Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
|
|
|
- Ella Poulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable Differentialet af en funktion Test differentialet Calculus Uge
2 Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Figur y y = f(a) + f (a)(x a) (a, f(a)) f(x) x I R, f : I R Calculus Uge
3 Ligning for tangent [S] 2.7 Derivatives Definition Tangentlinjen for grafen for en funktion y = f(x) i et punkt (a, b), b = f(a) er linjen gennem (a, b), som indeholder tangentvektoren (1, f (a)) til grafen En ligning for tangentlinjen er x (x, f(x)) y b = f (a)(x a) Calculus Uge
4 Find tangentlinjen [S] 2.7 Derivatives Eksempel 2 Find ligningen for tangentlinjen til y = x 2 8x + 9 i punktet (3, 6). Den afledede er y = 2x 8, y (3) = 2 Ligningen for tangentlinjen er y ( 6) = ( 2)(x 3) eller y = 2x Calculus Uge
5 Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Figur y D (x, y) f(x, y) 0 x D R 2, f : D R Calculus Uge
6 Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(x, y) i et punkt (x 0, y 0, z 0 ), z 0 = f(x 0, y 0 ) er planen gennem (x 0, y 0, z 0 ), som indeholder tangentvektorerne til koordinatkurverne (1, 0, f x (x 0, y 0 )), (0, 1, f y (x 0, y 0 )) x (x, y 0, f(x, y 0 )), y (x 0, y, f(x 0, y)) på grafen Γ f. Calculus Uge
7 Ligning for tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. 2 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x, f y i en lille cirkelskive om (x 0, y 0 ). Tangentplanen for grafen i et punkt (x 0, y 0, z 0 ), z 0 = f(x 0, y 0 ) har ligning Bevis Indsættes z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + (1, 0, f x (x 0, y 0 )) = (x 0 + 1, y 0, z 0 + f x (x 0, y 0 )) er ligningen opfyldt. Ligeså for den anden tangentvektor. Calculus Uge
8 Find tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel 1 Find ligningen for tangentplanen til i punktet (1, 1, 3). Løsning De partielle afledede er z = 2x 2 + y 2 z x = 4x, z y = 2y z(1, 1) = 3, z x (1, 1) = 4, z y (1, 1) = 2 I punktet (1, 1, 3) er tangentplanen givet ved z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) Calculus Uge
9 Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Figur - Eksempel 1 z x y Tangentplan i (1, 1, 3) Calculus Uge
10 Find endnu en tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel Find en ligning for tangentplan i (1, 2, f(1, 2)). f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1, f x (1, 2) = 19, f y (1, 2) = 4 I punktet (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 2, 1) er tangentplanen givet ved z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Som giver z 1 = 19(x 1) + 4(y 2) Calculus Uge
11 Test tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Lad f(x, y) = x + xy. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0, 0, 0). Løsning Udregningen giver f x = 1 + y, f y = x f x (0, 0) = 1 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge
12 Lineær approximation [S] 3.8 Linear approximations Definition Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion L(x) = f(a) + f (a)(x a) kaldet lineariseringen af f i a. Approximationen f(x) f(a) + f (a)(x a) kaldes den lineære approximation af f for x a. Calculus Uge
13 Find approximation [S] 3.8 Linear approximations Eksempel Find den lineære approximation af f(x) = x i a = 1. Løsning Lineariseringen er Approximationen er f (x) = 1 2 x, f (1) = 1 2 L(x) = (x 1) 2 1 x 1 + (x 1), for x 1 2 Calculus Uge
14 Approximation i to variable [S] 11.4 Tangent planes and lin Definition Tangentplanen er grafen for en lineær funktion L(x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) kaldet lineariseringen til f i (a, b). Approximationen f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) kaldes den lineære approximation af f for (x, y) (a, b). Calculus Uge
15 Brug approximation Eksempel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1, f x (1, 2) = 19, f y (1, 2) = 4 I punktet (1, 2) er den lineære approximation f(x, y) (x 1) + 4(y 2) Benyttes til tilnærmelse f(1.1, 1.9) (1.1 1) + 4(1.9 2) = 2.5 Calculus Uge
16 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approximation til funktionen f(x, y) = 1 x 2 + y 1 2 i punktet (x, y) = (1, 1). Den er givet ved (a) f(x, y) 1 1 (x 1) + (y 1). (b) f(x, y) 2xy (c) f(x, y) 1 + y. (d) f(x, y) (x 2 + y). 2 Afkryds den rigtige: Løsning Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (1, 1). (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
17 Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(x, y) = 1 x 2 + y 1 2 f x = giver i punktet (1, 1) 2x (x 2 + y) 2, f y = 1 (x 2 + y) 2 f x (1, 1) = 1 2, f y(1, 1) = 1 4 Approximationen af f for (x, y) (1, 1) skrives f(x, y) 1 1 (x 1) + (y 1) 2 4 Calculus Uge
18 Omskriv differentiabel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Bemærkning En funktion y = f(x) er differentiabel i a, hvis 5 y = f (a) x + ɛ x hvor ɛ 0, når x 0 Calculus Uge
19 Tilvækst [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition For funktion z = f(x, y) er tilvæksten i (a, b) 6 z = f(a + x, b + y) f(a, b) Eksempel For z = x 2 + y 2 er tilvæksten i (a, b) z = (a + x) 2 + (b + y) 2 (a 2 + b 2 ) Altså z = 2a x + 2b y + x 2 + y 2 Calculus Uge
20 Differentiabilitet i to variable [S] 11.4 Tangent planes and linear... 7 Definition z = f(x, y) er differentiabel i (a, b), hvis z = f x (a, b) x + f y (a, b) y + ɛ 1 x + ɛ 2 y hvor ɛ 1, ɛ 2 0, når x, y 0 Bemærkning En funktion er differentiabel, når den lineære approximation er god. Calculus Uge
21 Differentiabilitet som forventet [S] 11.4 Tangent planes and lin... 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x, f y i en omegn af (a, b). Så er f differentiabel i (a, b). Bemærkning I så fald f(a + x, b + y) f(a, b) + f x (a, b) x + f y (a, b) y når x, y 0. Calculus Uge
22 Brug approximation Eksempel 2 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = xe xy f x = e xy + xye xy, f y = x 2 e xy f(1, 0) = 1, f x (1, 0) = 1, f y (1, 0) = 1 I punktet (1, 0) er den lineære approximation xe xy 1 + (x 1) + y Benyttes til tilnærmelse 1.1e 1.1 ( 0.1) 1 + (1.1 1) + ( 0.1) = 1 Calculus Uge
23 Differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Definition Differentialet af en funktion y = f(x) er 9 dy = f (x)dx og for funktionen z = f(x, y) 10 Bemærk df = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy dz = z z dx + x y dy z dz Calculus Uge
24 Skriv differentialet Eksempel 4 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 2 + 3xy y 2 f x = 2x + 3y, f y = 3x 2y dz = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy Benyttes til tilnærmelse f(2, 3) = 13, f x (2, 3) = 13, f y (2, 3) = 0 f(2.05, 2.96) ( 0.04) = Calculus Uge
25 Opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 f(x, y) = x y Begrund differentiabilitet om (1, 4) og find den lineære approximation. Løsning f x = y, f y = x 2 y er kontinuerte om (1, 4). x y 2 + 2(x 1) + 1 (y 4) 4 når (x, y) (1, 4). Calculus Uge
26 Opgave fortsat [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 - fortsat Skrives også Beregn tilnærmelse (1 + x) 4 + y x y ( 0.1) = Calculus Uge
27 Test differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(ax + by). Differentialet er: (a) dz = a dx + b dy. (b) dz = a dx + ax+by (c) dz = a ln(ax + by)dx + b ln(ax + by)dy. Løsning Udregningen giver differentialet z x = Afkryds den rigtige: a, z ax+by y = b ax+by dz = z x dx + z y dy b dy. ax+by (a) (b) (c) Calculus Uge
28 Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Omtalen af tangentplan, lineær approximation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Funktionen w = f(x, y, z) har tangentplan i punktet (a, b, c, d), d = f(a, b, c) med ligning w d = f x (a, b, c)(x a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) Calculus Uge
29 Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition - fortsat Funktionen w = f(x, y, z) har lineær approximation f(x, y, z) f(a, b, c) + f x (a, b, c)(x a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) og differential dw = w x dx + w y dy + w z dz Calculus Uge
30 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse Find differentialet af w = ln x 2 + y 2 + z 2 Løsning Beregn først w x = = 1 x2 + y 2 + z 2 x x 2 + y 2 + z 2 d x2 + y dx 2 + z 2 Calculus Uge
31 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - alternativ Løsning Beregn w = ln x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 ln(x2 + y 2 + z 2 ) w x = x 2 + y 2 + z 2x 2 x = x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
32 Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - fortsat w = ln x 2 + y 2 + z 2 x w x = x 2 + y 2 + z 2 Ved symmetri w y = Differentialet er y x 2 + y 2 + z 2, w z = z x 2 + y 2 + z 2 dw = xdx + ydy + zdz x 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/48/24213798.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Prøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
![Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19](/thumbs/63/49989105.jpg "Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19")
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Differentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Differentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Lineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Gradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Oversigt [S] 4.5, 5.10
![Oversigt [S] 4.5, 5.10](/thumbs/20/426063.jpg "Oversigt [S] 4.5, 5.10")
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Differential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Epistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen 34 5. Gradient
Største- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Differentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.
Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/40/21648714.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Løsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi
MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012
Mat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Prøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Lektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/40/21226631.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Funktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK
AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK A. SEMESTER NANOTEKNOLOGI EFTERÅR 7 Indholdsfortegnelse Matematik A, Lek. 7 Opgave regning A.7 - A.8 7
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Partielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Lektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2](/thumbs/82/86922880.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Ligninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 3 timer (180 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner
Den svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Anvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Differential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Contents. Introduktion 2
Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/49/20647678.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Arealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax