Geom2-dispositioner (reeksamen)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geom2-dispositioner (reeksamen)"

Transkript

1 Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed og mangfoldighed i R n 2. Forklar, at n m-dimensionale mangfoldigheder i R n lokalt set er grafer for glatte funktioner over i R m (lemma 1.6), og eventuelt, at niveaumængder er mangfoldigheder under visse betingelser (sætning 1.6) 3. Definér kort og atlas, og forklar, at alle mangfoldigheder i R n har et atlas ud fra definitionen 4. Forklar, at koordinatafbildningen for et kort har lokale glatte udvidelser i hvert punkt (sætning 1.7), og udled, at kort er indlejrede parametriserede mangfoldigheder og billedet er åbent i mangfoldigheden selv (korollar 1.7, dette afgør, at mangfoldigheder i R n netop er abstrakte mangfoldigheder) 5. Forklar eventuelt, at mangfoldigheder i R n har et tælleligt atlas (korollar 2.9) 2 Abstrakte mangfoldigheder. Det projektive rum 1. Definér m-dimensionale glatte atlasser på Hausdorff-rum og deraf mangfoldigheder 2. Definér reelt projektivt rum RP n og forklar, hvorledes det gøres til en n- dimensional mangfoldighed (først til Hausdorff-rum og udstyr dernæst med atlas) 3. Introducér Lie-grupper og forklar, hvorledes SO(2) gøres til en 1-dimensional Lie-gruppe kaldet cirkelgruppen 4. Hvis der er tid: brug tid på at definere glatte afbildninger mellem abstrakte mangfoldigheder 1

2 3 Tangentrummet for en abstrakt mangfoldighed 1. Definér tangentrum for abstrakte m-dimensionale manifoldigheder 2. Vis, at de er entydigt bestemte ud fra definitionen: hvis T 1 og T 2 er tangentrum til p M og σ : U M er et kort på en mangfoldighed M med σ(x 0 ) = p med differentialer d i σ x0 : R m T i, da findes en lineær isomorfi φ : T 1 T 2 således at φ d 1 σ x0 = d 2 σ x0 for alle kort σ om p 3. Definér tangentialitet for parametriserede kurver, og vis, at det er uafhængigt af hvilket kort man benytter (lemma 3.4) 4. Konstruér tangentrum ud fra ækvivalensklasser under tangentialitet, og vis, at de opfylder definitionen (sætning 3.5) 5. Tangentvektorer kan virke på glatte funktioner ved at definere retningsafledede perspektivér til vektorfelter 4 Glatte afbildninger og differentialer 1. Definér glathed af afbildninger mellem mangfoldigheder ved først at definere glathed ved lokale glatte udvidelser og udled en definition på glathed fra en abstrakt manifoldighed over i R n 2. Vis sætning 2.7; at vi for mangfoldigheder S R n og S R m, p S, en afbildning f : S S, og kort σ : U S om p og σ : V S om f(p) har, at f er glat i p S, hvis og kun hvis p f 1 (σ (V)) og σ 1 f σ er glat i σ 1 (p) 3. Brug dette til at definere glathed af en funktion mellem vilkårlige abstrakte mangfoldigheder 4. Definér tangentrum; fortæl hurtigt, at de eksisterer, og at elementer i tangentrum for et punkt er tangentvektorer til parametriserede kurver på mangfoldigheden igennem punktet 5. Bevis, at der findes differentialer fra tangentrum til tangentrum ved lemma 3.8.1; forklar, at de er generaliseringer af Jacobi-matricer, og at vi tager udgangspunkt i hvad vi ved for reelle vektorrum, og at vi får kædereglen 6. Vis sætning 3.8; at for parametriserede kurver γ : I M på en mangfoldighed med γ(t 0 ) = p og en glat afbildning f : M N opfylder df p (γ (t 0 )) = (f γ) (t 0 ) 7. Forklar eventuelt, at diffeomorfier mellem mangfoldigheder fortæller, at de har samme dimension ved at benytte differentialer 2

3 5 Delmangfoldigheder 1. Definér abstrakte delmangfoldigheder (ud fra hvad vi ved om delmangfoldigheder i R n ), og nævn, at delmangfoldigheder i R n er mangfoldigheder på den sædvanlige manér 2. Vis sætning Vis lemma 4.3; at vi kan vise, at noget er en delmangfoldighed ved at vise det lokalt 4. Vis, at vi kan opnå delmangfoldigheder ved brug af begrebet submersivitet, og nævn sætning 4.4: for en glat afbildning f : M N og q N, vil mængden af p f 1 (q) hvorom der gælder, at f er submersiv i p, hvis ikke-tom, være en m n-dimensional delmangfoldighed af M 6 Den ortogonale gruppe er en Lie-gruppe 1. Definér, hvad det vil sige for en glat afbildning at være submersiv i et punkt 2. Vis første halvdel af sætning 4.4; at for en glat afbildning f : M N og q N, vil mængden af p f 1 (q) hvorom der gælder, at f er submersiv i p, hvis ikke-tom, være en m n-dimensional delmangfoldighed af M 3. Definér Lie-grupper, og forklar, at hvis en undergruppe af GL(n, R) er en mangfoldighed i M(n, R), da er det en Lie-gruppe 4. Vis, at den ortogonale gruppe er en Lie-gruppe, ved at vise, at det er en delmangfoldighed i M(n, R) (sætning 4.6) 7 Deling af enheden 1. Definér en deling af enheden 2. Definér lokal endelighed for mængdesystemer på et topologisk rum 3. Introducér først lemma 5.3.1; at der findes et lokalt endeligt atlas for en mangfoldighed M, hvis og kun hvis der eksisterer en kompakt overdækning M = β B K β og en lokalt endelig åben overdækning M = β B W β således at K β W β for alle β B 4. Skitser beviset for lemma 5.4; eksistensen af bump functions for ethvert kort σ : U M på en mangfoldighed M 5. Bevis sætning 5.5; at for mangfoldigheder M med et lokalt endeligt atlas og en åben overdækning M = α A Ω α findes en deling af enheden (f α ) α A for M, hvor suppf α Ω α for alle α A 6. Perspektivér til hvorfor det hjælper at benytte sætning 5.5, når man beviser sætning 5.6 3

4 8 Indlejring i euklidisk rum 1. Nævn først Whitneys sætning, og forklar, at vi vil vise en svagere version af den 2. Definér en deling af enheden, og nævn sætning 5.5; at for mangfoldigheder M med et lokalt endeligt atlas og en åben overdækning M = α A Ω α findes en deling af enheden (f α ) α A for M, hvor suppf α Ω α for alle α A 3. Bevis sætning 5.6; at der for en mangfoldighed med et endeligt atlas findes et N N og en indlejring af M i R N 4. Perspektivér til det reelle projektive rum og hvorledes vi konstruerer et atlas på det; forklar, at vi med ovenstående kan indlejrede RP 2 i R 9 9 Sammenhængenhed og komponenter 1. Definér både sammenhængenhed og kurvesammenhængenhed for topologiske rum 2. Definér lokal kurvesammenhængenhed, og vis, at mangfoldigheder er lokalt kurvesammenhængende 3. Vis, at enhver åben sammenhængende mængde i et lokalt kurvesammenhængende rum er kurvesammenhængende (lemma 5.8) 4. Definér komponenter 5. Vis, at et topologisk rum er en klassedeling af sine komponenter, og at der i et lokalt kurvesammenhængende rum gælder, at komponenterne er åbne og kurvesammenhængende (sætning 5.9) 6. Konkludér, at i en mangfoldighed er komponenterne delmangfoldigheder af samme dimension (korollar 5.9) 7. Perspektivér til eksempler (fx GL(n, R) eller O(n)) 10 Vektorfelter og Lie-paranteser 1. Definér glatte vektorfelter på mangfoldigheder i R n (spring måske over) 2. Forklar, hvordan det motiverer definitionen for abstrakte mangfoldigheder: at et vektorfelt Y er glat på en mangfoldighed S er ækvivalent med, at der for ethvert kort σ : U S findes a i C (U) således, at Y(σ(u)) = m i=1 a i(u)σ i (u) (spring måske over) 3. Definér vektorfelter på abstrakte mangfoldigheder ud fra dette, og forklar, at glatte vektorfelter udgør et vektorrum på mangfoldigheden 4. Forklar, at vi ved retningsafledede på abstrakte mangfoldigheder kan få en virkning af vektorfelter på glatte funktioner 4

5 5. Forklar, hvorfor vektorfelter er entydigt bestemt ved hvordan de virker på glatte funktioner 6. Bevis lemma Introducér Lie-parantesen som en lineær operator C (Ω) C (Ω) og vis sætning 6.5; at der findes et entydigt glat vektorfelt Z så [X, Y]f = Zf for alle f C (Ω) og Ω åben i M 8. Vis, at glatte vektorfelter med Lie-parantesen giver en Lie-algebra 11 Lie-algebraen af en Lie-gruppe 1. Definér først Lie-grupper 2. Definér hvad det vil sige, at vektorfelter på en Lie-gruppe er venstreinvariante 3. Betragt venstreinvariante vektorfelter over Lie-gruppen R n 4. Definér Lie-algebraer, og konkludér, at for differentiable mangfoldigheder M er vektorrummet af glatte vektorfelter en Lie-algebra 5. Definér Lie-algebraen af en Lie-gruppe (underrummet af venstreinvariante glatte vektorfelter er en Lie-delalgebra) 6. Vis, at for G = R n er Lie-parantesen triviel; dette skyldes til dels, at G er kommutativ (der gælder, at sammenhængende kommutative Liegrupper er de eneste, der har triviel parantes) 7. Vis, at ethvert venstreinvariant vektorfelt er glat (lemma 6.8.1, inkluder evt. lemma 6.8.2) 8. Vis, at for Lie-grupper G med Lie-algebra g er evalueringsafbildningen X X(e) en lineær isomorfi g T e G, og konkludér, at g har samme dimension som G (sætning 6.8) 12 Lie-algebraen af GL(n, R) 1. Vis, at GL(n, R) er en Lie-gruppe 2. Definér en Lie-algebra 3. Definér Lie-algebraen gl(n, R) (M(n, R) med addition og kommutatoren som Lie-parantes) 4. Definér Lie-algebraen af en Lie-gruppe (underrummet af venstreinvariante glatte vektorfelter er en Lie-delalgebra) 5. Fortæl, at for Lie-grupper G med Lie-algebra g er evalueringsafbildningen X X(e) en lineær isomorfi g T e G, og konkludér, at g har samme dimension som G (sætning 6.8) 5

6 6. Forklar, at for G = GL(n, R) er tangentrummene isomorfe med R n2 = M(n, R) 7. Vis, at [X, Y](e) = X(e)Y(e) Y(e)X(e) for venstreinvariante glatte vektorfelter på G; under ovenstående isomorfi får vi, at Lie-algebraen for G i realiteten bare er gl(n, R) 6

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Hopf-Rinow s sætning og Bonnet s sætning The Hopf-Rinow Theorem and Bonnet s Theorem

Hopf-Rinow s sætning og Bonnet s sætning The Hopf-Rinow Theorem and Bonnet s Theorem E T N A T U R V I E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt i matematik Søren Frejstrup Grav Petersen Hopf-Rinow s sætning og Bonnet s sætning The

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

MATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

DIFFERENTIALGEOMETRI MATEMATIK 3GE. Hans Plesner Jakobsen

DIFFERENTIALGEOMETRI MATEMATIK 3GE. Hans Plesner Jakobsen DIFFERENTIALGEOMETRI MATEMATIK 3GE 1996 Hans Plesner Jakobsen ii Indhold Forord v Konventioner vii Kapitel I. Kurver 1 1. Krumning 1 2. Kurver i planen 3 3. Frenets Formler 6 4. Bevgende rammer den orthogonale

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Exponentielle familer, ark 2

Exponentielle familer, ark 2 1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

M a t e m a t i s k m o d e l l e r i n g a f i s o m o r f e r i i p l - væ s k e r

M a t e m a t i s k m o d e l l e r i n g a f i s o m o r f e r i i p l - væ s k e r M a t e m a t i s k m o d e l l e r i n g a f i s o m o r f e r i i p l - væ s k e r 5. s e m e s t e r, e f t e r å r 2 0 0 9 P e t e r B j e r r e T o m m y B u c h - M a d s e n A n d r e a s E l m

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

MATEMATIK 1 DYNAMISKE SYSTEMER 19. august 2002 Projektforslag

MATEMATIK 1 DYNAMISKE SYSTEMER 19. august 2002 Projektforslag DYNAMISKE SYSTEMER 19. august 2002 Projektforslag Som emne for mat1-projektet i dynamiske systemer kan I vælge at analysere nedenstående differentialligning; den er kendt som van der Pols ligning og kommer

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

Studieordning. Efteruddannelse til gymnasiet: Matematik. Syddansk Universitet. 2. år. MM822 Matematikkens historie (5 ECTS)

Studieordning. Efteruddannelse til gymnasiet: Matematik. Syddansk Universitet. 2. år. MM822 Matematikkens historie (5 ECTS) Syddansk Universitet 27.06.2013 Studieordning Efteruddannelse til gymnasiet: Matematik Efteruddannelse til gymnasiet: Matematik udbydes som et tilbud om deltidsuddannelse med hjemmel i 5 i Universitetsloven.

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

En gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en

En gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende

Læs mere