Analytisk perturbationsteori for matricer

Institut for Matematiske Fag www.math.aau.dk Analytisk perturbationsteori for matricer Speciale af Kenn Erik Markholm Andersen Efterår 2009

Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefon 99 40 88 04 Fax 98 5 8 29 http://www.math.aau.dk Synopsis: Titel: Analytisk perturbationsteori for matricer Projektperiode:.sep. -. dec 2009 Forfatter: Kenn Erik Markholm Andersen Vejleder: Arne Jensen Oplagstal: 4 Sidetal: 49 Bilagsantal og art: Ingen Afsluttet:. dec. 2009 I denne rapport betragtes perturbation af egenværdier for lineære operatorer på endeligdimensionale komplekse vektorrum. Det undersøges hvordan egenværdierne ændrer sig med operatoren, når denne afhænger analytisk af en parameter. Da den karakteristiske ligning til bestemmelse af egenværdierne i dette endeligdimensionale tilfælde er givet ved et polynomium af to variable, bevises der en del resultater om polynomier. For at studere egenværdierne indføres resolventen for operatoren og perturbation af denne gennemgåes. Ligeledes findes en stambrøksopsplitning af resolventen.

ABSTRACT Given a linear operator in a finite-dimensional complex vectorspace. It is of interest to know how the eigenvalues change with the operator, when the operator depends on a parameter analytically. To answer this question the resultant of the operator is studied in detail. Various properties of the resolvent are stated and proved and these are used to investigate the singularities of the resolvent. Also the partial fraction decomposition of the resolvent has been derived. To this end a number of tools from complex analysis proves useful and some of them are discussed and proved. Since the characteristic equation of the operator, in this finite-dimensional setting, is given by a polynomial equation in two variables, a selection of results on polynomials are stated and proved, so that the characteristic equation can be examined. Algebraic functions are introduced in order to state and prove the main theorem about the behaviour of the eigenvalues. The concept of a norm is used to define the norm of an operator, which is the basic tool in the estimates of the following sections on the resolvent. Finally a number of examples are given to illustrate the theory.

FORORD I denne rapport er det underforstået, at der ved feks. T ζ skal forstås T ζi., hvormed der ikke altid skelnes (notationsmæssigt) mellem skalarer og operatorer. Der betragtes kun lineære operatorer på endeligdimensionale komplekse vektorrum. Generelle henvisninger skrives som eksempelvis [AJ], hvor [AJ] så kan findes i litteraturlisten. Specifikke henvisninger skrives som f.eks. [AJ, s. 2, Theorem 3.6], hvor [AJ] igen kan findes i litteraturlisten, s. 2 angiver sidetallet og Theorem 3.6 er navnet på resultatet. Der skelnes ikke mellem analytisk og holomorf. Alle kurver antages at være stykkevis glatte. Alle mængder antages at være åbne og sammenhængende, medmindre andet er nævnt.

INDHOLDSFORTEGNELSE Introduktion 0. Preliminaries...................................... Resultater fra kompleks funktionsteori..................2 Resultater om polynomier........................ 3..3 Algebraiske funktioner.......................... 8.2 Hovedsætningen.................................. 20.3 Ledsagermatricen................................. 26.4 Operatornorm................................... 27.5 Perturbation af resolventen........................... 3.6 Singulariteter for resolventen.......................... 37.7 Eksempler...................................... 47.7. Operator repræsenteret ved (2 2)-matrix.............. 47.7.2 Operator repræsenteret ved (3 3)-matrix.............. 48 Kilder 49

KAPITEL INTRODUKTION. PRELIMINARIES.. RESULTATER FRA KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI Definition. Analytisk En funktion der er defineret og komplekst differentiabel overalt i et område Θ kaldes en analytisk funktion. En analytisk funktion kaldes også holomorf. Definition.2 Meromorf Lad G C være et domæne og lad f : G \ P C være en holomorf funktion med isolerede singulariteter i P. Hvis alle punkter i P er poler, siges f at være meromorf i G. Følgende bliver nyttig: Sætning.3 Rouches sætning Lad de to funktioner f (z) og ϕ(z) være analytiske i det enkeltsammenhængende område Θ. Lad den simple lukkede kurve C være indeholdt i Θ og lad f (z) 0 på C. Antag desuden, at f (z) > ϕ(z) på C. Så har de to funktioner f (z) og f (z)+ϕ(z) det samme antal nulpunkter i den del af Θ der er omsluttet af C. Bevis: Da f og ϕ begge er analytiske i Θ er f + ϕ det også. [Conway, s. 23, 3.4 Argument Principle] giver således (med en lidt anden notation), at C f (z) f (z) dz = N og C f (z) + ϕ (z) dz = M, f (z) + ϕ(z) hvor N betegner summen af ordenerne af nulpunkterne for f omsluttet af C og M betegner summen af ordenerne af nulpunkterne for f + ϕ omsluttet af C. Nu vælges orienteringen af C til at være positiv, hvilket er underordnet i sætningen, men nødvendigt i dette bevis. Det skal vises, at N = M, hvilket således er ækvivalent med at vise, at som er ækvivalent med at vise, at C C f (z) f (z) dz = C f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) dz ( f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) f (z) )dz = 0. f (z) Side

Speciale Afsnit.: Preliminaries Ved direkte udregning ses, at og Der gælder altså f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) f (z) f (z) = ϕ (z)f (z) ϕ(z)f (z) f (z)(f (z) + ϕ(z)) ( + ϕ(z) f (z) ) + ϕ(z) f (z) = ϕ (z)f (z) ϕ(z)f (z). f (z)(f (z) + ϕ(z)) Problemet kan således omskrives til f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) f ϕ(z) (z) ( + f (z) = + ϕ(z) f (z) f (z) ) ( + ϕ(z) f (z) ) C + ϕ(z) dz = 0. (.) f (z) Det haves, at f (z) > ϕ(z) ϕ(z) på C, hvormed <. Dermed ligger værdierne for + ϕ(z) i den højre halvplan (indenfor cirklen med centrum i og radius - specielt bliver f (z) + ϕ(z) f (z) f (z) aldrig nul eller reelt og negativt) hvor logaritmen er veldefineret. Derfor kan integralet i (.) nu udregnes på følgende måde. Da (ln f (x)) = f (x) ses, at integranden f (x) har stamfunktionen ln( + ϕ(z) ). [AJ, s. 2, Theorem 3.6] giver således, at integralet er f (z) lig nul, idet C er en lukket kurve. Beviset er således fuldført.. Sætning.4 Laurents sætning Lad f være en kompleks funktion, som er analytisk på ringen R < z z 0 < R 2, hvor z 0 er centrum for de to cirkler med radius R og R 2. Så kan f repræsenteres ved en Laurent-række, f (z) = n= a n (z z 0 ) n, hvor a n = γ f (z) (z z 0 ) n+ dz, og γ er en simpel lukket kurve med positiv omløbsretning, som omslutter z 0 og ligger mellem cirklerne med radius R og R 2. Rækken konvergerer for R < z z 0 < R 2. Specielt konvergerer rækken uniformt på ρ z z 0 ρ 2, hvor R < ρ < ρ 2 < R 2. Udtrykket n= a n (z z 0 ) n Side 2

Afsnit.: Preliminaries Speciale skal forstås som summen af de to uendelige rækker n= a n (z z 0 ) n og a n (z z 0 ) n, n=0 hvor a n er defineret som ovenfor. Det bemærkes, at hvor n= a n (z z 0 ) n = n= b n (z z 0 ) n, b n = (z z 0 ) n f (z)dz. γ Denne del kaldes principaldelen af Laurent-rækken...2 RESULTATER OM POLYNOMIER I dette afsnit gennemgåes en række nyttige resultater om polynomier. Som korollar til Rouches sætning, sætning.3, fås følgende nyttige resultat: Sætning.5 Algebraens fundamentalsætning Ethvert egentligt polynomium med komplekse koefficienter har præcis lige så mange komplekse rødder som graden af polynomiet, hvis rødderne tælles med multiplicitet. Bevis: Lad p(z) være givet ved Det fås, at p(z) = a 0 + a z + + a n z n, hvor a n 0. p(z) a n z n = a 0 a n z n + a a n z n + + a n + for z 0. a n z Her ses, at højresiden (og dermed også venstresiden) går mod for z gående mod uendelig. Der findes derfor et tilpas stort tal R, så der for z = R gælder p(z) a n z n < p(z) a n z n a n z n < p(z) an z n a n z n < p(z) an z n < an z n a0 + a z + + a n z n < an z n. Vælg nu et R så stort, at a0 + a z + + a n z n < an z n for z = R, Side 3

Speciale Afsnit.: Preliminaries så er betingelserne fra Rouches sætning, sætning.3, opfyldt, med f (z) = a n z n og ϕ(z) = a 0 + a (z) + + a n z n. Da f (z) = a n z n har n rødder (0 er rod med multiplicitet n) indenfor cirklen z = R, (R > 0), så har p(z) = f (z) + ϕ(z) også n rødder, såfremt R vælges så stor, at alle rødder for p(z) ligger i z < R. Da f (z) = a n z n kun har roden 0, ændres/øges antallet af rødder ikke uanset hvor stor R bliver. Beviset er hermed færdigt. Lemma.6 Givet et polynomium p(λ) der har λ = a som rod, så gælder: λ = a er multipel rod i p(λ) hvis og kun hvis λ = a er rod i p (λ). Bevis: Antag, at λ = a er multipel rod i p(λ). Det betyder, at p(λ) = (λ a) m q(λ) hvor q(λ) er et polynomium af grad deg q = deg p m hvor m er et naturligt tal, m 2. Heraf fås p (λ) = m(λ a) m q(λ) + (λ a) m q (λ) = (λ a) m (mq(λ) + (λ a)q (λ)), hvoraf det ses, at λ = a er rod i p (λ). Antag nu, at λ = a er rod i både p(λ) og p (λ), da findes polynomier q og q 2 så Ved differentiation af p(λ) fås p(λ) = (λ a)q (λ) og p (λ) = (λ a)q 2 (λ). p (λ) = q (λ) + (λ a)q (λ). De to udtryk for p (λ) sættes nu lig hinanden Dette kan omskrives til q (λ) + (λ a)q (λ) = (λ a)q 2(λ). q (λ) = (λ a)(q 2 (λ) q (λ)). Ved at indsætte dette i udtrykket for p(λ) fås p(λ) = (λ a) 2 (q 2 (λ) q (λ)), hvoraf det ses, at λ = a er multipel rod i p(λ). Bemærk, at ovenstående bevis faktisk viser, mere end der står i sætningen, nemlig at hvis λ = a er rod i p(λ) med multiplicitet m 2, så er λ = a rod i p (λ) med multiplicitet m. Nu indføres en variant af Euklids algoritme for polynomier. Givet to polynomier p(λ) og q(λ), hvor deg p > deg q, så indføres følgende algoritme: Divider q op i p og find resten r. Divider r op i q og find resten r 2. Divider r 2 op i r og find resten r 3. Fortsæt på denne måde, indtil resten er en konstant. Denne konstant Side 4

Afsnit.: Preliminaries Speciale er outputtet for algoritmen. Algoritmen ser altså således ud: p(λ) = q 0 (λ)q(λ) + r (λ), hvor degr < deg q, q(λ) = q (λ)r (λ) + r 2 (λ), hvor degr 2 < degr, r (λ) = q 2 (λ)r 2 (λ) + r 3 (λ), hvor degr 3 < degr 2,. r n 2 (λ) = q n (λ)r n (λ) + r n (λ), hvor degr n < degr n, (.2) stop ved degr n 0 og giv r n som output. [Cohen, s. 23, Theorem 5] giver eksistens og entydighed af outputtet r n ved denne algoritme, hvormed det giver mening at fastsætte følgende: Definition.7 Resultant Givet to polynomier p(λ) og q(λ), hvor deg p > deg q. Outputtet r n fra ovenstående algoritme kaldes resultanten R(p,q) for de to polynomier. Dvs. R(p,q) r n. Bemærk, at r n, og dermed resultanten, er en konstant. Eksempel.8 Betragt de tre polynomier Da der gælder, at giver algoritmen p(λ) = λ 2 + 2λ, q (λ) = λ + 3 og q 2 (λ) = λ + 2. λ 2 + 2λ = (λ )(λ + 3) + 3 og λ 2 + 2λ = λ(λ + 2) + 0, R(p,q ) = 3 og R(p,q 2 ) = 0. Bemærk desuden, at p og q 2 har den fælles rod λ = 2, mens p og q ikke har nogen fælles rødder. Proposition.9 To polynomier p(λ) og q(λ), hvor deg p > deg q, har en fælles rod λ 0, hvis og kun hvis deres resultant er identisk lig nul, dvs. hvis og kun hvis R(p,q) 0. Bevis: Antag, at p(λ) og q(λ) har en fælles rod, λ 0, hvormed p(λ 0 ) = 0 og q(λ 0 ) = 0. Ved indsættelse af λ 0 i algoritmens første linie fås direkte, at r (λ 0 ) = 0. Ved indsættelse af λ 0 i algoritmens anden linie fås tilsvarende, at r 2 (λ 0 ) = 0. Således fortsættes til algoritmens sidste linie, som giver r n (λ 0 ) = 0. Da degr n 0, må r n 0. Antag nu, at R(p,q) 0. Dvs., at r n 0, hvormed algoritmens sidste linie giver, at r n 2 (λ) = q n (λ)r n (λ). (.3) Side 5

Speciale Afsnit.: Preliminaries Da r n (λ) er et polynomium af grad mindst een (ifølge algoritmen) følger det, af algebraens fundamentalsætning, sætning.5, at r n (λ) har mindst een rod. Lad λ 0 være rod i r n (λ), da giver (.3), at λ 0 også er rod i r n 2 (λ). Algoritmens andensidste linie: r n 3 (λ) = q n 2 (λ)r n 2 (λ) + r n (λ) viser nu, at λ 0 er rod i r n 3 (λ), da λ 0 er rod i r n 2 (λ) og r n (λ). Ved at gå baglæns igennem algoritmen, fås af algoritmens første linie, at da λ 0 er rod i q(λ) og r (λ), er λ 0 også rod i p(λ). Det er dermed vist, at p(λ) og q(λ) har en fælles rod. Definition.0 Diskriminant Givet et polynomium p n af grad n, så defineres diskriminanten, D n, for polynomiet som resultanten af polynomiet og dets afledte, dvs. D n R(p n,p n ). Eksempel. Betragt det generelle andengradspolynomium Heraf fås Da fås p 2 (λ) = aλ 2 + bλ + c, a 0, p 2 (λ) = 2aλ + b. ( aλ 2 + bλ + c = 2 λ + b )(2aλ + b) + c b2 4a 4a D 2 R(p 2,p 2 ) = c b2 4a = 4a (b2 4ac). Bemærk afvigelsen fra den sædvanlige diskriminant d = b 2 4ac. Der gælder dog, at D 2 = 0 = d præcis når b 2 4ac = 0, således at p(λ) har en dobbeltrod hvis og kun hvis D 2 = 0. Proposition.2 Polynomiet p n (λ) har mindst een multipel rod hvis og kun hvis D n 0. Bevis: Antag først, at polynomiet p n (λ) har mindst een multipel rod. Så er denne rod også rod i p n (λ) ifølge lemma.6 og proposition.9 giver således at R(p n,p n ) 0. Det følger så af definition.0, at D n 0. Antag nu, at D n 0. Definition.0 giver således at R(p n,p n ) 0, hvilket ifølge proposition.9 er ensbetydende med at p n (λ) og p n (λ) har mindst een fælles rod, hvorefter Side 6

Afsnit.: Preliminaries Speciale det følger af lemma.6 at p n (λ) har mindst een multipel rod. Ved et polynomium p af to variable ζ og λ forstås en dobbeltsum af formen m n p(ζ,λ) = a j l ζ j λ l. j =0 l=0 Definition.3 Reducibel Givet et polynomium p(ζ,λ), ζ Ω, analytisk i ζ. Så kaldes p reducibel, hvis og kun hvis der findes polynomier p (ζ,λ) og p 2 (ζ,λ) der er ikke-konstante og analytiske i ζ, så p(ζ,λ) = p (ζ,λ)p 2 (ζ,λ). Diskriminanten for p(ζ, ) betegnes D(ζ). Proposition.4 Polynomiet p(ζ,λ) er reducibelt, hvis D(ζ) 0 for alle ζ Ω. Bevis: I dette bevis benyttes en variant af algoritmen givet i (.2). Ved hvert skridt i algoritmen i (.2) divideres der med et polynomium. Hvis man således anvender denne algoritme direkte på polynomiet p(ζ,λ) og dets afledte (hvor disse betragtes som polynomier i λ, med koefficienter der afhænger polynomielt af ζ), så risikerer man at dividere med et udtryk, hvor koefficienterne der afhænger af ζ giver anledning til et nulpunkt for udtrykket. Ved alligevel at benytte algoritmen, men så efter hvert skridt gange den fremkomne ligning igennem med en faktor (der afhænger af ζ, men ikke af λ), således at eventuelle nulpunkter fjernes, så opnår man en variant af den oprindelige algoritme. Denne variant anvendes i det følgende, men de førnævnte faktorer der afhænger af ζ udelades, for at lette opskrivningen. Bemærk dog at dette ikke har betydning for de konklusioner der drages. Antag, at D(ζ) 0 for alle ζ Ω. Så følger det af definition.0, at algoritmen i (.2) giver outputtet r n 0, hvormed algoritmens sidste linie er givet ved r n 2 (λ) = q n (λ)r n (λ). Indsættes dette udtryk for r n 2 (λ) i algoritmens andensidste linie, som er givet ved fås r n 3 (λ) = q n 2 (λ)r n 2 (λ) + r n (λ), r n 3 (λ) = q n 2 (λ) [ q n (λ)r n (λ) ] + r n (λ) = r n (λ) [ q n 2 (λ)q n (λ) + ]. Indsættes dette udtryk for r n 3 (λ), samt udtrykket for r n 2 (λ) i algoritmens trediesidste linie, som er givet ved r n 4 (λ) = q n 3 (λ)r n 3 (λ) + r n 2 (λ), Side 7

Speciale Afsnit.: Preliminaries fås r n 4 (λ) = q n 3 (λ)r n (λ) [ q n 2 (λ)q n (λ) + ] + q n (λ)r n (λ) = r n (λ) [ q n 3 (λ) [ q n 2 (λ)q n (λ) + ] + q n (λ) ]. Det følger heraf, at man ved at fortsætte med at gå baglæns gennem algoritmen på denne måde, opnår en faktorisering af polynomiet p. Da der i algoritmen gælder, at degr n < degr n og degr n = 0, følger det, at faktorerne i førnævnte faktorisering ikke er konstanter, hvormed det er blevet bevist, at p er reducibelt...3 ALGEBRAISKE FUNKTIONER Definition.5 Algebraisk funktion En løsning w = f (z) til ligningen g 0 (z) + g (z)w + g 2 (z)w 2 + + g m (z)w m = 0, (.4) hvor g n (z) er polynomier af z alene og mindst et af dem er egentligt, kaldes en algebraisk funktion. Ligningen (.4) kan skrives kortfattet som G(z,w) = 0. Eksempel.6 Polynomier er algebraiske funktioner idet her er w = f (z) f (z) + w = 0 g n 0 for n >, g (z) og g 0 (z) f (z). Eksempel.7 Rationale funktioner er algebraiske funktioner idet her er f (z) = a(z) a(z) + b(z)f (z) = 0 b(z) g n 0 for n >, g b(z) og g 0 a(z). Side 8

Afsnit.: Preliminaries Speciale Eksempel.8 En rational funktion opløftet til en brudden potens er en algebraisk funktion idet her er f (z) = ( a(z) b(z) ) p q (f (z)) q = ( a(z) b(z) )p (a(z)) p + (b(z)) p (f (z)) q = 0, g n 0 for n { 0,q }, g q (b(z)) p og g 0 (a(z)) p. Eksempel.9 Ligningen x 2 + y 2 = giver y = ± x 2 begge grene hører til den algebraiske funktion y, selvom y ikke er en funktion i sædvanlig forstand. De trigonometriske funktioner, eksponentialfunktionerne og logaritmefunktionerne er alle eksempler på ikke-algebraiske funktioner eller transcendente funktioner. For m 4 kan ligningen i (.4) løses direkte, hvorved man opnår et eksplicit udtryk for funktionen w = f (z), der derefter kan undersøges. For m > 4 er dette ikke længere muligt og derfor opstår spørgsmålet om hvorvidt der i det hele taget findes en løsning w = f (z) til ligningen, om den er entydig, og hvilke egenskaber den ellers har. Før disse spørgsmål besvares, gøres først nogle antagelser. Det antages, at G(z,w) er irreducibel, jævnfør definition.3. Denne antagelse er ikke urimelig, for hvis G var reducibelt, så f.eks. G(z,w) = G (z,w)g 2 (z,w), ville behandlingen af problemet G(z,w) = 0, ved hjælp af nulreglen, kunne deles op i behandlingen af de to (simplere) problemer G (z,w) = 0 og G 2 (z,w) = 0. Ved at substituere en fast værdi z 0 med z i ligningen, fås en polynomiel ligning i w med skalar koefficienter. Denne ligning vil generelt have m forskellige løsninger/rødder, medmindre man er i et af de to følgende tilfælde:. g m (z 0 ) = 0, hvormed graden af polynomiet er mindre end m og antallet af løsninger/rødder dermed også er mindre end m, ifølge algebraens fundamentalsætning, sætning.5. 2. G(z 0,w) = 0 har multiple rødder. Det sidste sker netop når ligningens diskriminant er identisk lig nul, som det fremgår af proposition.2. Der gælder desuden, at hvis G(z,w) er irreducibel, så er diskriminanten, D(z), ikke identisk lig nul, ifølge proposition.4, men derimod et polynomium af en bestemt grad. Det fremgår af. og 2., at undtagelserne kun kan ske for et endeligt antal specielle værdier af z, som fremover benævnes a,...,a r. I det følgende vil der (til at begynde med) blive set bort fra sådanne kritiske punkter. Der gælder således, at G(z 0,w) = 0 har præcis m forskellige rødder, w () (m) 0,...,w 0 for hvert z = z 0 forskelligt fra de kritiske punkter. Målet er nu følgende: Sætning.20 G(z,w) antages at være af formen G(z,w) = g 0 (z)+g (z)w +g 2 (z)w 2 + +g m (z)w m og irreducibel. Ligningen G(z,w) = 0 definerer præcis een m tydig analytisk funktion w = F (z) i den punkterede plan, dvs. planen bortset fra de kritiske punkter. Side 9

Speciale Afsnit.2: Hovedsætningen.2 HOVEDSÆTNINGEN Betragt en lineær operator T på et endeligdimensionalt komplekst vektorrum X og lad ζ T (ζ) være analytisk i Ω. Funktionen p(ζ,λ) = det(t (ζ) λ) er analytisk i Ω C. Dette ses let hvis standardmatricen for T er en (2x2)-matrix, idet alle fire indgange i matricen er analytiske. Heraf følger resultatet for en (nxn)-matrix ved induktion. Bemærk, at en funktion af to komplekse variable kaldes analytisk, hvis den er analytisk i hver af de variable når den anden variabel holdes fast (separat analytisk). Lad p(ζ,λ) = ( ) n (λ n + a n (ζ)λ n + + a (ζ)λ + a 0 (ζ)). Nu betragtes et simpelt nulpunkt, λ 0, for p(ζ 0,λ), hvor ζ 0 Ω er fast. Proposition.2 Givet (ζ 0,λ 0 ) Ω C, så p(ζ 0,λ 0 ) = 0 og p λ (ζ 0,λ 0 ) 0, så findes δ,δ 2 > 0, så at p(ζ;λ) har præcis ét nulpunkt, λ 0 (ζ), i λ λ 0 < δ for ζ ζ 0 < δ 2. λ 0 (ζ) afhænger analytisk af ζ og p(ζ,λ 0 (ζ)) = 0 overalt i ζ ζ 0 < δ 2. Bevis: Ideen er at benytte implicit funktionssætningen som angivet i [Wade, s. 356,.47 Theorem [The Implicit Function Theorem]]. Bemærk, at der i det følgende er byttet om på x og t i forhold til i Wade og at 0 bruges i flere betydninger, således at der (notationsmæssigt) ikke skelnes mellem tallet 0 og punktet (0,0). Lad ζ = x + i x 2 og λ = t + i t 2, hvormed de (via isomorfien mellem C og R 2 ) kan betragtes som punkterne (x,x 2 ) og (t,t 2 ) i R 2. Lad desuden p(ζ,λ) = p (x,x 2,t,t 2 ) + i p 2 (x,x 2,t,t 2 ), således at F = (p,p 2 ) : V R 2. Tilsvarende kan Ω C betragtes som en åben delmængde, V, af R 4. Da p(ζ,λ) er analytisk i Ω C, opfylder F = (p,p 2 ) kravet om at være C på V. At der er givet (ζ 0,λ 0 ) Ω C, så p(ζ 0,λ 0 ) = 0 kan dermed oversættes til at der er givet (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) V, således at p(x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) = p (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) + i p 2 (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) = 0. Det skal nu vises, at d = (p,p 2 ) (t,t 2 ) (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) 0. For at lette notationen en anelse, skrives punktet (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) ikke i de følgende udregninger. Der gælder ] d = det [ p t p t 2 p 2 t p 2 t 2 = p p 2 p 2 p t t 2 t t 2 ( ) 2 ( ) 2 p p = + t t 2 = p () 2, (.5) Side 20

Afsnit.2: Hovedsætningen Speciale hvor der blev gjort brug af Cauchy-Riemann ligningerne p t = p 2 t 2, p t 2 = p 2 t. [AJ, s. 2, Theorem 2.4] giver, at Heraf følger, at p (λ 0 ) = p t (t 0,,t 0,2 ) i p t 2 (t 0,,t 0,2 ). p λ (ζ 0,λ 0 ) = p t (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) i p t 2 (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ). Da p λ (ζ 0,λ 0 ) 0 fås specielt, at p (λ 0 ) 0, hvormed p (λ 0 ) 2 0. Således følger nu af (.5), at d 0. (.6) Det følger så af Implicit funktionssætningen, at der eksisterer en åben mængde W R 2 der indeholder (x 0,,x 0,2 ) og en entydig, kontinuert, differentiabel funktion g = (g,g 2 ), g : W R 2, således at og g (x 0,,x 0,2 ) = (g (x 0,,x 0,2 ),g 2 (x 0,,x 0,2 )) = (t 0,,t 0,2 ) F (x,x 2,g (x,x 2 ),g 2 (x,x 2 )) = 0 for alle (x,x 2 ) W. Det vil sige, at g (x,x 2 ) = t og g 2 (x,x 2 ) = t 2 for alle (x,x 2 ) W. Det skal nu vises, at g er analytisk i ζ, hvilket gøres, ved at vise, at g opfylder Cauchy- Riemann ligningerne. Resultatet følger så af [AJ, s. 2, Theorem 2.4]. Da F (x,x 2,t,t 2 ) = 0 for alle (x,x 2 ) W fås specielt, at p (x,x 2,t,t 2 ) = 0 og (.7) p 2 (x,x 2,t,t 2 ) = 0 for alle (x,x 2 ) W. Differentiation af (.7) med hensyn til x giver ifølge Kædereglen p g + p g 2 = p, t x t 2 x x p 2 g + p 2 g 2 = p 2. t x t 2 x x (.8) Det ses, at (.8) kan betragtes som et inhomogent lineært ligningssystem i de to ubekendte g x og g 2 x. Ligningssystemet (.8) har en entydig løsning, hvis og kun hvis dets determinant er forskellig fra nul, dvs. når d = det p [ p t p 2 t 2 p 2 t t 2 ] 0. (.9) Side 2

Speciale Afsnit.2: Hovedsætningen Det følger af (.5) og (.6), at (.9) er opfyldt, hvormed ligningssystemet (.8) har en entydig løsning. Denne løsning er givet ved Cramer s regel [Lay, s. 96, Theorem 7 Cramer s Rule] ( g, g ) 2 x x = p p 2 x t 2 + p 2 p x t 2, p p 2 t d d x + p 2 p t x. (.0) Ved at differentiere (.7) med hensyn til x 2 og løse det derved fremkomne ligningssystem, fås tilsvarende ( g, g ) 2 x 2 x 2 = p p 2 x 2 t 2 + p 2 p x 2 t 2, p p 2 t d d x 2 + p 2 p t x 2. (.) Da p er analytisk i både ζ = x + i x 2 og λ = t + i t 2 giver Cauchy-Riemann ligningerne p = p 2, x x 2 p = p 2, t t 2 p = p 2, x 2 x p = p 2. t 2 t (.2) Da det skal vises, at g er analytisk i ζ = x + i x 2, skal det vises, at g opfylder Cauchy- Riemann ligningerne g x = g 2 x 2, g x 2 = g 2 x. (.3) Ved at sammenligne løsningerne fra (.0) og (.) og anvende (.2) ses det, at (.3) er opfyldt. Første del af (.3) verificeres således g = p p 2 + p 2 p = p ( 2 p + p )( p ) 2 x x t 2 x t 2 x 2 t x 2 t = p t p 2 x 2 + p 2 t p x 2 = g 2 x 2. Anden del af (.3) kan verificeres på tilsvarende måde. Sættes λ 0 (ζ) nu lig g (ζ) er sætningen bevist, idet det bemærkes, at de åbne mængder der kommer fra Implicit funktionssætningen i Wade, indeholder de i Proposition.2 nævnte cirkelskiver, for passende valg af deres radier. Proposition.22 λ 0 (ζ) er rod af multiplicitet m 2 i p(ζ 0,λ) hvis og kun hvis D(ζ 0 ) = 0. Bevis: Da ζ 0 er fast, kan p(ζ 0,λ) betragtes som et polynomium af den ene variabel λ, hvormed resultatet følger af Proposition.2. Nu formuleres hovedsætningen: Side 22

Afsnit.2: Hovedsætningen Speciale Sætning.23 Givet p(ζ,λ) = λ n +a n (ζ)λ n + +a 0 (ζ). Antag, at λ 0 er et nulpunkt af multiplicitet m for p(ζ 0,λ) = 0. Så findes δ > 0, så at for alle ζ der opfylder ζ ζ 0 < δ har p(ζ,λ) præcis m nulpunkter (talt med algebraisk multiplicitet) tæt ved λ 0. Mere præcist: Der findes heltal p, p 2,..., p k, p j, k j = p j = m og funktioner (ikke nødvendigvis forskellige) λ,...,λ k (multiple værdier), så at hver λ j har en konvergent Puiseuxrække λ j (ζ) = λ 0 + l= c l (ζ ζ 0 ) l/p j. De m egenværdier er givet ved p værdier af λ, p 2 værdier af λ 2, etc. Bevis: Vi kan antage, at p(ζ,λ) er irreducibelt. I modsat fald, kan man faktorisere i irreducible faktorer og betragte dem enkeltvis. Antagelsen om irreducibilitet giver ifølge proposition.4, at D(ζ) ikke er identisk nul. Lad { ζ j } være den diskrete delmængde af Ω, hvor D(ζ j ) = 0. Dvs. for ζ Ω \ { ζ j } har p(ζ,λ) n forskellige rødder i λ ifølge Proposition.2. Dvs. at alle rødder er simple! Nu betragtes et af de exceptionelle punkter ζ j. For nemheds skyld kaldes det ζ 0. Det antages, at p(ζ 0,λ 0 ) = 0 og at λ 0 har multiplicitet m, < m n. Man får brug for følgende Proposition.24 Lad ζ 0 være et exceptionelt punkt for p(ζ,λ). Antag, at p(ζ,λ) er irreducibelt samt at p(ζ 0,λ 0 ) = 0 og at λ 0 har multiplicitet m, < m n. Givet ε > 0 tilstrækkeligt lille, så findes et δ = δ(ε) > 0, så at for 0 < ζ ζ 0 < δ(ε) har ligningen p(ζ,λ) = 0 præcis m forskellige rødder som alle ligger i {λ : λ λ 0 < ε}. Bevis: Skriv p(ζ,λ) = (λ λ 0 ) n + b n (ζ)(λ λ 0 ) n + + b (ζ)(λ λ 0 ) + b 0 (ζ). Dette gøres ved at benytte, at λ = λ λ 0 + λ 0 og derefter gange ud og omarrangere leddene. Antagelsen om, at λ 0 er et nulpunkt af multiplicitet m for p(ζ 0,λ), betyder, at b j (ζ 0 ) = 0 for j = 0,...,m og b m (ζ 0 ) 0. Vælg δ > 0 og lad B(ζ 0,δ ) = {ζ : ζ ζ 0 < δ } så at b m (ζ) 0 for ζ B(ζ 0,δ ) Ω og desuden D(ζ) 0, for 0 < ζ ζ 0 < δ. Det er nu muligt at skrive p(ζ,λ) således: p(ζ,λ) = b m (ζ)(λ λ 0 ) m ( + A(ζ,λ) + B(ζ,λ)), hvor A(ζ,λ) = b m+(ζ) b m (ζ) (λ λ 0) + bn (ζ) b m (ζ) (λ λ 0) n m + b m (ζ) (λ λ 0) n m B(ζ,λ) = b m (ζ) b m (ζ) + + b 0(ζ) λ λ 0 b m (ζ) (λ λ 0 ) m og Der gives nu en vurdering af A(ζ,λ) og B(ζ,λ). Vurdering af A(ζ,λ) : Side 23

Speciale Afsnit.2: Hovedsætningen Lad c = min ζ B(ζ 0,δ ) b m (ζ) og M = max b j (ζ). ζ B(ζ 0,δ ) ζ=0,,...,n Bemærk, at c > 0 idet b m (ζ) 0 for ζ B(ζ 0,δ ). Lad et ε, som opfylder både 0 < ε < 2 og ε < c 4M være givet. For λ λ 0 = ε haves A(ζ,λ) M c (ε + ε2 + + ε n m ) = M c ε εn m ε < 2ε M c < 2. Det er således blevet vist, at for alle ζ, ζ ζ 0 < δ og alle λ, λ λ 0 = ε gælder Vurdering af B(ζ,λ) : A(ζ,λ) < 2. Lad µ = c 2 ( ε + ε 2 + + ε m ). Vælg δ < δ således, at der for alle ζ ζ 0 < δ gælder b j (ζ) < µ, j = 0,,...,m. Dette er muligt, da b j (ζ 0 ) = 0. For λ λ 0 = ε og ζ ζ 0 < δ fås B(ζ,λ) < µ c ( ε + ε 2 + + ε m ) = 2. Ved en mindre omskrivning af p(ζ,λ), fås at: Heraf følger nu p(ζ,λ) = b m (ζ)(λ λ 0 ) m + (A(ζ,λ) + B(ζ,λ))b m (ζ)(λ λ 0 ) m. p(ζ,λ) b m (ζ)(λ λ 0 ) m = (A(ζ,λ) + B(ζ,λ))b m (ζ)(λ λ 0 ) m p(ζ,λ) bm (ζ)(λ λ 0 ) m = (A(ζ,λ) + B(ζ,λ))bm (ζ)(λ λ 0 ) m ( A(ζ,λ) + B(ζ,λ) ) bm (ζ)(λ λ 0 ) m < bm (ζ)(λ λ 0 ) m. Lad ζ, ζ ζ 0 < δ være fast. Det er så blevet vist, at for λ λ 0 = ε gælder bm (ζ)(λ λ 0 ) m > p(ζ,λ) bm (ζ)(λ λ 0 ) m. Det bemærkes, at b m (ζ)(λ λ 0 ) m 0 for ζ ζ 0 < δ og λ λ 0 = ε, idet b m (ζ) 0 for ζ B(ζ 0,δ ) og δ < δ. Rouches sætning, sætning.3 giver således, at b m (ζ)(λ λ 0 ) m og b m (ζ)(λ λ 0 ) m + p(ζ,λ) b m (ζ)(λ λ 0 ) m = p(ζ,λ) har det samme antal nulpunkter i λ λ 0 < ε. Eftersom b m (ζ)(λ λ 0 ) m har præcis m nulpunkter (λ = λ 0 er m- dobbelt nulpunkt) i λ λ 0 < ε, er det således vist, at p(ζ,λ) har præcis m nulpunkter i λ λ 0 < ε. Da δ blev valgt, således at D(ζ) 0, for 0 < ζ ζ 0 < δ, følger det, da Side 24

Afsnit.2: Hovedsætningen Speciale δ < δ, at D(ζ) 0, 0 < ζ ζ 0 < δ. At D(ζ) 0 betyder, ifølge proposition.2, at disse nulpunkter er simple. Altså har p(ζ,λ) m forskellige nulpunkter i λ λ 0 < ε. Beviset for hovedsætningen fortsætter... Der gælder stadig p(ζ,λ) = 0, ζ Ω, og p er irreducibel. Graden i λ er n. Der er n rødder i λ, alle simple, hvis ζ Ω \ { ζ j }. Disse afhænger analytisk af ζ, for ζ tæt på ζ og væk fra alle ζ j. Lad nu ζ Ω \ { ζ j } være fast. Lad desuden ϕ (ζ;ζ ),...,ϕ n (ζ;ζ ) være de funktioner der giver de n nulpunkter for p(ζ,λ). Disse funktioner er defineret på hele Ω og er kontinuerte i de exceptionelle punkter, på grund af de ovenstående argumenter. Nu undersøges hvad der sker i et af de exceptionelle punkter. Lad ζ 0 være et exceptionelt punkt og lad λ 0 være et nulpunkt af multiplicitet m > for p(ζ 0,λ) = 0. Lad Γ være en cirkel med centrum i ζ 0 og med så lille en radius, at der ikke er andre ζ j på eller indenfor cirklen. Tag z 0 Γ og tag den analytiske funktion ϕ (ζ; z 0 ), som er defineret på den lille cirkelskive B 0 = {ζ : ζ z 0 < δ(z 0 )}. Cirkelskiven indeholder ikke nogen singulære punkter, så ϕ (ζ; z 0 ) er analytisk på denne cirkelskive. Tag z på Γ, hvor z z 0 og z B 0 og konstruer cirkelskiven B = {ζ : ζ z < δ(z )}. Til punktet z svarer der funktioner ϕ (ζ; z ),...,ϕ n (ζ; z ) definerede og analytiske i B. Da B 0 B {}, må een af disse stemme overens med ϕ (ζ; z 0 ). Derfor er ϕ (ζ; z ) defineret i Ved at fortsætte med at konstruere cirkelskiver på denne måde, kan man lave en åben overdækning af Γ og da Γ er kompakt, kan denne overdækning udtyndes til en endelig overdækning, hvilket vil sige, at man kan komme hele vejen rundt i et endeligt antal skridt. Fortsættelses-argumentet fører til roden ϕ (z 0,z 0 ). Hvis ϕ (z 0,z 0 ) = ϕ (z 0,z 0 ) er argumentet færdigt og der haves en cykel med periode. Hvis ϕ (z 0,z 0 ) = ϕ j (z 0,z 0 ), j > fortsættes argumentet. Da der højst kan være n egenværdier for p(ζ 0,λ), stopper processen. Antag at man returnerer til den oprindelige værdi efter en p-cykel. Så vil man have defineret en funktion F (ζ) på ringen µ < ζ ζ 0 < µ 2 som er analytisk med p værdier i denne ring. Definer G (ζ) = F (ζ 0 + ζ p ). Så er denne funktion en entydig (enkeltværdi) funktion på ringen µ < ζ < µ 2. Da alle funktioner ϕ j (ζ,z 0 ) er kontinuerte i ζ 0, har denne funktion en Laurentudvikling uden negative potenser (altså en Taylorudvikling), dvs. at G (ζ) rent faktisk er analytisk i ζ < µ 2, således at G (ζ) = l=0 c l ζ l, ζ < µ 2. Heraf følger, at F (ζ 0 + ζ p ) = c l ζ l l=0 og dermed F (ζ) = c l (ζ ζ 0 ) l/p. l=0 Side 25

Speciale Afsnit.3: Ledsagermatricen.3 LEDSAGERMATRICEN Et polynomium hvor koefficienten til højestegradsleddet er kaldes et monisk polynomium. Definition.25 Ledsagermatrix Givet et monisk polynomium p n (x) = a 0 + a x + + a n x n + x n, så kaldes matricen 0 0 0 a 0 0 0 a A n = 0 0 a 2......... 0 0 a n for ledsagermatricen til p n (x). Der gælder følgende Proposition.26 det(a n λi n ) = ( ) n p n (λ), for n 2. Altså, at rødderne i polynomiet p n præcis er egenværdierne for matricen A n. Bevis: Beviset gennemføres ved hjælp af induktion over n. Basistrin: For n = 2 fås: ([ ] [ ]) 0 a0 λ 0 det(a 2 λi 2 ) = det a 0 λ [ ] λ a0 = det λ a så basistrinnet er okay. Induktionstrin: Antag, at = λ( λ a ) ( a 0 ) = λ 2 + a λ + a 0 = ( ) 2 (λ 2 + a λ + a 0 ) = ( ) 2 p 2 (λ) det(a n λi n ) = ( ) n p n (λ), for et eller andetn. Side 26

Afsnit.4: Operatornorm Speciale Det skal nu vises, at det(a n+ λi n+ ) = ( ) n+ p n+ (λ). Matricen opskrives λ 0 0 0 a 0 λ... 0 0 a. A n+ λi n+ = 0.. 0 0 a2. 0 0.. λ 0 a3..... λ. 0 0 0 λ a n Ved at lave kofaktor-ekspansion langs den første række i matricen, fås determinanten til at være λ 0 0 a λ 0 a 2 det(a n+ λi n+ ) = λdet 0 0 a 3 + ( ) n+ a...... 0... 0 0 λ a n ved at benytte induktionsantagelsen (og bemærke, at den sidste søjle i determinanten er magen til søjlen i definitionen på ledsagermatricen, bortset fra at alle elementerne har indeks der er højere) fås, at ovenstående er lig = λ( ) n (a + a 2 λ + + a n λ n + λ n ) + ( ) n+ a 0 = ( ) n+ (a λ + a 2 λ 2 + + a n λ n + λ n+ ) + ( ) n+ a 0 = ( ) n+ (a 0 + a λ + a 2 λ 2 + + a n λ n + λ n+ ) = ( ) n+ p n+ (λ). Hermed er beviset fuldført..4 OPERATORNORM Først introduceres begrebet norm. Definition.27 Et normeret vektorrum (X, ) består af et vektorrum X og en afbildning : X R + med egenskaberne. x = 0 x = 0, x X, 2. αx = α x x X og α C, 3. x + y x + y x,y X, hvor kaldes for normen. Side 27

Speciale Afsnit.4: Operatornorm Der gælder følgende Sætning.28 Lad T være en lineær operator på et normeret vektorrum X. Lad desuden For dim X = 0 sættes b = c = 0. Så gælder. T x a x x X, 2. a = b = c = d. a = inf{k R + : T x K x, x X }, { } T x b = sup x : x X, x 0, c = sup{ T x : x X, x = }, d = sup{ T x : x X, x }. Bevis: Punkt følger direkte af definitionen af a. Punkt 2 vil blive vist ved at vise, at For ethvert x X, x 0, haves, at Det vil sige, at og da må a b. For x X, x 0, gælder der, at a b c d a. T x b T x b x. x b {K : T x K x, x X }, a = inf{k : T x K x, x X }, T x x = T x = x x T x = x T x = T x x (.4) Det bemærkes, at x =, hvormed x Af (.4) og (.5) fås således at T x x sup{ T x : x X, x = } = c. (.5) T x c. (.6) x Side 28

Afsnit.4: Operatornorm Speciale Da (.6) gælder for alle x X, x 0, så gælder den specielt når der tages supremum over alle x X, x 0 og idet { } T x b = sup x : x X, x 0, fås b c. Da er {x : x X, x = } {x : x X, x }, sup{x : x X, x = } sup{x : x X, x } og dermed c d. Antag, at x, og x X. Så giver punkt, at og da T x a x a, d = sup{ T x : x X, x }, fås d a. Nu indføres operatornormen. Definition.29 For enhver lineær operator T på X defineres normen af T, betegnet T, som tallet T = inf{k R + : T x K x, x X }. Normen af T, T, giver et mål for størrelsen af T, idet T er den mindste værdi af K, der gør, at uligheden T x K x er opfyldt. Det kan vises, at T <. Punkt 2 i Sætning.28 giver alternative udtryk for T, og punkt giver følgende ulighed som kan bruges til at bevise denne Sætning.30 Lad S og T være lineære operatorer. Da vil T x T x, x X, (.7) ST S T. (.8) Bevis: For alle x X gælder der ifølge (.7), at ST x = S(T x) S T x S T x. Side 29

Speciale Afsnit.4: Operatornorm For x = 0 x = 0 giver dette 0 0, hvilket er sandt. For x > 0 omskrives til ST x x S T. Da denne ulighed gælder for alle x, x > 0, gælder den også, når der tages supremum over alle de x, der opfylder x > 0. Det vil sige, at { } ST x ST = sup x : x X, x 0 sup{ S T : x X, x 0} = S T, hvor der blev gjort brug af b fra sætning.28. Uligheden i (.8) gælder ikke for alle normer, hvilket følgende eksempel illustrerer. Eksempel.3 [ ] a b Lad A = max{ a, b, c, d }, hvor A =, og betragt matricerne c d A = B = [ ]. Da AB = [ ] 2 2, 2 2 haves således, at A = B = og AB = 2. Heraf ses, at uligheden AB A B ikke er opfyldt. Som korollar til Sætning.30 haves Korollar.32 Lad T være en lineær operator på et endeligdimensionalt komplekst vektorrum, så gælder T k T k, for k =,2,... Bevis: Bevis føres ved hjælp af induktion. Basistrin: For k = fås: T = T = T, hvilket vil sige, at uligheden er opfyldt, endda med lighed. For k = 2 fås: T 2 = T T T T = T 2, hvor uligheden følger af Sætning.30. Basistrinnet er således i orden. Induktionstrin: Antag, at T n T n, for et eller andet n >, så haves: T n+ = T n T T n T T n T = T n+, hvor den første ulighed følger af Sætning.30. Side 30

Afsnit.5: Perturbation af resolventen Speciale.5 PERTURBATION AF RESOLVENTEN Ved spektret σ(t ) for operatoren T, forstås mængden af alle egenværdier for T. Da T er en lineær operator og derfor kan repræsenteres entydigt ved en matrix, er egenværdierne for T netop egenværdierne for denne matrix. Da egenværdierne præcis er rødderne i det karakteristiske polynomium, følger det af algebraens fundamentalsætning, sætning.5, at der mindst er een egenværdi (dvs. spektret altid er ikke-tomt) og højst lige så mange egenværdier som graden af det karakteristiske polynomium. Komplementærmængden til spektret for T kaldes for resolventmængden hørende til T og betegnes ρ(t ). ρ(t ) er således mængden af alle komplekse tal, som er forskellige fra egenværdierne for T. Er ζ σ(t ), så er T ζ invertibel. Et sådant punkt kaldes regulært. ρ(t ) er dermed mængden af alle regulære punkter. Definition.33 Resolvent For ζ ρ(t ) defineres operatorværdifunktionen R(ζ) = R(ζ,T ) = (T ζ) som kaldes resolventen hørende til operatoren T. Sætning.34 R(ζ) er en meromorf funktion. Bevis: Da T er en lineær operator på et endeligdimensionalt komplekst vektorrum, kan T repræsenteres ved en kvadratisk (n n)-matrix, hvormed T ζ også kan repræsenteres ved en kvadratisk (n n)-matrix. [Lay, s. 98, Theorem 8] giver følgende formel til bestemmelse af den inverse matrix, til en invertibel kvadratisk matrix A A = adj A, det A hvor adj A er den transponerede af komplementmatricen til A. Da indgangene i adj A består af produkter og differenser af indgangene i A, følger det direkte, at adj A er analytisk, hvis A er analytisk. Bemærk, at en matrix kaldes analytisk, hvis alle dens indgange er analytiske. Det følger nu, at R(ζ) = R(ζ,T ) = (T ζ) = det(t ζ) C (ζ), hvor C (ζ) er den transponerede af komplementmatricen til (T ζ). Da det(t ζ) er et polynomium af grad n, følger det af ovenstående, at resolventen, i dette tilfælde, er givet ved en matrix, hvis indgange er rationale funktioner, hvilket igen betyder, at resolventen er en meromorf funktion, idet der kun er singulariteter i egenværdierne og disse er poler. Resolventen opfylder: Proposition.35 Første resolventligning For ζ og ζ 2 i ρ(t ) gælder R(ζ ) R(ζ 2 ) = (ζ ζ 2 )R(ζ )R(ζ 2 ) Side 3

Speciale Afsnit.5: Perturbation af resolventen Bevis: Der gælder R(ζ ) = R(ζ )(T ζ 2 )R(ζ 2 ) og R(ζ 2 ) = R(ζ )(T ζ )R(ζ 2 ). Første resolventligning fås nu ved subtraktion af ovenstående. Bemærk, at Første resolventligning også kan skrives på formen Af Første resolventligning følger direkte, at: for alle ζ i ρ(t ). Heraf følger Korollar.36 For alle ζ og ζ 2 i ρ(t ) gælder: R(ζ ) = [ (ζ 2 ζ )R(ζ )]R(ζ 2 ). (.9) R(ζ ) R(ζ 2 ) ζ ζ 2 = R(ζ )R(ζ 2 ) (.20) R(ζ )R(ζ 2 ) = R(ζ 2 )R(ζ ). Før yderligere resultater om resolventen præsenteres, introduceres følgende: Definition.37 Neumannrækken Lad T være en lineær operator, så kaldes summen for Neumannrækken. ( T ) = T n n=0 Det kan vises (se [Kato, s. 30, Example 4.5 (Neumann series)]), at der gælder Proposition.38 For T < er Neumannrækken absolut konvergent og der gælder ( T ) = T n n=0 ( T ) ( T ). Heraf følger Korollar.39 For ζ ρ(t ), hvor ζ > T er absolut konvergent og der gælder R(ζ) = ζ k+ T k k=0 R(ζ) ( ζ T ). (.2) Side 32

Afsnit.5: Perturbation af resolventen Speciale Bevis: For ζ ρ(t ), hvor ζ > T er ζ T <, hvormed Proposition.38 giver, at Desuden haves R(ζ) = ζ R(ζ) = (T ζ) = ζ ( ) ζ T = ζ ( ζ T ) = ζ ( k=0 ζ T ) ζ ( ) k ζ T = ζ k+ T k. k=0 ( ζ T ) = ( ζ T ). Bemærk, at Korollar.39 giver, at alle egenværdierne for T ligger indenfor eller på cirklen med centrum i origo og radius T. Der gælder desuden følgende Korollar.40 Givet et ζ 0 ρ(t ). For ζ ζ 0 < R(ζ 0 ) er Neumannrækken for resolventen givet ved R(ζ) = og denne er absolut konvergent. (ζ ζ 0 ) n R(ζ 0 ) n+ n=0 Bevis: Betragt den alternative form af resolventligningen (.9), med ζ = ζ 0 og ζ 2 = ζ Det følger af proposition.38, at er invertibel for R(ζ 0 ) = [ (ζ ζ 0 )R(ζ 0 )]R(ζ). (.22) [ (ζ ζ 0 )R(ζ 0 )] (ζ ζ 0 )R(ζ 0 ) < ζ ζ 0 R(ζ 0 ) < ζ ζ 0 < R(ζ 0 ). Dermed giver (.22) og Proposition.38 at R(ζ) er givet ved [ R(ζ) = [ (ζ ζ 0 )R(ζ 0 )] R(ζ 0 ) = (ζ ζ 0 ) n R(ζ 0 ) ]R(ζ n 0 ) = (ζ ζ 0 ) n R(ζ 0 ) n+ n=0 samt at denne række er absolut konvergent for For κ Ω, hvor Ω er åben, kaldes for en familie af operatorer. ζ ζ 0 < R(ζ 0 ). T (κ) = T + κt () + κ 2 T (2) +, n=0 Side 33

Speciale Afsnit.5: Perturbation af resolventen Definition.4 Resolventen R(ζ,κ) = (T (κ) ζ) for T (κ) er defineret for alle ζ, der ikke er lig nogle af egenværdierne for T (κ). Betragtes en fast værdi af κ, giver Sætning.34, at R(ζ,κ) er en meromorf funktion af ζ. Faktisk gælder der følgende Sætning.42 R(ζ,κ) er holomorf (defineret og differentiabel overalt) i de to variable ζ og κ i ethvert område, hvor ζ ikke er lig nogle af egenværdierne for T (κ). Bevis: Vælg et fast κ 0 Ω. Derefter vælges et fast ζ 0 ρ(t (κ 0 )). For at lette notationen, antages, at κ 0 = 0. Der skrives R(ζ) = R(ζ,0). Da T (κ) er analytisk i κ, findes der et δ 0, så at {κ : κ < δ} Ω, således at der haves en konvergent potensrækkeudvikling T (κ) = T + Der skrives A(κ) = k= κk T (k). Sæt nu og bestem derefter δ 2 δ, således at κ k T (k), κ < δ. k= δ = 2 R(ζ 0 ) A(κ) < 2 R(ζ 0 ) for alle κ < δ 2. Sæt G = {(ζ,κ) : ζ ζ 0 < δ, κ < δ 2 }. Så gælder for alle (ζ,κ) G, at ((ζ ζ 0 ) A(κ))R(ζ 0 ) <. Der gælder T (κ) ζ = T ζ 0 (ζ ζ 0 ) + T (κ) T = T ζ 0 (ζ ζ 0 ) + A(κ) = T ζ 0 [(ζ ζ 0 ) A(κ)](T ζ 0 ) (T ζ 0 ) = [ ((ζ ζ 0 ) A(κ))(T ζ 0 ) ](T ζ 0 ) = [ ((ζ ζ 0 ) A(κ))R(ζ 0 )](T ζ 0 ). Heraf følger, at der for alle (ζ,κ) G haves at ζ ρ(t (κ)) og R(ζ,κ) = R(ζ 0 )[ ((ζ ζ 0 ) A(κ))R(ζ 0 )]. Side 34

Afsnit.5: Perturbation af resolventen Speciale Nu kan man gennemføre argumentet for, at R(ζ,κ) er separat analytisk i mængden G. Analyticitet i ζ: For et fastholdt κ, κ < δ 2, har man klart analyticitet, da det er resolventen for en operator. Analyticitet i κ: Her vælges et fastholdt ζ med ζ ζ 0 < δ. Der skal nu vises analyticitet i κ i cirkelskiven κ < δ 2. Dette gøres ved at vise kompleks differentiabilitet. Vælg et fastholdt κ med κ < δ 2. Her får man brug for følgende Lemma.43 X (I + X ) er en kontinuert afbildning (i operatornorm) for X <. Bevis: Lad x 0 være fastholdt og x 0 <. Der skal nu vises kontinuitet i x 0, dvs. det skal vises, at. For X < og Y < haves (I + X0 ) (I + Y ) < ε for X0 Y < δ(x 0 ). (I + X ) (I + Y ) = (I + X ) (I + Y (I + X ))(I + Y ) = (I + X ) (Y X )(I + Y ). Heraf fås (I + X0 ) (I + Y ) = (I + X0 ) (Y X 0 )(I + Y ) (I + X0 ) (Y X0 ) (I + Y ) Antag nu, at δ < 2 (I + X0 ). Skriv I + Y = I + X 0 + Y X 0 = (I + X 0 ) ( I + (I + X 0 ) (Y X 0 ) ). Det bemærkes, at (I + X0 ) (Y X 0 ) (I + X0 ) Y X0 < (I + X0 ) δ < 2. Sæt S = (I + X 0 ) (Y X 0 ), Side 35

Speciale Afsnit.5: Perturbation af resolventen så haves, idet S < 2, at hvormed Idet der gælder (I + S) = (I + S) k=0 ( S) k, k=0 S k < 2 k = 2. k=0 I + Y = (I + X 0 )(I + S) fås (I + Y ) = (I + S) (I + X 0 ) og dermed (I + Y ) < 2 (I + X0 ). Uligheden i uligheden bliver således (I + X0 ) (I + Y ) (I + X0 ) Y X0 (I + Y ) < (I + X0 ) Y X0 2 (I + X0 ) = 2 (I + X0 ) 2 Y X 0. Vælges nu δ(x 0 ) = ε 2 (I + X0 ) 2, er beviset ført. Tilbage til beviset: Det haves, at for alle κ med κ < δ 2 er ζ ρ(t (κ)) (det var på den måde mængden G var konstrueret). Specielt for κ = 0, altså ζ ρ(t ). Der haves og dermed Det skal altså vises, at T (κ) ζ = T ζ + A(κ) = (I + A(κ)R(ζ ))(T ζ ) R(ζ,κ) = R(ζ )[I + A(κ)R(ζ )]. f (κ) = [I + A(κ)R(ζ )] er analytisk for κ < δ 2. Der skal vises kompleks differentiabilitet i punktet κ valgt ovenfor. For h tilstrækkelig lille har vi f (κ + h) f (κ ) = ( [I + A(κ + h)r(ζ )] [I + A(κ )R(ζ )] ) h h = ([I + A(κ + h)r(ζ )] h ) (A(κ + h) A(κ ))R(ζ )[I + A(κ )R(ζ )]. Side 36

Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Speciale Da A(κ) er differentiabel i κ, følger differentiabiliteten i κ af resolventen, ved at bruge kontinuiteten af den tidligere nævnte afbildning. Ved at lade h 0 fås således f (κ ) = [I + A(κ )R(ζ )] A (κ )R(ζ )[I + A(κ )R(ζ )] = f (κ )A (κ )R(ζ )f (κ )..6 SINGULARITETER FOR RESOLVENTEN Da resolventen har mindst én singularitet, kan der i henhold til Laurents sætning, sætning.4 udvikles en Laurentrække om hver singularitet. Laurentrækken for R(ζ) i ζ = λ h betragtes, idet det antages, at λ h = 0; det vil sige Koefficienterne A n er givet ved R(ζ) = n= ζ n A n. A n = ζ n R(ζ)dζ, (.23) Γ hvor Γ er en lille positivt orienteret cirkel, som omslutter ζ = 0, men ingen af de øvrige egenværdier for operatoren T. At A n har ovenstående form, ses ved indsættelse af R(ζ) i ovenstående udtryk, Γ ζ n ( k= ζ k A k )dζ = k= ( Γ ) ζ k n dζ A k = A n, idet Laurentrækken er uniformt konvergent på Γ, og der gælder, at Γ ζ k n dζ = {, n = k, 0, n k. (.24) Integralet i (.23) er uafhængigt af cirklen, blot den omkranser egenværdien ζ = 0 og ingen af de øvrige egenværdier. Cirklen Γ kan derfor erstattes af en lidt større cirkel Γ, uden at det ændrer værdien af integralet. Dermed fås ( A n A m = ( = ( = )( ) ζ n R(ζ)dζ ζ m R(ζ )dζ Γ Γ ) 2 ζ n ζ m R(ζ)R(ζ )dζdζ ) 2 Γ Γ Γ Γ ζ n ζ m (ζ ζ) [R(ζ ) R(ζ)]dζdζ, hvor det sidste lighedstegn følger af (.20). Følgende sætning er nyttig i forbindelse med videre omskrivninger af (.25) (.25) Side 37

Speciale Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Sætning.44 Lad Γ være en positivt orienteret cirkel med centrum i ζ = 0, som er omsluttet af en anden positivt orienteret cirkel Γ med samme centrum. Da gælder der, at ζ n (ζ ζ) dζ = η n ζ n, Γ (.26) ζ m (ζ ζ) dζ = ( η m )ζ m, Γ hvor η j for j {n,m} er defineret som η j = {, j 0, 0, j < 0. Bevis: Det bemærkes, at ζ-værdierne ligger på cirklen Γ, mens ζ -værdierne ligger på cirklen Γ. Betragtes Γ ζ n (ζ ζ) dζ, (.27) ses det, at da ζ er en fast værdi, som ligger uden for cirklen Γ, har (ζ ζ) ingen singulariteter inden for cirklen Γ. Ydermere bemærkes det, at hvis n < 0 har ζ n ingen singulariteter i C. Dermed er integranden i (.27) analytisk og dermed holomorf inden for cirklen Γ, og der gælder derfor ifølge Cauchys integralsætning [AJ, s. 7, Corollary 4.5.], at ζ n (ζ ζ) dζ = 0, når n < 0. Γ Hvis n 0, gælder der, at ζ n har en singularitet i ζ = 0, som er inden for cirklen Γ. Dermed er ζ = 0 en pol af orden n + for integranden i (.27). Dette er samtidig den eneste pol indenfor cirklen Γ. Ifølge Cauchys residuesætning, [AJ, s. 30, Thereom 7.5 (Cauchy s residue theorem)], gælder der således, at Nu defineres Γ ζ n (ζ ζ) dζ = Res(ζ n (ζ ζ),0). H(ζ) = ζ n+ ζ n (ζ ζ) = (ζ ζ). Der haves ifølge metoden i punkt 3 fra [AJ, s. 3], at Res(ζ n (ζ ζ),0) = H (n) (0) n! = n!(ζ ζ) n n! = ζ n. ζ=0 Side 38

Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Speciale Således haves Γ ζ n (ζ ζ) dζ = ζ n, når n 0, hvormed første del af (.26) er vist. Nu betragtes Γ ζ m (ζ ζ) dζ, (.28) hvor det bemærkes, at ζ nu er en fast værdi, som ligger inden for cirklen Γ. Derfor har (ζ ζ) en simpel pol i ζ = ζ. For m < 0, har ζ m ingen poler i C. Der vil således gælde, at Γ ζ m (ζ ζ) dζ = Res(ζ m (ζ ζ),ζ), og der gælder ifølge metoden i punkt fra [AJ, s. 30], at Res(ζ m (ζ ζ),ζ) = lim ζ ζ (ζ ζ)ζ m (ζ ζ) = ζ m. Altså haves ζ m (ζ ζ) dζ = ζ m, når m < 0. Γ Hvis m 0, har ζ m en pol af orden m + i ζ = 0, og integranden i (.28) har nu polerne ζ = ζ og ζ = 0. Derfor gælder der ifølge Cauchys residuesætning, [AJ, s. 30, Thereom 7.5 (Cauchy s residue theorem)], at Funktionen G(ζ ) defineres som Nu er Res(ζ m (ζ ζ),0) givet ved Dermed haves, at Γ ζ m (ζ ζ) dζ = Res(ζ m (ζ ζ),ζ) + Res(ζ m (ζ ζ),0). G(ζ ) = ζ m+ ζ m (ζ ζ) = (ζ ζ). Res(ζ m (ζ ζ),0) = G(m) (0) m! = ( )m m!(ζ ζ) m m! = ζ m. ζ =0 Γ ζ m (ζ ζ) dζ = ζ m ζ m = 0, når m 0, hvormed anden del af (.26) er vist. Side 39

Speciale Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Der kan nu omskrives yderligere på (.25), således at der om A n A m gælder ( ) 2 A n A m = ζ n ζ m (ζ ζ) R(ζ )dζdζ Γ Γ ( ) 2 ζ n ζ m (ζ ζ) R(ζ)dζdζ Γ Γ = ζ m R(ζ ) ζ n (ζ ζ) dζdζ Γ Γ ζ n R(ζ) ζ m (ζ ζ) dζ dζ Γ Γ = η n ζ n m 2 R(ζ )dζ η m ζ n m 2 R(ζ)dζ Γ Γ = η n + η m ζ n m 2 R(ζ)dζ Γ = (η n + η m )A n+m+. Undervejs er det udnyttet, at integralet, som tidligere nævnt, er uafhængigt af cirklen, så længe den omslutter de samme egenværdier, samt (.23). Der gælder altså Når n = m =, opnås således, at hvilket er ækvivalent med A n A m = (η n + η m )A n+m+. (.29) A 2 = A ( A ) 2 = A (.30) Dermed er A en projektion, og den benævnes derfor P, dvs. P = A = R(ζ)d ζ. (.3) Ydermere haves der for n,m <, at ( A 2 ) 2 = A 3, ( A 2 ) 3 = A 2 ( A 2 ) 2 = A 2 A 3 = A 4,. Γ Sættes gælder der således, at A 2 = ζr(ζ)dζ = N, (.32) Γ A k = N k for k 2. Sættes A 0 = ζ R(ζ)dζ = D, Γ Side 40

Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Speciale gælder der tilsvarende, at A n = D n+ for n 0. Laurentrækken for R(ζ) i ζ = 0 bliver dermed R(ζ) = n= ζ n A n = ζ A + ζ n A n + ζ n A n n= n= n=0 = ζ P ζ n N n + ζ n D n+. Betragtes nu Laurentrækken for resolventen i det generelle tilfælde hvor ζ = λ h, λ h 0, er singulariteten, fås R(ζ) = (ζ λ h ) P h n=0 (ζ λ h ) n N n h + (ζ λ h ) n D n+ h. (.33) n= Indsættes først n = og m = 2 og derefter n = 2 og m = i (.29), ses, at der gælder, at n=0 P h N h = ( A )( A 2 ) = A A 2 = A 2 = N h, N h P h = ( A 2 )( A ) = A 2 A = A 2 = N h. Tilsvarende gælder der for n = og m = 0 samt n = 0 og m =, at Af dette, og dermed P h D h = ( A )A 0 = 0, D h P h = A 0 ( A ) = 0. P h N j h = (P hn h )N j h N j h P h = N j h P h D j h = (P hd h )D j h D j h P h = D j h = N h N j h = N j h, (N h P h ) = N j N h h = N j h, = 0D j h = 0, (D h P h ) = D j 0 = 0, h samt (.30), P h P h = P h, ses det, at udtrykket i (.33) er en dekomposition af operatoren R(ζ) i henhold til dekompositionen X = M h M h, hvor M h = P h X og M h = (I P h)x. Leddet (ζ λ h ) P h (ζ λ h ) n N n h n= er principaldelen af Laurentrækken i en isoleret singularitet i ζ = λ h. Da resolventen er meromorf, ifølge Sætning.34, giver [Conway, s. 09,.8 Corollary] at principaldelen i Laurentrækken for resolventen er en endelig sum. Dette medfører så, at N h er en nilpotent operator. Det vil sige, at der ifølge [Axler, s. 67, 8.8 Corollary] gælder, at N m h h = 0, m h = dim M h = dimp h. Side 4

Speciale Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Dette medfører, at leddet i udtryk (.33) kan reduceres til (ζ λ h ) P h (ζ λ h ) n N n h n= (ζ λ h ) m h P h (ζ λ h ) n N n h. (.34) n= Sætning.45 Operatorerne P h opfylder P h P k = δ hk P h, s P h = I, h= P h T = T P h. FiXme Dødelige: (skal den med?) Bevis: Det bemærkes, at P h = R(ζ h )dζ h, Γ h hvor Γ h er en positivt orienteret cirkel, som omkranser egenværdien λ h, jævnfør definitionen af P h i (.3) samt (.23). Cirklerne Γ h overlapper ikke hinanden for forskellige h og ligger heller ikke inden i hinanden for forskellige h, se Figur Dermed gælder, at ( P h P k = )( R(ζ h )dζ h ) R(ζ k )dζ k Γ h Γ k ( ) 2 = R(ζ h )R(ζ k )dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 = (ζ k ζ h ) (R(ζ k ) R(ζ h ))dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 = (ζ k ζ h ) R(ζ k )dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 (ζ k ζ h ) R(ζ h )dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 = R(ζ k ) (ζ h ζ k ) dζ h dζ k Γ k Γ h ( ) 2 R(ζ h ) (ζ k ζ h ) dζ k dζ h. Γ h Γ k Det bemærkes, at der ifølge [AJ, s. 28, Proposition 7.3] gælder, at Γ k (ζ k ζ h ) dζ k = 0, Side 42