Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6. Gældsuitet...6 Kp. Ekspoetilfuktioer...8. Potesbegrebet...8. Potesregeregler...8. Udvidelse f potesbegrebet til egtive heltl og ul...9. Udvidelse f potesbegrebet til rtiol ekspoet...0 Kp 4. Logritmefuktioer...4. Logritmefuktioer...4 Kp 5...7 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer...7. Ekspoetielle fuktioer...7. Løsig f ekspoetielle ligiger...7. Fordobligs- og hlverigskostt...8. Logritmisk skl...9 4. Potesfuktioer...
Procet og retesregig Kp. Procet og Retesregig. Regig med proceter M hr idført symbolet % til t betege /00. Vil m f.eks. udrege,5% f 450, sker det på følgede måde: % /00 f 450 er 4,50.,5%,5 4,50 5,75.,5% 0,05, så,5% f 450 udreges fr u f ltid som 450 0,05 5,75 M veder ofte bogstvet p til t betege e procetsts. M k d skrive p% p/00. p/00 beteges ofte med r. Der gælder således smmehæge: r p% p/00. r kldes for retefode eller vækstrte. Skl m berege rete R f kpitle K, år retefode er r, så gælder der formle: R K r Dee formel gælder turligvis også selv om, der ikke er tle om rete f e kpitl, me blot lmidelig procetregig. Skl m fide p% r f e størrelse k, og kldes resulttet i (iterestrete), gælder formle: i k r Med dee formel k m f.eks. også besvre spørgsmålet: Hvor mge procet udgør 7 f 79?. Idsætter m emlig i 7 og k 79 i formle og isolerer m r fås: i r k 7 79 0,508 5,08% Vi vil u vise e vigtig formel, der udtrykker hvor meget e kpitl K (e størrelse) er vokset til, år de er forøget med p% svrede til retefode r. Kldes de forøgede kpitl for K, er K lig med kpitle K plus rete R, som er K r. K K + R K + K r K(+r), så K K( + r) Der gælder turligvis de smme formel, selv om det ikke drejer sig om rete og kpitl. Skl vi fide, hvor meget e størrelse k er vokset til, år de er forøget med p% r, gælder: k k(+r) Bemærk, t r godt k være egtiv, selv om vi bruger ordet "vokser". At e størrelse ftger med 5% er det smme som t sige, t de vokser med -5%
Procet og retesregig Eksempel:. I et stormgsi oceres med t e vre er edst med 0 %. Vre sælges u for 457,- kr. Hvd kostede vre før edsættelse. Vi veder formle (.5) med k 457, r - 0% - 0. og bestemmer k. k 457/(-0.) 57,5.. Et år hvde e virksomhed idtægter på 57.000,- kr. og udgifter på 0.000 kr. Det følgede år vokser idtægtere med 5%, udgiftere med %. Hvor mge procet er uderskuddet vokset/ftget med? Kldes uderskuddee u og u hr vi: u 57.000-0.000-44.000 og u 57.000.05-0.000.0-40.80 Vi veder d formle (.5): 40.80 44.000(+r) (+r) 4080/44000 0,9 r 0,9- -0,0868 Uderskuddet er reduceret med 8,68 %.. Reteformle Når e kpitl står til forretig i et pegeistitut, tilskrives der rete med kostte tidsitervller. E periode mellem to retetilskriviger kldes e termi. M k hve helårlige, hlvårlige, kvrtårlige eller måedlige termier. Retefode gives lligevel æste ltid som de årlige retefod, selv om termiere er kortere. Hvis bke f.eks. lover 5% p.. (pro.um årlig), og der er hlvårlige retetilskriviger, vil rete pr. termi være,5%. Som det vil fremgå f det følgede, vil dette ikke svre til e effektiv årlig rete på 5 %. Hvis kpitle K er blevet forretet med retefod r i termier, kue m måske umiddelbrt tro t de tilskreve rete vr K r ( gge rete i e termi). Dette er imidlertid ikke rigtigt, fordi kpitle K vokser, år de forretes, så det beløb der skl bereges rete f i de æste termi er større, og såd fremdeles. Dette kldes for retes rete. Rete bliver emlig også forretet. Vi vil u opstille e formel for K, de ideståede kpitl efter -termier, år strtkpitle er K og retefode r. Vi ved, t vi fider hvd e kpitl er vokset til i termi ved t gge med (+r). Herf følger: K K (+r) K K (+r) K (+r) K K (+r) K (+r) K K - (+r) K (+r) (kpitle efter. termi) (kpitle efter. termier) (kpitle efter. termier)... kpitle efter termier) Vi fider d de vigtige reteformel K K (+r) K er ideståede, år e kpitl K er blevet forretet i -termier til retefod r. De udledte formel er ikke begræset til forretig f e kpitl.
Procet og retesregig Hvis e størrelse b hr e vækstrte r i e periode, vil de efter -perioder være vokset til: b b(+r) Opftter vi dette som e fuktio f, k vi skrive f() b(+r). M hr trditio for t sætte: +r. kldes for fremskrivigsfktore, og vi k således skrive: f() b(+r) f() b hvor +r eller r - Smmehæge mellem reteformle og ekspoetielle fuktioer f() b, skulle d være idlysede, idet det hele tl blot er erstttet f e reel vribel.. Eksempel.. I e bk idsættes.000,- kr. til 4,5% p.. Der er hlvårlige retetilskriviger. Fid ideståede efter 7 år. Atllet f termier 4. retefode r 0,05 og k 000. Ved t idsætte i (.) fås: k 4 000 (,05) 4.70,97 kr.. Ved e fbetligshdel tilbydes der et lå med e måedlig rete på,5%. Det skulle jo give c.,5% 8% i årlig rete...? Bereg de korrekte effektive årlige rete. Vi veder (.) med k, for t se hvor meget kr. vil vokse til på termier med retefod,5% 0,05. k (,05),956 Som er e forøgelse med 9,56% På grud f retes rete, vil de effektive rete i termier være større ed gge rete i termi... Sildebestde i Østersøe i mill. Tos., k side 987 beskrives e ekspoetiel fuktio, : f() (0,8). Bestem vækstrte. 0,8, så r 0,8- -0,8-8%. De er ltså ftget med 8% om året.. Geemsitlig retefod (vækstrte) De geemsitlige retefod (vækstrte) er defieret som: De kostte retefod, som giver de smme vækst i det smme tl perioder. Begrebet geemsitlig rete illustreres bedst ved et eksempel. Eksempel Vækste i produktioe for e virksomhed er % fr 980-8, 5,5% fr 98-85,,5% fr 985-86, -4,% fr 986-88 og -,8% fr 988 til 990. Hvd e de geemsitlige vækstrte over dee periode på 0 år? Vi fider først hvor meget vækste hr været i de 0 år. Ifølge formle ovefor er det: (+r ) (+r ) (+r ) (+r 4 ) (+r 5 ) (,0) (,055) (,05) (0,957) (0,98),0907. Ved de geemsitlige vækstrte (retefod), forstår m de kostte vækstrte r, som giver de smme vækst i det smme tl termier. Der må ltså gælde:
Procet og retesregig (+r) 0 (+r ) (+r ) (+r ) (+r 4 ) (+r 5 ) <> (+r) 0,0907 0 ( + r ),0907,0087 r 0,0087 0,87 % (De geemsitlige vækstrte) De smme fremggsmåde k vedes i lle dre eksempler. Det er turligvis muligt t opskrive e geerel formel til beregig f de geemsitlige rete, me de er ikke så let t vede, hvis m ikke forstår pricippet. Der fides e (tvivlsom) formel i formelsmlige, me det er fktisk lettere t opstille udtrykket direkte, ved hvert eksempel. 4
Opsprigs- og gældsuiteter Kp Opsprigs- og gældsuiteter. Auiteter E uitet er e række f idbetliger, der foretges med kostt tidsitervl. Periode mellem to idbetliger kldes e termi. Det idbetlte beløb forretes med e retefod r pr. termi. For t de efterfølgede formler skl være korrekte, skl idbetligere foretges smtidig med retetilskrivige. I det følgede vil betege tllet f idbetliger, og A skl betege værdie f ideståede efter idbetliger. Dette vil, som vi skl se edefor svre til - termier. De kostte idbetlig kldes for ydelse og beteges y. For t føre e kpitl termi frem, skl der som sædvlig multipliceres med (+r). Nedefor er opskrevet værdie f ideståede, efter 0. termier,. termi,. termier,...,efter - termier. A y A y(+r) + y A (y(+r) + y)(+r) + y y(+r) + y(+r) + y... A y(+r) - + y(+r) - +... +y(+r) + y Eller, hvis vi skriver leddee i de omvedte rækkefølge A y + y(+r) +... + y(+r) - + y(+r) - Bemærk, t der er led i række, svrede til idbetliger, og t ekspoete i det sidste led er - og ikke. Bemærk edvidere, t m kommer til det efterfølgede led ved t multiplicere med +r. E række f tl, hvor m kommer fr ethvert led til det efterfølgede ved t gge med de smme fktor kldes for e kvotietrække. Hvd vi øsker er derfor, t fide e formel for summe f e kvotietrække.. Sumformel for e kvotietrække Vi opskriver u e kvotietrække, hvor det første led kldes og kvotiete kldes for k. Summe f de første led beteges s. S + k + k + k +... + k - + k - For t udlede e sumformel, multiplicerer vi række med k, og subtrherer S fr ks. ks k + k + k +... + k - + k ks - S k + k + k +... + k - + k - ( + k + k + k +... + k - + k - ) 5
Opsprigs- og gældsuiteter Ved subtrktioe vil lle leddee k, k k...k - ud mod hide, og vi fider: ks - S k - S (k-) (k -) formle for S bliver således: S k k Bemærk, t beteger tllet f led i række.. Opsprigsuitet Vi veder u dee formel på vores uitet. Vi skl d blot idsætte tllet f idbetliger), y (ydelse) og k +r. Efter e triviel omskrivig f ævere fider m: A y ( + r ) r Bemærk, t står for tllet f idbetliger. Idbetler m f.eks. 000 kr. hver termi i år er der termier og idbetliger.. Gældsuitet Et uitetslå er et lå, der betles tilbge med e kostt ydelse, hvorf e del er rete og reste fdrg. Afdrget er ltså det beløb, hvormed gælde edbriges. I begydelse f låets løbetid er hovedprte f ydelse reter, (som m k frtrække i skt), me i slutige f løbetide er hovedprte fdrg. Vi øsker t udlede e formel for restgældes størrelse efter termier. Låets opridelige størrelse kldes for hovedstole og beteges G. Restgælde efter termier (lig med idbetliger) beteges G. Retefode pr. termi beteges r, og ydelse beteges y. Vi opskriver u et udtryk for restgælde efter 0,,.., termier. G 0 G G G(+r) - y G G (+r) - y (G(+r)-y))(+r) - y G(+r) - y(+r) - y ; Kpitle G er vokset til G(+r), hvorefter der idbetles y G G (+r) - y G(+r) - y(+r) - y(+r) - y... G G(+r) - y(+r) - - y(+r) - -... - y(+r) - y Vi ser u, t der gælder formle: G G(+r) A. 6
Opsprigs- og gældsuiteter Hvor A beteger de tidligere udledte uitetsformel. Idsættes dee formel fås: G G ( + r) ( + r ) y r Med dee formel, k m udrege restgælde efter termier. Vi er specielt iteresserede i e formel, hvor G 0, ltså hvor restgælde er 0, det vil sige, hvor lået er betlt tilbge: ( + r) 0 G( + r) y r ( + r) G y r For t opå det sidste udtryk, hr vi divideret med (+r) og flyttet G over på de de side f lighedsteget. De sidste formel giver smmehæge mellem hovedstol G (Låets opridelige størrelse), ydelse y pr. termi, retefode r og løbetide (tllet f termier tllet f idbetliger) 7
Ekspoetilfuktioer Kp. Ekspoetilfuktioer. Potesbegrebet Symbolet, hvor R og Z + er defieret ved: (-fktorer) kldes e potes. kldes for rode og kldes for ekspoete. For poteser gælder følgede. Potesregeregler Hvis, b R og, m Z + gælder. M multiplicerer to poteser med smme rod ved t ddere ekspoetere m + m. M dividerer to poteser med smme rod ved t subtrhere æveres ekspoet fr tælleres ekspoet. m Hvis > m: m. M opløfter e potes til potes ved t multiplicere ekspoetere ( m ) m 4. M opløfter et produkt til potes ved t opløfte hver f fktorere. ( b) b 5. M opløfter e brøk til potes, ved t opløfte tæller og æver hver for sig b b Bevis for.: m 44 44 4 4 fktorer m fktorer + m fktorer + m 8
Ekspoetilfuktioer Bevis for.: Bevis for. m fktorer 64748 44 m fktorer m ( m ) m m m m 4 4 4 4 4 4 fktorer m fktorer m Bevis for 4. ( b) b 4 b 4 b4 4 b 44 b44 b b fktorer fktorer fktorer b Beviset for 5. lves helt tilsvrede. Udvidelse f potesbegrebet til egtive heltl og ul Hvis m øsker t udvide potesbegrebet til t omftte egtive heltl og ul, så vil vi stille det (idlysede) krv, t potesregereglere -5 fortst skl være gyldige. Vi foretger d det m klder e lyse, idet vi veder potesregereglere -5 for t fstlægge betydige f f.eks. 0 og -5. Først ser vi på 0, hvor er et reelt tl forskelligt fr 0. Der gælder ifølge (.): 0. Vi k herf se, t hvis (.). stdig skl gælde må vi sætte 0 for lle forskellig fr 0. Vi ser deræst på: 0 0. Vi ser d, t hvis de de potesregel fortst skl være gyldig, må vi sætte: Vi mgler d blot t godtgøre, t lle potesreglere fktisk stdig er gyldige, ved disse fstsættelser. (Hvis det ikke vr tilfældet, ville de ye defiitioer være meigsløse). 9
Ekspoetilfuktioer Vi øjes med t vise dette ved t pr eksempler, hvor m og her beteger hele positive tl: m m (Ifølge de opridelige potesregler) m m (Ifølge udvidelse til egtive ekspoeter) m ) m m m ( ) ( (Ifølge de opridelige potesregler) m m ( ) (Ifølge udvidelse til egtive ekspoeter) m m ( ). Udvidelse f potesbegrebet til rtiol ekspoet Vi mider om defiitioe f symbolet, hvor R \ og Z +. (.8) er det ikke egtive tl, som opløftet til te potes giver. Eksempler. b b 0 b 8 i det 0 og 8 4 4 8 i det 0 og 8 Bemærk i det sidste eksempel t betigelse b 0 er ødvedig, idet såvel 4 8 og (-) 4 8. R - Vi vil u søge t fstlægge e betydig f symbolet p q, hvor p, q Z +. Betigelse for t foretge e udvidelse f potesbegrebet er som før, t regereglere 5 fortst skl være gyldige. Helt på smme måde som før, foretger vi e lyse ved hjælp f disse regeregler. Vi ser først på q, hvor ekspoete er e stmbrøk. q q q q (. regeregel) 0
Ekspoetilfuktioer På de de side, gælder der også ifølge defiitioe f : ( ) hvorf vi fstsætter: q q, q q Og fortsætter, p p q q q ( ) p Vi mgler blot t godtgøre t regereglere for poteser stdig er opfyldt med de ye fstsættelser. Det k i pricippet gøres, som ved de første udvidelse. Regigere er ligetil, me lidt sørklede, så vi spriger det over. Udvidelse f potesbegrebet til egtive rtiole ekspoeter er helt ligetil. p q p q 0 p q p q Bemærk i øvrigt følgede omskrivig, som m ofte med fordel k gøre brug f. p p q q p q p q p ( ) ( ) q ( ) Eksempel ( 4 6 4 ) 4 6 4 4 + 4 5 5 At foretge e udvidelse f potesbegrebet til lle reelle ekspoeter, er ikke så ligetil, idet det kræver kedskb til ogle lidt dybere sætiger vedrørede de reelle tls legeme, hvis det skl gøres mtemtisk korrekt. M k f.eks. ikke fr regereglere slutte sig til betydige f f.eks. π eller. Der gælder imidlertid e sætig fr tlteorie, t ethvert irrtioelt tl, k tilærmes vilkårligt øjgtigt med et rtiolt tl. D potesere er defieret for lle rtiole tl, vil vi derfor tge, t de også k defieres for irrtiole tl og dermed t potesreglere også gælder for poteser med irrtiol ekspoet. Vi defierer d for positiv reel rod og reel ekspoet et geerelt potesbegreb hvor R + og R
Ekspoetilfuktioer Hvorledes m udreger, år er irrtiol, må vi foreløbig vete med til vi hr idført logritmefuktioer, me k turligvis fides på e mtemtisk lommereger. Vi udskyder defiitioe f logritmefuktioer, til slutige f itegrlregige) opfttet som e fuktio f, kldes for ekspoetilfuktioe med grudtl, og skrives f ( ) hvor R+ og R Ifølge det foregåede gælder potesregereglere for lle ekspoetilfuktioer, og vi repeterer dem derfor ige: y + y y y y ( ) y ( b) b b Der gælder, t er voksede for > og ftgede for 0 < < : Bevis: b E fuktio f er voksede i et itervl I, hvis der for lle, I gælder: < f ( ) < f ( ) Vi begyder med de sidste betigelse vedt på. Vi oterer os først, t for > 0 og > er >. Og for > 0 og 0 < < er < Deræst For > er voksede idet: < > 0 > < < < For 0 < < er ftgede idet: < > 0 > > > > Vi oterer til slut, (ude bevis, d det kræver kedskb til logritmer) t: for > : for og 0 for for 0 < < : 0 for og for På figure edefor er skitseret grfere for grfer er symmetriske om y-kse, idet ( ) ( ) f ( ) og f ( ). M bemærker t de to
Ekspoetilfuktioer
Logritmefuktioer Kp 4. Logritmefuktioer. Logritmefuktioer Idet f() for er mooto dvs. voksede eller ftgede, så hr de e omvedt fuktio. De omvedte fuktio kldes for logritmefuktioe med grudtl og skrives: (.) f() log () Om e fuktio og des omvedte fuktio, gælder følgede: (.) y f() f - (y) Dm(f - ) Vm(f) og Vm(f - ) Dm(f) Når vi veder dette på f(), får m: y log (y) og y log () y Dm(log ) R + og Vm(log ) R Specielt får m: 0 log () 0 og log () Grfere for y og log (y) er idetiske, d de to udtryk er esbetydede, me år m ombytter med y, spejler m i liie y, så grfe for y log () er grfe for y spejlet i liie y. Det viser sig, t lle logritmefuktioer er proportiole, som vist edefor med et eksempel. Vi skl ku beskæftige os med to logritmefuktioer, emlig de logritmefuktio med grudtl 0, som skrives log (titlslogritme), og som hr været vedt til umeriske beregiger, side 600- tllet og idtil computere for lvor blev tget i brug i strte f 970, smt logritmefuktio med grudtllet e,78888. e er et irrtiolt tl (egl. trcedet). Dee logritmefuktio skrives l og kldes de turlige logritme. Forklrige på dette vil først blive givet i slutige f itegrlregige. Ekspoetilfuktioe med grudtl e skrives e. Såvel l(), e, log() og 0 fides på lle grfregere, og mtemtiske lommeregere. Som for lle fuktioer og deres omvedte fuktioer, gælder der for ethvert. y e l(y) og y 0 log(y) For lle logritmefuktioer, gælder der de smme logritmeregeregler. Vi vil øjes med t bevise dem for de turlige logritme l, d det letter beviset lidt, og d lle logritmefuktioer er proportiole. For lle, b R og, y R : + 4
Logritmefuktioer l( b ) l( ) + l( b) l( l( Bevis for: l( b ) l( ) + l( b). b ) ) l( ) l( b) l( ) Vi sætter l() e og y l(b) b e y. Herf får m: b e e y e + y + y l( b) l( b) l( ) + l( b) b Bevis for l( ) l( ) l( b) b b l( ) l( b) l( ) + l( b) l( ) l( ) l( b) Bevis for: l( ) l( ). Vi sætter y l() e y b y y ( e ) e y l( ) l( ) l( ) Specielt gælder der for positiv og hel, og positiv og reel l( ) l( ) l ( ) Edvidere gælder der de vigtige idetiteter, som m ofte hr brug for. l( e ) og e l og log(0 ) og 0 log der gælder lidt overrskede t lle logritmefuktioer er proportiole. Vi viser dette med et eksempel, idet vi viser, t l() og log() er proportiole. Idet vi veder de udledte logritmeregler og k vi skrive: log log l( ) 0 l( ) l(0 ) log l(0) log l(0) l(0),0585 Nedefor er vist grfere for l(), log(), e og 0. 5
Logritmefuktioer Eksempel. Der gælder de lidt overrskede sætig. ( + e for ) Dette er et eksempel på e følge f rtioelle tl, der går mod et trscedet tl. Vi beviser det ved t vise, t l( + ) for. D l er kotiuert og ijektiv, følger t tllet selv vil gå imod e. l(+ ) l( + ) l( + ) Sætter vi h således t h 0 for, og veder t l 0 får m: l(+ h) l h for h 0 d l er differetibel i med differetilkvotiete. Herf følger sætige 6
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Kp 5. Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer. Ekspoetielle fuktioer E ekspoetiel fuktio (oge gge tler m om e ekspoetiel udviklig) er e fuktio, der er proportiol med e ekspoetilfuktio. Hvis, b R+ defieres de som: f() b D e ekspoetiel fuktio er proportiol med e ekspoetilfuktio, liger grfere hide meget. Ekspoetielle fuktioer optræder tlrige steder i ture. I fysik, i biologi, i økoomi. Ofte får m stillet de opgve, t bestemme og b, således t grfe for e ekspoetiel fuktio, går geem to pukter (,y ) og (,y ). Metode illustreres lettest ved et eksempel. Eksempel. Vi vil bestemme de ekspoetielle fuktio, e går geem puktere (-, ½) og (,4). Der gælder følgelig ligigere: f() 4 b 4 og f(-) ½ b - ½ Ved divisio f de ederste ligig op i de øverste, får m b b 4 5 8 5 8 Dette idsætte i e f ligigere til t bestemme b 4 b 4 b ( 5 8) 4 b 4 8 5 f ( ) 4 8 5 ( 5 8 ) ( 5 8) For lle ekspoetielle fuktioer gælder: f(0) b 0 b, så grfe for y b går geem (0,b).. Løsig f ekspoetielle ligiger E ligig f forme f() c b c, løses ved t isolere ekspoetilfuktioe og tge logritme på begge sider. b c b c b log( ) b b log log( ) log log( ) c c c log I dette tilfælde, hr vi vedt 0-tls logritme, me vi kue lige så vel ersttte de med l. Eksempel 7
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer 7 l( ) 7 5 7 l l( ) 5 0,06 5 l. Fordobligs- og hlverigskostt Ekspoetielle fuktioer hr de egeskb, t de hr e kostt reltiv (procetisk) vækst, for e kostt tilvækst på de ufhægige vribel. Hvis vi smmeliger e ekspoetiel fuktio med reteformle, og ersttter k med f(), k med b, +r med og med, ses dette klrt. k k(+r) bliver til f() b med k b og +r r kldes som bekedt for vækstrte og for fremskrivigsfktore. Me vi k også vise de kostte reltive (procetiske) vækst direkte. Giver vi emlig e tilvækst på h, vil vi udrege først de bsolutte tilvækst på f() og deræst de reltive tilvækst på f(). Absolut tilvækst: f(+h) f() b +h - b b ( h -) De reltive tilvækst fider m ved t dividere med f()b. f ( + h h) f ( ) f ( ) Hvorf det ses, t de reltive vækst er ufhægig f. (For e lieær fuktio gælder det omvedt t de reltive tilvækst er fhægig f, mes de bsolutte tilvækst er ufhægig f og lig med h, hvor er hældigskoefficiete). For e voksede ekspoetiel fuktio er fordobligskostte defieret som de tilvækst, m skl give de ufhægige vribel () for t fuktioe bliver fordoblet. Vi k ikke på forhåd vide, t fordobligskostte er ufhægig f, me det viser sig t være tilfældet. E fordoblig f fuktioe, svrer til e reltiv tilvækst på (stigig på 00%). Beteges fordobligskostte med T, skl der derfor gælde: f ( + h) f ( ) f ( ) T T l T l log log Helt tilsvrede defierer m for e ftgede ekspoetiel fuktio hlverigskostte som de tilvækst T ½, m skl give de ufhægige vribel () for t fuktioe bliver hlveret. E hlverig f fuktioe, svrer til e reltiv tilvækst på -½. Vi får derfor ligesom før: T f ( + h) f ( ) T l log T f ( ) l log 8
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer. Logritmisk skl Ovefor er vist et udsit f e tlliie i itervllet [0,]. Nederst er givet de lmidelige koordit, som vi i dette tilfælde skriver med et mærke. Øverst er fst det tl, hvis logritme er. Der gælder således: log(). F.eks. er der ud fr 0,00 givet, fordi log() 0,00. kldes for de logritmiske koordit, så logritme til de logritmiske koordit er lig med e lmidelige koordit. E tlliie, hvor der ku er givet de logritmiske koorditer, kldes for e logritmisk skl. Fortsætter m de logritmiske skl fr 0 til 00, vil de lmidelige skl være itervllet [,] og iddelige vil se ligesåd ud. Dette følger f t f.eks. log(0) log(0 ) log()+log(0) log() +. Når de logritmiske koorditer bliver multipliceret med 0, sker der blot e forskydig på + i de lmidelige koorditer. Tilsvrede med 0,, idet log(0,) log(/0) log() - Når de logritmiske koorditer bliver divideret med 0, sker der blot e forskydig på - i de lmidelige koorditer. [/00,/0] vil fbildes i [-,-]. [/0,] -> [-,0]. [,0] -> [0,]. [0,00] -> [,]. Et fsit f de logritmiske skl f.eks. [/00,/0] eller [,0], kldes for e dekde. Før lommeregeres tid (97) vedte m logritmiske skler til t foretge multipliktioer, divisioer, potesopløftig, roduddrgig, smt sius og cosius f decimlkommtl. Det skete ved hjælp f e såkldt regestok, hvor m hvde (fktisk flere) logritmiske skler, der kue forskydes i forhold til hide. Se figure edefor. De ederste skl, er plceret på stokke, mes de øverste, som er forskydelig kldes for tuge. På regestokke fides også e glider, der k forskydes på stokke med ogle tyde lodrette streger, bereget til t idstille to tl på stokke og tuge øjgtig ud for hide. Skl m multiplicere med b, så idstiller m -tllet på tuge ud for. Flytter deræst glidere he, så strege står ud for b på tuge. På stokke, k m d flæse b, idet fstdee (de lm. koor.) til og b er heholdsvis log() og log(b). Summe f disse fstde er log()+log(b) log( b), er plceret på stokke ud fr et pukt, som hr de logritmiske koordit b. 9
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Fordele ved t vede logritmisk ppir i forbidelse med ekspoetielle fuktioer er, t såde fuktioer lle der e ret liie i ekelt logritmisk fbildig. Dette følger idet, mærkede koorditer, som hidtil beteger de lmidelige koorditer, mes umærkede beteger logritmiske koorditer. y b log y log b + log y + b D det sidste udtryk fremstiler e ret liie i de lmidelige (geometriske) koorditer følger påstde. Det er såd, t de eeste kurve m med sikkerhed k gekede visuelt er e ret liie. Hvis m hr et observtiosmterile, og vil udersøge om det svrer til e ekspoetiel fuktio, så fsætter m det (,y) i et ekelt logritmisk koorditsystem. Hvis puktere med tilærmelse k siges, t ligge på e ret liie, så repræseterer observtiosmterilet med stor sikkerhed e ekspoetiel fuktio. Hvis fuktioe hedder f() b, k m bestemme og b ved t flæse to pukter på liie, (ikke to pukter f observtiosmterilet), og bestemme og b, på smme måde, som vi viste det i et eksempel ovefor. Ofte vælger m t bestemme fordobligskostte (hlverigskostte) på følgede måde: M vælger to pukter på. kse, som svrer til e fordoblig. For eksempel y og y 4 eller y 9 og y 8, og fider derefter de tilsvrede pukter og på.kse. Fordobligskostte er d lig med: T -. På helt tilsvrede vis fider m hlverigskostte T ½, som forskelle - mellem to - værdier, som svrer til e hlverig f fuktioe. F.eks. og 6 På det ekeltlogritmiske ppir edefor er geemført e såd bestemmelse f og b. 0
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer 4. Potesfuktioer E potesfuktio er e fuktio, der er givet ved udtrykket: (5.) f ( ) b ;, b R og R + Når er et helt positivt tl, k defiitiosmægde udvides til R, og år er et helt egtivt tl, k defiitiosmægde udvides til R\{0}. I det geerelle tilfælde er e potesfuktio defieret ved omskrivige: l (5.) f ( ) b be ;, b R og R + Vi hr tidligere beskæftiget os med ogle simple potesfuktioer, f.eks.:
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer f ( ), f ( ), f ( ) 4 4 f ( ), f ( ) 4 l Det ses f udtrykket: f ( ) b be, t f ( ) b er voksede for >0, fordi såvel e og l() er voksede og ftgede for <0, fordi e - er ftgede. Bemærk forskelle til ekspoetielle fuktioer f() b, hvor og hr byttet rolle. Regiger med potesfuktioer og ekspoetielle fuktioer liger hide, d de i begge tilfælde er bseret på potesreglere.,. Eksempel. Bestem de potesfuktio f ( ) b, der går geem puktere (,4) og (7,). Vi opstiller ligigere f () 4 b b 7 4 b 4 7 4 og f (7) 4 l 0,96 l 7 b 7 4 herf fås b 4,69 Hvis m vil udersøge, hvorvidt et tlmterile k beskrives ved e potesfuktio, veder m ofte dobbeltlogritmisk ppir, ltså et koorditsystem med to logritmiske kser. Der gælder emlig t lle potesfuktioer fbildes i e ret liie i dobbeltlogritmisk ppir. Hvis mærkede koorditer, som hidtil beteger de lmidelige koorditer, mes umærkede beteger logritmiske koorditer k m skrive: y b log y logb + log y' ' + b' Det sidste udtryk er etop ligige for e ret liie med hældig i geometriske koorditer. Hvis m idteger et observtiosmterile på dobbeltlogritmisk ppir, og puktere ligger på e ret liie, k m med rimelig sikkerhed tge, t mterilet k repræseteres ved e potesfuktio f ( ) b. For t bestemme og b, k m flæse to pukter (, y ) og (, y ) på liie og bestemme og b på æste de smme måde, som det vr tilfældet for ekspoetilfuktioer. Dette fører til e formel for. log y log, hvorefter b bestemmes ved t idsætte i e f ligigere. log y log Det er imidlertid lettere og bedre, t bestemme, som de geometriske hældigskoefficiet f liie på sædvlig vis, som y', bortset f udmålige f de to stykker y' y' og ' ', skl y' ' ' ske på e liel, idet det jo ikke er de geometriske koorditer, der er plceret på ksere.
Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Hvis tllet, befider sig på de logritmiske. kse k b flæses på. kse ved. dette følger trivielt f, t f ( ) b f () b b.