Sudoku. Jørgen Brandt. Sudoku 1

Transkript

1 Jørgen Brandt 1

2 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends

3 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Hemmeligheden bag

4 Men hvad er? Hemmeligheden bag Antal Minimal Odds and Ends Det er sjovt!

5 Men hvad er? Spillet Latinske Antal Men hvad er? Minimal Odds and Ends 3

6 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. 4

7 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. 4

8 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. 4

9 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). 4

10 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 4

11 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Entydig løsning. 4

12 Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Entydig løsning. Ikke gætte! 4

13 Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: Antal Minimal Odds and Ends 5

14 Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: En n n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer fra M, hvor M = n. Antal Minimal Odds and Ends 5

15 Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Antal Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: En n n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer fra M, hvor M = n. Som regel er M = {1,2,...,n}. Minimal Odds and Ends 5

16 Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends 6

17 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7

23 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Flere simple udfyldninger

24 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends En single 4 7

25 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal ?.?? 2? 8? ? 2???.? ? 2?. 1? ? 3? ? 2 7??.? Minimal Odds and Ends Muligheder for 4. 7

26 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal ?.?? 2? 8? ? 2???.? ? 2?. 1? ? 3? ? 2 7??. 4 Minimal Odds and Ends Denne er umulig! 7

27 Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends ?.? 4 2? 8? ? 2? 4?.? ?. 1? ? 3? ? 2 7??. 4 Konsekvens: Ingen muligheder i midterste boks! 7

28 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Mange varianter. 8

29 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. 8

30 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Minimal Odds and Ends 8

31 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Regioner: gerechte design. Minimal Odds and Ends 8

32 Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Regioner: gerechte design. Mere senere. Minimal Odds and Ends 8

33 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Antal Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 9

34 Antal Men hvad er? S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 10

35 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) =

36 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) =

37 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? 10

38 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 10

39 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 10

40 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 S(3) =

41 Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 S(3) = S(4) =? 10

42 Antal Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) antal Latinske of størrelse n n = 2*S(2) L(9) S(3). 11

43 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver boks 1 Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12

44 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver boks 1 (permuter) S(2) = 4!... Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12

45 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver 1. række (ombyt 3. og 4. søjle) S(2) = 4! 2... Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12

46 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Lige mange muligheder for hver 1. søjle (ombyt 3. og 4. række) S(2) = 4!

47 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Tvungent felt S(2) = 4!

48 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 2. række mulighed S(2) = 4!

49 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat x 4 y 4 y 2 x giver to muligheder: {x,y} = {1,3} S(2) = 4! 2 2 (2+?) 12

50 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 2. række mulighed S(2) = 4! 2 2 (2+?) 12

51 Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat giver kun en mulighed S(2) = 4! 2 2 (2 + 1) =

52 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. L(1,n) = n! 13

53 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e 13

54 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. antal fixpunktfri permutationer i S n L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e 13

55 Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. antal fixpunktfri permutationer i S n for r ikke alt for stor L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e L(r,n) n!r e (r 2) 13

56 Asymptotisk resultat Men hvad er? L(n) 1/n2 n e 2,n Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 14

57 Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2,n

58 Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2,n Beviset bygger på en berømt formodning af Van der Waerden (1926, bevist 1981) og en formodning af M. Minc (1967, bevist 1973). 14

59 Permanenter Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A har permanent givet ved per(a) = n σ S n i=1 a i,σ(i) 15

60 Permanenter Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A har permanent givet ved Sammenlign med determinanten per(a) = n det(a) = σ S n i=1 σ S n ( 1) s(σ) a i,σ(i) n i=1 a i,σ(i) 15

61 Van der Waerden s formodning Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A hvor alle 0 a i,j 1, og hvor alle række-summer og alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har per(a) n! n n 16

62 Van der Waerden s formodning Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A hvor alle 0 a i,j 1, og hvor alle række-summer og alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har Lighed gælder kun for per(a) n! n n 1/n 1/n... 1/n 1/n 1/n... 1/n /n 1/n... 1/n. 16

63 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. 17

64 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. 17

65 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 17

66 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk 17

67 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n 17

68 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n per(a) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R. 17

69 Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n per(a) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R. L(n) n 1 r=0 (n r) n n! n n = n!2n n nn 17

70 Asymptotisk resultat Men hvad er? Dette giver nedre grænse i Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2 18

71 Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Dette giver nedre grænse i L(n) 1/n2 n e 2 En anden sætning om permanenter giver den øvre grænse: per(a) n i=1 r 1/r i i for 0-1-matrix med rækkesummer r 1,r 2,...,r n. 18

72 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 19

73 Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 20

74 Hall s sætning Men hvad er? Antal Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 20

75 Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis K {1,2,...,n} A i K i K 20

76 Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis K {1,2,...,n} A i K i K Mængden {x 1,x 2,...,x n } kaldes en transversal for A. 20

77 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. 21

78 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! 21

79 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes. 21

80 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes. Hvis delfamilie kun har én transversal, kan den udelukkes andre steder. 21

81 Eksempler, én familie Men hvad er? Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22

82 Eksempler, én familie Men hvad er? Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22

83 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22

84 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. 22

85 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. Skjult par: {i {x,y} A i } = {i 1,i 2 }. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. 22

86 Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. Skjult par: {i {x,y} A i } = {i 1,i 2 }. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. etc. 22

87 Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og B 1,B 2,...,B 9 I B-familien skal B 5 eller B 6. R 1,R 2,...,R 9 23

88 Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og B 1,B 2,...,B 9 Derfor kan ikke ligge i R 1,R 3,R 7 eller R 8. R 1,R 2,...,R 9 23

89 Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Flere konsekvenser. 23

90 (Eksemplet fra tidligere) Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og

91 (Eksemplet fra tidligere) Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Muligheder for placering af 4: A 4 = {4,6,7,9},A 5 = {2,9},A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7},A 8 = {4,6},A 9 = {3,6,7,9} 24

92 , 2-delt graf Men hvad er? Antal A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 25

93 , 2-delt graf Men hvad er? Antal A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A

94 , 2-delt graf Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A 4 A 5 A 6 A 7 A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} A 8 8 A 8 8 A 9 9 A 9 9 A 4 A 5 A 6 A

95 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og En matching, men ikke til

96 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Matchingen svarer til

97 Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Matchingen svarer til der er Latinsk, men ikke

98 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. 28

99 Transversaler og Matroider Men hvad er? Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 28

100 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: 28

101 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M 28

102 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M 28

103 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M 28

104 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. 28

105 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. Regulære matroider. 28

106 Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. Regulære matroider. Grafiske matroider. 28

107 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. 29

108 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? 29

109 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. 29

110 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. Generelt et svært problem: NP-komplet. 29

111 Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. Generelt et svært problem: NP-komplet. Er lettere? 29

112 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 30

113 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n 30

114 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A i = {1,2,...,n}\ søjle i. r A 1 A 2 A n 30

115 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). 30

116 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. 30

117 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. {(x,a i ) x A i,i J} 30

118 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) 30

119 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. A(J) (n r) {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) 30

120 Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. A(J) (n r) {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) dvs. A(J) J, er opfyldt. Hall s sætning giver SDR. 30

121 Ryser s sætning s Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r n n Ryser s Sætning: r s-rektangel kan fuldendes til n n Latinsk kvadrat hvis og kun hvis x : N(x) r + s n. 31

122 Ryser s sætning s Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r n Ryser s Sætning: r s-rektangel kan fuldendes til n n Latinsk kvadrat hvis og kun hvis x : N(x) r + s n. N(x) er antal gange x forekommer. n 31

123 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og del helt udfyldt 9 32

124 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x : N(x) = 4 32

125 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og N(x) = 4 > = r + s n 32

126 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og N(x) = 4 > = r + s n Det ufuldstændige kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat. 32

127 Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og N(x) = 4 > = r + s n Det ufuldstændige kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat. Altid et kvadrat. 32

128 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 33

129 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 33

130 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser s sætning. 33

131 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser s sætning. Det fuldendte kvadrat er nødvendigvis også. 33

132 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Ufuldstændigt kvadrat: Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) 1 = ) 34

133 Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Ufuldstændigt kvadrat: Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) 1 = ), men ikke til et kvadrat. 34

134 Evan s formodning Men hvad er? Antal Uden struktur på de udfyldte pladser gælder Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n 1 udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 35

135 Evan s formodning Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Uden struktur på de udfyldte pladser gælder Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n 1 udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n. n 1 er bedst mulig. 35

136 Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 36

137 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? 37

138 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. 37

139 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. 37

140 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? 37

141 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? Algoritmer kan bruge denne information. 37

142 Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? Algoritmer kan bruge denne information. Universet er mindre. 37

143 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Situation hvor entydighed kan bruges. Minimal Odds and Ends 38

144 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Normale metoder giver dette Minimal Odds and Ends 38

145 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal hvor x {2,5} og y {2,3,5,6} x y x x Odds and Ends 38

146 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen x y x x Entydighed udelukker mulighederne 2 og 5 fra y! Minimal Odds and Ends 38

147 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen * 8 * * * * 1 * * 6 * * * 7 1 * * * * * * 1 * * * 9 * * * * 4 * * 3 * Hvis dette er en løsning, Minimal Odds and Ends 38

148 Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen * 8 * * * * 1 * * 6 * * * 7 1 * * * * * * 1 * * * 9 * * * * 4 * * 3 * er dette en anden løsning! Minimal Odds and Ends 38

149 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet 39

150 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat 39

151 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs 39

152 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs Udtag det fuldendte L 39

153 kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs Udtag det fuldendte L er NP-komplet 39

154 Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends

155 Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends L indlejres i n 2 - S så udfyldninger af S er 1-1 med Latinske udfyldninger af L

158 Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends algoritmen giver altså en Latinsk kvadrat algoritme. Kompleksiteten er af samme type

159 Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 41

160 Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 42

161 Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis a i,j b i,j Minimal 42

162 Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. a i,j b i,j Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal R =

163 Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. a i,j b i,j Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal R = R S S =

164 Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. a i,j b i,j Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal B =

165 Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 43

166 Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S Minimal 43

167 Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. 43

168 Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. A S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler. 43

169 Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. A S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler. A er et kvadrat hvis og kun hvis A R A S A B 43

170 Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. A S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler. A er et kvadrat hvis og kun hvis A R A S A B A B er ækvivalent med at hver boks indeholder alle symboler. 43

171 Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 44

172 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Minimal 44

173 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Minimal 44

174 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). 44

175 Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n {2,6}. 44

176 Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n {2,6}. Er der ortogonale? 44

177 Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n {2,6}. Er der ortogonale? Det vender vi tilbage til 44

178 Euler s formodning Men hvad er? Antal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 45

179 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G 45

180 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske 45

181 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y 45

182 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y x = ab = a 2 a 1 b = a 2 y 45

183 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y x = ab = a 2 a 1 b = a 2 y, a = xy 1 der findes når G ulige 45

184 Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y x = ab = a 2 a 1 b = a 2 y, a = xy 1 der findes når G ulige x x 2 er surjektiv når G er ulige. 45

185 Funktionen N(n) Men hvad er? Antal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 46

186 Funktionen N(n) Men hvad er? Antal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 46

187 Funktionen N(n) Men hvad er? Antal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Sætning: N(n) 2 n {2,6} Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 46

188 Funktionen N(n) Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Sætning: N(n) 2 n {2,6} n =

189 Funktionen N(n) Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Sætning: N(n) 2 n {2,6} n = 3 n =

190 Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 47

191 Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 47

192 Endelige legemer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj L a er et Latinsk kvadrat Minimal 47

193 Endelige legemer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj L a er et Latinsk kvadrat For a,b F q,a b er L a L b Minimal 47

194 Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Minimal 47

195 Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Sætning: N(nm) min{n(n),n(m)} Minimal 47

196 Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Sætning: N(nm) min{n(n),n(m)} Heraf følger N(n) 2 for n 2 (mod 4) Minimal 47

197 Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Sætning: N(nm) min{n(n),n(m)} Heraf følger N(n) 2 for n 2 (mod 4) Man kan endda bevise at N(n) for n Minimal 47

198 Endelige Planer Men hvad er? Der gælder altid N(n) n 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48

199 Endelige Planer Men hvad er? Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48

200 Endelige Planer Men hvad er? Antal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48

201 Endelige Planer Men hvad er? Antal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48

202 Endelige Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens For n 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for a,b Z 48

203 Endelige Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens For n 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for a,b Z Fx for n = 6 findes ingen projektiv plan 48

204 Endelige Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens For n 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for a,b Z Fx for n = 6 findes ingen projektiv plan For n = 10 findes ingen projektiv plan (men 10 = ) 48

205 Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Affin plan af orden 3 og projektiv plan af orden 2. Minimal 49

206 Gerechte designs Men hvad er? Antal Gerechte design (1956, W.U.Behrens): Et n n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1,...,R n så hvert symbol forekommer netop en gang i hver region. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 50

207 Gerechte designs Men hvad er? Antal Gerechte design (1956, W.U.Behrens): Et n n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1,...,R n så hvert symbol forekommer netop en gang i hver region. fås hvis regionerne er underne. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 50

208 Gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Gerechte design (1956, W.U.Behrens): Et n n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1,...,R n så hvert symbol forekommer netop en gang i hver region. fås hvis regionerne er underne. : A et Latinsk kvadrat, R i cellerne indeholdende symbolet i. Et gerechte design er da en ortogonal mage til A. 50

209 Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 51

210 Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Sætning: Der er højst n d indbyrdes ortogonale gerechte designs, hvor d = max L R over alle linier L og regioner R. L R 51

211 Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Sætning: Der er højst n d indbyrdes ortogonale gerechte designs, hvor d = max L R over alle linier L og regioner R. L R Korollar: Der er højst 6 indbyrdes ortogonale. 51

212 Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Sætning: Der er højst n d indbyrdes ortogonale gerechte designs, hvor d = max L R over alle linier L og regioner R. L R Korollar: Der er højst 6 indbyrdes ortogonale. Korollar: Der er højst n 1 indbyrdes ortogonale Latinske af orden n. 51

213 Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Minimal 52

214 Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Minimal 52

215 Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Permuter symboler i S i så c = 1. Minimal 52

216 Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Permuter symboler i S i så c = 1. I R\L har hver S i et 1-tal. Pladser er forskellige! Minimal 52

217 Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Permuter symboler i S i så c = 1. I R\L har hver S i et 1-tal. Pladser er forskellige! Altså er k n d. Minimal 52

218 Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 53

219 AG(4, 3) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode x 3 x 4 x 1 x 2 Celler koordinatiseret (x 1,x 2,x 3,x 4 ) med x i F 3. Minimal Odds and Ends 54

220 Nogle planer Men hvad er? Antal Rækker: Sideklasser til planen R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 55

221 Nogle planer Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Rækker: Sideklasser til planen Søjler: Sideklasser til planen R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} Minimal Odds and Ends 55

222 Nogle planer Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Rækker: Sideklasser til planen Søjler: Sideklasser til planen Bokse: Sideklasser til planen R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 3 = 0} Minimal Odds and Ends 55

223 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 56

224 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Minimal Odds and Ends 56

225 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Minimal Odds and Ends 56

226 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Minimal Odds and Ends 56

227 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i Minimal Odds and Ends 56

228 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i S(P) S(Q) P Q = {0} Minimal Odds and Ends 56

229 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i S(P) S(Q) P Q = {0} Parret (i,j) findes præcis på pladserne p + v i = q + w j Minimal Odds and Ends 56

230 Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i S(P) S(Q) P Q = {0} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Parret (i,j) findes præcis på pladserne p + v i = q + w j v i w j = p q entydig løsning hviss P Q = {0} Minimal Odds and Ends 56

231 Planer og Men hvad er? Antal S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 57

232 Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan Minimal Odds and Ends 57

233 Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan S(P) er et kvadrat hvis og kun hvis P R = P S = P B = {0} Minimal Odds and Ends 57

234 Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan S(P) er et kvadrat hvis og kun hvis hvor P R = P S = P B = {0} R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 3 = 0} Minimal Odds and Ends 57

235 Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan S(P) er et kvadrat hvis og kun hvis hvor P R = P S = P B = {0} R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 3 = 0} Et lineært kvadrat S(P) Minimal Odds and Ends 57

236 Ortogonal Lineær Men hvad er? Antal Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58

237 Ortogonal Lineær Men hvad er? Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. S(P) S(Q) P Q = {0} Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58

238 Ortogonal Lineær Men hvad er? Antal Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. S(P) S(Q) P Q = {0} Findes de? AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58

239 Ortogonal Lineær Men hvad er? Antal Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. S(P) S(Q) P Q = {0} Findes de? Ja! AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58

240 og koder Men hvad er? Antal Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt). AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 59

241 og koder Men hvad er? Antal Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt). Ikke-nul vektorerne i H kan højst have en 0-koordinat, minimum Hammingvægt er 3. AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 59

242 og koder Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt). Ikke-nul vektorerne i H kan højst have en 0-koordinat, minimum Hammingvægt er 3. En sådan kode findes: Span F3 {(0,1,1,1),(1,0,1,2)} = [0,0,0,0],[0,1,1,1],[0,2,2,2], [1,0,1,2],[2,0,2,1],[1,1,2,0], [1,2,0,1],[2,1,0,2],[2,2,1,0] 59

243 Hamming kode Men hvad er? Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60

244 Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60

245 Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60

246 Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)} H 4 = Span{(0,1,1,2),(1,0,2,2)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60

247 Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)} H 4 = Span{(0,1,1,2),(1,0,2,2)} S(H i ) giver 4 indbyrdes ortogonale. AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60

248 6 ortogonale Men hvad er? Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61

249 6 ortogonale Men hvad er? Antal Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale H 1,H 2,H 3,H 4 AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61

250 6 ortogonale Men hvad er? Antal Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale H 1,H 2,H 3,H 4 P 5 = Span{(1,0,0,2),(0,1,2,0)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61

251 6 ortogonale Men hvad er? Antal Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale H 1,H 2,H 3,H 4 P 5 = Span{(1,0,0,2),(0,1,2,0)} P 6 = Span{(1,0,0,1),(0,1,1,0)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61

252 S(H 1 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 62

253 S(H 1 ) perfektion Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Kuglen med radius Minimal Odds and Ends 63

254 S(H 1 ) perfektion Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode To kugler med radius Minimal Odds and Ends 63

255 S(H 1 ) perfektion Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends To kugler med radius 1. 9 kugler med centrum i fast symbol udfylder rummet perfekt, da minimumafstand er 3 og ( ) 4 9(1 + 2 ) =

259 S(P 5 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 67

260 S(P 6 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 68

261 S(H 1 ) : S(H 1 ) S(P 6 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 69

262 S(P 6 ) : S(H 1 ) S(P 6 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 70

263 Men hvad er? Antal Minimal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 71

264 Hvor mange er nok? Men hvad er? Antal Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning? Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 72

265 Hvor mange er nok? Men hvad er? Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning? n = 2: 4 er minimum, fx Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 72

266 Hvor mange er nok? Men hvad er? Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning? n = 2: 4 er minimum, fx Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends n = 3: Er 17 minimum? 72

267 Minimal? Men hvad er? Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 73

268 med 2 løsninger Men hvad er? Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Kun 16 givne felter. Hvis der er løsninger er der mindst to. Odds and Ends 74

269 med 2 løsninger Men hvad er? Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Kun 8 og 9 mangler Odds and Ends 75

270 Men hvad er? Antal Odds and Ends Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 76

271 Perl minimalistisk Men hvad er? Antal use R{for$i(0..80){next if$a[$i];my%t=map{$_/9 ==$i/9 $_%9==$i%9 $_/27==$i/27&&$_%9/3==$i%9/3?$A[$_]:0=>1}0..80;R($A[ $i]=$_)for (Eccles & Toad) Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 77

272 Samme program Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer use = split //, <>; sub R { for $i ( ) { next if $A[$i]; my %t = map { $_ / 9 == $i / 9 $_ % 9 == $i % 9 $_ / 27 == $i / 27 && $_ % 9 / 3 == $i % 9 / 3? $A[$_] : 0 => 1 } ; R( $A[$i] = $_ ) for grep {!$t{$_} } 1.. 9; return $A[$i] = 0; } } R (Eccles & Toad) 78

273 X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) 79

274 X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen 79

275 X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen Difference-map algoritme 79

276 X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen Difference-map algoritme To uafhængige set af sidebetingelser 79

277 X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen Difference-map algoritme To uafhængige set af sidebetingelser Løser også 79

278 Er der matematik i? Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 80

279 Er der matematik i? Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Ja, på trods af udsagn som Does not require MATH. Can be solved using reasoning and logic alone. 80

280 Er der matematik i? Men hvad er? Antal Ja, på trods af udsagn som Does not require MATH. Can be solved using reasoning and logic alone. Er der noget der ikke er i? Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 80

281 Er der matematik i? Men hvad er? Antal Ja, på trods af udsagn som Does not require MATH. Can be solved using reasoning and logic alone. Er der noget der ikke er i? Endnu et argument for at der er matematik i alting. Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 80

282 Referencer Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer A Course in Combinatorics, Van Lint & Wilson, Cambridge, gerechte designs, resolutions, affine space, spreads, reguli, and Hamming codes R. A. Bailey, Peter J. Cameron, Robert Connelly, (Preprint) Complexity and Completeness of Finding Another Solution and Its Application to Puzzles, Takayuki YATO & Takahiro SETA. IPSJ SIG Notes 2002-AL-87-2,

Vis mere