DesignMat Uge 11. Vektorrum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "DesignMat Uge 11. Vektorrum"

Transkript

1 DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010

2 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat)

3 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V (fortsat)

4 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: (fortsat) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a

5 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: (fortsat) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a V er da et over L. Hvis L = R er V et reelt. Hvis L = C er V et komplekst.

6 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 (fortsat)

7 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat)

8 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a.

9 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat til a altså, at ( a) = a.

10 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat til a altså, at ( a) = a. Sætning. a + x = b har den entydigt bestemte løsning x = b + ( a), sa = 0 s = 0 a = 0, ( 1) a = a.

11 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. (fortsat)

12 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. (fortsat)

13 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. (fortsat)

14 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). (fortsat)

15 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). Mængden af reelle kontinuerte funktioner defineret på intervallet I : C (I ). Operationer som for polynomier. (fortsat)

16 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. (fortsat)

17 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U (fortsat)

18 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. (fortsat)

19 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen (fortsat) hvor c 1, c 2,..., c p L. c 1 a 1 + c 2 a c p a p

20 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen (fortsat) hvor c 1, c 2,..., c p L. c 1 a 1 + c 2 a c p a p Ved span (a 1, a 2,..., a p ) forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a 1, a 2,..., a p.

21 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. (fortsat)

22 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 (fortsat)

23 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. (fortsat)

24 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. Hvis vektorerne a 1, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. (fortsat)

25 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. Hvis vektorerne a 1, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. En for et V er et lineært uafhængigt system a 1, a 2,..., a n af vektorer, som udspænder V, altså V = span (a 1, a 2,..., a n ). (fortsat)

26 Vektorerne e 1, e 2, e 3 i met R 3 givet ved e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = er lineært uafhængige og udgør en for R 3 : Den kanoniske for R 3. (I bogen den sædvanlige i R 3 ). (fortsat)

27 Vektorerne e 1, e 2, e 3 i met R 3 givet ved e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = er lineært uafhængige og udgør en for R 3 : Den kanoniske for R 3. (I bogen den sædvanlige i R 3 ). Polynomierne 1, x, x 2, x 3, x 4 i met P 4 (R) af polynomier af grad højst 4 er lineært uafhængige og udgør en for P 4 (R): monomiebasen. (fortsat)

28 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = (fortsat)

29 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. (fortsat)

30 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. (fortsat)

31 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. Vektorerne v 1, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. (fortsat)

32 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. Vektorerne v 1, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Resultatet udregnes nu ved Gausselimination. Se Maple for udregningerne. Vektorerne er lineært afhængige. (fortsat)

33 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = (fortsat)

34 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. (fortsat)

35 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. (fortsat)

36 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. (fortsat)

37 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R 4 findes tal x 1, x 2, x 3 så x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. (fortsat)

38 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R 4 findes tal x 1, x 2, x 3 så x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. Dette er altså et spørgsmål om Ax = b kan løses for ethvert b R 4. Svar: Nej (se Maple). (fortsat)

39 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? (fortsat)

40 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. (fortsat)

41 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 ) + x ( c 1 + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c 1 c 2 c 3 ) = 0. (fortsat)

42 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 ) + x ( c 1 + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c 1 c 2 c 3 ) = 0. Dette er opfyldt for alle x R hvis og kun hvis ligningssystemet (fortsat) 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 = 0 c 1 + c 3 = 0 c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 c 3 = 0 kun har nulløsningen.

43 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? (fortsat)

44 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. (fortsat)

45 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). (fortsat)

46 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? (fortsat)

47 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. (fortsat)

48 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R 4? (fortsat)

49 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R 4? Svar: Ja, med T = [A b] har vi ρ (T ) = 4 = ρ (A). (fortsat)

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Elektriske netværk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Indledning. Formålet med projektet er at anvende lineær algebra til at etablere det matematiske grundlag for elektriske netværk betstående af

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere