Oversigt [LA] 3, 4, 5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt [LA] 3, 4, 5"

Transkript

1 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Calculus Uge

2 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition f : R n R m er en lineær afbildning, hvis linearkombinationer bevares f(λ 1 u λ k u k ) = λ 1 f(u 1 ) + + λ k f(u k ) Calculus Uge

3 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition f : R n R m er en lineær afbildning, hvis linearkombinationer bevares f(λ 1 u λ k u k ) = λ 1 f(u 1 ) + + λ k f(u k ) Bemærk Det er nok, at sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Calculus Uge

4 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. f(x,y) = (y,x + y) Calculus Uge

5 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Calculus Uge

6 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) Calculus Uge

7 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) Calculus Uge

8 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge

9 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Tilsvarende for skalarmultiplikation. = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge

10 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Calculus Uge

11 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Eksempel ( u 1 u 2 ) ( ) ( u 1 u 2 ) = ( ) u 1 + 2u 2 3u 1 + 4u 2 Calculus Uge

12 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 4 Funktionen f : R n R m f(u) = Au defineret ved en m n-matrix A er lineœr f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Calculus Uge

13 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 4 Funktionen f : R n R m f(u) = Au defineret ved en m n-matrix A er lineœr f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Bevis A(u + v) = Au + Av, A(αu) = αau Fra de simple regneregler for matrix multiplikation. Calculus Uge

14 Lineær afbildning til matrix [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 5 Enhver lineœr afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Calculus Uge

15 Lineær afbildning til matrix [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 5 Enhver lineœr afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Bemærk f(e j ) = a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n. Calculus Uge

16 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Calculus Uge

17 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er ( ) 1 f(e 1 ) = f( ) = 0 ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 ( ) 1 1 Calculus Uge

18 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) 1 f(e 1 ) = f( ) = 0 ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Calculus Uge

19 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) 1 f(e 1 ) = f( ) = 0 ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Prøve ( ) ( ) 0 1 x 1 1 y = ( ) y x + y Calculus Uge

20 Multiplicere = sammensætte [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 6 Lad f,g vœre lineœre afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineœr og Matr(g f) = Matr(g)Matr(f) Calculus Uge

21 Multiplicere = sammensætte [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 6 Lad f,g vœre lineœre afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineœr og Matr(g f) = Matr(g)Matr(f) Bevis For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov g f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u Calculus Uge

22 Test matrix-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Calculus Uge

23 Test matrix-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge

24 Test matrix-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge

25 Invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA Calculus Uge

26 Invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Calculus Uge

27 Invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Bevis Entydighed: For AC = I = CA er B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Calculus Uge

28 Invers diagonalmatrix [LA] 4 Inverse matricer Eksempel En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Calculus Uge

29 Invers diagonalmatrix [LA] 4 Inverse matricer Eksempel En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Den inverse er λ Λ 1 = λ 1 n Calculus Uge

30 Inverter produkt [LA] 4 Inverse matricer Sætning Lad A,B vœre invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gœlder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rœkkefølgen." Calculus Uge

31 Inverter produkt [LA] 4 Inverse matricer Sætning Lad A,B vœre invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gœlder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rœkkefølgen." Bevis (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n Calculus Uge

32 Test invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Afkryds: ja nej Calculus Uge

33 Test invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er (AB) 1 = B 1 A 1 Afkryds: ja nej Calculus Uge

34 Test invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er Afkryds: ja nej (AB) 1 = B 1 A 1 Calculus Uge

35 Matrix potens [LA] 2 Matricer Definition For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Calculus Uge

36 Matrix potens [LA] 2 Matricer Definition For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 Calculus Uge

37 Matrix potens [LA] 2 Matricer Definition For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 For enhedsmatricen er I k n = I n Calculus Uge

38 Pas på matrix potens [LA] 2 Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m (A l ) m = A lm Calculus Uge

39 Pas på matrix potens [LA] 2 Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er (A l ) m = A lm A m B m (AB) m Calculus Uge

40 Pas på matrix potens [LA] 2 Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er For eksempel (A l ) m = A lm A m B m (AB) m A 2 B 2 = (AA)(BB) (AB)(AB) = (AB) 2 Calculus Uge

41 Potens af diagonalmatrix [LA] 2 Matricer Eksempel For en diagonal n n-matrix Λ = λ λ n og k = 0, 1, 2,... er potensen λ k Λ k = λ k n Calculus Uge

42 Matrix potens [LA] 2 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Calculus Uge

43 Matrix potens [LA] 2 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Calculus Uge

44 Matrix potens [LA] 2 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Heraf ( ) k ( ) 1 a 1 ka = Calculus Uge

45 Ligninger på matrix form [LA] 5 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m. Calculus Uge

46 Ligninger på matrix form [LA] 5 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge

47 Ligninger på matrix form Definition - fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer Calculus Uge

48 Ligninger på matrix form [LA] 5 Lineære ligningssystemer Definition - fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b a a 1n a a 2n. x 1 x 2. = b 1 b 2. a m1... a mn x n b m Calculus Uge

49 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer Calculus Uge

50 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix Calculus Uge

51 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system Calculus Uge

52 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge

53 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = 16 Calculus Uge

54 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = 28 Calculus Uge

55 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = Dette giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (2, 16, 0) Calculus Uge

56 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x Calculus Uge

57 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x hvor x 3 kan vælges frit. Calculus Uge

58 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Calculus Uge

59 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 Calculus Uge

60 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 2. Det giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (1, 0, 0) Calculus Uge

61 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x Calculus Uge

62 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x hvor både x 2 og x 3 kan vælges frit. Calculus Uge

63 Løsningsrummet [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 7 Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineœrt underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Calculus Uge

64 Løsningsrummet [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 7 Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineœrt underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Bevis Simple regneregler for matrix multiplikation giver Ax = 0, Ay = 0 A(x + y) = 0 Calculus Uge

65 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge

66 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1. x 3 = x 4 og x 1 = x 2. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge

67 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1. x 3 = x 4 og x 1 = x x 4 og x 2 kan vælges frit. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge

68 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Calculus Uge

69 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Løsningsrummet er span af vektorerne 1 1 0, Calculus Uge

70 Løsninger og nulrum [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 8 Givet en partikulœr løsning u til det lineœre ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmœngden {x R n Ax = b} = u + N A Calculus Uge

71 Løsninger og nulrum [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 8 Givet en partikulœr løsning u til det lineœre ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmœngden {x R n Ax = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 A(u + x) = b Calculus Uge

72 Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Calculus Uge

73 Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Løsning Gør prøve A 0 = 0 b Calculus Uge

74 Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 b (a) (b) (c) Calculus Uge

75 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 Calculus Uge

76 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 Calculus Uge

77 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 2. Giver en partikulær løsning (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (1, 0, 2, 0) Calculus Uge

78 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Calculus Uge

79 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Løsningsmængden er (1, 0, 2, 0) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne ( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) Calculus Uge

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineær Algebra. Differentialligninger

Lineær Algebra. Differentialligninger Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode (håndregning),

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August ii 3 oplag, juni 5 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 = Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere