Aktiv porteføljestrategi contra Tracking Error

Transkript

1 Kandidatafhandling Institut for Finansiering Cand.merc. Finansiering Fortatter: Lennart Johann Dahlquist Vejleder: Michael Christensen Aktiv porteføljestrategi contra Tracking Error Aarhus School of Business 2004

2 Executive summary For any investor, the ideal investment would be a high level of return or no risk. In reality it is somewhat different. Given the present state of the world, there has never been a greater need for tools to manage risk. Therefore there has been used many resources to develop the right methods or strategies to create the ideal investment. Harry Markowitz portfolio theory and Sharpes CAPM has played a big role in this matter. Markowitz theory quantifies the advantage of diversification by showing how to create portfolios to optimize return for a given risk through the mutual correlation between assets. Sharpe takes the theory at step further and uses the correlation amongst the market and the assets to create the ideal portfolio. Recent empirical studies have shown that the construction of portfolios is far more important than market timing or asset selection in creating these optimal portfolios. But even though professional portfolio managers have these and other sophisticated tools to optimize their portfolios, the results are yet to be seen. Present thesis is motivated by an article written by Erik Møller, CEO of Formuepleje A/S, in October The article has a somewhat provocative view on indexing. In short it tells that only 20 % of professional portfolio managers have been able to outperform their benchmark during the 5-year period from 1995 to The custom has therefore become to follow an index and to over- or underweight the underlying assets in the portfolio. The result is that you will invest in assets you do not really find attractive, but every time an asset you have underweighted loses value, you outperform your competitors. The effect is that in stead of trying to beat the market, you try to do better than your colleague. This is because the manager is measured his relative performance to his colleagues. The managers therefore are starting to focus on their own risk of being fired in stead of the risk of their costumer. For this purpose the term Tracking Error has been invented, which shall be seen as a measure of risk. Tracking Error measures how far your investments are from the benchmark portfolio. i

3 In Erik Møllers opinion this should never be used as a measure of risk. He thinks it is a measure that tells about the risk of being fired. The message of the article is that traditional mean-variance portfolio strategy is falling off to Tracking Error and Information Ratio. The purpose of this thesis is to evaluate if it would have been an advantage to pursue a passive strategy like Tracking Error during the period from October 1994 to January 2002 in stead of pursuing an active strategy of diversification. The first part of the theoretical part of the thesis describes and accounts for the meanvariance theory of Markowitz and CAPM. It is shown how to create a portfolio on the basis of return, risk and the mutual correlation of assets. The optimal portfolio is found when you combine the efficient frontier, which exists of all financial assets in the economy, with a risk free asset. Furthermore the Jensen index is chosen over the Sharpe and the Treynor index, to be used as the measure of performance. The second part of the theoretical part account for Tracking Error and Information Ratio. Tracking Error is defined as the standard deviation of the difference in returns between the constructed portfolio and its benchmark. It is also know as a passive investment strategy where the main purpose is to replicate the risk and return of a benchmark portfolio. Tracking Error usually arise from active management or costs like transaction costs from trying to replicate the benchmark. Information Ratio is a measure of performance that originates in Tracking Error. Combined with the Jensen index, Information Ratio tells us whether the deviation from the benchmark (TE) has created excess return to the benchmark. The sample consists of 19 Danish mutual funds in operation during the period October 1994 to January The funds are categorised into three categories: Danish equities with the benchmark KFX, European equities with the benchmark MSCI Europe and World equities with the benchmark MSCI World. The returns are determined as annually log excess returns using monthly returns, which amounts to 87 observations. ii

4 The Jensen index is estimated for the 19 mutual funds based on the standard CAPM security market line (SML). The general conclusion is that only one of the mutual funds has been able to outperform their passive benchmarks at the 5 % level. The rest of the funds have performed neutrally, which means that they have been able to obtain gross returns, just enough to cover their expenses. Looking at the R 2 -adj. statistics which generally lies between 0.85 and 0.90 it indicates that the benchmark are not able fully explain the returns of the mutual funds. Furthermore, the systematic risk is almost equal to that of the benchmarks, especially for the categories European equities and World equities. Together this indicates that the mutual funds seeks to replicate the benchmarks risk, but through an active strategy. The estimated Tracking Error and Information Ratio, confirms the results above. Accordingly to Information Ratio the mutual funds have performed neutrally. The Tracking Error generally lies in the interval 5 to 7 %, which together with the R 2 -adj. statistics from the SML-regression, indicates an active portfolio strategy. Assuming that the portfolio manager only is causing Tracking Error through an active strategy to generate performance, it is estimated whether there is a relationship between Tracking Error and performance. Regressions of the Jensen index on Tracking Error generally results in very low R2-adj. statistics, which means that the variability in performance is not explained by the variation in Tracking Error. Furthermore, Tracking Error tends to be very weakly correlated to performance. So the conclusion is that there is no evidence of that activeness creates performance. The overall conclusion is that it would have been an advantage to pursue a passive strategy like Tracking Error during the analysed period. The mutual funds have not been able to outperform their passive benchmarks during the period. Furthermore there is no indication that activeness can increase performance. Given the fact that you can save resources pursuing a passive strategy vs. an active the passive strategy would be preferable. iii

5 Indholdsfortegnelse Executive Summary Indholdsfortegnelse 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Professionel porteføljepleje Investeringsforeninger Porteføljeteori Markowitz porteføljeteori Forventet afkast og risici på enkeltaktiver Forventet afkast og risici på en portefølje, samt dens korrelation Diversifikation Den efficiente rand og det risikofrie aktiv Sharpes CAPM CAPM s forudsætninger og antagelser Kapitalmarkedslinien Security Market Line Kritisk stillingtagen til CAPM Performancemåling Sharpe-indekset Treynor-indekset Jensen-indekset (Jensens α) Valg af performancemål Den efficiente markedshypotese og performance Tracking Error og Information Ratio Enkelt-indeks modellen Tracking Error Information Ratio Kritisk stillingtagen til TE og IR

6 7 Datamaterialet Valg af investeringsforeninger og benchmarks Beskrivelse af inputdata Hensyntagen til valutakurser Valg af risikofri rente Datamaterialets anvendelighed til empirisk analyse Survivorship bias Den efficiente markedshypotese og random walk Normalfordelte afkast Operationalisering af afkast og risiko Præsentation og test af datamaterialet Input-data ens realiserede afkast og risiko Test for normalfordeling Analyse af danske investeringsforeningers performance Estimation af Jensens α for de udvalgte investeringsforeninger Danske aktier Europæiske aktier Globale aktier Resultater fra lignende undersøgelser Performance ud fra tracking error strategien Danske aktier Europæiske aktier Globale aktier Jensens α og tracking error Jensens α og tracking error på det danske marked Konklusion...72 Litteraturliste Bilagssamling 2

7 1 Indledning For en investor ville den perfekte investering bestå af et højt afkast med lille eller ingen risiko. Dog må man erkende, at realiteterne er en del anderledes. Der har sjældent været et større behov for værktøjer til at styre risikoen end den øjeblikkelige situation på verdensmarkederne. Ikke overraskende bliver der derfor vedvarende brugt ressourcer på udvikling af metoder eller strategier, der tilstræber den perfekte investering. Her har Harry Markowitz porteføljeteori igennem en årrække spillet en stor rolle. Teorien bygger på, hvorledes man kan konstruere porteføljer, hvor man muliggør optimering af investeringers afkast for en given risiko. Dermed kvantificerer teorien fordelene ved diversifikation put ikke alle dine æg i én kurv. Markowitz tilgang til teorien er aktivernes indbyrdes korrelation, som i al sin væsentlighed kræver et omfangsrigt analyseapparat, pga. de enorme mængder data dette kræver alt efter, hvor mange aktiver porteføljen består af. Med datidens (medio 1950) teknologi var Markowitz teori mere anvendelig i teorien end i praksis. William Sharpes videreudvikling af teorien anvender aktivernes korrelation med markedet som udgangspunkt, hvilket betyder en væsentlig reduktion af mængden af data. Dette har bl.a. ført til CAPM-modellen, som vi kender den i dag. Nutidens porteføljemanagere kan i dag kombinere Markowitz teorier og teknologien og derigennem optimere porteføljen og nyere undersøgelser har påvist, at porteføljekonstruktionen er meget vigtigere end markedstiming og udvælgelse af de enkelte aktiver 1, præcist som forudsagt af Markowitz i Det har dog vist sig, at selvom investorerne og de professionelle porteføljemanagerne i dag har sofistikerede værktøjer til at optimere deres porteføljer, udebliver resultaterne. Nærværende kandidatafhandling tager i vid udstrækning udgangspunkt i artiklen Professionel tøsedreng?, skrevet af direktør for kapitalforvaltningsselskabet Formuepleje A/S, Erik Møller i deres Formuemagasin oktober Artiklen giver et 1 Brinson, G.P.; Singer, B.D.; Beebower, G.L,

8 noget provokerende synspunkt på passiv porteføljepleje via indeksering, hvilket vil sige, at følge et givet indeks. Artiklen gengives her i en lidt forkortet udgave: I 1999, da aktiemarkedet var på sit højdepunkt, foretog den føderale amerikanske nationalbank, FED, en undersøgelse af, hvad private investorer tjente på investering i aktier. Siden 1995 havde aktiemarkedet i pro anno afkast givet over 15%, - men de private investorer havde kun opnået knap 5 % i afkast pro anno. I sig selv muligvis ikke så overraskende. Mere overraskende er det derimod, at kun ca. 20% blandt de professionelle porteføljemanagere har opnået et bedre afkast end indekset, hvilket har betydet, at kutymen blandt porteføljemanagerne er blevet, at man altid tager udgangspunkt i indekset, hvorefter man bruger udtrykket at under- eller overvægte aktier, alt efter om man har mere eller mindre investeret i aktien end dens vægt i det pågældende indeks. Effekten bliver, at man investerer store andele i aktier man egentligt ikke finder attraktive, men man har ikke modet til andet. Kutymen opmuntrer således porteføljemanagere til at foretage og bevare investeringer i noget de dybest set betragter som en dårlig investering. Med andre ord, så har manageren en fordel af, at aktier han har undervægt på, falder i kurs. Jo mere aktien falder, jo mere vil han slå sine konkurrenter og outperforme markedet. Manageren har herigennem udskiftet det oprindelige formål; at øge og bevare formuer, med det nye formål; at klare sig lidt bedre end kollegaen. Baggrunden for dette er, at porteføljemanagere kun måles på det relative afkast. Det vil sige, at manageren udelukkende vil få opbakning fra kunderne og sin chef, hvis han har skabt et relativt bedre afkast end konkurrenterne. Derfor er manageren begyndt at fokusere på sin egen risiko i stedet for at fokusere på kundens risiko i forbindelse med managerens investeringer. Til dette formål har man opfundet begrebet Tracking Error, hvilket er et risikomål der angiver, hvor langt de samlede investeringer ligger fra indekset (enten positivt eller negativt), målt i procent. Det kalder man risiko. Det kan højst være en måling, der viser, hvor stor risiko manageren har for at dumme sig og dermed risikoen for en fyreseddel. 2

9 1.1 Problemformulering Budskabet i ovenstående artikel er, at flere og flere investeringsforeninger har taget Tracking Error mål til sig som en del af varedeklarationen på foreningernes enkelte afdelinger. Det betyder, at traditionel diversifikation på porteføljemanager-niveau, i dag er trådt i baggrunden til fordel for fokus på Tracking Error og INFORMATION RATIO; hvor langt ligger porteføljen fra indekset og har den kunnet skabe et merafkast. Dvs., at en aktiv porteføljestrategi, hvor man ud fra empiriske kovarinanser og forventet afkast baseret på information, ønsker at opnå en bedre performance end et på forhånd sat benchmark, er på retur. Dette til fordel for en passiv porteføljestrategi som Tracking Error, hvor man blot forsøger at matche et benchmark eller i det mindste at overgå kollegaen. Hovedformålet med denne afhandling er således at søge at besvare spørgsmålet: Ville det i perioden oktober 1994 til og med januar 2002, have været nogen fordel at følge en passiv porteføljestrategi som Tracking Error contra en aktiv aktiediversifikationsstrategi? Til opfyldelse af dette formål, vil første del af afhandlingen søge at redegøre for den generelle porteføljeteori, herunder specielt Markowitz klassiske porteføljeteori og Sharpes CAPM. Denne redegørelse har til formål at lægge et teoretisk udgangspunkt for den empiriske del af afhandlingen. Indledningsvist vil afhandlingen give en kort beskrivelse af investeringsforeninger samt en kort redegørelse for de fordele og ulemper, der kan være i, som privatperson, at investere sine penge heri. Den første del af den teoretiske fremstilling vil være koncentreret omkring Markowitz resultater. Det vil sige, at der her søges redegjort for kvantificeringen af afkast og risiko på henholdsvis enkeltaktiver og for en portefølje. Herunder ses på, hvorledes aktivernes indbyrdes korrelation påvirker en porteføljes afkast og risiko, 3

10 hvorfor der vil være en kort redegørelse for diversifikation. Ud fra ovenstående vil den efficiente rand blive udledt og slutteligt bliver kapitalmarkedslinien (CML), der har en stor betydning for CAPM-teorien, udledt. Sharpes bidrag til porteføljeteorien vil være den anden del af den teoretiske fremstilling. Denne del vil med udgangspunkt i Markowtiz teorier udlede Security Market Line (SML). Capital Asset Pricing Modellen sammenkobler teorierne omkring den efficiente rand, kapitalmarkedslinien og SML-linien, hvorfor afhandlingen vil indeholde en kritisk gennemgang af modellen, med hovedvægten lagt på modellens forudsætninger og en diskussion af de praktiske problemer disse forudsætninger medfører. Med afsæt i porteføljeteorien bliver der redegjort for de tre klassiske performanceevalueringsmål; Sharpe-indekset, Treynor-indekset og Jensen-indekset. Redegørelsen vil indeholde en kritisk diskussion af performancemålenes forudsætninger og praktiske anvendelse, hvorefter et af målene bliver valgt til den empiriske del af opgaven. I den sidste del af den teoretiske fremstilling redegøres for begreberne Tracking Error og Information Ratio, der med større og større hyppighed bliver anvendt af investeringsforeninger. Tracking Error fortæller, hvor langt investeringen ligger i forhold til dets benchmark, hvor Information Ratio er det dertil hørende performancemål, der fortæller om investeringen har kunnet skabe et merafkast. Indledningsvist vil afsnittet beskrive enkelt-indeks modellen, da Tracking Error tager sit udgangspunkt heri. Afhandlingen vil søge at redegøre for antagelserne bag Tracking Error og Information Ratio og give en kritisk stillingtagen hertil. Afhandlingens anden del vil være den empiriske analyse, der skal søge at give svar på afhandlingens formål. Indledningsvist bliver datamaterialet beskrevet og kommenteret, hvilket vil sige, at der bliver redegjort for valget af investeringsforeninger, benchmarks mv., hvorefter materialet vil blive testet med henblik på analysen. 4

11 Den egentlige performanceevaluering af de udvalgte investeringsforeninger vil dernæst blive gennemført. Her analyseres, hvorledes investerings-foreningerne har klaret sig ifølge det udvalgte klassiske performancemål og Information Ratio, samt størrelsen på investeringsforeningernes Tracking Error. Endeligt afsluttes med en analyse af sammenhængen mellem Tracking Error og den klassiske diversifikationsstrategi. Der søges herigennem at give et svar på, om en investeringsforening kan øge sin performance i forhold til et givet benchmark ved at følge en Tracking Error strategi. Overordnet vil der således søges at løse følgende problemstillinger, for at kunne give et svar på afhandlingens hovedformål: 1) Hvad er en investeringsforening og hvorfor /hvorfor ikke investere heri? 2) Hvorledes kan afkast og risiko kvantificeres ud fra en hensynstagen til aktivernes indbyrdes korrelation? 3) Hvordan udledes den efficiente rand? 4) Hvordan udledes de karakteristiske markedslinier kapitalmarkedslinien (CML) og Security Market Line (SML)? 5) Hvilket klassisk performanceevalueringsmål er optimalt for investeringsforeninger? 6) Hvad er Tracking Error og Information Ratio? 7) Hvilke data er hensigtsmæssig til analysen? 8) Hvordan har investeringsforeningerne performet over perioden og hvor langt ligger de fra deres benchmark? 9) Hvad er sammenhængen mellem Tracking Error og den klassiske aktiediversifikationsstrategi og kan vi bruge disse oplysninger? 1.2 Afgrænsning Afhandlingens analyse vil udelukkende blive foretaget på danske investeringsforeninger, som alene investerer i aktier og har et erklæret benchmark, der svarer til et af de i afhandlingen valgte benchmark, de evaluerer deres performance 5

12 efter. Der er valgt, at investeringsforeningerne som indgår i analysen, skal have eksisteret over hele den valgte tidsperiode, hvorfor foreninger, der kun har eksisteret i dele af perioden, er fravalgt. Nytteteori vil ikke blive behandlet i afhandlingen, da den som sådan ikke har indflydelse på porteføljeteorien, men derimod kan ses som en overbygning til porteføljeteorien, hvor den kan benyttes til at finde investors optimale portefølje ud fra deres risikoprofil. Teorien er ikke udeladt pga. manglende relevans, men ud fra det faktum, at den ingen betydning har for afhandlingens empiriske analyser. Ikke alle begreber fra den teoretiske fremstilling vil blive anvendt i den empiriske analyse, idet kun den teori, der er relevant for analysen inddrages. F.eks. vil den efficiente rand ikke blive konstrueret i den empiriske del, men da den alligevel har stor betydning for porteføljeteorien, inddrages den som en naturlig del af teorien. For hvad angår performanceevalueringsmålene ses udelukkende på ex-post målinger. Dette da afhandlingens formål er at undersøge, hvordan investeringsforeningerne har gjort det over den valgte periode og ikke give et bud på, hvordan de vil gøre det i fremtiden. Der tages i afhandlingen ikke højde for transaktionsomkostninger mv., der må være forbundet med køb og salg af aktier og andele i investeringsforeninger, men betydningen heraf vil blive kommenteret, specielt under gennemgangen af Tracking Error. Alle analyser er baseret på en før-skat betragtning. Dette gøres især da afkastet ofte vil være skattefrit for investor 2. 2 Afkast fra investeringsforeninger underligger en såkaldt treårs-regel, som medfører at afkast i form af kursgevinster er skattefrie, hvis investeringen har haft en varighed på minimum 3 år. Dette har dog ikke været gældende over hele perioden, men forudsættes således. 6

13 2 Professionel porteføljepleje En privat investor eller en juridisk person har, når denne ønsker at foretage en investering i aktier, reelt to muligheder. Selv at investere sine penge direkte i aktiemarkedet, eller at få en professionel porteføljemanager til at foretage sine investeringer. Der kan være mange årsager til, at man som privat investor ønsker at lade en porteføljemanager foretage investeringen. Primært er det selvfølgelig et håb om, at porteføljemanageren kan opnå et større afkast for en given risiko, end hvis investor selv foretog investeringen. Ofte vil investor ikke føle sig i stand til at udvælge, hvad der skal investeres i på et betryggende grundlag, hvorfor denne håber, at porteføljemanageren har den tilstrækkelige viden. Omkostningsmæssigt kan det også være en fordel at overlade sine penge til en porteføljemanager. Som privat investor kan det være meget omkostningstung (kurtager mm.) at sammensætte en veldiversificeret portefølje, hvilket medfører, at investor på grund af begrænsninger i sin formue, er tvunget til at holde en dårlig diversificeret portefølje. Hos den professionelle porteføljemanager bliver den enkelte investors penge normalt slået sammen med en række andre investorers penge, således at de udgør en større pulje og herigennem vil handelsomkostningerne kunne minimeres. Endvidere er det ofte således, at de professionelle investorer møder noget lavere handelsomkostninger, end man gør som privatperson. Til gengæld vil porteføljemanageren normalt kræve en vis betaling for sin service. Hvor stor denne omkostning er og hvorledes den kalkuleres, varierer mellem de forskellige typer af professionel porteføljepleje og mellem de forskellige aktører. En af de mest anvendte former for professionel porteføljepleje er investeringsforeninger. Dvs., at man som privat investor kan købe andele i en forening, der så investerer penge i aktier eller obligationer mv.. Selvom der findes mange forskellige former for investeringsforeninger, er de alle underlagt de samme stramme regler. Det følgende afsnit vil kort skildre investeringsforeningernes egenskaber som professionel porteføljeplejer, beskrive udviklingen i de danske 7

14 investeringsforeninger samt kort komme ind på, hvilke fordele og ulemper der kan være i investeringsforeninger. 2.1 Investeringsforeninger En investeringsforening er en sammenslutning af investorer, som overlader det til foreningen at foretage de enkelte investeringer. Investeringsforeningerne er ikke egentlige erhvervsdrivende selskaber, men en kollektiv investeringsform. Medlemskab af en forening opnås ved at købe investeringsandele/-beviser, der kan købes i pengeinstitutter eller hos børsmæglere og efter foreningens omkostninger til f.eks. køb og salg (spreads) og administration fordeles et evt. overskud mellem medlemmerne. En investeringsforening består typisk af den del afdelinger, hvor hver enkelt afdeling har en klart defineret investeringsprofil. Den enkelte afdeling i en investeringsforening kan generelt enten være akkumulerende eller udbyttebetalende. Akkumulerende afdelinger geninvesterer hele deres overskud og udlodder derfor ikke udbytte, hvilket vil sige, at medlemmer af sådanne afdelinger opnår afkast alene gennem kursgevinster. Modsat findes de udbyttebetalende afdelinger, der udlodder en del af deres overskud som udbytte. Medlemmer heraf modtager således både afkast via udbytter samt via kursgevinster. Endvidere eksisterer der også PAL-afdelinger (PAL = Pensionsafkastbeskatningsloven) der er specialforeninger forbeholdt pensionskunder. PAL-afdelinger er akkumulerende og er ikke omfattet af 3-årsreglen om beskatning af afkast. Derudover har de flere placeringsmuligheder end de traditionelle afdelinger, hvilket øger deres muligheder for diversifikation. Investeringsforeninger reguleres af en række forskellige regler og love, hvoraf de fleste regler er stadfæstet i Lov om Investeringsforeninger og Specialforeninger, der nøje foreskriver, hvorledes midlerne skal håndteres og investeres. Finanstilsynet er den kontrollerende myndighed som løbende kontrollerer at lovene overholdes. Generelt er investeringsforeningernes investeringsstrategi forholdsvis aktiv, hvilket vil sige, at foreningen søger at sammensætte investeringerne ud fra nogle forventninger til den økonomiske udvikling. Dvs., at de søger at kunne overperforme 8

15 et i forvejen fastsat benchmark, hvilket f.eks. kunne være et aktieindeks eller obligationsindeks. I de senere år er der opstået såkaldte indeksafdelinger, der i modsætning til de aktivt styrede investeringsforeninger, har en passiv investeringsstrategi. Dvs. at foreningens portefølje sammensættes i nøje overensstemmelse med de officielle børsindeks og følger nøje disse op og ned. Afkastmæssig er der ingen garanti for, at de klarer sig bedre end aktivt styrede afdelinger, men administrationsomkostninger tenderer mod at være lidt lavere, blandt andet fordi der ikke skal afholdes udgifter til værdipapiranalyse og fordi omkostningerne til køb og salg er forholdsvist små. Siden 1956, hvor den første egentlige danske investeringsforening blev stiftet, er der sket en kraftig udvikling i investeringsforeningerne. Ultimo april 2004 var der godt medlemmer i investeringsforeningerne og de ejede investeringsbeviser for 436 mia. kr. Siden ultimo 2002 er der sket en stigning på 151,6 mia. kr. eller på over 53 %. Formuefordelingen pr. 30. april 2004 var 21,9 mia. i danske aktier, 117,6 mia. i udenlandske aktier, 161,2 mia. i danske obligationer, 131,5 mia. i udenlandske obligationer og 3,9 mia. i blandede afdelinger. Antallet af afdelinger i de 20 investeringsforeninger er siden ultimo 2002 til ultimo april 2004 steget fra 486 til 496, hvoraf 83 er akkumulerende, 349 er udbyttebetalende og 65 er PAL-afdelinger. ( Som medlem i en investeringsforening får investor en række fordele: Risikospredning (diversifikation) Lettere adgang til værdipapirmarkederne i udlandet En på forhånd defineret investeringsprofil Løbende pleje af investeringerne Lave omkostninger (stordriftsfordele og information) Indflydelse gennem årlig generalforsamling Offentligt tilsyn ved Finanstilsynet Kursen på beviserne ligger altid tæt på den reelle værdi (indre værdi) Lovsikret adgang til indløsning af andelene (til indre værdi) 9

16 Ovenstående er stadfæstet i Lov om investeringsforeninger og specialforeninger. Der er dog også ulemper ved at være medlem af en investeringsforening. Bl.a. tager investeringsforeningerne penge for at købe og sælge investeringsbeviserne, hvilket normalt ligger omkring 2-3 % af den indre værdi og alle omkostninger i forbindelse med foreningens administration og handel med aktiver dækkes fuldt ud af medlemmerne. Samtidig mister investor muligheden for 100 % selv at udvælge, de aktiver porteføljen skal bestå af. De ovennævnte ulemper opvejes dog til dels af, at hvis investor selv skulle investere sine midler direkte i akter og obligationer, ville dette som sagt blive omkostningstungt, samt det at investor selv kan vælge, om han vil investere i f.eks. danske eller amerikanske aktier eller f.eks. lav- eller højrisiko aktier. 3 Porteføljeteori Porteføljeteorien er en af hjørnestenene i finansieringsteorien. Specielt to personer har haft stor betydning for teorien, nemlig Harry M. Markowitz og William F. Sharpe, som også kaldes porteføljeteoriens fædre, hvorfor det også er deres teorier, der fremlægges i det følgende. 3.1 Markowitz porteføljeteori I 1952 publicerede Harry M. Markowitz artiklen Portfolio Selection, hvilket markerede begyndelsen på en ny type investeringsundersøgelse og -analyse, baseret på en idé om at bruge statistiske mål for afvigelse som et mål for risiko. Porteføljeteorien, der her blev grundlagt, fastlægger en porteføljes sammensætning, hvorved der kan opnås størst muligt afkast for en given risiko. Dette gøres ud fra separationsprincippets tre faser, hvor den efficiente rand bestemmes ud fra det forventede afkast og risiko, den efficiente rand kombineres med et risikofrit aktiv og 10

17 investors indifferenskurver sammenholdes med den efficiente rand 3, hvorefter den optimale porteføljesammensætning kan determineres. Teorien bygger på følgende forudsætninger om investors adfærd: a) Investor er nyttemaksimerende, hvilket betyder, at investor altid vil foretage sine investeringer med det formål at maksimere nytten. Investor vil altså foretrække højere afkast frem for et lavere afkast. b) Investor er risikoavers. Dvs. at ved valg mellem to aktiver, der har samme afkast, vil investor altid vælge aktivet med lavest risiko. c) Investor kan vælge mellem forskellige porteføljer udelukkende på baggrund af det forventede afkast og risikoen. Til forudsætning c) skal dog knyttes enkelte kommentarer: For at investor skal kunne vælge mellem forskellige porteføljer, ud fra det forventede afkast og risikoen, kræves det, at porteføljeafkastet er normalfordelt 4 eller at investors nyttefunktion er kvadratisk. Hertil skal siges, at forudsætningen om at investors nyttefunktion er kvadratisk, har to urealistiske implikationer (se Steinbach, M.C., 2001). For det første vil det betyde, at øget rigdom betyder faldende nytte. Sjældent vil man vel møde en investor, der ikke ønskede at tjene flere penge. For det andet vil det betyde, at risikovilligheden er faldende ved stigende rigdom. Normalt vil formuende mennesker tage større økonomisk risici end mindre formuende mennesker. Under ovenstående forudsætninger, siges et enkelt aktiv eller en portefølje at være efficient, hvis intet andet aktiv eller portefølje kan tilbyde et højere forventet afkast ved samme risiko eller en lavere risiko ved samme forventede afkast. Dette udspringer generelt af den efficiente markedshypotese (EMH), der fremhæver, at man aldrig vil 3 Separationsfasens sidste trin, behandles dog ikke nærmere i afhandlingen, jf. afsnit 1.2 Afgrænsning. 4 Selvom normalfordelings-forudsætningen ikke er opfyldt for de enkelte aktiver, vil afkastet af en veldiversificeret portefølje, der er sammensat af disse aktiver, approksimativt være normalfordelt (Haugen, 1990). 11

18 kunne forvente at opnå et overnormalt afkast, da risiko og afkast altid hænger sammen 5. For investor er det disse efficiente porteføljer, der er interessante. Dvs., at den vigtigste opgave i enhver praktisk porteføljeovervejelse består i at søge at maksimere det forventede afkast for en given risiko eller at minimere risikoen for et givet afkast Forventet afkast og risici på enkeltaktiver Udgangspunktet er, at alle aktiver er mere eller mindre risikofyldte, hvorfor det forventede afkast er usikkert/ukendt. Der skal derfor findes en måde, hvorpå det forventede afkast og risikoen på et enkelt aktiv kan beskrives. Det forventede afkast af aktiv i, E(r i ) kan udtrykkes som: (3.1) E(r i ) = Σ q t * r it t=1 N hvor q t angiver sandsynligheden for observation t, r it angiver afkastet for observation t og N er antallet af observationer. Risikoen kan beskrives ud fra standardafvigelsen på aktivets afkast via formlen: (3.2) σ (r Σ q t * (r it * E(r i )) 2 i ) = N t=1 Empirisk er det bevist, at der er et umiddelbart forhold mellem afkast og risiko, således at et højere afkast ledsages af en højere risiko (Christensen, M. & Pedersen, F., 1998, p. 42). Dette kan anskueliggøres på følgende måde: 5 EMH beskrives nærmere i afsnit 5 12

19 Ved at antage at afkastet på aktiver er normalfordelt, der er en udbredt antagelse indenfor porteføljeteorien, kan afkastfordelingen beskrives udelukkende ud fra det forventede afkast og standardafvigelsen. Figur 3.1: Normalfordeling for afkast på aktiver Kilde: Egen tilvirkning Afkast Som det ses i figuren antager afkastfordelingen, beskrevet ud fra det forventede afkast og risikoen, en klokkeform, hvor klokken er højest ved afkastets middelværdi. Ligeledes ses i figuren, at den fladeste af klokkerne er bredere, hvilket også indikerer, at dens standardafvigelse er større og dermed indeholder mere risiko Forventet afkast og risici på en portefølje, samt dens korrelation Ved at kende det forventede afkast på et enkelt aktiv, kan man beregne det forventede afkast på en portefølje bestående af N aktiver. Her skal enkeltaktivernes afkast indgå med den andel aktivet har i porteføljen. Dette kan beregnes som: (3.3) E(r p ) = Σ q i * E(r i ) N i=1 hvor E(r p ) angiver det forventede afkast på porteføljen, q i angiver aktivets andel i porteføljen og N her angiver antallet af aktiver, der indgår i porteføljen. Dvs., at en porteføljes afkast beregnes som en vægtning af de enkelte aktivers forventede afkast, i forhold til aktivernes respektive andele af den samlede portefølje. 13

20 Porteføljens risiko beregnes ved at finde standardafvigelsen på porteføljen. Dette er ikke lige så simpelt som at finde porteføljens afkast, da man ikke blot kan vægte de enkelte aktivers standardafvigelse, men samtidig skal tage hensyn til kovariansen mellem aktiverne. Med andre ord skal der tages højde for den diversifikationsgevinst man får, når man danner en portefølje af flere aktiver. Ved at sammensætte flere aktiver med mindre end fuldstændig korrelation, vil man således reducere porteføljens risiko samtidig med at opretholde porteføljens afkast. Porteføljens risiko kan beregnes på følgende måde: (3.4) σ (r p ) = N N Σ Σ x i * x i * Cov(r ij ) i=1 j=1 hvor Cov(r ij ) angiver kovariansen mellem aktiv i og aktiv j, der kan beregnes som: (3.5) Cov(r ij ) = N Σ q t * (r it - E(r i )) * (r jt - E(r j )) t=1 Formlen angiver, at kovariansen mellem eksempelvis to aktiver, udtrykker summen af de periodevise kursafvigelser i forhold til de respektive aktivers forventede afkast. En positiv kovarians opnås hermed, hvis begge aktiver afviger positivt eller negativt i forhold til deres forventede afkast. Hvis det ene aktiv derimod afviger positivt og det andet negativt fra det forventede afkast, fremkommer en negativ kovarians. Kovariansen svinger, som det kan ses af ovenstående, mellem og, hvorfor at den rent intuitivt kan være vanskelig at fortolke. Med fordel kan man derfor standardisere udtrykket ved at dividere kovariansen mellem aktiverne, med deres pågældende standardafvigelser multipliceret, hvorefter korrelationskoefficienten fremkommer. (3.6) ρ ij = σ (r ij ) σ (r i )* σ (r j ) 14

21 Korrelationskoefficienten, der ligger i intervallet mellem -1 og +1, hvorfor den intuitivt er nemmere at fortolke end kovariansen, har en relativt stor betydning for sammenhængen mellem det forventede afkast og risikoen, hvilket kan ses i nedenstående figur. Figur 3.2: Korrelationens betydning for sammenhængen mellem E(r p ) og σ p E(rp) j ρ = -1 ρ = -½ ρ = 0 ρ = 1 ρ = -1 i Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Christensen, M. & Pedersen, F., Note: ρ = korrelationskoefficient, i og j er enkeltaktiver σ(rp) Som det ses i figuren, vil diversifikationsgevinsten ikke kunne opnås ved en 100 % investering i enkeltaktiverne i eller j, idet man udelukkende vil kunne opnå enkeltaktivets afkast for en given risiko. Dog ved at kombinere de to aktiver, er der en mulighed for at kunne reducere risikoen, hvis de to aktiver ikke varierer sammen. Hvis der ikke er samvariation mellem aktiverne i og j, vil man opnå en perfekt negativ korrelation (ρ = -1) og herved kan man reducere risikoen til 0 samtidig med, at man opretholder et afkast, der ligger over en 100 % investering i det aktiv, der har lavest afkast. Modsat vil man ved en perfekt positiv korrelation (ρ = 1), hvor aktiverne samvarierer perfekt, ikke opnå nogen risikoreduktion, hvilket kan ses ud fra den lineære sammenhæng mellem i og j. Porteføljens afkast kan dog uanset aktivernes sammensætning og indbyrdes korrelation, ikke ligge henholdsvis højere eller lavere end det aktiv med det højeste eller laveste afkast 6. Som det ligeledes fremgår af figuren, jo mere positiv den indbyrdes korrelation mellem aktiverne er, jo mere reducerer man også muligheden 6 Hvis man som her ser bort fra muligheden for kortsalg. 15

22 for risikoreduktion gennem porteføljesammensætningen. Porteføljens risiko kan derfor kun blive mindre en den laveste af aktivernes risiko, såfremt den indbyrdes korrelation er lavere end forholdet mellem de to aktivers standardafvigelser (Harbjerg, P., 1991a). De lineære sammenhænge, der fremkommer ved de to ekstreme situationer med henholdsvis perfekt positiv og negativ korrelation, danner en trekant, der udstikker de ydre grænser for porteføljens mulige risiko, hvilket betegnes som værende porteføljens kritiske rand Diversifikation I ovenstående afsnit blev der vist, hvorledes der kan opnås en diversifikationsgevinst ved at investere i 2 aktiver, medmindre der er positiv korrelation mellem dem. Dog skal man være opmærksom på, at al risiko ikke kan bortdiversificeret. Dette skyldes, at en porteføljes risiko kan opdeles i både systematisk og usystematisk risiko. Den systematiske risiko er en følge af generel usikkerhed i økonomien såsom økonomisk politik, inflation, mv., og må derfor i vid udstrækning forventes at have samme indvirkning på alle aktiver i økonomien. Den usystematiske risiko er derimod risiko, der er specifik for det enkelte aktiv, såsom branchemæssige forskelle, udbyttepolitik, produktudvikling mv.. Figur 3.3: Udvikling i en porteføljes risiko ved inddragelse af flere aktiver σ 2 (rp) Usystematisk risiko Systematisk risiko Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Chritensen, M. & Pedersen, F., 1998 M 16

23 Da den usystematiske risiko antages at påvirke alle aktiver i en portefølje ens, kan den ikke diversificeres bort. Derimod kan den usystematiske risiko bortdiversificeres jo flere aktiver man inkluderer i porteføljen, da flere aktiver man inkluderer, jo mindre følsom vil porteføljen være overfor det enkelte aktivs risiko. Det vil sige, at når man taler om diversifikation, er det reelt den usystematiske risiko, der er af interesse. I ovenstående figur illustreres dette ved at tage udgangspunkt i risikoen for en portefølje, bestående af 2 aktiver og dernæst konstant øge antallet af aktiver til M. Af hensyn til overskueligheden i figuren, forudsættes at aktiverne indgår i porteføljen med samme vægt (x i = 1/M) og risiko samt, at den indbyrdes korrelation (ρ ij ) er lig Den efficiente rand og det risikofrie aktiv Den efficiente rand er et begreb der dækker over de kombinationsmuligheder, hvor det forventede afkast for en given risiko er størst muligt eller risikoen for et givet afkast er mindst muligt. Figur 3.4: Den efficiente rand og Minimums Varians Porteføljen (MVP) E(r) Den efficiente rand MVP σ(r) Kilde: Egen tilvirkning Note: MVP er Minumums Varians Portføljen. Det skraverede område er porteføljer der ligger under den efficiente rand og derfor domineret af de efficiente porteføljer, der ligger på randen. Den efficiente rand er defineret ved at have sit udgangspunkt i Minimums Varians Porteføljen (MVP), som er en speciel porteføljekombination indenfor den kritiske rand. Som det kan aflæses i ovenstående figur 3.4, er MVP den 17

24 porteføljekombination, der har lavest mulig risiko 7. Dette betyder, at alle de porteføljekombinationer som har et afkast, der er mindre end MVP, ikke vil være en del af den efficiente rand, idet disse porteføljer vil være domineret af porteføljer med samme risiko, men med et højere afkast. Hvis der ikke eksisterer et risikofrit aktiv, vil investorerne investere i en portefølje, der ligger på den efficiente rand. Dvs., at det er investors risikoaversion, der bestemmer hvilken portefølje der vælges. Hvis investor er meget risikoavers, vil investor vælge MVP, der jo er kendetegnet ved lavest mulig risiko og jo mindre risikoavers investor er, jo længere mod højre vil investor bevæge sig ad den efficiente rand. Hvis der derimod eksisterer et risikofrit aktiv, r f, har investor, udover at placere sin formue i en given risikofyldt porteføljekombination, muligheden for at placere en del af sin formue i en risikofri rente. Den risikofrie rente er kendetegnet ved en investering, der hverken er forbundet med rente- eller kreditrisiko (Harbjerg, P., 1991a). Dette kunne f.eks. være korte statsobligationer, skatkammerbeviser eller CIBOR 8. Figur 3.5: Den efficiente rand med et risikofrit aktiv E(r) CML Optimal kombinationsportefølje rf MVP σ(r) Kilde: Egen tilvirkning 7 Hvis man som her ser bort fra muligheden for kortsalg. 8 Disse er dog forbundet med forholdsvis begrænset rente- og/eller kreditrisiko, men er nok det nærmeste man kommer en risikofri investering. 18

25 Jf. ovenstående figur 3.5 ses, at man ved at kombinere den efficiente rand med et risikofrit aktiv får en lineær sammenhæng, nemlig en linie der netop tangerer den efficiente rand. Denne linie kaldes for kapitalmarkedslinien, herefter benævnt CML (Capital Market Line) og inkluderer alle efficiente porteføljer. Hvis man ser bort fra muligheden for kortsalg, og x p angiver den andel, der investeres i den risikofyldte portefølje, kan det forventede afkast for den kombinerede portefølje, E(r c ) beskrives som (Christensen, M. & Pedersen, F., 1998 p. 59): (3.7) E(r c ) = (1-x p )*r f +x p * E(r p ) = r f +x p *(E(r p )-r f ) hvor udtrykket E(r p )-r f kaldes risikopræmien, der angiver porteføljens merafkast ud over den risikofrie rente. På samme måde kan den kombinerede porteføljes risiko udtrykkes som (Christensen, M. & Pedersen, F., 1998): (3.8) σ (r (1-x p ) 2 * σ (r f ) 2 +x 2 p * σ (r p ) 2 c ) = +2*x p *(1-x p )* σ (r f )* σ (r p )* ρ (r fp ) = x p * σ (r p ) Da risikoen på det risikofrie aktiv er antaget lig nul, er kovariansen mellem den risikofyldte portefølje og det risikofrie aktiv samtidig nul, hvorfor man opnår, at den kombinerede porteføljes risiko er lig den risikofyldte porteføljes andel multipliceret med dennes risiko. Som det fremgår af formel 3.7, stiger det forventede afkast proportionalt med risikopræmien, mens den kombinerede porteføljes risiko stiger proportionalt med risikoen på den risikofyldte portefølje, når man øger andelen placeret i den risikofyldte portefølje. 19

26 Ved at indsætte formel 3.8 i formel 3.7, der udtrykker det forventede afkast for den kombinerede portefølje, findes følgende E(r p )-r f (3.9) E(r c ) = r f + *σ (r c ) σ (r p ) som udtrykker den rette linie CML, der beskriver forholdet mellem risiko og afkast for den risikofyldte portefølje kombineret med et risikofrit aktiv. Liniens skæringspunkt med y-aksen er angivet ved den risikofrie rente og hældningen ved risikopræmien pr. risikoenhed, kaldt Reward-to-Variability ratioen. Som investor skal man derfor søge at finde kapitalmarkedslinien med den største hældning. 3.2 Sharpes CAPM Efter at Markowitz havde præsenteret og videreudviklet sin porteføljeteori, som generelt omhandler, hvorledes man sammensætter enkeltaktiver til porteføljer, udviklede William F. Sharpe, John Litner og Jan Mossin i midten af 1960 erne CAPM 9. Som navnet Capital Asset Pricing Model udtrykker, er målet med modellen at prisfastsætte aktiver, hvilket gør, at den er en modsætning til Markowitz porteføljeteori, hvor det enkelte aktivs prisfastsættelse ignoreres. Endvidere tager CAPM udgangspunkt i aktivernes korrelation med markedet i stedet for korrelationen mellem aktiverne. Udgangspunktet for modellen er, at de finansielle aktiver er i ligevægt og ved at formulere CAPM som en ligevægtsmodel kan man beregne såvel det relevante risikomål som sammenhængen mellem forventet afkast og risiko for samtlige aktiver. Dvs. både efficiente og inefficiente aktiver. 9 Primært er det dog Sharpe s navn der sættes forbindelse med modellen. 20

27 Da CAPM bygger på en række forsimplede forudsætninger og antagelser, der praktisk set synes restriktive og urealistiske, vil disse indledningsvist blive gennemgået. Rimeligheden i disse forudsætninger og antagelser vil blive diskuteret i afsnit CAPM s forudsætninger og antagelser CAPM bygger på følgende forudsætninger, der kan deles op i forudsætninger om henholdsvist investorerne og markedet. Forudsætninger om investorerne: a) Investorerne er nyttemaksimerende. CAPM bygger således på den antagelse at alle investorer er porteføljeinvestorer, der foretager en Markowitz optimering af deres porteføljer, hvilket vil sige, at de kun vælger at investere i porteføljer der ligger på den efficiente rand. De ønsker dermed at maksimere deres afkast for en given risiko, hvilket samtidig betyder, at det eneste der er relevant for investorerne, er det forventede afkast og risikoen. b) Investorerne er risikoaverse. Ved valg mellem to aktiver, der har samme afkast vil investorerne altid vælge aktivet med lavest risiko. c) Alle investorer har samme investeringshorisont og har homogene forventninger. Dvs., at de er enige om det forventede afkast og risikoen for enkeltaktiverne samt kovariansen mellem disse. Dette betyder, at alle investorer endvidere vil være enige om den efficiente rands udseende. Som det ses vælger investorerne mellem porteføljer på basis af deres kendskab til det forventede afkast og risikoen. For at investor frit kan vælge mellem disse porteføljer ud fra kendskabet til forventet afkast og risiko, skal en af følgende betingelser være opfyldt: d) Porteføljeafkastene skal være normalfordelte. e) Forholdet mellem investors nytte og værdien af porteføljen er af kvadratisk form. Disse to betingelser er uddybet i afsnit 3.1, hvorfor der henvises til dette. 21

28 Samtidig gælder følgende forudsætninger om markedet: f) Kapitalmarkedet er friktionsløst. Der findes således ingen transaktionsomkostninger, hvad enten det gælder direkte eller i form af spreads og investorerne betaler ikke skat. Der er ingen restriktioner på kortsalg. g) Alle aktiver er delelige. Man kan derfor købe aktier helt ned til mindste møntenhed. h) Der findes et risikofrit aktiv som investor kan låne og udlåne ubegrænsede beløb i. i) Markedet er informativt efficient. Alle investorer ligger derfor inde med samme information og ingen har mulighed for selvstændigt at påvirke markedspriserne. Ud fra ovenstående forudsætninger kan CAPM udledes Kapitalmarkedslinien Udgangspunktet er ligesom i Markowitz teori den efficiente rand, med inddragelse af et risikofrit aktiv. Ud fra forudsætningen om, at der ingen restriktioner er på kortsalg, indgår dog også andre portefølje end dem, der ligger på den efficiente rand (segmentet MVP til B), nemlig porteføljer som ligger i segmentet A til MVP), jf. nedenstående figur 3.6. Figur 3.6: CML og markedsporteføljen E(r) C B Markedsporteføljen r f MVP A Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Christensen, M & Pedersen, F., 1998 σ(r) 22

29 Forudsætningen om, at man kan låne og udlåne til den risikofrie rente betyder, at der findes én og kun én optimal portefølje, her angivet ved markedsporteføljen i figur 3.6, der er en optimal sammensætning mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje. Som det fremgår af figur 3.6, findes markedsporteføljen som tangeringsporteføljen mellem den efficiente rand og CML. Denne portefølje kaldes markedsporteføljen, da alle investorer holder denne portefølje. Dette givet ud fra forudsætningerne om, at alle investorer har samme homogene forventninger og står overfor den samme risikofrie rente 10. Udtrykket for CML udtrykkes ligesom i Markowitz teorier som E(r M )-r f (3.10) E(r p ) = r f + *σ (r p ) σ (r M ) dog til forskel, at den risikofyldte portefølje er udskiftet med markedsporteføljens forventede afkast E(r M ) og risiko σ(r M ). Da der er tale om en ligevægtsteori, har markedsporteføljen den egenskab, at den indeholder alle aktiver i økonomien. Dvs., at hvis et aktiv er prisfastsat for lav eller for højt vil det påvirke hhv. udbuddet og efterspørgslen. Ved manglende udbud vil prisen blive presset op og ved manglende efterspørgsel vil prisen blive presset ned, hvorved der skabes en ligevægtspris på aktivet Security Market Line Som beskrevet i afsnit 3.1.4, ligger alle efficiente porteføljer på CML, hvilket vil sige, at deres forventede afkast er perfekt korreleret. Da markedsporteføljen er efficient, vil det betyde, at de efficiente porteføljers forventede afkast er perfekt korreleret med det forventede markedsafkast, E(r M ). Hvis en porteføljes forventede afkast er perfekt 10 I praksis vil der dog være forskel på udlåns- og indlånsrenten, hvorfor der vil være et knæk på kapitalmarkedslinien. 23

30 korreleret med E(r M ), vil dens karakteristiske linie udelukkende repræsentere porteføljens relation til markedet. Dette betyder, at en efficient porteføljes risiko udelukkende består af systematisk risiko eller sagt på en anden måde: Hvis en portefølje indeholder usystematisk risiko er den ikke efficient (Sharpe, W., 1999, p. 97). Det vil sige, at en porteføljes totale risiko er irrelevant, når man taler om en veldiversificeret portefølje, hvorfor CML, der bygger på porteføljens totale risiko, reelt også er irrelevant, når man skal finde den optimale portefølje. Den karakteristiske linie SML kan udtrykkes som: (3.11) E(r p ) = r f + β p *(E(r M )-r f ) Denne kendes også som Capital asset pricing relationen, hvor udtrykket E(r M )-r f angiver markedets merafkast i forhold til den risikofrie rente og β p, der angiver porteføljens systematiske risiko som er lig σ(r pm )/σ 2 (r M ). Figur 3.7: Security Market Line E(r) SML E(rm) Markedsporteføljen rf 1 Kilde: Egen tilvirkning på baggrund af Christensen, M. & Pedersen, F., 1998 β I modsætning til CML, kan man ved hjælp af SML prisfastsætte alle enkeltaktiver eller porteføljer af aktiver, hvad enten de er efficiente eller inefficiente. (Christensen, M. 2003, p. 130). Dette skyldes, at det udelukkende er aktivets eller porteføljens β, 24

31 der er aktivspecifikt, som har betydning for bestemmelsen af aktivets eller porteføljens forventede afkast, hvilket er illustreret i ovenstående figur Kritisk stillingtagen til CAPM Som allerede fremhævet i afsnit 1.2 og 1.2.1, hvor der redegøres for CAPM s forudsætninger, er der en række problemer med disse i relation til virkeligheden. Et af elementerne i modellen man skal være opmærksom på, er antagelserne omkring inputtene i modellen. Primært estimeres risikoen ud fra enten historiske observationer eller subjektive forventninger, hvilket i høj grad vil kunne påvirke modellens output. En historisk lav eller høj risiko er ikke ensbetydende med en fremtidig lav eller høj risiko, hvilket skal ses i lyset af, at der er mange både mikro- og makroøkonomiske faktorer, der kan påvirke et aktivs risiko. Endvidere viser modellen, hvorledes man skal differentiere risikopræmien, men selve risikopræmiens størrelse er eksogent givet. Risikopræmien vil givetvis variere over tid og hænger i høj grad sammen med udviklingen i investors risikoaversion. For eksempel vil investors risikoaversion mindskes i en periode med højere afkast på aktiemarkederne, hvilket vil resultere i en lavere risikopræmie. Men på samme måde som med aktivers risiko, er det problematisk at vurdere udviklingen i investors risikoprofil subjektivt eller ud fra historiske observationer. Selve forudsætningen om, at investorerne har homogene forventninger, hvilket må siges at være meget tvivlsomt, er grundlæggende for modellen og yderst vanskelig at korrigere for. Hvis investorerne har heterogene forventninger og dermed forskellige subjektive forventninger til det forventede afkast og risikoen, vil det betyde, at hver enkelt investor har sin egen efficiente rand og SML. Dette betyder, at man ikke kan bestemme en entydig prisfastsættelse, da prisfastsættelsen vil være bestemt af investorernes nominelle formuer, som i sig selv bestemmes af priserne. Det vil sige, at en indarbejdelse af heterogene forventninger vil undergrave hele fundamentet for modellen. Dog har Sharpe, W. F. (1985) forsøgt at korrigere denne forudsætning. Han argumenterer således for, at det er de store og dominerende investorer, der udgør den homogene masse. De mindre investorer udgør en mere heterogen masse, der 25

32 investerer i blinde og deres forventninger vil ligge spredt omkring de store investorers forventninger som en normalfordeling med middelværdi på nul. Denne korrektion virker dog særdeles tvivlsom, set i lyset af de stores løbende udgivne aktieanalyser, hvor det er reglen mere end undtagelsen, at analytikerne er uenige om potentialet i virksomhederne. Forudsætningen om, at investor oplever ubegrænsede låne- og placeringsmuligheder til den risikofrie rente, forekommer noget urealistisk. Realistisk set vil investor nok aldrig opleve at kunne låne ubegrænset til den risikofrie rente, men vil derimod opleve et spread mellem udlåns og indlånsrenten. Dette spread vil afhænge af den enkelte investor. En privat investor vil normalt opleve et betydeligt større spread end større investorer såsom virksomheder eller pensionskasser. At ophæve denne forudsætning vil betyde, at SML og CML ikke længere vil være kendetegnet ved at være rette linier og vil påvirke bestemmelsen af den optimale portefølje. Dertil kommer at forudsætninger om, at investorerne ikke betaler skat, ikke er påvirket af inflation, at kapitalmarkedet er friktionsløst mv., ikke vil holde i praksis. Grundet det forhold at flere af de forudsætninger modellen bygger på er tvivlsomme eller direkte urealistiske, er der over tid blevet lavet adskillige modifikationer af CAPM-modellen, som har til formål at tilpasse modellen til den virkelige verden. Af eksempler herpå kan nævnes nul-β CAPM, der ophæver forudsætningen om ubegrænsede låne- og placeringsmuligheder samt modeller, der inddrager skatter og inflation. Afhandlingen vil ikke komme nærmere ind på disse modifikationer af CAPM, men dog gøre opmærksom på at de forefindes. CAPM har gennem årene været udsat for en del kritik, hvoraf Roll, R. (1977) vel nok er den største bidragsyder. Hans kritik går dog ikke så meget på modellen i sig selv, men mere på modellens testbarhed. Ifølge Roll, vil man på grund af ligevægtsbetingelsen ikke være i stand til at teste modellen, da dette betyder, at alle aktiver inddrages i modellen, hvad enten der er tale om finansielle aktiver (aktier, obligationer mv.) eller reale aktiver (ejendomme, guld, sølv mv.). Den sande 26

33 markedsportefølje vil derfor aldrig kunne bestemmes, idet så godt som ingen vil være i stand til at indhente valide data om alle disse aktiver. Selvom modellen således har sine mangler og reelt aldrig vil kunne påvises at være (u-)gyldig, er den dog aldrig blevet forkastet og benyttes i høj grad i såvel praksis som teori, hvilket sandsynligvis skal ses i lyset af, at den er simpel at arbejde med og, at der indtil nu ikke er fundet en anden model, der er CAPM overlegen. 4 Performancemåling For at investor skal kunne sammenligne forskellige porteføljer, er det nødvendigt at kunne evaluere porteføljernes performance. Her tænkes ikke på, hvilken portefølje, der har opnået det højeste afkast over en given periode, men derimod, på hvilken portefølje, der har opnået det højeste afkast i forhold til porteføljens risiko over en given periode. Så idet man taler om evaluering af en porteføljes performance, er det derfor nødvendigt, at man sammenholder det realiserede afkast med porteføljens risiko. Vi ved fra Markowitz porteføljeteori og fra CAPM, at det forventede afkast stiger med risikoen, så for at kunne evaluere en portefølje, skal vi benytte det risikojusterede afkast. I løbet af 1960 erne blev der udviklet tre grundlæggende modeller indenfor performance-evalueringen af porteføljer, som alle beregner det risikojusterede afkast. De tre modeller blev udviklet af Treynor, J.T. (1965, 1966), Sharpe, W.F. (1966, 1994) og Jensen M.C. (1968). Kendetegnende for modellerne er, at de alle umiddelbart kan beregnes ud fra Markowitz porteføljeteori og CAPM og bygger dermed på de forudsætninger, der ligger bag disse. For at kunne foretage en performanceevaluering stilles normalt 2 krav til porteføljen: 1) Porteføljen skal kunne præstere et merafkast i forhold til et givet benchmark 2) Porteføljen skal være diversificeret 27

34 Et merafkast i forhold til et givet benchmark kaldes også for dybden i porteføljen og kan ifølge porteføljeteorien opnås enten via asset allocation 11 eller asset selection 12. En diversificeret portefølje kaldes også for porteføljens bredde, der fortæller om, hvor mange aktiver porteføljen består af og hvor godt de er spredt. I de følgende afsnit vil de tre grundlæggende performancemål (Sharpe-indekset, Treynor-indekset og Jensen-indekset) blive beskrevet og diskuteret. Alle tre performancemål måler dybden i porteføljen, hvilket må siges at være essensen i performancemåling, mens kun Sharpe medtager bredden. Dette vil dog blive uddybet nærmere i det følgende. Ud fra performancemålenes fordele og ulemper, samt en stillingtagen til afhandlingens formål, vælges et af disse performancemål til afhandlingens empiriske del. 4.1 Sharpe-indekset Sharpe-indekset, der oprindeligt er kendt som reward-to-volatility-ratio, måler porteføljens merafkast pr. risikoenhed (jf. afsnit 3.1.4, formel 3.9). Modsat Treynorindekset og Jensen-indekset (se nedenfor) beregnes en porteføljes Sharpe-indeks på baggrund af porteføljens afkast og standardafvigelse. Indekset er et relativt mål og udtrykker porteføljens merafkast i forhold til den totale risiko. Indekset er således baseret på CML og måler derigennem også bredden i porteføljen. Sharpe-indekset beregnes ex-post efter følgende formel: (4.1) S p = r p - r f σ (r p ) hvor S p er Sharpe-indekset, r p r f er merafkastet og σ(r p ) er standardafvigelsen på porteføljens afkast. Som det ses, er Sharpe-indekset således givet ved hældningen på kapitalmarkedslinien (CML) i CAPM. Indekset kan illustreres på følgende måde: 11 Asset allocation er evnen til at allokere de aktiver der indgår i en portefølje med de korrekte vægte, således at det bedst mulige afkast opnås. 12 Asset selection er evnen til at udvælge de rigtige aktiver til porteføljen. 28

35 Figur 4.1: Sharpe indekset rp CMLA CML * A Sharpe-indeks * M Sharpe-indeks * B CMLB rf Kilde: Egen tilvirkning σ(r) Illustrativt kan man i figur 4.1 se, at porteføljefølje A har overperformet benchmarket/markedsporteføljen, da CML A har en større positiv hældning end benchmarket/markedsporteføljen, samt at portefølje B har underperformet, da hældningen på CML B er lavere end markedets/benchmarkets. Ved at inddrage porteføljens bredde i performancemålet, vil man blive straffet, hvis man ikke har diversificeret tilstrækkeligt. Hvis en portefølje er perfekt diversificeret, vil den ikke indeholde nogen usystematisk risiko, hvorfor Sharpe- og Treynorindeksene vil være lig hinanden, da porteføljens risiko udelukkende er systematisk risiko, givet ved β. 4.2 Treynor-indekset Treynor-indekset benytter porteføljens afkast og dens systematiske risiko, β til at beregne dens performance. Indekset er således baseret på SML, hvorfor det i modsætning til Sharpe-indekset ignorerer den usystematiske risiko i porteføljen og derfor også porteføljens bredde. Treynor-indekset måler porteføljens faktiske merafkast ud over den risikofrie rente udtrykt pr. enhed systematisk risiko. Forudsætningen bag indekset er, at der kan ske en gearing af investeringen, hvilket vil sige, at investor kan låne eller placere midler til den risikofrie rente, r f. Indekset beregnes derfor ex-post efter følende formel: 29

36 (4.2) T p = r p - r f β p hvor T p er Treynor-indekset, r p er porteføljens observerede afkast, merafkastet er givet ved r p r f og β p er porteføljens estimerede systematiske risiko. Treynor-indekset er således givet ved hældningen på SML, hvorfor indekset er et relativt mål. Figur 4.2: Treynorindekset rp SMLA SML B * SMLB rm A * M * rf βa Kilde: Egen tilvirkning 1 βb β I ovenstående figur 4.2, ses en grafisk fremstilling af Treynor-indekset. Figuren illustrerer, at M angiver markedsporteføljen (kunne også være portefølje A og B s benchmark) og A og B angiver hver sin portefølje. Portefølje A har givet det bedste resultat og har overperformet markedsporteføljen/benchmarket, da hældningen på SML A (linien r f -A) er større end hældningen på markedets SML. Modsat kan vi se, at selvom portefølje B har givet et bedre afkast end både benchmarket og portefølje A, har porteføljen ifølge Treynor-indekset underperformet, da hældningen på SML B er mindre end den på benchmarket. Det er samtidig vigtigt at holde sig for øje, at selvom portefølje B har givet et bedre afkast for perioden end portefølje A, har A en klart bedre performance pga. gearingsmuligheden Her skal dog nævnes at denne omtalte gearingsmulighed ikke er lovlig for investeringsforeninger. Jf. Lov om investeringsforeninger og specialforeninger, må en investeringsforening udelukkende investere egne midler, hvorfor den ikke kan optage lån til investering. 30

37 4.3 Jensen-indekset (Jensens α) Jensen-indekset benytter på samme måde som Treynor-indekset SML til fastlæggelse af en porteføljes performance. Indekset måler om porteføljen har under- eller overperformet i forhold til det forventede afkast bestemt ud fra CAPM, der kan udtrykkes som porteføljens α. Dette gøres ud fra følgende formel: (4.3) α p = r p - (r f + β p *(r m - r f ) hvor α p, der også kaldes Jensens α, måler den lodrette afstand mellem det realiserede afkast og det forventede afkast. Dette kan illustreres på følgende måde: Figur 4.3: Jensen-indekset r SMLA SML B * SMLB rm A * M * rf βa 1 Kilde: Egen tilvirkning βb β Af figuren fremgår det, at portefølje B har underperformet, da den ligger under benchmarkets/markedets SML og porteføljen vil derfor have et negativt Jensens α. På samme måde har portefølje A overperformet, da den ligger over benchmarkets/markedets SML og porteføljen har derfor et positivt Jensen α. Jensens α bygger som sagt på SML og har derfor β som risikomål. Det vil sige, at man udelukkende ser på dybden i porteføljen, hvilket som ved Treynor-indekset er uhensigtsmæssigt, da man her ikke måler investors evne til at diversificere. Performancemålet er dog udviklet til at måle investeringsforeningers performance og 31

38 bygger derved på den antagelse, at den usystematiske risiko er bortdiversificeret, hvorfor den eneste risiko der er tilbage, er den systematiske, angivet ved β. Jensens α er umiddelbart det af de tre performancemål, der er lettest at forstå og arbejde med. Dette, da det bygger på den traditionelle CAPM tankegang og man her får et absolut mål for performance og ikke et relativt mål som de to andre. Dvs. at hvis α p > 0, har porteføljen som tommelfingerregel overperformet i forhold benchmarket og modsat har porteføljen underperformet hvis α p < 0, samtidig med at jo større α p jo bedre har porteføljen performet i forhold til dens benchmark 14. Det vil sige, at målet i sig selv er meget nemt at kommunikere til den private investor. En anden fordel ved Jensens α er, at det er forholdsvist nemt at undersøge statistisk om en portefølje har overperformet. Dette gøres ved at teste statistisk, om α p er signifikant forskellig fra 0 under forudsætning af, at residualerne i måleligningen er normalfordelte. 4.4 Valg af performancemål Hvilket indeks, der er optimalt at anvende, afhænger af den givne situation. Typisk vil man foretrække Sharpe-indekset, når der er tale om en enkelt porteføljemanager, fordi det her er vigtigt at kunne måle PM erens evne til at bortdiversificere den usystematiske risiko (Christensen, 1998). Omvendt vil man typisk anvende Treynoreller Jensen-indekset, hvis der er tale om en portefølje på størrelsesordnen med en investeringsforening. Som før nævnt, skal en investeringsforening ifølge Lov om investeringsforeninger og specialforeninger, (Kapitel 9 - Investeringsforeningers anbringelse af midler og likviditet m.v.) foretage risikospredning, hvorfor den usystematiske risiko kan antages allerede at være diversificeret bort og β altså kan anvendes som risikomål. 14 Selvom Jensens α er positiv kan man dog ikke med 100 % sige, om den har signifikant overperformet markedet. Dette afgøres ved en statistisk t-test, jf. senere afsnit

39 Da denne opgaves analyse bl.a. består i at analysere forskellige investeringsforeningers performance, falder valget på Jensen-indekset, idet: a) Jensens α er meget nemmere at kommunikere til private investorer, da den måler det risikojusterede merafkast i absolutte mål (procentpoint). Sharpe- og Treynor-indeksene måler derimod det risikojusterede afkast som et relativt mål. b) Jensen-indekset kan nemt estimeres vha. en prisfastsættelsesregression, der endvidere giver et mål med statistisk signifikans. c) Jensens α skal ses i forhold til et benchmark. d) Man kan ved en regression medtage en ikke-konstant risikofri rente, hvorimod man ved Sharpe og Treynor anvender en over tid gennemsnitlig risikofri rente. I praksis vil en porteføljemanager typisk ændre porteføljens sammensætning og risiko afhængigt af om han tror kurserne vil stige eller falde. (Christensen, 2002) e) Jensen- (og Treynor-) indekset er det mest passende performancemål at anvende på investeringsforeninger, da det er baseret på SML, der forudsætter veldiversificerede porteføljer, modsat Sharpe der måler PM erens evne til at bortdiversificere den usystematiske risiko. f) Jensens α anvendes i i performancemålet Information Ratio, som beskrives nærmere i afsnit 6.3. Minuset ved Jensen er, at konklusionerne vedrørende performance afhænger af den valgte prisfastsættelsesmodel (Christensen, M., 2003). Bl.a. viser Christensens resultater en vis forskel, når han benytter sig af en multi-indeks model i stedet for en enkelt-indeks model til estimere Jensens α. 5 Den efficiente markedshypotese og performance CAPM og derfor de ovenstående performancemål bygger alle på efficiente markeder. Det vil sige, at de bygger på en forudsætning om, at priserne på finansielle aktiver altid vil reflektere al tilgængelig information (Fama, E.H., 1970). Man kan således 33

40 ikke forvente at opnå et overnormalt afkast for en given risiko over tid, da evt. ny information vil inkorporeres i aktivernes priser umiddelbart efter offentliggørelsen. Dette bygger på følgende 3 antagelser: 1. Der eksisterer ingen transaktionsomkostninger 2. Alle investorer har samme adgang til information 3. Alle investorer har homogene forventninger Det efficiente marked kan inddeles i tre former, der hver især er baseret på forskellige informationssæt: Den svage: Priserne (afkastet) indeholder al information op til tid t, dvs. al historisk information Den semi-stærke Priserne indeholder al historisk information samt offentlig information op til tid t. Den stærke Priserne indeholder al information inklusive inside information op til tid t Ovenstående kaldes også for den efficiente markedshypotese (EMH). Jf. Christensen, M. & Pedersen, F. (1998), er der en generel enighed om, at de finansielle markeder er efficiente i den svage form samt at den stærke form ikke holder, da man ofte vil kunne opnå overnormale afkast ud fra inside information. Hvorvidt markederne er efficiente i den semi-stærke form, er der gjort mange forsøg på at besvare ved hjælp af empiriske analyser, men en generel enighed er ikke opnået. Hvis markedet er efficient og man derfor ikke over tid kan opnå overnormale afkast, vil det være mest fordelagtigt at anlægge en passiv investeringsstrategi, hvor man køber aktiverne og holder dem, da man derved bl.a. sparer transaktions- og analyseomkostninger. På grund af disse omkostninger vil ved den aktive strategi alt andet lige opnå et dårligere afkast end den passive. Ved analyser af investeringsforeningers performance er der en generel enighed om, at EMH holder. Med få undtagelser, er den generelle konklusion, at 34

41 investeringsforeninger over tid ikke har kunnet opnå ekstraordinære afkast til en given risiko, jf. f.eks. Jensen, M.C. (1968), Christensen, M. (2003) 15. Derfor kan der med baggrund i disse resultater være basis for at begrunde en passiv investeringsstrategi, som f.eks. Tracking Error. 6 Tracking Error og Information Ratio Tracking Error (TE) er et relativt nyt begreb indenfor porteføljeteorien. Strategien blev første gang introduceret af Sharpe, W.F. (1981) som et mål for relativ risiko, dog ikke under navnet TE. Artiklen viser, hvordan TE er forskellen mellem at føre en aktiv og en passiv porteføljestrategi. Dvs. TE reelt måler forskellen mellem afkast opnået ved en aktiv strategi og afkast opnået ved en passiv strategi. Ud fra dette ses, at TE oprindeligt var tiltænkt som et risikomål. Dette risikomål er dog efterhånden blevet så brugt af investeringsforeningerne, at TE reelt har udviklet sig til en passiv porteføljestrategi, hvor idéen er at tracke (følge) et bestemt indeks, f.eks. KFXindekset eller S&P500. TE tager sit udgangspunkt i enkelt-indeks modellen 16, der siger at, én enkelt faktor, f.eks. et aktieindeks, ligger til grund for en porteføljes afkast, hvorfor denne i det nedenstående kort vil blive præsenteret. Dette fører til en redegørelse for og kritisk stillingtagen af TE og IR. 6.1 Enkelt-indeks modellen Enkelt-indeks modellen bygger på den antagelse, at et enkelt indeks har betydning for alle aktiers afkast, hvilket normalt begrundes med, at alle aktier i større eller mindre grad bevæger sig i takt med dette indeks, f.eks: Et markedsindeks for aktier (KFX, KAX Totalindekset, S&P500, MSCI Verden mv.) 15 Empiriske resultater fra performancemåling kan ses i afsnit Andre porteføljemodeller kan også anvendes alt efter formål, F.eks. kan diverse multi-indeks modeller anvendes hvis opgaven er at finde frem til hvad der årsager TE. 35

42 Bruttonationalproduktet Per-capita indkomst Dette betyder, at korrelationerne, som afgør graden af diversifikation, også antages bestemt af dette ene indeks. Indeksmodellen udtrykker hver enkelt akties afkast (r i ), som en regressionsligning givet ved (6.1) r i = α i + β i *r I + ε i hvor r I er indeksets afkast og ε i er residualleddet, som indeholder de afkastændringer, der hverken kan henføres til α i, der er en konstant risikofri parameter (eller Jensens α), der er specifik for aktiv i eller β i *r I. β i er en konstant, der måler, hvordan r i påvirkes af en ændring i r I. Vi ser her, at ε i udtrykker aktiens usystematiske risiko og at β i udtrykker den systematiske risiko på samme måde som vist i afsnit 4.3. Hverken r I eller ε i kan forudsiges med sikkerhed, men da de er stokastiske variable, kan den forventede værdi af r I defineres som E(r I ) og risikoen som σ 2 (r I ). På samme måde defineres, at ε i har den forventede værdi E(ε i ) = 0, hvilket betyder, at det kun er risikoen for ε i, σ 2 (ε i ), der skal forudsiges. 6.2 Tracking Error Som tidligere nævnt er TE en passiv investeringsstrategi, som kan ses som et svar på EMH, der siger, at man ikke kan opnå et overnormalt afkast over tid for en given risiko. Idéen bag strategien er dermed, at man forsøger at følge ( tracke ) et givet bestemt indeks ved at forsøge at replicere dette indeks. Dette kunne f.eks. være ved at opkøbe de samme aktier, der indgår i KFX-indekset og derved søge at opnå det samme afkast som indekset til den samme risiko. Strategien bliver også brugt, når man f.eks. af ressourcehensyn ikke ønsker at bestemme den efficiente rand og derigennem den optimale portefølje (Christensen, M., 2003 p.112). 36

43 Strategien er således, at man ønsker at sammensætte en portefølje, der i størst mulig grad har samme forventede afkast og risiko som det indeks, man søger at følge. For at kunne opnå en risiko, der afspejler den samme risiko som indekset, søger man derfor at konstruere en portefølje, som har en systematisk risiko, der er tilnærmelsesvis lig med indeksets risiko, dvs. β p β I 1, ofte uden at skulle investere i alle indeksets aktier. Det vil sige, at man ved at minimere den usystematiske risiko angivet ved ε i i formel 6.1, søger at udnytte de diversifikationsmuligheder, der ligger i et indeks. Vi kan ved hjælp af formel 6.1 se, at ε p = r p - α p - β p *r I.. Ved at sætte β p 1, hvilket er, hvad man ved TE-strategien forsøger at opnå, fremgår det at r p r I = ε p - α p, hvorfor vi finder, at σ(ε p ) = σ(r p r I ), som er udtrykket for TE. TE-strategien søger således at minimere forskellen mellem porteføljens afkast og indeksets afkast og kan udtrykkes ved følgende formel 17 : (6.2) ΤΕ = 1/n-1* Σ (r pi - r Ii )* (r pi - r Ii ) N i=1 Som det ses i ovenstående formel (6.2), udtrykker TE standardafvigelsen på forskellen mellem porteføljens afkast og indeksets afkast eller forskellen mellem afkastet ved at føre en aktiv og passiv porteføljestrategi, hvorfor TE altid vil være positiv. Udtrykket TE refererer reelt til et ufuldkomment forsøg på at replicere et benchmark. Denne ufuldkommenhed forårsages af forskellige grunde, hvoraf hovedårsagerne skal findes i forsøget på at overperforme et benchmark, ved at føre en aktiv investeringsstrategi eller i omkostningerne ved at forsøge at replicere et benchmark (Ammann, M. & Tobler, J., 2000, p. 4; Hwang, S. & Satchell, S.E., 2002, p. 2). 17 TE er defineret på forskellige måder i forskellige studier. F.eks. har Roll, R. (1992) defineret TE som forskellen mellem porteføljeafkastet og indeksets afkast. Hwang, S. & Satchell, S.E. (2002), Pope, P.F. & Yadav, P.K. (1994) og Christensen, M. (2003) har defineret TE som værende std.afv. på forskellen mellem porteføljeafkastet og indeksets afkast, som det også gøres i nærværende afhandling. 37

44 Hvis TE forårsages af en aktiv porteføljestrategi skyldes det normalt, at porteføljemanageren har handlet ud fra privat information og derfor afveget fra benchmarkets vægtning eller sammensætning. Han har således ment at EMH ikke altid holder og handlet ud fra information, der efter hans overbevisning har kunnet tilføre porteføljen positiv performance. Dette skal ses som en af hovedårsagerne til TE i danske investeringsforeninger, da de fleste investeringsforeninger i Danmark fører en aktiv investeringsstrategi. Denne aktivitet medfører også øget TE på grund af øgede transaktionsomkostninger i forhold til en passiv køb og hold -strategi. Hvis strategien er en passiv ren TE-strategi, hvilket skal forstås ved, at man benytter en 100 % passiv porteføljestrategi, opstår TE generelt fra 3 kilder (Fabozzi, F.J. & Gifford, F., 1994): 1) Transaktionsomkostninger ved at konstruere den indekserede portefølje 2) Forskelle i sammensætningen af porteføljen og indekset 3) Forskelle i de priser manageren skal betale og de priser indeksmagerne skal betale Som nævnt i det ovenstående søger investor i sin portefølje at opnå den samme risiko, der er i indekset. Dette kan gøres ved at købe præcist de samme aktiver, som indgår i indekset, med den vægt de indgår med. Dette kan dog gennem store transaktionsomkostninger, som investor påføres ved at følge indekset og geninvestere det overskydende cashflow, forårsage TE. En anden strategi ville være, at kun købe et udsnit af de aktier der indgår i porteføljen og udelukkende fokusere på, at porteføljens risiko skal være tilnærmet lig indeksets. Herved forsvinder en del af transaktionsomkostningerne, men der kan opstå et mismatch mellem indekset og porteføljen som kan forårsage TE. Dette kan med rette udtrykkes således: Jo flere aktiver man køber for at følge indekset, jo mere påvirker transaktionsomkostningerne TE, samt jo færre aktiver man køber for at følge indexet, jo mere påvirker mismatchet mellem indexet og porteføljen TE. 38

45 Som nævnt i det ovenstående, ved man dog ikke om investeringsforeningen har overeller underperformet, da TE altid udtrykkes positivt. For at måle porteføljens performance, benytter man sig af performancemålet Information Ratio, der beskrives nærmere i nedenstående afsnit. 6.3 Information Ratio Information Ratio (IR) er et performancemål der udspringer af TE porteføljestrategien. Jf. afsnit 6.2, fortæller TE ikke, om man har over- eller underperformet, men udelukkende hvor langt man ligger fra et givet indeks og derfor den risiko man har pådraget sig ved at afvige fra indekset. Denne afvigelse kan skyldes mange faktorer som omtalt i ovenstående afsnit. Det vil dog, især på det danske marked for investeringsforeninger være reelt at antage, at det skyldes en aktiv porteføljestrategi med baggrund i information, da hovedparten af de danske investeringsforeninger i analyseperioden har ført en aktiv investeringsstrategi. Der er derfor brug for en variabel, der kan fortælle investorerne, hvor vel en portefølje har performet med baggrund i indekset. Dertil bruger man Jensens α. Ved at dividere Jensens α med TE opnår man et performancemål, der fortæller investor, om den afvigelse porteføljen har fra benchmarket har kunnet skabe et merafkast. Dette performancemål kaldes Information Ratio (IR) og beregnes ved følgende udtryk: (6.3) IR = α p / σ ( ε p ) = α p /TE Man kan således sige, at IR fortæller om, den mer-information en porteføljemanager har i forhold til gennemsnittet og hans evne til at udnytte denne information og derved overperforme markedet. Som vi ved fra afsnit 4.3, er Jensens α et performancemål i sig selv. Kombineret med TE finder vi således ud af, om afvigelsen fra benchmarket har kunnet skabe et merafkast. Opgaven består herved i at maksimere forholdet mellem α p og TE, så 39

46 længe Jensens α er positiv. Jo større α p og jo mindre TE, jo bedre har investeringsforeningen performet ud fra performancemålet IR. 6.4 Kritisk stillingtagen til TE og IR Foruden det faktum at investeringsforeninger over tid har haft mere end svært ved at overperforme deres passive benchmark og at dette taler for at skulle benytte en passiv porteføljestrategi, er der forbundet visse fordele ved at benytte en passiv strategi som TE og performancemålet IR. Først og fremmest er TE ressourcebesparende, idet man ikke behøver at bestemme den efficiente rand og derigennem den optimale porteføljesammensætning. Når man følger en passiv investeringsstrategi, handler det først og fremmest om at sammensætte sin portefølje, så den i størst mulig grad replicerer benchmarket. Dette betyder dog ikke, at en passiv strategi medfører, at man ingen analyseomkostninger har. Som eksempel kan nævnes, at hvis man ikke køber alle aktiver i det underliggende indeks, er man tvunget til at analysere hvilke aktiver, der skal indgå i porteføljen, for at opnå den samme risiko, der er i benchmarket. I forhold til en aktiv strategi, sparer man en del transaktionsomkostninger. Ved en aktiv strategi, hvor man køber og sælger ofte, bliver investeringsforeningen påført en del omkostninger, der skal tjenes hjem igen ved hjælp af et højere afkast. Disse omkostninger skæres ned til et minimum ved at benytte en køb og hold strategi. På samme måde som den klassiske porteføljeteori, afhænger TE og IR af middelværdier og variance, hvorfor det er forholdsvist enkelt at estimere afkast og risiko. Endvidere er IR ligesom Jensens α et absolut performancemål, som er relativt nemt at kommunikere til investor. Så længe IR er positiv har porteføljen performet bedre end benchmarket. Denne performance skal dog sættes i relief, hvilket diskuteres nærmere i afsnit 11. Der er dog ikke kun fordele ved at anvende en TE-strategi. Det største spørgsmål angående en passiv portefølje, hvis formål er at replicere et benchmark er, om benchmarket ligger på den efficiente rand. Hvis dette ikke er tilfældet, risikerer man, 40

47 at der findes en eller flere porteføljer, der ud fra et afkast/risiko hensyn dominerer indeksporteføljen. En anden ulempe er, at man reelt opgiver muligheden for at opnå en bedre performance end benchmarket. Givet det faktum, at man reelt kan skabe overnormale afkast, hvis ikke konsistent over tid, men i kortere perioder, fralægger man sig denne mulighed ved at 100 % følge en passiv strategi. Dette kan der dog rådes bod på, ved at give porteføljemanageren muligheden for tage aktive initiativer, der kan give positiv performance. For at opnå den samme risikoprofil og diversifikationsgevinst der ligger i benchmarket, kan porteføljemanageren risikere at inddrage for mange aktiver i porteføljen og derved øge transaktionsomkostningerne. 41

48 7 Datamaterialet Nærværende kapitel vil fremstille det datamateriale, der danner grundlaget for afhandlingens empiri. Dvs. der kort vil blive redegjort for valg af investeringsforeninger, benchmarks, og den risikofrie rente. Ligeledes diskuteres datamaterialets anvendelighed i forbindelse med de empiriske tests. 7.1 Valg af investeringsforeninger og benchmarks Afhandlingens empiriske analyser vil tage udgangspunkt i danske investeringsforeninger, som er udvalgt efter følgende kriterier 18 : 1. Børsnoteret på Københavns Fondsbørs (BNot) 2. Eksisteret i hele analyseperioden, som går fra oktober 1994 til og med januar Har et sammenligneligt og erklæret benchmark, der er et marked 4. Investerer hovedsagligt i aktier (A) 5. Er certifikatudstedende (B) 6. Investerer hovedsagligt i henholdsvis danske (D) eller udenlandske (I) aktier 7. Er udbyttebetalende (U) 8. Der skal mindst være 5 investeringsforeninger pr. benchmark Dette har ført frem til 19 investeringsforeninger og 3 benchmark, som er angivet i nedenstående tabel 7.1. Opdelingen af investeringsforeningerne er ikke baseret på nogen statistisk analyse, f.eks. faktoranalyse, men følger Investeringsforeningsrådets (IFR) opdeling af investeringsforeningerne. 18 BNot, A, B, D, I og U følger dagbladet Børsens angivelser. 42

49 Tabel 7.1: Datamaterialet opstillet efter benchmark Benchmark Forening Fondskode BG Invest Danmark DK Danske Invest Danmark DK KFX EGNS-INVEST, Danmark DK Lån & Spar Rationel Invest Danmark DK Nordea Invest Danmark DK Sydinvest Danmark DK BG Invest Europa DK Danske Invest Europa DK MSCI Europe EGNS-INVEST, Europa DK Lån & Spar Rationel Invest Europa DK Nordea Invest Europa DK Sydinvest Europa DK BG Invest Verden DK Carnegie WorldWide/Globale Aktier DK Danske Invest Verden DK MSCI World Lån & Spar Rationel Invest Verden DK Midtinvest 2 Verden DK Nordea Invest Verden DK Sydinvest Verden DK Kilde: Egen tilvirkning Generelt har ingen af investeringsforeningerne har erklæret at følge en passiv indeksstrategi, hvorfor det er reelt at antage, at de fører aktive strategier. Dvs., at de søger at opnå et merafkast ved hjælp af en viden omkring markedet eller de specifikke aktiver, der ligger enten i indeksene eller som ligger indenfor det specifikke marked de investerer i Beskrivelse af inputdata Som nævnt består analysens data af 19 investeringsforeninger, der alle har eksisteret i perioden fra oktober 1994 til og med januar Data, der er udleveret af IFR, er de månedlige afkast korrigeret for dividender og udgør i alt 87 observationer pr. investeringsforening. Analysens benchmark-data er, som angivet i tabel 7.1 KFX-indekset, MSCI Europe og MSCI World. 43

50 KFX-indekset, der består af de 20 mest omsatte aktier i Danmark, er benchmark for investeringsforeningerne i kategorien Danske aktier 19. Da KFX-indekset udbudt af Københavns Fondsbørs ikke er korrigeret for dividender, benyttes et dividendekorrigeret KFX-indeks konstrueret af Belter, Engsted & Tanggaard (2003). I den videre analyse benævnes denne kategori af investeringsforeninger for Danske aktier. MSCI Europe og MSCI World er aktieindeks udbudt af investeringsbanken Morgan Stanley. Indeksene benyttes, som angivet i ovenstående tabel, som benchmark for de investeringsforeninger, der hovedsagligt investerer i henholdsvis europæiske og globale aktier. Indeksene er downloadet fra i US Dollar og som lineære bruttodata, da disse er indeholdende dividender. I den videre analyse benævnes den kategori af investeringsforeninger, der har MSCI Europe som benchmark for Europæiske aktier og den kategori der har MSCI World som benchmark for Globale aktier Hensyntagen til valutakurser Når man investerer i udenlandske værdipapirer påføres man en valutakursrisiko, der enten kan forstærke eller reducere afkastet og risikoen, specielt hvis man investerer i værdipapirer i lande med flydende valutakurser i forhold til investors lokale valuta. Da MSCI Europe og MSCI World er hentet i US Dollar, skal man således under beregning af indeksenes månedlige ultimo afkast, tage hensyn til valutakurser. Valutakurserne der anvendes i analysen, er hentet fra Børsdatabasen. Da der arbejdes med de månedlige ultimo-afkast på investeringsforeningerne og benchmarkene, anvendes valutakurserne ultimo måneden. 7.2 Valg af risikofri rente Renten der i analysen vil blive brugt som den risikofrie rente, er 1-måneds CIBORrente. Baggrunden for dette valg er, at 1-måneds CIBOR-renten er noget af det 19 Kun enkelte af investeringsforeningerne har dog KFX som erklæret benchmark, men derimod Totalindekset, der består af alle aktier handlet på Fondsbørsen. 44

51 nærmeste, man som dansk investor (investeringsforening) kommer et risikofrit aktiv, som man kan låne og udlåne til. Renten er hentet som månedlig ultimorente pro anno og dernæst omregnet til månedlig afkast. 7.3 Datamaterialets anvendelighed til empirisk analyse 20 Som nævnt i afsnit 3 og 4 er to af hovedforudsætningerne for porteføljeteorien og performancemålingen at afkastet på finansielle aktiver følger en random walk og at det er normalfordelt. De fleste empiriske undersøgelser bekræfter teorien om random walk, hvorimod antagelsen om normalfordelte afkast i større grad afvises. Samtidig skal man ved performancemåling af investeringsforeninger være opmærksom på udvælgelsen af data, da en uhensigtsmæssig udvælgelse kan påføre resultaterne bias Survivorship bias Først og fremmest skal man ved udvælgelsen af datamaterialet være opmærksom på survivorship bias. Malkiel, B.G. (1995, pp ) viser, at man ved, kun at udvælge investeringsforeninger, der har eksisteret i hele analyseperioden, risikerer at overdrive investeringsforeningernes succes, idet man ikke har taget højde for de investeringsforeninger, der ikke har overlevet analyseperioden. Dette skyldes, at investeringsforeninger, der vælger at acceptere en større risiko, også vil have en større risiko for at fejle og dermed ikke indgå i analysen. Samtidig vil investeringsforeninger, som har valgt en højere risiko og haft succes hermed, indgå i analysen og derved gøre afkastet større. Hans resultater, der sammenligner afkastet for amerikanske investeringsforeninger, der henholdsvis har eksisteret i hele analyseperioden ( ) og dem der eksisterede i analyseperiodens start (inklusive dem der ikke har overlevet), viser at survivorship bias medfører at afkastet ligger 150 basis point højere. Ovenstående betyder, at den empiriske del af afhandlingen kunne være behæftet med survivorship bias, da der udelukkende er valgt investeringsforeninger, som har eksisteret i hele analyseperioden. Idet investeringsforeningerne ikke analyseres som en samlet gruppe, men hver for sig, vil analysen ikke være behæftet med 20 Test af data vil forekomme i afsnit 9. 45

52 survivorship bias. Samtidig vælges at se bort fra survivorship bias, da ingen danske investeringsforeninger i analysen er lukket ned. Det der kunne tale for, at der er bias i analysen er, at vi ikke inddrager alle investeringsforeninger, der har eksisteret i analyseperioden, men udelukkende de investeringsforeninger der investerer i henholdsvis danske, europæiske eller globale aktier Den efficiente markedshypotese og random walk Priserne på aktier og dermed afkastet siges at følge en random walk, når priserne fluktuerer tilfældigt over tid. Dette sker når et marked er efficient. Som påpeget i afsnit 5, er der tegn på at markedet er efficient, da den generelle konklusion er at investeringsforeninger ikke har kunnet skabe overnormale afkast over tid 21. Dette betyder, at aktivernes afkast fluktuerer mere eller mindre tilfældigt over tid og man kan derfor konkludere, at afkastene følger en random walk. Jf. Christensen, M. & Pedersen, F. (1998), er der en generel enighed om at, de finansielle markeder er efficiente i den svage form, hvorfor det er reelt at antage, at nærværende datamateriale følger en random walk Normalfordelte afkast Standardafvigelsen er en vigtig beslutningsparameter i porteføljeteorien og i performancemålene, hvilket nødvendiggør at afkastene er normalfordelte. Dybvig, P.H. & Ross, S.A. (1985) viser, at performancemåling ved brug af Jensen-, Sharpeeller Treynor-indekset, vil behæftes med bias, hvis afkastene ikke er normaltfordelte. De finder således, at performancemåling vha. de tre indeks kan fejle, da de kan opfatte overperformance som målene ikke forstår, som underperformance. Dette skyldes, at faktorer, der ikke opfanges af SML, kan påvirke en investeringsforenings performance. Dybvig & Ross viser således, at differentieret information bryder med SML s validitet, da denne faktor ligger udenfor SML domæne. Denne viden bryder dermed også normalfordelingsantagelsen og herved bliver performancemålingen usikker. 21 Se også afsnit

53 For at teste om datamaterialets afkast er normalfordelt og dermed validt til performancemåling, vurderes dette på grundlag af Jarque-Bera testen, der tager sit udgangspunkt i afkastenes skævhed og kurtosis. Jarque-Bera beregnes efter følgende formel; (7.1) N (K-3) 2 JB = * ( S 2 + ) 6 4 hvor N angiver antallet af observationer, S angiver skævheden og K kurtosis. Resultatet testes i en χ 2 -fordeling med 2 frihedsgrader. Skævheden fortæller om, hvor symmetrisk afkastfordelingen er omkring middelværdien. Det vil sige, med en skævhed på nul, vil middelværdien og medianen være ens og derfor vil fordelingen være symmetrisk omkring middelværdien. En negativ skævhed betyder, at medianen er større end middelværdien, hvilket også kaldes venstreskævhed, idet fordelingen har en hale til venstre og det modsatte er gældende for højreskævhed. Kurtosis måler afkastfordelingens topstejlhed. En forholdsvis stor kurtosis indikerer, at antallet af ekstreme observationer ved topstejlhed vil være større end normalen. Dette bevirker, at fordelingen har fede haler. Hvis kurtosis er nul, vil det betyde, at fordelingen er normalfordelt. 8 Operationalisering af afkast og risiko Indtil videre er der i beskrivelsen af porteføljeteorien blevet arbejdet med det forventede afkast og den dertilhørende risiko. Med andre ord er der blevet arbejdet med ex ante begreber. Men da en af afhandlingens problemstillinger er at evaluere udvalgte investeringsforeningers performance, som er en ex post analyse, er det nødvendigt at operationalisere de angivne afkast- og risikomål. Det vil sige, at blikket skal rettes bagud og kigge på investeringsforeningernes realiserede afkast og risiko over en given tid. Dette kan gøres på to måder. 47

54 Generelt kan det realiserede afkast beregnes som: (8.1) r i = p t - p t-1 p t-1 Dog kan dette afkastmål være inficeret med statistiske forstyrrelser, så som en stor skævhed og kurtosis. For at tage højde for disse statistiske ulemper, kan man vælge at tage den naturlige logaritme til afkastet. Herved kan man åbne for den nedre side af normalfordelingen og afkastet bliver derved mere stationært. Samtidig har dette afkastmål beregningsmæssige fordele. Det logaritmiske afkast kan beregnes vha. følgende formel: (8.2) r i = ln p t p t-1 Ved at beregne middelværdien af afkastene, vil man derved få det gennemsnitlige afkast over en given periode også angivet som µ. Risikoen på de beregnede afkast kan herefter findes ved at tage kvadratroden af variansen og beregnes vha. følgende formel: (8.3) σ (r (1/n* Σ (r i - µ ) 2 i ) = ) N t=1 Da datamaterialet er opgjort som månedsdata, skal formel 8.2 og 8.3 omregnes til pro anno-data, hvilket kan gøres relativt simpelt vha. følgende: Årligt afkast = månedligt afkast * 12 mdr. Årlig risiko = (månedlig varians * 12) 48

55 9 Præsentation og test af datamaterialet I det nedenstående vil investeringsforeningerne og deres respektive benchmark blive præsenteret og kommenteret ud fra deres årlige afkast og risiko, samt vil der blive gennemført en analyse af normalfordelingsantagelserne 22. Tabel 9.1: Sammenfattende statisk for investeringsforeningerne og benchmarks Merafkast Std. afv. Skævhed Kurtosis JB KFX 10,86% 17,35% -0,43 0,12 32,77 BG Invest, Danmark 8,87% 15,64% -0,33 0,69 20,89 Danske Invest, Danmark 10,59% 15,77% -0,29 0,36 26,51 Egns Invest, Danmark 7,96% 15,65% -0,41 0,73 21,02 Lån & Spar Rat. invest, Danmark 10,75% 16,70% -0,33 0,11 31,90 Nordea Invest, Danmark 9,61% 16,04% -0,25 0,61 21,70 Sydinvest, Danmark 8,65% 16,51% -0,23 0,47 24,03 MSCI Europe 9,51% 16,53% -0,73 0,65 27,67 BG Invest, Europa 8,92% 17,14% -0,35 0,25 29,20 Danske Invest, Europa 10,25% 18,17% 0,13 0,59 21,24 Egns-Invest, Europa 7,82% 16,96% -0,48 0,29 30,08 Lån & Spar Rat. Invest, Europa 12,08% 17,94% -0,35 0,19 30,31 Nordea Invest, Europa 13,73% 17,49% -0,13 0,63 20,54 Sydinvest, Europa 10,59% 16,87% -0,36 0,55 23,69 MSCI World 8,29% 17,41% -0,67 0,21 34,60 BG Invest, Verden 11,03% 19,95% -0,11 0,07 31,22 Carnegie WorldWide/Globale aktier 17,92% 20,41% 0,61 2,24 7,47 Danske Invest, Verden 8,47% 18,35% -0,38-0,37 43,20 Lån og Spar Rat. Invest, Verden 12,62% 19,37% -0,29 0,14 30,80 Midinvest 2, Verden 10,85% 19,20% -0,29 0,35 26,63 Nordea Invest, Verden 11,30% 19,29% -0,37-0,08 36,34 Sydinvest, Verden 7,08% 18,41% -0,44 0,11 33,07 Kilde: Egen tilvirkning 9.1 Input-data ens realiserede afkast og risiko Investeringsforeningernes afkast og risiko er beregnet ud fra formel 8.2 og 8.3. Det vil sige, at det er den naturlige logaritme til afkastet, der er beregnet. I ovenstående tabel 9.1 er det dog ikke investeringsforeningernes afkast, men deres logaritmiske merafkast der er beregnet. Dvs., efter at have beregnet afkastet er den risikofrie rente 22 Se bilag 1 og 2 for hhv. benchmarkenes og investeringsforeningernes logaritmiske merafkast. 49

56 fratrukket. Som nævnt i afsnit 7.2 er den risikofrie rente 1 måneds Cibor renten omregnet fra afkast pro anno til ln-månedsafkast på følgende måde: (9.1) r m = ln (1+(1 + r) 1/12-1) Dette fører frem til, at over analyseperioden har 1 måneds Cibor renten haft et gennemsnitligt årligt afkast på 4,30 %, med en tilhørende risiko på 0,27 %, hvilket som antaget, må betegnes at være meget nær et risikofrit aktiv. Derudover skal MSCI Europe og MSCI World korrigeres for valutakurserne. Begge benchmark er hentet i US Dollar, hvorfor benchmarkene er korrigeret for det månedlige valutaafkast mellem danske kroner og US Dollar. Valutaafkastet har over perioden oktober 1994 til januar 2002 været på 5,17 % og den tilhørende risiko på 9,42 %. Afkastet og specielt standardafvigelsen, viser hermed den risiko, der påføres ved at investere i udenlandske værdipapirer. Benchmarkenes afkast er ligeledes fratrukket den risikofrie rente. Tabel 9.1 viser, at ingen af investeringsforeningerne i kategorien Danske aktier har haft et årligt merafkast, der er større end KFX-indeksets merafkast. Derimod har 4 ud af 6 investeringsforeninger i kategorien Europæiske aktier kunnet præstere et merafkast, der er større end en benchmarkets og 6 ud af 7 investeringsforeninger i kategorien Globale aktier har opnået et årligt merafkast, der er større end deres benchmark. Specielt Carnegie WorldWide er iøjefaldende med et årligt merafkast, der er mere end dobbelt så højt end benchmarkets. Der kan derfor konkluderes, at ved udelukkende at kigge på afkastet har 10 investeringsforeninger ud af 19 kunnet overperforme deres respektive benchmarks. Dog kan man som beskrevet i afsnit 4, ikke udelukkende nøjes med at kigge på investeringsforeningernes afkast over perioden. Da en af forudsætningerne for porteføljeteorien er, at investorerne er risikoaverse, skal vi derimod undersøge 50

57 investeringsforeningernes afkast i forhold til deres risiko over en given periode. Det er således vigtigt at sammenholde investeringsforeningernes realiserede afkast og risiko. I tabel 9.1 kan vi se, at for alle investeringsforeninger der har KFX-indekset som benchmark, ligger risikoen lidt lavere end benchmarket 23. Investeringsforeningerne der hovedsagligt investerer i hhv. europæiske aktier og globale aktier, har en risiko, der er relativt højere end deres respektive benchmark, igen med Carnegie WorldWide der ligger betydeligt over benchmarket. Tabel 9.1 bekræfter porteføljeteorien, idet den illustrerer at afkast og risiko følges ad. Den generelle trend er, at jo højere afkast investeringsforeningerne har, jo større risiko har de også påtaget sig. Inden den egentlige måling af investeringsforeningernes performance bliver foretaget, er det dog vigtigt at teste om investeringsforeningernes og benchmarkenes afkast følger normalfordelingen. Som beskrevet i afsnit 7.3.3, vil en forkastelse af normalfordelingsantagelsen betyde, at vi ikke kan stole 100 % på resultaterne, da faktorer der ligger uden for SML s område, vil kunne påvirke resultatet. 9.2 Test for normalfordeling I tabel 9.1, vises investeringsforeningernes og benchmarkenes afkasts skævhed, kurtosis og Jarque-Bera testværdi. For at afkastene kan siges at være normalfordelte, skal Jarque-Bera testværdierne være mindre end χ 2 -fordelingen med 2 frihedsgrader, hvilket er værdien 5,9915. Jf. tabelen, er der ingen af testværdierne, der tilnærmelsesvist påviser normalfordelte afkast. Investeringsforeningen der kommer nærmest normalfordelte afkast, er Carnegie WorldWide, som er én ud af to investeringsforeninger med højreskæv afkastfordeling. Endvidere er Carnegie WorldWide den investeringsforening, der har størst topstejlhed. For de andre investeringsforeninger og benchmark gælder, at de har en venstreskæv 23 Dette kan skyldes at deres erklærede benchmark ikke er KFX-indekset, men Totalindekset. Ved at have Totalindekset som benchmark, vil det betyde, at der er potentielt flere aktiver at investere i, hvilket øger muligheden for diversifikation. 51

58 afkastfordeling. Generelt er der tale om, at investeringsforeningerne er præget af en topstejlhed, der er højere end normalfordelingen. Den generelle skæve afkastfordeling og relativt høje topstejlhed, vil sammen bevirke, at investeringsforeningernes og benchmarkenes afkastfordeling ikke er normalfordelte. Dette resulterer i, at risikoparametrene i performanceanalyse som bygger på CAPM og Markowitz porteføljeteori, ikke nødvendigvis er korrekte, hvilket betyder, at fortolkningen af resultaterne i den empiriske del af afhandlingen, skal gøres med en vis forsigtighed Analyse af danske investeringsforeningers performance For at undersøge om det i perioden oktober 1994 til januar 2002 havde en fordel at følge en passiv TE porteføljestrategi contra en aktiv diversifikationsstrategi, er det nødvendigt at undersøge, hvorledes de valgte investeringsforeninger performer ud fra diversifikationsstrategien. I det ovenstående har vi fundet, at 10 ud af 19 investeringsforeninger har et merafkast, der er højere end deres respektive benchmark. Som før omtalt er det dog ikke tilstrækkeligt udelukkende at fokusere på afkastet. Men man får reelt heller ikke svar på, hvorledes en aktie eller en portefølje har performet ud fra at kigge på afkast og risiko hver for sig eller samlet. Derfor er man nødsaget til at indkalkulere risikoen i afkastet og dermed kigge på det risikojusterede afkast. I det følgende vil det risikojusterede afkast derfor blive estimeret ved hjælp af det valgte performancemål, Jensens indeks, for at undersøge investeringsforeningernes performance. Disse resultater vil blive sammenlignet med resultater fra andre lignende undersøgelser af investeringsforeningers performance. 24 Dette kunne afhjælpes ved at medtage flere data i analysen, enten ved at udvide analyseperioden eller basere data på ugentlige eller daglige observationer. 52

59 10.1 Estimation af Jensens α for de udvalgte investeringsforeninger. I afsnit 4.3 blev der vist, hvorledes Jensens α benytter CAPM s SML til fastlæggelse af performancemålingen. Dvs. at performancemålet bygger på den systematiske risiko, β. Ulempen ved at benytte β som risikomål er dog, at man udelukker bredden i porteføljen og derfor ser bort fra porteføljemanagerens evne til at bortdiversificere den usystematiske risiko. Men da performancemålingen er på investeringsforeninger, der pr. definition er veldiversificerede, jf. afsnit 4.4, er denne ulempe elimineret. Dog skal man i den nedenstående performancemåling være opmærksomme på, at investeringsforeningernes og benchmarkenes afkastfordeling ikke er normalfordelte. Dette betyder, at man ikke 100 % kan stole på resultaterne og derfor skal være forsigtige i fortolkningen af Jensens α. I det følgende vil SML blive estimeret for hver af de 19 udvalgte investeringsforeninger ud fra enkelt-indeks modellen givet ved følgende regressionsligning: (10.1) r it - r ft = α i + β i *(r It - r ft ) + ε it hvor r it, r ft og r It angiver det månedlige afkast for hhv. investeringsforeningen, den risikofrie rente og benchmarket. α i er Jensens α, β i angiver investeringsforeningens systematiske risiko i forhold til benchmarket og ε it er et fejlled, der indeholder al information, som ikke er givet ved α i og β i, hvilket reelt vil sige den usystematiske risiko. For at undersøge om investeringsforeningerne har opnået en bedre performance end deres respektive benchmark, testes Jensens α for statistisk signifikans, jf. nedenstående hypotese: H 0 : α i 0 (neutral performance) H 1 : α i > 0 (overperformance) 53

60 H 1 er udtryk for, at investeringsforeningerne har en performance, der er bedre end dens benchmark. Jensens α vurderes i en t-fordeling med 85 frihedsgrader, hvor den kritiske værdi er 1,988 på et 5 % signifikansniveau i en tosidet test 25. Resultaterne fra regressionerne og fortolkningen heraf vil i det nedenstående blive præsenteret efter benchmark Danske aktier Nedenstående tabel 10.1 viser regressionernes estimerede Jensens α, systematiske risiko (β), t-statistik for α og justerede forklaringsgrad (just.-r 2 ) for kategorien Danske aktier. Input i regressionerne er hhv. de 6 investeringsforeningers og KFX s merafkast, r i -r f og r b -r f. Regressionen er gennemført i Excel 26. Tabel 10.1: Regressionsresultater for kategorien Danske aktier Jensens t-stat. just.-r 2 BG Invest, Danmark 0,0001 0,808 0,034 0,792 Danske Invest, Danmark 0,0009 0,897 0,630 0,924 Egns Invest, Danmark -0,0011 0,852-0,633 0,881 Lån & Spar Rat. invest, Danmark 0,0008 0,896 0,422 0,855 Nordea Invest, Danmark 0,0001 0,877 0,040 0,888 Sydinvest, Danmark -0,0009 0,895-0,479 0,873 Kilde: Egen udførelse Anm.: * = signifikant på 5 % signifikansniveau, ** = signifikant på 10 % signifikansniveau Tabel 10.1 fortæller, at 4 ud af de 6 investeringsforeninger har kunnet opnå et positivt Jensens α over perioden fra oktober 1994 til januar Dette kan fremstå overraskende, idet tabel 9.1 viser, at ingen af investeringsforeningerne har et årligt afkast, der er højere end benchmarket. Men som før omtalt afhænger Jensens α ikke udelukkende af det årlige afkast, men også den systematiske risiko investeringsforeningen har påtaget sig over perioden. 25 Alternativt er kritisk værdi 1,663 på 10 % signifikansniveau ved tosidet t-test. 26 Se bilag 3: Regressionsoutput for Danske aktier 54

61 Der ses i 10.1, at ingen af investeringsforeningerne har en systematisk risiko, β, der er højere end KFX. Dette stemmer overens med tabel 9.1, der illustrerer, at ingen af investeringsforeningerne har påtaget sig lige så stor risiko, som den der ligger i benchmarket. Det lavere afkast kombineret med den mindre risiko gør således, at det risikojusterede afkast givet ved Jensens α, er positivt for 4 og negativt for 2 af investeringsforeningerne. Endvidere illustrerer tabel 10.1, at den justerede forklaringsgrad (just.-r 2 ) for investeringsforeningerne ligger i intervallet 0,792 (BG Invest, Danmark) til 0,924 (Danske Invest, Danmark), hvilket betyder, at mellem 79,2 % og 92,4 % af variationen i investeringsforeningernes afkast er forklaret af KFX indekset. Det vil sige, alt andet lige, at investeringsforeningernes afkast ikke udelukkende kommer fra KFX-aktier, men at mellem 8 % og 21 % af afkastet kan henføres til investeringer i andre aktiver 27. Den statistiske t-test viser, at ingen af investeringsforeningerne har et signifikant positivt eller negativt Jensens α på et 5 % signifikansniveau for analyseperioden fra oktober 1994 til januar Dog, ved at estimere Jensens α på årsbasis i stedet for hele analyseperioden, findes at BG Invest, Danmark er den eneste investeringsforening, der har kunnet opnå at overperforme KFX ved et signifikansniveau på 5 % og dette kun for året Regressionens forklaringsgrad er kun 62,7 %, hvilket betyder, at investeringsforeningens overperformance i vid udstrækning skyldes investeringer i andre aktiver end KFX-aktier eller en anden vægtning af aktierne i porteføljen. 27 De relativt lave forklaringsgrader, kan forklares af at KFX-indekset hovedsagligt ikke er investeringsforeningernes erklærede benchmark. En anden forklaring kunne være at investeringsforeningerne udelukkende investerer i KFX-aktier, men ikke med samme vægtning som indekset er bygget op, eller at de har valgt at fravælge enkelte KFX-aktier. Det sidste vil dog stride mod kravet omkring diversifikation jf. Lov om investeringsforeninger og specialforeninger. Jf. afsnit 1.2 Afgrænsning ses i afhandlingen bort fra transaktionsomkostninger mm., men disse omkostninger kan også med til at reducere forklaringsgraden. 55

62 Ud fra ovenstående kan konkluderes, at investeringsforeningerne i kategorien Danske aktier, alt andet lige, har performet neutralt i forhold til deres benchmark set over hele analyseperioden. Dvs. at investeringsforeningernes medlemmer har fået et afkast, der ikke er signifikant større end det passive benchmarks Europæiske aktier Som beskrevet i afsnit 9.1 har 4 ud af 6 investeringsforeninger i kategorien Europæiske aktier, et højere årligt afkast end MSCI Europe, samtidigt med at de alle har en total risiko, der er større end benchmarket. Tabel 10.2: Regressionsresultater for kategorien Europæiske aktier Jensens t-stat. just.-r 2 BG Invest, Europa -0,0003 0,974-0,153 0,875 Danske Invest, Europa 0,0003 1,041 0,151 0,888 Egns-Invest, Europa -0,0012 0,975-0,696 0,895 Lån & Spar Rat. Invest, Europa 0,0019 1,025 1,004 0,883 Nordea Invest, Europa 0,0035 1,008 1,967** 0,899 Sydinvest, Europa 0,0011 0,973 0,663 0,902 Kilde: Egen udførelse Anm.: * = signifikant på 5% signifikansniveau, ** = signifikant på 10% signifikansniveau Tabel 10.2 viser, at de samme 4 investeringsforeninger har et positivt Jensens α, hvilket indikerer, at de har performet bedre end deres benchmark. Dog viser tabellen samtidig, at ingen af dem har kunnet performe signifikant bedre end MSCI Europe på et 5 % signifikansniveau. Dette hænger sammen med, at selvom foreningerne har kunnet kreere et årligt afkast, der er større end benchmarket, har de en relativ høj systematisk risiko i forhold til afkastet 28. Vi kan dog også se, at investeringsforeningen Nordea Invest, Europa er meget tæt på at være signifikant, jf. den kritiske værdi på 1,988 ved et signifikansniveau på 5 % og investeringsforeningens t-værdi. 28 Se bilag 4: Regressionsoutput for Europæiske aktier 56

63 Estimation af Jensens α på årsbasis viser, at Danske Invest, Europa, Lån og Spar Rationel Invest, Europa og Nordea Invest, Europa alle tre signifikant har overperformet MSCI Europa i 1998, men har ikke vedvarende kunnet performe bedre end deres benchmark. Regressionernes forklaringsgrader viser, at MSCI Europe forklarer mellem 87,5 % og 90,2 % af variationen i investeringsforeningernes afkast, når vi ser det over hele analyseperioden. For hvad angår året 1998 og de tre investeringsforeninger, der i dette år har kunnet overperforme MSCI Europe, ligger forklaringsgraden på hhv. 97,6 % for Danske Invest, 97,6 % for Lån & Spar Rationel Invest og 99,6 % for Nordea Invest. Dette viser, i modsætning til hvad der gjorde sig gældende for BG Invest, Danmark i 1996, at nærmest al variation i de tre investeringsforeningers afkast kan forklares ud fra deres benchmark, hvilket kan indikere, at de følger deres benchmark meget præcist. Herudfra kan derfor konkluderes, at ingen af investeringsforeningerne i kategorien Europæiske aktier har kunnet overperforme deres passive benchmark på et 5 % signifikansniveau. For alle gælder, at selvom 4 ud af 6 har kunnet præstere et positivt Jensen α, er ingen af dem statistisk signifikante over hele analyseperioden. Dette betyder, hvis vi som forudsat ser bort fra transaktionsomkostninger mv., at investeringsforeningerne har performet neutralt i forhold til deres benchmark Globale aktier Regressionsresultaterne givet i nedenstående tabel 10.3 fortæller, at alle undtagen Sydinvest, Verden har kunnet præstere et positivt Jensens α men, at kun én af investeringsforeningerne har opnået et signifikant Jensens α på et 5 % signifikansniveau Se bilag 5: Regressionsoutput for Globale akiter 57

64 Tabel 10.3: Regressionsresultater for kategorien Globale aktier Jensens t-stat. just.-r 2 BG Invest, Verden 0,0018 1,067 0,792 0,866 Carnegie WorldWide/Globale aktier 0,0084 0,951 2,218* 0,654 Danske Invest, Verden 0,0000 1,021 0,001 0,938 Lån og Spar Rat. Invest, Verden 0,0032 1,060 1,717** 0,907 Midinvest 2, Verden 0,0020 1,020 0,863 0,854 Nordea Invest, Verden 0,0020 1,080 1,442 0,950 Sydinvest, Verden -0,0012 1,024-0,807 0,937 Kilde: Egen udførelse Anm.: * = signifikant på 5 % signifikansniveau, ** = signifikant på 10 % signifikansniveau Ikke overraskende er det Carnegie WorldWide, der statistisk set har overperformet benchmarket. Som det fremgik af tabel 9.1, har investeringsforeningen et årligt afkast, der er over dobbelt så stort som MSCI World. Den totale risiko er samtidig større end benchmarkets, men denne større risiko opvejer ikke det større afkast. Estimaterne viser dog, at Carnegie WorldWide har en systematisk risiko, der er lavere end MSCI World, hvilket fortæller, at en forholdsvis stor del af investeringsforeningens totale risiko, er usystematisk risiko. Dette kan ligeledes ses ud fra regressionens forklaringsgrad, der viser at kun 65,4 % af variationen i investeringsforeningens afkast forklares af MSCI World. Dvs., at knap 35 % kan forklares af investeringer i aktiver, som ikke indgår i MSCI World indekset eller en noget anden vægtning af aktiverne, der indgår i benchmarket. Generelt ses det i tabel 10.3, at investeringsforeningerne i kategorien Globale aktier har en systematisk risiko, som ligger over benchmarket, hvilket stemmer forholdsvist overens med resultaterne fra tabel 9.1, der fortæller, at alle investeringsforeninger har en total risiko, der overstiger benchmarkets. Samtidigt ses, at regressionernes forklaringsgrader, med undtagelse af Carnegie WorldWide, ligger i intervallet 85,4 % til 95,0 %. Dette svarer til, de estimerede forklaringsgrader der generelt er set for investeringsforeningerne, som hovedsagligt investerer i hhv. danske og europæiske aktier (jf. afsnit og ). 58

65 Regressionerne gennemført på årsbasis viser, at Danske Invest, Verden har underperformet MSCI World signifikant i (β = 1,247) og overperformet benchmarket i 1998 og at Midtinvest 2, Verden har overperformet benchmarket signifikant i Samtidig har investeringsforeningerne de år, hvor de signifikant har over-/underperformet benchmarket, forholdsvist høje forklaringsgrader, hvilket betyder, at en betragtelig del af variationen i afkastene er forklaret af benchmarket. Som nævnt idet overstående, har Carnegie WorldWide overperformet MSCI World set over hele analyseperioden. En smule overraskende er det, at investeringsforeningen intet enkelt år har kunnet overperforme benchmarket ifølge Jensens α. Herpå er det dog en god forklaring, idet at investeringsforeningen har påtaget sig en forholdsvis større risiko end benchmarket. I 1999 opnåede Carnegie WorldWide et årligt afkast på 71,86 % og MSCI World et årligt afkast på 34,58 % og i 2000 opnåede de et årligt afkast på hhv. 8,03 % og -10,65 %, hvilket skal ses som noget af forklaringen på, hvorfor investeringsforeningen over hele analyseperioden har et årligt afkast, der er dobbelt så stort som benchmarket. Derfor skulle man tro, at for disse to år ville Carnegie WorldWide have positivt signifikante Jensens α er. Dog hvis man tager den risiko, investeringsforeningen har påtaget sig i forhold til benchmarket, ses der, at Carnegie WorldWide i 1999 har en systematisk risiko på 1,349 (std. afv. = 26,10 % og just.r 2 = 48,4 %). I 2000 har investeringsforeningen en systematisk risiko på 0,668 (std.afv. = 20,91 % vs. std.afv. (MSCI) = 17,68 %) med en forklaringsgrad på kun 25,1 %. Jf. formel 4.3, så måler Jensens α det risikojusterede afkast, hvorfor den noget højere risiko neutraliserer det noget større afkast. Konklusionen på analysen af de globale investeringsforeningers performance er således, at kun én af investeringsforeningerne har kunnet overperforme benchmarket signifikant på en 5 % signifikansniveau. De 6 andre har set over hele analyseperioden performet neutralt i forhold til benchmarket. Endvidere ses, hvor stor betydning den 30 Perioden 1995 går fra oktober 1994 til og med december 1995 og inkluderer altså 2 observationer mere end de andre år. 59

66 risiko investeringsforeningerne tager, har for deres performance jf. Jensens α. Generelt ville man sige, at et stort afkast er meget godt, men medtager man risikoen, altså udsvinget i afkastet, kan det diskuteres, hvor godt et stort afkast er Resultater fra lignende undersøgelser Gennem tiden og specielt siden midten af 1960 erne er der gennemført mange målinger af investeringsforeningers performance. Den generelle konklusion er, at investeringsforeningerne ikke har kunnet overperforme deres benchmark set som en helhed. Disse resultater bygger dog hovedsagligt på nettoafkast, dvs. når man ser bort fra omkostninger. Når analyserne er lavet på bruttodata, ser resultaterne noget anderledes ud. Her ser man generelt, at investeringsforeningerne har kunnet overperforme deres benchmark. Denne overperformance bliver dog spist op af de pådragne omkostninger, da merafkastet i forhold til benchmarket ligger meget nær omkostningerne. I en undersøgelse af 115 investeringsforeningers performance i perioden , fandt Jensen, M. (1968) at kun 3 investeringsforeninger havde overperformet deres passive benchmark på et 95 % signifikansniveau. Derudover var der 14 investeringsforeninger, der signifikant havde underperformet. Da man ved ren tilfældighed kunne forvente at 5-6 investeringsforeninger ville opnå signifikante positive merafkast og det samme antal signifikant negative, finder Jensen, at der ikke er beviser for at investeringsforeninger set som en helhed, kan skabe et merafkast, der kan opveje investeringsforeningens omkostninger. Før omkostninger finder Jensen, at investeringsforeningerne ligger tilfældigt fordelt omkring SML og konkluderer derfor, at ingen porteføljemanager synes at have brugbar privat information, der kan påvirke afkastet i positiv retning 31. I en lignende undersøgelse finder Ippolito, R.A. (1989) at, ud af 143 investeringsforeninger i perioden , er der 12, der har signifikant overperformet benchmarket og 4 der signifikant har underperformet. Set ud fra faktumet, at man ved ren tilfældighed ville forvente 7 investeringsforeninger, der 31 Sharpe, W.F. (1966) og Treynor, J.L. (1965) konkluderer lignende i deres undersøgelser af markedet. 60

67 henholdsvist havde over- eller underperformet, finder Ippilito at investeringsforeningerne som en helhed, har kunnet skabe et merafkast i forhold til markedet. Malkiel, B.G. (1995) estimerer Jensens α for investeringsforeninger i perioden1971 til Han finder, at set som en helhed har investeringsforeningerne ikke kunnet skabe et afkast, der kunne overstige investorernes omkostninger. Dog kan han bekræfte de generelle betragtninger i litteraturen og finder således, at investeringsforeninger har et merafkast, der bruttomæssigt kan hjemtjene omkostningerne. Patricia & Rolf (1983) finder, at der i bedste fald er en chance for at vælge en porteføljemanager der aktivt kan overperforme markedet. Christensen, M. (2003) finder ved hjælp af enkelt-indeks modellen, at ingen danske investeringsforeninger har kunnet overperforme markedet signifikant i perioden 1994 til Dog finder han, at enkelte har underperformet signifikant i perioden. Ovenstående empiriske studier af investeringsforeningers performance synes således at bekræfte denne afhandlings resultater. Hvis man ser bort fra omkostninger mv., viser analyserne generelt, at investeringsforeningerne ikke har været i stand til at skabe overnormale afkast over tid til en given risiko. 11 Performance ud fra Tracking Error strategien Ovenstående performancemåling ved hjælp af Jensens α viser os, at kun én ud af afhandlingens analyserede investeringsforeninger, har kunnet skabe et merafkast over tid. Dette faktum samt resultaterne fra lignende empiriske analyser af investeringsforeningers performance synes, at bekræfte EMH i, at man ikke kan skabe et overnormalt afkast over tid for en given risiko. Det kunne dermed være interessant at se, hvorledes investeringsforeningerne har performet set ud fra en passiv porteføljestrategi som TE. Givet at 61

68 investeringsforeningerne kan antages at have fulgt en aktiv porteføljestrategi gennem analyseperioden, vil en stor andel af den estimerede TE skyldes dette og ikke i så høj grad omkostninger som f.eks. transaktions- eller administrationsomkostninger. For at analysere hvorledes investeringsforeningerne har performet ud fra et passivt synspunkt jf. IR, er det nødvendigt først at estimere, hvor stor investeringsforeningernes TE er. Vi så i afsnit 6.2, at TE bygger på enkelt-indeks modellen og skal ses på et svar på EMH. Idéen er at følge et indeks ved at sammensætte investeringsforeningens portefølje således, at den i vid udstrækning har samme forventede afkast og risiko som indekset. Dvs. man arbejder på, at investeringsforeningen skal have en systematisk risiko tilnærmet 1. Man forsøger således at minimere den systematiske risiko angivet ved ε i i den regression, der også benyttes i afhandlingen til at estimere Jensens α, jf. afsnit 4.3. Dvs., ved at estimere TE, finder man reelt standardafvigelsen mellem investeringsforeningens afkast og indeksets afkast. Dvs. at TE er et risikomål, der fortæller, hvor langt investeringsforeningens manager er fra benchmarket. Jo større TE jo mere afviger porteføljen fra benchmarket og jo større risiko har porteføljemanageren påført investor. Som vist i afsnit 6.3, består IR af to komponenter: Investeringsforeningens TE og dens Jensens α. IR fortæller dermed, hvor stort risikojusteret merafkast i forhold til benchmarket porteføljemanageren har givet investor pr. risikoenhed. Eller sagt på en anden måde: Om det informationssæt der har medført, at porteføljemanageren har afveget fra indekset og dermed påført investeringsforeningen risiko, har kunnet skabe et merafkast. Jf. Grinold, R.C. & Kahn, R.N. (1991) er information hvad, der separerer aktiv og passiv porteføljepleje og IR er derfor det mål, der bedst kan fortælle, hvorledes denne information har genereret performance. 62

69 En IR over 0 er udtryk for, at investeringsforeningen har kunnet skabe et merafkast, der er større end den risiko, der er påført ved ikke 100 % at holde sig til indeksets aktiver eller vægtning. BARRA, har undersøgt investeringsforeningers IR på det amerikanske marked. Deres resultater indikerer, at med en IR på +1 ligger investeringsforeningen blandt top 10 % investeringsforeninger, med en IR på -1 ligger investeringsforeningen blandt bund 10 % og med en IR på 0,0 ligger investeringsforeningen omkring det 50. percentil, hvilket kan betragtes som neutral performance ( TE og IR vil i det nedenstående blive estimeret og kommenteret. Samtidig vil resultaterne blive sammenlignet med performancemålingen i ovenstående afsnit. Dette gøres for at se om de to performancemål giver samme resultat og hvad disse forskelle evt. kan skyldes Danske aktier Investeringsforeningerne i kategorien Danske aktier, set over hele analyseperioden, har en systematisk risiko, der ligger mellem 0,808 og 0,895. Dette kunne tyde på, at investeringsforeningerne hovedsagligt investerer i de aktier, der udgør benchmarket og dermed arbejder hen i mod at have samme risikoprofil som benchmarket. Samtidig viste regressionerne, at KFX-indekset forklarer mellem 79,2 % og 92,4 % af variationen i investeringsforeningernes afkast. Dette kunne indikere, at investeringsforeningerne i nogen grad investerer i de underliggende aktier i benchmarket. I nedenstående tabel 11.1 ses, at alle investeringsforeninger i kategorien Danske aktier har en TE, der ligger mellem 4,79 % og 7,82 %. Sammenholdt med det faktum at mellem 8 % og 21 % af variationen i investeringsforeningernes afkast ikke kan forklares af variationen i benchmarket (jf. afsnit ), skyldes denne afvigelse antageligt en aktiv porteføljestrategi. Dette gælder især for BG Invest, Danmark, der har den højeste TE og den laveste forklaringsgrad. 63

70 Tabel 11.1: TE og IR for kategorien Danske aktier Tracking Error Information Ratio BG Invest, Danmark 0,0782 0,0010 Danske Invest, Danmark 0,0479 0,0181 Egns Invest, Danmark 0,0593-0,0182 Lån & Spar Rat. invest, Danmark 0,0656 0,0129 Nordea Invest, Danmark 0,0574 0,0012 Sydinvest, Danmark 0,0613-0,0146 Alle investeringsforeninger har en IR der ligger omkring 0, hvilket ud fra Barra s undersøgelser fortæller, at investeringsforeningerne har performet neutralt i forhold til deres benchmark. Dvs. at resultaterne stemmer overens med, resultaterne i afsnit , der fortæller at ingen ud af 6 investeringsforeninger, der har KFX-indekset som benchmark, har opnået et overnormalt afkast i analyseperioden. Generelt er det meget interessant at se, at selvom estimaterne indikerer, at investeringsforeningerne har ført aktive porteføljestrategier, er der ingen af dem der har været i stand til at overperforme markedet. Som før nævnt må man antage, at investeringsforeningerne fører en aktiv porteføljestrategi, fordi de er af den opfattelse, at de har en information, der kan hjælpe dem med at skabe overnormale afkast. Denne merviden har de dermed ikke været i stand til at omsætte til merafkast Europæiske aktier Investeringsforeningerne i kategorien Europæiske aktier, har i analyseperioden opereret med en systematisk risiko, der ligger lige omkring 1, hvilket i høj grad indikerer, at de søger at have samme risikoprofil som benchmarket. Endvidere har investeringsforeningerne forklaringsgrader, som ligger mellem 87,5 % og 90,2 %, hvilket betyder, at en relativt stor del af variationen i investeringsforeningernes afkast kan forklares af variationen i benchmarkets afkast. Så generelt tyder det på, at porteføljemanagerne følger en indeksstrategi med MSCI Europe som den faktor, der styrer investeringsforeningens afkast. Dog kan vi i nedenstående tabel 11.2 se, at investeringsforeningernes TE ligger i intervallet fra 5,30 % til 6,11 %, hvilket på samme måde Danske aktier antyder, at 64

71 investeringsforeningerne fører en aktiv investeringsstrategi. Denne påstand underbygges til dels af, at ingen af investeringsforeningerne har erklæret at følge en aktiv investeringsstrategi. Tabel 11.2: TE og IR for kategorien Europæiske aktier Tracking Error Information Ratio BG Invest, Europa 0,0605-0,0048 Danske Invest, Europa 0,0608 0,0048 Egns-Invest, Europa 0,0549-0,0220 Lån & Spar Rat. Invest, Europa 0,0611 0,0318 Nordea Invest, Europa 0,0553 0,0624 Sydinvest, Europa 0,0530 0,0210 Estimaterne for IR viser på samme måde som i afsnit , at investeringsforeningerne har performet neutralt i forhold til MSCI Europe set ud fra TE-strategien. Den af investeringsforeningerne der har performet bedst, er Nordea Invest, Europa med en IR på 6,24 %, hvilket under Barra s definition ikke er tilstrækkeligt til at kunne sige, at investeringsforeningen har outperformet markedet. Det er dog spændende at sammenholde Nordea Invests performance og TE. Investeringsforeningen er en af dem, der har lavest TE og alligevel den investeringsforening, som har performet bedst, både målt på Jensens α og IR. Dette tyder på, at jo tættere man ligger op ad indekset, jo større chance er der for at porteføljen performer godt. Samtidig er det den investeringsforening, der har en systematisk risiko, der er nærmest benchmarket. Dette indikerer i høj grad, at investeringsforeningen har fulgt en passiv strategi og at denne strategi har outperformet den aktive Dette er under forudsætning af at kategoriens andre investeringsforeninger reelt har fulgt en aktiv porteføljeteori. Der skal også hertil siges, at når der her tales om at den passive strategi har outperformet den aktive, tales der om relativ performance. Set på lige fod med de andre investeringsforeninger, har investeringsforeningen performet neutralt. Set som konkurrenter har den outperformet de andre. 65

72 Globale aktier Jf. afsnit blev der vist, at Carnegie WorldWide som den eneste investeringsforening har kunnet skabe et signifikant merafkast i forhold til benchmarket MSCI World. Samtidig viste analysen, at én af baggrundene var, at en forholdsvis lille andel af investeringsforeningens afkast kunne forklares af benchmarket. Tabel 11.3 viser de estimerede værdier for TE og IR for kategorien Globale aktier. Som det ses har Carnegie WorldWide en TE på næsten 12 %, hvilket bekræfter forklaringsgraden i regressionen i afsnit , at det merafkast Carnegie WorldWide har opnået, især er sket, fordi de har påtaget sig mere risiko ved at afgive markant fra indekset. Den store TE og den lille forklaringsgrad viser med stor sandsynlighed, at Carneige WorldWide har fulgt en aktiv investeringsstrategi. Ifølge de estimerede IR har investeringsforeningen dog kun performet neutralt ud fra Barra s kriterier. Tabel 11.3: TE og IR for kategorien Globale aktier Tracking Error Information Ratio BG Invest, Verden 0,0735 0,0247 Carnegie WorldWide 0,1196 0,0699 Danske Invest, Verden 0,0455 0,0000 Lån & Spar Rat. Invest, Verden 0,0597 0,0534 Midtinvest 2, Verden 0,0730 0,0272 Nordea Invest, Verden 0,0451 0,0433 SydInvest, Verden 0,0462-0,0254 Carnegie WorldWide s TE sammenholdt med Jensens α og til dels IR fortæller dog, at når man følger en aktiv strategi, er der en reel mulighed for at kunne overperforme et benchmark. Næsten det samme gør sig gældende for Lån & Spar Rationel Invest, Verden. Disse resultater skal ses i modsætning til den passive strategi, hvor man i realiteten har opgivet at skabe overnormale afkast. Estimaterne for BG Invest, Verden og Midtinvest 2, Verden viser, at de har afveget med over 7 % fra MSCI World, mens deres IR og Jensens α er forholdsvis lave. Dette viser reelt det modsatte af, hvad der var gældende for at Carnegie WorldWide. Investeringsforeningernes forholdsvis lave forklaringsgrader sammenholdt med TE 66

73 fortæller, at de med en vis sandsynlighed har ført en aktiv strategi. Dog har de ikke været i stand til at skabe et signifikant merafkast i forhold til benchmarket. 12 Jensens α og tracking error Ovenstående afsnit har hver for sig estimeret investeringsforeningernes performance og resultaterne er forholdsvist ens: Investeringsforeningerne har performet neutralt ud fra både Jensens α og IR. Disse resultater sammenholdt med TE, regressionernes forklaringsgrader og systematiske risiko er interessante. Generelt ligger investeringsforeningernes TE omkring 5-7 %. Da investeringsforeningernes afkast er opgjort uden omkostninger, indikerer TE således, at det er en aktiv porteføljestrategi, som har resulteret i TE. Jf. afsnit 10, fortæller regressionernes forklaringsgrader, at mellem % af variationen i investeringsforeningernes afkast ikke kan forklares af variationen i benchmarkenes afkast. Dette er ligeledes en indikator på aktiv porteføljestrategi. Det der kunne tale i mod, at investeringsforeningerne fører en aktiv strategi, er trenden for de estimerede systematiske risici. Der er tidligere blevet vist, at hvis en investeringsforening søger at følge en TE-strategi, vil de søge at have en risiko, der er tilnærmelsesvis lig benchmarkets. Trenden er, at de analyserede investeringsforeningers systematiske risiko ligger tæt på benchmarkenes risiko, specielt hvad angår kategorierne Europæiske aktier og Globale aktier. Hvis man sammenholder TE, forklaringsgraderne og de systematiske risici, er der således en del, der tyder på, at investeringsforeningerne fører aktiv porteføljestrategi. Dette underbygges af, at ingen af investeringsforeningerne har tilkendegivet, at de fører en passiv strategi. Samtidig ser det dog også ud til, at investeringsforeningerne søger at replicere benchmarkenes risiko. Det synes derfor reelt at antage, at investeringsforeningerne følger en aktiv porteføljestrategi, hvorigennem de søger at skabe en performance, der overgår benchmarkenes. Dette gøres reelt ved at acceptere at denne aktivitet medfører TE. 67

74 Jf. Gupta, F. et al (1999) er TE et nødvendigt onde, man skal affinde sig med, i håbet om at overperforme markedet, hvorfor det er nødvendigt at forstå sammenhængen mellem TE og performance. De søger derfor over en 5-årig analyseperiode fra januar 1993 til december 1997 at påvise sammenhæng mellem mellem TE og α. Deres resultater kan deles op i to grupper: Top-kvartil manageren der har formået at generere positiv α i alle undersøgte kategorier af aktiver 33 og hele populationen af managere. Analysen viser, at for hele populationen af porteføljemanagere kan der påvises meget svag korrelation mellem TE og α, hvilket indikerer at en større aktivitet blandt porteføljemanagerne ikke automatisk vil genere større α. Dette gælder især for U.S. obligationer og U.S. small- og large-cap. Samtidig påvises der en meget lav forklaringsgrad (R 2 ) ved en regression af α på TE, hvilket betyder at variationen i α ikke kan forklares ved variationen i TE. Tilsammen indikerer dette, at der ingen sammenhæng er mellem TE og Jensens α, hvilket samtidig giver udtryk i en forholdsvis lav IR. Resultaterne ser dog anderledes ud, når Gupta et. al. kigger på top-kvartilet af porteføljemanagere. Foruden at generere signifikant positiv α, er der en relativ stærk positiv korrelation mellem α og TE. Disse managere formår samtidig at have en højere IR end andre porteføljemanagere, hvilket indikerer, at de producerer mere α per enhed TE. Hvor man ved regression af α på TE for hele populationen så, at der var en meget lav forklaringsgrad mellem α og TE, er dette også meget modsat for topkvartilet af managerne. Dette betyder, at de variationer der er i α, i høj grad skyldes variationen i TE. Herved påvises stor sammenhæng mellem α og TE når man udelukkende kigger på de porteføljemanagere, der har været i stand til at generere signifikant positiv α. 33 Kategorierne er: U.S. obligationer, Internationale obligationer, U.S. large-cap, U.S. small-cap, International Equity og Emerging Markets Equity. 68

75 I det følgende undersøges om ovenstående gælder på det danske marked. Analysen tager udgangspunkt i de samme 19 investeringsforeninger som i afsnit 10 og 11. Der vil blive gennemført regressioner af Jensens α på TE og korrelationkoefficienterne estimeres, for at undersøge om der for danske investeringsforeninger er en sammenhæng mellem a og TE Jensens α og tracking error på det danske marked For at undersøge om der er sammenhæng mellem Jensens α og TE på det danske marked, ændres data så investeringsforeningernes Jensens α og TE estimeres på årsbasis i stedet for at estimere Jensens α og TE for hele analyseperioden. Fordelen ved dette er, at det giver flere observationer at estimere på, hvilket kan give resultaterne en større sikkerhed, i og med der medtages mere information. Ulempen ved kun at medtage 12 observationer pr. år, giver dog en større usikkerhed ang. afkastenes normalfordelingsantagelse, specielt set i lyset af, at benchmarkenes og investeringsforeningernes afkastfordeling over hele analyseperioden ej heller er normalfordelte. Dette bevirker, at analysens resultater er forbundet med en relativt stor usikkerhed og fortolkningen af resultaterne skal gøres med en vis forsigtighed. Endvidere vil analysen ikke blive gennemført for hver enkelt investeringsforening, men i stedet blive gennemført som 3 kategorier af investeringsforeninger opdelt efter benchmark. Herved vil kategorierne Danske aktier og Europæiske aktier bestå af 42 observationer pr. kategori og for kategorien Globale aktier vil der være 49 observationer 34. Resultaterne af analysen er præsenteret i nedenstående tabel Det er dog udelukkende forklaringsgraderne samt korrelationskoefficienterne mellem Jensens α afkastet består af månedlige observationer fra oktober 1994 til december På samme måde består 2001-afkastet af månedlige observationer fra januar 2001 til og med januar Dette giver i alt 7 observationer pr. investeringsforening og derfor hhv. 42 og 49 observationer i alt pr. kategori. 69

76 og TE der præsenteres, da det specielt er disse to variable, der fortæller om en evt. sammenhæng mellem variablene 35. Tabel 12.1: Jensens α regresseret på tracking error DK EU WW R2-just. 0,0907-0,0061 0,1247 Korrelation -0,3359-0,1356 0,3780 Antal obs DK positiv α EU positiv α WW positiv α R2-just. -0,0465 0,0204 0,4858 Korrelation -0,0323-0,2510 0,7088 Antal obs Andel 55% 57% 65% Note: DK og DK positiv a, henviser hhv. til kategorien "Danske aktier" som en helhed og "Danske aktier" med positiv Jensens a. Det samme gælder for "Europæiske aktier" og "Globale aktier. Som det ses i tabellen, er analysen gennemført af to omgange. I første omgang er alle observationer indenfor hver kategori medtaget, hvorefter samme analyse er gennemført for de observationer, der har positiv Jensens α. Regressionen af Jensens α på TE resulterer i meget lave forklaringsgrader, både når man kigger på hele populationen og når man kigger på de observationer, der har positiv α. Dette indikerer, at variabiliteten i Jensens α ikke kan forklares ved hjælp af variabiliteten i TE. Endvidere fremgår det, at korrelationen mellem Jensens α og TE er negativ og meget lav. Dette viser, at en større aktivitet blandt porteføljemanagerne i værste fald har en negativ betydning for investeringsforeningernes performance. I bedste fald kan man konkludere, at en større handelsaktivitet har en meget lille betydning for investeringsforeningernes performance. Dette peger på, det ville have været bedre at følge en passiv strategi end en aktiv. Dog kan intet siges med sikkerhed, set i lyset af de lave korrelationskoefficienter, som fortæller, at der reelt ingen lineær sammenhæng er mellem TE og Jensens α. 35 Regressionsoutput kan ses i bilag 9 70

77 Ovenstående konklusion kan også drages for kategorien af investeringsforeninger der har MSCI Europe som benchmark. Analysen viser endvidere, at variationen i TE ikke kan forklare variationen i Jensens α. Samtidig fremgår det, at korrelationskoefficienterne mellem TE og Jensens α er negative, hvilket viser, at når porteføljemanageren afviger fra indeksets vægtning eller sammensætning, vil det generelt forringe investeringsforeningens performance. Noget overraskende viser det sig også, at for de investeringsforeninger, der har positiv Jensens α, er korrelationskoefficienten større (mere negativ) end for hele populationen. Dette indikerer, at når porteføljemanageren først har opnået en positiv Jensens α, skal der meget lidt aktivitet til før performance påvirkes negativt. På samme måde som ved kategorien Danske aktier, antyder dette, at det over perioden ville have været mere optimalt at følge en passiv investeringsstrategi. Igen skal der dog påpeges, at konklusionerne bygger på sammenhænge, der er forholdsvist svage; den lave korrelation mellem TE, der antyder, at der er en meget ringe lineær sammenhæng mellem TE og Jensens α, samt den lave forklaringsgrad, der fortæller, at der reelt ingen samvariation er mellem de to faktorer. Analysens resultater ser anderledes ud, når den gennemføres på kategorien Globale aktier. Specielt når man kigger på den andel af investeringsforeninger, som har positiv Jensens α. Først og fremmest har investeringsforeningerne tilsammen skabt positivt Jensens α i 2/3 af observationerne. Samtidig viser den relativt høje korrelationskoefficient på 0,71, at der er lineær sammenhæng mellem Jensens α og TE. Dette fortæller, at jo mere investeringsforeningerne afviger fra benchmarket, jo bedre Jensens α. Endvidere giver regressionen af Jensens α på TE en forklaringsgrad på 0,49. Dvs., at næsten 50 % af variationen i Jensens α forklares af variationen i TE, hvilket er en relativt klar indikator på, at der er sammenhæng mellem Jensens α og TE i denne kategori af investeringsforeninger. Dog skal der påpeges, at hvis Carnegie WorldWide ekskluderes fra analysen, minder resultaterne meget om dem, der ses for kategorierne DK og EU. Både forklaringsgrader og korrelationskoefficienterne er meget lave. Men analysen viser stadigvæk, at der er positiv korrelation mellem TE og Jensens α, hvilket indikerer, at der er en positiv, men ikke umiddelbart lineær 71

78 sammenhæng mellem Jensens α og TE 36. For kategorien Globale aktier kan der således konkluderes, at der er en sammenhæng mellem Jensens α og TE og at en aktiv porteføljestrategi kan medvirke til at skabe et overnormalt afkast. Samlet set viser analysen, at der ikke er nogen direkte sammenhæng mellem Jensens α og TE. For kategorierne DK og EU viste regressionsanalysen at variationen i TE forklarede en meget lille andel af variationen i Jensens α. Endvidere viste de lave korrelationskoefficienter, at der ikke var lineær sammenhæng mellem TE og Jensens α og at den lille sammenhæng der er, var negativ således, at jo mere investeringsforeningen afviger fra indekset, jo dårligere performance. For kategorien WW viste en regressionsanalyse at variationen i TE forklarer næsten 50 % af variationen i Jensens α. Samtidig viste analysen, at der er en relativ stærk positiv korrelation mellem Jensens α og TE, hvilket er en relativt klar indikator på, at der en sammenhæng mellem TE og Jensens α. Dog når Carnegie WorldWide, der bidrager med observationer med høj TE og høj Jensens α udelades, er der ingen entydig sammenhæng mellem TE og performance. Den generelle konklusion er hermed, at der på det danske marked for investeringsforeninger ikke er nogen sammenhæng mellem TE og Jensens α. Man kan derfor ikke sige om det er afkastmæssigt er positivt eller negativt at afvige fra benchmarkets sammensætning og om det ville være en fordel at følge en aktiv eller passiv investeringsstrategi. 13 Konklusion Med udgangspunkt i Markowitz og Sharpe s porteføljeteorier er det blevet undersøgt om det i perioden oktober 1994 til og med januar 2002, ville have været nogen fordel at følge en passiv porteføljestrategi som Tracking Error contra en aktiv diversifikationsstrategi. 36 Se bilag 10 for regressionsoutput for Globale aktier, hvor Carnegie WorldWide er udeladt. 72

79 Markowitz teori tager udgangspunkt i enkeltaktivers afkast og risiko og at aktivers afkast er normalfordelt. Ved at kombinere flere aktiver i en portefølje udnyttes det, at disse aktiver ikke samvarierer og at man derigennem kan skabe en spredning af risikoen. Kombinationen af aktiverne i en portefølje afhænger af aktivernes forventede afkast og risiko og deres indbyrdes korrelation. Ved at kombinere aktiverne således, at det forventede afkast er størst muligt for en given risiko eller at risikoen er mindst mulig for et givet afkast, opbygger man den efficiente rand. Denne er defineret ved at have sit udgangspunkt i Minumum Varians Porteføljen, der er den portefølje i den kritiske rand, som har lavest mulig risiko. Den optimale kombinationsportefølje kan findes ved at kombinere den efficiente rand med et risikofrit aktiv. Porteføljen er beliggende i det punkt, hvor CML, der indeholder alle efficiente porteføljer, tangerer den efficiente rand, og er kendetegnet ved at have det højeste afkast pr. risikoenhed. Sharpes CAPM er en modsætning til Markowitz porteføljeteori, da målet med modellen er at prisfastsætte aktiver eller porteføljer og ud fra denne prisfastsættelse skabe en optimal portefølje. CAPM s udgangspunkt er, at alle finansielle aktiver er i ligevægt, hvorfor den kan betragtes som en ligevægtsmodel. Modellen bygger på en række forsimplede og restriktive forudsætninger og antagelser, herunder at markedet er informativt efficient, hvorfor de ikke kan påvirke priserne. Dette sammenholdt med at investorerne har homogene forventninger og samme investeringshorisont betyder, at markedet altid er i ligevægt. På samme måde som Markowitz, benytter CAPM den efficiente rand, det risikofrie aktiv og CML som udgangspunkt til at finde den optimale porteføljekombination. Den eneste forskel er, at den risikofyldte og optimale kombinationsportefølje er skiftet ud med markedsporteføljen. Denne portefølje er kendetegnet ved, at hvis markedet er informativt efficient og alle investorer har ens forventninger, vil alle investere i 73

80 porteføljen. Endvidere har markedsporteføljen den egenskab, at den indeholder alle aktiver i økonomien. Da alle aktiver ligger på den efficiente rand, betyder det, at deres afkast er perfekt korreleret. Hvis afkastet er perfekt korreleret, vil en portefølje være veldiversificeret, hvorfor den totale risiko er irrelevant. Dette fører frem til SML, der bygger på aktivets eller porteføljens systematiske risiko. SML fortæller, at en porteføljes forventede afkast kan findes som en lineær kombination af den risikofrie rente, porteføljens systematiske risiko og markedsporteføljens forventede afkast. Sharpe-indekset, Treynor-indekset og Jensens-indekset er tre performancemål, der bygger på Markowitz porteføljeteori og / eller CAPM. Sharpe-indekset er givet ved hældningen på CML og måler både porteføljens dybde og bredde. Treynor-indekset er givet ved hældningen på SML og udelader derfor at måle porteføljens bredde. Jensens-indekset er ligeledes baseret på SML og måler om en portefølje har overperformet i forhold til det forventede afkast bestemt ud fra CAPM. Denne performance kaldes α og måler den lodrette afstand mellem det realiserede afkast og det forventede afkast. Til afhandlingens analyse er Jensens-indekset blev valgt som performancemål. Dette skyldes, at det er nemmere at kommunikere, da det er et absolut mål i modsætning til Sharpe- og Treynor-indeksene, der udtrykkes ved hældninger. Endvidere er Jensensindekset relativt nemt at estimere vha. en prisfastsættelsesregression. Selvom Jensens ikke måler dybden i en portefølje, er performancemålet valgt, da man ved performancemåling af investeringsforeninger må antage, at den usystematiske risiko er bortdiversificeret. Tracking Error kan opfattes som en passiv porteføljestrategi, hvor idéen er at konstruere en portefølje, der afspejler den samme systematiske risiko som det benchmark man søger at følge. Dette dog uden at skulle investere i alle de aktiver der indgår i benchmarket. På denne måde søger man at minimere forskellen mellem porteføljens afkast og indeksets afkast. TE udtrykker derfor standardafvigelsen på forskellen mellem porteføljens afkast og indeksets afkast og opstår generelt enten ved 74

81 at føre en aktiv porteføljestrategi eller ved de omkostninger, der opstår ved at skulle replicere et benchmark. Information Ratio er et performancemål, der udspringer af TE-strategien. IR findes ved at kombinere TE med Jensens α. Derved vil man kunne finde frem til, om den afvigelse man har fra benchmarket (TE), har kunnet skabe et merafkast. Den empiriske del tager udgangspunkt i 19 danske investeringsforeningers månedlige merafkast omregnet til logaritmisk afkast. Investeringsforeningerne er opdelt efter benchmark således, at der er 6 som har KFX som benchmark, 6 som har MSCI Europe som benchmark og 7 som har MSCI World som benchmark. Data er ikke behæftet med surviviorship bias, der kunne overdrive investeringsforeningernes succes. Ved en Jarque-Bera-test findes at benchmarkenes og investeringsforeningernes afkast ikke følger en normalfordeling med 95 % konfidens, hvilket bevirker, at analyserne skal foretages med en vis forsigtighed. Ved udelukkende at kigge på investeringsforeningernes afkast, fremgår det at 10 ud af 19 investeringsforeninger har opnået et årligt gennemsnitligt afkast, der er større end deres respektive afkast. Samtidig fremgår det, at de samme investeringsforeninger har påtaget sig en total risiko, der er større end deres benchmark. SML og derigennem Jensens α, estimeres for investeringsforeningerne og af dette fremgår at 14 ud af de 19 investeringsforeninger har opnået et positivt Jensens α. Dog er der kun én af investeringsforeningerne, der kunne overperforme dens benchmark med 95 % signifikans. De resterende investeringsforeninger har performet neutralt over perioden. Dvs. at de har kunnet opnå et afkast, der lige er stort nok til at tjene deres omkostninger hjem og medlemmerne af investeringsforeningerne har fået et afkast, der ikke er signifikant større end det passive benchmarks. Af regressionernes forklaringsgrader fremgår det, at mellem % af variationen i investeringsforeningernes afkast, ikke kan forklares af variationer i benchmarkenes afkast. Dette indikerer, at andre aktiver end dem der indgår i benchmarkene, er med til at forklare investeringsforeningernes afkast. Endvidere fremgår det at 75

82 investeringsforeningernes systematiske risiko i forhold til benchmarkene, er forholdsvis lig benchmarkenes. Dette gælder især for kategorierne Europæiske aktier og Globale aktier. Sammenholdt tyder dette på, at investeringsforeningerne søger at have en risiko, der er lig benchmarkets, men via en aktiv strategi. Analysen af investeringsforeningernes performance ud fra Jensens α, bekræfter i høj grad EMH, der siger, at man ikke kan opnå et overnormalt afkast over tid til en given risiko. Enkelte investeringsforeninger har opnået at overperforme deres benchmark signifikant enkelte år, men ikke over hele perioden. Resultaterne underbygges af tidligere analyser af investeringsforeningers performance. Af analysen fremgår, at der ikke ville være nogen forskel på at følge en aktiv eller passiv porteføljestrategi, da den neutrale performance fortæller, at man ville opnå mere eller mindre det samme resultat. Investeringsforeningernes estimerede TE og IR viser på samme måde som Jensens α, at investeringsforeningerne har performet neutralt i perioden. Den generelle trend er, at investeringsforeningerne har en TE, der ligger omkring 5-7 %. Denne TE kan opstå fra flere kilder, men sammenholdt med SML-regressionernes forklaringsgrader og til dels investeringsforeningernes systematiske risiko tyder det på, at det skyldes en aktiv porteføljestrategi. Man må antage, at hvis en porteføljemanager påfører porteføljen TE, er det fordi han forventer, at dette vil øge porteføljens performance. Analysens resultater peger dog generelt i en anden retning. For at undersøge om der i analyseperioden har været nogen sammenhæng mellem Jensens α, blev der gennemført regressioner af Jensens α på TE. Den sammenhæng der blev fundet var generelt, at hvis porteføljemanageren påførte porteføljen TE, blev porteføljens performance forringet. Dette kunne især ses i kategorierne Danske aktier og Europæiske aktier. Dog var regressionernes forklaringsgrader så små, at der ikke kunne konkluderes nogen entydig sammenhæng mellem Jensens α og TE. 76

83 Analysen pegede i en lidt anden retning, da analysen blev gennemført på kategorien af investeringsforeninger, der har MSCI World som benchmark. For hele populationen af investeringsforeninger i kategorien viste regressionen, at variationen i TE forklarede ca. 12 % af variationen i Jensens α. Samtidig påviste analysen en positiv korrelation mellem Jensens α og TE, hvilket indikerer, at porteføljemanagernes aktivitet medfører en effekt på Jensens α. Da regressionen blev gennemført for de investeringsforeninger, der har positiv Jensens α, blev konklusionerne endnu mere klare. Forklaringsgraden mellem Jensens α og TE var her næsten 50 %, hvilket betyder, at variationen i TE forklarer tæt på 50 % af variationen i Jensens α. Endvidere viser korrelationskoefficienten på 0,71 at der er en forholdsvis stærk lineær sammenhæng mellem TE og Jensens α. Dog hvis Carnegie WorldWide, der generelt i hele analysen, har været en outlier, ekskluderes fra analysen, findes ingen entydig sammenhæng. Ud fra en antagelse om at investeringsforeningerne har ført en aktiv porteføljestrategi, er hovedkonklusionen derfor, at det i perioden oktober 1994 til januar 2002 ville have været en fordel at følge en passiv porteføljestrategi som Tracking Error contra en aktiv diversifikationsstrategi. Baggrunden for konklusionen skal findes i, at analysens investeringsforeninger ikke har været i stand til at overperforme deres respektive benchmark signifikant, jf. Jensens α og IR. Endvidere viste analysen, at der ikke var nogen entydig sammenhæng mellem Jensens a og TE. Da antagelsen var at en aktiv porteføljestrategi ville generere TE og at man derigennem må acceptere øget TE, fortæller manglen på sammenhæng, at der ikke er nogen forskel på at føre en aktiv eller passiv porteføljestrategi. Set i lyset af at man ved at føre en passiv investeringsstrategi som TE kan spare en del ressourcer, må den neutrale performance, skabt vha. en aktiv porteføljestrategi, alt andet lige, betyde at en passiv porteføljestrategi ville være at foretrække i analyseperioden. 77

84 Litteraturliste Bøger: Bodie, Z., Kane, A. & Marcus, A.J., 1995: Essentials of Investments, 2 nd Edition, Irwin. Christensen, M. & Pedersen, F., 1998: Aktieinvestering, 1. udgave, Jurist- og Økonomiforbundets Forlag. Christensen, M. & Pedersen, F., 2003: Aktieinvestering, 2. udgave, Jurist- og Økonomiforbundets Forlag. Christensen, M. 2001: Obligationsinvestering, 5. udgave, Jurist- og Økonomiforbundets Forlag. Elton, E.J. & Gruber, M.J., 1995: Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John Wiley & Sons, Inc.. Fabozzi, F.J. & Fong G., 1994: Advanced Fixed Income Portfolio Management, Probus Publishing Company. Haugen, R.A., 1993: Modern Investment Theory, 3 rd Edition, Prentice Hall. Markowitz, H.M., 1998: Portfolio Selection efficient diversification of investments, 2 nd Edition, Basil Blackwell. Sharpe, W.F., 1985: Investments, 3 rd Edition, Prentice Hall. Sharpe, W.F., 1999: Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw-Hill. Artikler: Belter, K., Engsted, T. & Tanggaard, C., 2003: A New Daily Dividend-adjusted Index for the Danish Stock Market, : Construction, Statistical Properties, and Return Predictability, WP D 03-1, Department of Finance, Aarhus School of Business. Brinson, G.P., Singer, B.D. & Beebower, G.L., 1991: Determinants of Portfolio Performance II: An Update, Financial Analysts Journal, 47, 3, pp May/June. Christensen, M., 1999: The Optimal Choise of a Benchmark Portfolio, The Journal of Private Portfolio Management, Summer Christensen, M., 2003: Evaluating Danish Mutual Fund Performance, WP D 03-4, Department of Finance, Aarhus School of Business 78

85 Dybvig, P.H. & Ross, S.A., 1985: Differential Information and Performance Measurement Using a Security Market Line, The Journal of Finance, 45, 2, pp Elton & Gruber, Eichhorn, D., et.al., 1998: Using Constraints to Improve the Robustness of Asset Allocation, Journal of Portfolio Management, Spring Grinblatt, M. & Titman, S., 1989: Mutual Fund Performance: An Analysis of Quarterly Portfolio Holdings, Journal of Business, 62, 3, pp Grinold, R.C. & Kahn, R.N, 1991: Information Analysis, Journal of Portfolio management, Sping Gupta, F., et.al., 1999: The Information Ratio and Performance, Journal of Portfolio Management, Fall Harbjerg, P., 1991a: Moderne Porteføljeteori (1), Finans/Invest, 4/91 Harbjerg, P., 1991b: Moderne Porteføljeteori (2), Finans/Invest, 5/91 Harbjerg, P., 1991c: Moderne Porteføljeteori (3) Ligevægt og anvendelsesmuligheder, Finans/Invest, 6/91 Harbjerg, P., 1997: Hvad praktikere bør vide om porteføljekonstruktion, Finans/Invest, 2/97 Harbjerg, P., 1997: Hvad praktikere bør vide om CAPM-modellen, Finans/Invest, 5/97 Ippolito, R.A., 1989: Efficiency With Costly Information: A study of Mutual Fund Performance, , The Quarterly Journal of Economics, 104, 1, pp.1-23 Jensen, M.C., 1968: The performance of the mutual fund in the period , Journal of Finance, 23, pp Malkiel, B.G., 1995: Returns from Investing in Equity Mutual Funds 1971 to 1991, The Journal of Finance, 50, 2, pp Markowitz, H.M., 1952: Portfolio Selection, Journal of Finance, 7, pp Roll, R., 1977: A Critique of the Asset Pricing Theory s Tests; Part I: On Past and Potential Testability of the Theory, Journal of Financial Economics, 4, pp Roll, R., 1978: Ambiguity when performance is measured by the security market line, Journal of Finance, 5, pp

86 Sharpe, W.F., 1966: Mutual fund performance, Journal of Business, 39, pp Sharpe, W.F., 1981: Decentralized Investment Management, Journal of Finance, 36, pp Steinbach, M.C., 2001: Markowitz Revisited: Mean-Variance Models in Financial Portfolio Analysis, SIAM Review, 43, 1, pp Treynor, J.T., 1965: How to rate management of investment funds, Harvard Business Review, 43, pp Treynor, J.T. & Mazuy, K., 1966: Can mutual funds outguess the market, Harvard Business Review, 44, pp Internetlinks:

87 Bilagssamling Bilag 1: Benchmarkenes månedlige afkast (ln-afkast)... 2 Bilag 2: Investeringsforeningernes månedlige merafkast (ln-afkast)... 4 Bilag 3: Regressionsoutput for Danske Aktier Bilag 4: Regressionsoutput for Europæiske aktier Bilag 5: Regressionsoutput for Globale aktier Bilag 6: Regressionsoutput for Jensens α regresseret på TE

88 Bilag 1: Benchmarkenes månedlige afkast (ln-afkast) 1 Dato MSCI World MSCI Europe KFX okt-94 nov-94-0, , ,00545 dec-94-0, , ,00671 jan-95-0, , ,01096 feb-95-0, , ,00007 mar-95-0, , ,06665 apr-95 0, , ,05591 maj-95 0, , ,04684 jun-95-0, , ,03641 jul-95 0, , ,06344 aug-95 0, , ,00510 sep-95-0, , ,01865 okt-95-0, , ,00713 nov-95 0, , ,02454 dec-95 0, , ,02000 jan-96 0, , ,05807 feb-96-0, , ,00520 mar-96 0, , ,01826 apr-96 0, , ,03151 maj-96 0, , ,00718 jun-96-0, , ,00918 jul-96-0, , ,00906 aug-96 0, , ,03196 sep-96 0, , ,03047 okt-96-0, , ,01618 nov-96 0, , ,03653 dec-96-0, , ,03199 jan-97 0, , ,07910 feb-97 0, , ,03694 mar-97-0, , ,01283 apr-97 0, , ,01734 maj-97 0, , ,05113 jun-97 0, , ,03821 jul-97 0, , ,09871 aug-97-0, , ,07050 sep-97 0, , ,08344 okt-97-0, , ,05871 nov-97 0, , ,04658 dec-97 0, , ,09762 fortsættes 1 MSCI World og MSCI Europe er begge korrigeret for valutaafkastet mellem USD og Dkr. 2

89 Dato MSCI World MSCI Europe KFX jan-98 0, , ,01663 feb-98 0, , ,00145 mar-98 0, , ,11463 apr-98-0, , ,06721 maj-98-0, , ,03014 jun-98 0, , ,01885 jul-98-0, , ,02803 aug-98-0, , ,11167 sep-98-0, , ,10474 okt-98 0, , ,03498 nov-98 0, , ,00500 dec-98 0, , ,06645 jan-99 0, , ,00461 feb-99 0, , ,05516 mar-99 0, , ,04326 apr-99 0, , ,05477 maj-99-0, , ,02218 jun-99 0, , ,01181 jul-99-0, , ,02027 aug-99 0, , ,01598 sep-99-0, , ,00708 okt-99 0, , ,02889 nov-99 0, , ,08536 dec-99 0, , ,04414 jan-00-0, , ,00699 feb-00 0, , ,04914 mar-00 0, , ,07615 apr-00 0, , ,00780 maj-00-0, , ,01727 jun-00 0, , ,02848 jul-00 0, , ,05099 aug-00 0, , ,08728 sep-00-0, , ,01193 okt-00 0, , ,00465 nov-00-0, , ,10262 dec-00-0, , ,01184 jan-01 0, , ,09513 feb-01-0, , ,08868 mar-01-0, , ,06991 apr-01 0, , ,00341 maj-01 0, , ,06325 jun-01-0, , ,00032 jul-01-0, , ,01971 aug-01-0, , ,09921 sep-01-0, , ,10085 okt-01 0, , ,01708 nov-01 0, , ,03327 dec-01 0, , ,00251 jan-02-0, , ,

90 Bilag 2: Investeringsforeningernes månedlige merafkast (ln-afkast) Dato BG, DK Danske, DK Egnsb., DK L&S, DK Nordea, DK SI, DK okt-94 nov-94-0, , , ,0299-0,0067-0,0011 dec-94 0, , , ,0146 0,0084 0,0071 jan-95 0, , , ,0103 0,0107 0,0228 feb-95-0, , , ,0031 0,0111 0,0066 mar-95-0, , , ,0945-0,0614-0,0828 apr-95 0, , , ,0338 0,0352 0,0299 maj-95 0, , , ,0302 0,0411 0,0502 jun-95-0, , , ,0208-0,0257-0,0382 jul-95 0, , , ,0464 0,0502 0,0498 aug-95-0, , , ,0012 0,0004 0,0030 sep-95-0, , , ,0235-0,0287-0,0236 okt-95-0, , , ,0218-0,0128-0,0330 nov-95-0, , , ,0001-0,0038 0,0019 dec-95-0, , , ,0001 0,0014 0,0041 jan-96 0, , , ,0428 0,0615 0,0527 feb-96-0, , , ,0148-0,0091-0,0100 mar-96 0, , , ,0004-0,0043-0,0020 apr-96 0, , , ,0217 0,0317 0,0400 maj-96 0, , , ,0112 0,0122 0,0007 jun-96 0, , , ,0151 0,0055 0,0097 jul-96 0, , , ,0031-0,0037-0,0072 aug-96 0, , , ,0332 0,0317 0,0410 sep-96 0, , , ,0202 0,0331 0,0159 okt-96 0, , , ,0312 0,0232 0,0127 nov-96 0, , , ,0395 0,0259 0,0382 dec-96 0, , , ,0273 0,0218 0,0262 jan-97 0, , , ,0865 0,0805 0,0985 feb-97 0, , , ,0366 0,0445 0,0335 mar-97-0, , , ,0045 0,0030-0,0009 apr-97 0, , , ,0313 0,0222 0,0125 maj-97 0, , , ,0517 0,0507 0,0432 jun-97 0, , , ,0264 0,0261 0,0272 jul-97 0, , , ,0895 0,0808 0,0904 aug-97-0, , , ,0433-0,0576-0,0488 sep-97 0, , , ,0552 0,0543 0,0540 okt-97-0, , , ,0612-0,0531-0,0458 nov-97 0, , , ,0216 0,0150 0,0183 dec-97 0, , , ,0578 0,0531 fortsættes 0,0526 4

91 Dato BG, DK Danske, DK Egnsb., DK L&S, DK Nordea, DK SI, DK jan-98 0,0322 0,0262 0,0167 0,0275 0,0250 0,0202 feb-98 0,0130-0,0003 0,0107-0,0055 0,0133 0,0025 mar-98 0,0619 0,0987 0,0885 0,0988 0,1026 0,0985 apr-98-0,0095-0,0449-0,0459-0,0121-0,0392-0,0238 maj-98-0,0017 0,0300 0,0266 0,0268 0,0260 0,0084 jun-98-0,0137-0,0245-0,0217-0,0129-0,0216-0,0232 jul-98-0,0248-0,0067-0,0062-0,0262-0,0068-0,0299 aug-98-0,1220-0,1034-0,1078-0,1074-0,1053-0,1257 sep-98-0,0509-0,0791-0,0799-0,0908-0,0785-0,0686 okt-98 0,0214 0,0054 0,0005 0,0306 0,0185 0,0108 nov-98-0,0364-0,0073-0,0144-0,0051-0,0125-0,0273 dec-98 0,0403 0,0577 0,0446 0,0654 0,0335 0,0504 jan-99 0,0282-0,0028-0,0033 0,0199-0,0031-0,0017 feb-99-0,0426-0,0491-0,0381-0,0573-0,0316-0,0475 mar-99-0,0288-0,0186-0,0170-0,0271-0,0231-0,0277 apr-99 0,0676 0,0457 0,0584 0,0570 0,0628 0,0788 maj-99-0,0322-0,0044-0,0115-0,0261-0,0149-0,0224 jun-99 0,0168 0,0258 0,0257 0,0325 0,0237 0,0157 jul-99 0,0268 0,0179 0,0136-0,0004 0,0189 0,0217 aug-99 0,0046 0,0305 0,0202 0,0262 0,0213 0,0086 sep-99-0,0177-0,0032-0,0040 0,0081-0,0058 0,0010 okt-99 0,0154 0,0030 0,0106 0,0173 0,0119 0,0251 nov-99 0,0649 0,0886 0,0834 0,1142 0,0843 0,0878 dec-99 0,0371 0,0479 0,0350 0,0480 0,0356 0,0389 jan-00 0,0032 0,0233 0,0148 0,0655 0,0137-0,0209 feb-00 0,0429 0,0490 0,0465 0,0743 0,0754 0,0400 mar-00 0,1195 0,1030 0,1147 0,1090 0,1048 0,0735 apr-00-0,0175 0,0008-0,0182-0,0377-0,0077-0,0381 maj-00 0,0430 0,0339 0,0333 0,0210 0,0390 0,0331 jun-00-0,0101-0,0115-0,0129-0,0195-0,0148-0,0202 jul-00 0,0716 0,0581 0,0604 0,0453 0,0483 0,0709 aug-00 0,0941 0,1050 0,0791 0,0888 0,1109 0,1089 sep-00 0,0037 0,0103 0,0093 0,0067-0,0026-0,0088 okt-00-0,0047-0,0187 0,0163-0,0215-0,0248 0,0189 nov-00-0,0793-0,0841-0,0690-0,0830-0,0801-0,0731 dec-00-0,0295-0,0309-0,0273-0,0163-0,0277-0,0187 jan-01 0,0999 0,0941 0,0965 0,1019 0,1122 0,1205 feb-01-0,0725-0,0685-0,0679-0,0769-0,0696-0,0816 mar-01-0,0774-0,0698-0,1113-0,0713-0,0780-0,0803 apr-01 0,0137 0,0043 0,0275 0,0071 0,0040 0,0168 maj-01 0,0462 0,0522 0,0431 0,0674 0,0335 0,0544 jun-01-0,0257-0,0184-0,0273-0,0344-0,0298-0,0329 jul-01-0,0126-0,0195-0,0275-0,0136-0,0335-0,0057 aug-01-0,1003-0,0965-0,1096-0,0929-0,1206-0,0880 sep-01-0,1123-0,1095-0,1020-0,0952-0,0987-0,1128 okt-01 0,0282 0,0266 0,0237 0,0298 0,0207 0,0413 nov-01 0,0175 0,0174 0,0284 0,0326 0,0118 0,0212 dec-01-0,0027-0,0059-0,0057 0,0075 0,0052-0,0026 jan-02-0,0088-0,0129-0,0217-0,0153 0,0011-0,0086 5

92 Dato BG, EU Danske, EU Egnsb., EU L&S, EU Nordea, EU SI, EU okt-94 nov-94-0, , , ,0102-0,0062-0,0057 dec-94-0, , , ,0116-0,0142-0,0200 jan-95-0, , , ,0282-0,0239-0,0156 feb-95-0, , , ,0061-0,0151-0,0134 mar-95-0, , , ,0477-0,0345-0,0403 apr-95 0, , , ,0280 0,0332 0,0348 maj-95 0, , , ,0374 0,0270 0,0424 jun-95-0, , , ,0018-0,0171-0,0227 jul-95 0, , , ,0497 0,0570 0,0556 aug-95 0, , , ,0046 0,0212 0,0193 sep-95-0, , , ,0072-0,0102-0,0042 okt-95-0, , , ,0211-0,0022-0,0213 nov-95 0, , , ,0266 0,0037 0,0252 dec-95-0, , , ,0101 0,0158-0,0112 jan-96 0, , , ,0600 0,0491 0,0481 feb-96 0, , , ,0087 0,0099 0,0179 mar-96 0, , , ,0283 0,0094 0,0073 apr-96 0, , , ,0265 0,0502 0,0253 maj-96 0, , , ,0094 0,0052 0,0189 jun-96 0, , , ,0110 0,0056 0,0132 jul-96-0, , , ,0461-0,0504-0,0471 aug-96 0, , , ,0159 0,0311 0,0317 sep-96 0, , , ,0455 0,0468 0,0445 okt-96 0, , , ,0183 0,0000 0,0246 nov-96 0, , , ,0721 0,0590 0,0466 dec-96 0, , , ,0132 0,0226 0,0132 jan-97 0, , , ,0617 0,0673 0,0596 feb-97 0, , , ,0477 0,0367 0,0460 mar-97-0, , , ,0030 0,0182 0,0108 apr-97 0, , , ,0435 0,0262 0,0014 maj-97 0, , , ,0361 0,0227 0,0139 jun-97 0, , , ,0728 0,0795 0,0692 jul-97 0, , , ,1057 0,0880 0,0944 aug-97-0, , , ,0833-0,0771-0,0753 sep-97 0, , , ,0626 0,0679 0,0606 okt-97-0, , , ,0704-0,0742-0,0602 nov-97 0, , , ,0406 0,0282 0,0261 dec-97 0, , , ,0246 0,0603 fortsættes 0,0054 6

93 Dato BG, EU Danske, EU Egnsb., EU L&S, EU Nordea, EU SI, EU jan-98 0,0537 0,0605 0,0545 0,0598 0,0725 0,0571 feb-98 0,0852 0,0650 0,0656 0,0700 0,0779 0,0614 mar-98 0,0932 0,1124 0,0737 0,0744 0,0885 0,0900 apr-98 0,0029-0,0238-0,0347 0,0079 0,0007-0,0170 maj-98 0,0294 0,0357 0,0200 0,0260 0,0198 0,0181 jun-98 0,0119 0,0181 0,0188 0,0450 0,0295 0,0285 jul-98-0,0154 0,0178-0,0191 0,0071 0,0061-0,0025 aug-98-0,1427-0,1347-0,1461-0,1430-0,1381-0,1482 sep-98-0,0906-0,0966-0,0829-0,0862-0,0943-0,0906 okt-98 0,0833 0,0675 0,0490 0,0701 0,0747 0,0716 nov-98 0,0466 0,0859 0,0702 0,0992 0,0885 0,0810 dec-98 0,0419 0,0276 0,0076 0,0176 0,0320 0,0055 jan-99 0,0366 0,0356-0,0365 0,0512 0,0440 0,0591 feb-99-0,0071-0,0064 0,0445 0,0183-0,0045-0,0079 mar-99 0,0129 0,0202 0,0216 0,0092 0,0279 0,0361 apr-99 0,0390 0,0298 0,0362 0,0336 0,0353 0,0302 maj-99-0,0429-0,0236-0,0299-0,0579-0,0196-0,0465 jun-99 0,0414 0,0255 0,0359 0,0671 0,0325 0,0439 jul-99-0,0353-0,0298-0,0209-0,0275-0,0242-0,0347 aug-99 0,0402 0,0139 0,0212 0,0121 0,0158 0,0288 sep-99-0,0206-0,0239-0,0397-0,0332-0,0208-0,0129 okt-99 0,0512 0,0521 0,0469 0,0654 0,0591 0,0536 nov-99 0,1028 0,1272 0,0519 0,1290 0,0977 0,1077 dec-99 0,1244 0,1623 0,1156 0,1138 0,1412 0,1278 jan-00-0,0212-0,0379-0,0400-0,0103-0,0244-0,0240 feb-00 0,0568 0,1269 0,0753 0,0934 0,1466 0,0889 mar-00-0,0090-0,0112-0,0035 0,0139-0,0002 0,0201 apr-00 0,0289 0,0030 0,0115 0,0103-0,0110 0,0073 maj-00-0,0392-0,0494-0,0116-0,0405-0,0379-0,0393 jun-00-0,0154-0,0092-0,0256-0,0294-0,0052-0,0177 jul-00 0,0053 0,0148 0,0208-0,0024 0,0138 0,0118 aug-00 0,0361 0,0293 0,0173 0,0152 0,0244 0,0226 sep-00-0,0720-0,0612-0,0328-0,0651-0,0602-0,0430 okt-00 0,0273 0,0193 0,0050 0,0241 0,0198 0,0168 nov-00-0,0882-0,0813-0,0488-0,1016-0,0688-0,0656 dec-00-0,0024-0,0099-0,0355-0,0056-0,0228-0,0122 jan-01-0,0146-0,0181 0,0085-0,0164-0,0061-0,0092 feb-01-0,0785-0,0629-0,0878-0,0767-0,0544-0,0913 mar-01-0,0441-0,0454-0,0647-0,0371-0,0618-0,0382 apr-01 0,0661 0,0648 0,0825 0,0675 0,0497 0,0655 maj-01-0,0152-0,0133-0,0134-0,0019-0,0046-0,0110 jun-01-0,0536-0,0509-0,0452-0,0464-0,0371-0,0353 jul-01-0,0396-0,0418-0,0314-0,0380-0,0355-0,0441 aug-01-0,0690-0,0675-0,0796-0,0912-0,0663-0,0744 sep-01-0,0983-0,0996-0,1074-0,0899-0,0993-0,0912 okt-01 0,0370 0,0289 0,0471 0,0596 0,0455 0,0497 nov-01 0,0408 0,0308 0,0475 0,0428 0,0405 0,0331 dec-01 0,0218 0,0241 0,0266 0,0173 0,0247 0,0310 jan-02-0,0299-0,0338-0,0318-0,0318-0,0329-0,0417 7

94 Dato BG, W Carnegie Danske, W L&S, EU Midtinv., W Nordea, W SI, W okt-94 nov-94-0, , , ,0109 0,0018-0,0151-0,0091 dec-94 0, , , ,0063 0,0024-0,0262-0,0401 jan-95-0, , , ,0543-0,0251-0,0568-0,0549 feb-95-0, , , ,0113 0,0021-0,0137-0,0212 mar-95-0, , , ,0190-0,0402-0,0173-0,0251 apr-95 0, , , ,0313 0,0230 0,0200 0,0426 maj-95 0, , , ,0278 0,0277 0,0162 0,0186 jun-95-0, , , ,0176-0,0012-0,0087-0,0266 jul-95 0, , , ,0293 0,0539 0,0513 0,0419 aug-95 0, , , ,0226 0,0211 0,0408 0,0492 sep-95-0, , , ,0046-0,0029-0,0088-0,0189 okt-95-0, , , ,0224-0,0224-0,0411-0,0331 nov-95 0, , , ,0292 0,0254 0,0504 0,0341 dec-95-0, , , ,0039 0,0140 0,0014-0,0021 jan-96 0, , , ,0472 0,0624 0,0596 0,0472 feb-96 0, , , ,0017-0,0075-0,0069-0,0155 mar-96 0, , , ,0157 0,0175 0,0189 0,0093 apr-96 0, , , ,0443 0,0475 0,0587 0,0575 maj-96 0, , , ,0058 0,0118-0,0006 0,0001 jun-96-0, , , ,0032-0,0046-0,0120-0,0058 jul-96-0, , , ,0610-0,0477-0,0733-0,0694 aug-96 0, , , ,0177 0,0241 0,0203 0,0132 sep-96 0, , , ,0709 0,0446 0,0550 0,0436 okt-96 0, , , ,0063 0,0027-0,0222-0,0091 nov-96 0, , , ,0734 0,0602 0,0709 0,0480 dec-96-0, , , ,0006 0,0134-0,0069 0,0001 jan-97 0, , , ,0640 0,0821 0,0669 0,0507 feb-97 0, , , ,0335 0,0103 0,0420 0,0390 mar-97-0, , , ,0230-0,0104-0,0272-0,0124 apr-97 0, , , ,0639 0,0299 0,0527 0,0211 maj-97 0, , , ,0671 0,0337 0,0452 0,0703 jun-97 0, , , ,0709 0,0531 0,0741 0,0551 jul-97 0, , , ,1255 0,0940 0,1079 0,1215 aug-97-0, , , ,0855-0,0735-0,0802-0,1033 sep-97 0, , , ,0416 0,0553 0,0265 0,0275 okt-97-0, , , ,0833-0,0759-0,0833-0,0991 nov-97 0, , , ,0257 0,0140 0,0244 0,0045 dec-97-0, , , ,0165 0,0215 0,0165-0,0120 fortsættes 8

95 Dato BG, W Carnegie Danske, W L&S, EU Midtinv., W Nordea, W SI, W jan-98 0, , , , , , ,05637 feb-98 0, , , , , , ,04984 mar-98 0, , , ,0706 0,0766 0,0503 0,0484 apr-98-0, , , ,0076 0,0023-0,0081-0,0203 maj-98-0, , , ,0130-0,0146-0,0235-0,0329 jun-98 0, , , ,0528 0,0237 0,0282 0,0247 jul-98-0, , , ,0006-0,0131-0,0031-0,0145 aug-98-0, , , ,1621-0,1532-0,1571-0,1567 sep-98-0, , , ,0718-0,0733-0,0580-0,0352 okt-98 0, , , ,0876 0,0759 0,0692 0,0783 nov-98 0, , , ,1067 0,0925 0,1043 0,0815 dec-98 0, , , ,0206 0,0333 0,0380 0,0441 jan-99 0, , , ,0708 0,0499 0,0652 0,0600 feb-99-0, , , ,0053-0,0138 0,0022-0,0031 mar-99 0, , , ,0740 0,0698 0,0639 0,0780 apr-99 0, , , ,0102 0,0025 0,0519 0,0390 maj-99-0, , , ,0379-0,0267-0,0247-0,0345 jun-99 0, , , ,0790 0,0750 0,0711 0,0701 jul-99-0, , , ,0269-0,0291-0,0337-0,0393 aug-99 0, , , ,0299 0,0254 0,0168 0,0193 sep-99-0, , , ,0415-0,0198-0,0122-0,0172 okt-99 0, , , ,0887 0,0865 0,0843 0,0730 nov-99 0, , , ,1112 0,0992 0,1047 0,0789 dec-99 0, , , ,1348 0,1550 0,1327 0,1048 jan-00-0, , , ,0209-0,0374-0,0243-0,0293 feb-00 0, , , ,0621 0,1146 0,0469 0,0253 mar-00 0, , , ,0392 0,0372 0,0768 0,0921 apr-00 0, , , ,0023 0,0011 0,0010 0,0065 maj-00-0, , , ,0602-0,0680-0,0706-0,0650 jun-00-0, , , ,0071-0,0093-0,0083 0,0053 jul-00-0, , , ,0009-0,0008-0,0016 0,0035 aug-00 0, , , ,0477 0,0551 0,0842 0,0610 sep-00-0, , , ,0654-0,0680-0,0644-0,0451 okt-00 0, , , ,0135-0,0013 0,0210 0,0147 nov-00-0, , , ,0964-0,0997-0,0988-0,0878 dec-00-0, , , ,0549-0,0538-0,0583-0,0669 jan-01 0, , , ,0198 0,0094 0,0400 0,0207 feb-01-0, , , ,0749-0,1056-0,0851-0,0954 mar-01-0, , , ,0353-0,0538-0,0452-0,0244 apr-01 0, , , ,0844 0,0827 0,0742 0,0673 maj-01 0, , , ,0193 0,0099 0,0314 0,0242 jun-01-0, , , ,0371-0,0487-0,0373-0,0366 jul-01-0, , , ,0571-0,0609-0,0536-0,0551 aug-01-0, , , ,1084-0,1119-0,0965-0,0996 sep-01-0, , , ,0746-0,1007-0,1036-0,0908 okt-01 0, , , ,0512 0,0575 0,0382 0,0331 nov-01 0, , , ,0828 0,0889 0,0788 0,0691 dec-01 0, , , ,0028 0,0050 0,0173 0,0081 jan-02-0, , , ,0361-0,0104-0,0307-0,0114 9

96 Bilag 3: Regressionsoutput for Danske Aktier BG Invest Danmark Regression Statistics Multiple R 0,8915 R Square 0,7947 Adjusted R Square 0,7923 Standard Error 0,0207 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1410 0, ,0642 0,0000 Residual 85,0000 0,0364 0,0004 Total 86,0000 0,1774 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0001 0,0023 0,0336 0,9733-0,0044 0,0046 Beta 0,8085 0, ,1401 0,0000 0,7199 0,8971 Danske Invest Danmark Regression Statistics Multiple R 0,9618 R Square 0,9251 Adjusted R Square 0,9242 Standard Error 0,0126 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1668 0, ,2873 0,0000 Residual 85,0000 0,0135 0,0002 Total 86,0000 0,1803 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0009 0,0014 0,6305 0,5301-0,0019 0,0036 Beta 0,8793 0, ,3927 0,0000 0,8253 0,

97 Egnsbank Invest Danmark Regression Statistics Multiple R 0,9396 R Square 0,8828 Adjusted R Square 0,8814 Standard Error 0,0156 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1567 0, ,0419 0,0000 Residual 85,0000 0,0208 0,0002 Total 86,0000 0,1775 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa -0,0011 0,0017-0,6328 0,5286-0,0045 0,0023 Beta 0,8524 0, ,2990 0,0000 0,7854 0,9194 Lån & Spar Invest Danmark Regression Statistics Multiple R 0,9258 R Square 0,8572 Adjusted R Square 0,8555 Standard Error 0,0184 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1733 0, ,0794 0,0000 Residual 85,0000 0,0289 0,0003 Total 86,0000 0,2021 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0008 0,0020 0,4223 0,6739-0,0031 0,0048 Beta 0,8963 0, ,5849 0,0000 0,8174 0,

98 Nordea Invest, Danmark Regression Statistics Multiple R 0,9432 R Square 0,8895 Adjusted R Square 0,8882 Standard Error 0,0156 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1660 0, ,4922 0,0000 Residual 85,0000 0,0206 0,0002 Total 86,0000 0,1866 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0001 0,0017 0,0398 0,9683-0,0033 0,0034 Beta 0,8773 0, ,1628 0,0000 0,8106 0,9439 SydInvest, Danmark Regression Statistics Multiple R 0,9351 R Square 0,8744 Adjusted R Square 0,8729 Standard Error 0,0171 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1729 0, ,5140 0,0000 Residual 85,0000 0,0248 0,0003 Total 86,0000 0,1977 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa -0,0009 0,0019-0,4794 0,6329-0,0046 0,0028 Beta 0,8953 0, ,3211 0,0000 0,8221 0,

99 Bilag 4: Regressionsoutput for Europæiske aktier BG Invest, Europa Regression Statistics Multiple R 0,9360 R Square 0,8761 Adjusted R Square 0,8747 Standard Error 0,0176 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1865 0, ,1369 0,0000 Residual 85,0000 0,0264 0,0003 Total 86,0000 0,2129 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa -0,0003 0,0019-0,1527 0,8790-0,0041 0,0035 Beta 0,9743 0, ,5181 0,0000 0,8953 1,0534 Danske Invest, Europa Regression Statistics Multiple R 0,9431 R Square 0,8895 Adjusted R Square 0,8882 Standard Error 0,0176 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2128 0, ,1202 0,0000 Residual 85,0000 0,0264 0,0003 Total 86,0000 0,2392 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0003 0,0019 0,1515 0,8800-0,0035 0,0041 Beta 1,0407 0, ,1557 0,0000 0,9616 1,

100 Egnsbank Invest, Europa Regression Statistics Multiple R 0,9464 R Square 0,8957 Adjusted R Square 0,8945 Standard Error 0,0160 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1868 0, ,2558 0,0000 Residual 85,0000 0,0217 0,0003 Total 86,0000 0,2086 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa -0,0012 0,0017-0,6963 0,4881-0,0047 0,0022 Beta 0,9751 0, ,0232 0,0000 0,9033 1,0468 Lån & Spar Rat. Invest, Europa Regression Statistics Multiple R 0,9406 R Square 0,8847 Adjusted R Square 0,8834 Standard Error 0,0178 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2065 0, ,3848 0,0000 Residual 85,0000 0,0269 0,0003 Total 86,0000 0,2334 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0019 0,0019 1,0043 0,3181-0,0019 0,0058 Beta 1,0252 0, ,5418 0,0000 0,9454 1,

101 Nordea Invest, Europa Regression Statistics Multiple R 0,9486 R Square 0,8999 Adjusted R Square 0,8987 Standard Error 0,0162 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1995 0, ,1426 0,0000 Residual 85,0000 0,0222 0,0003 Total 86,0000 0,2217 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0035 0,0018 1,9671 0,0524 0,0000 0,0069 Beta 1,0077 0, ,6431 0,0000 0,9352 1,0802 SydInvest, Europa Regression Statistics Multiple R 0,9496 R Square 0,9018 Adjusted R Square 0,9007 Standard Error 0,0154 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1860 0, ,6917 0,0000 Residual 85,0000 0,0203 0,0002 Total 86,0000 0,2062 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0011 0,0017 0,6626 0,5094-0,0022 0,0044 Beta 0,9729 0, ,9409 0,0000 0,9037 1,

102 Bilag 5: Regressionsoutput for Globale aktier BG Invest, Verden Regression Statistics Multiple R 0,9314 R Square 0,8675 Adjusted R Square 0,8660 Standard Error 0,0212 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2503 0, ,6348 0,0000 Residual 85,0000 0,0382 0,0004 Total 86,0000 0,2885 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0018 0,0023 0,7918 0,4307-0,0027 0,0064 Beta 1,0672 0, ,5931 0,0000 0,9773 1,1572 Carnegie WorldWide Regression Statistics Multiple R 0,8115 R Square 0,6585 Adjusted R Square 0,6545 Standard Error 0,0348 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,1989 0, ,8909 0,0000 Residual 85,0000 0,1031 0,0012 Total 86,0000 0,3020 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0084 0,0038 2,2181 0,0292 0,0009 0,0159 Beta 0,9512 0, ,8020 0,0000 0,8035 1,

103 Danske Invest, Verden Regression Statistics Multiple R 0,9690 R Square 0,9389 Adjusted R Square 0,9382 Standard Error 0,0133 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2293 0, ,491 0,0000 Residual 85,0000 0,0149 0,0002 Total 86,0000 0,2442 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0000 0,0014 0,0012 0,9990-0,0028 0,0029 Beta 1,0214 0, ,1316 0,0000 0,9652 1,0776 Lån & Spar Rat. Invest, Verden Regression Statistics Multiple R 0,9529 R Square 0,9080 Adjusted R Square 0,9069 Standard Error 0,0172 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2470 0, ,0327 0,0000 Residual 85,0000 0,0250 0,0003 Total 86,0000 0,2720 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0032 0,0019 1,7169 0,0896-0,0005 0,0069 Beta 1,0600 0, ,9661 0,0000 0,9873 1,

104 Midtinvest 2, Verden Regression Statistics Multiple R 0,9250 R Square 0,8557 Adjusted R Square 0,8540 Standard Error 0,0213 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2287 0, ,0293 0,0000 Residual 85,0000 0,0386 0,0005 Total 86,0000 0,2672 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0020 0,0023 0,8630 0,3906-0,0026 0,0066 Beta 1,0201 0, ,4506 0,0000 0,9297 1,1104 Nordea Invest, Verden Regression Statistics Multiple R 0,9750 R Square 0,9507 Adjusted R Square 0,9501 Standard Error 0,0125 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2566 0, ,4993 0,0000 Residual 85,0000 0,0133 0,0002 Total 86,0000 0,2699 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0020 0,0014 1,4420 0,1530-0,0007 0,0046 Beta 1,0805 0, ,4784 0,0000 1,0274 1,

105 SydInvest, Verden Regression Statistics Multiple R 0,9682 R Square 0,9374 Adjusted R Square 0,9367 Standard Error 0,0135 Observations 87,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,2303 0, ,6337 0,0000 Residual 85,0000 0,0154 0,0002 Total 86,0000 0,2457 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa -0,0012 0,0015-0,8068 0,4221-0,0041 0,0017 Beta 1,0237 0, ,6740 0,0000 0,9666 1,

106 Bilag 6: Regressionsoutput for Jensens α regresseret på TE DK Positiv ALFA Regression Statistics Multiple R 0,0323 R Square 0,0010 Adjusted R Square -0,0465 Standard Error 0,0030 Observations 23,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,0000 0,0000 0,0220 0,8835 Residual 21,0000 0,0002 0,0000 Total 22,0000 0,0002 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0,0048 0,0018 2,6237 0,0159 0,0010 0,0086 X Variable 1-0,0049 0,0333-0,1483 0,8835-0,0741 0,0642 DK Alle Regression Statistics Multiple R 0,3359 R Square 0,1128 Adjusted R Square 0,0907 Standard Error 0,0047 Observations 42,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,0001 0,0001 5,0873 0,0296 Residual 40,0000 0,0009 0,0000 Total 41,0000 0,0010 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0,0056 0,0022 2,5014 0,0166 0,0011 0,0101 X Variable 1-0,0847 0,0375-2,2555 0,0296-0,1606-0,0088 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0084 0,0038 2,2181 0,0292 0,0009 0,0159 Beta 0,9512 0, ,8020 0,0000 0,8035 1,

107 EU Positiv alfa Regression Statistics Multiple R 0,25102 R Square 0,06301 Adjusted R Square 0,02042 Standard Error 0,00264 Observations 24,00000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1, , , , ,23674 Residual 22, , ,00001 Total 23, ,00016 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0, , , , , ,00766 X Variable 1-0, , , , , ,02128 EU Alle Regression Statistics Multiple R 0,13563 R Square 0,01839 Adjusted R Square -0,00615 Standard Error 0,00406 Observations 42,00000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1, , , , ,39177 Residual 40, , ,00002 Total 41, ,00067 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0, , , , , ,00553 X Variable 1-0, , , , , ,03672 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0, , , , , ,01586 Beta 0, , , , , ,

108 WW Positiv alfa Regression Statistics Multiple R 0,7088 R Square 0,5023 Adjusted R Square 0,4858 Standard Error 0,0030 Observations 32,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,0003 0, ,2830 0,0000 Residual 30,0000 0,0003 0,0000 Total 31,0000 0,0005 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept -0,0001 0,0010-0,0915 0,9277-0,0021 0,0019 X Variable 1 0,0768 0,0140 5,5030 0,0000 0,0483 0,1053 WW ALLE Regression Statistics Multiple R 0,3780 R Square 0,1429 Adjusted R Square 0,1247 Standard Error 0,0051 Observations 49,0000 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1,0000 0,0002 0,0002 7,8356 0,0074 Residual 47,0000 0,0012 0,0000 Total 48,0000 0,0014 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept -0,0019 0,0015-1,2877 0,2041-0,0048 0,0011 X Variable 1 0,0604 0,0216 2,7992 0,0074 0,0170 0,1038 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Alfa 0,0084 0,0038 2,2181 0,0292 0,0009 0,0159 Beta 0,9512 0, ,8020 0,0000 0,8035 1,