Løsningsforslag 7. januar 2011

Transkript

1 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen er kun defineret for positive værdier: x 2 > 0 x > 2 Dmf =]2, [ b) Beregning af differentalkvotienten f (x) f(x) = ln(x 2) + x 2 f(x) = ln(u) + x 2 u = x 2 = u = 1 Vi bruger følgende regel for differentiation: y = ln(u) = y = u f (x) = 1 x x 1 u = 1 x 2

2 Opgave 2 (5%) Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne: f(x) = 3x 2 2x + 1 og g(x) = x 4 a) Bestem en forskrift for (f g)(x) = f(g(x)). b) Differentier (f g)(x) = f(g(x)) a) For at bestemme den sammensætte funktion (f g) med bevarede definitionsmængder,skal vi først undersøge om betingelsen om Dmf = Dmg. Dmf = Dmg = R Dvs. at vi kan både lave (g f) og (f g) uden at miste definitionsmængdernes grænser. Men lad os også undersøge om V mg Dmf fordi vi skal konstruere (f g). Da betingelsen er opfyldt kan vi lave (g f) på følgende måde: (f g) = 3(x 4) 2 2(x 4) + 1 (f g) = 3x 2 26x + 57 og Dm(f g) = R b) Vi differentierer den sammensat funktion: (f g) = 3x 2 26x + 57 (f g) = 6x 26 2

3 Opgave 3 (5%) Løs ligningen ln(2x 1) ln(x) = 0 Vi starter med at finde ligningens grundmægde: 2x 1 > 0 x > 1 2 G =] 1 2, [ ln(2x 1) = ln(x) e ln(2x 1) = e ln(x) 2x 1 = x x = 1, L = {1} Opgave 4 (5 %) Følgende punkter er givet A( 1, 1) og B(1, 3) a) Bestem en ligning for den rette linje, som går gennem punkterne A og B. b) Beregn koordinaterne til linjens skæringspunkt med x-aksen. a) Vi starter med at finde hældningen af linjen da to punkter er kendt. α = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = = 4 2 = 2 3

4 Vi kan nu bruge et af punkterne sammen med hældningen for at finde linjes ligning. y y 1 = α(x x 1 ) y + 1 = 2(x + 1) y = 2x + 1 b) Koordinaterne til linjes skæring med x-aksen findes ved at sætte y = 0 Dvs. koordinaterne bliver 0 = 2x + 1 2x = 1 x = 1 2 (x, y) = ( 1 2, 0) Opgave 5 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = x 2 + x 2 Bestem koordinaterne til funktionens skæringspunkter med koordinatakserne. Skæringspunkterne til koordinatakslerne findes ved at indsætte y = 0 og x = 0 Vi finder førs skæring med x-aksen ved at sætte y = 0 i funktionens forskrift. f(x) = x 2 + x 2 x 2 + x 2 = 0 Det er jo en andengradsligningen som skal løses ved at beregne diskriminanten. D = B 2 4AC 4

5 D = 1 4(1)( 2) = 9 Da D > 0 er der to skæringspunkter med x-aksen. x = B ± D 2 x 1 = = 1 og x 2 = = 2 Skæring med x-aksen som koordinater bliver: (x 1, 0) = (1, 0) og (x 2, 0) = ( 2, 0) Skæring med y-aksen kan ses direkte af forskriften nemlig y = 2 når x = 0 (0, 2) Opgave 6 (25%) Om trekant ABC oplyses, at A = 62, b = 3, 2, c = 5, 1. a) Bestem siden a samt vinklerne B og C b) Bestem arealet af trekant ABC Om en anden trekant DEF oplyses, at D = 39,E = 82 og f = 4, 2. c) Bestem siderne d og e. 5

6 a) Vi skitserer trekanten a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a) a 2 = 3, , (3.2) (5, 1) cos(762) a 2 = 20, 9264 a = 4, 6 cosb = a2 + c 2 b 2 2 a c = 4, , , 57 5, 1 = 0, 7863 B = cos 1 (0, 7863) = 38, 15 C = , 15 = 79, 85 b) Arealet af trekanten findes 6

7 T = 1 2 b c sina = 1 2 3, 2 5, 1 sin62 = 7, 205 c) Trekant DEF skitseres først F = = 59 Siderne d og e beregnes ved hjælp af sinusrelation. d sind = e sine = f sinf d = f sind sinf f sinf e = f sine sinf 4, 2 sin39 = = 3, 08 sin59 4, 2 sin82 = = 4, 85 sin59 Opgave 7 (25%) Lad funktionen f være givet ved ved f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6. a) Bestem definitionsmægden for f og bestem f (x). b) Bestem monotoniforholdene for f. c) Bestem koordinaterne til f s lokale ekstremumspunkter. d) Bestem koordinaterne til eventuelle skæringspunkter mellem grafen for f og den rette linje givet ved forskriften: 6x = 0. e) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (0, f(0)). 7

8 a) Definitionsmængden Dmf og f (x) bestemmes Dmf = R f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6 f (x) = 6x 2 + 6x 12 b) Monotoniforholdet undersøges Vi sætter først f (x) = 0 6x 2 + 6x 12 = 0 D = B 2 4AC = 324 Fortegnslinjen tegnes x 1 = 1 og x 2 = 2 f(x)er voksende i intervallet ], 2[ ]1, [ f(x) er aftagende i intervallet ] 2, 1[ 8

9 Dette kan kontrolleres ved at skitsere f(x) c) Koordinaterne til ekstremumspunkter kan ses af figuren men kan også bestemmes på følgende måde. f( 2) = 2( 2) 3 + 3( 2) 2 12( 2) + 6 = 26 Koordinaterne bliver: f(1) = 2(1) 3 + 3(1) = 1 lok. max = ( 2, 26) og lok. min = (1, 1) d) Koordinaterne til evt. skøringspunkter mellem grafen for f og den rette linje 6x + 2y 12 = 0 Vi sætter funktionen lig med ligningen og løser for x. Men vi skal først isolere y i liniens ligning: 6x + 2y 12 = 0 y = 3x + 6 2x 3 + 3x 2 12x + 6 = 3x + 6 9

10 2x 3 + 3x 2 9x = 0 x(2x 2 + 3x 9) = 0 Nulreglen bruges. x = 0 2x 2 + 3x 9 = 0 D = B 2 4 A C = ( 9) = 81 x 1 = 3 x 2 = 3 2 Skæringspunkterne bliver: x = 0 f(0) = 2(0) + 3(0) 12(0) + 6 = 6 x = 3 f( 3) = 15 x = 3 2 f(3 2 ) = 3 2 (0, 6),( 3, 15)og ( 3 2, 3 2 ) e) En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (0, f(0)). (0, f(0)) = (0, 6) Hældningen af tangenten findes ved at differentiere f(x) f (x) = 6x 2 + 6x 12 Hældningen i punkt x = 0 findes f (0) = 12 Nu kan vi lave linjes ligning da vi har et punkt og en hældning. y y 1 = α(x x 1 ) y 6 = 12(x 0) Tangentens ligning bliver y = 12x

11 Opgave 8 (10%) Tabellen viser antallet af fisk i en lille jysk å i sommerperioden i hvert af årene 1991 til År x f(x) Der oplyses, at sammenhængen mellem antallet af fisk og antallet af år der er gået siden første måling, kan beskrives ved en funktion af typen f(x) = ax + b. a) Bestem tallene a og b. b) Bestem hvor mange fisk der kan antages at være i den lille jyse å i år a) Bestemmelse af a og b. Vi bruger GeoGebra s regneark til at at indsætte tallene og vælge Fit- Line[ ] kommandoen. Vi får følgende forskrift. Man kan aflæse a = 58.9 b = 19.4 y = 58.9x For at se hvor godt denne model passer til tallene undesøger vi korrelationskoefficient R ved hjælp af kommandoen CorrelationCoefficient[ ]. Denne giver som er meget tæt på 1. Det betyder at vælget af modellen er ok. GeoGebra skitsering fremgår i figuren nedenunder. 11

12 b) Antallet af fisk i år 2010 bestemmes. År 2010 svarer til x = 19 i tabellen. denne skal indsættes i forskriften. f(19) = = Opgave 9a(15%) To funktioner f og g er givet ved f(x) = x og g(x) = x + 3. a) Skitser graferne for de to funktioner i sammen koordinatsystem og skraver det område M som afgærenses af de to grafer. b) Bestem arealet af området M. a) Vi skitserer de to funktioner vha. GeoGebra 12

13 b) Arealet M beregnes Først beregnes skæringspunkterne af f(x) og g(x) ved at sætte disse to lige med hinanden: x = x + 3 x 2 x 2 = 0 Vi løser denne andengradsligning vha. lommeregner: som giver: solve(x 2 x 2 = 0, x) x = 1 x = 2 Arealet M beregnes ved at integrere: M = 2 (g(x) f(x)) dx 1 M = 2 1 (x + 3 x2 1) dx M = [ 1 2 x2 + 3x 1 3 x3 x] 2 1 = 4, 5 13

14 Opgave 9b (15%) Funktionen f er givet ved f(x) = x og Dmf = [0, [ a) Angiv en forskrift for den inverse/omvendte funktion f 1 b) Undersøg om linjen y = 2x + 3er en tangent til grafen for f. a) Værdimængden af f(x) findes ved at skitsere funktionen a) Vi bestemmer den inverse funktion ved at bytte om på x og y. y = x x = y Vi tager kun den positive løsning. y = ± x 4 y = x 4 14

15 Som ses gælder følgende for inverse funktioner: Dmf 1 = V mf =]4, [ V mf 1 = Dmf =]0, [ Vi skitserer både den originale og den inverse funktion: b) Om linjen y = 2x + 3 er en tangent til f(x) Vi finder først røringspunktets koordinater ved at sætte linjen lig med funktionen: x = 2x + 3 x 2 2x + 1 = 0 solve(x 2 2x + 1 = 0, x) giver x = 1 Hvis funktionens hældning i punkt x = 1 er lig 2 så er linjen en tangent til funktionen, da tangentlinjens hældning er 2. y = 2x y = 2 1 = 2 15

16 Dette kan også ses af figuren nedenunder. 16