Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og I q q qv = = = (9.) T π v π sådan at og demed μ qv qv π = IA = π = (9.3) q μ = v. (9.4) et af den pågældende ladning e L = p= m v m = q μ (9.5) svaende til at L og μ e enten paallelle elle anti-paallelle og demed udtyk fo beslægtede fysiske egenskabe ved det pågældende kedsløb. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side af 8 Sten-Gelach-fosøget I dette fosøg fa 19 sendes en ståle af atome igennem et inhomogent B-felt de i favæet af y S andeffekte kan skives B = B. (9.6) ( ) ˆ x N Ved dees passage påvikes hvet atom af en magnetisk kaft F = E mag (9.7) hvo E = μ B= μ B mag ( ) (9.8) jf. EM udtyk (8.0) e den potentielle enegi 1 i B-feltet af den magnetiske dipol som et atom udgø sådan at kaften på atomene e B B B F = μ xˆ yˆ ˆ + + x y (9.9) B = μ ˆ da B-feltstyken ha maksimum fo x = 0 og da B y = 0 i favæet af andeffekte. Klassisk kan pojektionen μ af et atoms magnetiske dipolmoment på -aksen antage alle vædie i intevallet μ μμ ; (9.10) svaende til at atomene vil fodele sig langs en lodet stibe på skæmen. 1 Udtyk (9.7) e således den velkendte sammenhæng mellem kaft og potentiel enegi. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side 3 af 8 Men i det pågældende fosøg amte atomene kun skæmen nogle ganske bestemte stede svaende til at μ e kvantiseet! Helt pæcist vise det sig at μ = gμ m (9.11) B j hvo e kvantetallet fo pojektionen j { 1 1 j} m j j+ j+ j j 1 3 j 0 1 (9.1) μ af det magnetiske dipolmoment idet j e kvantetallet fo støelsen μ af det magnetiske dipolmoment en Boh-magneton e μ B = (9.13) m e en passende enhed fo atomae magnetiske dipolmomente og ( + 1) ( + 1) + ( + 1) j( j+ 1) j j l l s s g = 1+ 1; e (9.14) e den såkaldte Landé g-fakto idet l og s e kvantetallet fo hhv. banebevægelsesmængdemomentet og spinnet 3. Pojektionen μ ses af udtyk (9.1) at kunne antage j+1 foskellige vædie så jo støe μ jo støe j jo flee mulige pojektione μ jo flee plette på skæmen. I det opindelige fosøg va de tale om sølvatome som i dees gundtilstand e kendetegnet ved 1 j = svaende til 1 1 + og demed to plette på skæmen. m j Mee heom senee i denne lektion. 3 Mee heom i KM10. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side 4 af 8 Klassisk En patikel de befinde sig i punktet og ha bevægelsesmængden p ha mht. oigo bevægelsesmængdemomentet L= p xˆ yˆ ˆ = x y p p p x y ( y) ( x ) ( y x) = xˆ yp p + yˆ p xp + ˆ xp yp Lx L = Lx+ Ly+ L. Ly L (9.15) Kvantemekanisk Opeatoepæsentanten fo L e givet ved ˆ L ˆ = pˆ = i = i xˆ yˆ ˆ x y x y = xˆ y yˆ x ˆ x y i y + + i x i y x Lˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ x= yp p ˆ y Ly= px xp L= xp ˆˆy yp ˆˆx ˆ ˆ ˆ = x+ ˆ y. L L L + L (9.16) Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side 5 af 8 Ifølge opg. 7.3 e Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x L y = il Ly L = i L x L L x = il y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y L L = L L = L L = 0. (9.17) ˆL kommutee således med L ˆx L ˆy og L ˆ hvoimod L ˆx L ˆy og L ˆ ikke kommutee indbydes. Jf. KM8 s. 6-8 findes de således et fuldstændigt sæt af samtidige egentilstande fo ˆL og L ˆx et andet fo ˆL og L ˆy og et tedie fo ˆL og L ˆ. Ifølge udtyk (8.5) fås vha. udtyk (9.17): Δ 1 ˆ ˆ 1 1 Lx Ly L x L y i L i = L ΔLyΔL Lx ΔLΔLx Ly og hvoaf det ses at de te komposante L x (med vilkålig sto nøjagtighed) fo Ly L (9.18) L kun kan bestemmes samtidigt Lx = Ly = L = 0. (9.19) Deimod femgå det af udtyk (9.17) at man kan bestemme støelsen L og én af komposantene på samme tid. Ifølge opg. Q e en sfæisk symmetisk funktion R ( ) samtidig egenfunktion fo både L ˆx L ˆy L ˆ og ˆL med tilhøende egenvædie Lx = Ly = L = L= 0 hvilket opfylde betingelsen i udtyk (9.19). Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side 6 af 8 Ifølge opg. R e ( ) R ikke egenfunktion fo L ˆx og L ˆy men e samtidig egenfunktion fo ˆL og L ˆ med tilhøende egenvædie I en tilstand kendetegnet ved L = L = 0. φ = R ( ) ( ) (9.0) (9.1) vil man så med sikkehed vide at støelsen af bevægelsesmængden e L = og at pojektionen på -aksen e L = 0 hvoimod pojektionene på x- og y-aksene e behæftet med usikkehede. 45 Det kan vises at og ( ) x iy R + ( ) x iy R (9.) (9.3) også e samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ med tilhøende egenvædie hhv. og L = L = L = L =. (9.4) (9.5) 4 ( ) x R og R ( ) y e tilsvaende samtidige egenfunktione fo ˆL og ˆ hhv. ˆL og ˆ. L x L y 5 Dette vise således at udtyk (9.19) e en nødvendig men ikke tilstækkelig betingelse fo at L L og samtidigt målbae. x y L e Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side 7 af 8 Geneelt vise det sig at bevægelsesmængden e kvantiseet på flg. måde: ( 1) L= l l+ L l 0 = m idet l e banekvantetallet og l { } m l + l 1 + l l l 1 l l m l e det magnetiske banekvantetal. 6 (9.6) Fo et bevægelsesmængde med støelse L og demed banekvantetal l e de således l + 1 mulige pojektione af bevægelsesmængdemomentet på en given 7 akse. Kvantetallene buges til at identificee de foskellige egenfunktione fo ˆL og L ˆ som således skives lm l ( ) φ. (9.7) F.eks.: φ 00 0 ( ) x iy ( ) ( )( θ φ) φ1 1 = R1 = R1 sinθcosφ isin sin φ10 = R1 ( ) = R1 ( ) cos θ x+ iy φ = R = R sinθcosφ+ isinθsin φ φ φ ( ) ( )( ) ( ) 11 1 1 1 = R = R = (9.8) hvo θ og φ e hhv. pol- og aimuthalvinkel jf. Fig. 8.5 i læebogen og hvo Rl ( ) kun e indiceet med l eftesom den vise sig ikke at afhænge af m 8 l. 6 Bemæk den delvise analogi med udtyk (9.1). Den pæcise sammenhæng femgå af KM10. 7 Som alle ande koodinatakse kan -aksen vælges vilkåligt. Nå -aksen e fastlagt e xy-planen fastlagt som planen vinkelet hepå. 8 Som det femgå af KM10 e m l et udtyk fo den umlige oienteing af den pågældende bølgefunktion og det sige den sfæisk symmetiske del af denne bølgefunktion ikke noget om. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007
Kvantemekanik 9 Side 8 af 8 Denne figu 9 visualisee en bevægelsesmængdemomentvekto L fo l = hvilket jf. udtyk (9.6) svae til L = 6 og flg. + 1= 5 mulige pojektione på -aksen: L { 0 }. Hve af disse 5 mulige -komposante e på figuen illusteet ved en kegle fo hvilken L og L ha bestemte vædie hvoimod L x og usikkehed. L y e behæftet med 9 Mebache Quantum Mechanics 3 d ed. Wiley. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU 0/04/007