Asymptotisk testteori
|
|
- Bente Asmussen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde model opfylder de regularitetsbetingelser vi hidtil har stillet op, så vil den såkaldte deviancestørrelse, ( ) D n = 2 inf h n (X n, ψ) inf h n(x n, ψ), ψ Ψ 0 ψ Ψ der er en forholdsvis naturlig teststørrelse for hypotesen om at den sande ψ-værdi ligger i Ψ 0 Ψ, være asymptotisk χ 2 -fordelt med dim Ψ dim Ψ 0 frihedsgrader. 8.1 Glatte hypoteser De hypoteser vi vil interessere os for, kan formuleres i termer af delmængder af Ψ. Hvis Ψ 0 er en sådan delmængde, vil vi interessere os for den delmodel, hvor den sande ψ-værdi ligger i Ψ 0. Vores hidtidige analyse har baseret sig på Taylorapproksimationer, og hvis den type argumenter også skal fungere for delmodellen, må vi antage at Ψ 0 har forskellige pæne egenskaber. Man opsummerer gerne disse egenskaber ved at tale om glatte hypoteser. 97
2 98 Kapitel 8. Asymptotisk testteori Faktisk vil vi se på to forskellige formuleringer af hvad man skal forstå ved glatte hypoteser: de parametriserede glatte hypoteser og de implicit givne glatte hypoteser. I praksis er forskellen mellem dem ikke så stor, som det umiddelbart kan synes. Definition 8.1 Hvis U R m er en åben delmængde og hvis γ : U Ψ er en C 2 - afbildning, der opfylder at 1) γ er injektiv, 2) Dγ(β) har rang m for hvert β U, 3) γ 1 er kontinuert på γ(u), så er billemængden Ψ 0 = γ(u) en parametriseret glat hypotese af dimension m. Hvis betingelse 1) og 2) er opfyldt, taler man i differentialgeometri om at afbildningen γ er en immersion, hvis betingelse 3) også er opfyldt taler man om en embedding (hvilket sikkert hedder en indlejring på dansk). Det er rimeligt at kræve at γ er en immersion, hvis vi skal opfatte billedmængden γ(u) som en m-dimensional glat delmængde af Ψ. Betingelse 3) ser mere besynderlig ud, men til gengæld er den altid opfyldt i praksis. Betingelsen beskytter mod en geometrisk patologi, som formentlig aldrig nogensinde er dukket op i statistiske sammenhænge. Men hvis man vil overtræde den, så kan man f.eks. afbilde R ind i R 2 som skitseret på figur 8.1. Figur 8.1: En immersion, der ikke er en embedding. Tegningen beskriver en situation hvor γ : R R 2 er en immersion med den egenskab at γ(x) γ(0) for x. Det forhindrer γ 1 : γ(r) R i at være kontinuert, når γ(r) arver sin topologi fra R 2.
3 8.1. Glatte hypoteser 99 Problemet i figur 8.1 er at γ laver en kopi af R, der essentielt har to topologier: en, der stammer fra den oprindelige kopi af R, og en, der arves fra det omliggende rum R 2. At kræve at γ er en embedding, er essentielt at kræve at de to topologier er sammenfaldende. Definition 8.2 Hvis κ : Ψ R k er en C 2 -afbildning, der opfylder at 1) Dκ(ψ) har rang k for hvert ψ Ψ med κ(ψ) = 0, så siger vi at en originalmængde af formen Ψ 0 = {ψ Ψ κ(ψ) = 0} er en implicit givet glat hypotese af dimension d k. I differentialgeometrien siger man at κ er en submersion hvis den opfylder betingelse 1) for alle ψ, men vi kræver altså lidt mindre. Det er klart at originalmængder af formen {ψ Ψ κ(ψ) = α} også er implicit givne glatte hypoteser - de svarer til at κ erstattes med κ α. Forskellen mellem de to formuleringer af glathed synes større end den egentlig er. Begge definitioner giver en global beskrivelse af hypotesen. Men den glathedsegenskab vi forsøger at beskrive er naturligvis et lokalt forhold. Det naturlige er at sige at en sammenhængende delmængde Ψ 0 Ψ er en lokalt parametriseret glat hypotese hvis der for hvert punkt ψ Ψ 0 findes en omegn V Ψ af ψ sådan at Ψ 0 V er en parametriseret glat hypotese. Kravet om at Ψ 0 er sammenhængende sikrer at de forskellige lokale parametriseringer er enige om hvilken dimension, de tildeler hypotesen. Tilsvarende kan man sige at en sammenhængende delmængde Ψ 0 Ψ er en lokalt implicit givet glat hypotese, hvis Ψ 0 restriktion til en omegn af ethvert punkt er en implicit givet glat hypotese. Pointen er at disse lokale definitioner er enige: en lokalt parametriseret glat hypotese er også lokalt implicit givet og vice versa. Eksempel 8.3 Hvis vi ser på enhedscirklen i planen, Ψ 0 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}, så er det per konstruktion en implicit givet glat hypotese af dimension 1, svarende til parameterfunktionen κ(x, y) = x 2 +y 2 1. Vi ser at κ opfylder submersionsbetingelsen, fordi Dκ repræsenteres af matricen (2x 2y) for alle (x, y) R 2,
4 100 Kapitel 8. Asymptotisk testteori hvoraf vi let ser at Dκ(x, y) har rang 1, når (x, y) (0, 0). Og undtagelsespunktet (0, 0) ligger ikke i Ψ 0. Bemærk at Ψ 0 ikke har en global parametrisering. Det er intuitivt oplagt, skønt det nok kræver lidt knofedt at eftervise - Ψ 0 er kompakt, og kan derfor ikke være i homeomorf korrespondence med et åbent interval på R. Men det er lige så klart at Ψ 0 har lokale parametriseringer. Vi kan f.eks. bruge γ(θ) = (cos θ, sin θ) for θ (0, π) til at parametrisere den del af Ψ 0 der ligger i den øvre halvplan. Tilsvarende kan man finde parametriseringer der dækker den del af Ψ 0 der ligger i den nedre halvplan, i den venstre halvplan og i den øvre halvplan (brug samme definition af γ som foroven, men se på andre θ-værdier). Sætning 8.4 (Lokal linearisering) Lad Ψ 0 Ψ være en lokalt parameteriseret glat hypotese af dimension m, og lad ψ Ψ 0. Lad V Ψ være en omegn af ψ, og lad γ : U V være en parametrisering af Ψ 0 V. Lad β U opfylde at γ(β ) = ψ. Efter eventuelt at have gjort U og V mindre, kan vi finde en omegn W R m R d m af (β, 0) og en diffeomorfi π : V W så π γ(β) = (β, 0) for alle β U 0. (8.1) BEVIS: På ingen måde elementært. Der er tale om en anvendelse af konglomeratet af resultater, der går under navnet invers funktions sætning og implicit funktions sætning. Et bevis vil kunne findes i de fleste introducerende bøger i differentialgeometri. Den geometriske betydning af arrangement i sætning 8.4 fremgår nok tydeligere af figur 8.2 end af en ordrig forklaring. Pointen er at lader vi η 2 : R m R d m R d m være projektionen ned på den sidste faktor, altså η 2 (β, α) = α, så er så er hypotesen lokalt på formen {γ(β) β U} = {ψ V η 2 π(ψ) = 0}.
5 8.2. Estimation i parametriserede glatte hypoteser 101 PSfrag replacements U V 0 γ π R d R m R d m W Figur 8.2: Lokal linearisering af en parametriseret glat hypotese, som beskrevet i sætning 8.4. Punkterne på de tre tegninger er henholdsvis β, ψ og (β, 0). Så skønt hypotesen startede med at være lokalt parametriseret ser vi nu at den også er lokalt implicit givet. Og bemærk at de to formuleringer er enige om hvad dimensionen er: den implicitte beskrivelse giver dimensionen d (d m) = m. Man kan tilsvarende etablere en lokal linearisering af en implicit givet hypotese, defineret ved parameterfunktionen κ : R d R k. Den lokale linearisering er en diffeomorfi π : W V hvor W R k R d k og V R d er åbne mængder, så κ π(α, β) = α for alle (α, β) W. Dermed er β π(0, β) en lokal parametrisering af hypotesen. 8.2 Estimation i parametriserede glatte hypoteser Man kan bruge de lokale udretninger af hypotesen til at se at glatte hypoteser i virkeligheden er modeller af den art vi allerede har diskuteret. Vi vil fokusere på en parametriseret hypotese. Den virkelige hypose er naturligvis en delmængde Θ 0 Θ. Hvis vi lader η 1 og η 2 være de to projektioner fra R m R d m ned på faktorrummene R m og R d m så er Betragt parameterfunktionen Θ 0 = {θ Θ η 2 π ψ(θ) = 0}. ψ 0 : Θ 0 R m givet ved ψ 0 = η 1 π ψ.
6 102 Kapitel 8. Asymptotisk testteori Vi ser at ψ 0 (Θ 0 ) = {η 1 π ψ(θ) η 2 π ψ(θ) = 0} = {β (β, 0) W} hvilket er en åben delmængde af R m. Parameterfunktionen ψ 0 opfylder således den tekniske grundantagelse p. 52. Vi konstaterer at der gælder følgende relation mellem den oprindelige parameterfunktion ψ og den nye ψ 0 : ψ(θ) = γ ψ 0 (θ) for alleθ Θ 0. Det er derfor fornuftigt at bruge konkordanskombinanten g n (x, β) = h n ( x, γ(β) ) for x X n, β U, til at vurdere overensstemmelse mellem observationen x og parameterværdien β. På den måde vil en parameterværdi under hypotesen, ψ = γ(β), blive vurderet ens i forhold til x, hvad enten vi betragter den som en ψ-værdi eller som en β-værdi. Bemærk at g n automatisk opfylder den tekniske grundantagelse p. 58. Hvis vi har reskaleringsskemaer (A n ) n N og (B n ) n N på henholdsvis R d og R m, så kan vi interessere os for B-reskaleringen af g n omkring β i forhold til A-reskaleringen af h n omkring ψ = γ(β ). Vi kalder de reskalerede β-værdier for ζ. Vi ser at hvor g n (x, ζ) = g n (x, β + B n 1 ζ) = h n ( x, γ(β + B n 1 ζ) ) = h n ( x, q(ζ) ) q n (ζ) = A n ( γ(β + B n 1 ζ) ψ ) for ζ Præcis hvilket ζ er formlen giver mening for, varierer med n. Men q n vil være defineret på en vilkårlig fast kugle om 0, når blot n er stor nok. Vi konstaterer at at og at q n (0) = A n ( γ(β ) ψ ) = 0, Dq n (0) (ζ 1 ) = A n Dγ(β )B n 1 ζ 1, (8.2) D 2 q n (ζ) (ζ 1, ζ 2 ) = A n D 2 γ(β + B n 1 ζ) (B n 1 ζ 1, B n 1 ζ 2 ). (8.3) Det er nemt nok at sikre sig at den første afledede af q n opfører sig fornuftigt når n. Men det er forbløffende vanskeligt at kontrollere den anden afledede. Vi indfører derfor endnu en regularitetsbetingelse:
7 8.2. Estimation i parametriserede glatte hypoteser 103 Regularitetsbetingelse E (for en glat hypotese) Der skal findes et reskaleringsskema (B n ) n N på R m og en lineær afbildning H : R m R d af rang m så Endvidere skal der findes en konstant L så A n Dγ(β ) B n 1 H for n. (8.4) A n B n 1 L for alle n. (8.5) Denne regularitetsbetingelse er ikke en betingelse på modellen, men en betingelse på hypotesen. Som sædvanlig må B-skemaet ikke variere med β, mens den lineære afbildning H gerne mål. Vi bemærker at hvis regularitetsbetingelse E er opfyldt for givne reskaleringsskemaer, så kan vi skifte både A- og B-skemaet ud med andre skemaer, der er asymptotisk ækvivalente. Det ændrer ikke på at hypotesen er opfyldt - men det ændrer naturligvis den lineære afbildning H. Eksempel 8.5 I de fleste eksempler bruger vi normeringsskemaet A n ψ = n ψ. Bruger vi tilsvarende ser vi at B n β = n β, A n Dγ(β ) B n 1 β = n Dγ(β ) β n = Dγ(β ) β for alle β. Dermed er A n Dγ(β ) B 1 n = Dγ(β ) for alle n. Så (8.4) er opfyldt med H = Dγ(β ). Distortionsbetingelsen (8.5) volder heller ikke problemer, for A n = n mens B 1 n = 1 n. Når modellen er af en sådan art at standardreskalering er på sin plads, så er regularitetsbetingelsen for glatte hypoteser således tom - alle glatte hypoteser opfylder den. Lemma 8.6 Hvis hypotesen opfylder regularitetsbetingelse E, så vil indlejringen i de reskalerede koordinater, q n opfylde at for alle c > 0. Dq n (0) H, sup D 2 q n (ζ) 0 for n, ζ: ζ <c
8 104 Kapitel 8. Asymptotisk testteori BEVIS: At Dq n (0) H er naturligvis en direkte konsekvens af betingelse (8.4). Hvis ζ < c og hvis n er så stor at B n 1 c < ɛ, så giver (8.3) at D 2 q n (ζ) A n sup D 2 γ(β) B 1 n 2. β: β β <ɛ Og denne øvre grænse går mod nul, når distortionsbetingelsen (8.5) er opfyldt. Lemma 8.7 Hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse C, og hvis hypotesen opfylder (8.4), så vil g n (X n, 0) H h n (X n, 0) P 0 for n. BEVIS: Kædereglen giver at D g n (X n, 0) β = D h n (X n, 0) Dq n (0) ζ = D h n (X n, 0)A n Dγ(β )B n 1 ζ Den definerende relation for gradienten (2.7) giver at g n (X n, 0), ζ = D g n (X n, 0) ζ = D h n (X n, 0)A n Dγ(β )B n 1 ζ = h n (X n, 0), A n Dγ(β )B n 1 ζ. For et fast ζ får vi ifølge Cauchy-Schwarz ulighed at Altså er g n (X n, 0) H h n (X n, 0), ζ = h n (X n, 0), (A n Dγ(β )B n 1 H)ζ h n (X n, 0) A n Dγ(β )B n 1 H ζ g n (X n, 0) H h n (X n, 0) = sup g n (X n, 0) H h n (X n, 0), ζ ζ: ζ 1 h n (X n, 0) A n Dγ(β )B n 1 H P 0.
9 8.2. Estimation i parametriserede glatte hypoteser 105 Konsekvenserne af dette lemma er ikke blot at hypotesen opfylder regularitetsbetingelse C hvis den store model gør det: Også varianterne C og C følger med fra den store model til hypotesen. For hvis så vil h n (X n, 0) P Z for n, g n (X n, 0) P H Z for n. Det er sværere at få regularitetsbetingelserne om den andenafledede af de reskalerede kombinanter med fra den store model til hypotesen. Vi ser at D 2 g n (ζ) (ζ 1, ζ 2 ) = D 2 h n ( Xn, q n (ζ) ) (Dq n (ζ) ζ 1, Dq n (ζ) ζ 2 ) + D h n ( Xn, q n (ζ) ) (D 2 q n (ζ) (ζ 1, ζ 2 ) ). Regularitetsbetingelse A og B for den store model tillader os at kontrollere første led i dette udtryk. Men andet led tager desværre ikke vare på sig selv, og vi er kun i stand til at håndtere det, fordi fordi Regularitetsbetingelse E er så kraftig, at dette led går mod nul. Lemma 8.8 Hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse A, og hvis hypotesen opfylder Regularitetsbetingelse E, så vil hvor D 2 g n (X n, 0) P F 0 for n, F 0 (ζ 1, ζ 2 ) = F(Hζ 1, Hζ 2 ) for alle ζ 1, ζ 2 R m. BEVIS: Det følger lige ud af landevejen. Lemma 8.9 Hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse B, og hvis hypotesen Regularitetsbetingelse E, så vil sup D 2 g n (X n, ζ) D 2 g n (X n, 0) P 0 for n. ζ: ζ <c BEVIS: Det følger også lige ud af landevejen.
10 106 Kapitel 8. Asymptotisk testteori Opsummerende kan vi konstatere at hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse A, B og en af C-varianterne, og hvis hypotesen opfylder Regularitetsbetingelse E, så vil hypotesen af sig selv opfylde Regularitetsbetingelse A, B og den samme C-variant som den store model. Hvis vi taler om C, så kan vi konkludere at der er en asymptotisk veldefineret lokal M-estimator ˆβ n for β, og at Vi har her udnyttet at B n (ˆβ n β ) D (H Q H) 1 H Z for n. F 0 (ζ 1, ζ 2 ) = F(Hζ 1, Hζ 2 ) = Hζ 1, QHζ 2 = ζ 1, H QHζ 2, og så ellers sat ind i sætning 7.7. Man kan iøvrigt også ved indsættelse konstatere at hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse D, så vil det samme gælde for hypotesen. 8.3 Test af glatte hypoteser Lad os i dette afsnit arbejde videre med en glat hypotese Ψ 0 Ψ af dimension m. Vi vil antage at hypotesen er parametriseret, hvilket jo i det mindste er opfyldt lokalt. Hvis hypotesen er sand, så er der både en sand β-værdi β og en sand ψ-værdi ψ, og de er forbundet med relationen ψ = γ(β ). Regularitetsbetingelserne A, B, C og E sikrer at der eksisterer en lokal M-estimator ˆψ n for ψ, og en lokal M-estimator ˆβ n for β. Vi kan på naturlig måde flytte ˆβ n op på Ψ 0 ved at sætte ψ n = γ(ˆβ n ). Her må vi så forstå ˆψ n som den lokale M-estimator uden for hypotesen, mens ψ n er den lokale M-estimator inden for hypotesen. Hvis man ønsker at teste hypotesen, er den naturlige fremgangsmåde at sammenligne disse to estimatorer. Lemma 8.10 Hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse A, B og C, og hvis hypotesen opfylder Regularitetsbetingelse E, så vil A n ( ψ n ψ ) + H(H QH) 1 H h n (X n, 0) P 0 for n.
11 8.3. Test af glatte hypoteser 107 BEVIS: Ved at kombinere lemma 7.6 og lemma 8.7 har vi at B n (ˆβ n β ) + (H Q H) 1 H h n (X n, 0) P 0 for n. (8.6) Taylors formel brugt på γ giver at A n ( ψ n ψ ) = A n (γ(ˆβ n ) γ(β )) = A n (Dγ(β ) (ˆβ n β ) + D 2 γ(η) ( ˆβ n β, ˆβ n β )) = A n Dγ(β ) (ˆβ n β ) + A n D 2 γ(η) ( ˆβ n β, ˆβ n β ) for et passende mellempunkt η. Hvis ˆβ n ligger i B(β, ɛ), så vil mellempunktet også gøre det, og sidste leds opførsel er dermed bestemt af at A n D 2 γ(η) ( ˆβ n β, ˆβ n β ) A n A n sup D 2 γ(β) ˆβ n β 2 β: β β <ɛ sup D 2 γ(β) B 1 n 2 B n (ˆβ n β ) 2 β: β β <ɛ der konvergerer mod nul i sandsynlighed. Det første led er derimod A n Dγ(β ) (ˆβ n β ) = ( A n Dγ(β )B n 1 ) B n (ˆβ n β ). Her går den første faktor (den store parentes) mod H, og den anden faktors opførsel kan aflæses i (8.6). Vi er nu i stand til at sammenligne de to estimatorer: Lemma 8.11 Hvis den store model opfylder Regularitetsbetingelse A, B og C, og hvis hypotesen opfylder Regularitetsbetingelse E, så vil A n ( ˆψ n ψ n ) D ( I H(H QH) 1 H Q ) Q 1 Z for n. (8.7) BEVIS: Da der selvfølgelig gælder at A n ( ˆψ n ψ n ) = A n ( ˆψ n ψ ) + A n ( ψ n ψ ), følger resultat ved at kombinere lemma 8.6, lemma 7.6 og Regularitetsbetingelse C.
12 108 Kapitel 8. Asymptotisk testteori Resultatet i (8.7) er formuleret med lineære afbildninger, og indholdet kan muligvis ikke gennemskues direkte. Men de tilsvarende matrixudtryk er velkendte. Hvis A er en n k matrix af rang k, og hvis B er en positivt definit n n matrix, så er A(A T BA) 1 A T B matrixudtrykket for projektionen med hensyn til det indre produkt x, y = x T By ned på underrummet frembragt af A s søjler. Derfor repræsenterer den store parentes i (8.7) projektionen ned på det ortogonale komplement til billedrummet for H, hvor både projektion og ortogonalt komplement skal forstås i forhold til det indre produkt givet ved Q. Men dette indre produkt er netop bilinearformen F. Sætning 8.12 Hvis den store model og hypotesen tilsammen opfylder Regularitetsbetingelserne A-E, så vil F ( A n ( ˆψ n ψ n ), A n ( ˆψ n ψ n ) ) D W for n. (8.8) hvor den stokastiske variabel W er χ 2 -fordelt med d m frihedsgrader under hypotesen. BEVIS: Resultatet følger af (8.7), når man observerer at Regularitetsbetingelse D netop siger at den den inverse varians for QZ (altså præcisionen) netop er identisk med F. Herefter er det blot at pege på spaltningssætningen. I praktiske sammenhænge bruges størrelsen i (8.8) ofte som teststørrelse for hypotesen. Man taler om at man udfører et Wald test. Principielt betragtes det dog som bedre at udføre et test ved hjælp af deviance størrelsen D n = 2 ( h n (X n, ψ n ) h n (X n, ˆψ n ) ), der er denne abstrakte teoris variant af en kvotientteststørrelse. Sætning 8.13 Hvis den store model og hypotesen tilsammen opfylder Regularitetsbetingelserne A-E, så vil D n D W for n. (8.9) hvor den stokastiske variabel W er χ 2 -fordelt med d m frihedsgrader under hypotesen.
13 8.3. Test af glatte hypoteser 109 BEVIS: Lad os Taylorudvikle h n (X n, ψ) omkringn ˆψ n. Vi har at h n (X n, ψ n ) = h n (X n, ˆψ n ) + Dh n (X n, ˆψ n ) ( ψ n ˆψ n ) D2 h n (X n, η) ( ψ n ˆψ n, ψ n ˆψ n ) for et mellempunkt η. Per definition er ˆψ n et stationært punkt for h n, så denne regning viser at D n = D 2 h n (X n, η) ( ψ n ˆψ n, ψ n ˆψ n ) = D 2 h n (X n, A n (η ψ )) (A n ( ψ n ˆψ n ), A n ( ψ n ˆψ n )). I det den anden afledede stort set er F, følger resultatet nu af sætning Både deviance størrelse og Walds teststørrelse burde retteligen omtales som lokale. De involverede de lokale M-estimatorer, som man kun kender i praksis i det omfang de kan relateres til de globale M-estimatorer. Det er derfor ikke i alle modeller at sætning 8.12 og sætning 8.13 med sikkerhed har noget relevant at sige.
14 110 Kapitel 8. Asymptotisk testteori
Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereLokal estimationsteori
Kapitel 5 Lokal estimationsteori 5.1 Konsistens Vores første delmål er at sikre at regularitetsbetingelserne medfører at den reskalerede konkordanskombinant med meget stor sandsynlighed har en positivt
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereKombinant. En kombinant er en afbildning. hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R.
Kombinant Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En kombinant er en afbildning hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. R : X Θ Y Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R. Som regel forsøger
Læs mereEstimation. Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat.
Estimation Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat. En estimator er en gætteregel.. p.1/22 Estimation X acements
Læs mereStatistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål
Statistisk model Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål på (X, E). Modellen er parametriseret hvis der findes en parametermængde Θ og
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereEKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider
EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer 2008 5 sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/6-2008 klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/6-2008 inden klokken 0.00.
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereFejlstrata. Vi forestiller os at V har. 1) Et underrum L. 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m
Fejlstrata Vi forestiller os at V har 1) Et underrum L 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W 1 +... + W m Underrummene W i kaldes fejlstrata. Typisk eksempel på en fejlstratumdekomposition:
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereDet asymptotiske scenarie
Kapitel 5 Det asymptotiske scenarie Den simpleste asymptotiske situation opstår hvis man har uafhængige, identisk fordelte variable Y 1,..., Y n med værdier i et målbart rum (Y, K). Man forestiller sig
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereRegularitetsbetingelserne
Kapitel 4 Regularitetsbetingelserne Vi vender nu tilbage til det asymptotiske scenarie fra kapitel 1. Vi har stokastiske variable X n med værdier i (X n,e n ) - oftest er X n en sammenbundtning af flere
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mereStatistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS
Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS Jens Ledet Jensen October 31, 2005 1 Indledning Som vist i Notat 1 afsnit 13 er 2 log Q for et test i en multinomialmodel ækvivalent med et test i en poissonmodel.
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs merePoul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k
Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede
Læs mereFaktorforsøg. Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at. for alle i I. En faktor er en afbildning. hvor F er en mængde af labels.
Faktorforsøg Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at X i N (ξ i, σ 2 ) for alle i I En faktor er en afbildning f : I F hvor F er en mængde af labels. En faktor deler observationerne ind
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave
3. februar 2012 Stat 1TS / EH Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2. udgave af
Læs mere