Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede grudmægde. k opskrive og rege med simple bogstvudtryk. Kpitlet lægger især op til, t elevere k udvikle følgede fglige kompeteer. At kue symbolbehdle. Forståelse f vribelbegrebet står og flder med udviklige f dee kompetee. I forløbet er der fokus på både fkodig, regig med vribeludtryk og oversættelse mellem hverdgssprog og symbolsprog med vrible. Særligt relevte opgver: 26-29, 31, 34, 38-39. rbejde med mtemtikkes tkegge, strukturer og kedeteg. Vribelbegrebet idtger e meget etrl plerig i mtemtik. Når m rbejder kokret med vrible, k m derfor få eksempler på, hvd der krkteriserer fget, og hvd der derfor er vigtigt t kue. Særligt relevte opgver: 6, 23, 40-51. modellere. Vrible kommer ikke midst i spil som e etrl del f t kue bruge formler og dre former for bogstvudtryk som mtemtiske modeller. Særligt relevte opgver: 40-51. Mtemtrix og dette kpitel Begrebet, vribel, er e f de vigtigste og mest elegte opfidelser mtemtikke hr frembrgt. Som værktøj til t forekle beskrivelse f e lg række forhold f mtemtisk rt er det utroligt krftfuldt. Tæk blot på bruge f formler, som hæger tugt på vribelbegrebet. Begrebet er desude oget f det mest etrle i mtemtikke også i de mtemtik, elevere fremover vil møde i udervisige. I rbejdet med både ligiger og fuktioer er det således helt ødvedigt, t eleve forstår vribelbegrebet. Ofte er det utilstrækkelig forståelse f vribelbegrebet, der er det egetlige problem, år elever siglerer t hve vskeligt ved t forstå og rbejde med ligiger og fuktioer. Problemstillige er ekstr tydelig, år der rbejdes med formler, som pr. defiitio ivolverer mere ed e vribel. Når elever hr vskeligt ved t bruge og ikke midst mipulere med formler, fx i forbidelse med modellerig, k det så godt som ltid føres tilbge til e grudlæggede usikkerhed over for vribelbegrebet. I Mtemtrix er vribelbegrebet et t de højt prioriterede områder i de fglige strukturerig. Allerede på begydertriet udfordres elevere til t rbejde med vrible, fx i forbidelse med løsig f simple ligiger. På mellemtriet tydeliggøres bruge f vrible i forbidelse med e mere systemtisk geemgg f ligiger, som er kereområde i Mtemtrix 5. Desude er rbejdet med formler og dermed også med vrible mere og mere i fokus i løbet f mellemtriet, og det kulmierer med et kpitel om formler i Mtemtrix 6. Med dette kpitel gøres vrible til det første kereområde i overbygige, hvilket ikke er oge tilfældighed. Tværtimod er det et bevidst forsøg på t sætte e dgsorde for mtemtikudervisige på dette tri. I Mtemtrix 7 udgør fokuserige på vribelbegrebet e slgs fællesæver for, hvord det fglige stof gribes og præseteres i lle kpitlere. RELATEREDE FORLØB TIL i 7.-9. KLASSE 7 Ligiger Ligigsbegrebet behdles, og elevere rbejder på t kue fide hesigtsmæssige strtegier for løsig f ligiger. 8 Algebr Både fokus på, t bogstver k udtrykke geerelle smmehæge, og på t rege med vrible (repræseteret ved bogstver). Lieære fuktioer Fokus på lieære fuktioer og forskrifte f(x) = x + b og de grfiske betydig f og b. Ligiger Opstillig og løsig f ligiger heruder t kue forholde sig ktivt og kritisk til tre etrle dele f mtemtisk modellerig: Oversættelse, berbejdig og fortolkig. 9 Grfer Repetitio f og smlet geemgg f fuktiosbegrebet. Der rbejdes bldt det med fuktioer ude e kedt regeforskrift t støtte sig til. Vækst Fokus på ekspoetilfuktioer og lieære fuktioer. 46 Mtemtrix 7 Lærervejledig
OVERSIGT: Grudbog INTRO SIDE 9 INTROAKTIVITETER SIDE 10-11 GENNEMGANG SIDE 12-13 ØVELSER SIDE 14-15 OPGAVER SIDE 16-19 OVERSLAGSBEREGNINGER SIDE 20 LIX-TAL SIDE 21 TALRÆKKER SIDE 22-23 OG REGNEARK SIDE 24-25 EVALUERING SIDE 26 Som det er poiteret flere gge, er dette kpitel etrlt i forhold til udviklige f eleveres mtemtiske symbolbehdligskompetee. Desude gør vribelbegrebets tætte forbidelse til fuktiosbegrebet og til ethvert rbejde med formler (og dre ligiger) det til et krftfuldt beskrivelsesværktøj, som bldt det k og bør bruges til t udvikle eleveres produktive modellerigskompetee. Adskillige f opgvere og ikke midst opslget, Overslgsberegiger, lægger derfor op til t udfordre dette område. Desude k eleveres tkeggskompetee udvikles, hvis m i rbejdet med vrible lægger op til t forholde sig til, hvd der er særligt for mtemtik som fg. Arbejdsrk Regerk Geometri filer 1. Reduer 2. Regig med vrible 3. Regig med vrible 4. Tlrækker - sum lige tl 5. Tlrækker - sum ulige tl 6. Tlrækker - geemsit lige tl 7. Tlrækker - geemsit ulige tl Tlrækker Vrible i regerk Vrible 1-10 Film: Fglige Film: Geometri Fglig (to stk.) Fglig Fglig (fire stk.) Geometri (to stk.) Mtemtrix 7 Lærervejledig 47 Fitliste: Grudbog Fitliste: Arbejdsbog Fitliste: Kopirk IT Kommetrer Grudtkere
K plte betyde flere forskellige tig? Hvord k plter beskrives? Hvd vil det sige, t oget vrierer? Hvd vil det sige, t oget er kostt? 9788723038470_idhold.idd 9 19/06/14 09.56 3 Her er = 2 og b = 4 et eksempel på e 5 4 + 2 3 5 2 3 + 6 + 5 3 2 2 2 5 2 1 0 1_ 2 x 2 = 3 b x + 2 = 3 h g A = 12h g 4 = 5 x d 4 = 5 y Giv ogle eksempler. + b = 8 b = 8 _ b b = 8 d b = 8 f trekte til vestre: O = 3 + 4 + 5 Byg formler for omkredse f rektglere A til D. b Skriv formlere så kort som muligt. Bereg omkredse f rektglere A til D for forskellige værdier f : = 1 m. = 5 m. = 2,5 m. det som regel er tl, m er iteresseret i t berege? l b e 1 + z = 1 z f x 4 = x 3 e 8 = 2 b f 8 = 2 b A 2 C 2 1,5 D 2 3 A = l b B Hvd meer du egetlig, år du siger elev? Jeg tæker på e elev i vores klsse, som vi k vælge til elevrådet. 9788723038470_idhold.idd 10 19/06/14 09.569788723038470_idhold.idd 11 19/06/14 09.56 eller e tilfældig møt, der tækes på: Møte, du skl komme i e spilleutomt. b Møte, du hr lgt frem hjemme på skrivebordet. Møte, du skylder di ve. d Møte, du mgler i di møtsmlig. e Di lykkemøt, som du hr i e kæde om hlse. tllet, lægger tre til, og får det smme, som hvis m lgde to til det tl, som er e midre ed det tredobbelte f tllet. Kld tllet x E vribel er et symbol for et elemet fr e bestemt grudmægde. Som vet siger, k m sætte flere forskellige værdier id på e vribels plds. Grudmægde til e vribel giver, hvd m k idsætte. Når m rbejder med vrible, skl m ltid gøre sig klrt, hvd grudmægde er. Hvis vrible fx er e elev, skl m ltså defiere grudmægde. Ellers k m ikke vide, om m rbejder med lle elever i Dmrk, lle elever på skole, lle elever i 7. b eller oget helt det. "e" er et symbol for e elev i klsse. Mægde f elever i 7.b. Når vi i mtemtikke vil rbejde med oget, som k hve flere forskellige værdier, bruger vi bogstver som vrible: Formle her hdler om relet f et rektgel. Derfor er x er symbol A, l og b symboler for et eller for positive tl. det tl. Bogstvere er vrible, mes 2 og 3 er kostter. E kostt er et symbol for e værdi, som ikke vrierer. Når bogstver er brugt som symboler for tl-vrible eller tl-kostter, k m rege med dem, ligesom m reger med kedte tl. Jeg bliver forvirret, år du skker om, t værdie er 45. Du siger, du hr 3 rude tig i rygsække det hr jeg også. 9788723038470_idhold.idd 12 19/06/14 09.56 9788723038470_idhold.idd 13 19/06/14 09.56 Mi lykkemøt! Jeg hr 45 gmle 10 øre, me jeg ved ikke, hvd såd e er værd, så værdie hr jeg bre kldt. Me det er jo forskelligt: Du hr 3 ppel - sier, og jeg hr 3 æbler. E der k bruges til idkøbsvoge. Nå, så er ltså e vribel, og 45 er e kostt. J, det er fordi, vi bruger rude tig som e vribel. Det er lige meget jeg smler på lle lde. J emlig, mi dreg! Og på filme til højre k du se mere om det. Til gegæld er der ige tvivl om, hvd vi meer med 3 det k ku være e kostt. Hvd er e formel? Hvorfor bruger m bogstver i mtemtik? K komplierede smmehæge skrives meget kort? Vrible 1 Teg skemet f. Idsæt værdie f i hvert udtryk og bereg. 2 Løs ligigere: 7 Tegee her er eksempler på symboler. Hvd er hvert teg symbol for? b e d f Et symbol er et teg, som m hr vlgt betyder oget det, ed det m lige k se. Hvd meer du, år du beder om e møt? 3 Hvilke værdier f og b k løse ligigere her? løsig. 4 Hvd betyder det, år der står bogstver i e ligig? Hvd meer du med? 5 Her er bygget e formel for omkredse O 6 Hvorfor står der bogstver i formler, år 8 Hvd kue pige på tegige ellers hve svret? 9 Her er ogle eksempler, hvor du skl tge stillig til, om det er e bestemt x + 3 = 5 2b + 3 A = l b Hvd meer du med 3? 10 Fid det tl, som opfylder følgede: M trækker e fr det dobbelte f 10 11 12 13 SIDE 9 SIDE 10-11 SIDE 12-13 Side 9 INTRO Itrobilledet viser e eg, hvor blomstere står i fuldt flor. Med udggspukt i billedet spørges der, om ordet plte k betyde flere forskellige tig. Hvilke grudmægde refererer plte til? Tl om de forskellige betydiger, som plte k hve. E plte k fx betyde rosebusk, græs, tomtplte og er derfor e vribel. Me i sætige, di plte giver vel ok mge tomter, hr plte e de betydig. Her betyder plte emlig e helt bestemt gestd og er dermed e kostt. Ld elevere komme med deres bud på, hvd det vil sige, t oget vrierer eller er kostt. Det er også oplgt t bruge eksempler fr klsse for t belyse dette forhold. Ld klsses elever de forskellige grudmægder på bggrud f vrible, som de selv vælger. Det k fx være e dreg fr klsse, e med lyst hår fr klsse, e med rig i øret fr klsse, e klog perso fr klsse ( hov, det er uklrt defieret, så det skl præiseres for t kue bruges som vribel ), de ældste i klsse ( hov, det er jo e kostt ) osv. Opgve 21 og 22 følger direkte op på e såd sk. Kommetrer til de skæve spørgsmål Spørgsmål 1: E formel udtrykker e smmehæg mellem størrelser, hvori der midst er to vrible. Se også kommetrere til 33. Spørgsmål 2: Bogstver og dre symboler k bldt det bruges til t skrive vrible på e smrt måde. Hvis grudmægde eksempelvis er tl drege fr klsse, kue symbolet være et D. Hvis der er 12 drege i klsse, k det skrives som D = 12. Spørgsmål 3: De prktiske vedelse i t bruge vrible kommer tydeligt til udtryk i dette spørgsmål, for m mister emt overblikket i iformtiosrige sætiger (se fx 34, 38 og 39). Ved t idføre vrible for fx rel og højde og give smmehægee som symbolsprog bliver udtrykkee meget lettere t overskue ed ved t bruge et turligt sprog. SIDE 10-11 INTROAKTIVITETER Der lægges op til ktiviteter og overvejelser om begrebet vribel og vedelse herf. 1-6 omhdler bruge f bogstver i mtemtikke. Elevere hr tidligere reget ligede opgver og beyttet vrible. I 7-10 er begrebere symbol og vribel i fokus. Her skl elevere fkode betydige f symboler og opstille bogstvudtryk. 1 er træig i t idsætte tl på bogstvets plds. I koloe 3 er der et uderforstået ggeteg mellem 2 og, og tilsvrede mellem 3 og i koloe 5. I 2 skl elevere være opmærksomme på, t de ubekedte størrelser både udtrykkes med x, y og z. I 3 k elevere udfordres f lærere eller f hide til t fide ogle lidt sværere eksempler: K m bruge egtive tl? Brøker? Hvor mge løsiger er der egetlig til hver opgve? Hvorfor? I 4 k elevere komme med eksempler på vedelse f bogstver i ligiger og fide på ekle regehistorier. Et eksempel: x 2 = 3 Jeg hvde x kr. og gv mi lillebror to kr., og u hr jeg tre kr. tilbge. 5 idledes med et eksempel på opskrivig f bogstvudtryk. På bggrud f eksemplet skl elevere selv opskrive bogstvudtryk og deræst forkorte (reduere) udtrykkee. Smme bogstv lægges smme med smme bogstv. Sidst i opgve idsættes forskellige værdier for de vrible i de reduerede bogstvudtryk. I 6 bruges tegiger f e trekt og et rektgel med tilhørede relformler til t vise, t der i formler er tle om geerliseriger. Prøv t sætte forskellige tl id på de vribles pldser og udersøg, om smmehæge stdig gælder. I 7 rettes elevees opmærksomhed mod, hvd et symbol egetlig er. Det gøres ved, t elevere skl forholde sig til forskellige teg, som de formetligt keder, me som de ok ikke tidligere hr tækt på som symboler. Læs evetuelt de uddybede lærervejledigskommetrer til geemgge. 8 fokuserer på, t betydige f de vrible fhæger f kotekste. Pige kue fx også hve svret: E der går i skole eller E fr vores skole. I 9 bliver begrebet grudmægde ktuelt. Her er møteres værdi uiteresst. Det vigtige er, om møtere er tilfældige eller bestemte. Diskuter også grudmægde i hvert ekelt tilfælde. 10 er et eksempel på, t e kompleks smmehæg k opskrives meget mere overskueligt ved t bruge bogstver og mtemtiske teg. SIDE 12-13 GENNEMGANG M k tæke på e vribel som e pldsholder for et tl eller for e tig f e bestemt type. Formulerige er dog oget upræis: Hvd er e pldsholder? Hvd er e tig? Og hvd vil e bestemt type sige? Vi bruger derfor e mere mtemtisk og præis defiitio: E vribel er et symbol for et elemet fr e bestemt grudmægde. 48 Mtemtrix 7 Lærervejledig
Om t opskrive bogstvudtryk med vrible To gge et tl, plus tre. b To gge et tl, plus tre gge smme tl. Et tl divideret med to. d Fem gge et tl, mius otte gge smme tl. e Fire mius fire gge et tl. f Ni gge et tl, mius i gge smme tl. g Det dobbelte f et tl, plus e. h E plus det dobbelte f et tl. Et tl, gge et det tl plus seks. b Fem gge et tl, mius tre gge et det tl. To gge et tl gge hlvdele f et det tl. d Tre gge et tl gge e tredjedel f et det tl. e Et tl divideret med et det tl, plus ti. f Ni gge et tl, mius hlvdele f et det tl. g Syv gge et tl, plus et det tl divideret med syv. h Fem mius to forskellige tl gget med hide. Om t bestemme grudmægde situtioer: Du skl bestemme prise på e fødselsdgsgve, du vil give. b Du skl bestemme højde f et træ. Du møder e, du keder, x. d Løs ligige x + 3 = 5. e Om e tigs højde, x, ved m, t x + 3 m = 5 m. f Du skl bestemme e persos lder i år. g Et helt tl gget med sig selv. h Temperture på e forårsdg. 9788723038470_idhold.idd 15 01/07/14 12.43 9788723038470_idhold.idd 14 19/06/14 09.56 E med krøllet hår fr klsse. b E fr klsse, der ikke hr krøllet hår. Om t rege med vrible 2 + 5 3 + 6 4 b 6A 2 2A + 1A 5A 7b 8b + 4b 2b + 7b + 2b d 2 4 + 3 1_ 2 x + 8x 5_ 2 x 3x b 2,5 + 6 + 5,3 2,8 + 1_ 3 y 4_ 3 y + 3y y 4 + 2 + 5 + 7b 2b b 4 + 2 + 5 + 7b 2b 3 + 6 + 4 5 d 2b + 4d 10b + 2d 6b 8d 3 ( + 2) b (3 + b) 2 (4 2) d (d 1) 3 e 2 (4 + e) f (1 + 3) f g 4 (2 u) h (v 4) 1 E pige fr klsse. d E dreg fr klsse. e Fid selv på flere vrible. e 3x + x 2x 2 + x f 6g + g 3 3g + 2g g 5g + 5g + 5g 2 5g h z z 4z + 4z + z 4z + 4z + 4z e 6 f 2 1,7 0,4 + 2 5 66y g + 2 3y 10y 11 h h + h 2h + 3 h + h e 10x + 3x 3y + 4x + 5y f 3x + 3x + 2z + 2z 2x + 2z g 4 3A + 4A 2 + 2A + h 9b + 10p + b 9p 2p + 3b = 1 2 = 2 Husk: 8 2 3 = 8 6 = 2 Arbejdsrk I w (1 + 4) j (2 + x) 3 k 2 (y 2) l (3 2) z 3(x + 3) = 3 x + 3 3 = 3x + 9 1-2 GeoGebr Vrible 1-2 GeoGebr Vrible 1-4 3 m Arbejdsrk 3 l og fid løsige. Et tl lgt smme med elleve er femte. b Et tl lgt smme med otte er lige så meget som tolv mius i. Fire lgt smme med to gge et tl er lige så meget som tre gge det smme tl. d Hlvdele f et tl er lige så meget som fyrre trukket fr tllet. e Tretusidesekshudredetooghlvfems gge et tl er emilliofemhudredeiogtredivetusidefemhudredefireogtres. f Tre gge det hlve f et tl er midst lige så meget som det smme tl lgt smme med e. 2 + f A = b l b 4x + 2 3y 2 5 + π 2 + h 12 m 2 = højde grudlije 2 d Arelet = 3 m lægde e 24 mm 2 = bredde lægde j O = 2 π r Di lægde ved fødsle og højde på e 7. klsses elev. b Di lærers højde og højde på et højhus. Du skl hete di Mtemtrix-bog og e de bog fr di tske. d De ældste i di klsse skl hve ft i e lærer på skole. 2x 5 b 6 (x + 2) 1_ (4 + 2x) 2 d 3x + 4 e 5 4x f x 5 40 t 80 både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t 1) 400 t 450 både 7 og 8 går op i t 5 går op i (t + 2) g 6 2x 1 h både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t 1) d 3 og 5 går ikke op i t. både 6 og 4 går op i (t 1) 9788723038470_idhold.idd 17 19/06/14 09.56 9788723038470_idhold.idd 16 19/06/14 15.53 L tl ledere. Hvd betyder følgede formler? D = P e T > 0 b T < L f D + P > T + L D = 2P g D + P +T + L = 110 d P = D + 10 h (D + P) = 45 Der er e træer flere, ed der er ledere. b Der er 10 drege flere, ed der er piger. Der er 10 gge så mge drege som piger. d Der er e træer for hver 10 drege. e Der er e træer for hver 10 medlemmer. f Der er dobbelt så mge medlemmer, som der er vokse (træere og ledere). i Verde er der V tl meesker. Hvilke f disse udsg er sde og hvilke er flske? D = K e D 10 > V b D < K f D + K > K + D D + K = V g D + V > K + D d D + K = K + D h V D K > 1.000.000 Der er færre dskere ed kiesere. b Der er færre kiesere, ed der er meesker i Verde. Der er flere meesker i Verde, ed der er kiesere og dskere. d Forskelle mellem tllet f kiesere og dskere er større ed 1.000.000 meesker. e Der er mere ed 1.000.000.000 kiesere. f Der er mere ed 1.000.000.000 meesker i Verde, som ikke er kiesere. 3 + 4 + 5 4 = 12 4 = 3 2 b b er ltid større ed. b 5 er ltid det smme som + + + +. 4v er oget det ed 4 v. d x + 1 er ltid større ed 1. e x + 1 er ltid større ed x. f Om m skriver 10 x eller x 10, spiller ige rolle. g Vrible er ltid oget med hele tl. h I e ligig er der ltid midst é vribel. 2 M gger et tl med e brøk ved t gge tllet 2 = med tællere og beholde ævere. fordi 2 = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + + + + 2 + 2 + 1 + 1 + + + + 1 + + 1 + + 2 + 2 5 e e 5 5 5 + 2 + 3 + 4 + 5 b 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 f f 3 3 3 Arelet f et trpez k bereges ved t tge hlvdele f fstde mellem de to prllelle sider i trpezet gget med summe f disse to siders lægde. b Bereg omkredse, år b = 6 m. Skriv formler med vrible til beregig f omkredse og relet f figure. Fid rørets dimeter. b Opskriv e formel med vrible, så du ltid k berege dimetere, hvis du keder omkredse. Fid et rør i klsseloklet eller derhjemme. Mål omkredse og bereg dimetere med di formel. Omkreds: O = π d Dimeter 9788723038470_idhold.idd 18 19/06/14 09.56 9788723038470_idhold.idd 19 19/06/14 09.56 Prise for t bruge et elektrisk pprt k bereges ved hjælp f følgede formel: Å = P T E Skriv med ord, hvd formle udtrykker. b Hvilke bogstver er vrible for dig som forbruger? Hvd koster det t se 4 timers tv om dge i et år, år tv et er på 120 wtt og prise for 1 kwh er 1,40 kr.? Overflderelet f e ksse med etop to kvdrtiske sider k bereges ved t gge højde med bredde 4 gge, og dertil lægge 2 gge bredde gget med sig selv. løsige: Et tl gget med sig selv og derefter lgt smme med det tl, der er tre midre ed tllet, er lige så meget som tllet gget med summe f to og tllet. b Fid selv på et udtryk og ld di sidekmmert skrive det ved hjælp f mtemtiske symboler. Å er prise for et års forbrug. P er pprtets effekt. T er brugstide pr. år. E er elprise. GeoGebr Vrible 5-10 Hvd er mo og hvd er b? Øvelser 11 Forkort ved t bruge tlsymboler og bogstver som vrible: 12 Forkort ved t bruge tlsymboler og bogstver som vrible: 13 Agiv e grudmægde for de vrible i følgede 14 Fid på et symbol for hver f disse vrible: 15 Agiv grudmægde for hver f de vrible i opgve 14. 16 Reduer mest muligt: 17 Reduer mest muligt: d 10b 5 2b + 7 b_ 2 18 Reduer mest muligt: 19 Gg id i pretese. Opgver 20 Opskriv følgede udtryk ved hjælp f tl og bogstver som vrible, 21 Hvd k være vrible, og hvd er kostter i følgede udtryk: 22 Hvd er vrible, og hvd er kostter i disse situtioer: 23 Næv ogle vrible, som ikke hr oget med mtemtik t gøre. 24 Hvd er det dobbelte f: 25 Hvilke tl t opfylder t: g Arelet = højde 4 m i A = h g_ 2 3 (3 9x) 40 t 80 b 40 t 50 26 I e judoklub er der D tl drege, P tl piger, T tl træere og 27 Opskriv formler, som beskriver følgede smmehæge: 28 I Dmrk er der D tl meesker, i Ki er der K tl meesker og 29 Opskriv formler, som beskriver følgede smmehæge: 30 Rigtigt eller forkert? Begrud svret. 31 Skriv på e kortere måde: 32 Reduer mest muligt: d 1 + + + 1 33 Forklr med ord og eksempler, hvd e formel er. 34 Skriv sætige ved hjælp f bogstvsymboler og e tilhørede tegig: 35 Teg figure, år = 9 m, b = 6 m, og = 3 m. 36 Et emetrør hr e omkreds på 1,4 m. 37 Hvor meget koster et års tv-forbrug? 38 Skriv sætige ved hjælp f symboler og e tilhørede tegig: 39 Opskriv følgede udtryk ved hjælp f mtemtiske symboler og fid 14 15 16 17 18 19 SIDE 14-15 SIDE 16-17 SIDE 18-19 Diskussioe f, hvord de skl forstås, k deles op i to dele. Første del f forståelse hdler om t få repeteret, hvd e mægde er. Ld elevere komme med eksempler på ogle mægder, de keder. Sørg for t der både kommer mtemtiske og ikke-mtemtiske eksempler, fx mægde f elever i klsse og mægde f lle tælletllee (de turlige tl N). De de og vskeligste del f forståelse hdler om, t m k give teg e de betydig ed de, m umiddelbrt k se. Det er pr. defiitio det, m gør med et symbol. Et symbol betyder et billedligt kedeteg for oget. Ved evetuelt tilbge til itroopgve 7 og tl med elevere om, t et dødigehoved sjældet blot er teget for et meeskes krium, me i stedet symboliserer død eller fre på færde. Tilsvrede refererer teget,, sjældet til de lodrette streg med e bue på, som er det m kokret k se. Det betyder oftest et bogstv med e bestemt lyd tilkyttet, og i mtemtikkes verde refererer det ofte til et bestemt slgs tl eller e fysisk størrelse, jf. skke om højde i de midterste tegeserie i geemgge. Det smme gælder bogstvere i de kommeterede mtemtikeksempler på side 12, som k bruges til t forbide eleveres mtemtikerfriger med forståelse f begrebere symbol og vribel. Det modstte f e vribel kldes e kostt. Som ordet tyder, er e kostt et bestemt objekt, som ikke vrierer. Kostter k også være repræseteret ved hjælp f symboler. Det er derfor vigtigt t vide, om et bestemt symbol (fx eller mor ) repræseterer e vribel eller e kostt. I lle situtioer, hvor der vedes symboler, er det oget, m selv vælger. M skl bre huske t gøre tydeligt opmærksom på det, så der ikke opstår forvirrig. Når m reger med vrible, som repræseterer tl eller fysiske størrelser som fx højde, er det vigtigt t slå fst, t m bre reger, ligesom m gør med kedte tl. Brug lidt tid på t tle om de hådskreve eksempler ederst på side 12, som hdler om t reduere bogstvudtryk. Tegeseriere på side 13 fruder skke om grudmægder og viser, t fstlæggelse f grudmægde er fudmetlt for t kue forholde sig til vrible. SIDE 14-15 ØVELSER Der er tre øvelsesktegorier. Om t opskrive bogstvudtryk med vrible Begge øvelser er træig i t forkorte sætiger ved t vede bogstvudtryk med vrible. I 11 rbejdes der ku med é vribel, mes der i 12 rbejdes med to vrible. Om t bestemme grudmægde Øvelsere er e træig i t fgræse e grudmægde. Grudmægde fhæger f, hvilke smmehæg vrible idgår i. Om t rege med vrible Reduktiosopgvere hr stigede sværhedsgrd. 16 er dditio og subtrktio med hele tl og é vribel. 17 omftter lle fire regigsrter med é vribel. 18 er dditio og subtrktio med hele tl og flere vrible. I 19 lægges der op til øvelser, der vedrører regehierrkiet, som behdles idgåede i 8. kl. SIDE 16-19 OPGAVER I 20 er opskrivige f udtrykket vigtigst. Tllet k fx kldes for x, eller, hvd elevere syes. I 21-22 rbejdes der med forskelle på e vribel og e kostt. Opgvere eger sig derfor godt til t repetere, hvd e vribel egetlig er, evetuelt ved t vede tilbge til og repetere dele f geemgge. 23 k bruges til t udfordre eleveres tkeggskompetee, som bldt det hdler om, hvd der kedeteger mtemtik som fg. Diskuter gere dette spørgsmål direkte i forbidelse med opgve, og ld elevere prøve t idetifiere vrible fr ogle f deres dre skolefg ed mtemtik. Det k fx være dgsforme, lyste til lkrids, sovses tykkelse eller hvor meget pizze er bgt. 24 Tl med elevere om de sproglige formulerig, det dobbelte f. Hvord skrives det mtemtisk? Alle udtrykkee skl gges med 2. D udtrykkee består f to led, er det vigtigt t tle med elevere om, t m skl gge begge leddee i hvert udtryk med 2. Læg op til, t elevere foretger kotrol ved t idsætte e værdi for de vrible i udsget både før og efter, t der er foretget beregiger. I 25 skl der gættes mtemtiske gåder. Grudmægde skl idkredses, og til sidst skl tllet, t, fides. 26-29 udfordrer eleveres symbolbehdligskompetee. 26 og 28 udfordrer de del f kompetee, der hdler om t fkode symbolske udtryk. Det hdler ltså om t idetifiere og beskrive de bgvedliggede meig og betydig f symbolske udtryk. I 27 og 29 spørges der til de de side f e såd forståelse. Her drejer det sig om t kue oversætte fr e ikke-symbolsk til e symbolsk måde, og om hvord m k udtrykke e give meig Mtemtrix 7 Lærervejledig 49 Fitliste: Grudbog Fitliste: Arbejdsbog Fitliste: Kopirk IT Kommetrer Grudtkere
Opgvere på dee side hdler om t rege sig frem til et kvlifieret gæt på størrelse f oget. I k svre på hvert spørgsmål ved t vælge ogle vrible, som I meer svret fhæger f. bygge e formel, som viser hvord m skl rege med disse vrible. gætte kvlifieret på værdie f hver vribel. foretge beregiger med disse værdier ved t idsætte i formle og berege et irk-svr på spørgsmålet. vurdere irk-svret: Virker det foruftigt i forhold til spørgsmålet, eller skl beregigere foretges på e de måde? morge? Lix står for LæsbrhedsideX og bruges til t fide e teksts sværhedsgrd. De kldes lixtllet og bereges ved hjælp f e formel med flere forskellige vrible. b : Lixtllet = + 9788723038470_idhold.idd 20 19/06/14 09.56 9788723038470_idhold.idd 21 19/06/14 09.56 det smlede tl ord i tekste b: det smlede tl sætiger : det smlede tl ord på over 6 bogstver Emil fr Løeberg hed e dreg, der boede i Løeberg. H vr e rigtig lille vildbsse og ikke ær så sød som du. Skøt h så u sød ud, vist gjorde h så. Når h ikke vrælede, ltså. H hvde rude blå øje og et rudt, rødkidet sigt og hvidt uldhår. Det så lt smme meget Dee bog hdler for e stor del om hobittere, og f des sider vil læsere kue fide ud f meget om deres krkter og lidt om deres historie. Edu mere vil m kue få t vide i det udvlg f Vestmrks Røde Bog, som tidligere er udgivet uder title The Hobbit. Det, der fortælles i de, er hetet fr de første kpitler i de Røde Bog, som er smlet f selve Bilbo, de første hobbit, der skulle blive kedt vidt omkrig i verde og som h selv hr kldt Dertil og tilbge ige, fordi de fortlte om hs rejse mod øst og hvor svært du syes det er t læse hvert itt? smmelig lixtllee. LIX-TAL SVÆRHEDS- GRAD 20 30 meget let 30 40 let 40 50 middel 50 60 svær 60 og over meget svær sødt ud j, m kue godt tro, t Emil vr e rigtig egel. Me det skulle m bre ikke bilde sig id. Fem år vr h og stærk som e lille okse, og h boede på gårde Ktholt i Løeberg i Småld i Sverige. Astrid Lidgre: Emil fr Løeberg hs tilbgevede, e oplevelse, som seere skulle komme til t idvikle lle hobitter i de f tides begiveheder, som vi her skl berette om. Imidlertid er der måske mge, som gere vil hve visse forhådsoplysiger om dette ejedommelige folk, og der er vel også dem, der ikke selv er i besiddelse f de omtlte bog. For såde læsere følger her et pr kortfttede bemærkiger om de vigtigste træk i kudskbe om hobbittere, og deres tidligere historie gefortælles i korte træk. J.R.R. Tolkie: Hobbitte Det er ikke første gg, dee besværlige opgve er blevet stillet. I 1787 blev opgve stillet i Tyskld i e klsse med 10-årige elever. Lærere hvde givet dem opgve som strf, og u håbede h på, t elevere skulle bruge rigtig lg tid på t lægge de tl smme. Me Crl Friedrih Guss kom op til lærere efter midre ed ét miut. Hs besvrelse fyldte ku é lije og vr rigtig! Hs overvejelser vr: Lærere sgde ikke, t jeg skulle lægge smme 1 + 2 + 3 +... +. Jeg må vel godt lve sumve for 101: 1 + = 101 ; 2 + 99 = 101 ; 3 + 98 = 101... b Hvd er tllet f sumve gget med 101? Udfyld e tbel som dee: Tælle til Atl sumve Sum Fit 50 101 5.050 10 5 11 55 20 50 200 1.000 9788723038470_idhold.idd 22 19/06/14 09.56 9788723038470_idhold.idd 23 19/06/14 09.56 sidste i række. kldes. Som vokse blev Crl Friedrih Guss professor i mtemtik, og h huskes i dg som e f de største og mest lsidige mtemtikere ogeside. H udersøgte bldt det, hvord tl hg smme i tlrækker lige tl fr 2. b ulige tl fr 1. LIGE TAL Atl i række Udregig Sum 1 2 2 2 2 + 4 6 3 2 + 4 + 6 12 LIGE TAL Atl i række Udregig Geemsit 1 2 : 1 2 2 (2 + 4) : 2 3 3 (2 + 4 + 6) : 3 4 ULIGE TAL Atl i række Udregig Sum 1 1 1 2 1 + 3 4 3 1 + 3 + 5 9 ULIGE TAL Atl i række Udregig Geemsit 1 1 : 1 1 2 (1 + 3) : 2 2 3 (1 + 3 + 5) : 3 3 Regerk Tlrækker Arbejdsrk 4-7 Overslgsberegiger Lix-tl Tlrækker 56 Hvd er summe f lle de hele tl fr 1 til? 58 Beskriv Guss' metode, så de k bruges uset hvilket tl, der er det 59 Vis Guss' metode som e formel, hvor det tl, der skl dderes til, 52 Skriv med ord, hvd formle udtrykker. CITAT 1 60 Byg formler, der udreger summe f 40 Hvor mge i jeres klsse hr fødselsdg i juleferie? 41 Hvor høje er I tilsmme i jeres klsse? 42 Hvor mge vidruer er der i e klse? 43 Hvor mge blde er der på et træ? 44 Hvor meget luft idåder du på e t? 45 Hvor mge soveværelser luft svrer det til? 46 Hvor meget vd drikker du på et år? 47 Hvor mge brusebde svrer det til? 48 Hvor mge fodbolde k der være i jeres klsseværelse? 49 Hvor mge omdrejiger lver et ykelhjul, før ykle hr kørt e km? CITAT 2 53 Bereg og smmelig lixtllee i de to itter. Psser resulttet med, 57 Hvor mge sumve for 101 fdt Guss? 61 Hvd er geemsittet f de første lige tl fr 2? 62 Hvd er geemsittet f de første ulige tl fr 1? 50 Hvor meget bezi bruges der på t køre elever til jeres skole hver 51 Hvor mge timer bruger du på mtemtik i løbet f hele livet? 54 Fid selv rtikler fr forskellige viser og ugeblde. Bereg og 55 Skriv selv to tekster e meget let og e meget svær. 20 21 22 23 SIDE 20-21 SIDE 22-23 og smmehæg på. Det smme gælder 31, 34, 38 og 39. I 30 bør der lægges mest vægt på eleveres begrudelser og ræsoemeter. 31 Se kommetrere til 26-29. M k lde elevere omskrive dre brøkregler, fx: M gger to brøker med hide ved t gge tæller med tæller og æver med æver. M dividerer e brøk med et helt tl ved t gge tllet med ævere. 33. Ld elevere formulere, hvd e formel er, med ege ord, eksempler og tegiger. Brug deres forslg som udggspukt for e diskussio om, hvorfor det er vigtigt med vrible i formler. Tl også om, hvd det er, der k vriere, og hvd det er, der er kostt. Her er ogle eksempler på elevformuleriger: E formel er e smrt måde t skrive huskeregler på. E formel er oget, der k bruges geerelt. E formel ideholder tit et lighedsteg. E formel beskriver ofte dele f virkelighede. E formel er e opskrift på, hvord oget udreges. 34 Se kommetrere til 26-29. 38 og 39. Se kommetrere til 26-29. SIDE 20-25 FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG OVERSIGT FAGLIGT: Overslgsberegiger FAGLIGT: Lix-tl FAGLIGT: Tlfølger FAGLIGT: Vrible og regerk SIDE 20 FAGLIGT OPSLAG OVERSLAGSBEREGNINGER Dette opslg ligger i forlægelse f et tilsvrede opslg i kpitlet, Virkelighed og mtemtik, i Mtemtrix 6, og følges op f opslg f smme slgs i Mtemtrix 8 og 9. Dermed vil vi gere bidrge til t gøre overslgsberegiger til et vigtigt lmet dede elemet i eleveres mtemtikfglige udviklig. Opgvere på side er såkldte Fermi-problemer. De er opkldt efter de itlieske fysiker Erio Fermi, som brugte dee type opgver i forbidelse med si fysikudervisig. Hvis m søger på ettet efter Fermi problems, får m et væld f ispirtio og kokrete eksempler på opgver, hvorf ogle er gegivet her på side. Kort fortlt drejer det sig om opgver, hvor m skl rege sig frem til et kvlifieret gæt på størrelse f oget, som m umiddelbrt k hve svært ved t forholde sig til. Det gør m jf. visige til elevere øverst på side ved t rege med ogle størrelser, som m selv hr vlgt som de mest etrle, og ved t vurdere rimelighede f det svr, m år frem til. Fermi-problemer udfordrer derfor i høj grd eleveres modellerigskompetee. Vejled elevere geem de svære proes med t hådtere åbe opgver som disse. Gør det tydeligt, t målet ikke er t å frem til ekskte svr, me derimod t øve sig i e måde t kue sige oget foruftigt om spørgsmål, som i første omgg virker umulige t svre på. Opslget ideholder i lt tolv opgver, der fspejler vidt forskellige situtioer. Det er på ige måde fgørede, t lle elevere rbejder med de smme opgver. Efter de fælles geemgg k m slippe elevere fri og lde dem rbejde med de opgver, de selv fider mest tillokkede, med de vejledede kommetr, t de første opgver på side er de emmeste. SIDE 21 FAGLIGT OPSLAG LIX-TAL Meige med dette opslg er t give elevere mulighed for t rbejde med e utetisk udfordrig vurderig f læsesværhedsgrde f forskellige tekster. Til dette formål er der udrbejdet e formel som model f situtioe. Opslget lægger i første omgg op til t forstå formle, jf.r. 52. Hvis m vil udfordre elevere yderligere i dee retig, k det fx ske ved t diskutere, om m syes, formle for lixtllet bør videreudvikles for bedre t kue fge sværhedsgrde i e tekst. Hvord k m fx idskrive tllet f meget lge ord i formle? Og hvd med tllet f fremmedord? Og dele f sjælde bogstver som q, z og x? Opslget giver også mulighed for t bruge formle til t vurdere, hvor svære tekstere er i forskellige lærebøger, jf. 53-55. Et sådt rbejde k med fordel idgå i et tværfgligt smrbejde med fx dsk, hvor dre ktuelle tekster også k udersøges for læsbrhede (oveller, romer m.m.). SIDE 22-23 FAGLIGT OPSLAG TALRÆKKER Vi hr vlgt t præsetere elevere for Guss og begrebet, tlrækker. E tlrække er e sum f et (edeligt eller uedeligt) tl tl. Hvis der som i dette opslg er smmehæg mellem de ekelte tl i række, fx t hvert led er é større ed det forrige, er det e mtemtisk udfordrig t fide e eller flere smrte måder t udrege summe på. 50 Mtemtrix 7 Lærervejledig
Regerk Vrible i regerk I dette kpitel hr du rbejdet med begreber som vribel og kostt. I regerket Vrible i Regerk k du udersøge, hvd disse begreber dækker over, år regerket bruges til beregiger. Et regerk er opdelt i tusidvis f eller. Hver elle hr et v beståede f et bogstv for koloe og et tl for række. Fx hr de elle, der er mrkeret heruder, vet A1. De ktive elle De ktive elles v Formellije I formellije står det, der er idtstet i elle. A1 ideholder e kostt med 3 bogstver s, y og v, som vi opftter som tllet 7. Me regerket keder ikke syv som v for tlværdie 7. A2 ideholder kostte 7. Ved t plere teget til højre i elle viser regerket, t idholdet er et tl, som det k rege med og ikke e tekstkostt som i A1. idholdet f A4 skl være lig med idholdet f A3. Er de ktuelle værdi i elle A4 e kostt eller e vribel? 30 b 15 Når B1 hr værdie 7, så hr B4 værdie 9 B1 B4 7 9 8 11 10 15 20 35 195 9788723038470_idhold.idd 24 19/06/14 09.56 9788723038470_idhold.idd 25 19/06/14 09.56 idholdet f A5 skl være produktet f 3 og 7. Er de ktuelle værdi i A5 e kostt eller e vribel? idholdet f A6 skl være produktet f 3 og idholdet f A2. Er de ktuelle værdi i elle A6 e kostt eller e vribel? Fid værdie f A4, hvis du i A1 tster: 7 b 12 68 6 kostter. Brug tbelle til t fide de hemmelige formel. Hvd er e vribel? Hvd er e kostt? Hvorfor bruger m vrible? Hvord reger m med vrible? Evluerigsrk 1-3 9788723038470_idhold.idd 26 19/06/14 09.56 Vrible og regerk 65 I A5 står også 21; me i formellije står der u =3*7, som betyder t 66 I A6 står ige 21; me i formellije står der =3*A2, som betyder, t 67 I A4 er idtstet formle =A1+8. Evluerig 68 Hvilke værdi skl du idtste i A1, hvis værdie f A4 skl blive: 63 Er de ktuelle værdi i elle A3 e kostt eller e vribel? 64 I A4 står også 21, me i formellije står der =A3, som betyder, t 69 I B4 er idtstet e hemmelig formel. Heri idgår vrible B1 smt 2 70 Skriv selv e hemmelig formel, og prøv t gætte die klsse-kmmerters formler. 71 Hvord k du let skrive tbeller i et regerk? Kostt Vribel Formel Tl Bogstver Symboludtryk Regerk Pldsholder Elemet Mægde Ligig 24 25 26 SIDE 24-25 SIDE 26 D vribelbegrebet bliver set i et historisk perspektiv, bidrger opslget med t udvikle eleveres kulturhistoriske kompetee. Tl med elevere om, t sumformle, som bygges i 59, er et eksempel på, hvord y mtemtisk vide udvikles. Tl også om, hvord og hvorår dre former for mtemtisk vide er blevet til fx et begreb som ligig eller e formel fr smlige. Evetuelt k der følges op med e kokret udersøgelse f e såd historisk udviklig. Det er vigtigt, t elevere får e tydelig forståelse f tlrækker. Som supplemet til opgvere i boge k elevere udfordre hide ved t fide på tlrækker med e bestemt smmehæg mellem leddee og så lde kmmertere udvikle sumformler. Eleveres rbejde med tlrækker foregår mest på det eksperimeterede pl me med mulighed for t geerlisere og dermed bygge formler ved hjælp f vrible. SIDE 24-25 FAGLIGT OPSLAG OG REGNEARK Dette opslg er e oplgt fslutig på kpitlet. Her vises, hvord regerk også veder vrible og kostter og på (æste) smme måde, som elevere selv hr gjort ved løsige f de øvrige opgver. SIDE 26 EVALUERING Begrebsforståelse Begrebsforklrig: Elevere skl formulere sig om, hvd de forstår ved e vribel. Spørgsmålet k besvres direkte med defiitioe på side 12 i grudboge. Forståelsesmæssigt er det dog bedre, hvis elevere også bruger deres ege ord, fx: E vribel er oget, der k hve flere forskellige værdier. Smmehægsforståelse: Her k elevere beskrive forbidelse mellem vrible og e række beslægtede begreber. To eksempler: Udsg Vurderig Vrible k hdle om Tl tyder på god forståelse Vrible er i Tl uklrt hvd eleve forstår Vrible er det smme som Tl tyder på dårlig forståelse Udsg Vurderig Vrible fides ltid i e Formel tyder på god forståelse Vrible er lig med e Formel uklrt hvd eleve forstår Vrible er det pæeste i e Formel tyder på dårlig forståelse Fglige kompeteer Dette kpitel lægger især op til, t elevere k udvikle symbolbehdligskompetee, tkeggskompetee og modellerigskompetee. Fglige færdigheder Færdighedsevluerige er rettet mod tre forhold, svrede til kpitlets øvelsesktegorier: At opskrive bogstvudtryk med vrible, t bestemme grudmægde for vrible og t rege med vrible. Mtemtrix 7 Lærervejledig 51 Fitliste: Grudbog Fitliste: Arbejdsbog Fitliste: Kopirk IT Kommetrer Grudtkere