Aktiv porteføljestrategi contra Tracking Error

Transkript

1 Kandidatafhandling Institut for Finansiering Cand.merc. Finansiering Fortatter: Lennart Johann Dahlquist Vejleder: Michael Christensen Aktiv porteføljestrategi contra Tracking Error Aarhus School of Business 2004

2 Executive summary For any investor, the ideal investment would be a high level of return or no risk. In reality it is somewhat different. Given the present state of the world, there has never been a greater need for tools to manage risk. Therefore there has been used many resources to develop the right methods or strategies to create the ideal investment. Harry Markowitz portfolio theory and Sharpes CAPM has played a big role in this matter. Markowitz theory quantifies the advantage of diversification by showing how to create portfolios to optimize return for a given risk through the mutual correlation between assets. Sharpe takes the theory at step further and uses the correlation amongst the market and the assets to create the ideal portfolio. Recent empirical studies have shown that the construction of portfolios is far more important than market timing or asset selection in creating these optimal portfolios. But even though professional portfolio managers have these and other sophisticated tools to optimize their portfolios, the results are yet to be seen. Present thesis is motivated by an article written by Erik Møller, CEO of Formuepleje A/S, in October The article has a somewhat provocative view on indexing. In short it tells that only 20 % of professional portfolio managers have been able to outperform their benchmark during the 5-year period from 1995 to The custom has therefore become to follow an index and to over- or underweight the underlying assets in the portfolio. The result is that you will invest in assets you do not really find attractive, but every time an asset you have underweighted loses value, you outperform your competitors. The effect is that in stead of trying to beat the market, you try to do better than your colleague. This is because the manager is measured his relative performance to his colleagues. The managers therefore are starting to focus on their own risk of being fired in stead of the risk of their costumer. For this purpose the term Tracking Error has been invented, which shall be seen as a measure of risk. Tracking Error measures how far your investments are from the benchmark portfolio. i

3 In Erik Møllers opinion this should never be used as a measure of risk. He thinks it is a measure that tells about the risk of being fired. The message of the article is that traditional mean-variance portfolio strategy is falling off to Tracking Error and Information Ratio. The purpose of this thesis is to evaluate if it would have been an advantage to pursue a passive strategy like Tracking Error during the period from October 1994 to January 2002 in stead of pursuing an active strategy of diversification. The first part of the theoretical part of the thesis describes and accounts for the meanvariance theory of Markowitz and CAPM. It is shown how to create a portfolio on the basis of return, risk and the mutual correlation of assets. The optimal portfolio is found when you combine the efficient frontier, which exists of all financial assets in the economy, with a risk free asset. Furthermore the Jensen index is chosen over the Sharpe and the Treynor index, to be used as the measure of performance. The second part of the theoretical part account for Tracking Error and Information Ratio. Tracking Error is defined as the standard deviation of the difference in returns between the constructed portfolio and its benchmark. It is also know as a passive investment strategy where the main purpose is to replicate the risk and return of a benchmark portfolio. Tracking Error usually arise from active management or costs like transaction costs from trying to replicate the benchmark. Information Ratio is a measure of performance that originates in Tracking Error. Combined with the Jensen index, Information Ratio tells us whether the deviation from the benchmark (TE) has created excess return to the benchmark. The sample consists of 19 Danish mutual funds in operation during the period October 1994 to January The funds are categorised into three categories: Danish equities with the benchmark KFX, European equities with the benchmark MSCI Europe and World equities with the benchmark MSCI World. The returns are determined as annually log excess returns using monthly returns, which amounts to 87 observations. ii

4 The Jensen index is estimated for the 19 mutual funds based on the standard CAPM security market line (SML). The general conclusion is that only one of the mutual funds has been able to outperform their passive benchmarks at the 5 % level. The rest of the funds have performed neutrally, which means that they have been able to obtain gross returns, just enough to cover their expenses. Looking at the R 2 -adj. statistics which generally lies between 0.85 and 0.90 it indicates that the benchmark are not able fully explain the returns of the mutual funds. Furthermore, the systematic risk is almost equal to that of the benchmarks, especially for the categories European equities and World equities. Together this indicates that the mutual funds seeks to replicate the benchmarks risk, but through an active strategy. The estimated Tracking Error and Information Ratio, confirms the results above. Accordingly to Information Ratio the mutual funds have performed neutrally. The Tracking Error generally lies in the interval 5 to 7 %, which together with the R 2 -adj. statistics from the SML-regression, indicates an active portfolio strategy. Assuming that the portfolio manager only is causing Tracking Error through an active strategy to generate performance, it is estimated whether there is a relationship between Tracking Error and performance. Regressions of the Jensen index on Tracking Error generally results in very low R2-adj. statistics, which means that the variability in performance is not explained by the variation in Tracking Error. Furthermore, Tracking Error tends to be very weakly correlated to performance. So the conclusion is that there is no evidence of that activeness creates performance. The overall conclusion is that it would have been an advantage to pursue a passive strategy like Tracking Error during the analysed period. The mutual funds have not been able to outperform their passive benchmarks during the period. Furthermore there is no indication that activeness can increase performance. Given the fact that you can save resources pursuing a passive strategy vs. an active the passive strategy would be preferable. iii

5 Indholdsfortegnelse Executive Summary Indholdsfortegnelse 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Professionel porteføljepleje Investeringsforeninger Porteføljeteori Markowitz porteføljeteori Forventet afkast og risici på enkeltaktiver Forventet afkast og risici på en portefølje, samt dens korrelation Diversifikation Den efficiente rand og det risikofrie aktiv Sharpes CAPM CAPM s forudsætninger og antagelser Kapitalmarkedslinien Security Market Line Kritisk stillingtagen til CAPM Performancemåling Sharpe-indekset Treynor-indekset Jensen-indekset (Jensens α) Valg af performancemål Den efficiente markedshypotese og performance Tracking Error og Information Ratio Enkelt-indeks modellen Tracking Error Information Ratio Kritisk stillingtagen til TE og IR

6 7 Datamaterialet Valg af investeringsforeninger og benchmarks Beskrivelse af inputdata Hensyntagen til valutakurser Valg af risikofri rente Datamaterialets anvendelighed til empirisk analyse Survivorship bias Den efficiente markedshypotese og random walk Normalfordelte afkast Operationalisering af afkast og risiko Præsentation og test af datamaterialet Input-data ens realiserede afkast og risiko Test for normalfordeling Analyse af danske investeringsforeningers performance Estimation af Jensens α for de udvalgte investeringsforeninger Danske aktier Europæiske aktier Globale aktier Resultater fra lignende undersøgelser Performance ud fra tracking error strategien Danske aktier Europæiske aktier Globale aktier Jensens α og tracking error Jensens α og tracking error på det danske marked Konklusion...72 Litteraturliste Bilagssamling 2

7 1 Indledning For en investor ville den perfekte investering bestå af et højt afkast med lille eller ingen risiko. Dog må man erkende, at realiteterne er en del anderledes. Der har sjældent været et større behov for værktøjer til at styre risikoen end den øjeblikkelige situation på verdensmarkederne. Ikke overraskende bliver der derfor vedvarende brugt ressourcer på udvikling af metoder eller strategier, der tilstræber den perfekte investering. Her har Harry Markowitz porteføljeteori igennem en årrække spillet en stor rolle. Teorien bygger på, hvorledes man kan konstruere porteføljer, hvor man muliggør optimering af investeringers afkast for en given risiko. Dermed kvantificerer teorien fordelene ved diversifikation put ikke alle dine æg i én kurv. Markowitz tilgang til teorien er aktivernes indbyrdes korrelation, som i al sin væsentlighed kræver et omfangsrigt analyseapparat, pga. de enorme mængder data dette kræver alt efter, hvor mange aktiver porteføljen består af. Med datidens (medio 1950) teknologi var Markowitz teori mere anvendelig i teorien end i praksis. William Sharpes videreudvikling af teorien anvender aktivernes korrelation med markedet som udgangspunkt, hvilket betyder en væsentlig reduktion af mængden af data. Dette har bl.a. ført til CAPM-modellen, som vi kender den i dag. Nutidens porteføljemanagere kan i dag kombinere Markowitz teorier og teknologien og derigennem optimere porteføljen og nyere undersøgelser har påvist, at porteføljekonstruktionen er meget vigtigere end markedstiming og udvælgelse af de enkelte aktiver 1, præcist som forudsagt af Markowitz i Det har dog vist sig, at selvom investorerne og de professionelle porteføljemanagerne i dag har sofistikerede værktøjer til at optimere deres porteføljer, udebliver resultaterne. Nærværende kandidatafhandling tager i vid udstrækning udgangspunkt i artiklen Professionel tøsedreng?, skrevet af direktør for kapitalforvaltningsselskabet Formuepleje A/S, Erik Møller i deres Formuemagasin oktober Artiklen giver et 1 Brinson, G.P.; Singer, B.D.; Beebower, G.L,

8 noget provokerende synspunkt på passiv porteføljepleje via indeksering, hvilket vil sige, at følge et givet indeks. Artiklen gengives her i en lidt forkortet udgave: I 1999, da aktiemarkedet var på sit højdepunkt, foretog den føderale amerikanske nationalbank, FED, en undersøgelse af, hvad private investorer tjente på investering i aktier. Siden 1995 havde aktiemarkedet i pro anno afkast givet over 15%, - men de private investorer havde kun opnået knap 5 % i afkast pro anno. I sig selv muligvis ikke så overraskende. Mere overraskende er det derimod, at kun ca. 20% blandt de professionelle porteføljemanagere har opnået et bedre afkast end indekset, hvilket har betydet, at kutymen blandt porteføljemanagerne er blevet, at man altid tager udgangspunkt i indekset, hvorefter man bruger udtrykket at under- eller overvægte aktier, alt efter om man har mere eller mindre investeret i aktien end dens vægt i det pågældende indeks. Effekten bliver, at man investerer store andele i aktier man egentligt ikke finder attraktive, men man har ikke modet til andet. Kutymen opmuntrer således porteføljemanagere til at foretage og bevare investeringer i noget de dybest set betragter som en dårlig investering. Med andre ord, så har manageren en fordel af, at aktier han har undervægt på, falder i kurs. Jo mere aktien falder, jo mere vil han slå sine konkurrenter og outperforme markedet. Manageren har herigennem udskiftet det oprindelige formål; at øge og bevare formuer, med det nye formål; at klare sig lidt bedre end kollegaen. Baggrunden for dette er, at porteføljemanagere kun måles på det relative afkast. Det vil sige, at manageren udelukkende vil få opbakning fra kunderne og sin chef, hvis han har skabt et relativt bedre afkast end konkurrenterne. Derfor er manageren begyndt at fokusere på sin egen risiko i stedet for at fokusere på kundens risiko i forbindelse med managerens investeringer. Til dette formål har man opfundet begrebet Tracking Error, hvilket er et risikomål der angiver, hvor langt de samlede investeringer ligger fra indekset (enten positivt eller negativt), målt i procent. Det kalder man risiko. Det kan højst være en måling, der viser, hvor stor risiko manageren har for at dumme sig og dermed risikoen for en fyreseddel. 2

9 1.1 Problemformulering Budskabet i ovenstående artikel er, at flere og flere investeringsforeninger har taget Tracking Error mål til sig som en del af varedeklarationen på foreningernes enkelte afdelinger. Det betyder, at traditionel diversifikation på porteføljemanager-niveau, i dag er trådt i baggrunden til fordel for fokus på Tracking Error og INFORMATION RATIO; hvor langt ligger porteføljen fra indekset og har den kunnet skabe et merafkast. Dvs., at en aktiv porteføljestrategi, hvor man ud fra empiriske kovarinanser og forventet afkast baseret på information, ønsker at opnå en bedre performance end et på forhånd sat benchmark, er på retur. Dette til fordel for en passiv porteføljestrategi som Tracking Error, hvor man blot forsøger at matche et benchmark eller i det mindste at overgå kollegaen. Hovedformålet med denne afhandling er således at søge at besvare spørgsmålet: Ville det i perioden oktober 1994 til og med januar 2002, have været nogen fordel at følge en passiv porteføljestrategi som Tracking Error contra en aktiv aktiediversifikationsstrategi? Til opfyldelse af dette formål, vil første del af afhandlingen søge at redegøre for den generelle porteføljeteori, herunder specielt Markowitz klassiske porteføljeteori og Sharpes CAPM. Denne redegørelse har til formål at lægge et teoretisk udgangspunkt for den empiriske del af afhandlingen. Indledningsvist vil afhandlingen give en kort beskrivelse af investeringsforeninger samt en kort redegørelse for de fordele og ulemper, der kan være i, som privatperson, at investere sine penge heri. Den første del af den teoretiske fremstilling vil være koncentreret omkring Markowitz resultater. Det vil sige, at der her søges redegjort for kvantificeringen af afkast og risiko på henholdsvis enkeltaktiver og for en portefølje. Herunder ses på, hvorledes aktivernes indbyrdes korrelation påvirker en porteføljes afkast og risiko, 3

10 hvorfor der vil være en kort redegørelse for diversifikation. Ud fra ovenstående vil den efficiente rand blive udledt og slutteligt bliver kapitalmarkedslinien (CML), der har en stor betydning for CAPM-teorien, udledt. Sharpes bidrag til porteføljeteorien vil være den anden del af den teoretiske fremstilling. Denne del vil med udgangspunkt i Markowtiz teorier udlede Security Market Line (SML). Capital Asset Pricing Modellen sammenkobler teorierne omkring den efficiente rand, kapitalmarkedslinien og SML-linien, hvorfor afhandlingen vil indeholde en kritisk gennemgang af modellen, med hovedvægten lagt på modellens forudsætninger og en diskussion af de praktiske problemer disse forudsætninger medfører. Med afsæt i porteføljeteorien bliver der redegjort for de tre klassiske performanceevalueringsmål; Sharpe-indekset, Treynor-indekset og Jensen-indekset. Redegørelsen vil indeholde en kritisk diskussion af performancemålenes forudsætninger og praktiske anvendelse, hvorefter et af målene bliver valgt til den empiriske del af opgaven. I den sidste del af den teoretiske fremstilling redegøres for begreberne Tracking Error og Information Ratio, der med større og større hyppighed bliver anvendt af investeringsforeninger. Tracking Error fortæller, hvor langt investeringen ligger i forhold til dets benchmark, hvor Information Ratio er det dertil hørende performancemål, der fortæller om investeringen har kunnet skabe et merafkast. Indledningsvist vil afsnittet beskrive enkelt-indeks modellen, da Tracking Error tager sit udgangspunkt heri. Afhandlingen vil søge at redegøre for antagelserne bag Tracking Error og Information Ratio og give en kritisk stillingtagen hertil. Afhandlingens anden del vil være den empiriske analyse, der skal søge at give svar på afhandlingens formål. Indledningsvist bliver datamaterialet beskrevet og kommenteret, hvilket vil sige, at der bliver redegjort for valget af investeringsforeninger, benchmarks mv., hvorefter materialet vil blive testet med henblik på analysen. 4

11 Den egentlige performanceevaluering af de udvalgte investeringsforeninger vil dernæst blive gennemført. Her analyseres, hvorledes investerings-foreningerne har klaret sig ifølge det udvalgte klassiske performancemål og Information Ratio, samt størrelsen på investeringsforeningernes Tracking Error. Endeligt afsluttes med en analyse af sammenhængen mellem Tracking Error og den klassiske diversifikationsstrategi. Der søges herigennem at give et svar på, om en investeringsforening kan øge sin performance i forhold til et givet benchmark ved at følge en Tracking Error strategi. Overordnet vil der således søges at løse følgende problemstillinger, for at kunne give et svar på afhandlingens hovedformål: 1) Hvad er en investeringsforening og hvorfor /hvorfor ikke investere heri? 2) Hvorledes kan afkast og risiko kvantificeres ud fra en hensynstagen til aktivernes indbyrdes korrelation? 3) Hvordan udledes den efficiente rand? 4) Hvordan udledes de karakteristiske markedslinier kapitalmarkedslinien (CML) og Security Market Line (SML)? 5) Hvilket klassisk performanceevalueringsmål er optimalt for investeringsforeninger? 6) Hvad er Tracking Error og Information Ratio? 7) Hvilke data er hensigtsmæssig til analysen? 8) Hvordan har investeringsforeningerne performet over perioden og hvor langt ligger de fra deres benchmark? 9) Hvad er sammenhængen mellem Tracking Error og den klassiske aktiediversifikationsstrategi og kan vi bruge disse oplysninger? 1.2 Afgrænsning Afhandlingens analyse vil udelukkende blive foretaget på danske investeringsforeninger, som alene investerer i aktier og har et erklæret benchmark, der svarer til et af de i afhandlingen valgte benchmark, de evaluerer deres performance 5

12 efter. Der er valgt, at investeringsforeningerne som indgår i analysen, skal have eksisteret over hele den valgte tidsperiode, hvorfor foreninger, der kun har eksisteret i dele af perioden, er fravalgt. Nytteteori vil ikke blive behandlet i afhandlingen, da den som sådan ikke har indflydelse på porteføljeteorien, men derimod kan ses som en overbygning til porteføljeteorien, hvor den kan benyttes til at finde investors optimale portefølje ud fra deres risikoprofil. Teorien er ikke udeladt pga. manglende relevans, men ud fra det faktum, at den ingen betydning har for afhandlingens empiriske analyser. Ikke alle begreber fra den teoretiske fremstilling vil blive anvendt i den empiriske analyse, idet kun den teori, der er relevant for analysen inddrages. F.eks. vil den efficiente rand ikke blive konstrueret i den empiriske del, men da den alligevel har stor betydning for porteføljeteorien, inddrages den som en naturlig del af teorien. For hvad angår performanceevalueringsmålene ses udelukkende på ex-post målinger. Dette da afhandlingens formål er at undersøge, hvordan investeringsforeningerne har gjort det over den valgte periode og ikke give et bud på, hvordan de vil gøre det i fremtiden. Der tages i afhandlingen ikke højde for transaktionsomkostninger mv., der må være forbundet med køb og salg af aktier og andele i investeringsforeninger, men betydningen heraf vil blive kommenteret, specielt under gennemgangen af Tracking Error. Alle analyser er baseret på en før-skat betragtning. Dette gøres især da afkastet ofte vil være skattefrit for investor 2. 2 Afkast fra investeringsforeninger underligger en såkaldt treårs-regel, som medfører at afkast i form af kursgevinster er skattefrie, hvis investeringen har haft en varighed på minimum 3 år. Dette har dog ikke været gældende over hele perioden, men forudsættes således. 6

13 2 Professionel porteføljepleje En privat investor eller en juridisk person har, når denne ønsker at foretage en investering i aktier, reelt to muligheder. Selv at investere sine penge direkte i aktiemarkedet, eller at få en professionel porteføljemanager til at foretage sine investeringer. Der kan være mange årsager til, at man som privat investor ønsker at lade en porteføljemanager foretage investeringen. Primært er det selvfølgelig et håb om, at porteføljemanageren kan opnå et større afkast for en given risiko, end hvis investor selv foretog investeringen. Ofte vil investor ikke føle sig i stand til at udvælge, hvad der skal investeres i på et betryggende grundlag, hvorfor denne håber, at porteføljemanageren har den tilstrækkelige viden. Omkostningsmæssigt kan det også være en fordel at overlade sine penge til en porteføljemanager. Som privat investor kan det være meget omkostningstung (kurtager mm.) at sammensætte en veldiversificeret portefølje, hvilket medfører, at investor på grund af begrænsninger i sin formue, er tvunget til at holde en dårlig diversificeret portefølje. Hos den professionelle porteføljemanager bliver den enkelte investors penge normalt slået sammen med en række andre investorers penge, således at de udgør en større pulje og herigennem vil handelsomkostningerne kunne minimeres. Endvidere er det ofte således, at de professionelle investorer møder noget lavere handelsomkostninger, end man gør som privatperson. Til gengæld vil porteføljemanageren normalt kræve en vis betaling for sin service. Hvor stor denne omkostning er og hvorledes den kalkuleres, varierer mellem de forskellige typer af professionel porteføljepleje og mellem de forskellige aktører. En af de mest anvendte former for professionel porteføljepleje er investeringsforeninger. Dvs., at man som privat investor kan købe andele i en forening, der så investerer penge i aktier eller obligationer mv.. Selvom der findes mange forskellige former for investeringsforeninger, er de alle underlagt de samme stramme regler. Det følgende afsnit vil kort skildre investeringsforeningernes egenskaber som professionel porteføljeplejer, beskrive udviklingen i de danske 7

14 investeringsforeninger samt kort komme ind på, hvilke fordele og ulemper der kan være i investeringsforeninger. 2.1 Investeringsforeninger En investeringsforening er en sammenslutning af investorer, som overlader det til foreningen at foretage de enkelte investeringer. Investeringsforeningerne er ikke egentlige erhvervsdrivende selskaber, men en kollektiv investeringsform. Medlemskab af en forening opnås ved at købe investeringsandele/-beviser, der kan købes i pengeinstitutter eller hos børsmæglere og efter foreningens omkostninger til f.eks. køb og salg (spreads) og administration fordeles et evt. overskud mellem medlemmerne. En investeringsforening består typisk af den del afdelinger, hvor hver enkelt afdeling har en klart defineret investeringsprofil. Den enkelte afdeling i en investeringsforening kan generelt enten være akkumulerende eller udbyttebetalende. Akkumulerende afdelinger geninvesterer hele deres overskud og udlodder derfor ikke udbytte, hvilket vil sige, at medlemmer af sådanne afdelinger opnår afkast alene gennem kursgevinster. Modsat findes de udbyttebetalende afdelinger, der udlodder en del af deres overskud som udbytte. Medlemmer heraf modtager således både afkast via udbytter samt via kursgevinster. Endvidere eksisterer der også PAL-afdelinger (PAL = Pensionsafkastbeskatningsloven) der er specialforeninger forbeholdt pensionskunder. PAL-afdelinger er akkumulerende og er ikke omfattet af 3-årsreglen om beskatning af afkast. Derudover har de flere placeringsmuligheder end de traditionelle afdelinger, hvilket øger deres muligheder for diversifikation. Investeringsforeninger reguleres af en række forskellige regler og love, hvoraf de fleste regler er stadfæstet i Lov om Investeringsforeninger og Specialforeninger, der nøje foreskriver, hvorledes midlerne skal håndteres og investeres. Finanstilsynet er den kontrollerende myndighed som løbende kontrollerer at lovene overholdes. Generelt er investeringsforeningernes investeringsstrategi forholdsvis aktiv, hvilket vil sige, at foreningen søger at sammensætte investeringerne ud fra nogle forventninger til den økonomiske udvikling. Dvs., at de søger at kunne overperforme 8

15 et i forvejen fastsat benchmark, hvilket f.eks. kunne være et aktieindeks eller obligationsindeks. I de senere år er der opstået såkaldte indeksafdelinger, der i modsætning til de aktivt styrede investeringsforeninger, har en passiv investeringsstrategi. Dvs. at foreningens portefølje sammensættes i nøje overensstemmelse med de officielle børsindeks og følger nøje disse op og ned. Afkastmæssig er der ingen garanti for, at de klarer sig bedre end aktivt styrede afdelinger, men administrationsomkostninger tenderer mod at være lidt lavere, blandt andet fordi der ikke skal afholdes udgifter til værdipapiranalyse og fordi omkostningerne til køb og salg er forholdsvist små. Siden 1956, hvor den første egentlige danske investeringsforening blev stiftet, er der sket en kraftig udvikling i investeringsforeningerne. Ultimo april 2004 var der godt medlemmer i investeringsforeningerne og de ejede investeringsbeviser for 436 mia. kr. Siden ultimo 2002 er der sket en stigning på 151,6 mia. kr. eller på over 53 %. Formuefordelingen pr. 30. april 2004 var 21,9 mia. i danske aktier, 117,6 mia. i udenlandske aktier, 161,2 mia. i danske obligationer, 131,5 mia. i udenlandske obligationer og 3,9 mia. i blandede afdelinger. Antallet af afdelinger i de 20 investeringsforeninger er siden ultimo 2002 til ultimo april 2004 steget fra 486 til 496, hvoraf 83 er akkumulerende, 349 er udbyttebetalende og 65 er PAL-afdelinger. ( Som medlem i en investeringsforening får investor en række fordele: Risikospredning (diversifikation) Lettere adgang til værdipapirmarkederne i udlandet En på forhånd defineret investeringsprofil Løbende pleje af investeringerne Lave omkostninger (stordriftsfordele og information) Indflydelse gennem årlig generalforsamling Offentligt tilsyn ved Finanstilsynet Kursen på beviserne ligger altid tæt på den reelle værdi (indre værdi) Lovsikret adgang til indløsning af andelene (til indre værdi) 9

16 Ovenstående er stadfæstet i Lov om investeringsforeninger og specialforeninger. Der er dog også ulemper ved at være medlem af en investeringsforening. Bl.a. tager investeringsforeningerne penge for at købe og sælge investeringsbeviserne, hvilket normalt ligger omkring 2-3 % af den indre værdi og alle omkostninger i forbindelse med foreningens administration og handel med aktiver dækkes fuldt ud af medlemmerne. Samtidig mister investor muligheden for 100 % selv at udvælge, de aktiver porteføljen skal bestå af. De ovennævnte ulemper opvejes dog til dels af, at hvis investor selv skulle investere sine midler direkte i akter og obligationer, ville dette som sagt blive omkostningstungt, samt det at investor selv kan vælge, om han vil investere i f.eks. danske eller amerikanske aktier eller f.eks. lav- eller højrisiko aktier. 3 Porteføljeteori Porteføljeteorien er en af hjørnestenene i finansieringsteorien. Specielt to personer har haft stor betydning for teorien, nemlig Harry M. Markowitz og William F. Sharpe, som også kaldes porteføljeteoriens fædre, hvorfor det også er deres teorier, der fremlægges i det følgende. 3.1 Markowitz porteføljeteori I 1952 publicerede Harry M. Markowitz artiklen Portfolio Selection, hvilket markerede begyndelsen på en ny type investeringsundersøgelse og -analyse, baseret på en idé om at bruge statistiske mål for afvigelse som et mål for risiko. Porteføljeteorien, der her blev grundlagt, fastlægger en porteføljes sammensætning, hvorved der kan opnås størst muligt afkast for en given risiko. Dette gøres ud fra separationsprincippets tre faser, hvor den efficiente rand bestemmes ud fra det forventede afkast og risiko, den efficiente rand kombineres med et risikofrit aktiv og 10

17 investors indifferenskurver sammenholdes med den efficiente rand 3, hvorefter den optimale porteføljesammensætning kan determineres. Teorien bygger på følgende forudsætninger om investors adfærd: a) Investor er nyttemaksimerende, hvilket betyder, at investor altid vil foretage sine investeringer med det formål at maksimere nytten. Investor vil altså foretrække højere afkast frem for et lavere afkast. b) Investor er risikoavers. Dvs. at ved valg mellem to aktiver, der har samme afkast, vil investor altid vælge aktivet med lavest risiko. c) Investor kan vælge mellem forskellige porteføljer udelukkende på baggrund af det forventede afkast og risikoen. Til forudsætning c) skal dog knyttes enkelte kommentarer: For at investor skal kunne vælge mellem forskellige porteføljer, ud fra det forventede afkast og risikoen, kræves det, at porteføljeafkastet er normalfordelt 4 eller at investors nyttefunktion er kvadratisk. Hertil skal siges, at forudsætningen om at investors nyttefunktion er kvadratisk, har to urealistiske implikationer (se Steinbach, M.C., 2001). For det første vil det betyde, at øget rigdom betyder faldende nytte. Sjældent vil man vel møde en investor, der ikke ønskede at tjene flere penge. For det andet vil det betyde, at risikovilligheden er faldende ved stigende rigdom. Normalt vil formuende mennesker tage større økonomisk risici end mindre formuende mennesker. Under ovenstående forudsætninger, siges et enkelt aktiv eller en portefølje at være efficient, hvis intet andet aktiv eller portefølje kan tilbyde et højere forventet afkast ved samme risiko eller en lavere risiko ved samme forventede afkast. Dette udspringer generelt af den efficiente markedshypotese (EMH), der fremhæver, at man aldrig vil 3 Separationsfasens sidste trin, behandles dog ikke nærmere i afhandlingen, jf. afsnit 1.2 Afgrænsning. 4 Selvom normalfordelings-forudsætningen ikke er opfyldt for de enkelte aktiver, vil afkastet af en veldiversificeret portefølje, der er sammensat af disse aktiver, approksimativt være normalfordelt (Haugen, 1990). 11

18 kunne forvente at opnå et overnormalt afkast, da risiko og afkast altid hænger sammen 5. For investor er det disse efficiente porteføljer, der er interessante. Dvs., at den vigtigste opgave i enhver praktisk porteføljeovervejelse består i at søge at maksimere det forventede afkast for en given risiko eller at minimere risikoen for et givet afkast Forventet afkast og risici på enkeltaktiver Udgangspunktet er, at alle aktiver er mere eller mindre risikofyldte, hvorfor det forventede afkast er usikkert/ukendt. Der skal derfor findes en måde, hvorpå det forventede afkast og risikoen på et enkelt aktiv kan beskrives. Det forventede afkast af aktiv i, E(r i ) kan udtrykkes som: (3.1) E(r i ) = Σ q t * r it t=1 N hvor q t angiver sandsynligheden for observation t, r it angiver afkastet for observation t og N er antallet af observationer. Risikoen kan beskrives ud fra standardafvigelsen på aktivets afkast via formlen: (3.2) σ (r Σ q t * (r it * E(r i )) 2 i ) = N t=1 Empirisk er det bevist, at der er et umiddelbart forhold mellem afkast og risiko, således at et højere afkast ledsages af en højere risiko (Christensen, M. & Pedersen, F., 1998, p. 42). Dette kan anskueliggøres på følgende måde: 5 EMH beskrives nærmere i afsnit 5 12

19 Ved at antage at afkastet på aktiver er normalfordelt, der er en udbredt antagelse indenfor porteføljeteorien, kan afkastfordelingen beskrives udelukkende ud fra det forventede afkast og standardafvigelsen. Figur 3.1: Normalfordeling for afkast på aktiver Kilde: Egen tilvirkning Afkast Som det ses i figuren antager afkastfordelingen, beskrevet ud fra det forventede afkast og risikoen, en klokkeform, hvor klokken er højest ved afkastets middelværdi. Ligeledes ses i figuren, at den fladeste af klokkerne er bredere, hvilket også indikerer, at dens standardafvigelse er større og dermed indeholder mere risiko Forventet afkast og risici på en portefølje, samt dens korrelation Ved at kende det forventede afkast på et enkelt aktiv, kan man beregne det forventede afkast på en portefølje bestående af N aktiver. Her skal enkeltaktivernes afkast indgå med den andel aktivet har i porteføljen. Dette kan beregnes som: (3.3) E(r p ) = Σ q i * E(r i ) N i=1 hvor E(r p ) angiver det forventede afkast på porteføljen, q i angiver aktivets andel i porteføljen og N her angiver antallet af aktiver, der indgår i porteføljen. Dvs., at en porteføljes afkast beregnes som en vægtning af de enkelte aktivers forventede afkast, i forhold til aktivernes respektive andele af den samlede portefølje. 13

20 Porteføljens risiko beregnes ved at finde standardafvigelsen på porteføljen. Dette er ikke lige så simpelt som at finde porteføljens afkast, da man ikke blot kan vægte de enkelte aktivers standardafvigelse, men samtidig skal tage hensyn til kovariansen mellem aktiverne. Med andre ord skal der tages højde for den diversifikationsgevinst man får, når man danner en portefølje af flere aktiver. Ved at sammensætte flere aktiver med mindre end fuldstændig korrelation, vil man således reducere porteføljens risiko samtidig med at opretholde porteføljens afkast. Porteføljens risiko kan beregnes på følgende måde: (3.4) σ (r p ) = N N Σ Σ x i * x i * Cov(r ij ) i=1 j=1 hvor Cov(r ij ) angiver kovariansen mellem aktiv i og aktiv j, der kan beregnes som: (3.5) Cov(r ij ) = N Σ q t * (r it - E(r i )) * (r jt - E(r j )) t=1 Formlen angiver, at kovariansen mellem eksempelvis to aktiver, udtrykker summen af de periodevise kursafvigelser i forhold til de respektive aktivers forventede afkast. En positiv kovarians opnås hermed, hvis begge aktiver afviger positivt eller negativt i forhold til deres forventede afkast. Hvis det ene aktiv derimod afviger positivt og det andet negativt fra det forventede afkast, fremkommer en negativ kovarians. Kovariansen svinger, som det kan ses af ovenstående, mellem og, hvorfor at den rent intuitivt kan være vanskelig at fortolke. Med fordel kan man derfor standardisere udtrykket ved at dividere kovariansen mellem aktiverne, med deres pågældende standardafvigelser multipliceret, hvorefter korrelationskoefficienten fremkommer. (3.6) ρ ij = σ (r ij ) σ (r i )* σ (r j ) 14

21 Korrelationskoefficienten, der ligger i intervallet mellem -1 og +1, hvorfor den intuitivt er nemmere at fortolke end kovariansen, har en relativt stor betydning for sammenhængen mellem det forventede afkast og risikoen, hvilket kan ses i nedenstående figur. Figur 3.2: Korrelationens betydning for sammenhængen mellem E(r p ) og σ p E(rp) j ρ = -1 ρ = -½ ρ = 0 ρ = 1 ρ = -1 i Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Christensen, M. & Pedersen, F., Note: ρ = korrelationskoefficient, i og j er enkeltaktiver σ(rp) Som det ses i figuren, vil diversifikationsgevinsten ikke kunne opnås ved en 100 % investering i enkeltaktiverne i eller j, idet man udelukkende vil kunne opnå enkeltaktivets afkast for en given risiko. Dog ved at kombinere de to aktiver, er der en mulighed for at kunne reducere risikoen, hvis de to aktiver ikke varierer sammen. Hvis der ikke er samvariation mellem aktiverne i og j, vil man opnå en perfekt negativ korrelation (ρ = -1) og herved kan man reducere risikoen til 0 samtidig med, at man opretholder et afkast, der ligger over en 100 % investering i det aktiv, der har lavest afkast. Modsat vil man ved en perfekt positiv korrelation (ρ = 1), hvor aktiverne samvarierer perfekt, ikke opnå nogen risikoreduktion, hvilket kan ses ud fra den lineære sammenhæng mellem i og j. Porteføljens afkast kan dog uanset aktivernes sammensætning og indbyrdes korrelation, ikke ligge henholdsvis højere eller lavere end det aktiv med det højeste eller laveste afkast 6. Som det ligeledes fremgår af figuren, jo mere positiv den indbyrdes korrelation mellem aktiverne er, jo mere reducerer man også muligheden 6 Hvis man som her ser bort fra muligheden for kortsalg. 15

22 for risikoreduktion gennem porteføljesammensætningen. Porteføljens risiko kan derfor kun blive mindre en den laveste af aktivernes risiko, såfremt den indbyrdes korrelation er lavere end forholdet mellem de to aktivers standardafvigelser (Harbjerg, P., 1991a). De lineære sammenhænge, der fremkommer ved de to ekstreme situationer med henholdsvis perfekt positiv og negativ korrelation, danner en trekant, der udstikker de ydre grænser for porteføljens mulige risiko, hvilket betegnes som værende porteføljens kritiske rand Diversifikation I ovenstående afsnit blev der vist, hvorledes der kan opnås en diversifikationsgevinst ved at investere i 2 aktiver, medmindre der er positiv korrelation mellem dem. Dog skal man være opmærksom på, at al risiko ikke kan bortdiversificeret. Dette skyldes, at en porteføljes risiko kan opdeles i både systematisk og usystematisk risiko. Den systematiske risiko er en følge af generel usikkerhed i økonomien såsom økonomisk politik, inflation, mv., og må derfor i vid udstrækning forventes at have samme indvirkning på alle aktiver i økonomien. Den usystematiske risiko er derimod risiko, der er specifik for det enkelte aktiv, såsom branchemæssige forskelle, udbyttepolitik, produktudvikling mv.. Figur 3.3: Udvikling i en porteføljes risiko ved inddragelse af flere aktiver σ 2 (rp) Usystematisk risiko Systematisk risiko Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Chritensen, M. & Pedersen, F., 1998 M 16

23 Da den usystematiske risiko antages at påvirke alle aktiver i en portefølje ens, kan den ikke diversificeres bort. Derimod kan den usystematiske risiko bortdiversificeres jo flere aktiver man inkluderer i porteføljen, da flere aktiver man inkluderer, jo mindre følsom vil porteføljen være overfor det enkelte aktivs risiko. Det vil sige, at når man taler om diversifikation, er det reelt den usystematiske risiko, der er af interesse. I ovenstående figur illustreres dette ved at tage udgangspunkt i risikoen for en portefølje, bestående af 2 aktiver og dernæst konstant øge antallet af aktiver til M. Af hensyn til overskueligheden i figuren, forudsættes at aktiverne indgår i porteføljen med samme vægt (x i = 1/M) og risiko samt, at den indbyrdes korrelation (ρ ij ) er lig Den efficiente rand og det risikofrie aktiv Den efficiente rand er et begreb der dækker over de kombinationsmuligheder, hvor det forventede afkast for en given risiko er størst muligt eller risikoen for et givet afkast er mindst muligt. Figur 3.4: Den efficiente rand og Minimums Varians Porteføljen (MVP) E(r) Den efficiente rand MVP σ(r) Kilde: Egen tilvirkning Note: MVP er Minumums Varians Portføljen. Det skraverede område er porteføljer der ligger under den efficiente rand og derfor domineret af de efficiente porteføljer, der ligger på randen. Den efficiente rand er defineret ved at have sit udgangspunkt i Minimums Varians Porteføljen (MVP), som er en speciel porteføljekombination indenfor den kritiske rand. Som det kan aflæses i ovenstående figur 3.4, er MVP den 17

24 porteføljekombination, der har lavest mulig risiko 7. Dette betyder, at alle de porteføljekombinationer som har et afkast, der er mindre end MVP, ikke vil være en del af den efficiente rand, idet disse porteføljer vil være domineret af porteføljer med samme risiko, men med et højere afkast. Hvis der ikke eksisterer et risikofrit aktiv, vil investorerne investere i en portefølje, der ligger på den efficiente rand. Dvs., at det er investors risikoaversion, der bestemmer hvilken portefølje der vælges. Hvis investor er meget risikoavers, vil investor vælge MVP, der jo er kendetegnet ved lavest mulig risiko og jo mindre risikoavers investor er, jo længere mod højre vil investor bevæge sig ad den efficiente rand. Hvis der derimod eksisterer et risikofrit aktiv, r f, har investor, udover at placere sin formue i en given risikofyldt porteføljekombination, muligheden for at placere en del af sin formue i en risikofri rente. Den risikofrie rente er kendetegnet ved en investering, der hverken er forbundet med rente- eller kreditrisiko (Harbjerg, P., 1991a). Dette kunne f.eks. være korte statsobligationer, skatkammerbeviser eller CIBOR 8. Figur 3.5: Den efficiente rand med et risikofrit aktiv E(r) CML Optimal kombinationsportefølje rf MVP σ(r) Kilde: Egen tilvirkning 7 Hvis man som her ser bort fra muligheden for kortsalg. 8 Disse er dog forbundet med forholdsvis begrænset rente- og/eller kreditrisiko, men er nok det nærmeste man kommer en risikofri investering. 18

25 Jf. ovenstående figur 3.5 ses, at man ved at kombinere den efficiente rand med et risikofrit aktiv får en lineær sammenhæng, nemlig en linie der netop tangerer den efficiente rand. Denne linie kaldes for kapitalmarkedslinien, herefter benævnt CML (Capital Market Line) og inkluderer alle efficiente porteføljer. Hvis man ser bort fra muligheden for kortsalg, og x p angiver den andel, der investeres i den risikofyldte portefølje, kan det forventede afkast for den kombinerede portefølje, E(r c ) beskrives som (Christensen, M. & Pedersen, F., 1998 p. 59): (3.7) E(r c ) = (1-x p )*r f +x p * E(r p ) = r f +x p *(E(r p )-r f ) hvor udtrykket E(r p )-r f kaldes risikopræmien, der angiver porteføljens merafkast ud over den risikofrie rente. På samme måde kan den kombinerede porteføljes risiko udtrykkes som (Christensen, M. & Pedersen, F., 1998): (3.8) σ (r (1-x p ) 2 * σ (r f ) 2 +x 2 p * σ (r p ) 2 c ) = +2*x p *(1-x p )* σ (r f )* σ (r p )* ρ (r fp ) = x p * σ (r p ) Da risikoen på det risikofrie aktiv er antaget lig nul, er kovariansen mellem den risikofyldte portefølje og det risikofrie aktiv samtidig nul, hvorfor man opnår, at den kombinerede porteføljes risiko er lig den risikofyldte porteføljes andel multipliceret med dennes risiko. Som det fremgår af formel 3.7, stiger det forventede afkast proportionalt med risikopræmien, mens den kombinerede porteføljes risiko stiger proportionalt med risikoen på den risikofyldte portefølje, når man øger andelen placeret i den risikofyldte portefølje. 19

26 Ved at indsætte formel 3.8 i formel 3.7, der udtrykker det forventede afkast for den kombinerede portefølje, findes følgende E(r p )-r f (3.9) E(r c ) = r f + *σ (r c ) σ (r p ) som udtrykker den rette linie CML, der beskriver forholdet mellem risiko og afkast for den risikofyldte portefølje kombineret med et risikofrit aktiv. Liniens skæringspunkt med y-aksen er angivet ved den risikofrie rente og hældningen ved risikopræmien pr. risikoenhed, kaldt Reward-to-Variability ratioen. Som investor skal man derfor søge at finde kapitalmarkedslinien med den største hældning. 3.2 Sharpes CAPM Efter at Markowitz havde præsenteret og videreudviklet sin porteføljeteori, som generelt omhandler, hvorledes man sammensætter enkeltaktiver til porteføljer, udviklede William F. Sharpe, John Litner og Jan Mossin i midten af 1960 erne CAPM 9. Som navnet Capital Asset Pricing Model udtrykker, er målet med modellen at prisfastsætte aktiver, hvilket gør, at den er en modsætning til Markowitz porteføljeteori, hvor det enkelte aktivs prisfastsættelse ignoreres. Endvidere tager CAPM udgangspunkt i aktivernes korrelation med markedet i stedet for korrelationen mellem aktiverne. Udgangspunktet for modellen er, at de finansielle aktiver er i ligevægt og ved at formulere CAPM som en ligevægtsmodel kan man beregne såvel det relevante risikomål som sammenhængen mellem forventet afkast og risiko for samtlige aktiver. Dvs. både efficiente og inefficiente aktiver. 9 Primært er det dog Sharpe s navn der sættes forbindelse med modellen. 20

27 Da CAPM bygger på en række forsimplede forudsætninger og antagelser, der praktisk set synes restriktive og urealistiske, vil disse indledningsvist blive gennemgået. Rimeligheden i disse forudsætninger og antagelser vil blive diskuteret i afsnit CAPM s forudsætninger og antagelser CAPM bygger på følgende forudsætninger, der kan deles op i forudsætninger om henholdsvist investorerne og markedet. Forudsætninger om investorerne: a) Investorerne er nyttemaksimerende. CAPM bygger således på den antagelse at alle investorer er porteføljeinvestorer, der foretager en Markowitz optimering af deres porteføljer, hvilket vil sige, at de kun vælger at investere i porteføljer der ligger på den efficiente rand. De ønsker dermed at maksimere deres afkast for en given risiko, hvilket samtidig betyder, at det eneste der er relevant for investorerne, er det forventede afkast og risikoen. b) Investorerne er risikoaverse. Ved valg mellem to aktiver, der har samme afkast vil investorerne altid vælge aktivet med lavest risiko. c) Alle investorer har samme investeringshorisont og har homogene forventninger. Dvs., at de er enige om det forventede afkast og risikoen for enkeltaktiverne samt kovariansen mellem disse. Dette betyder, at alle investorer endvidere vil være enige om den efficiente rands udseende. Som det ses vælger investorerne mellem porteføljer på basis af deres kendskab til det forventede afkast og risikoen. For at investor frit kan vælge mellem disse porteføljer ud fra kendskabet til forventet afkast og risiko, skal en af følgende betingelser være opfyldt: d) Porteføljeafkastene skal være normalfordelte. e) Forholdet mellem investors nytte og værdien af porteføljen er af kvadratisk form. Disse to betingelser er uddybet i afsnit 3.1, hvorfor der henvises til dette. 21

28 Samtidig gælder følgende forudsætninger om markedet: f) Kapitalmarkedet er friktionsløst. Der findes således ingen transaktionsomkostninger, hvad enten det gælder direkte eller i form af spreads og investorerne betaler ikke skat. Der er ingen restriktioner på kortsalg. g) Alle aktiver er delelige. Man kan derfor købe aktier helt ned til mindste møntenhed. h) Der findes et risikofrit aktiv som investor kan låne og udlåne ubegrænsede beløb i. i) Markedet er informativt efficient. Alle investorer ligger derfor inde med samme information og ingen har mulighed for selvstændigt at påvirke markedspriserne. Ud fra ovenstående forudsætninger kan CAPM udledes Kapitalmarkedslinien Udgangspunktet er ligesom i Markowitz teori den efficiente rand, med inddragelse af et risikofrit aktiv. Ud fra forudsætningen om, at der ingen restriktioner er på kortsalg, indgår dog også andre portefølje end dem, der ligger på den efficiente rand (segmentet MVP til B), nemlig porteføljer som ligger i segmentet A til MVP), jf. nedenstående figur 3.6. Figur 3.6: CML og markedsporteføljen E(r) C B Markedsporteføljen r f MVP A Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Christensen, M & Pedersen, F., 1998 σ(r) 22

29 Forudsætningen om, at man kan låne og udlåne til den risikofrie rente betyder, at der findes én og kun én optimal portefølje, her angivet ved markedsporteføljen i figur 3.6, der er en optimal sammensætning mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje. Som det fremgår af figur 3.6, findes markedsporteføljen som tangeringsporteføljen mellem den efficiente rand og CML. Denne portefølje kaldes markedsporteføljen, da alle investorer holder denne portefølje. Dette givet ud fra forudsætningerne om, at alle investorer har samme homogene forventninger og står overfor den samme risikofrie rente 10. Udtrykket for CML udtrykkes ligesom i Markowitz teorier som E(r M )-r f (3.10) E(r p ) = r f + *σ (r p ) σ (r M ) dog til forskel, at den risikofyldte portefølje er udskiftet med markedsporteføljens forventede afkast E(r M ) og risiko σ(r M ). Da der er tale om en ligevægtsteori, har markedsporteføljen den egenskab, at den indeholder alle aktiver i økonomien. Dvs., at hvis et aktiv er prisfastsat for lav eller for højt vil det påvirke hhv. udbuddet og efterspørgslen. Ved manglende udbud vil prisen blive presset op og ved manglende efterspørgsel vil prisen blive presset ned, hvorved der skabes en ligevægtspris på aktivet Security Market Line Som beskrevet i afsnit 3.1.4, ligger alle efficiente porteføljer på CML, hvilket vil sige, at deres forventede afkast er perfekt korreleret. Da markedsporteføljen er efficient, vil det betyde, at de efficiente porteføljers forventede afkast er perfekt korreleret med det forventede markedsafkast, E(r M ). Hvis en porteføljes forventede afkast er perfekt 10 I praksis vil der dog være forskel på udlåns- og indlånsrenten, hvorfor der vil være et knæk på kapitalmarkedslinien. 23

30 korreleret med E(r M ), vil dens karakteristiske linie udelukkende repræsentere porteføljens relation til markedet. Dette betyder, at en efficient porteføljes risiko udelukkende består af systematisk risiko eller sagt på en anden måde: Hvis en portefølje indeholder usystematisk risiko er den ikke efficient (Sharpe, W., 1999, p. 97). Det vil sige, at en porteføljes totale risiko er irrelevant, når man taler om en veldiversificeret portefølje, hvorfor CML, der bygger på porteføljens totale risiko, reelt også er irrelevant, når man skal finde den optimale portefølje. Den karakteristiske linie SML kan udtrykkes som: (3.11) E(r p ) = r f + β p *(E(r M )-r f ) Denne kendes også som Capital asset pricing relationen, hvor udtrykket E(r M )-r f angiver markedets merafkast i forhold til den risikofrie rente og β p, der angiver porteføljens systematiske risiko som er lig σ(r pm )/σ 2 (r M ). Figur 3.7: Security Market Line E(r) SML E(rm) Markedsporteføljen rf 1 Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Christensen, M. & Pedersen, F., 1998 β I modsætning til CML, kan man ved hjælp af SML prisfastsætte alle enkeltaktiver eller porteføljer af aktiver, hvad enten de er efficiente eller inefficiente. (Christensen, M. 2003, p. 130). Dette skyldes, at det udelukkende er aktivets eller porteføljens β, 24