Faktorforsøg. Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at. for alle i I. En faktor er en afbildning. hvor F er en mængde af labels.
|
|
- Rikke Thøgersen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Faktorforsøg Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at X i N (ξ i, σ 2 ) for alle i I En faktor er en afbildning f : I F hvor F er en mængde af labels. En faktor deler observationerne ind i en række grupper, med én gruppe per label: {i I f(i) = j} for hvert j F.. p.1/52
2 Etsidet variansanalyse Fundamental antagelse: homogenitet indenfor grupperne. Præcise formulering af modellen: lad ξ = (ξ i ) i I. ξ L F hvor L F = {(x i ) i I hvis f(i) = f(i ) så er x i = x i } Sædvanlig fokus: er der homogenitet mellem grupperne? ξ L 1. p.2/52
3 Etsidet variansanalyse - resultater Dimension: dim L F = antallet af brugte labels Hvis faktoren er surjektiv, er dim L F = F Længde af projektion: P F X 2 = j F n F (j) 1 n F (j) i I : f(i)=j X i 2. p.3/52
4 Tosidet variansanalyse Betegner situationen hvor vi på en gang forholder os til to faktorer på en gang: b : I B t : I T Produktfaktor: Additiv model b t : I B T i (b(i), t(i)) R I L B T L B + L T L B L T L 1.. p.4/52
5 Vekselvirkning En etsidet variansanalyse ud fra B T kaldes en vekselvirkningsmodel: Opdeling efter Mouth Assesment closed open pointy Eyes round Vekselvirkning: niveauforskel for de røde punkter, ikke for de sorte.. p.5/52
6 Ingen vekselvirkning Den additive model B + T kaldes en model uden vekselvirkning: Opdeling efter Mouth Assesment closed open pointy Eyes round Ingen vekselvirkning: parallele forløb for de røde og de sorte punkter.. p.6/52
7 Vanskeligheder med den additive model Find dimensionen af L B + L T Find projektionen P B+T ned på L B + L T.. p.7/52
8 Designgraf Punkter: labels for B og labels for T. Kanter: for hver observation i I afsættes en kant b(i) t(i) A B C D B T Sammenhængende design: kun én komponent. p.8/52
9 Simpelt dimensionsresultat Sætning Hvis B og T udgør et sammenhængende design, så er L B L T = L 1 Korollar Hvis B og T udgør et sammenhængende design, så er dim L B + L T = B + T 1. p.9/52
10 Geometrisk ortogonalitet V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Sæt L 0 = L 1 L 2. Definition: L 1 og L 2 er geometrisk ortogonale hvis L 1 L 0 L 2 L 0 Vi skriver i påkommende tilfælde L 1 G L 2. p.10/52
11 Geometrisk ortogonalitet L 1 g replacements V L 2 L 0 L0 L 1 L 0 L 2 Står de to røde linier vinkelret på hinanden?. p.11/52
12 Eksempler på geometrisk ortogonalitet Hvis L 1 L 2 så er L 1 G L 2 Hvis L 1 L 2 så er L 1 G L 2 Væggene i et hus er geometrisk ortogonale.. p.12/52
13 Kommuterende projektioner V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Sæt L 0 = L 1 L 2. Projektionerne er p 1, p 2 og p 0. Sætning: Følgende betingelser er ækvivalente: L 1 og L 2 er geometrisk ortogonale p 1 p 2 = p 2 p 1 (projektionerne kommuterer) p 1 p 2 = p 0. p.13/52
14 Sum af ortogonale rum V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Projektionerne er p 1 og p 2. Sætning: Hvis L 1 L 2, så er projektionen ned i L 1 + L 2 givet som p 1+2 (x) = p 1 (x) + p 2 (x) for alle x V og p 1+2 (x) 2 = p 1 (x) 2 + p 2 (x) 2. p.14/52
15 Sum af geometrisk ortogonale rum V er et vektorrum med indre produkt,,. L 1 og L 2 er to underrum. Sæt L 0 = L 1 L 2. Projektionerne er p 1, p 2 og p 0. Sætning: Hvis L 1 G L 2, så er projektionen ned i L 1 + L 2 givet som p 1+2 (x) = p 1 (x) + p 2 (x) p 0 (x) for alle x V og p 1+2 (x) 2 = p 1 (x) 2 + p 2 (x) 2 p 0 (x) 2. p.15/52
16 Geometrisk ortogonale faktorer To faktorer B og T på indeksmængden I er geometrisk ortogonale hvis L B G L T Sætning: Lad B og T udgøre et sammenhængende design. Da er faktorerne geometrisk ortogonale hvis og kun hvis n B T (j, k) = n B(j) n T (k) I for alle j B, k T (balanceligningen). p.16/52
17 Eksempel Hvis alle B T -celler indeholder det samme antal observationer, er designet balanceret. A B C = , så B og T er geometrisk ortogonale.. p.17/52
18 Tosidet variansanalyse Sætning: Antag at B og T udgør et sammenhængende design, og at de to faktorer er geometrisk ortogonale. Da er dim L B+T = B + T 1 Endvidere er P B+T X = P B X + P T X P 1 X Specielt er P B+T X 2 = P B X 2 + P T X 2 P 1 X 2. p.18/52
19 Sammenligning af faktorer Definition: B er finere end T, eller T er grovere end B, skrevet T B hvis ethvert i s T -gruppe kan aflæses fra dets B-gruppe. Alternativ formulering: hvis enhver B-gruppe er indeholdt i en T -gruppe. Formelt: b(i) = b(i ) t(i) = t(i ). p.19/52
20 Sammenligningseksempel Tre målinger på hver af fem personer. I = {1,..., 15} Person 1 og 2 er mænd. Person 3, 4 og 5 er kvinder. To naturlige faktorer Person (med værdier 1, 2, 3, 4, 5) Køn (med værdier mand og kvinde ). p.20/52
21 Sammenligningseksempel Observationer: Person-grupper: Køn-grupper: Vi ser at Køn Person.. p.21/52
22 Sammenligning af faktorer Eksempler: B B T og T B T 1 F I Konvention: Hvis B T og T B, så identificeres B og T. Sætning: T B L T L B. p.22/52
23 Minimum Der findes en faktor B T (minimum af B og T ) så og B T B, B T T G B, G T G B T Eksempel: Hvis T B, så er B T = T. Sætning: L B L T = L B T. p.23/52
24 Konstruktion af minimum Sammenhængskomponenter i designgrafen for B og T : C 1,..., C r Symbolerne C 1,..., C r er labels for B T. En observation i I tilordnes et af disse labels, alt efter hvilken sammenhængskomponent befinder sig i. b(i) t(i). p.24/52
25 Konstruktion af minimum C1 C A B C D B T. p.25/52
26 Geometrisk ortogonale faktorer Sammenhængskomponenter i designgrafen for B og T : C 1,..., C r Sætning: B og T er geometrisk ortogonale hvis og kun hvis det for l = 1,..., r gælder at n B T (j, k) = n B(j) n T (k) n B T (l) for de j og k, der begge ligger i C l. (balanceligningen). p.26/52
27 Eksempel Hvis alle B T -celler indenfor en komponent indeholder lige mange observationer, er designet blok-balanceret. A B C D E D = 2 3 6, så B og T er geometrisk ortogonale.. p.27/52
28 Tosidet variansanalyse Sætning: Antag at B og T er surjektive og geometrisk ortogonale. Da er dim L B+T = B + T B T Endvidere er P B+T X = P B X + P T X P B T X Specielt er P B+T X 2 = P B X 2 + P T X 2 P B T X 2. p.28/52
29 Additive hypoteser i flerfaktorforsøg Et design er et system af faktorer, G = {G 1,..., G m } Hertil hører et underrum af R I og en hypotese L G = m L Gi, H G : ξ L G i=1 Udfordring: Find dim L G Udregn projektionen ned i L G. p.29/52
30 Additive hypoteser i flerfaktorforsøg Hvis G 1 G 2 så er m L Gi = m L Gi i=1 i=2 Hvis vi sætter ser vi altså at G = {G 2,..., G m } H G = H G Komplikation: Flere designs kan specificere den samme hypotese.... p.30/52
31 Ortogonal dekomposition Lad G = {G 1,..., G m } være et system af faktorer. Sæt V G = L G G <G L G. Sætning Antag at G G G for alle G, G G G G for alle G, G ( -stabilitet) (geometrisk ortogonalitet) Da er V G V G for alle G, G L G = G G V G for alle G. p.31/52
32 Et allergieksperiment Forsøgspersoner: 2 mænd, 3 kvinder. Behandling: Tre allergifremkaldende stoffer - A, B og C - indsprøjtes i armen på hver forsøgsperson. Effekt: Tre allergiske responser fremtræder (røde pletter). Måling: Udbredelsen (diameteren) af hver allergisk respons. Substantive spørgsmål: Hvor allergologiske er de tre stoffer? Virker stofferne ens på mænd og kvinder?. p.32/52
33 Data Nummer Person Køn Behandl Obs 1 1 Mand A Mand B Mand C Mand A Mand B Mand C Kvinde A Kvinde B Kvinde C Kvinde A Kvinde B Kvinde C Kvinde A Kvinde B Kvinde C p.33/52
34 Data Respons A B C Behandling Mænd: Kvinder:. p.34/52
35 Formel beskrivelse Vi ser forsøget som et faktorforsøg. Vi har 15 målinger, (X i ) i I hvor I = {1,..., 15}. Målingerne er uafhængige, og X i N (ξ i, σ 2 ). Vi har tre faktorer, Patient : I {1,..., 5} Køn : I {Mand, Kvinde} Treatment : I {A, B, C}. p.35/52
36 Interessante hypoteser Grundlæggende model: P + K T. Patienterne har en individuel generel følsomhed. Mænd og kvinder reagerer forskelligt på de tre stoffer. Primær delhypotese: P + T. Patienterne har en individuel generel følsomhed. Mænd og kvinder reagerer ens på de tre stoffer.. p.36/52
37 Interessante hypoteser Alternativ delhypotese: K T. Patienterne er ens, bortset fra kønsforskel. Mænd og kvinder reagerer forskelligt på de tre stoffer. Potentiel sluthypotese: K + T. Patienterne er ens, bortset fra kønsforskel. Mænd og kvinder reagerer ens på de tre stoffer.. p.37/52
38 Standard faktorstrukturdiagram For en tresidet variansanalyse har man normalt følgende strukturdiagram: replacements P K P P K T P T K 1 K T T Eftersom K P gælder at: P K = P, P K T = P T, K T P T. p.38/52
39 Modificeret faktorstrukturdiagram Et faktorstrukturdiagram der tager hensyn til alle ordninger i dette tilfælde, er: P T K T T P K 1. p.39/52
40 Strategi Brugen af den store sætning forløber i følgende trin: Kontroller at designet er -stabilt og ortogonalt. Lav etsidede variansanalyser for hver faktor i G. Regn baglæns, og find V G og de tilhørende projektioner Q G. Dan additive hypoteser.. p.40/52
41 Er designet ortogonalt? P T K T T P K 1 Hvis G G, så er G G = G, og der gælder automatisk at G G. G Så det er kun nødvendigt at se på tre par af faktorer: (K, T ) (P, T ) (P, K T ). p.41/52
42 (K, T ) Vi opskriver (K, T )-antalstabellen: A B C Mænd Kvinder Alle celletal er 0 så K T = 1. Balanceligningen er opfyldt.. p.42/52
43 (P, T ) Vi opskriver (P, T )-antalstabellen: A B C Alle celletal er 0 så P T = 1. Balanceligningen er opfyldt.. p.43/52
44 (P, K T ) Vi opskriver (P, K T )-antalstabellen: (M, A) (M, B) (M, C) (K, A) (K, B) (K, C) To sammenhængskomponenter, P (K T ) = K. Balanceligningen er opfyldt.. p.44/52
45 Ensidet variansanalyse, opsummeret Vi gennemregner de etsidede variansanalyser, og tilføjer resultaterne til faktorstrukturdiagrammet: P T 15, K T 6, T 3, P 5, K 2, , p.45/52
46 Dekomposition, 1 Vi starter nedefra. P T 15, K T 6, T 3, P 5, K 2, , , så L 1 = V 1, dim V 1 = dim L 1 = 1 og Q 1 X 2 = P 1 X 2 = p.46/52
47 Dekomposition, K P T 15, K T 6, T 3, P 5, K 2, , , , så L K = V K + V 1 dim L K = dim V K + dim V 1 2 = dim V K + 1. p.47/52
48 Dekomposition, T P T 15, K T 6, T 3, , 4.0 P 5, K 2, , , , så L T = V T + V 1 dim L T = dim V T + dim V 1 3 = dim V T + 1. p.48/52
49 Dekomposition, P P T 15, K T 6, T 3, , 4.0 P 5, , 33.3 K 2, , , , så L P = V P + V K + V 1 dim L P = dim V P + dim V K + dim V 1 5 = dim V P p.49/52
50 Dekomposition, K T P T 15, K T 6, , 3.7 T 3, , 4.0 P 5, , 33.3 K 2, , , , så L K T = V K T + V T + V K + V 1 dim L K T = dim V K T + dim V T + dim V K + dim V 1 6 = dim V p.50/52
51 Dekomposition, P T P T 15, K T 6, , 3.7 T 3, , 4.0 P 5, , 33.3 K 2, , , , så L P T = V P T + V K T + V P + V T + V K + V 1 15 = dim V P T p.51/52
52 Additiv hypotese, P + K T L P + L K T = (V P + V K + V 1 ) + (V K T + V T + V K + V 1 ) = V P + V K T + V T + V K + V 1 så dim L P + L K T = dim V P + dim V K T + dim V T + dim V K + dim V 1 = = 9. p.52/52
Additive hypoteser i flerfaktorforsøg
Additive hypoteser i flerfaktorforsøg Et design er et system af faktorer, G = {G 1,...,G m } Hertil hører et underrum af R I og en hypotese L G = m L Gi, i=1 H G : ξ L G Udfordring: Forstå hvad udsagnet
Læs mereFejlstrata. Vi forestiller os at V har. 1) Et underrum L. 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m
Fejlstrata Vi forestiller os at V har 1) Et underrum L 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W 1 +... + W m Underrummene W i kaldes fejlstrata. Typisk eksempel på en fejlstratumdekomposition:
Læs mereTofaktorforsøg. Kapitel 13
Kapitel 13 Tofaktorforsøg Det er meget almindeligt inden for de eksperimentelle fag, at man er interesseret i flere forholds indvirkning på en respons. En simpel tilgang til problemet kan beskrives som
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereEksempel , opg. 2
Faktorer En faktor er en gruppering/inddeling af målinger/observationer pga. Tilsigtede variationer i en eller flere forsøgsparametre Nødvendige (potentielle) blok-effekter såsom gentagne målinger på samme
Læs mereFaktorforsøg. Kapitel 12
Kapitel 12 Faktorforsøg I et faktorforsøg forklarer man ikke responsvariablen ud fra numeriske baggrundsvariable. Man deler i stedet observationerne ind i nogle grupper, og undersøger om denne gruppering
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereS T A T I S T I S K T E O R I 1 : V A R I A N S A N A L Y S E J Ø R G E N G R A N F E L D T
S T A T I S T I S K T E O R I 1 : V A R I A N S A N A L Y S E J Ø R G E N G R A N F E L D T Jørgen Granfeldt 2005 Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet November
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereOpgavens formålet er at undersøge variationen mellem to laboratoriers bestemmelse af po 2 i blod.
1-stikprøve t-test (Eksamen 2005 opgave 1) Opgavens formålet er at undersøge variationen mellem to laboratoriers bestemmelse af po 2 i blod. I nedenstående tabel betragtes blodprøver fra 9 patienter. Hver
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereIndhold. 2 Tosidet variansanalyse Additive virkninger Vekselvirkning... 9
Indhold 1 Ensidet variansanalyse 2 1.1 Estimation af middelværdier............................... 3 1.2 Estimation af standardafvigelse............................. 3 1.3 F-test for ens middelværdier...............................
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereDefinition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
Læs mereSidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: Two-factor ANOVA (Analysis of variance) Two-factor ANOVA med interaktion
VARIANSANALYSE 2 Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: (Analysis of variance) med interaktion Problem: Hvordan håndterer vi forsøg, hvor effekten er forårsaget af to faktorer og en evt.
Læs mereProgram. Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller. Eksempel: iltoptag for krabber. Eksempel: iltoptag for krabber.
Program Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 1 / 19 StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 2 / 19 Eksempel:
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereStatistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål
Statistisk model Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål på (X, E). Modellen er parametriseret hvis der findes en parametermængde Θ og
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereMPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik
MPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik Kvantitative udfaldsvariable 23. maj 2011 www.biostat.ku.dk/~sr/mphspec11 Susanne Rosthøj (Per Kragh Andersen) 1 Kapitelhenvisninger Andersen & Skovgaard:
Læs mereEpidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april
Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereDen generelle lineære model
Kapitel 10 Den generelle lineære model Den generelle lineære normale model, eller blot den lineære normale model, er en matematisk abstraktion af en række af de mest anvendte statistiske modeller: etsidet
Læs mereProgram. Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning. Repetition: ensidet variansanalyse. Eksempel: data fra Collinge et al
Program Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Ensidet ANOVA: repetition og Collinge eksempel. Additiv tosidet ANOVA (blokforsøg) Tosidet ANOVA
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereDesignteori. Kapitel 1
Kapitel 1 Designteori Et forvirrende aspekt ved den behandling vi har givet sætningen om ortogonal dekomposition, er at sætningen indeholder ganske meget dyb matematik, men alligevel er underligt irrelevant
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereLineære normale modeller (4) udkast
E6 efterår 1999 Notat 21 Jørgen Larsen 2. december 1999 Lineære normale modeller (4) udkast 4.5 Regressionsanalyse 4.5.1 Præsentation 1 Regressionsanalyse handler om at undersøge hvordan én målt størrelse
Læs mere2 0.9245. Multiple choice opgaver
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder
Læs mereIkke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereC) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereProgram. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12
Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt
Læs mereProgram. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereBilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen.
Bilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen. Korrespondanceanalysen er en multivariat statistisk analyseform, som i modsætning til mange af de mere traditionelle
Læs mereFejlstratummodeller. Kapitel 3
Kapitel 3 Fejlstratummodeller Lad V være et endeligdimensionalt reelt vektorrum. En fejlstratummodel på V har tre ingredienser, hvoraf de to første svarer til hvad man har for lineære normale modeller:
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs merePlot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): σ 2 : within blocks variance. σb 2 : between blocks variance
Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): Program: res 4 2 0 2 B1 B2 B3 B4 B5 1. vi starter med at gennemgå opgave 3 side 513. 2. nyt: to-sidet variansanalyse 1 2 3 4 5 block σ 2 : within blocks variance σb 2
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereFejlstratummodeller. Kapitel 3
Kapitel 3 Fejlstratummodeller Lad V være et endeligdimensionalt reelt vektorrum. En fejlstratummodel på V har tre ingredienser, hvoraf de to første svarer til hvad man har for lineære normale modeller:
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereStatistik 1TS 2004 Obligatorisk opgave 2
23. april 2004 Stat 1TS / EH Statistik 1TS 2004 Obligatorisk opgave 2 Formelle forhold: Opgaven stilles fredag d. 23. april 2003. Rapporten afleveres senest torsdag d. 13. maj kl. 12. Rapporten afleveres
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs mereKombinant. En kombinant er en afbildning. hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R.
Kombinant Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En kombinant er en afbildning hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. R : X Θ Y Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R. Som regel forsøger
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereStatistik for Biokemikere Projekt
Statistik for Biokemikere Projekt Institut for Matematiske Fag Inge Henningsen og Helle Sørensen Københavns Universitet November 2008 Formalia Dette projekt udgør en del af evalueringen i kurset Statistik
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mere