Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Transkript

1 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og produktregel Potensreglen Entydig løsning entydig løsning Clculus Uge Eksempel 9.1 Arel 2 1 b1 Arel 1 + b b b 1 b b 1 1 b 2 2 b b 1 b 2 Clculus Uge b 2 Nemme determinnter Udregn determinnter Eksempel 9.3 Determinnten f en kvdrtisk mtrix 1-mtrix 2-mtrix mtrix Eksempel Clculus Uge Clculus Uge Spejling og drejning Determinnt ved rækkeudvikling Eksempel 9.5 Determinnten f en spejling cos 2θ sin 2θ MtrS θ sin 2θ cos 2θ cos 2 2θ sin 2 2θ 1 Determinnten f en drejning cos θ sin θ MtrD θ sin θ cos θ cos 2 θ + sin 2 θ 1 Definition 9.6 Ld A ij være den m 1 n 1-mtrix, der fremkommer ved t slette i-te række og j-te søjle i en m n-mtrix A. Determinnten f en kvdrtisk n n-mtrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række Kn skrives A 1 1+j 1j A 1j j1 A A A + Clculus Uge Clculus Uge Determinnt Determinnt mnge veje Eksempel Sætning Determinnten kn beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række A 1 i+j ij A ij j1 2. Determinnten kn beregnes ved søjleudvikling efter j-te søjle A 1 i+j ij A ij i1 Clculus Uge Clculus Uge

2 Søjleudvikling Udregn determinnt f orden 4 Eksempel 9.10 Beregn determinnt ved udvikling efter nden søjle Eksempel Clculus Uge Clculus Uge Trekntsmtrix Rækkeopertionsmtricer Eksempel 9. 0-række/søjle øvre trekntsmtrix 11 1n n nn. 0 0 nn Clculus Uge Bemærkning 9.13 Ombytning f to rækker: Multipliktion f række med tl 0: s s Addition f et multiplum f en række til en nden: 1 s Clculus Uge Rækkeregneregler Søjleregneregler Sætning 9.14 Beregning f determinnt Ombytning f to rækker: Determinnten skifter fortegn Multipliktion f række med tl: Determinnten multipliceres med smme tl Addition f et multiplum f en række til en nden: Determinnten er uændret Sætning fortst Beregning f determinnt Ombytning f to søjler: Determinnten skifter fortegn Multipliktion f søjle med tl: Determinnten multipliceres med smme tl Addition f et multiplum f en søjle til en nden: Determinnten er uændret Clculus Uge Clculus Uge Sklering f række eller søjle Trnsponering og sklering Eksempel Bemærkning 9.1 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den trnsponerede mtrix, så determinnten er den smme A T A Bemærkning 9.18 En n n-mtrix A skleres med λ ved t sklere hver række. Så nvendes rækkesklerings reglen n-gnge fås λa λ n A Clculus Uge Clculus Uge

3 Determinnten er nul determinnt nul Bemærkning 9.20 Observtioner om determinnt nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinnten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinnten er 0 Gælder der ltid, t determinnten 1 x 1 3 y z 0 Eksempel Første og tredje søjle er ens. Clculus Uge Clculus Uge Udregn determinnter Determinnt f mtrixprodukt Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekntsmtrix Sætning Produktreglen For to kvdrtiske n n-mtricer A, B gælder AB A B Bevis For B fst og A en rækkeopertionsmtrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kn A skrives som produkt f rækkeopertions-mtricer smt enten identitetsmtricen eller en mtrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger herf. Clculus Uge Clculus Uge Brug produktreglen Determinnt f potens Eksempel 9.24 A AA AA A A Eksempel 9.25 Potensers determinnt k 3 4 k 10 k 3 4 Clculus Uge Clculus Uge Determinnt f invers mtrix Brug inversreglen Sætning Inversreglen En kvdrtisk mtrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 1 A hvis A 0. Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kn A skrives som produkt f rækkeopertionsmtricer, som hver er invertible. A er d invertibel. Eksempel 9.2 Mtricen hr determinnt A A A er invertibel og den inverse hr determinnt A 1 A 1 1 Clculus Uge Clculus Uge

4 inversregel produktreglen Determinnten f en invertibel mtrix er ltid 0. Sætning giver svret direkte. Givet en kvdrtisk mtrix A. Hvis deta 2 0, så er deta 0. Af produktreglen følger deta 2 deta 2 0 Clculus Uge Clculus Uge Determinnt f negtive potenser Determinnt f lle potenser Eksempel 9.28 Negtive potensers determinnt k k Eksempel 9.29 Potensreglen for determinnt Hvis A 0 så for lle hele tl k. Hvis A 0 så for lle hele tl k > 0. A k A k A k 0 Clculus Uge Clculus Uge Cofktormtricen Cofktormtricen Definition 9.30 Ld A være en n n-mtrix og A ij fremkomme ved t slette i-te række og j-te søjle. Cofktormtricen CofA er n n-mtricen: n 1: identitetsmtricen CofA I 1. n > 1: med ij-te indgng 1 i+j A ji Eksempel mtricen hr 2 2-mtricen hr A 10 CofA 1 A CofA 3 1 Clculus Uge Clculus Uge Cofktorformlen Cofktormtricen Sætning 9.32 Ld A være en n n-mtrix. Så er produktet A CofA CofAA A I n Hvis A 0, så er A invertibel og der gælder A 1 1 A CofA Eksempel 9.33 For mtricen A d CofA c A 1 1 CofA. Altså d bc c b er cofktormtricen c d b. Hvis d bc 0 så er A invertibel med 1 b d 1 d d bc c b Clculus Uge Clculus Uge

5 Ligningssystem og determinnt Bestem entydig løsning Sætning Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvdrtisk koefficientmtrix A hr en egentlig løsning 0 uendelig mnge, hvis og kun hvis A Det inhomogen ligningssystem Ax b hr en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Eksempel 9.35 For hvilke tl t hr det homogene ligningssystem med koefficientmtrix A 1 t t en entydig løsning. Find løsningsrummet for lle t. Clculus Uge Clculus Uge Bestem entydig løsning Bestem lle løsninger Eksempel løsning Beregn determinnten A 1 t 1 0 t 1 0 t t 0 0 t 1 For t 1 hr det homogene ligningssystem Ax 0 Eksempel løsning For t 1 er den reducerede form f ligningssystemet x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 0 Dette giver løsninger 1 1 x x entydig løsning x 0. Clculus Uge Clculus Uge entydig løsning Crmers regel Gælder der ltid, t lle ligningssystemer med koefficientmtrix b hr en entydig løsning b Sætning 9.36 Ld A være en kvdrtisk n n-mtrix med determinnt A 0. Det inhomogen ligningssystem Ax b hr løsningen x A 1 b, hvor den j-te koordint er givet ved Crmers regel x j 1 j 1 b j+1 n A Tælleren er determinnten f den mtrix der fremkommer ved t ersttte j-te søjle med søjlevektoren b. Clculus Uge Clculus Uge Crmers regel Eksempel 11 Ligningssystemet med , 11 x 1 + x 2 b 1 21 x x 2 b 2 hr løsning b 1 11 b 1 b b 2 x 1 11, x Clculus Uge