2. Funktioner af to variable

Transkript

1 . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum i (0;0) med en radius = 5 Opgave 3 I visse tilfælde er niveaukurverne faktisk ikke rigtige kurver.

2 a) Opskriv ligninger for niveaukurverne N(3), N(5) og N(6) for funktionen: f (, y) = 5 y N(3) er: N(3) = z = 3 3 = 5 y + y = Dette giver en cirkel med centrum i (0;0) med radius = N(5) er: N(5) = z = 5 5 = 5 y + y = 0 Dette giver en cirkel med centrum i (0;0) med en radius på 0 og dette er desuden lokalt toppunkt N(6) er: N(6) = z = 6 6 = 5 y + y = 1 Denne funktion kan dog ikke lade sig gøre, da radius skulle blive lig 1 som ikke er et reelt tal. b) Hvilke punktmængder beskriver de tre niveaukurver? Tegn dem N(3) + y = y = + ( ) y f()=sqrt(-^) f()=-sqrt(-^)

3 N(5) + y = 0 y = ( ) y = y Serie N(6) + y = 1 L = Ø Denne funktion kan dog ikke lade sig gøre, da radius for en cirkel ikke kan være negativ! De 3 niveau kurver vil lægge som følgende, og det fremgår derfor også at N(6), som er den øverste) ikke beskriver nogen punktmængde for funktionen. Grafisk kan dette ses herunder:

4 c) Tegn, om muligt, med dit IT-værktøj grafen for f sammen med passende vandrette planer som på figur 3 og 4 De 3 niveau kurver vil lægge som følgende, og det fremgår derfor også at N(6), som er den øverste) ikke beskriver nogen punktmængde for funktionen. Grafisk kan dette ses herunder: d) Giv herefter en helt generel beskrivelse a N(z) for alle zϵr N( z) = z z = 5 y y = 5 z 3. Lineær programmering Opgave 4 Bevis, at for en lineær funktion f (, y) = a + b y + c er niveaukurverne parallelle rette linjer med a normal vektor b

5 f (, y) = 0 0 = a + by + c by = a c a y = c b Vi ved nu at retningsvektoren for linjen er: b r = a Og for normalvektoren ved vi at den er det samme som tværvektoren: n = rɵ Og for tværvektoren ved vi: y r = rɵ = y a n = b Vi ved desuden at tværvektoren og normalvektoren ganget skal give -1 og på denne måde kan man eftervise at det passer: a b = 1 b a Så det passer! Q.E.D. Opgave 5 π π < n PQ ;

6 π n π ni PQ 0 Vi ved at: ai b = a b cos( v) Og da længderne er positive kan disse divideres over uden at skulle tænke over det i uligheden. Det medfører: a i b a b = cos( v) a i b a b 0 cos( v) 0 0 PQ = y y0 a n = b a b = a b + a b 1 1 ni PQ = a + b y y = a a + by by ( ) ( ) Ud fra det tidligere udtryk ved vi:

7 ni PQ 0 a a + by by a a + by by + a + by a + by a + by a + by P ligger på linien a + by = c P( ; y ) a + by = c a + by c a + by = c Opgave 6 Tegn selv de tre halvplaner hørende til kravene til fiber, A- og C vitamin, og kontroller herved, at polygonområdet på figur 10 er korrekt y = 4 niveauplan 30 n = y = y = + 5 A-vitamin ,5y 0, 5 0,5y = ,5 y = C-vitamin y y = y = + 5 0

8 0.5 y f()=-(3/)+1/5 f()=-70+1 f()=(-1/5)+1/ Opgave 7 a) Opskriv kriteriefunktionen for den nye salatsammensætning Appelsin (y) Gulerødder () Fibre 3 g/kg 30 g/kg A-vitamin 0,6 mg/kg 35 mg/kg B-vitamin 54 mg/kg 60 mg/kg pris 6 kr/kg 4 kr/kg Hvis: kg gulerødder y kg appelsiner Må det gælde at: pris z = 4 + 6y b) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger og indtegn polygenområdet Fibre 4g y 30 + y = 3 (15 ) y = 3 30 n = 3

9 A vita 0, , 6y y = 0,833 58, 33 C vita y 15 (4 1) y = 54 Disse ser grafisk således ud: y f()=(-(15-))/3 f()= f()=(-15(4-1))/ c) Hvilke sammensætninger af appelsiner og gulerod skal fastfoodkæden vælge for at servere den billigst mulige salat, som opfylder Fødevarestyrrelsens anbefalinger Funktionerne for fibre og for c-vitamin sættes lig hinanden for at finde det optimale punkt (15 ) 15 (4 1) = 3 54 = 0,1 X indsættes i en af funktionerne: (15(0,1) ) y = 3 y = 0, 0146 Dette sættes ind i vores udtryk for prisen, og man får herved den bedste pris:

10 z = 4 + 6y z = 4 0, , 0146 = 0,576kr = 57, 6øre Opgave 8 Bestem maksimums og minimum for funktionen f (, y) = 3 + yinden for polygonområdet givet ved: 0 y 0 I : + y 1 y 1+ II : 3 + y 6 y 6 3 III : + y 4 y 4 + f (, y) = 3 + y 6 5 y f()=+1 Skravering 1 Skravering f()=-3+6 f()= Maksimum er punktet hvor II og III skærer, derfor sættes de funktioner lig hinanden for at finde skæringspunktet: 6 3 = 4 + = 5

11 X værdien indsættes i en af de funktioner så man også får y koordinaten: y = y = 4 5 Minimumspunktet er der hvor linje 1 skærer y-aksen. I : y = + 1 = 0 y = 1 Værdierne for maks. og min indsættes i funktionen, og man får de maksimum og minimum for funktionen: z ma 4 54 = 3 + = = 10, z min = = Opgave 9 a) Opstil først de givne oplysninger i et skema som i eksempel 7. Dette giver et meget bedre overblik PlænePryd () GardenGreen (y) På lager Rajgræs 600g / 0,6kg 400g /0,4kg 40kg Engrapgræs 00g /0,kg 400g / 0,4kg 160kg Rødsvingel 00g /0,kg 00g / 0,kg 90kg Pris 0kr 30kr b) Opskriv kriteriefunktionen for fortjenesten Da funktionen giver 0kr per solgte og 30 per solgte y må funktionen være: f (, y) = y c) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsning og indtegn polygonområdet

12 I : 0, 6 + 0, 4y 40 0, y = + = , 4 0,4 II : 0, + 0, 4y 160 0, y = + = , 4 0, 4 III : 0, + 0, y y = + 0, = Desuden finder man niveaulinjer, for at se hvordan de ligger i forhold til bevægelsen: N(6000) = z = = y y = + = N(1000) = z = = y y = + = Grafisk ser dette således ud, hvor: I: Grøn II: Rød III: Blå niveaukurve: lyseblå y f()=-(3/)+600 Skravering f()=-(1/)+400 Skravering f()=-+450 Skravering f()=-(/3)+600 f()=-(/3)

13 d) Hvor mange pakker PlænePryd og GardenGreen skal der produceres for at fortjenesten bliver størst mulig? Ud fra det grafiske kan vi se at det på være punktet i mellem II og III, derfor findes de funktioners skæringspunkt, dette gøres ved at sætte funktionerne lig hinanden, og herefter indsætte den funde -værdi i et af de oprindelige udtryk: = = 50 = 100 y = y = 350 For at finde den maksimale værdi for kriteriefunktionen, indsættes koordinaterne: f (100,350) = = 1500 Derfor bliver fortjenesten 1500kr. 4. Følsomhedsanalyse Opgave 10 Prisen på gulerødder kan naturligvis også falde. Vis, at hvis prisen kommer under 0,70 kr./kg, flytter den optimale salatsammensætning til et andet punkt R. Bestem dette punkt. Vi ved at begrænsningerne er: I : y y + 5 II : , 5y 0,5 y III : y 0, 5 y For prisen har vi en niveaukurve der hedder:

14 f (, y) = a + by z = f (, y) z = a + by a z y = + b b I dette tilfælde undersøger vi prisen for, altså a. derfor ved vi også at b=3,5. Dette indsættes derfor: a z y = + 3,5 3,5 For at se hvad der er optimalt, må man derfor undersøge grænseværdier, i dette tilfælde skal vi undersøge hvis a<0,7. Hvis vi indsætter tallet fås: 0,7 z y = + 3, 5 3,5 Hældningen for den optimale linje, bliver derved: -0,, som vi kan se er dette sammenfaldende med linje III da -1/5 = -0,, derfor må det gælde at når a<0,7 er det begrænsningen for linje III som er gældende, og derfor punktet hvor denne skærer, altså det optimale punkt! Dette kan også ses grafisk her: Hvor den røde, blå og grønne afgrænser, og den lyseblå er niveaukurven 0.3 y f()=-(1/5)+1/0 f()=-70+1 f()=-(3/)+1/5 niveaukurve R

15 Derfor sætter vi for den grænse y=0 og finder : y = = = 4 1 R = ( ; y) = ;0 4