Sudoku. Jørgen Brandt. Sudoku 1
|
|
|
- Stine Svendsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Jørgen Brandt 1
2 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends
3 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Hemmeligheden bag
4 Men hvad er? Hemmeligheden bag Antal Minimal Odds and Ends Det er sjovt!
5 Men hvad er? Spillet Latinske Antal Men hvad er? Minimal Odds and Ends 3
6 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. 4
7 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. 4
8 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. 4
9 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). 4
10 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 4
11 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Entydig løsning. 4
12 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Entydig løsning. Ikke gætte! 4
13 Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: Antal Minimal Odds and Ends 5
14 Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: En n n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer fra M, hvor M = n. Antal Minimal Odds and Ends 5
15 Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Antal Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: En n n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer fra M, hvor M = n. Som regel er M = {1,2,...,n}. Minimal Odds and Ends 5
16 Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends 6
17 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
18 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
19 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
20 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
21 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
22 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
23 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Flere simple udfyldninger
24 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends En single 4 7
25 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal ?.?? 2? 8? ? 2???.? ? 2?. 1? ? 3? ? 2 7??.? Minimal Odds and Ends Muligheder for 4. 7
26 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal ?.?? 2? 8? ? 2???.? ? 2?. 1? ? 3? ? 2 7??. 4 Minimal Odds and Ends Denne er umulig! 7
27 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends ?.? 4 2? 8? ? 2? 4?.? ?. 1? ? 3? ? 2 7??. 4 Konsekvens: Ingen muligheder i midterste boks! 7
28 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Mange varianter. 8
29 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. 8
30 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Minimal Odds and Ends 8
31 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Regioner: gerechte design. Minimal Odds and Ends 8
32 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Regioner: gerechte design. Mere senere. Minimal Odds and Ends 8
33 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Antal Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 9
34 Antal Men hvad er? S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 10
35 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) =
36 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) =
37 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? 10
38 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 10
39 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 10
40 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 S(3) =
41 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 S(3) = S(4) =? 10
42 Antal Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) antal Latinske of størrelse n n = 2*S(2) L(9) S(3). 11
43 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver boks 1 Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12
44 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver boks 1 (permuter) S(2) = 4!... Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12
45 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver 1. række (ombyt 3. og 4. søjle) S(2) = 4! 2... Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12
46 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Lige mange muligheder for hver 1. søjle (ombyt 3. og 4. række) S(2) = 4!
47 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Tvungent felt S(2) = 4!
48 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 2. række mulighed S(2) = 4!
49 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat x 4 y 4 y 2 x giver to muligheder: {x,y} = {1,3} S(2) = 4! 2 2 (2+?) 12
50 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 2. række mulighed S(2) = 4! 2 2 (2+?) 12
51 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat giver kun en mulighed S(2) = 4! 2 2 (2 + 1) =
52 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. L(1,n) = n! 13
53 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e 13
54 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. antal fixpunktfri permutationer i S n L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e 13
55 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. antal fixpunktfri permutationer i S n for r ikke alt for stor L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e L(r,n) n!r e (r 2) 13
56 Asymptotisk resultat Men hvad er? L(n) 1/n2 n e 2,n Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 14
57 Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2,n
58 Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2,n Beviset bygger på en berømt formodning af Van der Waerden (1926, bevist 1981) og en formodning af M. Minc (1967, bevist 1973). 14
59 Permanenter Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A har permanent givet ved per(a) = n σ S n i=1 a i,σ(i) 15
60 Permanenter Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A har permanent givet ved Sammenlign med determinanten per(a) = n det(a) = σ S n i=1 σ S n ( 1) s(σ) a i,σ(i) n i=1 a i,σ(i) 15
61 Van der Waerden s formodning Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A hvor alle 0 a i,j 1, og hvor alle række-summer og alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har per(a) n! n n 16
62 Van der Waerden s formodning Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A hvor alle 0 a i,j 1, og hvor alle række-summer og alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har Lighed gælder kun for per(a) n! n n 1/n 1/n... 1/n 1/n 1/n... 1/n /n 1/n... 1/n. 16
63 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. 17
64 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. 17
65 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 17
66 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk 17
67 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n 17
68 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n per(a) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R. 17
69 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n per(a) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R. L(n) n 1 r=0 (n r) n n! n n = n!2n n nn 17
70 Asymptotisk resultat Men hvad er? Dette giver nedre grænse i Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2 18
71 Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Dette giver nedre grænse i L(n) 1/n2 n e 2 En anden sætning om permanenter giver den øvre grænse: per(a) n i=1 r 1/r i i for 0-1-matrix med rækkesummer r 1,r 2,...,r n. 18
72 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 19
73 Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 20
74 Hall s sætning Men hvad er? Antal Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 20
75 Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis K {1,2,...,n} A i K i K 20
76 Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis K {1,2,...,n} A i K i K Mængden {x 1,x 2,...,x n } kaldes en transversal for A. 20
77 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. 21
78 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! 21
79 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes. 21
80 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes. Hvis delfamilie kun har én transversal, kan den udelukkes andre steder. 21
81 Eksempler, én familie Men hvad er? Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22
82 Eksempler, én familie Men hvad er? Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22
83 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22
84 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. 22
85 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. Skjult par: {i {x,y} A i } = {i 1,i 2 }. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. 22
86 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. Skjult par: {i {x,y} A i } = {i 1,i 2 }. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. etc. 22
87 Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og B 1,B 2,...,B 9 I B-familien skal B 5 eller B 6. R 1,R 2,...,R 9 23
88 Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og B 1,B 2,...,B 9 Derfor kan ikke ligge i R 1,R 3,R 7 eller R 8. R 1,R 2,...,R 9 23
89 Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Flere konsekvenser. 23
90 (Eksemplet fra tidligere) Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og
91 (Eksemplet fra tidligere) Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Muligheder for placering af 4: A 4 = {4,6,7,9},A 5 = {2,9},A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7},A 8 = {4,6},A 9 = {3,6,7,9} 24
92 , 2-delt graf Men hvad er? Antal A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 25
93 , 2-delt graf Men hvad er? Antal A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A
94 , 2-delt graf Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A 4 A 5 A 6 A 7 A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} A 8 8 A 8 8 A 9 9 A 9 9 A 4 A 5 A 6 A
95 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og En matching, men ikke til
96 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Matchingen svarer til
97 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Matchingen svarer til der er Latinsk, men ikke
98 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. 28
99 Transversaler og Matroider Men hvad er? Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 28
100 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: 28
101 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M 28
102 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M 28
103 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M 28
104 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. 28
105 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. Regulære matroider. 28
106 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. Regulære matroider. Grafiske matroider. 28
107 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. 29
108 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? 29
109 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. 29
110 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. Generelt et svært problem: NP-komplet. 29
111 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. Generelt et svært problem: NP-komplet. Er lettere? 29
112 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 30
113 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n 30
114 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A i = {1,2,...,n}\ søjle i. r A 1 A 2 A n 30
115 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). 30
116 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. 30
117 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. {(x,a i ) x A i,i J} 30
118 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) 30
119 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. A(J) (n r) {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) 30
120 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. A(J) (n r) {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) dvs. A(J) J, er opfyldt. Hall s sætning giver SDR. 30
121 Ryser s sætning s Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r n n Ryser s Sætning: r s-rektangel kan fuldendes til n n Latinsk kvadrat hvis og kun hvis x : N(x) r + s n. 31
122 Ryser s sætning s Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r n Ryser s Sætning: r s-rektangel kan fuldendes til n n Latinsk kvadrat hvis og kun hvis x : N(x) r + s n. N(x) er antal gange x forekommer. n 31
123 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og del helt udfyldt 9 32
124 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x : N(x) = 4 32
125 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og N(x) = 4 > = r + s n 32
126 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og N(x) = 4 > = r + s n Det ufuldstændige kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat. 32
127 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og N(x) = 4 > = r + s n Det ufuldstændige kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat. Altid et kvadrat. 32
128 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 33
129 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 33
130 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser s sætning. 33
131 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser s sætning. Det fuldendte kvadrat er nødvendigvis også. 33
132 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Ufuldstændigt kvadrat: Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) 1 = ) 34
133 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Ufuldstændigt kvadrat: Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) 1 = ), men ikke til et kvadrat. 34
134 Evan s formodning Men hvad er? Antal Uden struktur på de udfyldte pladser gælder Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n 1 udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 35
135 Evan s formodning Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Uden struktur på de udfyldte pladser gælder Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n 1 udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n. n 1 er bedst mulig. 35
136 Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 36
137 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? 37
138 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. 37
139 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. 37
140 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? 37
141 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? Algoritmer kan bruge denne information. 37
142 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? Algoritmer kan bruge denne information. Universet er mindre. 37
143 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Situation hvor entydighed kan bruges. Minimal Odds and Ends 38
144 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Normale metoder giver dette Minimal Odds and Ends 38
145 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal hvor x {2,5} og y {2,3,5,6} x y x x Odds and Ends 38
146 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen x y x x Entydighed udelukker mulighederne 2 og 5 fra y! Minimal Odds and Ends 38
147 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen * 8 * * * * 1 * * 6 * * * 7 1 * * * * * * 1 * * * 9 * * * * 4 * * 3 * Hvis dette er en løsning, Minimal Odds and Ends 38
148 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen * 8 * * * * 1 * * 6 * * * 7 1 * * * * * * 1 * * * 9 * * * * 4 * * 3 * er dette en anden løsning! Minimal Odds and Ends 38
149 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet 39
150 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat 39
151 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs 39
152 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs Udtag det fuldendte L 39
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/40/21648714.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Om hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/40/21226631.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Fermat, ABC og alt det jazz...
Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Variabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Arealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Differentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Inverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
DM02 opgaver ugeseddel 2
DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Løsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Lineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Variabelsammenhænge og grafer
Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Lille Georgs julekalender 2010. 1. december
1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
GrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Tilstandsligningen for ideale gasser
ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6
Den svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Kryptografi Anvendt Matematik
Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst
Kommuniker: Symbolskrivning 2 Kom godt i gang med tavler 1
Denne aktivitet viser, hvordan du kan lave en enkelt tavle til skrivning Dette hjælpeark følger efter Kom godt i gang med at skrive og forudsætter, at du er fortrolig med de grundlæggende funktioner i
Statistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G
Matematikvejledning i praksis Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G 1 De tre projekter Projekt 1 Projekt 2 Projekt 3 Tema: Begreber og begrebsdannelse Sprog og ligninger Tema: Argumentation
LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse
LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra
Polynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Matematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler
.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Ligninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Teoretisk og praktisk beregnelighed
Teoretisk og praktisk beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/28 Beregnelighed:
Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD)
Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Hvor finder jeg ServiceDesk?...2 Fanebladet Start Startside...3 Hvordan opretter jeg en ny opgave?...4 Hvordan laver jeg et skærmdump og får lagt det ind i min
Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner
Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne
Statistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Andengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Tal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Analyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme
Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Analyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset
Korncirkler og matematik
Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter
Ligeværdige udtryk. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Ligeværdige udtryk 2
VisiRegn ideer 4 Ligeværdige udtryk Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Ligeværdige udtryk 2 Elevaktiviteter til Ligeværdige udtryk 4.1 Ligeværdige
Module 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Vejledning til Photofiltre nr.172 Side 1 Lave et postkort som foldes sammen til A6 størrelse
Side 1 Til denne vejledning skal vi bruge skabelonen som er inddelt i 4 med hjælpelinjer. Der bruges 2 felter som så foldes sammen til et A6 kort. Der skal så laves noget specielt i Photofiltre hvor vi
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/49/20647678.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Opdateret vejledning - kønsmæssige sammensætning af ledelsen og afrapportering herom
Deloitte Opdateret vejledning - kønsmæssige sammensætning af ledelsen og afrapportering herom Erhvervsstyrelsen har udsendt en opdateret vejledning om måltal og politikker for den kønsmæssige sammensætning
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Afstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Vejledning i at udfylde ½-årserklæring hvis du:
Vejledning i at udfylde ½-årserklæring hvis du: har haft arbejde i perioden har fået reguleret din pension er begyndt at få udbetalt en pension fylder 65 år i den periode du skal udfylde ½-årserklæring
Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Ikke-lineære funktioner
I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist
Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag
[1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg
Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner
Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke
Differential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Tirsdag 18. december David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 00-08 Tirsdag 8. december David Pisinger Approximations-algoritmer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP trekantsulighed)
Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO
Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede
Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Geometrisk tegning - Facitliste
Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger
www. c ome n d o t e l e c om. c o m Guide til Comendo Switchboard
www. c ome n d o t e l e c om. c o m Guide til Comendo Switchboard Interfacet......... 3 Typer af visninger............ 3 Kø visning.................. 3 Bruger visning.................. 3 Egne samtaler..................
ISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG
ISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG - Sådan lægger du din informationssikkerhedshåndbog om til de nye ISO- standarder 1. Opgrader til version 4.6.0 (eller senere)... 2 2. (Kun for brugere af
Spørgeskema på HVAL.DK
Skive, d. 24-05-2006 Journal nr. 7.5.286 Spørgeskema på HVAL.DK Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Viborg amt i forbindelse med Videndeling. Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE 2
Differentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Lille Georgs julekalender 08. 1. december
1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken
1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S)
Send Digitalt. Elementerne i Send Digitalt vinduet 1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) 2. Tjek kan anvendes til at kontrollere, om der kan sendes
Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
At lave dit eget spørgeskema
At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem