(1) /f(0) a= x 2 x y 1 2 y 1 Indtastning i TI 30 (x 2-x 1)[gul]^(y 2/y 1)= Beregn b Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") b= y 1 a x 1 y 1/[gul] [(-)] ^x 1= 188