matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011

Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens.............................. 6 2 Ligevægtspunkt 10 3 Markedsundersøgelser 13 4 Substitution og armslængden 16 5 Priselasticitet 19 6 Optimering 21 6.1 Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner....... 25 6.2 Differentialkvotienten af produktfunktioner............ 27 6.3 Differentialkvotienten af kvotientfunktioner............ 29 6.4 Ligningen for tangenten...................... 32 6.5 Monotoniforold......................... 33 6.6 Ekstremumssteder........................ 34 6.7 Differentiation med Maple.................... 35 6.8 Optimeringen af indtjeningen på bilerne............. 35 2

1 Udbuds- og efterspørgselskurver Ved efterspørgslen forstås det samlede antal vare som køberne gerne vil købe. Ved udbudet forstås det samlede antal vare sælgerne gerne vil sælge. Teorien er den at jo øjere prisen er jo større er udbudet og tilsvarende er efterspørgslen mindre. Varens pris består af mange elementer, er vil vi dele prisen op i to dele produktionsomkostninger og profit. Produktionsomkostningerne består bl.a. af omkostninger til køb af råvare, fremstilling, distribution. Profit forstås er som det sælger tjener. F.eks. vis en mobiltelefon koster 50 kr. at fremstille og sende til sælger og opbevare os sælger og sælgers løn og den bliver solgt for 70 kr, da er der en profit på 20 kr. Sammenængen mellem prisen og antallet af v. efterspurgte og udbudte vare kan også illusteres grafisk. Her er graferne eksponentielt voksende og aftagende, men de kunne også være graferne for lineære eller potens udviklinger. Senere skal vi se på vordan typen af udvikling bestemmes. Pris Udbud Efterspørgsel Antal Kendes typen af udvikling kan grafen og funktion bestemmes ud fra to punkter. Funktionen bestemmes med følgende formler alt efter vilken type udvikling der er tale om. Det kan ses på graferne af det ikke er lige meget vilken type udvikling efterspørgsels- og udbudskurverne er. Pris + + Lineær Eksponentiel Potens Antal 3

1.1 Lineær Sætning 1.1 Hvis funktionen er lineær dvs. med regneforskrift f(x) = ax+b og der gælder at punkterne (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ) ligger på grafen for f(x), så er Bevis. a = y 2 y 1 x 2 x 1 b = y 1 a x 1 Da punkterne ligger på grafen for f vil y 1 = ax 1 +b og y 2 = ax 2 +b I disse ligninger kan b isoleres. b = y 1 ax 1 og b = y 2 ax 2 y 1 (y) + Da disse ligninger begge er lig b kan de sættes lig inanden. y 2 + y 1 ax 1 = y 2 ax 2 x 1 x 2 (x) y erne samles nu på venstre side og x erne på øjre side. a sættes udenfor parantes. y 1 y 2 = ax 1 ax 2 y 1 y 2 = a(x 1 x 2 ) Der divideres med (x 1 x 2 ) på begge sider af ligedstegnet. y 1 y 2 x 1 x 2 = a 4 Q.E.D.

1.2 Eksponentiel Sætning 1.2 Hvis funktionen er eksponentiel dvs. med regneforskrift f(x) = b a x og der gælder at (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ) ligger på grafen for f(x), så er a = x 1 x 2 vor x 1 skal være større end x 2. Bevis. y1 y 2 b = y 1 a x 1 Da punkterne ligger på grafen for f vil y 1 = b a x 1 og y 2 = b a x 2 (y) I disse ligninger kan b isoleres. y 1 + b = y 1 a x 1 og b = y 2 a x 2 Da disse ligninger begge er lig b kan de sættes lig inanden. y 2 + y 1 a x 1 = y 2 a x 2 x 1 x 2 (x) y erne samles nu på venstre side og x erne på øjre side. y 1 = ax1 y 2 a x 2 Så bruges potensregnereglen ax a = a x y. y y 1 = a x 1 x 2 y 2 Herefter tages den x 1 x 2 ende rod på begge sider af ligedstegnet. x 1 x 2 y1 y 2 = a 5 Q.E.D.

1.3 Potens Sætning 1.3 Hvis funktionen er en potens funktion dvs. med regneforskrift f(x) = b x a og der gælder at (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ) ligger på grafen for f(x), så er Bevis. a = log(y 2) log(y 1 ) log(x 2 ) log(x 1 ) b = y 1 x a 1 Da punkterne ligger på grafen for f vil y 1 = b x a 1 og y 2 = b x a 2 (y) I disse ligninger kan b isoleres. y 1 + b = y 1 x a 1 og b = y 2 x a 2 Da disse ligninger begge er lig b kan de sættes lig inanden. y 2 + y 1 x a 1 = y 2 x a 2 x 1 x 2 (x) y erne samles nu på venstre side og x erne på øjre side. Her bruges potensregnereglen xa y a = y 1 = xa 1 y 2 x a 2 ( a. x y) y 1 y 2 = ( ) a x1 Her bruges logaritmeregneregelen log(x a ) = a log(x). Efter at logaritmen tages af begge sider. ) ) log ( y1 y 2 x 2 = a log 6 ( x1 x 2

Her divideres med log ( x 1 x 2 ). log log ( ) y 1 y 2 ( x 1 x 2 ) = a Her bruges logaritmeregnereglen log( x y ) = log(x) log(y). log(y 1 ) log(y 2 ) log(x 1 ) log(x 2 ) = a Q.E.D. Opgave 1.4 En produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk. Mens 3.000 stk. kan sælges for 1.000.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (1,3) og (3,1). Antag at efterspørgslen kan beskrives med en lineær funktion. a Beregn forskriften for efterspørgslen. b Tegn efterspørgselskurven. c Hvis der produceres 2.000 stk. vad kan de så sælges for? d Hvis der produceres over 4.000 stk., bliver prisen de kan sælges for negativ. Hvorfor? I vilket interval kan modellen bruges? e Hvis bilerne skal sælges for 3.500.000 kr. pr. stk., vor mange skal der så produceres?. f Indtægten beregnes uden at tage ensyn til omkostningerne. Hvad er indtægten når en produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk? g Opstil en formel for indtægten, der afænger af antallet af producerede biler. Tegn grafen for indtægten. 7

i I vilket interval er indtægten positiv? j Hvad er den størst mulige indtægt? Hvilket antal biler skal produceres for at denne indtægt opnås? Opgave 1.5 En produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk. Mens 3.000 stk. kan sælges for 1.000.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (1,3) og (3,1). Antag at efterspørgslen kan beskrives med en eksponentielfunktion. a Beregn forskriften for efterspørgslen. b Tegn efterspørgselskurven. c Hvis der produceres 2.000 stk. vad kan de så sælges for? d Hvis bilerne skal sælges for 3.500.000 kr. pr. stk., vor mange skal der så produceres?. e Indtægten beregnes uden at tage ensyn til omkostningerne. Hvad er indtægten når en produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk? f Opstil en formel for indtægten, der afænger af antallet af producerede biler. g Tegn grafen for indtægten. I vilket interval er indtægten større end 200.000? i Hvad er den størst mulige indtægt? Hvilket antal biler skal produceres for at denne indtægt opnås? Opgave 1.6 En produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk. Mens 3.000 stk. kan sælges for 1.000.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (1,3) og (3,1). Antag at efterspørgslen kan beskrives med en potensfunktion. 8

a Beregn forskriften for efterspørgslen. b Tegn efterspørgselskurven. c Hvis der produceres 2.000 stk. vad kan de så sælges for? d Hvis bilerne skal sælges for 3.500.000 kr. pr. stk., vor mange skal der så produceres?. e Indtægten beregnes uden at tage ensyn til omkostningerne. Hvad er indtægten når en produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk? f Opstil en formel for indtægten, der afænger af antallet af producerede biler. g Tegn grafen for indtægten. Opgave 1.7 Hvilken fordele og ulemper ser du i forold til, at de tre forskellige modeller gerne skulle beskrive virkeligeden? Opgave 1.8 Vis at indtægten altid vil være et andengradspolynomium I(x) = ax 2 +bx, vis efterspørgselskurven er grafen for en lineær funktion. Vis at den maksimale indtægt er når der produceres b 2a eneder. Opgave 1.9 Vis at indtægten altid vil være større ved overproduktion en ved en tilsvarende underproduktion, vis efterspørgselskurven er grafen for en eksponentielt aftagende funktion. 9

2 Ligevægtspunkt Pris Udbud Ligevægtspris Ligevægtsantal Efterspørgsel Antal De to kurverne for v. udbud og efterspørgsel vil ave et skæringspunkt. Dette skæringspunkt kaldes ligevægtspunktet. Det er det punkt vor pris og antal tilfredsstiller både købere og sælgere. Ligevægtspunktet kan findes ved at bestemme forskriften for v. udbud og efterspørgslen. Derefter løse ligningen vor forskriften for udbudet sættes lig forskriften for efterspørgslen. Opgave 2.1 En produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk. Mens 3.000 stk. kan sælges for 1.000.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (1,3) og (3,1). En produktion på 500 stk. lamborgini vil producenten sælge for 1.000.000 kr. pr. stk. Mens 2.500 stk. vil producenten sælge for 3.500.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (0,5,1) og (2,5,3,5). Antag at efterspørgslen kan beskrives med en lineær funktion. 10

a Beregn forskriften for udbudet. b Tegn efterspørgselskurven og udbudskurven i samme koordinatsystem. c Hvis der produceres 2.000 stk. vad vil producenten så sælge for? Sammenlign med vad køberne ville give. d Bregne ligevægtspunktet? Hvad er ligevægtsantallet og ligevægtsprisen? f Sammenlign ligevægtsantallet med det antal biler skulle produceres for at indtægten var størst mulig. g Ved salg i Danmark pålægges bilerne en registeringafgift på 110% af prisen. Beregn den nye udbudskurve og det nye ligevægtspunkt. Hvor meget er antallet af solgte biler faldet? Hvor meget får staten i af salget af biler? Hvis registeringafgiften i stedet avde været 100%, avde staten så tjent mere eller mindre? Opgave 2.2 En produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk. Mens 3.000 stk. kan sælges for 1.000.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (1,3) og (3,1). En produktion på 500 stk. lamborgini vil producenten sælge for 1.000.000 kr. pr. stk. Mens 2.500 stk. vil producenten sælge for 3.500.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (0,5,1) og (2,5,3,5). Antag at efterspørgslen kan beskrives med en eksponentialfunktion. a Beregn forskriften for udbudet. b Tegn efterspørgselskurven og udbudskurven i samme koordinatsystem. c Hvis der produceres 2.000 stk. vad vil producenten så sælge for? Sammenlign med vad køberne ville give. d Bregne ligevægtspunktet? Hvad er ligevægtsantallet og ligevægtsprisen? 11

f Sammenlign ligevægtsantallet med det antal biler skulle produceres for at indtægten var størst mulig. g Ved salg i Danmark pålægges bilerne en registeringafgift på 110% af prisen. Beregn den nye udbudskurve og det nye ligevægtspunkt. Hvor meget er antallet af solgte biler faldet? Hvor meget får staten i af salget af biler? Hvis registeringafgiften i stedet avde været 100%, avde staten så tjent mere eller mindre? Opgave 2.3 En produktion på 1.000 stk. lamborgini kan sælges for 3.000.000 kr. pr. stk. Mens 3.000 stk. kan sælges for 1.000.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (1,3) og (3,1). En produktion på 500 stk. lamborgini vil producenten sælge for 1.000.000 kr. pr. stk. Mens 2.500 stk. vil producenten sælge for 3.500.000 kr. pr. stk. I udregningerne er det fornuftigt at tage udgangspunkt i at antallet regnes i tusinder og prisen regnes i millioner, således at de to punktere er (0,5,1) og (2,5,3,5). Antag at efterspørgslen kan beskrives med en potensfunktion. a Beregn forskriften for udbudet. b Tegn efterspørgselskurven og udbudskurven i samme koordinatsystem. c Hvis der produceres 2.000 stk. vad vil producenten så sælge for? Sammenlign med vad køberne ville give. d Bregne ligevægtspunktet? Hvad er ligevægtsantallet og ligevægtsprisen? f Sammenlign ligevægtsantallet med det antal biler skulle produceres for at indtægten var størst mulig. g Ved salg i Danmark pålægges bilerne en registeringafgift på 110% af prisen. Beregn den nye udbudskurve og det nye ligevægtspunkt. Hvor meget er antallet af solgte biler faldet? Hvor meget får staten i af salget af biler? Hvis registeringafgiften i stedet avde været 100%, avde staten så tjent mere eller mindre? 12

3 Markedsundersøgelser I en undersøgelse af sammenængen mellem pris om antal for biler er en repræsentation population af voksne blevet spurgt om vad de er villige til at betale for en bil. For den del af voksende som dagligt brugte bilen blev spurgt vad de er villige til at betale for en bil. Hvad er du villig til at betale for en bil? 100.000 kr. 150.000 kr. 200.000 kr. 250.000 kr. 300.000 kr. 350.000 kr. 400.000 kr. 450.000 kr. I undersøgelsen var der 50 voksende er dagligt brugte bilen. Undersøgelses resultat kan sammenfattes i følgende frekvenstabel. Antal 50 40 31 24 18 13 8 4 Pris i tusinde kr. 100 150 200 250 300 350 400 450 Pris i 1.000 kr. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 Antal Nu skal det afgøres vilken type funktion (lineær, eksponentiel eller potens) efterspørgselen bedst kan beskrives som. For at afgører dette bestemmes regressionskoefficienten (r 2 ) som angiver vor stor en del af ændringen i prisen. som kan forklares med en ændring i antallet af biler. Den lineære funktion der ligger tættest på punkterne og regressionskoefficienten beregnes med Maple med følgende kommandoer. 13

wit(stx) [BoksPlot, BoksPlot2, Cos, Sin, Stamfunktion, SumKurve, Tan, TrappeDiagram, e, forskrift, invcos, invsin, invtan, log, model, solvetrekant, tangent] model(lin,[50,40,31,24,18,13,8,4],[100,150,200,250,300,350,400,450]) x 7.561383928571428x + 452.6925223214285 r 2 =.9757785928 Pris i 1.000 kr. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 Antal model(eks,[50,40,31,24,18,13,8,4],[100,150,200,250,300,350,400,450]) x 527.6752349735.9683322843609937 x r 2 = 0.9961780265 Pris i 1.000 kr. 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 14 Antal

model(pow,[50,40,31,24,18,13,8,4],[100,150,200,250,300,350,400,450]) x 1245.3204440705883 x.5584496184942364 r 2 = 0.7666126093 Pris i 1.000 kr. 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 Antal Ud fra disse beregninger kan det konkluderes at den bedste model for efterspørgslen er en eksponentiel udvikling, da regressionskoefficienten er tættest på 1. Forskriften er (er afrundet) f(x) = 528 0,968 x Opgave 3.1 Lav en markedsundersøgelse os unge mellem 15 og 18, vor I undersøger vad de er villige til at betale for et fitness abonnement. 15

4 Substitution og armslængden Udbuds- og efterspørgselskurverne er ikke altid pæne. Dette skyldes at en vigtig faktor for efterspørgslen er vor svært det er at få fat på varen, efterspørgslen på en vare der er let at få fat på er større end på en vare der er svær at få fat på. Dette kaldes armslængden. Bemærk at der er forskel på om varen er let at få fat på og om varen er sjælden. F.eks. er diamanter sjældne, men det er let at købe dem. En anden faktor er substitution. Det faktum at vis prisen på smør stiger vil nogle urtigt skifte til andre lignende produkter mens andre vil betale næsten vad som elt for at få smør på rundstykkerne. Der kunne også være tale om andre kvaliteter ved varende som f.eks. om der er tale om økologiske vare. Nogle er villige til at betale mere for økologiske vare og nogle er ligeglade om varende er økologiske. Disse to faktorer substitution og armslængden gør at efterspørgselskurven (og udbudskurven), kan se f.eks. således ud. Pris Som det ses skal prisen på vare langt ned for at efterspørgslen skal stige. Dette kan f.eks. skyldes at der er langt til vare og derfor skal den være meget billigere end tilsvarende vare for at forbrugerne vil købe varen. Antal For at analysere på en efterspørgselskurve kræves det at der ikke er sådanne "spring"i foroldet mellem prisen og efterspørgselen. Derfor indføres en definition for kontinuitet, som er en egenskab ved kurver der ikke indeolder sådanne "spring". 16

Definition 4.1 Definition af kontinuitet. En funktion f kaldes kontinuert i punktet x 0, vis dens grænseværdi i punktet x 0 er lig med dens funktionsværdi i x 0, dvs. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) En funktion, der er kontinuert i alle punkter af sin definitionsmængde kaldes kontinuert. Hvis grænseværdien ikke eksisterer eller vis grænseværdien er forskellig fra f(x 0 ), så siger man at f(x) er diskontinuert i x 0. Denne definition indeolder en nyt begreb "grænseværdi". Definition 4.2 Definition af grænseværdi. ε > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ f(x) a < ε I ord: "For alle epsilon større end 0 eksistere et delta større end 0 for vilket der gælder, at vis afstanden mellem x og grænsen (x 0 ) er mindre end delta, er afstanden mellem f(x) og grænseværdien mindre end epsilon."hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim f(x) = a x x 0 Pris a 2ε 2δ Definitionen betyder at vis der findes til tal δ således, at når forskellen mellem x og grænsen x 0 er mindre end δ, da er forskellen mellem f(x) og grænseværdien a mindre end ε, så er grænseværdien a for x gående mod x 0. x 0 Antal Ved denne grænse x 0 findes en grænseværdi a. 17

Pris Ved denne grænsex 0 er der to grænseværdier alt efter vilken side af grænsen der kommes fra. Dette giver de to grænseværdier a 1 a 2 x 0 Antal og lim x x 0 = a 1 lim x x 0+ = a 2 I det første tilfælde er efterspørgselskurven kontinuert fordi a = f(x 0 ) i det anden tilfælde er efterspørgselskurven ikke kontinuert fordi a 1 a 2 og derfor kan de ikke begge være lig f(x 0 ). 18

5 Priselasticitet For nogle typer af være er efterspørgslen i langt øjere grad afængig af prisen end andre. F.eks. vand er meget vigtig og der er ingen andre vare der kan erstatte vand (ingen substituenter), derfor siges efterspørgsels at være uelastisk. Pris 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Antal Her ses et eksempel på en vare vor efterspørgslen er elastisk selv ved en foroldsvis øj efterspørgsel. 2 3 4 Pris elastisk uelastisk 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 elastisk 4 uelastisk Antal Her ses et eksempel på en vare vor efterspørgslen er uelastisk selv ved en foroldsvis lav efterspørgsel. Definition 5.1 Priselasticiteten for efterspørgslen, η, ved en given mængde, x 0, er givet ved formlen η = E(x 0) 1 x 0 E (x 0 ) 19

Efterspørgslen siges at være elastisk vis η < 1, neutralelastisk vis η = 1 og uelastisk vis η > 1. At efterspørgslen er elastisk betyder at efterspørgslen ændres meget når prisen ændres lidt. Opgave 5.2 Vis, at vis efterspørgslen er en eksponentielt aftagende funktion (f(x) = b a x, vor 0 < a < 1) så afænger prisen vor efterspørgslen er neutralelastisk (η = 1) kun af b. Dette betyder at priselastisiteten og alveringsmængden ikke af inanden. Med alveringsmængden er den mængde af vare der skal produceres ekstra for at alvere prisen til vilken alle varende Opgave 5.3 Vis at η < 0 vis efterspørgsels er aftagende. Opgave 5.4 I litteraturen er der flere definitioner på priselasticitet bl.a. en definition der lyder: Priselasticiteten måler foroldet mellem en relativ mængdeændring ved en relativ prisændring. F.eks. vis prisen stiger med 4 % og efterspørgslen falder med 1 %, så er priselasticiteten 1% 4% = 0,25. a) Vis at denne definition svare til den matematisk formel: x 0 x s x 0 100% E(x 0 ) E(x s ) E(x 0 ) 100% Hvor x 0 er efterspørgslen inden prisændringen og x s er efterspørgslen efter prisændringen. b) Vis at denne formel kan reduceres til formlen: E(x 0 ) x 0 x 0 x s E(x 0 ) E(x s ) c) Vis at de to definitioner er ens når x s går imod x 0. E(x 0 ) lim x s x 0 x 0 x 0 x s E(x 0 ) E(x s ) = E(x 0) x 0 1 E (x 0 ) 20

6 Optimering Udbyder ønsker at maksimerer sin profit. Det betyder at udbyder vil forsøge at sælge så meget som muligt til så øj en pris som muligt. Det udbyder tjener ved at sælge sine varer, er prisen pr. vare gange antallet af varer. Det betyder at indkomsten, I(x), for en udbyder er E(x) x. I markedsundersøgelsen med bliver blev efterspørgslen bestemt til at passe til formlen f(x) = 528 0,968 x, derfor bliver indkomsten for udbyder 5000 4000 3000 2000 1000 I(x) I(x) = f(x) x = 528 0,968 x x 0 x 0 50 100 150 200 Den maksimale indkomst beregnes ved at bestemme det sted på grafen for I(x) at ældning for tangenten er 0. I(x) 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 50 100 150 200 21 x

Definition 6.1 Definition på differentiabel. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet x 0, vis differenskvotienten ar en grænseværdi for 0. y = f(x 0 +) f(x 0 ) Se på følgende grafer. Bemærk. Hvis ændres, ændres sekanten. f(x) Sekant til f(x) f(x 0 +) y f(x) Sekant til f(x) f(x 0 ) x 0 x 0 + f(x 0 +) f(x 0 ) y x 0 x 0 + Og når går imod 0 vil sekanten går i mod tangenten til f(x) i punktet (x 0,f(x 0 )). f(x) Tangent til f(x) i x 0 f(x 0 ) x 0 22

På denne måde kan man finde tangenter til alle punkter på alle funktioner, vor det kan lade sig gøre. Man kan f.eks. ikke finde en tangent til punktet(3,2) på grafen for funktionen f(x) = x 3 +2. (x) 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 2 Man kan eller ikke finde tangenten i punkter vor funktionen ikke er kontinuert. Definition 6.2 Definition på differentialkvotienten. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten i x 0 og skrives f (x 0 ), dvs. 6 5 4 3 2 1 (y) f y (x 0 ) = lim 0 = lim f(x 0 +) f(x 0 ) 0 f (x 0 ) angiver tangentens ældningskoefficient i punktet (x 0,f(x 0 )). Hvis f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde, kaldes f differentiabel. Hvis funktionen f er differentiabel kaldes f (x) for den afledte funktion. Denne definition anvendes når en funktion skal differentieres. Eksempel 6.3 Funktionen f(x) = 6x 3 skal differentieres. Først udregnes f(x 0 +) f(x 0 ). 6(x 0 +) 3 6x 3 0 = 6(x 3 0 +3x2 0 +3x 0 2 + 3 ) 6x 3 0 = 6x 3 0 +18x2 0 +18x 0 2 +6 3 6x 3 0 = 18x 2 0 +18x 0 2 +6 3 Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f (x) = 18x 2. 18x 2 0 +18x 0 2 +6 3 lim 0 18x2 0 +18x 0+6 2 = 18x 2 0 23 = 18x 2 0 +18x 0+6 2

Eksempel 6.4 Funktionen f(x) = 2x 2 +3 skal differentieres. Først udregnes f(x 0 +) f(x 0 ). 2(x 0 +) 2 +3 (2x 2 0 +3) = 2(x 2 0 +2x 0+ 2 )+3 2x 2 0 3 2x 2 0 +4x 0+2 2 +3 2x 2 0 3 4x 0 +2 2 Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f (x) = 4x. 4x 0 +2 2 = 4x 0 +2 lim 0 4x 0+2 = 4x 0 Sætning 6.5 Funktionenf(x) = k, vork R er differentiabel ogf (x) = 0. Bevis. Definition 6.2 bruges på f(x) = k. f (x 0 ) = lim 0 k k 0 = lim 0 = lim0 = 0 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er 0 for alle x vilket stemmer med sætningen. (y) f(x) = k k (x) 24

6.1 Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner For at gøre det lettere at bestemme afledede funktioner vises nogle regneregler for differentialkvotienter. Sætning 6.6 Hvis funktionerne f og g er differentiable i x 0, er deres sum - og differens funktioner også differentiable i x 0 og differentialkvotienten er v. summen og differensen af differentialkvotienterne for f og g. Dvs. (f ±g) (x 0 ) = f (x 0 )±g (x 0 ) Bevis. Først anvendes definition 6.2 på (f +g) (x 0 ) og får at (f +g) (f+g)(x (x 0 ) = lim 0 +) (f+g)(x 0 ) 0 f(x = lim 0 +)+g(x 0 +) (f(x 0 )+g(x 0 )) 0 f(x = lim 0 +)+g(x 0 +) f(x 0 ) g(x 0 ) 0 f(x = lim 0 +) f(x 0 ) 0 + g(x 0+) g(x 0 ) f(x = lim 0 +) f(x 0 ) 0 = f (x 0 )+g (x 0 ) g(x + lim 0 +) g(x 0 ) 0 Nu bruges definitionen af additionsfunktionen (f + g)(x) = f(x)+g(x). Nu opæves parentesen i tælleren. Brøken opdeles i to. Nu bruges regneregler for grænseværdier. Daf ogg er differentiable funktioner kan definition 6.2 anvendes. Q.E.D. 25

Eksempel 6.7 Når generaliseringen anvendes til at differentiere funktionen fås at 3x 4 differentieres til 3 4x 4 1 og 4x 2 differentieres til 4 2x 2 1 og 4x differentieres til 4 1 og 2 differentieres til 0. Samlet bliver det. f(x) = 3x 4 +4x 2 4x+2 f (x) = 3 4x 4 1 +4 2x 2 1 4 1+0 som kan reduceres til f (x) = 12x 3 +8x 4 Opgave 6.8 Differentiere følgende funktion 1. f(x) = 5x 2 +3x 1 5. f(x) = 2x 3 x 2 +3x+4 2. f(x) = 7x 3 +4x 2 6. f(x) = 6x 2 2x+3 3. f(x) = 4x 12 7. f(x) = 12x 2 4. f(x) = 2x 4 +x 8. f(x) = 12 Svar på opgave 6.8. 1. f (x) = 10x+3, 2. f (x) = 21x 2 +8x, 3. f (x) = 48x 11, 4. f (x) = 8x 3 +1, 5. f (x) = 6x 2 2x+3, 6. f (x) = 12x 2, 7. f (x) = 12, 8. f (x) = 0. 26

6.2 Differentialkvotienten af produktfunktioner Sætning 6.9 Hvis funktionerne f og g er differentiable i x 0, så er deres produktfunktion også differentiabel i x 0 og differentialkvotienten er Bevis. (f g) (x 0 ) = f(x 0 ) g (x 0 )+f (x 0 ) g(x 0 ) Definition 6.2 anvendes på (f g) (x 0 ). (f g) (x 0 ) = lim 0 (f g)(x 0 +) (f g)(x 0 ) Derefter anvendes definitionen af produktfunktion ((f g)(x) = f(x) g(x)). (f g)(x 0 +) (f g)(x 0 ) = f(x 0 +) g(x 0 +) f(x 0 ) g(x 0 ) Nu lægges ledet f(x 0 +) g(x o )+f(x 0 +) g(x 0 ) til. f(x 0 +) g(x 0 +) f(x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 +) g(x 0 )+f(x 0 +) g(x 0 ) Nu sættes f(x 0 +) udenfor parantes. f(x 0 +)(g(x 0 +) g(x 0 )) f(x 0 ) g(x 0 )+f(x 0 +) g(x 0 ) Nu sættes g(x 0 ) udenfor parantes. f(x 0 +)(g(x 0 +) g(x 0 ))+g(x 0 )(f(x 0 +) f(x 0 )) Nu divideres med. f(x 0 +) g(x 0 +) g(x 0 ) +g(x 0 ) f(x 0 +) f(x 0 ) Nu anvendes regnereglerne for grænseværdi. lim f(x g(x 0 +) g(x 0 ) 0 +)lim 0 0 Nu udregnes grænseværdierne. f(x 0 ) g (x 0 )+f (x 0 ) g(x 0 ) 27 + lim 0 g(x 0 )lim 0 f(x 0 +) f(x 0 )

Q.E.D. Sætning 6.9 kan bruges til at bevise følgende sætning. Sætning 6.10 Hvis funktionenf er differentiabel ix 0 ogk R, så erk f(x 0 ) differentiabel og differentialkvotienten er (k f(x 0 )) = k f (x 0 ) Bevis. Vi starter med at bruge sætning 6.9 på (k f(x 0 )) så får vi at Og ifølge sætning 6.5 så får vi at Som ønsket. (k f(x 0 )) = k f (x 0 )+k f(x 0 ) (k f(x 0 )) = k f (x 0 )+0 f(x 0 ) = k f (x 0 ) Q.E.D. Eksempel 6.11 Det betyder at når funktionen f(x) = x 2x 4 skal differentieres bliver resultatet f (x) = x 2 4x 3 + 1 2 x 2x4 Opgave 6.12 Differentier funktionerne 1. f(x) = 4x 2 3x 5 5. f(x) = (x+8) (x+7) 2. f(x) = 7x 4 +2x 3 6. f(x) = 3(x+5) (x 4) 3. f(x) = 9(x+4) 7. f(x) = (x+2)(x 1)(x+3) 4. f(x) = (x+3) (x 2 7) 8. f(x) = (x+1)(x+2)(x 2 +4) Svar på opgave 6.12. 1. 84x 6, 2.28x 3 +6x 2, 3. 9, 4.3x 2 +6x 7, 5.2x+15, 6. 6x+3, 7. 3x 2 +8x+1, 8. 4x 3 +9x 2 +12x+12. 28

6.3 Differentialkvotienten af kvotientfunktioner Vi starter med at vise følgende sætning, som senere skal vise sig at være nyttig. Sætning 6.13 Hvis funktionen f, er differentiabel i x 0 og f(x 0 ) 0, så er 1 f differentiabel i x 0 og differentialkvotienten er ( ) 1 = f (x 0 ) f(x 0 ) (f(x 0 )) 2 Bevis. Definition 6.2 anvendes på ( 1 f(x 0 ) ). ( ) 1 = lim f(x 0 ) 0 Nu sættes på fælles brøkstreg i tælleren 1 f(x 0 +) 1 f(x 0 ) 1 f(x 0 +) 1 f(x 0 ) = f(x 0 ) f(x 0 +)f(x 0 ) f(x 0 +) f(x 0 +)f(x 0 ) = f(x 0) f(x 0 +) f(x 0 +)f(x 0 ) Hele udtrykke kan derfor omskrives til lim 0 f(x 0 ) f(x 0 +) f(x 0 +)f(x 0 ) Dette kan nu omskrives på passende måde til lim f(x 0 +) f(x 0 ) 1 0 f(x 0 +)f(x 0 ) Ved at bruge regneregler for grænseværdi fås at lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ) Grænseværdierne kan nu udregnes f (x 0 ) 29 lim 0 1 f(x 0 +)f(x 0 ) 1 (f(x 0 )) 2 Q.E.D.

Nu kan kvotientregelen vises. Sætning 6.14 Hvis funktionen f og g, er differentiable i x 0 og g(x 0 ) 0, så er f g differentiabel i x 0 og differentialkvotienten er ( ) f(x0 ) = g(x 0)f (x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) (g(x 0 )) 2 Bevis. Først laver vi følgende omskrivning af kvotienten ( ) ( f(x0 ) 1 = f(x 0 ) g(x 0 ) g(x 0 ) Nu kan vi bruge Sætning 6.9 ( ) 1 f(x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) ) ( ) 1 1 g(x 0 ) +f(x 0) g(x 0 ) Ved nu at bruge Sætning 6.14 fås at ( ) f 1 1 (x 0 ) g(x 0 ) +f(x 0) = f 1 (x 0 ) g(x 0 ) g(x 0 ) +f(x 0) g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 Ved udregne fås at f (x 0 ) Nu sættes på fælles brøkstreg 1 g(x 0 ) +f(x 0) g (x 0 ) (g(x 0 )) = f (x 0 ) 2 g(x 0 ) + f(x 0)g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0)g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 = f (x 0 )g(x 0 ) (g(x 0 )) 2 + f(x 0)g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 Q.E.D. 30

Eksempel 6.15 Det betyder at når funktionen f(x) = 2x4 x så bliver resultatet f (x) = x 2 4x 3 2x 4 1 2 x ( x) 2 Opgave 6.16 Differentier funktionerne. 1. f(x) = 3x 2 5x 7 5. f(x) = Ax 2 +Bx+C 2. f(x) = x 8 x 3 6. f(x) = x 2 x+2 3. f(x) = x3 3 x2 2 7. f(x) = 1+ x 1 x 4. f(x) = 4x 1/2 8. f(x) = x2 +x+1 x Svar på opgave 6.16. 1. 6x 5, 2. 8x 7 3x 2, 3. x 2 x, 4. 2x 1/2, 5. 4 1 2Ax+B, 6., 7. (x+2) 2 x( x 1) 2, 8. 3x2 +x 1. 2x 3/2 31

6.4 Ligningen for tangenten Ligningen for tangenten til funktionen f(x) i et punkt x 0, kan findes på følgende måde. Eksempel 6.17 Funktionen f(x) = 2x 2 4 ar i punktet x 0 = 1 en tangent, y = ax+b, og denne tangent findes ved følgende metode. Først bestemmes f (x) f (x) = 2 2x 2 1 = 4x. Derefter bestemmes a = f (x 0 ) f (1) = 4 1 = 4. Derefter bestemmes y 0 = f(x 0 ) Til sidst bestemmes b = y 0 a x 0 f(1) = 2 1 2 4 = 2 b = 2 4 1 = 2 4 = 6 Ligningen for tangenten til f(x) = 2x 2 4 i punktet x 0 = 1 er så y = 4x 6 1 (y) 9 6 3 3 6 f(x) = 2x 2 4 1 2 Tangent y = 4x 6 (x) Opgave 6.18 Bestem tangenten til følgende funktioner i x 0. 1. f(x) = x 2 1 i x 0 = 1 5. f(x) = 2x 4 2x 2 +3 i x 0 = 1 2. f(x) = x 3 5 i x 0 = 1 6. f(x) = 2x 3 x 2 +3 i x 0 = 1 3. f(x) = 2x 4 2x+3 i x 0 = 0 7. f(x) = 1 2 x3 x 2 +3 i x 0 = 2 4. f(x) = 2x 4 2x+3 i x 0 = 1 8. f(x) = x 3 x 2 +3 i x 0 = 1 Svar på opgave 6.18. 1. y = 2x 2, 2. y = 3x 3, 3. y = 2x + 3, 4. y = 6x 3, 5. y = 4x 1, 6. y = 4x, 7. y = 10x+15, 8. y = 5x+6. 32

6.5 Monotoniforold At bestemme en funktions monotoniforold betyder at bestemme vornår funktionen er voksende og aftagende. Med kendskabet til betydningen at differentialkovtienten bliver dette lettere. Fordi man kan udnytte at funktionen er voksende vis differentialkovtienten er positiv og funktionen er aftagende vis differentialkovtienten er negativ. På grafen ses, at f (x) er negativ når f(x) er aftagende og, atf (x) er positiv når f(x) er voksende. For at bestemme monotoniforoldende skal, de x-værdier vor f (x) = 0 findes og fortegnet for f (x) på ver side at nulpunkterne skal bestemmes, og på baggrund af disse oplysninger kan monotoniforoldene for f(x) bestemmes. 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 f (x) = 2x 4 5 (y) 1 2 3 4 f(x) = x 2 4 (x) Eksempel 6.19 For at bestemme monotoniforoldene for funktionen f(x) = x 3 + 3 2 x2 18x+2 differentieres denne og f (x) = 3x 2 +3x 18. Nulpunkterne for f (x) kan findes ved at løse andengradsligningen. L = { 3,2}. Disse nulpunkter afmærkes på en x-akse. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 f (x) 0 0 Så bestemmes fortegnet for f (x) inden og efter vert af nulpunkterne. (x) f ( 4) = 18 og f (0) = 18 og f (4) = 42 Disse fortegn skrives ind på vores x-akse. 33

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 (x) f (x) + 0 0 + Nu kan det afgøres vor f(x) er voksende og vor den er aftagende. Idet f(x) er voksende når f (x) er positiv og f(x) er aftagende når f (x) er negativ. Dette markeres på vores x-aksen med pile. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 (x) f (x) + 0 0 + f(x) ր ց ր Resultatet skal skrives i følgende tekst. Bemærk at funktionen er både voksende og aftagende i 3 og 2. Bemærk at og ikke er indeoldt i intervallerne. Funktionen f(x) er voksende i intervallerne ] ; 3] og [2; [ og funktionen f(x) er aftagende i intervallet [ 3;2] 6.6 Ekstremumssteder Da funktionen er voksende frem til -3 og erefter aftagende siges -3 at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt maksimum. Den lokale maksimumsværdi er f( 3) = 15,5. Da funktionen er aftagende til 2 og erefter voksende siges 2 at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt minimum. Den lokale minimumsværdi er f(2) = 32. Opgave 6.20 Bestem monotoniforoldene og ekstremumssteder og -værdier for følgende funktioner 1. f(x) = 2x 2 7x+4 5. f(x) = 3x 3 +4x 2 +4x 7 2. f(x) = 2x 2 7x+4 6. f(x) = 3x 2 3x+1 3. f(x) = 4x 3 +7 7. f(x) = 2x 4 9x 2 +4 4. f(x) = 2x 4 +7x 8. f(x) = 2x 3 9x 2 +4 34

6.7 Differentiation med Maple Maple kan også differentiere funktioner. f(x) := 2x 2 2x+4 x 2x 2 2x+4 f (x) 4x 2 Udregne funktionsværdier for de aflede funktioner. f (3) 10 6.8 Optimeringen af indtjeningen på bilerne 5000 4000 3000 2000 1000 I(x) 0 x 0 50 100 150 200 For at bestemme det sted vor ældningen for tangenten er 0, gøres ved at løse ligningen I (x) = 0. I dette tilfælde er x = 30,7, vilket betyder at det optimale antal biler er 31 tusinde, dette giver en pris pr. bil på E(31) = 194,240 tkr. Opgave 6.21 Vis at der altid findes en og kun en maksimal indkomst vis efterspørgslen er eksponentielt aftagende. 35