DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 0 spørgsmål fordelt på 0 opgaver, benævnt opgave,,..., 0 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,,...,0 i teksten. Svarene skal uploades via campusnet, ved brug af filen answers.txt eller en lignende fil. I filen anføres studienummer på første linie, spørgsmålsnummer og svar anføres på de følgende linier med en linie for hvert spørgsmål. Nedenstående skema kan eventuelt afleveres som et supplement til den elektroniske aflevering. Ved uoverensstemmelse vil den elektroniske aflevering være gældende. Spørgsmål 4 5 6 7 8 9 4 5 Svar Spørgsmål 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 6; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e, medens Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel.
Opgave Et lyskryds i en provinsby betragtes som særligt farligt på regnvejrsdage, medens der praktisk talt ikke er nogen risiko for uheld andre dage. Sandsynligheden for, at det regner en tilfældig dag, er 0%, medens sandsynligheden for, at der sker et uheld en regnvejrsdag, er,5 %. Spørgsmål Sandsynligheden for, at der sker et uheld en tilfældig dag, er 0,5%,5% 7,5% 4 0% 5,5% Opgave Til en international sammenligning af skoleelevers færdigheder i matematik udføres en prøve, hvor den enkelte elev kan opnå et antal point mellem 0 og 0. For en dansk skoleklasse kan man antage, at det forventede antal point, der opnåes af en elev er 7, medens spredningen blandt eleverne er 6. På en given skole er der 75 elever på det klassetrin, hvor prøven udføres. Spørgsmål Sandsynligheden for, at eleverne samlet når et pointtal på højest 5500, findes, eventuelt approksimativt, til Φ ( ) 5500 75 7 6 75 ( ) Φ 5 ( ) Φ 0 4 Φ ( 5 80 ) 5 Opgaven kan ikke besvares grundet utilstrækkelige oplysninger Fortsæt på side
Opgave Den stokastiske variabel X følger en beta(,) fordeling, således at X har tætheden f X (x) = x, 0 < x <. Man danner Y = log (X). Spørgsmål Tætheden f Y (y) for Y findes til f Y (y) = log (y), 0 < y < f Y (y) = e y, 0 < y f Y (y) = y e y, 0 < y 4 f Y (y) = ye y, 0 < y 5 f Y (y) = y y e y, 0 < y Opgave 4 Kunder ankommer tilfældigt og uafhængigt af hinanden til en kiosk. Middeltiden mellem ankomsten af to kunder er 5 minutter. Spørgsmål 4 Sandsynligheden for, at der ankommer mindst to kunder i løbet af en halv time, er e 4 r= r! e 4 45 5 5 6e Fortsæt på side 4
Opgave 5 På en tropisk lokalitet er der en given dag en sandsynlighed på 4 for, at temperaturen overstiger 5 grader, medens der er en sandsynlighed på 5 for, at der vil forekomme et tropisk regnskyl. Sandsynligheden for, at mindst en af de to ting indtræffer på en given dag, er 6. Spørgsmål 5 Sandsynligheden for, at temperaturen overstiger 5 grader og der forekommer et tropisk regnskyl på en given dag, findes til 4 4 5 5 Opgave 6 En partikelkanon skyder partikler mod en skærm, der kan antages at have ubegrænset udbredelse. Partiklerne skydes mod et punktformigt mål, men på grund af forskellige fejl og forstyrrelser rammer partiklerne ikke målet præcist. Hvis man tænker sig et koordinatsystem placeret med centrum i målpunktet, kan man beskrive det faktiske anslagspunkt ved koordinater (X, Y ), der kan beskrives som uafhængige standard normalfordelte variable. Spørgsmål 6 Middelafstanden til målpunktet fra en partikels anslagspunkt findes til π 4 0 5 π Fortsæt på side 5 4
Opgave 7 En fabrikant skal bruge 4 specialfremstillede enheder til en ordre. Enhederne produceres serielt. Da fremstillingsprocessen er kompliceret, er der en sandsynlighed på 7 for, at en produceret enhed må kasseres. De enkelte enheder opfører sig uafhængigt af hinanden. Spørgsmål 7 Sandsynligheden for, at fabrikanten må kassere mindst 4 enheder, findes til ( + i i=4 ( 4 + i i=4 ( i i=4 4 4 i=4 5 i=4 ( 8 ) i Opgave 8 ) 4 7 i i+4 ) ( ) 4 ( 7 ) i 4 ) ( ) 4 ( 7 ) i i! e 8 ( 4 + i ) 4 7 i i+4 Et punkt vælges tilfældigt i området afgrænset af koordinatsystemets akser og linien x+y =. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at punktet ligger mellem linierne y = x og y = x, findes til arctan() π arctan( ) π 6 4 5 Fortsæt på side 6 5
Opgave 9 Ved en given lejlighed kan støjen i et boligområde beskrives ved en stokastisk variabel, der på en passende normeret skala har middelværdi 0 og ukendt varians. Spørgsmål 9 En øvre grænse for, at støjen overskrider 0 på den normerede skala, kan findes til 6 5 ( ) Φ 5 4 5 5 En sådan øvre grænse kan ikke findes på grund af manglende oplysninger Opgave En elektronisk enhed har en levetid, der kan beskrives med en gamma(,) fordeling, det vil sige med tætheden f(t) = 4te t. Spørgsmål Givet, at enheden har fungeret t tidsenheder, hvad er da sandsynligheden (approksimativt) for, at den vil fejle netop i et lille tidsinterval efter tiden x > t. 4(x t)e (x t) 4xe x 4x +t e (x t) 4 ( + t)e 4t 4xe x 5 x +4t e (x t) Fortsæt på side 7 6
Opgave En gennemsnitlig dansker antages at foretage 4 flyrejser årligt over en 70 årig periode. Antag, at der er en sandsynlighed på % for, at en person i sidste øjeblik bliver nødt til at droppe en booket flyrejse, og, at denne sandsynlighed er uafhængig af tilsvarende hændelser på andre af personens flyrejser. Spørgsmål Sandsynligheden for, at en dansk person mindst to gange oplever i sidste øjeblik at skulle droppe en booket flyrejse, findes til Φ ( Φ i= ( 4 + 80 99 00 00 ( 4 ) i i! e 4 + 4 + 80 99 00 00 4 ( 80 80 i= i 5 ( 99 00 Opgave ) ) ) ( i ( ) 80 i ) ) 80 80 ( 99 00 ) 79 00 En stokastisk variabel X har tætheden f X (x) = 4 8 x for 0 < x < og 0 ellers. Spørgsmål Man finder P( < X ) til 5 7 8 8 4 6 8 5 9 Fortsæt på side 8 7
Opgave Man har den stokastiske variabel Y, der følger en gamma(,) fordeling. For givet Y = y følger den stokastiske variabel X en kontinuert uniform(0, y) fordeling. Spørgsmål Bestem E(X) E(X) = E(X) = E(X) = 4 E(X) = 5 E(X) = Opgave 4 Man har et par (X, Y ) af standard bivariat normalfordelte variable med korrelationskoefficient. Spørgsmål 4 Man ønsker at bestemme sandsynligheden P ( X < Y < 0), der findes til arctan ( ) arctan arctan π ( ) π ( ) 8 8 π 4 arctan ( ) π 5 9 Fortsæt på side 9 8
Opgave 5 En formindsket udgave af Danske Spils jokerspil går ud på, at der tilfældigt trækkes et heltal mellem og 00. En spiller vinder, hvis han på sin kupon har netop det udtrukne tal. Spiludbyderen sælger kuponer med et tilfældigt generet heltal mellem og 00. Spørgsmål 5 Sandsynligheden for, at 50 tilfældigt genererede kuponer alle er forskellige, findes til 00! ( 00 50 00 50 950! e 00 4 49 5 ( 999 00 Opgave 6 ) ( ) 50 ( 999 ) 950 00 00 ( 00) i i=0 i! e 00 ) 50 Man har parret (X, Y ) af stokastiske variable, der er standard bivariat normalfordelt med korrelationskoefficient ρ. Man ønsker at bestemme P(X [x; x + dx], Y [y; y + dy]). Spørgsmål 6 Den ønskede sandsynlighed findes, eventuelt approksimativt, til π e x π e y dxdy x+dx y+dy x ρxy+y π ρ e ( ρ ) dxdy x y (x+dx) ρ(x+dx)(y+dy)+(y+dy) π ρ e ( ρ ) 4 x ρxy+y π ρ e ( ρ ) dxdy 5 Φ(x + dx)φ(y + dy) Φ(x)Φ(y) x ρxy+y π ρ e ( ρ ) dxdy Fortsæt på side 9
Opgave 7 Produktionen af en særlig type små vinduer foregår ved, at der først produceres en større glasplade, hvorefter glasset til vinduerne skæres ud fra denne plade. Der forekommer fejl på glaspladen med en hyppighed på 5 fejl per kvadratmeter plade. Fejlene er små urenheder med meget lille udbredelse, der er tilfældigt spredt ud over glaspladen. Spørgsmål 7 Sandsynligheden for, at et kvadratisk vinduesglas med sidelængde cm er fejlfrit, findes til 0,8 0,84 0,85 4 0,86 5 0,87 Opgave 8 For, at en samling af en type uorganiske molekyler skal kunne forme sig til et organisk molekyle, skal den ultraviolette stråling de modtager på en dag overstige en værdi på a. Mængden af ultraviolet stråling molekylerne modtager en given dag kan beskrives ved en eksponential(λ) fordeling. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at de uorganiske molekyler ikke modtager tilstrækkeligt med ultraviolet stråling i løbet af 0 dage, er Φ ( a 0 λ 0 λ ) ( (a ) ) 0 Φ λ λ ( e λa) 0 4 e 0λa 5 99 (λa) i i=0 i! e λa Fortsæt på side
Opgave 9 En aktieportefølje indeholder to papirer indenfor byggesektoren. Man er interesseret i gevinsten forstået som forskellen mellem købsprisen og salgsprisen, hvor en negativ gevinst svarer til et tab. Gevinsten på de to papirer kan beskrives ved en bivariat normalfordeling, hvor middelværdien på hvert af papirerne er 0, medens variansen for hvert af dem er 0 = 400. Korrelationskoefficienten er ρ =. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at den samlede gevinst på de to papirer ikke overstiger 40, findes til Φ ( 5 5 Φ() Φ ( ) 5 ) 4 Φ( ) 5 ( 0 ) Φ 5 Opgave 0 Man betragter 5 uafhængige kontinuerte stokastiske variable, der alle er ligefordelte på enhedsintervallet. Spørgsmål 0 Den tredjestørste af de fem variable følger en uniform(0,) fordeling beta(,) fordeling uniform ( 5, 4 5) fordeling 4 normal (, 5) fordeling 5 beta(,) fordeling Fortsæt på side
Opgave For de stokastiske variable X og Y har man P(X < Y ) = 9. Spørgsmål Ud fra P(X < Y ) = 9, hvor 0 < X og 0 < Y kan man slutte E(X) < E(Y ) V(X) < V(Y ) E(X) < E(Y ) V(X) < V(Y ) 4 E(X) < E(XY ) 5 Man kan ikke slutte nogen af de ovenstående Opgave Som en noget grov model for antallet af smågrise i et kuld antages antallet at kunne beskrives ved en Poisson(9) fordeling. Sandsynligheden for, at en smågris er af hankøn, er 4 9. Kønnet af en smågris er uafhængigt af kønnet af de øvrige grise i kuldet. Spørgsmål Sandsynligheden for, at der er netop 4 grise af hankøn i et kuld, er 44 4! e 4 4 4 9 ( 4 4 ) ( 4 4 ( 4 ) 4 9) 9 5 ( 9 4 ) ( 4 4 ( 4 ) 4 9) 9 Fortsæt på side
Opgave Man har E(X) =, E(Y ) =, E ( X ) = 6, E ( Y ) = 7 og E(XY ) = 8. Man danner Z = X Y. Spørgsmål Man har V(Z) = 0 V(Z) = 6 V(Z) = 7 4 V(Z) = 56 5 V(Z) = 80 Opgave 4 Man har den stokastiske variabel Y, der følger en beta(,) fordeling, således at tætheden for Y f Y (y) er 6y( y), samt den stokastiske variabel X, der for givet Y = y følger en bin(, y) fordeling. Spørgsmål 4 Man finder P (X = ) 4 4 5 5 Fortsæt på side 4
Opgave 5 For de to diskrete stokastiske variable X og Y har man P(X = x, Y = y) y = y = y = x = 9 9 9 x = 0 6 6 x = 0 0 Spørgsmål 5 Man finder P(X = Y ) P(X = Y ) = 8 P(X = Y ) = 8 P(X = Y ) = 7 8 4 P(X = Y ) = 9 8 5 P(X = Y ) = 8 Opgave 6 Man har de to uafhængige stokastiske variable Z og Z, der begge er standardiseret normalfordelte. Man danner herefter X = min (Z, Z ) og Y = max (Z, Z ). Spørgsmål 6 Man finder Cov(X, Y ), til Cov(X, Y ) = 0 Cov(X, Y ) = π π Cov(X, Y ) = 4 Cov(X, Y ) = 5 Cov(X, Y ) = π (Vink: Overvej hvordan tætheden for (X, Y ) fremkommer ud fra tætheden for (Z, Z )). Fortsæt på side 5 4
Opgave 7 Forureningen på en lokalitet måles dels som et indhold af partikler og dels som en koncentration af NO (nitrogendioxid). Det antages, at de to variable kan beskrives ved en bivariat normalfordeling, således at middelkoncentrationen af NO (ppb) er 60, middelkoncentrationen for partikler er 40 (mikrogram per m ), med spredninger på henholdsvis 0 og 0, med en korrelationskoefricient ρ = 0, 8. En given dag har man konstateret af NO koncentrationen er 0. Spørgsmål 7 Sandsynligheden for, at antallet af støvpartikler overstiger 0 denne dag findes til Φ ( ) Φ () 4 Φ () 5 Φ Opgave 8 ( ) Et flyselskab har en flåde af 5 Boeing 77, hvoraf 9 er af serie 77-00, medens de resterende er af serie 77-00. På et givet tidspunkt har selskabet 4 fly af type 77 i en lufthavn. Spørgsmål 8 Under antagelse af, at fordelingen mellem de to serier er tilfældig, hvad er da sandsynligheden for, at der er mindst to serie 77-00 blandt de 4 6 7 5 4 6 5 5 9 Fortsæt på side 6 5
Opgave 9 Man har den bivariate tæthed f(x, y) = 864(x y)(y x) for x y x x + y, f(x, y) = 0 ellers. Spørgsmål 9 Tætheden f Z (z) for Z = X + Y findes til f Z (z) = z, 0 z f Z (z) = 4z, 0 z f Z (z) = 864 z 0 (x (z x))((z x) x)dx, 0 z 4 f Z (z) = 864 z (x y)(y x)dx, 0 z z 5 f Z (z) = 864 z (x z)(z x)dx, 0 z z Opgave 0 Antallet af henvendelser til et offentligt kontor på en dag kan beskrives ved en negativ binomialfordeling med parametre r = 4 og p = 4. Hver henvendelse giver anledning til oprettelse sagsnumre, derudover oprettes der rutinemæssigt 4 sagsnumre per dag på det offentlige kontor. Spørgsmål 0 Middelantallet af oprettede sagsnumre på det offentlige kontor per dag findes til 5 40 6 4 6 5 Slut på opgavesættet. 6