Markowitz porteføljeteori gennem finanskrisen

Transkript

1 HA Almen, 6. Semester Bachelor afhandling Erhvervsøkonomisk Institut Gruppe nr. S Opgaveskriver: Brian Schrøder Hansen Vejleder: Nicolai Borcher Hansen Markowitz porteføljeteori gennem finanskrisen Handelshøjskolen, Aarhus Universitet Forår 21

2 Abstract Markowitz is called the fader of modern portfolio theory. For decades he s theory has been accepted for one of the most important portfolio theories. The question is how his portfolio theory manage throw the crisis in 28, is he s theory still useful after the bear marked. The thesis is divided into two parts, the first is a theoretical review of the theory, and the second part is an empirical analysis of the theory performance throw the crisis in 28. The aim of the theoretical part is to make a review of the parts of Markowitz mean-variance portfolio theory and how to make an efficient portfolio. The theory consists of the expected yield and risk for an asset, correlation between them and how it effects the portfolio decisions. An important aspect of portfolio decisions is how to use diversification to reduce risk. Before the empirical analysis can be made, it s important to test the data material, since Markowitz portfolio theory is based on the condition of normal distribution. The test shows that the subsequent constructions should be based on weekly return, since it s better normal distributed than the daily based return, but still not perfectly normal distributed. Under the constructions of portfolios with mean-variance, it appeared that the fall in the stock market didn t have much influence on the data material, because of its size. The biggest change was the correlation between the asset rises throws the period. This led to the stocks represented a smaller proportion of the portfolios in the late 28. It s not possible with statistic certainty to conclude that the minimum variance portfolio and the most efficient portfolio performs better than the benchmark, but it s possible with statistic certainty to conclude that efficient portfolios with short sales allowed generated significant negative alpha values. The idea behind EWMA is the resent data is weighted higher, which should led to a data material that is more accurate, and follows the markets trends. That influenced the standard deviations rose even more than with the mean-variance, so that the deviations between the calculated values and the actual values were less. The trend with increasing correlation became even more evident with this approach. That the data material was better adapted to the market increased the expectations that EWMA could generate a better return than the mean-variance approach. The portfolios constructed with this approach decreased the shareholdings more that the mean-variance, and that there were sold short in a larger scale than earlier with the mean-variance. All this resulted with statistic cer-

3 tainty were generated positive alphas in the minimum variance portfolio, it was not possible to generates such positive alphas in the most efficient portfolios. The Sharpe index turned out to be the best measurement for a portfolios performance, since this had pointed out all the significant alphas. So from this performance measurement it turns out that almost every portfolio constructions with the EWMA approach performed best, however with the exceptions of the minimum variance portfolio with short sales allowed. So from this it can be concluded that the EWMA approach creates the best portfolios in a bear market, since it is better to adapt the marked conditions. Based on the analysis it seems that Markowitz portfolio theory still is valid after the crisis in 28, based on not all alphas were negative or different from zero, and that the theory showed that an investor should decrease the shareholdings.

4 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING Problemformulering Afgrænsning Metodevalg MARKOWITZ MEAN-VARIANCE PORTEFØLJE TEORI Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv Kovarians og korrelation Kovarians Korrelation koefficienter Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje Diversifikation Systematisk risiko Usystematisk risiko Den efficiente Rand Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder Minimums varians porteføljen Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder Delkonklusion DATAANALYSE Datagrundlag Datamateriale til porteføljekonstruktion Den risikofrie rente Benchmark Test af normalfordeling Skewness Kurtosis Jarque-Bara test Test af datamateriale for normalfordeling PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED MEAN-VARIANCE Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Udvikling i afkastserien Udviklingen af standart afvigelserne... 24

5 Indholdsfortegnelse Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne Porteføljer uden kort salg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljerne Porteføljer med kort salg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljerne Performansevaluering Teoretisk gennemgang af performance Performance for MVP Performance for tangentporteføljerne Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED EWMA Teoretisk gennemgang af EWMA Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Udvikling af std. afvigelserne Udvikling af korrelationen mellem aktiverne Sammensætning af porteføljer uden kortsalg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne Sammensætning af porteføljer med kortsalg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljer Performansevaluering Performance for MVP Performance for tangentporteføljerne Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA KONKLUSION BIBLIOGRAFI BILAGSOVERSIGT... 69

6 Indledning 1. Indledning At der i dag både bliver set på afkast i forhold til den dertilhørende risiko for en portefølje, virker meget indlysende, men da Markowitz i 1952 skrev hans doktor disputats om porteføljeteori var dette ikke normalt. Dengang var det kun afkastet der var i fokus, dvs. at ud fra den tankegang ville en investor vælge at investere i det aktiv med det højeste afkast. Ud fra datidens synspunkter er det måske heller ikke så sært at Markowitz fik meget hårde ord med på vejen da han skulle forsvare sin disputats, hvor han bl.a. fik at vide det intet havde med økonomi at gøre, og derved ikke burde tildeles en Ph.d. i økonomi. Markowitz har dog senere i 1991 indrømmet at portefølje teori ikke var en del af økonomi, da han forsvarede sin disputats, men dette er det i dag. 1 Spørgsmålet er således, hvorvidt Markowitz porteføljeteori stadig har sit værd efter den seneste krise. Investeringer i aktier har altid været forbundet med en hvis risiko, men at risikoen ville være så stor som gennem finanskrisen i 28, kom bag på mange investorer. I tiden optil var mange blevet forgyldt med høje afkast på deres investeringer. Det var ikke kun professionelle der investerede, der var også en meget stor stigning af privatpersoner der hoppede ud som investorer, for at få del af de høje afkast der var at hente på markedet. En investor har muligheden for at sprede sine investeringer ud på flere aktiver for at nedsætte risikoen. En sådan sammensætning kunne ske ud fra Markowitz (1952), der senere modtog en nobelpris for teorien og er blevet kaldt fader af moderne porteføljeteori. Teorien tager højde for den indbyrdes korrelation mellem aktiver, dette betyder at risikofyldte aktiver kan sammensættes, således at den samlede risiko for porteføljen er laver end de individuelle aktivers risiko. Altså sker der en diversifikation, hvilket er grundelementet i Markowitz teori. Der er dog det forbehold at ingen har kendskab til fremtiden og at historien sjældent gentager sig i fremtiden. Dette kan skabe nogle udfordringer, da alle værdierne der bliver brugt til sammensætningen af en portefølje ud fra Markowitz er baseret på historiske tal, der er forsøgt tilpasset til fremtiden. 1 (Varian 1993) 1

7 Problemformulering 1.1. Problemformulering Hovedformålet med denne opgave er at analysere hvordan Markowitz porteføljeteori klarede sig igennem den seneste finanskrise, med udgangspunkt i C2 indekset samt et par udvalgte danske statsobligationer. Selv om det ikke er muligt at se ud i fremtiden, ville det så ved hjælp af Markowitz teori have været muligt at forudsige, at de risikofyldte aktiver skulle have udgjort en faldende andel af den samlede portefølje. Den første del af opgaven vil gennemgå Markowitz porteføljeteori, ved at redegøre for beregningen af afkast, risiko samt den indbyrdes korrelation mellem de enkelte aktiver. Disse værdier vil jf. Markowitz (1952) blive brugt til at sammensætte den efficiente rand, minimumsvarians porteføljen samt en udledning af kapitalmarkeds linien. Der vil blive set på hvordan det med denne teori er muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, hvilket samtidig betyder at en investor kun vil kunne påregne at modtage afkast for den systematiske risiko. Inden den empiriske analyse af Markowitz teori kan foretages, skal der undersøges hvorvidt forudsætningerne om afkastet er normalfordelt, således at den empiriske analyse vil blive så retvisende som muligt. Udgangspunktet for den empiriske del af opgaven vil være at benytte Markowitz porteføljeteori til at se hvordan de enkelte porteføljers afkast samt risiko, ændres i løbet af finanskrisen. Men ikke mindst den afgørende korrelation, da det formodes at korrelationen aktier imellem vil stige, hvilket går ud over risikoreduktionen. Det vil samtidig blive interessant at se hvordan minimumsvariansporteføljen udvikler sig, om den kommer til at ligge tættere op af den risikofrie rente, og om investorerne vil modtage betaling for den ekstra risiko de har påtaget sig ved investeringen af de risikofyldte aktiver. I den oprindelige teori Markowitz (1952) udviklede, blev der brugt en gennemsnitlig varians. Problemet i finansielle tidsserier er at disse varianser ikke er stationære, så derfor inddrages EWMA der er en tidsvægted varians, der gør at den seneste varians vægtes højere end de foregående. Disse varianser benyttes til at sammensætte nye korrelations matricer, og dermed sammensætning af nye porteføljer. Det vil dermed blive undersøgt hvorvidt disse sammensætninger, performer bedre end benchmarket, men ikke mindst om det vil være en fordel at benytte sig af denne fremgangsmåde i stedet for de oprindelige gennemsnitlige varianser. Ved at inddrage kortsalg, vil der blive analyseret hvorvidt denne mulighed vil være fordelagtigt i et nedadgående marked. Så det på den måde vil være muligt at udnytte at aktiernes afkast er negative, 2

8 Problemformulering men er det overhovedet muligt at finde ud af hvilke aktiver der skal købes og hvilke der skal sælges, således at en investor ikke påtager sig unødigt risiko. Denne mulighed vil både blive brugt under mean-variance samt EWMA sammensætning af porteføljer. Er Markowitz teori brugbar i krisetider, eller er den kun blevet benyttet på baggrund af at den har fået tildelt en Nobelpris. Det vil derfor blive nødvendigt at forholde sig til hvorvidt de konstruktioner der bliver lavet undervejs performer bedre end benchmarket. Dette sker for at finde ud af om hvorvidt de enkelte konstruktioner har givet et bedre resultat end den passive strategi benchmarket vil følge. Efter endt analyse, skulle der gerne tegne sig et billede af teoriens anvendelighed i praksis. Ud fra overstående gennemgang af teori samt den efterfølgende empiriske analyse har opgaven til formål at besvare følgende hovedspørgsmål. Hvordan sammensættes en efficient portefølje ud fra Markowitzs porteføljeteori? Hvilken indflydelse har variansen samt kovarianserne? Hvordan udledes den efficiente rand? Skal analyserne bygge på dags- eller ugedata for at få en så efficient sammensætning som muligt? Hvordan ændres det bagvedliggende datamateriale undervejs i en krise, bliver det tilpasset? Stiger kovarianserne når aktiemarkedet går ned, og i givet fald hvilken betydning får dette? Er det muligt ved hjælp af kortsalg af aktier at udnytte et kriseramt marked? Er en portefølje sammensætninger med tidsvægtede varianser bedre end gennemsnitsvarianserne til at klare krisetider? Er Markowitz porteføljeteori stadig brugbar efter den seneste krise? 1.2. Afgrænsning Selve den finansielle krise vil blive afgrænset til at udgøre 28 for denne opgave, men der vil blive brugt datamateriale tilbage fra 2 til at beregne de forventede afkast, risiko samt korrelation mellem de enkelte aktiver. Ved beregning af de enkelte investeringsmuligheders afkast, vil der ikke blive taget højde for handelsomkostninger, samt skattemæssige forhold for den opnåede gevinst eller tab. 3

9 Problemformulering Der vil ikke være nogle forudbestemte hvor mange aktier og obligationer der skal være i den samlede portefølje, da det er et af hovedformålene at finde ud af om denne sammensætning ændres gennem krisen Metodevalg For at besvare spørgsmålet omkring sammensætningen af en portefølje vil der blive taget udgangspunkt i Markowitz oprindelige teori fra Til at teste datamaterialet for om det følger en normalfordeling, vil der blive foretaget test i Eviews omkring skævhed, topstejlhed, hvorefter disse værdier vil blive fuldt op af en Jarque-Bara test, for at kunne konkludere hvorvidt efterfølgende sammensætninger skal baseres på dags- eller ugedata. Udregningerne af de enkelte porteføljers sammensætning vil ske i Excel vha. solveren. For at skabe en model der foretager alle beregninger på en gang, således at solveren ikke skal ændres for at finde de enkelte elementer i porteføljen, vil der blive lavet en VBA 2 makro der kan beregne de enkelte porteføljekarakteristika. Hvorefter der ligeledes vil blive undersøgt hvordan disse nøgletal har udviklet sig gennem tiden og hvilken indvirkning det har på porteføljesammensætningerne. For at undersøge hvordan Markowitz portefølje teori klarede sig gennem finanskrisen, vil der blive sammensat en ny portefølje primo hver måned gennem 28. Disse konstruktioner bliver lavet for både minimumvarians porteføljerne og tangentporteføljerne, med og uden kortsalg. Der vil derefter blive udført en performancetest, for at se hvordan de enkelte sammensætninger har klaret sig. Til denne performancetest vil der blive brugt Sharps ratio, Treynor og Jensens indeks, for ud fra disse værdier at konkluderer hvorvidt porteføljerne har klaret sig bedre end benchmarket. For at kunne skabe en statistisk sikkerhed vil Jensen alpha også blive estimeret i Eviews. Fremgangsmåden for de tidsvægtede varianser, vil følge samme struktur som ved mean-variance, for at skabe mest muligt struktur og gennemskuelighed gennem opgaven. Efter ovennævnt analyse skulle der gerne tegne sig et billede af hvorvidt Markowitz porteføljeteori har sit værd i fremtiden. 2 VBA er et programmeringssprog der anvendes til at automatisere ofte anvendte fremgangsmåder og processer. 4

10 Markowitz mean-variance portefølje teori 2. Markowitz mean-variance portefølje teori Dette afsnit har til formål at gennemgå de enkelte elementer i Markowitz porteføljeteori, for at skabe forståelse for de bagvedliggende elementer i den efterfølgende analyse af teorien Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv En portefølje er en sammensætning af flere aktiver, sammensætningen sker bl.a. på baggrund af de enkelte aktivers gennemsnitlige afkast samt risiko. I finansiel litteratur bliver der skelnet mellem to måder hvorpå afkastet kan beregnes, den geometriske- og den aritmetiske metode, også kendt som kontinuert og diskret. Den mest intuitive er den aritmetiske metode, der beregnes ved blot at finde den procentvise forskel mellem to aktiekurser. Da portefølje teorien er opbygget ud fra en analyse over flere tidsperioder vil det være mest fordelagtigt at benytte den geometriske metode hertil. Der er dog små afvigelser i resultaterne, det geometriske afkast resultere i mindre afkast, men disse afvigelser er som regel ikke så store. 3 Ligeledes tager den geometriske højde for rentes rente således at det er muligt at ligge en række logaritmiske afkast sammen og på den måde se hvordan udviklingen har været gennem en given periode. Det geometriske afkast beregnes som følgende: 4 R A = ln 1 + Y t Y t 1 Y t 1 = ln Y t Y t 1 [2.1] Såfremt der ønskes at tages højde for udbetaling af dividender i løbet af perioden, tilføjes disse på følgende måde, således det samlede afkast kan beregnes som følgende: 5 R A = ln Y t + Div t Y t 1 [2.2] 3 (Benninga, Czaczkes 2, s. 149) 4 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997) 5 (Benninga, Czaczkes 2, s. 132) 5

11 Markowitz mean-variance portefølje teori Den risiko der er forbundet med det enkelte aktiv, er de udsving der har været i forhold til middelværdien for det givne aktiv. Sådanne udsving beregnes ved hjælp af enten varians eller standard afvigelsen. Variansen kan dog være svær at fortolke på, så derfor kan standartafvigelsen med fordel udregnes, der er den kvadrerede værdi af variansen. Standart afvigelsen kan beregnes på følgende må: 6 σ r i = 1 M M t=1 r it E r i 2 [2.3] Hvor E(r i ) angiver middelværdien for aktiv i gennem hele perioden og r it angiver afkastet for aktiv i gennem periode t. Problemet ved at udregne risiko på baggrund af standart afvigelser er at der implicit antages at investor er ligeså interesseret i tab som gevinst, hvilket modsiger alt fornuft, da det vides at en investor er glad for uventet ekstraafkast, men derimod bliver betænkelig efter uventet tab Kovarians og korrelation Ud over det enkelte aktivs risiko, tager Markowitz porteføljeteori også højde for de enkelte aktivers indbyrdes korrelation. Netop inddragelsen af denne dimension betyder, at en portefølje kan have en lavere risiko end aktivet med den laveste risiko. Dette kan lade sig gøre ved at sammensætte en porteføljen af aktiver der ikke svinger sammen, således at der udnyttes at nogle aktiver har modsatvirkende afkast, så det på denne måde er muligt at eliminere dele af risikoen Kovarians Den samlede porteføljes risiko bliver bl.a. beregnet på baggrund af kovariansen mellem de enkelte aktiver. Kovariansen mellem de enkelte aktiver er et udtryk for hvordan afkastet for aktiverne svinger med hinanden, det er f.eks. ikke utænkeligt at går det godt for en aktie i en given branche, vil dette påvirke de øvrige aktier i samme branche. 6 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 22) 7 (Sumnicht 29) 6

12 Markowitz mean-variance portefølje teori Kovariansen mellem to aktiver kan udregnes på følgende måde: 8 σ r ik = 1 M M t=1 r it μ i (r kt μ k ) [2.4] Ud fra ovenstående ses der at kovariansen kan antage en værdi mellem - og. Hvis begge aktiver afviger enten positivt eller negativt fra middelværdien er det muligt at opnå en positiv kovarians, men hvis den ene afviger negativt fra middelværdien vil kovariansen være negativ Korrelation koefficienter Kovarianserne har dog deres svagheder, da de kan være svære at fortolke, det kan f.eks. være svært at bedømme hvorvidt en kovarians på 4 mellem aktiv i og k er ensbetydende med at de svinger sammen i høj grad, eller kun i et vist omfang. Det er derfor rent fortolkningsmæssigt en fordel at omregne kovariansen til korrelation koefficienter, da disse antager en værdi mellem -1 og 1. Korrelation koefficienterne mellem to aktiver udregnes som følgende: 9 ρ ik = σ ik σ i σ k [2.5] Som det ses i [2.5] er korrelations koefficienterne, kovariansen delt med produktet af de to aktivers standart afvigelser. Der kan opstilles følgende sammenhæng mellem korrelations koefficienterne: < ik < 1 = Aktiverne korrelerer positivt med hinanden ik = = Aktiverne korrelerer ikke med hinanden -1 < ik < = Aktiverne korrelerer negativt med hinanden Med udgangspunkt i to aktiver vil det blive udledt matematisk hvordan graden af overstående korrelationer vil påvirke porteføljens risiko. Korrelation ρ ik = 1 Hvis to aktiver har en korrelations koefficient på +1 siges der at, de to aktiver korrelere perfekt med hinanden, således at hvis aktiv 1 stiger vil aktiv stige ligeså meget. Det vil medføre at en porteføljes risiko, bestående af 2 aktiver, kan beregnes på følgende måde: 8 (Benninga, Czaczkes 2 s. 133) 9 (Elton 23, s. 54) 7

13 Markowitz mean-variance portefølje teori 1. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k ρ ik σ i σ k 2. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k σ i σ k 3. σ p 2 = x i σ i + x k σ k 2 4. σ P = x i σ i + x k σ k Det ses således at hvis aktiverne korrelere perfekt, vil porteføljens risiko være en vægtning af de enkelte aktivers risiko, dette vil også samtidig medføre at, det ikke er muligt at reducere den samlede risiko på porteføljen ved inddragelse af flere aktiver, forudsat de også er perfekt korreleret. Der er dog den undtagelse at der ved brug af kortsalg er muligt at nedbringe risikoen, såfremt to aktiver korrelere perfekt og den ene købes mens den anden kortsælges i lige store andele. Korrelation ρ ik = I den efterfølgende matematisk udledning tages der udgangspunkt i en porteføljes risiko med to aktiver, der efterfølgende udvides til M antal aktiver. Det antages at de enkelte vægte og risiko er ens for aktiverne. 1. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k ρ ik σ i σ k 2. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x m 2 σ m 2 3. σ p 2 = 1 M 2 σi M 2 σk M 2 σm 2 4. σ p 2 = M 1 M 2 σ 2 5. σ p 2 = M M 2 σ2 = σ 2 M 6. σ p = σ M Det ses herved at ved en korrelation lig nul, vil det være muligt at nedbringe risikoen ved at øge antallet af aktiver i porteføljen. Denne effekt er dog aftagende, således at effekten er størst ved inddragelsen af de første aktiver. 8

14 Markowitz mean-variance portefølje teori Korrelation ρ ik = 1 Såfremt korrelations koefficienten skulle være -1, siges det at aktiverne er perfekt negativ korreleret. Dette betyder at risikoen kan elimineres på følgende måde: 1. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k ρ ik σ i σ k 2. σ 2 p = x 2 i σ 2 i + x 2 k σ 2 k 2 x i x k σ r i σ r k 3. σ 2 p = x i σ i x k σ 2 k 4. σ p = (x i σ i x k σ k ) Det ses således at det er muligt at bortdiversificere porteføljens risiko, såfremt følgende op opfyldt: 5. x i σ i x k σ k = 6. x i σ i = x k σ k 7. x i x k = σ k σ i 8. x i = σ k x k σ i x k = σ i x i σ k Hvis ovenstående porteføljevægte indsættes i sætning 5, fremkommer følgende: 9a. x i σ i x k σ j = σ k x k σ i σ i x k σ k = 9b. x i σ i x k σ k = x i σ i σ i x i σ k σ k = Det ses således ved perfekt negativ korrelation er det muligt at eliminere risikoen, såfremt at sætning 7 er opfyldt. Skulle dette ikke være tilfældet vil der stadig være opnået en væsentlig risikoreduktion. For at anskueliggøre sammenhængen mellem risiko og korrelation ses det nedenfor i figur 2.1, tydeligt at des højere korrelationskoefficienten er jo ringere er muligheden for at nedbringe den samlede risiko. 9

15 Markowitz mean-variance portefølje teori Figur 2.1, Forhold mellem afkast og risiko ved forskellige korrelationer Afkast Korrelation 1 = 115 Korrelation 2 = -125 Korrelation 3 = 35 4 Risiko Kilde: egen tilvirkning Det ses derfor tydelige hvordan risikoreduktionen er størst jo mere korrelationen afviger fra perfekt korrelation Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje Det samlede afkast for en portefølje bestående af flere aktiver, kan beregnes på følgende måde, ud fra de individuelle afkast på aktiverne: 1 E r p = M i=1 x i E r i [2.6] Hvor E(r p ) angiver porteføljens samlede afkast og M antallet af aktiver i porteføljen. Det ses at en porteføljes afkast, er det vægtede gennemsnit af de forventede afkast for de enkelte aktiver. Hvis de enkelte aktiver er fordelt med samme vægt i porteføljen kan x i med fordel erstattes med 1/M. Hvor porteføljens afkast var et vægtet gennemsnit, er variansen dog mere kompleks en det vægtede gennemsnit af de enkelte aktivers varians. Dette skyldes at der skal tages højde for korrelationen mellem de enkelte aktiver. Således at porteføljens varians kan udregnes som følgende: 11 M σ p 2 = x i 2 σ i 2 + i=1 M i=1 M k=1 k j (x i x k σ jk ) [2.7] 1 (Haugen 1997, s. 7) 11 (Elton 23, s. 57) 1

16 Markowitz mean-variance portefølje teori 2.4. Diversifikation Når der tales om diversifikation betyder det blot at der bliver investeret i flere aktiver, således at risikoen nedsættes. Det er i den forbindelse vigtigt at skelne mellem to former for risiko, den usystematiske og den systematiske risiko, da det kun er muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, se figur 2.2 nedenfor. Figur 2.2, Illustration af usystematisk og systematisk risiko σ 2 (r p ) Usystematisk risiko Systematisk risiko Kilde: Egen tilvirkning Antal aktiver Systematisk risiko Den systematiske risiko opstår som følge af den generelle usikkerhed der er i økonomien, denne risiko kaldes også for markedsrisiko. 12 I og med denne risiko ikke kun dækker over et enkelt aktiv, men hele markedet, er det ikke muligt at bortdiversificere denne risiko ved inddragelse af flere aktiver. Der er dog den mulighed for at mindske den ved at investere globalt i stedet for nationalt. Dette skyldes at hvad der er systematisk risiko i det ene land, påvirker ikke nødvendigvis et andet land, således at det på den måde er muligt at bortdiversificerer yderligere risiko. 13 Det er også under denne kategori finanskrisen tilhører, da den er udslaget af den generelle usikkerhed der forefindes i verdensøkonomien. Denne risiko har senere vist sig ikke være mulig at bortdiversificere da krisen har haft mærkbar effekt verden over, således den ikke ville kunne nedsættes vha. en international portefølje. Netop at krisen indgår i den systematiske del af risikoen gør også det ikke er muligt at sikre sig mod finanskrisens risiko ved at have en veldiversificeret portefølje af aktier. Det der derimod er muligt vha. Markowitz er at den gerne skulle give aktierne en mindre 12 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 3) 13 (Moffett, Eiteman & Stonehill 29 s. 455) 11

17 Markowitz mean-variance portefølje teori andel af porteføljen således at f.eks. statsobligationer udgør langt størstedelen, da disse ikke er udsat for samme markedsrisiko som aktierne Usystematisk risiko Den usystematiske risiko opstår som følge af den risiko der er ved investering i det enkelte aktiv. Det er vigtigt at huske på at en investor ikke modtager nogen belønning for den usystematiske risiko. Denne form for risiko er derved specifik for det enkelte aktiv, og afhænger bl.a. af branchen aktiven befinder sig i. Det at den usystematiske risiko kan nedsættes kan illustreres ud fra porteføljens samlede risiko med den antagelse at korrelationen mellem aktiverne er lig nul. 1. σ p = σ M Det ses således at ved inddragelsen af flere aktiver at den samlede porteføljes risiko nedsættes, dog er effekten af inddragelsen af flere aktiver størst ved de første, grundet kvadratroden Den efficiente Rand Den efficiente rand er sammensat således at den dækker over de kombinationsmuligheder, der foreligger ud fra de mulige aktiver, der ved et givet afkast giver den laveste risikoen. I den efficiente rands vendepunkt findes minimums varians porteføljen (MVP), det er den kombinations mulighed hvor den laveste risiko forefindes. Alle de kombinationsmuligheder der findes der har et lavere afkast end MVP vil ikke indgå i den efficiente rand da der findes en kombinationsmulighed der giver et højere afkast med den samme risiko, se figur 2.3. Figur 2.3, Illustration af den efficiente og kritiske rand samt MVP Afkast,1,8,6,4, Risiko Efficiente rand Kritiske rand MVP 1 Kilde: Egen tilvirkning 12

18 Markowitz mean-variance portefølje teori Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder Rent praktisk udregnes en masse porteføljer der ligger på den efficiente rand, for at kunne illustrere randen. Ved sammensætning af den efficiente rand uden at tage højde for muligheden for at kortsalg, foregå på følgende måde ved at minimere variansen: Under følgende betingelser: M σ p 2 = x i 2 σ i 2 + i=1 M i=1 M k=1 k j (x i x k σ jk ) N 1. x i = 1 i=1 N 2. x i r i = r p i=1 3. x i, i = 1,. N Betingelse 1 sørger for at summen af de enkelte vægte for aktiverne i porteføljen giver 1, sammen med betingelse 3 der gør at vægtene af de enkelte aktiver ikke er negative, og derved gør at det ikke er muligt at foretage kortsalg. Betingelse 2 har til formål at minimere variansen for porteføljen ud fra et givet konstantafkast. Konstantafkastet ændres i takt med de forskellige porteføljer udregnes så den efficiente rand dannes. Dette kan nemt løses i Excel vha. af solveren ved at indtaste de ovenstående betingelser, for at minimere variansen Minimums varians porteføljen Grunden til at MVP netop er så interessant, er at det er den kombinationsmulighed hvorved den laveste risiko forefindes. Intuitivt ville et sådan punkt udgøre det aktiv med den laveste risiko, men dette er ikke tilfældet, da de enkelte aktiers korrelation imellem kan give en mulighed for at sammensætte en portefølje, der har en lavere varians end aktivet med den laveste varians. Ved beregningen af MVP vil der ikke blive taget højde for de enkelte aktivers afkast, da denne kombination kun har for øje at skulle have den mindste varians ved at minimere [2.7] 13

19 Markowitz mean-variance portefølje teori Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv I det foregående blev den efficiente rand bestemt ud fra den antagelse, at det kun er muligt at investere i risikofyldte aktiver, såsom aktier. Da det ikke er sikkert at en investor udelukkende vælger at placere alle sine midler i risikofyldte aktiver, må modellen naturligvis også tage højde for dette. Kombinationsmulighederne mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje vil danne en lineær sammenhæng kaldet kapitalmarkedslinien, se figur 2.4. Figur 2.4, Den efficiente rand med kapitalmarkedslinien Kilde: Egen tilvirkning Det forventede afkast for en sådan kombination kan udregnes på følgende måde: 14 E r c = 1 x p r RF + x p r p [2.8] Hvor x p angiver andelen der investeres i den risikofyldte portefølje, samt r p er det afkast den risikofyldte portefølje kan genererer. Ligeledes kan risikoen udregnes på følgende måde σ r c = 1 x 2 p σ 2 RF + x 2 p σ 2 p + 2 x p 1 x p σ RF σ p ρ RFP [2.9] = x p σ p 14 (Elton 23 s. 85) 14

20 Markowitz mean-variance portefølje teori Det ses at udregningen af risikoen kan forkortes ned, således at det bliver andelen af den risikofyldte portefølje gange dennes risiko. Dette skyldes at der udnyttes at det risikofrie aktiv har en risiko på nul, samt at kovariansen mellem de to aktiver er lig nul Kapitalmarkedslinien Den lineære sammenhæng mellem de to muligheder kan beskrives ved at substituere [2.8] ind i [2.9] således følgende udtryk fremkommer: 15 E r c = r RF + r p r RF σ P σ C [2.1] Det ses at kapitalmarkedslinien [2.1] består af to dele, en konstant, den risikofrie rente, samt en hældningskoefficient der er udtryk for risikopræmien per risikoenhed multipliceret med den kombinerede risiko, også kaldet Reward-to-Variability ratioen (RtV). Hældningskoefficienten er også kendt som Sharpes ratio, dette performancemål vil blive benyttet senere under performance da den forklare risikopræmien pr risikoenhed en investor modtager. Hældningskoefficienten findes ved den kombinationsmulighed på den efficiente rand med den højeste Sharpe ratio. Såfremt at investoren skulle have mulighed for at låne til den risikofrie rente, og placere de lånte midler i den risikofrie portefølje, ville denne have mulighed for at geare sin investering Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder Kortsalg går i al sin enkelthed ud på at en investor låner et aktivt af en anden, med den overbevisning om at aktivets værdi vil falde i den kommende periode, hvor aktivet er lånt. Investoren sælger aktivet for så senere at købe det tilbage igen, for at overdrage det tilbage igen. Hvis der udbetales dividender i perioden aktivet er lånt, skal der ske betaling til vedkommende det er lån fra. 16 Rent praktisk foregår sammensætningen af porteføljer på samme måde som ved sammensætninger uden kortsalg, dog fjernes restriktionen om at de enkelte vægte skal være positive Delkonklusion Der er i dette afsnit gennemgået hvorledes det er muligt at sammensætte den mest efficiente portefølje ud fra Markowitz porteføljeteori. Det grundlæggende er at finde de enkelte aktivers gennemsnitlige afkast, hvor det geometriske var det bedste samt mest praktiske til at beskrive afkastet. Ud 15 (Elton 23 s. 86) 16 (Haugen 1997 s. 69) 15

21 Markowitz mean-variance portefølje teori fra dette kunne de enkelte aktivers risiko, samt korrelation udregnes. Således at der ud fra disse tre nøgletal er muligt at maksimere en sammensætnings afkast for en given risiko. 16

22 Dataanalyse 3. Dataanalyse Dette kapitel har til formål at præsentere de enkelte elementer der indgår i datamaterialet der vil blive brugt til at fremstille de enkelte porteføljer. Derudover vil data sættet blive testet for om hvorvidt efterfølgende konstruktioner skal sammensættes på baggrund af dags eller ugedata, alt afhængig af hvilken serie der opfylder betingelsen om normalfordeling bedst Datagrundlag Dette afsnit vil både omhandle det bagvedliggende valg af datamateriale til sammensætning af de enkelte porteføljer, samt en beskrivelse af det benchmark der vil blive benyttet i performance afsnittet Datamateriale til porteføljekonstruktion Selve datamaterialet vil indeholde to former for aktiver, aktier og obligationer. De aktier der indgår, er de aktier der har været med i C2-indekset gennem perioden til Aktier der har været en del af indekset, men ikke har været med gennem hele perioden er blevet fravalgt. Det er således blevet til 16 aktier der overholder kravet, se tabel 3.1. Derudover indgår der 3 obligationer, valget er faldet på danske statsobligationer for at eliminere kreditrisikoen. Tabel 3.1 Oversigt over datamaterialet Carlsberg Danisco Danske Bank DSV FLSmidth Lundbeck Jyske Bank Maersk A Kilde: Egen tilvirkning Aktier Maersk B NKT Norden Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant Obligationer 2 års statsobligation indeks 5 års statsobligation indeks 1 års statsobligation indeks Grunden til at dataperioden er så lang, er for at sikre markedet har gennemgået mindst en cyklus gennem perioden, således at materialet både indeholder op samt nedture i markedet, jf. figur

23 Dataanalyse Figur 3.1, Afkast serie for C2 indekset Kilde: Egen tilvirkning Ved at benytte historiske data der strækker sig så langt tilbage er det muligt at sikre en efficient porteføljekonstruktion, jf. (Elton 23 s. 9). Der er dog den forudsætning at dataet ikke ændres væsentlig over tid, således at der benyttes stationært data. Dette kan måske vise sig at være et problem, der er derfor der bliver testet for hvorvidt datamaterialet er normalfordelt i de efterfølgende afsnit Afkastserie for aktier Afkastet for aktierne er beregnet ud fra et return index fra Datastream der tager højde for dividende udbetalinger i løbet af perioden. For at tage højde for dividende udbetalinger er der den forudsætning at dividende udbetalingerne geninvesteres i samme aktiv. Således at indekset kan beregnes på følgende måde: 17 RI t = RI t 1 PI t PI t DY t 1 1 N [3.1] Hvor RI t er return indekset dag t, PI t pris indekset for dag t, DY t er dividenden i % dag t og N er antal handelsdage i løbet af året, hvilket er sat til 26 dage. Herefter beregnes afkastet ved hjælp af [2.1], der giver den logaritmiske ændring i indekset Den risikofrie rente Da den risikofrie rente er af ren teoretisk karakter, hvor der er et sikkert og forudsigeligt afkast. 18 Hertil benyttes renten på 1 års statsobligation. Renten vil blive omregnet således at den passer til 17 Datastream 18 (Bodie, Merton 2 s. 323) 18

24 Dataanalyse selve porteføljekonstruktionen. Således at hvis der benyttes ugedata, vil renten også blive beregnet ud fra et ugentligt afkast Benchmark Til de senere performance test vil der blive konstrueret et benchmark bestående af 4 % aktier og 6 % obligationer. For at simplificere benchmarket så meget som muligt, vil C2-indekset udgøre aktierne og indekset for den 1 årige statsobligation udgøre obligationsdelen Test af normalfordeling Følgende test har dels til formål at finde ud af om hvorvidt porteføljekonstruktionen skal konstrueres ud fra afkastet af dags- eller ugedata. Da Markowitz porteføljeteori bygger på forudsætningen om normalfordeling vil der blive set på både skævheden samt kurtosis der undersøge topstejlheden. Disse to test vil blive opfuldt af Jarque-Bera test, hvor både skævhed samt kurtosis indgår i vurderingen om hvorvidt afkastene følger en normalfordeling Skewness Skævhed er et udtryk for om hvorvidt middelværdien afviger fra medianen, hvilket vil sige om fordelingen kan betragtes som symmetrisk. Ved eksempelvis en højreskæv fordeling vil middelværdien være større end medianen, dette vil resultere i en positiv testværdi, og omvendt ved en venstreskæv fordeling. Skævheden han beregnes på følgende måde: 19 S = 1 N N i=1 μ μ σ 3 [3.2] Kurtosis Ved at teste for kurtosis testes der for om afkastet centrere sig om middelværdien eller om fordelingen har flade haler. Ved en forholdsvis høj kurtosis fremkommer der fede haler, hvilket vil sige der er flere ekstreme værdier i forhold til en normalfordeling. 19 Eviews User Guide 19

25 Dataanalyse Kurtosis beregnes på følgende måde: 2 K = 1 N N i=1 μ μ σ 4 [3.3] Hvis afkastserien har en kurtosis der ligger over 3, kaldes denne fordeling for leptokurtisk, hvilket gør at fordelingen netop har større sandsynlighed for fede haler Jarque-Bara test Til at samle de to test om skævhed samt kurtosis benyttes Jarque-Bara testen, der samler de to test i en, for at kunne konkludere hvorvidt afkastserien følger en normalfordeling. Jarque-Bara testen kan udregnes på følgende måde: 22 Jarque Bara = N 6 S2 + (K 3)2 4 [3.4] Hvor S er skævheden og K kurtosis. Jarque-Bara værdien skal vurderes ud fra en χ 2 fordeling med 2 frihedsgrader. Det giver følgende hypotese ved testen: H : H 1 : Afkastet følger en normalfordeling Afkastet følger ikke en normalfordeling Nul-hupotesen forkastes såfremt at Jarque-Bara værdien er højere end 5,99 ved et konfidensniveau på 5 % Test af datamateriale for normalfordeling For at finde ud af hvorvidt det datamateriale der skal ligge til grund for fremtidige porteføljekonstruktioner skal baseres på dags eller uge data, er de to datamaterialers logaritmiske afkast blevet analyseret ud fra de tre føromtalte test og samlet i tabel 3.2. Det ses tydeligt ud fra tabellen at der er problemer ved begge afkastserier, et af de tydeligste problemer er at der ikke er en eneste afkastserie, hverken på dags eller ugebassis, der lever op til den føromtalte kritiske værdi på 5,99 for en χ 2 fordeling, H hypotesen om normalfordeling kan derfor forkastes. 2 Eviews User Guide 21 (Verbeek 24 s. 4) 22 Eviews User Guide 2

26 Dataanalyse Tabel 3.2 Oversigt over normalfordelingstesten Dagsdata Ugedata til til til Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB Carlsberg -,615 11, ,1 -,468 13, ,8 -,834 1, ,4 Danisco -,372 1, ,4,18 8, ,1 -,699 1,7 1.1,7 Danske Bank,34 7,31 1.1,2 -,734 14, ,8-2,463 24, ,7 DSV -,297 6,9 846,9,66 1, ,2 -,227 6,68 268,6 FLSmidth,165 9, ,6 -,89 7,71 963,6 -,489 6,48 255,6 Lundbeck -1,68 14, ,7 -,332 13, ,1 -,785 8,7 683,7 Jyske Bank,298 8, ,2 -,797 9, ,9-1,453 1, ,9 Maersk A,81 1, ,8 -,289 9, ,9 -,21 5,79 152,3 Maersk B,879 14, ,8 -,349 9, ,5,4 4,76 6,6 NKT,952 11, ,1 -,638 9, ,7,867 11, ,8 Norden 1,558 14, ,5 -,679 8, ,6,326 9,96 955, Novo Nordisk -,637 16, ,9,34 8, ,8 -,873 8,32 611,8 Sydbank , ,9-1,291 19, ,3-3,689 36, ,1 Topdanmark -,217 7,3 1.14,4,33 9, ,1,57 7,12 332,5 Vestas,132 2, ,2 -,285 11, ,4 -,699 8,58 646,9 William Demant -,47 11, ,9 -,554 14,4 5.74,1,227 7,84 461,9 2 års stats obl. -,648 6,48 749,6 -,378 13, ,7 -,85 6,29 242,6 5 års stat obl. -,554 4,99 283,7,829 21, ,9 -,168 4,86 79,9 1 års stat obl. -,631 4,39 191,5,236 7,59 924,2 -,211 4,36 44,9 Anm.: Da der i studenterudgaven af Eviews er lagt begrænsninger på hvor mange observationer der må in d- gå i en serie er analysen for dagsdata opdelt i to perioder. Kilde: Egen tilvirkning, beregningen er foretaget i Eviews, vedlagt i bilag 1 Selv om der ikke er nogle af ovenstående afkastserier der kan betragtes som normalfordelt, er der ingen tvivl om at ugedata er bedre end dagsdata. Dette ses ved at så godt som alle Jarque-Bara værdier er lavere end tilsvarende værdier for dagsdata. Problemerne med normalfordeling skyldes til dels at afkastserierne har meget høje kurtosis værdier, der betyder at der er en tendens til fede haler, altså ekstreme værdier forekommer. Dette sammenholdt med at langt de fleste afkast serier har problemer med skævhed, gør at de ikke følger en normalfordeling. Tages der f.eks. udgangspunkt i Sydbank, der har problemer med at afkast serien er yderst skævt fordel, hvilket føre til at også kurtosis bliver meget høj, pga. der er nogle ekstrem negative afkast. 21

27 Dataanalyse Dette bevirker også at når det gennemsnitlige afkast udregnes vil denne værdi være højere end medianen. Intuitivt vil en investor foretrække en højreskæv aktie frem for en venstreskæv, da der forekommer færre værdier der afviger negativt i forhold til middelværdien. Dette er der dog ikke i Markowitz model mulighed for at tage hensyn til fordelingens skævhed. Ud fra ovenstående analyse konkluderes der at der er store problemer med normalfordelingen, men afkastserier baseret på ugedata har en fordeling der er mere normalfordelt end dagsdata. Der vil derfor blive benyttet ugedata til at konstruere de fremtidige porteføljer, samt performance analyse. Da der er en klar forudsætningsbrud på normalfordelingen, kan der stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt de efterfølgende porteføljekonstruktioner er retvisende. 22

28 Porteføljesammensætning mean-variance 4. Porteføljesammensætning med mean-variance Efter at have gennemgået den teoretiske del, samt analyseret datagrundlaget der ligger til grund for porteføljesammensætning, vil der i dette afsnit blive konstrueret porteføljer ud fra Markowitz klassiske teori med mean-variance. Det vil indledningsvist blive undersøgt hvordan de enkelte værdier der ligger til grund for porteføljesammensætningen, afkast, risiko samt kovarians, har udviklet sig gennem 28. Hvorefter der vil blive sammensat porteføljer for hver måned gennem 28, for at se hvordan sammensætningen har udviklet sig gennem finanskrisen. Dette vil ske både med restriktion om kortsalg, men også uden for at se om det har været muligt at udnytte kortsalg gennem krisen til at skabe et merafkast. Til slut vil de enkelte porteføljers performance blive evalueret ud fra det sammensatte benchmark. Selve performance analysen har til formål at undersøge hvorvidt Markowitz porteføljeteori har kunne genererer et bedre afkast end et simpelt benchmark Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Overordnet set var 28 et meget dårligt aktieår, grundet de voldsomme fald finanskrisen medførte i den sidste del af året, jf. figur 4.1. I det efterfølgende vil der blive analyseret hvordan dette fald har påvirket de bagvedliggende værdier, til beregning af porteføljesammensætning. Figur 4.1, Graf over afkast-index for C2 indekset, år januar april juli oktober Kilde: engen tilvirkning Udvikling i afkastserien Spørgsmålet er hvordan udsvingene i aktiekurserne kommer til udtryk i porteføljekonstruktionen, her tænkes specielt på de meget ekstreme fald der skete i det sidste kvartal af 28. Derfor er de 23

29 Porteføljesammensætning mean-variance værdier der indgår til porteføljesammensætning samt de reelle værdier blevet samlet i bilag 2, hvor de efterfølgende konklusioner er truffet på baggrund af disse beregninger. Ud fra bilaget ses det at de beregnede afkast, som porteføljekonstruktioner er blivet sammensat på baggrund af, er faldet i takt med at indekset også har tabt værdi. Men forskellen på de beregnede og reelle værdier stiger markant hen over det sidste kvartal i 28. Derfor er det blevet en kendsgerning at de voldsomme kursfald har forplantet sig i det store datamateriale, således at de benyttede afkast ligger væsentlig over det reelle afkast, og dermed ikke er retvisende. Dette er også i forlængelse af at der jf. (Elton 23) skulle benyttes historisk data lang tid tilbage for at sikre at porteføljesammensætningen blev så efficient som muligt. Dette var netop for at sikre at dataene var stationære, og at ekstreme udfald ikke ville påvirke billedet i det lange løb. Det er også ifølge (Elton 23) muligt at der bliver justeret på afkastene så de bedre matcher investors forventninger til fremtiden. Dette ville også være muligt at gøre her, men da det ikke er en del af Markowitz teori, vil det ikke blive forsøgt at ændre datamaterialet således at det er stemmer bedre overens med de reelle værdier. Dette sker til dels pga. det kan være svært at spå om hvordan de fremtidige afkast vil se ud, men vigtigst af alt at det ikke var en del af den oprindelige teori. Et af problemerne med at de voldsomme kursfald har forplantet sig i datamaterialet er at det på det på kort sigt kan komme til at koste investoren dyrt, da afkastene ligger langt fra de realiserede afkast. Det gennemsnitlige afkast for samtlige aktier er positivt i starten af 28, men de ekstreme udsving der har været i afkastet har gjort at Maersk og Carlsberg levere et negativt afkast i november og december måned. Men det er samtidigt opsigtsvækkende at det gennemsnitlige afkast for Maersk har ligget på niveau med de 3 statsobligationer, således at aktien ikke har kunnet generere et merafakst svarende til den ekstra risiko en investor har ved en Maersk aktie. Den aktie der performer bedst på afkastsiden er uden tvivl Norden, den ligger gennemsnitlig med et afkast der er dobbelt så højt som den nærmeste, NKT uden at tage hensyn til den medfølgende risiko. Det skal dog også bemærkes at det har været de to aktier, der har været de største afvigelser på gennem perioden, mellem de anvendte værdier og de reelle værdier Udviklingen af standart afvigelserne Nu er det ikke kun afkastet der har betydning for porteføljesammensætningen, men i stor grad også hvordan risikoen er for de enkelte aktiver og imellem. Det blev i foregående afsnit konkluderet at det store kursfald ikke blev voldsomt synligt i datamaterialet, grundet dets omfang. Det samme er 24

30 Porteføljesammensætning mean-variance gældende for standart afvigelserne, de ligger mere eller mindre stabilt gennem hele perioden. 23 De stiger dog en smule mod slutningen af 28, dette skyldes naturligvis de voldsomme udsving der har været i afkastet mod slutningen af 28. Ved sammenligning af standart afvigelserne mellem aktier og obligationer ses det meget tydeligt at der ikke er samme risiko ved at investere i obligationer, frem for aktier. Dette forhold skal ses i lyset af det laver afkast obligationerne generere i forhold til aktierne. Således at der er meget god sammenhæng mellem risiko og afkast. Vestas ligger med den klart højeste standart afvigelse gennem hele perioden, denne høje standart afvigelse skylde de ekstreme udsving der er i afkastserien gennem hele perioden for datamaterialet, dette ses specielt i 28, jf. figur 4.2. Figur 4.2, Afkast serie for Vestas Kilde: egen tilvirkning i Eviews Disse ekstreme udsving kan medføre at der forekommer heteroskedasticitet, hvilket bevirker at de udregnede standart afvigelserne ikke giver et retvisende billede for de reelle standart afvigelser. At standart afvigelserne ikke giver er retvisende billede, får også betydning for udregningen af den efficiente rand, hvilket gør at de beregnede MVP og tangentporteføljer måske ikke er de korrekte. Således at en investor i givet fald vil påtage sig en højere eller lavere risiko, end det forventede ved sammensætningen af disse porteføljer. 23 Se bilag 2 25

31 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance De tre bankaktier i C2 indekset, Danske Bank, Jyske Bank samt Sydbank har været nogle af de aktier der har været hårdest ramt af krisen i slutningen af 28. De oplevede alle meget store kursfald, hvilket giver anledning til en stigende standart afvigelser, men som alle de andre aktier er de beregnede standart afvigelserne ikke retvisende, således at det kan se ud som om at en investor ikke vil løbe en så stor risiko ved investeringen af disse aktier, som der reelt set er Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne Korrelationenen mellem de enkelte aktiver er i samspil med de enkelte standart afvigelser med til at give det overordnede billede af den risiko en investor løber ved investeringen i en given portefølje, da den rette kovarians mellem aktiver kan være med til at nedsætte den samlede risiko, vha. diversifikation. For at bortdiversificerer så meget risiko som muligt, skal korrelationskoefficienterne være tætte på nul eller negative. For simplificeringens skyld vil der i dette afsnit kun blive set på korrelationskoefficienterne, da kovarianserne som tidligere nævnt kan være svære at fortolke Korrelation for obligationerne Overordnet ses der at korrelationen obligationerne imellem er meget stor, der forekommer næsten perfekt positiv korrelation, jf. tabel 4.1. Dette gør at det ikke er muligt at nedsætte porteføljens risiko synderligt ved inddragelse af flere obligationer, men dette gælder kun for porteføljekonstruktioner uden kortsalg. Det vil derimod være muligt at fjerne risikoen ved at kortsælge den ene og købe den anden i det rette omfang. Tabel 4.1, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem obligationer og aktier, jan 28 2 års obl,9,9,3,5,21,2,2,22,5,4,19,14,12,12,11,21 1, 5 års obl,7,8,1,2,2,2,17,18,6,8,15,16,11,12,15,23,85 1, 1 års obl,3,6,5,2,16,4,15,12,4,1,12,15,8,6,12,21,72,9 1, Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver at de er negative. Kilde: Egen tilvirkning, Excelfilen porteføljesammensætning jan. Ligeså interessant en observation er at korrelationen imellem obligationerne og aktierne er negativ, hvilket gør at muligheden for risikonedsættelse er til stede, ved at kombinere aktier og obligationer i porteføljerne. Gennem 28 er disse korrelationskoefficienter faldet yderligere således det er muligt at nedsætte risikoen ydermere, jf. tabel 4.2. Dette skyldes at obligationerne ikke har haft samme nedgang som aktierne gennem krisen samt genereret et positivt afkast i perioden. 24 At korrelationen 24 Bilag 2 26