fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank Dabelstein og Michael K. Sørensen en generel orientering om ED-systemet, hvorefter der blev givet en introduktion til statistik og sandsynlighedsregning. landt andet omtaltes Example 1.1 i Statistics with pplications in iology and Geology (SG). Ved forelæsningerne den 5. og 6.2 tog vi fat på gennemgangen af asic Probalility Theory (PT). Vi afsluttede kapitlerne 1, 2 og 3 og omtalte også udvalgte dele af ppendix og ppendix. Resumeer af forelæsningerne i sandsynlighedsregning er vedhæftet denne og de følgende meddelelser. Forelæsningerne i uge 7 (10-14.2) Gennemgangen af PT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Udleveret: (6.2) Opgaver i sandsynlighedsregning I opgaverne er der referencer til tidligere versioner af PT, som det desværre ikke er teknisk muligt at ændre. De nye referencer angives nedenfor efter opgaverne. For eksempel betyder 10 [(2.8) (.15) og (2.26) med x = p 2 (.9) med q = p 2 ], at i Opgave 10 skal (2.8) ændres til (.15) og (2.26) med x = p 2 skal ændres til (.9) med q = p 2 ] Øvelserne i uge 7 (10-14.2) Først regnes opgaverne 1, 2, 3, 10 [(2.8) (.15) og (2.26) med x = p 2 (.9) med q = p 2 ] og 14 [side 2.7 side 133] i Opgaver i sandsynlighedsregning. (Vink til opgave 1: Det kan uden bevis benyttes at C C = ( ) C og C C = ( ) C.) Resten af tiden bruges til ED. Øvelserne i uge 8 (17-21.2) Opgaverne 4, 5, 6, 8 [siderne 4.5-4.9 siderne 16-19], 11, 12 [side 5.13 side 32] (den del der vedrører de stokastiske variable R og Z), 13 samt første spørgsmål i opgave 15. 1
fleveringsopgaver (uge 8) Opgave 7 (uge 9) Den del af opgave 12 [ side 5.13 side 32] der vedrører de stokastiske variable S og Y. Det frivilligt at aflevere disse opgaver. Vi opfordrer jer dog kraftigt til at gøre det for at opnå træning i at formulere opgavebesvarelser. Hver hold bedes aftale tidspunkt for aflevering af opgaver med instruktoren. 2
Resume Uendelige rækker ppendix side 131 Hvis a 1,a 2,...,a n,... er en uendelig følge af reelle tal kaldes en uendelig række. a n = a 1 + a 2 + + a n + Rækkens n te led: a n Rækkens n te afsnitssum: s n = a 1 + a 2 + + a n Hvis s n s, når n, er rækken er konvergent med sum s, hvilket vi kort skriver ellers kaldes rækken divergent. s = a n, (Undertiden har man - som i to af eksemplerne nedenfor - en følge startende i 0, a 0,a 1,a 2,..., a n,... Rækken n=0 a n er da konvergent med sum s, hvis s n+1 s, når n, hvor s n+1 = a 0 + a 1 + a 2 + + a n.) Rækken a n siges at være absolut konvergent, hvis rækken af absolutte (numeriske) værdier a n er konvergent. Der gælder, at a n konvergent det vil sige, at absolut konvergens medfører konvergens. a n konvergent, Regneregler for konvergente rækker side 133 R.1
Eksempler Table.1 side 134 Række Sum Formel i ( i ) n a n b i n, i N, a,b R (a + b) i (.3) n=0 i q n, q R and q 1 n=0 i 1,i 2,...,i k i 1 +i 2 + +i k =i i=0 n=0 n=0 ( α i 1 q i+1 1 q (.4) ( i i 1...i k ) x i 1 1 x i 2 2 x i k k, (x 1 + x 2 + + x k ) i (.6) i N, (x 1,...,x k ) R k ) x i, α, x R and x < 1 (1 + x) α (.8) x n, x R and x < 1 1 1 x (.9) x n n!, x R ex (.10) x n, x R and x < 1 ln(1 x) (.11) n ( 1) n 1 1 n n ln(2) divergent (.12) (.13) R.2
Mængder Section.1 side 123 Hvis og E er to mængder, så er en delmængde (subset) af E, kort E, hvis alle elementer i også er elementer i E, dvs. e e E. Hvis E, er komplementær mængden (complementary set) af (indenfor E) mængden C = {e E e / }. Hvis og er delmængder af E, er foreningsmængden (union) af og mængden = {e E e eller e }, fællesmængden (intersection) af og er mængden = {e E e og e } og mængde differensen (set difference) mellem og er mængden \ = {e e / } = C. C \ R.3
Hvis 1, 2..., n,... er en følge af delmængder af E, kaldes mængden n i = 1 n = {e E e i for mindst et i = 1...,n} i=1 en endelig foreningsmængde (finite union) and mængden n i = 1 n = {e E e i for alle i = 1...,n} i=1 en endelig fællesmængde (finite intersection), mens mængderne og i = {e E e i for mindst et i = 1,2,...,} i=1 i = {e E e i for alle i = 1,2,...} i=1 kaldes henholdsvis en uendelig foreningsmængde (infinite union) og en uendelig fællesmængde (infinite intersection). Den tomme mængde (empty set) /0 har ingen elementer. Denne mængde er en delmængde af alle andre mængder. To delmængder og af E siges at være disjunkte (disjoint), hvis de ikke har fælles elementer, dvs. hvis = /0, og elementerne i en følge af delmængder, 1, 2,..., n,..., siges at være indbyrdes disjunkte (mutually disjoint) hvis i j = /0, hvis i j, i, j = 1,2,... Endelig, hvis { n } is an voksende følge (increasing sequence) af delmængder, dvs. 1 2... n..., og = n, skriver vi n og, tilsvarende, hvis { n } er en aftagende følge (decreasing sequence), dvs. 1 2... n..., og = n, skriver vi n. Eksempler Example.1 side 125 Intervaller i R R.4
Samling af delmængder Section.2 side 126 P(E) betegner alle delmængder af E. Dvs. hvis er en delmængde af E, E, så er et element i P(E), P(E). Specielt, da E selv er en delmængde af E, E E, og den tomme mændge /0 er en delmængde af E, /0 E, gælder der at E P(E) og /0 P(E). Desuden, hvis e er et element i E, e E, så er mængden {e} bestående af e alene en delmængde af E, {e} E, så {e} P(E). E ( ) P E e { e} E R.5
Eksempler Example.4 side 127 orel mængder i R Hvis E er de reele tal R, kaldes den mindste samling F af delmængder af R, som indeholder alle lukkede intervaller i R og som opfylder de to betingelser: F C F n F, n = 1,2,... n F and n F, ( ) P E C [ a, b] F 1 2 3 n n n orel delmængderne i R. De er karakteriseret ved, at hvis F så er det muligt af beregne længden af som = dx. orel delmængderne F siges at være lukket (closed) under dannelse af komplementær mængde og dannelse af uendelig foreningsmængde og uendelig fællesmængde. Den sidste af de to betingelser medfører, at samlingen af orel mængder F er lukket under dannelse af endelig foreningsmængde og fællesmængde, dvs. n F, n = 1,...,i i n F and i n F. Endelig er den tomme mængde /0 og and mængden R selv elementer af F. orelmængderne i R k defineres på tilsvarende måde. R.6
Sandsynlighedsrum (E,F,P) (Probability space, Chapter 2 side 3) E E: udfaldsrum (sample space) e E: udfald (outcome) E: hændelse (event) e F: den samling af delmængder af E, som vi vil beregne sandsynligheder for. Hvis P(E) betegner alle delmængder af E er F P(E). P ( E) F skal opfylde: 1) F C F 2) Hvis n F, n = 1,2,..., så skal C [ a, b] 1 2 3 n F n F og n F n n (F er lukket under uendelig foreningsmængde og fællesmængde) Vi viste: a) E F b) /0 F c) Hvis n F, n = 1,...,i, er i n F og i n F Vi betragter kun følgende tilfælde: E F endelig mængde P(E) tællelig mængde P(E) orel mængde i R k orel delmængder af E (F er lukket under endelig foreningsmængde og fællesmængde) R.7
P: sandsynlighedsmål (probability measure) er en afbildning fra F ind i intervallet [0,1] som opfylder: 1) P(E) = 1 P : F [0,1] P() (sandsynligheden for ) 2) Hvis n F, n = 1,2,..., er en uendelig følge af parvis disjunkte mængder, det vil sige j k = /0, j k, så er P( n ) = P( n ) (uendelig række) Vi viste: a) P(/0) = 0 b) Hvis n F, n = 1,,...,i, er en endelig følge af parvis disjunkte mængder, det vil sige j k = /0, j k, så er P( i n ) = i P( n ) (endelig sum) R.8
Eksempler Example 2.1 side 4 E: endelig mængde F: P(E), alle delmængder af E P: uniforme sandsynlighedsmål på E, P() = # #E = antal elementer i antal elementer i E E Example 2.2 side 5 E: orel delmængde af R, så længden af E, E, er endelig F: orel delmængderne af E. Sæt for F = 1dx (længden af ) P: uniforme sandsynlighedsmål på E, P() = længden af = E længden af E [ [ ] E ] R.9
Flere egenskaber ved P Chapter 3 side 7 \ P(\)=P() P() C C P( )= 1 P() P( )=P()+P() P( ) P( )=P()+P() hvis = Desuden gælder der: P er voksende P() P() P er kontinuert n = n = n P( n ) P() n P( n ) P() Eksempler Example 3.1 side 9 Example 3.2 side 9 R.10
etingede sandsynligheder og uafhængighed af hændelser Chapter 4 side 13 etinget sandsynlighed (conditional probability) Definition 4.1 side 13 Hvis P() > 0 kaldes P( ) = P( ) P() den betingede sandsynlighed af givet (conditional probability of given ). P( )=P( )/P() Uafhængighed af hændelser (independence of events) og er uafhængige (independent) hvis P( ) = P()P() Der gælder: og er uafhængige P( ) = P() Definition 4.2 side 14: 1,..., n er indbyrdes uafhængige (mutually independent) hvis P( i1 i j ) = P( i1 ) P( i j ), hvor {i 1,...,i j } {1,2,...,n}, j = 2,...,n Eksempler Example 4.1 side 14 R.11
Regneregler side 18 Omvendt betinget sandsynlighed kendte er Hvis de tre størrelser P() > 0, P() > 0 og P( ) alle er P( ) = P( )P() P() Hvis 1,..., n er en disjunkt opdeling af E, dvs. n i = E, og i j = /0, i j i=1 og P( i ) > 0 og P( i ), i = 1,...,n, alle er kendte, er E og P() = n i=1 P( i )P( i ) 1 2 3 k P( k ) = P( k)p( k ) n i=1 P( i)p( i ) (ayes formel) Eksempler Example 4.2 side 16 og 19 Example 4.3 side 17 og 19 R.12
Uafhængige gentagelser af et eksperiment side 20 eksperiment nr: 1 i n sandsynlighedshedsrum: (E,F,P) (E,F,P) (E,F,P) Under ét beskrives gentagelserne ved sandsynlighedsrummet (E n,f n,p n ), hvor udfaldsrum: E n = E E E = {(e 1,...,e i,...e n ) : e i E, i = 1,...,n} samling af delmængder F n, mindste samling af delmængder af E n, som indeholder alle mængder af formen 1 i n = {(e 1,...,e i,...e n ) : e i i F, i = 1,...,n} sandsynlighedsmål P n givet ved P n ( 1 i n ) = P( 1 ) P( i ) P( n ) egrundelse for navnet uafhængige gentagelser P n (E E i E E) = P( i ) E E i E E i Under P n er hændelserne E E i E E, i = 1,...,n, uafhængige, det vil sige at efter identifikationen af E E i E E med i er hændelserne i, i = 1,...,n, uafhængige. R.13
Example 4.4 side 21 Lad 1,..., k være en disjunkt opdeling af E, E k E = j, i j = /0, i j j=1 dvs. én og kun én af følgende hændelser observeres hændelse: 1 j k sandsynlighed: π 1 π j π k k k π j = P( j ) = P(E) = 1 j=1 j=1 π = (π 1,...,π k ) som tilhører sandsynlighedsvektor 1 2 3 k Π k = {π : π j > 0, j = 1,...,k, k π j = 1} j=1 n uafhængige gentagelser af forsøget udfald: j1 ji jn sandsynlighed: π j1 π ji π jn Example 5.9 side 47 X j : antal gange j observeres i de n gentagelser. X = (X 1,...,X j,...,x k ) P(X = x) = n! x 1! x k! πx 1 1 πx k k X m(n,π) R.14