Differential- regning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differential- regning"

Transkript

1 Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul

2 Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5 Differentialregning 1 del 1 udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmat1dk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

3 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst (repetition) 101 Funktionsværdi og graf På TI-89 indtaster vi funktionen = 0,08x + 0,64x + 3,7 og anbringer markøren på grafpunktet med 1koord 6,8 4,378 Funktionen indtastest på Y=-skærmen Udsnit vælges på WINDOW-skærmen På GRAPH-skærmen anbringes markøren ved at vælge Math/Value og taste 68 og ENTER Figur 1a 6,8 På skærmen ses: (1b) Grafpunktet med førstekoordinat 6, 8 har andenkoordinat 4, 378 (1c) Funktionsværdien af 6, 8 er 4, 378 (1d) Når x er 6, 8, er f ( lig 4, 378 (1e) f ( 6,8) = 4, 378 Det er absolut nødvendigt at kunne udenad at (1b) (1e) er forskellige formuleringer af samme oplysning Fejl på grafregner Grafen på figur 1a er hakket Alle grafregnere har denne fejl Husk at grafen skal se ud som figur 1f, der kan tegnes med et matematikprogram eller et grafprogram Figur 1f Differentialregning Side Karsten Juul

4 10 Øvelse (a) Gennemfør det der er beskrevet i øverste halvdel af ramme 101 (b) Figur 1g viser grafen for = 0,x 08x + 0,8 Få det viste skærmbillede frem (c) Ved hjælp af grafen (dvs ved at bruge Value) skal du for hver af påstandene (1) (5) afgøre om den er sand (1) 0,45 er funktionsværdien af 0,5 () f ( er 3, 4 når x er, Figur 1g (3) 0,18 er andenkoordinat til graf-punktet med førstekoordinat 3 (4) f ( 4) = 0, 8 (5) f ( 3) + f (4) = Øvelse (Uden hjælpemidler) Tegn grafen for en funktion f ( som opfylder at f ( 0) =, f ( ) = f (0) + 1 og f ( ) = f (4) Funktionsværdi og tabel Fortsættelse af ramme 101 Vi skifter til tabel-skærmen (se figur 1h) På TABLE-skærmen kan man vælge Setup og sætte tblstart og tbl til hhv 6,6 og 0,1 På skærmen ses bl a: (1b) Graf-punktet med førstekoordinat 6, 8 har andenkoordinat 4, 378 (1c) Funktionsværdien af 6, 8 er 4, 378 (1d) Når x er 6, 8, er f ( lig 4, 378 (1e) f ( 6,8) = 4, 378 Figur 1h Differentialregning Side 006 Karsten Juul

5 105 Øvelse (a) Gennemfør det der er beskrevet i ramme 104 x,5 (b) Indtast = og brug tabel-skærmen til at bestemme følgende tal:,5 x (1) Andenkoordinaten til det graf-punkt der har førstekoordinat 4 () f ( når x = 5 (3) f (10) (4) f ( ) + f () (5) f ( + ) 106 Øvelse (Uden hjælpemidler) En funktion f ( opfylder følgende: f ( 3) = 5 og for ethvert tal x er f ( x + 1) = + Skriv en tabel for denne funktion 107 Funktionsværdi og symboludtryk Fortsættelse af ramme 101 Vi taster at f skal være betegnelse for den indtastede funktion (se første linje på figur 1i) Hoved-skærmen, der er vist på figur 1i, fås frem ved at taste HOME Da funktionen er intastet som graf nr 1, hedder den y1 For at kunne taste f i stedet for y1 taster vi y1( STO f( ENTER Andenkoordinaten til grafpunktet med førstekoordinat 10 er beregnet til,1 i anden linje på figur 1i () Figur 1i Hældningskoefficienten for linjen l på figur 1j er beregnet til 0, 4 i tredje linje på figur 1i Der er sat y y1 ind i formlen a = for x x1 hældningskoefficienten for linjen gennem to punkter ( x 1, y 1) og x, ) ( y Figur 1j (1) Differentialregning Side Karsten Juul

6 108 Øvelse Udfør det der er beskrevet i ramme Øvelse I denne øvelse skal du bestemme svarene ved hjælp af hovedskærmen (den der er vist på figur 1i) Figur 1k viser grafen for funktionen = 0,3x 0,3x + 0,875 Hvert af følgende tal skal bestemmes ved at taste ét udtryk med f : (a) Andenkoordinaten til A (b) BC (c) DE () Figur 1k (1) 110 Funktionsværdi og regneforskrift I forskriften = 3x x + 9 indsætter vi for x : Heraf ses: f ( ) = 3 ( ) ( ) 9 = 5 Grafpunktet med førstekoordinat har andenkoordinat 5 Funktionsværdien af er 5 Når x = er = 5 f ( ) = Øvelse (Uden hjælpemidler) (a) Udfør det der er beskrevet i ramme 110 Et punkt P har førstekoordinat 7 Grafen for andenaksen i et punkt Q (b) Bestem andenkoordinaten til hvert af punkterne P og Q = går gennem P og skærer 3 x Differentialregning Side Karsten Juul

7 11 Tilvækst og graf Bemærk: En "tilvækst" er et tal der lægges til Figur 1m viser grafen for funktionen fra ramme 101 Markøren er først anbragt på grafpunktet med x-koordinat 6 og derefter på grafpunktet med x-koordinat 8 For at få markøren anbragt de to steder vælger vi Math/Value, taster 6 ENTER og 8 ENTER Der skal altså kun vælges Math/Value én gang Af figur 1m ses: (1n) Når x er 6 og får en tilvækst på, så får f ( en tilvækst på 0, 96 ( 6 + = 8 og 4,68 + ( 0,96) = 3, 7 ) En anden skrivemåde De tilvækster som x og f ( øges med, betegnes hhv x og y, som læses "delta x " og "delta y " Oplysningen (1n) kan også udtrykkes sådan: Figur 1m Når udgangspunktet for x er 6, gælder: Når x = er y = 0, Øvelse (a) Først i ramme 11 er beskrevet en undersøgelse ved hjælp af graf-skærmen Udfør denne undersøgelse (b) Indtast funktionen = 0,5x x + 7, og brug metoden fra spørgsmål (a) til at bestemme tallene (1) (3) nedenfor, men vælg først vinduet sådan at den del af grafen der skal bruges, ikke er for lille (1) Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 3 og x får tilvæksten 0, 1 () Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 3 og x får tilvæksten 0, (3) Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 3 og x får tilvæksten 0, 3 Differentialregning Side Karsten Juul

8 114 Tilvækst og tabel Fortsættelse af ramme 11 Vi går ind på tabel-skærmen og sætter x-start til 4 og x-spring til 1 (se figur 1m) Af tabellen ses: Når udgangspunktet for x er 4, gælder: Når x = er y = 0, 3 ( y = f ( 6) f (4) = 4,68 5 = 0, 3) På tilsvarende måde fås: Figur 1m (1p) Når udgangspunktet for x er 4, gælder: Når x = 4 er y = 1, Øvelse (a) I ramme 114 er beskrevet en undersøgelse ved hjælp af tabel-skærmen Udfør denne undersøgelse (b) Indtast funktionen = 0,5x x + 7, og brug metoden fra spørgsmål (a) til at bestemme tallene (1) (3) nedenfor (1) Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 4 og x får tilvæksten 0, 01 () Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 4 og x får tilvæksten 0, 0 (3) Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 4 og x får tilvæksten 0, Tilvækst og forskrift En tilvækst kan også bestemmes ved direkte brug af forskriften Fx kan tilvæksten fra (1p) bestemmes sådan: y y y = = = f ( 8) f (4) ( 0, , ,7) ( 0, , ,7) 1,8 Differentialregning Side Karsten Juul

9 117 Øvelse (Uden hjælpemidler) (a) I ramme 116 er en tilvækst udregnet ved at indsætte i forskriften Brug denne metode til for funktionen = x + 3 at bestemme tallene (1) () nedenfor (1) Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 1 og x får tilvæksten 1 () Tilvæksten af f ( når udgangspunktet er x = 1 og x får tilvæksten h (Udtrykket skal reduceres) 118 Lineær funktion Forskriften for en lineær funktion Figur 1q og 1r viser graf og tabel = ax + b er indtastet Figur 1q Figur 1r Af figur 1r fås med udgangspunkt x = 3 : Når x = 1 er y = 0, 4 Når x = er y = 0, 8 Når x = 3 er y = 1, Vi ser at y er 0, 4 gange x Altså er a = 0, 4 For en lineær funktion = ax + b er y = a x uanset hvilken værdi af x der er udgangspunkt 119 Øvelse (Uden hjælpemidler) Uden at bestemme forskriften for funktionen f ( i ramme 118 skal du bestemme følgende tal: (1) Tilvæksten som f ( får når x får tilvæksten 0, () Værdien af y når x er (3) Funktionsværdien f ( når x er 8 (4) Funktionsværdien f (3,1 ) Differentialregning Side Karsten Juul

10 Differentialkvotient og tangent 01 Tangent og graf Flytte markør mellem to grafer Vi taster 1 = x som funktion nr 1 og 1 g ( = x + som funktion nr (se figur a) Tallet 1 øverst til højre på figur b viser at markøren står på grafen for funktion nr 1, og tallet øverst til højre på figur c viser at markøren står på grafen for funktion nr Anbring markøren på graf 1 med Math/Value 3 ENTER Tryk på ned-pil for at flytte markøren til graf Ny førstekoordinat kan tastes uden at vælge Math/Value Figur a Nederst på skærmen står koordinaterne til det grafpunkt markøren står på Figur b Figur c Næsten sammenfaldende grafer På figur b ser det ud som om de to funktioner er ens for x-værdier fra ca 0,7 til ca 1, Ved metoden som er beskrevet ovenfor i denne ramme, finder vi at det ser ud til at: Når x = 1 er = g( Når x 1 er g( Når x er nær 1, er f ( nær g ( Differentialregning Side Karsten Juul

11 Tangent Lad P være det punkt på grafen for f som har førstekoordinat 1, og lad l være den rette linje som er graf for g Du vil senere blive i stand til at regne dig frem til at l er den linje gennem P som tilnærmer grafen for f godt nær P Denne linje kaldes tangenten til grafen for f i punktet med førstekoordinat 1 0 Øvelse (a) Gennemfør den undersøgelse af to grafer som er beskrevet i ramme 01 (b) Indtast forskrifter og vælg vindue som vist på figurerne d og e Skift til grafskærmen og undersøg graferne på samme måde som de to grafer i ramme 01 blev undersøgt Figur d Figur e 03 Tangent og tabel Fortsættelse af ramme 01 På figur f har vi skiftet til tabel-skærmen Det ser ud til at Når x = 1 er = g( Når x 1 er g( Når x er nær 1, er f ( nær g ( Figur f Differentialregning Side Karsten Juul

12 04 Definition af tangent (Foreløbig formulering) Lad f være en funktion, lad P være et punkt på f-grafen, og lad l være en linje der ikke er lodret At betyder at l er tangent til grafen for f i P l går gennem P og tilnærmer grafen godt nær P På figur g er vist hvad der menes med "tilnærmer godt" Det vil blive præciseret senere l tilnærmerer grafen godt nær grafpunktet med førstekoordinat 3 () m tilnærmer ikke grafen godt nær grafpunktet med førstekoordinat 5 (1) Figur g 05 Definition af differentialkvotient Lad f være en funktion, og lad x være førstekoordinat til et grafpunkt hvor der er en tangent Ved forstås differentialkvotienten for f i x hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet med førstekoordinat x Denne differentialkvotient betegnes f ( Differentialregning Side Karsten Juul

13 06 Bestemme differentialkvotient ud fra graf på papir Når grafen for en funktion er tegnet på papir og vi ikke ved andet om funktionen, så er vi nødt til at tegne en tangent på øjemål for at bestemme en differentialkvotient Eksempel En funktion f er givet ved den graf der er vist på figur h For at bestemme funktionens differentialkvotient i 3 har vi på øjemål tegnet tangenten i grafpunktet med førstekoordinat 3 Vi aflæser koordinaterne til to punkter på tangenten og udregner dens hældningskoefficient til 1,5: Når x er 3, er f ( lig 1,5 Dette kan også skrives sådan: f ( 3) = 1,5 () (1) Figur h Tilføjelse Af grafen ses at f ( bliver mindre jo større x bliver 07 Øvelse Figur i viser grafen for en funktion f (a) Bestem f (0,8) (b) Bestem den værdi af x for hvilken f ( = 0 Figur i Differentialregning Side Karsten Juul

14 08 Bestemme differentialkvotient på graf-skærm Vi indtaster funktionen = x, skifter til graf-skærmen og får bestemt f ( når x er 1 Dette kan gøres ved at vælge Math / Derivatives / dy/dx og taste -1 ENTER På skærmbilledet på figur j står at dvs f ( 1) = tangenten i grafpunktet med 1koord 1 har hældningskoefficient Figur j dy (På graf-skærmen er brugt betegnelsen dx for differentialkvotienten Dette er en anden dy almindelig betegnelse for differentialkvotienten Symbolet dx læses d y d 09 Øvelse (a) Gennemfør det der er beskrevet i ramme 08 (b) Lad P være det punkt på figur j som markøren står på Hvad er førstekoordinaten til P, hvad er andenkoordinaten til P, og hvad er hældningskoefficienten for tangenten til grafen i P? 10 Øvelse 3x 1 Indtast funktionen = og få det skærmbillede frem som er vist på figur k Brug så metoden x fra ramme 08 til at bestemme følgende tal: (1) f ( når x = 0, 5 () f (1) (3) Hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet med førstekoordinat Figur k Differentialregning Side Karsten Juul

15 11 Begrebet "differentiabel" Definition En funktion siges at være differentiabel i et tal x hvis grafen har en tangent i grafpunktet med førstekoordinat x og tangenten ikke er lodret 1 Graf med knæk Grafen på figur m har et knæk i grafpunktet P med førstekoordinat På figur n er tegnet en linje gennem P som tilnærmer grafen godt til til højre for P, men ikke til venstre for P Der gælder: Der ikke er nogen linje gennem grafpunktet med førstekoordinat som tilnærmer grafen godt nær dette punkt Grafen har ikke nogen tangent i punktet med førstekoordinat Funktionen f er ikke differentiabel i Funktionen f er differentiabel i ethvert tal bortset fra () () (1) (1) Figur m Figur n Differentialregning Side Karsten Juul

16 13 Graf med spring Grafen på figur p har et spring ved grafpunktet P med førstekoordiat Der gælder: Der ikke er nogen linje gennem grafpunktet med første koordinat som tilnærmer grafen godt nær dette punkt Grafen har ikke nogen tangent i punktet med førstekoordinat Funktionen f er ikke differentiabel i Funktionen f er differentiabel i ethvert tal bortset fra () Figur p (1) 14 Graf med lodret tangent Grafen på figur q har en lodret tangent i grafpunktet P med førstekoordinat Der gælder: Funktionen f er ikke differentiabel i () (1) Figur q 15 Øvelse + Få tegnet grafen for = ( x ) 1 på lommeregneren (a) Ser det ud til at f er differentiabel i 0? (b) Ser det ud til at f er differentiabel i? (c) Ser det ud til at f er differentiabel i 3? 16 Øvelse 3 Få tegnet grafen for = x 1 på lommeregneren Grafen har en tangent i hvert punkt, men der er ét tal hvor f ikke ikke differentiabel Gæt dette tal ud fra grafen Differentialregning Side Karsten Juul

17 17 Øvelse Funktionen floor er fastlagt ved at floor(x ) er det største hele tal som er mindre end eller lig x Fx er floor( 3,8) = 3 og floor(,4) = 3 På TI-89 er funktionen floor på menuen der fås frem ved at vælge MATH / Number (MATH står med blåt over 5- tasten) En graf med spring bliver ikke tegnet korrekt hvis grafens Style er Line Vælg i stedet Dot Dette gøres mens markøren står på forskriften på Y=- skærmen For at få den bedste graf skal man på WINDOW-skærmen sætte xres til 1 Få tegnet grafen for funktionen = x floor( på lommeregneren Anbring (med Value) markøren i det grafpunkt hvis førstekoordinat er Anbring så markøren i det grafpunkt hvis førstekoordinat er 1,9 I hvilke tal er f ikke differentiabel? Differentialregning Side Karsten Juul

18 3 Formler for differentialkvotient 301 Eksempel på formel for differentialkvotient I ramme 08 bestemte vi differentialkvotienten af = x for x = 1 På tilsvarende måde bestemmer vi nogle flere differentialkvotienter Resultaterne er skrevet i tabellen x 1 0,5 1 f ( 1 4 For alle x-værdier i tabellen er f ( det dobbelte af x Vi vil senere bevise at dette også gælder for alle andre værdier af x Formlen for at finde differentialkvotienter for = x er altså f ( = x 30 Øvelse To linjer l og m er tangent til grafen for funktionen = x Linjen l er tangent i det punkt på grafen som har førstekoordinat 3, og linjen m er tangent i det punkt på grafen som har andenkoordinat 9 og har positiv førstekoordinat Brug formlen nederst i ramme 301 til at bestemme hældningskoefficienten for hver af linjerne l og m 303 Øvelse Tabellen viser nogle af differentialkvotienterne for en funktion f (a) Gæt en formel for f ( (b) Brug formlen til at bestemme førstekoordinaten til det punkt på grafen for f hvori tangenten har hældningskoefficienten 1 x f ( Differentialregning Side Karsten Juul

19 304 Øvelse Tabellen viser nogle af differentialkvotienterne for en funktion f (a) Gæt en formel for f ( (b) Brug formlen til at bestemme førstekoordinaten til det punkt på grafen for f hvori tangenten er vandret x f ( Øvelse (Uden hjælpemidler) (a) Tegn grafen for funktionen = 0,5x + og afsæt det punkt P på grafen som har førstekoordinat 4 (b) Læs ramme 04 og tegn den linje l som er tangent til grafen i punktet P (c) Hvad er hældningskoefficienten for l? (d) Læs ramme 05 og angiv f (4) (e) Når x er førstekoordinaten til et punkt på grafen for f, hvad er så f ( lig? (f) Tegn grafen for funktionen g ( = x (g) Når x er førstekoordinaten til et punkt på grafen for g, hvad er så g ( lig? (f) Tegn grafen for funktionen h ( = 4 (g) Når x er førstekoordinaten til et punkt på grafen for h, hvad er så h ( lig? 306 Bestemme differentialkvotient på hovedskærmen På hovedskærmen, der fås frem ved at taste HOME, kan differentialkvotienter bestemmes ved hjælp af det d der står over 8-tasten Fx kan differentialkvotienten af x bestemmes ved at taste som vist på figur 3a Bemærk at man efter forskriften skal taste et komma efterfulgt af den uafhængige variabel På figur 3a er bestemt en formel for differentialkvotienten af x Figur 3a Af resultatet ses at hvis x er førstekoordinat til et punkt på kvadratrodsgrafen, så vil tangenten i dette punkt have hældningskoefficienten 1 Tangenten i punktet med førstekoordinat 9 har altså hældningskoefficienten x 1 1 = 9 6 Differentialregning Side Karsten Juul

20 307 Øvelse (a) Udfør det der er beskrevet i ramme 306 (b) Brug derefter samme metode til at bestemme differentialkvotienten af hver af 3 4 funktionerne x og x 6 (c) Gæt differentialkvotienten af x ved at sammenligne med svaret på (b) 308 Nogle vigtige differentialkvotienter (3b) Hvis = k er f ( = 0, hvor k er en konstant (3c) Hvis = x er f ( = 1 (3d) Hvis n = x er n 1 = nx, hvor n er et af tallene 1,, 3, osv Begrundelse for (3b) Da = ax + b med a = 0 og b = k, er grafen for f en ret linje med hældningskoefficient 0 Da grafen er en ret linje, er en tangent til grafen sammenfaldende med grafen og har derfor også hældningskoefficienten 0 Da f ( er hældningskoefficienten for en tangent, er f ( = 0 Begrundelse for (3c) Da = ax + b med a = 1 og b = 0, er grafen for f en ret linje med hældningskoefficient 1 Da grafen er en ret linje, er en tangent til grafen sammenfaldende med grafen og har derfor også hældningskoefficienten 1 Da f ( er hældningskoefficienten for en tangent, er f ( = Øvelse (Uden hjælpemidler) Der er givet funktionerne = 18, g ( = x og 5 h ( = x Læs de tre regler øverst i ramme 308 og bestem f (6), f (6), g (6), g (6), h ( og h () 310 Øvelse Der er givet funktionerne = og Bestem f (3), f (3), g (3) og g (3) 3 g ( = x Differentialregning Side Karsten Juul

21 311 Oplæg vedr differentialkvotient af sum Som funktion nr 1 og indtaster vi hhv og = x g ( = x Som funktion nr 3 indtaster vi summen h ( = + g(, altså h ( = x + x For denne sidste vælger vi tyk streg til grafen Man vælger tyk streg ved på Y=-skærmen at anbringe markøren på forskriften og vælge Style/Thick Efter at have skiftet til graf-skærmen bestemmer vi for hver af de tre funktioner differentialkvotienten i 0,4 Differentialkvotienten bestemmes som i ramme 08 For graf og 3 må man dog vælge den pågældende graf ved at trykke hhv 1 og gange på pil ned efter at man har valgt Math / Derivatives / dy/dx Herefter taster man 04 ENTER Figur 3e På figur 3e ses at f ( 0,4) = 1, g ( 0,4) = 0, 8 og h ( 0,4) = 1, 8 Altså er h ( 0,4) = f (0,4) + g (0,4) På tilsvarende måde finder vi at f ( 0,3) = 1, g ( 0,3) = 0, 6 og h ( 0,3) = 1, 6 Altså er h ( 0,3) = f (0,3) + g (0,3) Dette er ikke noget specielt for funktionerne for differentialkvotienter som siger følgende: = x og (3f) Hvis h ( = + g(, er h ( = f ( + g ( g ( = x Der er en regel 31 Øvelse (a) Gennemfør det der er beskrevet i ramme 311 (b) Undersøg så på tilsvarende måde om det ser ud til at (3f) gælder når plus erstattes med hhv gange, minus og division Differentialregning Side Karsten Juul

22 313 Øvelse (a) Reducer x 3 x (b) Brug (3d) til i et vilkårligt tal x at finde differentialkvotienten af hhv 3 g ( = x og 5 h ( = x 3 (c) Når = x og g ( = x, gælder så for produktet h( = g( at differentialkvotienten h ( er lig f ( g (? = x, 314 Nogle regneregler for differentialkvotienter For differentiable funktioner f ( og g ( gælder følgende tre regler: Reglen for differentialkvotient af sum: (3g) Hvis h ( = + g(, er h ( = f ( + g ( Reglen for differentialkvotient af differens: (3h) Hvis h( = g(, er h ( = f ( g ( Reglen for differentialkvotient af konstant gange funktion: (3i) Hvis h( = k g(, er h ( = k g (, når k er en konstant Advarsel: Hvis man i (3g) erstatter plus med gange eller division, så fås ikke en regel der gælder altid Eksempel på at (3g) ikke gælder når plus erstattes med gange: Lad og = x og 3 1 h ( = 3x = 3x 1 g ( = x, og sæt h( = g(, dvs g ( = 1 x = x Altså er h ( ikke lig f ( g ( for ethvert tal x 3 h ( = x Så er Differentialregning Side Karsten Juul

23 315 Brug af regneregler for differentialkvotienter Eksempel på brug af reglen for differentialkvotient af sum Hvis er 3 = x og g ( = x f ( = 3x og g ( = 1 så af reglen for differentialkvotient af sum fås: Hvis h ( x + x er h ( = 3x 1 = 3 + Eksempel på brug af reglen for differentialkvotient af konstant gange funktion Hvis = x er f ( = x så af reglen for differentialkvotient af konstant gange funktion fås: Hvis h ( = 3x er h ( = 3 x = 6x 316 Øvelse Brug reglerne i rammerne 308 og 314 til at bestemme f ( i hvert af følgende tilfælde: 4 3 (a) = 3x (b) = + x (c) = 4x x (d) = 5x + 8x 6 (e) 317 Øvelse En funktion f er givet ved = x + 4 (a) Bestem f (6) (b) Bestem f (6) (c) Løs ligningen = 6 (d) Løs ligningen f ( = 6 = x x (f) 3 x = 4 Differentialregning Side Karsten Juul

24 4 Opgaver med tangent 401 Øvelse (Uden hjælpemidler) Lad = x 8x (a) Bestem f ( (b) Bestem hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet med førstekoordinat 0 (c) Bestem førstekoordinaten til det punkt på grafen hvor tangenten har hældningskoefficienten 0 40 Øvelse En funktion f ( er givet ved 3 = 3x x Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter på grafen hvor tangenten er vandret 403 Øvelse En funktion f ( er givet ved = x + 5x Undersøg om der findes et punkt på f-grafen hvor tangenthældningen er Øvelse På grafen for funktionen x + x ligger et punkt P med førstekoordinat 1 = (a) Bestem andenkoordinaten til P (b) Bestem tangenthældningen i P (c) Bestem en ligning for tangenten i P Differentialregning Side 006 Karsten Juul

25 405 Grundmetoder vedr opgaver med tangent De opgaver med graf og tangent som omtales her, findes i et utal af varianter Men de kan alle løses ved at bruge én eller flere af følgende grundmetoder: (4a) Bestemme andenkoordinat til grafpunkt hvor førstekoordinat er kendt Eksempel: = x Her er x og x hhv første- og andenkoordinat Hvis førstekoordinaten er x = 3 er andenkoordinaten x = 3 = 7 (4b) Bestemme førstekoordinat til grafpunkt hvor andenkoordinat er kendt Eksempel: = x Her er x og x hhv første- og andenkoordinat Hvis andenkoordinaten er 7, dvs x = 7, så fås førstekoordinaten x ved at løse denne ligning, dvs førstekoordinaten er x = 3 eller x = 3 (4c) Bestemme tangenthældning i et grafpunkt hvor førstekoordinat er kendt Eksempel: x + x Her er f ( = 3x 1, så x og 3x + 1 er hhv førstekoordinat og tangenthældning Hvis førstekoordinaten er x = er = 3 + tangenthældningen 3x + 1 = = 13 (4d) Bestemme førstekoordinat til grafpunkt hvor tangenthældningen er kendt Eksempel: x + x Her er f ( = 3x 1, så x og 3x + 1 er hhv førstekoordinat og tangenthældning Hvis tangenthældningen er 13, dvs = 3 3x + 1 = 13 så fås førstekoordinaten x ved at løse denne ligning, dvs førstekoordinaten er x = eller x = + (4e) Bestemme ligning for linje når dens hældningskoefficient og et punkt på linjen er kendt Eksempel: Hvis hældningskoefficient og punkt er hhv a = og x, y ) (3, 7) ( 0 0 = er ligningen y = a( x x0 ) + y0 dvs y = ( x 3) + 7 som kan reduceres til y = x +1 Hvis linjen er vandret og punktet er ( 8, 5) er ligningen y = 5 (4f) Bestemme linjes hældningskoefficient når linjens ligning er kendt Eksempel: Ligningen y = 3 x fås af y = ax + b ved at sætte a = og b = 3 så linjens hældningskoefficient er a = Differentialregning Side Karsten Juul

26 406 Øvelse For hver af de fem opgaver (a) - (e) gælder at hvis funktionens forskrift var oplyst, så kunne man løse opgaven ved at kombinere to af grundmetoderne (4a) (4f) fra ramme 405 Angiv for hver af opgaverne de to grundmetoder (a) Bestem koordinatsættet til det punkt på grafen hvor tangenthældningen er 1 (b) Bestem en ligning for tangenten i punktet (3, 5) (c) Linjen med ligningen førstekoordinat y = x 1 er tangent til grafen Bestem røringspunktets 3 (d) I ét grafpunkt Q med positiv førstekoordinat har tangenten samme hældning som tangenten i grafpunktet med førstekoordinat Bestem førstekoordinaten til Q (e) Grafen skærer førsteaksen i et punkt P Bestem hældningskoefficienten for tangenten i P 407 Øvelse (Uden hjælpemidler) Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen (, f ()) = x x i punktet Øvelse En funktion f ( er bestemt ved x + x = 5 Bestem en ligning for hver af de tangenter til grafen for f som er parallelle med linjen med ligningen y = 6 x Øvelse Bestem en ligning for hver af de vandrette tangenter til grafen for funktionen = x + x 4x 3 Differentialregning Side Karsten Juul

27 5 Væksthastighed 501 Væksthastighed for lineær funktion Figur 5a viser hvordan en plantes højde (målt i cm) ændres med tiden (målt i uger): g (t) er højden på tidspunktet t Af figuren fås: når t øges fra 3 til 4, så øges højden med 0,5 cm når t øges fra 4 til 5, så øges højden med 0,5 cm når t øges fra 5 til 6, så øges højden med 0,5 cm Ud fra dette ser vi at væksthastigheden er 0,5 cm pr uge Da g er lineær, gælder at væksthastighed = hældningskoefficient Figur 5a 50 Øvelse Vedr planten fra ramme 501 (a) Hvor meget øges højden fra tidspunktet 3 til tidspunktet 7? (b) Hvor meget øges højden fra tidspunktet 3 til tidspunktet 3,5? (c) Hvad er væksthastigheden i tidsrummet fra tidspunktet 3 til tidspunktet 3,5? (d) Hvor meget øges højden på 0,1 uge? (e) Hvor meget øges højden på 6 uger? (f) Hvor meget øges højden på t uger? Differentialregning Side Karsten Juul

28 503 Oplæg om væksthastighed Figur 5b viser hvordan en plantes højde (målt i cm) ændres med tiden (målt i uger): f (t) er højden på tidspunktet t På figuren er også vist grafen for funktionen g fra ramme 501 Denne graf er tangent til grafen for f i grafpunktet med førstekoordinat 3 I små tidsrum nær t = 3 vokser de to funktioner på stort set samme måde, så da væksthastigheden for g ( er 0, 5, siger vi at væksthastigheden for f ( i 3 er 0, 5 Væksthastigheden for f ( i 3 er altså tangenthældningen f ( 3) = 0, 5 Figur 5b 504 Øvelse Vedr f-planten fra ramme 503 (a) Hvor meget øges højden i tidsrummet fra tidspunktet 3 til tidspunktet 5? (b) Hvad er gennemsnitsvæksthastigheden i dette tidsrum? 505 Øvelse (a) Aflæs på figur 5b f (3,6) og g (3,6) (b) Hvis værdien af t er nær 3, fx hvis t = 3, 6, kan man ikke på figur 5b se forskel på f (t) og g (t), men f-grafen krummer opad, så det er kun for t = 3 at f ( t) = g( t) Er gennemsnitsvæksthastigheden for f (t) i tidsrummet fra t = 3 til t = 3, større end 1 eller mindre end 1? (c) Er gennemsnitsvæksthastigheden for f (t) i tidsrummet fra t =, 5 til t = 3 større end 1 eller mindre end 1? Differentialregning Side Karsten Juul

29 506 Væksthastighed (5c) Definition Lad f ( være differentiabel i et tal x 0 Ved væksthastigheden for f ( i x 0 forstås tallet f x ) ( 0 (5d) Regel Lad f ( være differentiabel i et tal x 0 Så gælder: I små x-intervaller nær x 0 er gennemsnitsvæksthastigheden for f ( ca f ( x 0 ) 507 Bestemme væksthastighed uden lommeregner I et computerspil afhænger prisen på en vare af hvor lang tid der er spillet Efter t minutters spil er prisen f (t) kr hvor f ( t) = 1,3t + 004t Vi vil bestemme den hastighed hvormed prisen stiger efter 0 minutters spil: Da er dvs f ( t) = 1,3 + 0, 08t f ( 0) = 1,3 + 0,08 0 =,9 efter 0 minutters spil stiger prisen med en hastighed på,90 kr pr minut 508 Øvelse I et forsøg skal vandmængden i et akvarium ændres sådan at R ( t) = t hvor R (t) er vandmængden (i ml) og t er tiden (i timer) der er gået siden forsøgets start Bestem den hastighed hvormed vandmængden ændres på tidspunktet t = 10 Differentialregning Side Karsten Juul

30 509 Bestemme væksthastighed med lommeregner Massen M af en plante (målt i gram) som funktion af tiden t (målt i døgn) kan beskrives ved 390 M ( t) = 0,11t 1+ 44e Vi vil bestemme massens væksthastighed til tiden t = 7 : Vi bruger lommeregneren til at bestemme væksthastigheden til t = 7 Dette kan fx gøres ved at taste d (390/(1+44e^(-011t)),t) t=7 Herved fås M dvs ( 7) = 1,9133L massens væksthastighed til t = 7 er 1,9 gram prdøgn Figur 5e 510 Øvelse (a) Udfør det der er beskrevet i ramme 509 (b) Hvad er massens væksthastighed på tidspunktet t = 50? 511 Tolkning af differentialkvotient Eksempel med temperatur Temperaturen i en beholder kan beskrives ved en funktion T (t) hvor T (t) er temperaturen (i C) t timer efter at beholderen blev lukket Det er oplyst at T ( 3) = Denne oplysning fortæller følgende: 3 timer efter at beholderen blev lukket, aftager temperaturen med en hastighed på C pr time Differentialregning Side Karsten Juul

31 Eksempel med vanddybde Ved en kyst kan vanddybden beskrives ved en funktion h ( hvor h ( er dybden ( i meter) x meter fra kysten Det er oplyst at h ( 15) = 0, 1 Denne oplysning fortæller følgende: 15 meter ude øges dybden med en hastighed på 10 cm pr meter man kommer længere ud Det kan være at en figur viser at grafen for h ( krummer så langsomt at det vil være naturligt at formulere oplysningen sådan: 15 meter ude øges dybden med 10 cm når man går 1 meter længere ud Eksempel med kørsel Et tog kører på strækningen fra A til B, hvor der er få minutter mellem stationerne Togets afstand fra A kan beskrives ved en funktion s (t) hvor s (t) er afstanden (i km) og t er den tid (i timer) der er gået siden toget forlod A Det er oplyst at s ( 0,7) = 58 Denne oplysning fortæller følgende: 0,7 time (dvs 4 minutter) efter at toget forlod A, er togets hastighed 58 km i timen 51 Øvelse (a) Sammenhængen mellem et træs diameter (målt i cm) og træets alder (målt i år) kan beskrives ved en funktion d (t) hvor d (t) er diameteren og t er alderen Hvad fortæller oplysningen d ( 10) = 0, 6? (b) Omkostningerne ved at trykke et hæfte kan beskrives ved en funktion K ( hvor K ( er omkostningerne i kr ved at fremstille et oplag på x styk Hvad fortæller oplysningen K ( 1000) = 4? (c) I en model er en stats skatteindtægter en funktion L ( p) hvor L ( p) er det antal enheder der kommer ind i skat når skatteprocenten er p % Hvad fortæller oplysningerne L ( 0) = og L ( 70) = 1? Differentialregning Side Karsten Juul

32 513 Eksempel på brug af væksthastighed Omkostningerne i kr ved at fremstille x enheder pr dag er 3 V ( = 0,065x 7,x + 90x Vi får tegnet grafen (se figur 5f) og ved metoden fra ramme 08 finder vi at dvs og V ( 40) = 6 og V ( 65) = 178 når der fremstilles 40 enheder pr dag, koster det 6 kr at fremstille 1 enhed mere når der fremstilles 65 enheder pr dag, koster det 178 kr at fremstille 1 enhed mere Hver enhed kan sælges for 170 kr, så og hvis man fremstiller 40 enheder pr dag, vil man øge overskuddet hvis man fremstiller en enhed mere pr dag hvis man fremstiller 65 enheder pr dag, vil man mindske overskuddet hvis man fremstiller en enhed mere pr dag Figur 5f 514 Øvelse (a) Udfør det der er beskrevet i ramme 513 (b) Bestem V (0), og benyt dette tal til at afgøre om det vil øge overskuddet hvis nogen der fremstiller 0 enheder pr dag øger produktionen en lille smule Differentialregning Side Karsten Juul

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe11-mat/b-3108011 Onsdag den 31. august 011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014 Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Sukker. Matematik trin 2. avu. Almen voksenuddannelse Onsdag den 20. maj 2009 kl. 9.00 13.00

Sukker. Matematik trin 2. avu. Almen voksenuddannelse Onsdag den 20. maj 2009 kl. 9.00 13.00 Sukker Matematik trin 2 avu Almen voksenuddannelse Onsdag den 20. maj 2009 kl. 9.00 13.00 Sukker Matematik trin 2 Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte Svarark Hæftet indeholder følgende

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Det tungeste læs. Tal. Format 4. Nr. 1. Navn: Navn: Forskel: Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 3

Det tungeste læs. Tal. Format 4. Nr. 1. Navn: Navn: Forskel: Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 3 Det tungeste læs Nr. 1 Navn: Navn: Forskel: Paraktivitet. Kast på skift med en 10-sidet terning. Noter værdien af slaget på en af pladserne i lastbilen. Den, der opnår det tungeste læs, vinder. Læs vægten

Læs mere

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.

Læs mere

LUP læsevejledning til regionsrapporter

LUP læsevejledning til regionsrapporter Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf Matematik

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

KORT GØRE/RØRE. Vejledning. Visuel (se) Auditiv (høre) Kinæstetisk (gøre) Taktil (røre)

KORT GØRE/RØRE. Vejledning. Visuel (se) Auditiv (høre) Kinæstetisk (gøre) Taktil (røre) GØRE/RØRE KORT Vejledning Denne vejledning beskriver øvelser til Gøre/røre kort. Øvelserne er udarbejdet til både de kinæstetisk, taktilt, auditivt og visuelt orienterede elever. Men brugeren opfordres

Læs mere

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark Regn med tallene 1 Spil Væddeløbet Du skal bruge Kuber To terninger Arbejdsark 47 48 KG 2 Regn med lommeregner Du skal bruge Lommeregner Målebånd Stopur Vægt Arbejdsark 49 50 51 KG Værksted : Leg butik.

Læs mere

Ordbogsværktøjet mikrov.dk

Ordbogsværktøjet mikrov.dk Kom godt i gang med Ordbogsværktøjet mikrov.dk Forord - et læse- og skrivestøttende sprogværktøj Ordbogsværktøjet kan anvendes som betydnings- og retskrivningsordbog eller som et undersøgende og støttende

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

Kom godt i gang med Fronter

Kom godt i gang med Fronter 1 Kom godt i gang med Fronter. Introduktion for studerende på den Sundhedsfaglige diplomuddannelse Kom godt i gang med Fronter Introduktion for studerende på den Sundhedsfaglige diplomuddannelse Sådan

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

MANUAL ISOREADER. Ver. 04 03-10-2013 SKIOLD GØR EN FORSKEL!

MANUAL ISOREADER. Ver. 04 03-10-2013 SKIOLD GØR EN FORSKEL! MANUAL SKIOLD GØR EN FORSKEL! ISOREADER 981 002 701 Ver. 04 03-10-2013 Indholdsfortegnelse 1 Funktion og forbindelse... 4 2 Hvad betyder de enkelte lys/ lamper... 5 3 Læs øremærke (transponder)... 6 4

Læs mere

Alf og Alfabetet. - lær bogstaver, ord og begreber. Vejledning

Alf og Alfabetet. - lær bogstaver, ord og begreber. Vejledning Alf og Alfabetet - lær bogstaver, ord og begreber Vejledning Indholdsfortegnelse Forord 3 Sådan navigerer du rundt i Alf og Alfabetet 4 A - Lær bogstaverne 4 L - Stav ordet 5 F - Skriv ordet 5 E - Kombiner

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Vands bevægelse i kanaler

Vands bevægelse i kanaler Vands bevægelse i kanaler Væskemængde pr tid Væskemængden pr tid Q i et lukket rør er defineret som det volumen ΔV, der passerer et givet sted i røret i løbet af tidsrummet Δt. Dvs at V Q (1) t Hvis rørets

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Procesorienteret. skrivning

Procesorienteret. skrivning Procesorienteret Dansk 84 skrivning Skriveprocessen kan være en hjælp til at tænke og samle sig, en erkendelsesform Når man skriver, hvad man tænker, finder man ud af hvad man mener I Norge har Stiftelsen

Læs mere