SRP 2014 SPILTEORI OG NASH- LIGEVÆGT LASSE MARLING 3.I MINE DAMER OG HERRER GENIET JOHN NASH

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SRP 2014 SPILTEORI OG NASH- LIGEVÆGT LASSE MARLING 3.I MINE DAMER OG HERRER GENIET JOHN NASH"

Transkript

1 SRP 2014 SPILTEORI OG NASH- LIGEVÆGT LASSE MARLING 3.I MINE DAMER OG HERRER GENIET JOHN NASH 1

2 Titelblad Navn: Lasse Marling Klasse: 3.i idrætsgymnasiet Rapportens titel: Spilteori og Nash- ligevægt Uddannelse: ITX Skolens Navn: Viborg Tekniske Gymnasium, Mercantec Dato: D. 19/12/2014 Fag: Matematik A og Dansk A Vejledere: Ejnar Jensen (Matematik A), HTX - Anne- Marie Østergaard (Dansk A), Viborg Katedralskole Opgavebesvarelsens anslag m. mellemrum: Antal sider: 26 2

3 Abstract This assignment is written in connection with SRP 2014, where mathematics A and Danish A has been used to write a complete answering of the attached questions/tasks. Following paper focuses on the man John Nash and his mathematical theory called Nash- equilibrium. An equilibrium that will occur if no player involved will get a better output by chancing strategy under the condition that the other players keeps their strategies. A theory based on a lot of mathematics calculations and explanations, where some of them will be explained in this assignment. Beside the math part this task will also analyze the man behind this theory. A film analysis as well as excerpts from other sources will be focusing on his working methods and original approaches that both proved to lead to mathematical wonders, but also a terrible schizophrenia. 3

4 Indholdsfortegnelse INDLEDNING 5 SPILTEORI 6 NASH- LIGEVÆGTEN 6 EKSEMPLER 7 MATEMATISK LIGEVÆGTSOPSTILLING 9 BLANDEDE STRATEGIER 10 JOHN NASH ET SMUKT SIND 16 EN ULIGEVÆGTIG MAND 21 TEORIENS ANVENDELSE 23 KONKLUSION 25 LITTERATURLISTE 26 4

5 Indledning I starten af det 19. århundrede var spilteori et begreb, som ikke mødte stor anderkendelse på de matematiske studier, da det i virkeligheden ikke blev anset som en videnskabelig fakultet. En vinterkoldnat på en bar i USA fik en mand dog lavet om på denne kendsgerning. En mand hvis matematiske evner og indsigt førte til revolutionerende tendenser indenfor områder af det matematiske felt, og for alvor fik gjort spilteori til et videnskabeligt studie, takket være hans banebrydende teori. En teori udarbejdet gennem originale arbejdsmetoder og et enormt arbejdsiver, der førte manden bag ud i bemærkelsesværdige op- og nedture, der både indebar psykiske sygdomme og priser. En mand ved navn John Nash. Følgende SRP- opgave vil omhandle spilteori og Nash- ligevægten. Gennem kritisk udvalgte kilder, vil det spilteoretiske begreb med fokus på Nash- ligevægten blive gennemgået ved hjælp af teori samt eksempler. En gennemgang som vil blive efterfulgt af et detaljeret syn på manden bag denne teori, hvor en filmanalyse af filmen Et smukt sind vil blive anvendt til dette. Denne analyse vil, med hjælp fra andre kilder, blive koblet sammen med en detaljeret redegørelse for, hvilke faktorer der kunne have påvirket den gale videnskabsmand til at udarbejde noget så kompleks og banebrydende som den gennemgået teori, at den gjorde op med tidligere store matematikers tanker og teorier. Til slut vil disse tanker samles sammen i en perspektivering til udbredelsen samt nutidens brug af Nash teori, hvor en konklusion vil fungere som afrunding. Der er i denne opgave blevet arbejdet med en kildekritisk tilgang, hvor der er blevet sat fokus på at opstille den matematiske teori med egne eksempler, dog med hjælp fra nævnte kilder som henvises til gennem fodnoter i bunden af siderne, således en bred forståelse af emnet Spilteori afspejles. Samtidig er sammenhængen mellem de to fag forsøgt at blive skabt gennem en rød tråd, der skal sammenholde opgavens formål, nemlig at vise en analyserende sammenhæng mellem de naturvidenskabelige og humanistiske felter, som skal understøttes af en indholdsfortegnelse, der skal følges kronologisk. God læselyst. 5

6 Spilteori Omkring år 1930 blev en ny videnskabelig disciplin præsentret for den matematiske verden. En disciplin kaldet spilteori, som beskæftiger sig med matematisk modellering af spil, hvor minimum to antal spillere arbejder ud fra et sæt af strategier med det formål at opnå størst mulig payoff. Begrebet slog for alvor igennem, da matematikeren Johannes von Neumann i 1928 fik udarbejdet en banebrydende teori, der beviste at selve spilteorien kunne anvendes til analyser af en større mængde konflikter, end de matematiske hoveder havde forestillet sig. Et gennembrud der i 1944, under samarbejde med nationaløkonomen Oskar Morgenstern, resulterede i udgivelsen af bogen Theory of Games and Economic Behavior, som gennem matematisk modellering behandler flere typer af konflikter/spil. Bogen beskæftiger sig primært med nulsums- spil, der i kort forstand er spil, hvor den ene spiller vinder det, den anden spiller taber. Et eksempel på sådan et spil kan findes i mange tilfælde, herunder simpel gambling. Spiller 1 smider 100 kr. på at Danmark vinder verdensmesterskaberne i håndbold. Spiller 2, som i dette tilfælde er udbyderen, giver odds. 2:1 på dette væddemål. Danmark vinder mesterskaberne og spiller 1 vinder altså 100 kroner i profit, som spiller 2 (udbyderen) taber. Der er her tale om et topersoners spil, som ofte medfører forsimplede udgaver af spilteorien ligesom i ovenstående eksempel. Nash- ligevægten Denne forsimplede tilgang forsvinder dog lige så snart flere strategier eller spillere involveres i problemstillingen, hvilket en anden kendt matematiker i 1950 beskæftigede sig med. John Forbes Nash udarbejde nemlig i sin ph.d.- afhandling i 1950 et spilteoretisk begreb, der skabte revolutionerende tilstande indenfor bl.a. den økonomiske verden. Begrebet kaldes i dag Nash- ligevægten, hvor der findes flere enstydige formuleringer af denne. En overordnet formulering kan dog lyde således: "ʺEt sæt af strategier (én strategi for hver spiller) er en Nash ligevægt, hvis hver spillers strategi er "ʺbest response"ʺ til de andre spilleres strategier"ʺ. 1 1 Axelsen, Peter og Bo Kristensen, Lars Spilteori 6

7 Ovenstående betyder altså, at når en Nash- ligevægt er tilstede under et givent spil, resulterer dette i at alle spillere har valgt den strategi, der bedst muligt kan svarer sig ift. de andre spilleres strategier. Spillerne vil altså ikke få noget ud af at afvige fra deres strategi medmindre de andre spillere gør dette. Der er altså tale om en løsning, hvor alle spillere har opnået bedst mulig resultat, givet den information de har. Eksempler Der findes flere eksempler indenfor spilteorien, hvor Nash- ligevægten findes. Et af de mest anvendelige, som John Nash også benyttede, kaldes dog fangernes dilemma. To mistænkte er blevet anholdt af politiet. De to personer holdes adskilt, så de ikke kan kommunikere. Politiet har ikke beviser nok til at få dem dømt for deres grove forbrydelse, men de kan få de mistænkte fængslet i et halvt år for en mindre forbrydelse. Politiet giver hver at de mistænkte dette valg: De kan vælge at forråde den anden eller holde mund. Hvis begge holder mund, får de hver et halvt års fængsel, hvis den ene forråder den anden og den anden holder mund, slipper forræderen fri og den anden får ti års fængsel, og hvis begge forråder den anden, får de hver fem års fængsel. Skal de mistænkte forråde den anden, eller skal de holde mund? 2 Ovenstående kan opstilles som et udbyttematrix, hvor fængselsstraffene er lig værdierne. Forråde Holder mund Forråde - 5, - 5 0, - 10 Holder mund - 10, 0-1/2, - 1/2 Ovenstående matrix skal læses således at første tal er fange 1 s udbytte og andet tal er fange 2 s udbytte. Nash- ligevægten er markeret med understregning, hvilket vil sige at denne løsning vil stille begge fangere i den optimale situation. Denne Nash- ligevægt viser sig dog kun at være teoretisk, idet fangerne hurtigt kan være nødsaget til at ændre strategi, givet den information at den ene forråder. Lad os sige fange 1 vælger at forråde, og fange 2 får givet %2Ffou.emu.dk%2Foffentlig_download_file.do%3Fid%3D151598&ei=KoSLVLz7OYPEPN_6gLgN&usg=AF QjCNGLzKTOpyUJ4Zjm0cvdL5bIRAKlOw&bvm=bv ,d.ZWU 2 7

8 denne information. For at bibeholde Nash- ligevægten vil fange 2 vælge også at forråde fange 1, da dette er best response (mindre straf) til fange 1 s strategi. Derfor kaldes dette fangernes dilemma. Ovenstående dilemma er et eksempel på et ikke- kooperativt spil, hvilket vil sige at spillerne ikke har mulighed for at indgå aftaler indbyrdes. Eksemplet kan dog udbygges og give en bredere forståelse af Nash- ligevægten, hvilket følgende skal være behjælpeligt med. To spillere skal samtidigt vælge et heltal mellem 0 og 3. Begge spillere får det mindste af de valgte tal i point, og hvis den ene har et højere tal end den anden skal han afgive 2 point til modstanderen 3 Endnu engang opstilles en udbyttematrix hvor spiller 1 vil have det første tal i talparret (x;y) og spiller 2 det andet tal: Vælger 0 Vælger 1 Vælger 2 Vælger 3 Vælger 0 0, 0 2, - 2 2, - 2 2, - 2 Vælger 1-2, 2 1, 1 3, - 1 3, - 1 Vælger 2-2, 2-1, 3 2, 2 4, 0 Vælger 3-2, 2-1, 3 0, 4 3, 3 I dette tilfælde indtræder Nash- ligevægten når begge spillere vælger 0, da ingen således vil få noget ud af at ændre strategi. Dette er i modsætning til fangernes dilemma, da spillerne her kunne maximere deres output ved at ændre strategi. Dette dilemma er som sagt ikke tilstede i ovenstående, da ingen af spillerne vil få noget ud af at afvige fra deres strategi. Dette vil altså sige, at der her er tale om en ren strategi, idet spilleren vælger én bestemt strategi ud af mange. Nash- ligevægten er altså ikke nødvendigvis til fælles fordel, men kan også være et udtryk for egoistisk spilstrategi. 3 ligevægt 8

9 Matematisk ligevægtsopstilling John Nash beviste altså at alle topersoners spil har minimum én ligevægt, også selvom denne ikke altid virker lige rationel. Grundet den manglende logik, som til tider optræder under Nash- ligevægtens indtræden, er det derfor nødvendigt at opstille en matematisk model, der kan illustrere, hvorfor de valgte strategier stadig giver bedst mulig output for de involverede spillere. Vi opstiller følgende model, som kan kobles på vores udbyttematrix fra 0-3 spillet : - Nash- ligevægten lyder (xi;yi) - Xi skal være større end alle x- værdierne i den kolonne af udbyttematrixen, hvor Nash- ligevægten befinder sig. - yi skal være større end alle y- værdierne i den række af udbyttematrixen, hvor Nash- ligevægten befinder sig. - Alle ovenstående faktorer skal opfyldes for at der er tale om en ligevægt! Kigges der på alle x- værdierne i den kolonne, hvor ligevægten angiveligt skulle befinde sig. I denne antager alle værdierne - 2, hvorfor vi kan sætte flueben ved krav et. Herefter kigger vi på rækken af udbyttematrixen og y- værdierne heri. Det ses igen at alle tallene antager værdien - 2, hvorfor dette krav også er opfyldt. Det er dermed bevist at ovenstående model kan fremfinde en Nash- ligevægt 4. 4 Axelsen, Peter og Bo Kristensen, Lars Spilteori 9

10 Blandede strategier Ovenstående har vi som sagt beskæftiget os med de såkaldte rene strategier, hvor spillerne har én optimal strategi ift. modstanderens. Det er dog ikke altid at denne Nash- ligevægt er tilstede i et spil, enten fordi der f.eks. er tale om et nulsumsspil, som vi beskæftigede os med tidligere, eller der optræder flere ligevægte i problemstillingen. I situationer hvor dette er gældende, bliver spillerne derfor nød til at overveje deres strategier på andre måder. Dette gør spillerne ved at blande deres rene strategier, og med udgangspunkt i sandsynlighedsregning beregnes strategien spilleren skal vælge for at have størst mulig chance for at få det optimale output. For at overskueliggøre denne form for spilteoretisk problemstilling opstilles en udbyttematrix for et tilfældigt spil: b0 b1 a0 5 1 a1 2 4 I dette spil ses at der ikke er nogen Nash- ligevægt tilstede idet matrixen ikke opfylder de opstillede krav til ligevægts- talparret. For at beskrive dette kort er ligevægten ikke tilstede, idet der ikke findes en dominerende strategi, hvilket betyder at uanset hvilken strategi spiller 1 vælger, vil der altid være en strategi der vil resulterer i større output til spiller 2 og omvendt. Der er altså her tale om et nulsumsspil, også selvom spillerne skulle vælge den samme strategi. For at løse ovenstående problem kan de to spillere vælge at blande deres strategier, hvis dette altså tillades. For at forstå dette begreb tages der udgangspunkt i minimax- sætning. som lyder: Et topersoners nulsums- spil har en Nash- ligevægt, netop hvis: Dette er specielt gældende, hvis det tillades at bruge blandede strategier. 5 5 Harremoës, Peter og Brock, Niels Spil- og beslutningsteori 2010, 26. november - 10

11 Ovenstående siger blot af hvis spiller 1, som tages udgangspunkt i fra nu af, med strategierne (a1, a2) og spiller 2 med strategierne (b1,b2) gælder det at en Nash- ligevægt er tilstede hvis spiller 1 største minimum er lig med spiller 2 største maximum. Altså spiller 1 s mindste output er lig med spiller 2s største output. Når sådanne blandede strategier tillades findes der en fælles værdi også kendt som spillets værdi. En værdi som spiller 1s output afhænger af, og kan beskrives således. Bemærk V = værdi: Vspil > 0 = positiv middeloutputfor spiller 1 Vspil < 0 = negativ middeloutput for spiller 1 Vspil = 0 = middeloutput på 0 Ovenstående beskriver blot situationen for spiller 1, hvis spillets værdi er positiv, negativ og 0. Et middeloutput lig 0 er hverken optimalt for spiller 1 eller 2, da dette uanset modstanderens strategi vil give 0. Ovenpå denne konklusion ønsker vi at udregne ovenstående spils værdi samt de optimale strategier. hvilket gøres ved hjælp af en lineær optimering. Spiller 1 s strategier kaldes. Spiller 1 blander de to strategier således: OBS! Vi antager der ikke findes nogle dominerede strategier. 1 s og s, s 0: 1 Ovenstående strategi kalder vi for at og spiller 2s strategier kaldes fortsat (b0,b1). Lad os antage spiller 2 vælger strategien b0 dette vil resulterer i følgende middelværdi for kriteriefunktionen. Bemærk reglen f a, b = f a f(b) - hvis disse er uafhængige af hinanden: f a!, b! = 1 t f a!, b! + sf(a!, b! ) Ovenstående funktion har den generelle forskrift f x = ax + b, og kan altså udregnes således: 11

12 Grafen for ovenstående funktionsforskrift tegnes: Bemærk variablen x bruges i stedet for s af hensyn til CAS- værktøjet. Lad os nu antage at spiller 2 vælger b1, hvilket vil give en anden ret linje, som vil lede til følgende funktionsforskrift: Grafen tilhørende denne funktionsforskrift tegnes i samme koordinatsystem: 12

13 Ovenstående funktionsforskrifter f(as,b0) og f(as,b1) skærer hinanden i et givent punkt s (x på figuren). Da vi antager at fspiller1(a1,a2) = - fspiller2(b1,b2) og omvendt må det altså gælde at spiller 1 ønsker at mindske spiller 2 s kriteriefunktion. Skæringspunktet mellem de to linjer s, angiver derfor det optimale blandingsforhold af spiller 1s strategier. Dette skæringspunkt findes ved at sætte de to funktionsforskrifter lig hinanden og isolere s: Bemærk der anvendes CAS- værktøj til denne udregning. Spiller 1 skal altså blande sine strategier i blandingsforholdet 1/3, vi betegner dette s * =1/3, og strategien med dette blandingsforhold as *. For denne gælder: f(as,b0) = f(as,b1) Sættes dette ind i den tidligere opstillet formel fås: 1 s <=> 1! =! - hvor s 0: 1 6!! 6 Harremoës, Peter og Brock, Niels Spil- og beslutningsteori 2010, 26. november - 13

14 Ovenstående viser altså blot af spiller 1 skal vælge a1 eller a2! af gangene og den modsatte! strategi! af gangene.! Spillets værdi udregnes nu med brug af ovenstående værdier: Bemærk der igen anvendes CAS- værktøj. Det interessante i denne sammenhæng er om spiller 2 vil få samme spilværdi, hvis denne blander hans strategier i samme blandingsforhold. Dette tjekkes gennem samme fremgangsmåde som anvendt ved spiller 1. Vi springer dog de første udregninger over, og springer direkte til funktionsforskrifternes skæringspunkt, og kalder blandingsforholdet t: Ligninger sættes lig hinanden, og isoleres med hensyn til t: Spillets værdi udregnes: Det ses igen at spillets værdi er 3, hvorfor vi har fundet en Nash- ligevægt, da givet at spiller 1 vælger dette blandingsforhold for at maksimere det minimale output, så vil spiller 2s strategier give samme middeloutput. Dette betyder altså, at hvis blot spiller 1 benytter sig af blandingsstrategien, hvis begge spiller tænker rationelt, vil dette give en Nash- ligevægt kaldet: (as*,bt*), hvor bt* er den optimale blandingsstrategi for spiller 2. Ovenstående kan illustreres ved hjælp af følgende figur: 14

15 Ovenstående figur skal illustrere spiller 1 og spiller 2s taktik i form af parabler. Spiller 1 s strategi er rød og spiller 2s blå. Som beskrevet tidligere ønsker spiller 1 at minimere spiller 2s maksimum. Dette lykkes spiller 1 ved at finde det såkaldte saddelpunkt, som også svarer til den vandrette tangenthældning til de to grafer. Et punkt som defineres: f a, b! f a!, b! f(a!, b), hvor s s*, t t* 7 Ovenstående giver altså blot et udtryk for, at hvis spiller 1 afviger fra sin strategi, vil dette betyde et større middeloutput til spiller 2. Spiller 1 skal derfor finde saddelpunktet (Nash- ligevægten) og holde sig til denne strategi, da dette give rationel tænkning vil give det optimale middeloutput. På denne måde kom vi igennem nogle af de vigtigste og forholdsvis komplekse beregninger indenfor spilteori. Teorier som blev udarbejdet af specielt en mands ph.d. afhandling, som skabte nye indgange til den matematiske spilteoretiske verden. En mand kaldet John Nash. 7 Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi nr , Marts

16 John Nash Et smukt sind Der er altså ingen tvivl om at geniet John Nash stod bag revolutionerede tankegange, hvor han bl.a. gjorde op med liberaløkonomiens fader Adam Smiths tanker. En beslutning som udover dette også åbnede disse nye indgange til den spilteoretiske verden, som ikke blot krævede mod og en enormvis af selvsikkerhed, men også en arbejdsmoral der strakte udover det normale. Dette var dog alle egenskaber geniet John Nash besad, og måske i en så ekstrem grad at det førte ham ud på galskabens vildfarende veje. Sådan skildres geniet John Nash primært i dramafilmen Et smukt sind, som følger matematikeren gennem hans bemærkelsesværdigeliv på godt og ondt. En film som blev udgivet i 2001 og senere hen fik stor anderkendelse bl.a. gennem flere oscarstatuetter. En film hvis tema ikke har fokus på ligevægten og de spilteoretiske vidundere, men derimod manden bag disse. En mand hvis iver efter at finde sin originale idé og blive matematisk anderkendt, førte ham ud i en decideret psykologisk rutsjebanetur, der medførte store nederlag men også sejre for den geniale matematiker. Året er 1947 på Princeton universitet. Den ivrige unge hjerne John Nash har fået tildelt det prestigefyldte Carnegie- stipendium, og befinder sig i en situation, hvor den kolde krig er under opsejling. Dette har medført en enorm brug for kloge matematiske hoveder, der skal hjælpe USA med bekæmpelsen af det kommunistiske Sovjetunionen. En problemstilling som fra filmens første sekund iscenesættes gennem den indledende tale forstanderen for universitetet holder til de mange nye matematiske genier. For at triumfere, behøver vi resultater, som kan fremvises og bruges. Hvem er jer bliver den næste Morse? Den næste Einstein? I dag lægger vi Amerikas fremtid i jeres hænder 8. Dette citat kombineret med en storslået baggrundsmusik og en fokuseret John Nash i billedet, ligger fra filmens start op til én ting. Denne matematiker vil udrette noget stort og originalt. En fakta som hele filmens tema bygger på, og samtidig skaber rammerne for en autentisk skildring af John Nash liv og fremgangsmetoder, der specielt gennem filmens start afspejles. Jeg må finde en original ide kun sådan kan jeg blive velanset 9. Således udtaler Nash sig til sin værelseskammerat Charles, og udviser dermed den tankegang der fodre matematikeren med gåpåmod og lyst til at udvikle noget banebrydende. En tankegang som ikke blot påvirkes 8 01:29 Et smukt sind 9 08:21 Et smukt sind 16

17 af denne sensationslyst, men også udspringer fra et konkurrencepræget miljø på universitetet. Nash befinder sig nemlig blandt matematikere som Nielson, der brød en Japansk kode eller Martin Hansen der hjalp med at bryde Nazi- koderne 10, hvilket har medført enorm respekt og anderkendelse, hvilket den gode John Nash på alle måder også ønsker at få. En faktor som afspejles tydeligt under forstanderens tale, hvor kameravinklen vises fra Nash synspunkt, hvor der kigges op på den belyste Martin Hansen 11. Dette resulterer i en konstant høj arbejdsindsat, som dog ikke bærer præg af nogen form for traditionelle fremgangsmetoder, men derimod en original arbejdsmåde, som på mange måder afspejler den sande John Nash. Undervisning vil sløve din hjerne ødelægge potentialet for en autentisk kreativitet. 12 Denne udtalelse viser på mange punkter den geniale galskab, der førte geniet ud i hans livs bedste opdagelse. For som filmen afslører går den særpræget matematiker ikke, ligesom resten af hans studiekammerater, til forelæsninger og normal undervisning. Tiden bruges nemlig på at lære alle de matematiske fakulteter fra bunden, og på denne måde få et større kendskab til disse. En fremgangsmåde som tvinger Nash ud i en enorm og utraditionel arbejdsiver, der skildres gennem den personbundne 3.personsfortæller, hvilket resulterer i et meget autentisk forløb gennem hele hans niches fødsel. Vinduer fyldt med matematiske formler, skriveborde som kastes ud fra 3. sal og lussinger fra den smukke tøs i baren, er blot nogle af de konsekvenser som udspringer fra Nash konstante trang til at finde på en original ide. En ide som skal vise sig at komme til ham under noget så bemærkelsesværdigt som et barbesøg. Nash sidder endnu engang og skiller sig ud fra mængden idet alle de matematiske bøger er medbragt i baren. Når man konkurrer, er der altid nogen, der taber. Hvis nu jeg kunne opnå en ligevægt, domineret af flere udfald uden tabere. Forestil dig effekten på konflikter, valutaveksling 13. Således udtaler Nash sig til Charles tidligere i filmen, og giver for første gang udtryk omkring den tidligere nævnte Nash- ligevægt. En ide som geniet finder frem til præcist 20 minutter inde i filmen i denne nævnte barscene. En pige som alle drengenes opmærksomhed rettes imod, træder ind ad døren, hvilket medfører en klar konkurrencestemning, idet alle vil have the blond. Dog vælger Nash, igen takket være sin 10 04:05 Et smukt sind 11 02:03 Et smukt sind 12 09:14 Et smukt sind 13 00:12 Et smukt sind 17

18 arbejdsiver, at ignorer den faktor at kvinden kigger på ham, for i stedet at se en matematiske tilgang omhandlende, hvordan alle drengene kan få en pige hver, og ikke blot minimere deres chancer ved alle at gå efter den smukkeste. Altså der er her tale om en konkurrence uden tabere. Den ellers til tider egoistiskpræget John Nash, der udelukkende tænker på sin egen ide, får altså gennem en fællesskabstankegang udarbejdet hans niche. Der er altså her tale om to modsætninger, hvor Nash springer fra den ene modsætning til den anden, hvorefter der sker en opblomstring. I dette tilfælde brydes den egoistiske facade af den fælleskabsorienteret tankegang, der i sidste ende fører til hans niche (ligevægten). En komposition som gennem hele filmen bruges til at afspejle opblomstringer eller nedture i Nash liv. Dette ses bl.a. under selve udarbejdelsen af det revolutionerende spilteoretiske begreb, hvor geniet sidder i sit vindue og skriver sin ph.d., mens årstiden går fra vinter til sommer. Dette modsætningsskift i form af de ændrede årstiger bruges altså her til at illustrere Nash store gennembrud, og dermed signalerer lysere tider. Samtidig bruges underlægningsmusikken til at skabe en storslået atmosfærer og følelse, gennem spændingsmusik samt energiholdige og glade toner, hvilket også er en aspekt som afspejler denne modsætningsopbyggende komposition. Underlægningsmusikken bruges i filmen Et smukt sind til at skabe en helt unik stemning omkring de forskellige sekvenser, hvilket ikke mindst illustreres gennem anden halvdel af filmen, som primært omhandler Nash sygdomsforløb. Præcis halvvejs i Et smukt sind indlægges John Nash på en psykiatrisk afdeling med sygdommen skizofreni 14. En sygdom der har resulteret i paranoide forestillinger samt hallucinationer, som ikke blot har ført John Nash ud i en manglende kontakt til virkeligheden, men samtidig også ført læseren ud i skizofreniens mørke hjørner. Filmen anvender som sagt den personbundet 3.personsfortæller, som konstant er knyttet til John Nash. En faktor som resulterer i et meget autentisk forløb, der med filmens sene decideret afsløring af sygdommen og dermed hallucinationerne, får frembragt en følelse af at have haft skizofreniens dystre konsekvenser helt inde tæt på kroppen. Dette kombineret med den omtalte underlægningsmusik udgør tilsammen en farlig cocktail af gådefulde handlinger og overraskende afsløringer, da det viser sig Nash tætteste bekendtskaber blot er hallucinationerne, og en tophemmelige mission med kodebrydning, han har arbejdet på, blot 14 1:03 Et smukt sind 18

19 er indbildning. Afsløringer som alle forstærkes af endnu et modsætningsskift, som i dette tilfælde sker i den vigtige underlægningsmusik. Under delenene af filmen hvor matematikgeniet finder de omtalte koder i aviser, bøger osv. bruges baggrundstonerne til at skabe den tidligere nævnte storslået atmosfære gennem spændingsmusik og ophøjede toner. Dette ændrer sig dog efter indlæggelsen, hvor kodebrydningen går fra at være en optur i Nash liv til at være et kæmpe tilbageslag, der forhindrer ham i at udnytte hans smukke sind. Dette illustreres gennem dette modsætningsskifte i musikken, hvor de glade toner udskiftes med dyster og nærmest gyseragtige musik, hver gang Nash stifter bekendtskab med den ene af hans tre hallucinationer William Parcher, som tvinger ham ud i den tophemmelige mission med kodebrydningen for at kunne lokalisere en sovjetisk atombombe. Underlægningsmusikken bruges altså ikke blot til at skabe en helt bestemt stemning i de givne situationer, men har samtidig virket som en manipulerende effekt, der har medført en så troværdig tilgang til hele Nash sygdom inden indlæggelsen, at læseren selv kan identificerer sig med Nash og skizofreniens konsekvenser. Dette er altså endnu et eksempel på et modsætningsskifte i filmen, der illustrerer enten Nash opture eller nedture, og er en komposition som bruges gennem hele filmen. Skildringen af John Nash sygdomsforløb i Et smukt sind skal dog anses med kritiske briller idet filmen som sagt har mere fokus på at skabe et billede af et geni med hjertet på det rette sted, og derfor har undladt flere vigtige elementer om denne person, som bl.a. står beskrevet i bogen, hvor filmen er baseret ud fra. 15 Derudover ligger filmen som tidligere nævnt vægt på historien bag de matematiske udregninger, og ikke selve teorien. Derfor flyttes fokus over på andre elemeter i Nash liv såsom kærlighedshistorien om hans studerende, og hans måske lidt for overspillet sygdomsforløb. Dog er der ingen tvivl om at Et smukt sind giver et unikt og stadig sandfærdigt indtryk af en mand, der formåede gennem hans originale fremgangsmetoder at skabe en banebrydende teori, men samtidig også at føre ham selv ud i en uoverskuelig sygdomskamp. En sygdom som ikke mindst udsprang af hans iver efter anderkendelse, originale ideer og arbejdsmetoder, der resulterede i en meget sen sygdomsopdagelse, og altså en langt svære kamp end nødvendigt. En kamp som Nash længe kæmper med, hvor selv ikke indlæggelsen ender med at gøre ham noget godt. Geniet vælger Novrup Redvall, Eva Medrivende matematik, Information 2002, 1. Marts 19

20 derfor, karakteristisk nok, at tage sagen i egen hænder, da han endelig forstår at hallucinationerne ikke er virkelig 16, grundet hallucinationen unge Marcee ikke bliver ældre. En skildring som også har mødt kritik, da denne selvhelbredelse har et meget lille fokus område i filmen, hvilket medfører et større fokus på de egentlige nedture i Nash liv. 17 Nedture Nash formår at overvinde ikke mindst grundet hans tilbagevenden til Princeton, hvor fokusset på hallucinationerne flyttes over på matematikken i stedet. Dette medfører en markant opblomstring gennem de næste mange år, der forholdsvist hurtigt gennemgås i sidste del af filmen. En opblomstring som ikke mindst illustreres af filmens ændrende farve- og lyssammensætning, hvor farverne går fra triste og kolde under sygdomsforløbet til lysere samt varmere under hele selvhelbredelsen på Princeton. Altså endnu et modsætningsskifte som illustrerer en optur i Nash liv. En optur som toppes af Thomas Kings besøg i 1994, hvor den gode Nash indstilles til Nobels Fredspris. En nominering der fører til filmens slutning, hvor John Nash i Sverige under overrækkelsen, holder en hjerteskærende tale til den måske vigtigste person i hans liv 18. Hans kone Alicia. En kone som satte sin egne behov sit, og i stedet fokuserede på at holde sammen på en familie, der mest af alt var på mig mod afgrunden. En egenskab som Nash takker hende for gennem den rørende tale, og altså tydeligt viser at hans optur er permanent John Nash smukke sind er tilbage. 16 1:34 Et smukt sind 17 2:00 Et smukt sind 20

21 En uligevægtig mand At geniet John Nash var en meget speciel mand med meget specielle matematiske evner, er der vist ingen tvivl om. Evner som blev brugt til udarbejde denne banebrydende teori, og ikke mindst skabe rammerne for revolutionerede tendenser indenfor den økonomiske verden. Det interessante i denne sammenhæng er dog, hvordan en mand så speciel kunne udrette noget så stort, og ikke mindst hvordan det var muligt, selvom han var hårdt plaget af sygdom. Et helt præcist svar på dette spørgsmål, bliver nok ikke fundet foreløbigt. Dog findes der faktorer i Nash liv som skildres gennem diverse medier, der kan give en ide omkring, hvordan denne geniale galskab kunne fører til et matematisk vidunder. Faktorerne som afspejles i Et smukt sind i form af det konkurrencepræget miljø, og Nash konstante arbejdsiver og originale arbejdsmetoder, er blevet fremhævet i filmanalysen, så disse vil vi ikke have den store fokus på i følgende afsnit. Nej, andre og måske endnu vigtigere elementer i Nash bemærkelsesværdige liv (som lever endnu), kan måske endnu bedre belyse det interessante spørgsmål. Hvordan kunne du. En matematiker, en mand viet til fornuft og logik... Hvordan kunne du tro, at fremmede væsner fra det ydre rum rekrutterede dig til at redde verden? Hvordan kunne du? Fordi,«sagde John Nash langsomt og nærmest til sig selv,»jeg fik de idéer om overnaturlige væsner på samme måde, som jeg fik mine matematiske idéer. Derfor tog jeg dem seriøst. 19 Således svarede John Nash til en af sine matematiske venner George Mackey, da ovenstående spørgsmål blev stillet. Et svar som afspejler en mand, der ikke lærte matematik, som os andre, men i stedet fik resultater gennem visioner og indblik. Nash var i 1959 anerkendt og anset som et geni, der ikke blot tænkte hurtigere, koncentrerede sig mere intenst og huskede mere, men også som én, der fik indsigter, ingen anden kunne få 20. En indsigt geniet betroede sig til, og gennem denne fik udarbejdet storslået teorier. Teorier som blev lært fra bunden idet Nash nærede en dyb afsky for blot at absorbere viden og en stærk tro på at lære tingene ved selv at gøre alt fra grunden 21. En tro som denne der muligvis kunne have fodret Nash hjerne med matematiske begreber lige fra barnsben, og dermed givet ham en større indsigt og tro på egne evner, som ikke mange andre matematikere har haft. Alt sammen Bo Sørensen, Rasmus Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand, Information 2011, 28. nov. 20 ibid. 3. afsnit 21 ibid. 3. afsnit 21

22 faktorer som afspejler sig i Nash fremgangsmåde, der bliver beskrevet i artiklen Lyset der gik i sort. Nash så den matematiske situation som et billede i sit hoved. Løsningen var der, men ikke alle trinene, der skulle til for at føre et egentligt bevis.»visionerne kom typisk tidligt i processen, og han konstruerede de tunge arbejdskrævende beviser bagefter. En sætning som beviser Nash helt unikke tilgang til matematikken, men som dog ikke kun hjalp ham gennem matematikkens svære gåder. I Et smukt sind får matematikeren en af disse visioner under sygdomsforløbet, der for alvor giver ham troen på, at hallucinationerne ikke er virkelige. 22 En Vision der førte til Nash selvhelbredelse og senere hen muligheden for at undervise på Princeton igen. Udover disse nærmest overnaturlige egenskaber geniet besad, var der også en helt anden ting, som påvirkede matematikeren til at gå sin egne veje. Han yndede at sige, at der kun var tre egentlige genier på MIT,»og jeg er nok den klogeste. Nash udstrålede altså en enorm selvsikkerhed, der muligvis var med til at give ham modet til en fremlæggelses overfor spilteoriens fader John von Neumann, hvor hans, ifølge John Nash, mangelfulde teorier blev belyst. Fejl som von Neumann dog valgte og afvise, hvilket dog ikke slog den gode John Nash ud. I stedet for at lade sig påvirke at en af spilteoriens største hjerner, valgte det unge geni i stedet at arbejde endnu hårdere og motiveret for at bevise sin holdte stand 23, hvilket den i den grad gjorde. Et kraftig eksempel på en målrettet mand, der grundet sin selvsikkerhed, var stensikker på at hans matematiske viden ville række langt nok til at overbevise skeptikerne. John Nash fik udarbejdet sin ligevægts- teori i sin ph.d.- afhandling på Princeton i starten af de 19. Århundrede. En teori som i starten ikke blev anderkendt, som at være matematisk. 24, men dog senere hen skulle vise sig, at være en af matematikkens større gennembrud. Et gennembrud der blev skabt af en mand, hvis matematiske forståen kom gennem visioner, selvsikkerhed og enormt arbejdsiver. En mand som ikke lod sig slå ud af nedslående tanker og blikke, men i stedet lod disse fungerer som motiverende faktorer, der i 1994 resulterede i nobelprisens anderkendelse. 22 1:34 Et smukt sind Bo Sørensen, Rasmus Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand, Information 2011, 28. nov. 24 ibid. afsnit blærerøv. 22

23 Teoriens anvendelse Nash- ligevægten blev som sagt for alvor først anderkendt i 1994, da geniet sammen med to kollegaer fik overrakt Nobelprisen med følgende begrundelse. John Nash Deres analogier for ligevægt, ikke- kooperative spil og alle Deres andre bidrag til spilteori har haft stor betydning for økonomisk teori de sidste årtier En begrundelse der beskriver præcist, hvordan John Nash teori hovedsagligt bliver anvendt i nutidens samfund, hvor denne har haft stor betydning for økonomiske forhandlinger men også, hvordan man inden for evolutionærbiologien beskriver arternes konkurrence med hinanden over tid 25. Lad os tage et eksempel med udgangspunkt i en økonomisk forhandling mellem to firmaer, som er blevet hårdt ramt af finanskrisen: To teleselskaber med økonomiske problemer ønsker at opkøbe et andet teleselskab, så de kan slå alle tre sammen til et stort, og dermed øge deres indtjening. Vi betegner udbytte i dette tilfælde som økonomisk stabilitet, og opstiller de tidligere nævnte udbyttematrix: Hjælpe med opkøb Ikke opkøbe Hjælpe med opkøb 4, 4 2, 0 Ikke opkøbe 0, 2-2, - 2 Ovenstående Nash- ligevægt befinder sig i at begge hjælper med opkøb af firmaet, da dette vil stille begge parter optimalt idet deres økonomiske ansvarlighed har fået tildelt værdien 4. Hvis det ene firma opkøber og det andet ikke gør vil dette give en økonomisk stabilitet på 0 til firmaet, der ikke opkøber og derimod øge den økonomiske stabilitet til 2, hos det firma der opkøber. Vælger ingen at opkøbe, står begge selskaber med en økonomisk stabilitet på - 2, og de risikerer at gå konkurs. I dette tilfælde giver Nash- ligevægten altså den strategi, der bedst kan svarer sig for begge parter, givet begge parter tænker rationelt Bo Sørensen, Rasmus Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand, Information 2011, 28. nov. 23

24 Lad os nu forestille os at det ene firma er en del mindre end det andet, og dermed ikke kan investere med ligeså mange penge som det store firma. Andre overvejelser såsom budgetter, teknologisk udvikling osv., skal altså inddrages i vores beregninger nu. Dette vil give følgende udbytte matrix. Det store firma har rækkerne, og det lille firma søjlerne: Hjælpe med opkøbe Ikke opkøbe Hjælpe med opkøb 1,1 0, 2 Ikke opkøbe 2, 0-2, - 2 Ovenstående viser nu, at det der tidligere var en Nash- ligevægt i form af (Opkøbe, opkøbe), er ikke længere en mulighed, da det lille selskab vil få mere ud af at ændre strategi til ikke at hjælpe med opkøb. Dette giver dog problemstillingen, at i begge de markerede Nash- ligevægte taber den ene. Det er derfor en mulighed at ingen vælger at opkøbe selskabet, og altså ender med det værst mulig udfald (konkurs). Selskaberne har dog nu den mulighed to play hard, hvor det gælder om at overbevise det andet selskab om, at man er villig til at løbe risikoen ved ikke at opkøbe, og dermed gå konkurs. Dette kan få det andet selskab til at ryste i bukserne, og dermed hjælpe med opkøbet. Det er altså ikke muligt, at finde en decideret løsning i ovenstående problemstilling, men ved hjælp af blandede strategier, som er gennemgået i teoriafsnittet, kan selskaberne ved hjælp af disse få nogle bedre grundlag for deres beslutninger. Således blev et eksempel på anvendelsen af Nash teori anvendt. Dog findes der mange flere og mere komplekse eksempler på, hvordan hans begreber i nutidens samfund benyttes. 24

25 Konklusion John Nash var altså der manden, som for alvor fik sat begrebet spilteori på det matematiske verdenskort. En faktor han fik skabt gennem unikke arbejdsmetoder og ideer, der bestod i visioner og indsigter i matematiske aspekter, som kun dette geni kunne ske. Alt sammen noget der resulterede i den banebrydende teori, Nash- ligevægten. En ligevægt der beskriver en tilstand i et spil, hvor alle parter, givet rationel tænkning, kan ende i et punkt, hvor det ikke kan svare sig at ændre strategi for nogle spillere, givet alle har forstået denne faktor. En ligevægt som dog ikke altid er tilstede, men kan forekomme, hvis spillerne tillades at bruge de nævnte blandede strategier. En ligevægt som blev udviklet gennem simpel og komplekse gennemgået matematiske udregninger, der alle er udtryk for den originale ide geniet fandt på takket være et barbesøg i Princeton. Disse begreber blev udviklet takket være hans enorme arbejdsiver, der dog ikke kun førte matematiske vidunderteorier med sig, men også førte ham ud skizofreniens dystre verden, som skildres i filmen Et smukt sind, hvor matematikeren følges i en indædt kamp mellem den virkelig verden og fantasiens skræmmende overtag. En kamp som Nash gennem længere tid arbejder på at vinde, hvor han gennem en selvhelbredende fremgangsmetode får sat skik på den uhyggeligt sygdom. En helbredelse som toppes af en Nobelprismodtagelse i 1994, hvor matematikkens døre for alvor åbner og op, og byder geniet John Nash indenfor i deres videnskabelig verden. Denne modtagelse i 1994 blev overrakt takket være Nash teoriers anvendelse indenfor flere områder end geniet selv havde forestillet sig. Områder som dækker over alt fra økonomiske forhandlinger til biologiske kampe, og som i dag bruges i flittigt i nutidens samfund. En teori som blev skabt af en mand, der som en af de få gennemskuede matematikkens gådefulde mysterier, men som aldrig formåede at gennemskue sin egen hjerne. Mine damer og herrer Geniet John Nash. 25

26 Litteraturliste 1) Howard, Ron - Et smukt sind, ) Howard, Ron Bonusmateriale, ) Bo Sørensen, Rasmus Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand, Information 2011, 28. nov. - 4) Kragh Jakobsen, Rasmus Lyset der gik i sort, Information 2002, 4. marts 5) Novrup Redvall, Eva Medrivende matematik, Information 2002, 1. marts 6) Harremoës, Peter og Brock, Niels Spil- og beslutningsteori 2010, 26. november - 7) Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi nr , Marts. 8) Filmanalyseark udleveret af Anne- Marie Østergaard. 9) Axelsen, Peter og Bo Kristensen, Lars Spilteori AD&url=http%3A%2F%2Ffou.emu.dk%2Foffentlig_download_file.do%3Fid%3D &ei=p_- SVI6FNs7sO- - igygb&usg=afqjcnglzktopyuj4zjm0cvdl5biraklow&bvm=bv ,d.zwu 26

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod?

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod? Paradigmer Fastlåst eller innovativ? Hvem er lyst til det første? Vi vil vel alle gerne være innovative? Alligevel kan vi opleve, at vi også selv sidder fast i nogle mønstre og har svært ved at komme ud

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse

Læs mere

Hvilke ord 'trigger' dine kunder?

Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Af Rikke Moos, Webskribenten Du kender talemåden: vælg dine ord med omhu. Et fornuftigt råd, der er værd at følge, hvis du vil undgå at blive misforstået af andre. Men

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Spilteori. Peter Axelsen og Lars Bo Kristensen. Et tværfagligt undervisningsmateriale i matematik og samfundsfag fra

Spilteori. Peter Axelsen og Lars Bo Kristensen. Et tværfagligt undervisningsmateriale i matematik og samfundsfag fra Spilteori Af Peter Axelsen og Lars Bo Kristensen Et tværfagligt undervisningsmateriale i matematik og samfundsfag fra Materialet er udarbejdet med støtte fra Undervisningsministeriet, og kan frit kopieres

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Dansk/historie-opgaven

Dansk/historie-opgaven Dansk/historie-opgaven - opbygning, formalia, ideer og gode råd Indhold 1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 OPGAVENS OPBYGNING/STRUKTUR... 2 2.1 FORSIDE... 2 2.2 INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 2.3 INDLEDNING... 2 2.4

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Akademisk tænkning en introduktion

Akademisk tænkning en introduktion Akademisk tænkning en introduktion v. Pia Borlund Agenda: Hvad er akademisk tænkning? Skriftlig formidling og formelle krav (jf. Studieordningen) De kritiske spørgsmål Gode råd m.m. 1 Hvad er akademisk

Læs mere

Eksempelvis: Fra matematik delen:

Eksempelvis: Fra matematik delen: Del 1. Vi har igennem hele bloggen skrevet i et enkelt og forståeligt sprog, da det er vigtigt, at vores målgruppe ikke bliver begrænset. *Udover i vores reform-tale, da det er politisk og derfor formelt.

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Sådan får du booket. flere møder!

Sådan får du booket. flere møder! Sådan får du booket flere møder! Mødebooking er en svær disciplin, som kræver øvelse at mestre. Det handler grundlæggende om at forstå menneskets psykologi og forskellige sindstilstande. Disse spiller

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition.

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition. Komposition - om at bygge et billede op Hvis du har prøvet at bygge et korthus, ved du, hvor vigtigt det er, at hvert kort bliver anbragt helt præcist i forhold til de andre. Ellers braser det hele sammen.

Læs mere

Alle spørgsmålene er samlet i klaser af fire. Ud for hver klase af fire udsagn skal du vælge det udsagn, som du synes siger mest om dig.

Alle spørgsmålene er samlet i klaser af fire. Ud for hver klase af fire udsagn skal du vælge det udsagn, som du synes siger mest om dig. Test til de fire tænkestile Jeg har rubriceret spørgsmålene ved hjælp af Robert Dilts og Gregory Bateson s logiske niveauer. Spørgsmålene retter sig derfor mod: Hvilke omgivelser og rammer tænkestilen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

MENTORVÆRKTØJER ONLINE

MENTORVÆRKTØJER ONLINE S T O R I E S HUMAN CHANNEL PRÆSENTERER MENTORVÆRKTØJER ONLINE 12 ONLINE LÆRINGSFILM Mentorværktøjer har udviklet 12 onlinelæringsfilm, som trin for trin underviser i det at være mentor. Filmene gør mentor

Læs mere

# 1: Forbindelsen mellem tale og situation forsvandt. Folkemødet: Politikerne glemte Bornholm og talte til tv et - Retorikforlaget

# 1: Forbindelsen mellem tale og situation forsvandt. Folkemødet: Politikerne glemte Bornholm og talte til tv et - Retorikforlaget Partilederne på Folkemødet fik en ellers sjælden mulighed for at tale direkte til et bredt publikum med en politisk interesse i toppen af skalaen. Desværre var de fleste af talerne kedelig skabelonretorik

Læs mere

Trivsel og Psykisk arbejdsmiljø

Trivsel og Psykisk arbejdsmiljø Trivsel og Psykisk arbejdsmiljø 22. september 2014 Trivsel og psykisk arbejdsmiljø Program mandag den 22. september 10.00 Velkomst - Ugens program, fællesaktiviteter og præsentation 10.35 Gruppearbejde:

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Faglig vision. På skole- og dagtilbudsområdet. Skole- og dagtilbudsafdelingen September 2013 Billeder:Colourbox.dk

Faglig vision. På skole- og dagtilbudsområdet. Skole- og dagtilbudsafdelingen September 2013 Billeder:Colourbox.dk Faglig vision På skole- og dagtilbudsområdet Skole- og dagtilbudsafdelingen September 2013 Billeder:Colourbox.dk Faglig vision I Norddjurs Kommune ønsker vi, at alle børn i skoler og dagtilbud skal være

Læs mere

Forhandlingsteknik for erfarne forhandlere

Forhandlingsteknik for erfarne forhandlere Forhandlingsteknik for erfarne forhandlere Forhandlingsteknik for erfarne forhandlere Skab resultater med større power og personlig gennemslagskraft Personlig gennemslagskraft styrker dine forhandlinger

Læs mere

Faglig vision. På skole- og dagtilbudsområdet. Skole- og dagtilbudsafdelingen September 2013 Billeder:Colourbox.dk

Faglig vision. På skole- og dagtilbudsområdet. Skole- og dagtilbudsafdelingen September 2013 Billeder:Colourbox.dk Faglig vision På skole- og dagtilbudsområdet Skole- og dagtilbudsafdelingen September 2013 Billeder:Colourbox.dk Faglig vision I Norddjurs Kommune ønsker vi, at alle børn i skoler og dagtilbud skal være

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

4 ledtråde til at hjælpe dig i arbejdet med dit Solar Plexus

4 ledtråde til at hjælpe dig i arbejdet med dit Solar Plexus 4 ledtråde til at hjælpe dig i arbejdet med dit Solar Plexus Jes Dietrich Dette er et lille udsnit fra min bog Hjertet og Solar Plexus. Nogle steder vil der være henvisninger til andre dele af bogen, og

Læs mere

De Syv Stråler. - den nye tidsalders psykologi 7:8. Erik Ansvang. www.visdomsnettet.dk

De Syv Stråler. - den nye tidsalders psykologi 7:8. Erik Ansvang. www.visdomsnettet.dk 1 De Syv Stråler - den nye tidsalders psykologi 7:8 Erik Ansvang www.visdomsnettet.dk 2 De Syv Stråler den nye tidsalders psykologi 7:8 Af Erik Ansvang Strålerne og mennesket Alt er energi. Mennesket er

Læs mere

Vågn op til dit liv! Den virkelige opdagelsesrejse er ikke at finde nye landskaber, men at se dem med nye øjne

Vågn op til dit liv! Den virkelige opdagelsesrejse er ikke at finde nye landskaber, men at se dem med nye øjne Vågn op til dit liv! Den virkelige opdagelsesrejse er ikke at finde nye landskaber, men at se dem med nye øjne Kilde: Mindfulness Mark Williams & Danny Penman At skifte perspektiv Du sidder på en bakketop

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Fremtidens menneske det perfekte menneske? (da-bio)

Fremtidens menneske det perfekte menneske? (da-bio) Fremtidens menneske det perfekte menneske? (da-bio) Jeg har valgt at beskæftige mig med fremtidens menneske. For at belyse dette emne bedst muligt har jeg valgt fagene biologi og dansk. Ud fra dette emne,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

5 gode råd om storytelling & branding. wort.dk / Lasse Juhl Nielsen

5 gode råd om storytelling & branding. wort.dk / Lasse Juhl Nielsen 5 gode råd om storytelling & branding wort.dk / Lasse Juhl Nielsen wort.dk / Lasse Juhl Nielsen 5 gode råd om storytelling & branding Jeg er humanist cand. mag. i litteraturhistorie, og på mange måder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Orientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave

Orientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave Fra: http://www.emu.dk/gym/fag/en/uvm/sideomsrp.html (18/11 2009) November 2007, opdateret oktober 2009, lettere bearbejdet af JBR i november 2009 samt tilpasset til SSG s hjemmeside af MMI 2010 Orientering

Læs mere

Skab kraft i fortællingen

Skab kraft i fortællingen Skab kraft i fortællingen Dette er et værktøj for dig, som vil: - Brænde igennem med dine budskaber på små som store møder. - Gøre dine ord og billeder til en del af dine medarbejderes forståelse. - Skabe

Læs mere

1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2

1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2 SRO-opgaven - opbygning, formalia, ideer og gode råd Indhold 1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2 2.1 OPBYGNING/STRUKTUR... 2 2.2 FORSIDE... 2 2.3 INDHOLDSFORTEGNELSE... 3 2.4 INDLEDNING...

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

MÅL. Guide. Drøm om fremtiden og kom i. 1sid0er. Styrk dit liv med Chris MacDonald. November 2013 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.

MÅL. Guide. Drøm om fremtiden og kom i. 1sid0er. Styrk dit liv med Chris MacDonald. November 2013 - Se flere guider på bt.dk/plus og b. Foto: Scanpix Guide November 2013 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus Drøm om fremtiden og kom i 1sid0er MÅL Styrk dit liv med Chris MacDonald Drøm om fremtiden og kom i mål Vi er de eneste levende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

Type: AT-synopsis Fag: Fysik og Historie Karakter: 7

Type: AT-synopsis Fag: Fysik og Historie Karakter: 7 Indledning og problemformulering Anden verdenskrig blev afsluttet i 1945 og det lod USA i en fronts krig med Japan. Den 6. august 1945 kastet USA bomben little boy over Hiroshima. Man har anslået at 80.000

Læs mere

Undervisningsevaluering Kursus

Undervisningsevaluering Kursus Undervisningsevaluering Kursus Fag: Matematik A / Klasse: tgymaauo / Underviser: Peter Harremoes Antal besvarelser: ud af = / Dato:... Elevernes vurdering af undervisningen Grafen viser elevernes overordnede

Læs mere

Vil du have 15-20 minutter mere om dagen?

Vil du have 15-20 minutter mere om dagen? Vil du have 15-20 minutter mere om dagen? Af: Søren Dybdal, NYE Visioner & Niels Overgaard, No Communication Du kan få mere fra hånden på kortere tid, hvis du lærer at arbejde mere effektivt. Denne artikel

Læs mere

af konkurrence med mig selv.

af konkurrence med mig selv. 4 Da jeg så Michelle første gang, var det som at træde ind i en film om kz-lejre. En lille fugl af skind og ben, hår over det hele og med et skræmmende sammensurium af belastede organer. Men jeg så også

Læs mere

Metadon fortsat den modvillige hjælp?

Metadon fortsat den modvillige hjælp? STOF nr. 3, 2004 TEMA Modsætninger Metadon fortsat den modvillige hjælp? Narkotikapolitikkens og behandlingssystemets forhold til metadon og behandling er ikke uden indbyggede modsætninger. Metadonbrugeres

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 0+1: Bliv mentalt klar til at skrive SRP

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 0+1: Bliv mentalt klar til at skrive SRP Mere end blot lektiehjælp Få topkarakter i din SRP 0+1: Bliv mentalt klar til at skrive SRP Hjælp til SRP-opgaven Sidste år hjalp vi 3.600 gymnasieelever med en bedre karakter i deres SRP-opgave. Oplev

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Information til børn og unge med OCD. Hvad er OCD? Psykologerne Johansen, Kristoffersen og Pedersen

Information til børn og unge med OCD. Hvad er OCD? Psykologerne Johansen, Kristoffersen og Pedersen Information til børn og unge med OCD. Hvad er OCD? Psykologerne Johansen, Kristoffersen og Pedersen 1 Introduktion Psykologerne Johansen, Kristoffersen & Pedersen ønsker at sætte fokus på OCD-behandling

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Fattigdom og nøjsomhed

Fattigdom og nøjsomhed Fattigdom og nøjsomhed v. Jesper Bækgaard og Line Lee Horster, Give-Egnens Museum Indledning På Give-egnen er vi på de fattige jorde. Sandet og heden har præget og præger selvopfattelsen. Nøjsomheden har

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Guide: Utroskab - sådan kommer du videre

Guide: Utroskab - sådan kommer du videre Guide: Utroskab - sådan kommer du videre Ingen af os har lyst til, at vores partner er os utro. Det får os til at føle os fravalgt, nedprioriteret og svigtet og gør rigtig ondt. Alligevel er utroskab udbredt

Læs mere

1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i?

1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i? 1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i? 3: Hvis du har deltaget i mindre end halvdelen af kursusgangene bedes du venligst begrunde hvorfor har deltaget

Læs mere

Den danske økonomi i fremtiden

Den danske økonomi i fremtiden Den danske økonomi i fremtiden AT-synopsis til sommereksamen 2008 X-købing Gymnasium Historie og samfundsfag Indledning og problemformulering Ifølge det økonomiske råd vil den danske økonomi i fremtiden

Læs mere

Fremtiden visioner og forudsigelser

Fremtiden visioner og forudsigelser Fremtiden visioner og forudsigelser - Synopsis til eksamen i Almen Studieforberedelse - Naturvidenskabelig fakultet: Matematik A Samfundsfaglig fakultet: Samfundsfag A Emne/Område: Trafikpolitik Opgave

Læs mere

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing 10 Skitur til Østrig Faglige mål Kapitlet Skitur til Østrig tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Budget og opsparing: kunne udarbejde budget og regnskab, kende forskel på de to begreber samt vide

Læs mere

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel

Læs mere

visualisering & Lær at håndtere usikkerhed 3 effektive øvelser

visualisering & Lær at håndtere usikkerhed 3 effektive øvelser visualisering & LIVS K VALI T E T Lær at håndtere usikkerhed v e d p r æ s t a t i o n e r 3 effektive øvelser p r o f e s s o r, c a n d. p syc h., d r. m e d. B o bb y Z a c h a r i a e Ro s i n a n

Læs mere

Socialisering. - Hvordan og hvorfor det er så vigtigt. Hunden har et medført socialt behov. Racens betydning for socialisering.

Socialisering. - Hvordan og hvorfor det er så vigtigt. Hunden har et medført socialt behov. Racens betydning for socialisering. Socialisering - Hvordan og hvorfor det er så vigtigt Skrevet af Eksamineret Hundeadfærdsinstruktør & -specialist Ane Weinkouff WEINKOUFF HUNDEADFÆRDSCENTER Hunden har et medført socialt behov Socialisering

Læs mere

Almen studieforberedelse. - Synopsiseksamen 2015

Almen studieforberedelse. - Synopsiseksamen 2015 Almen studieforberedelse - Synopsiseksamen 2015 - En vejledning Thisted Gymnasium - stx og hf Ringvej 32, 7700 Thisted www.thisted-gymnasium.dk post@thisted-gymnasium.dk tlf. 97923488 - fax 97911352 REGLERNE

Læs mere

Skriv en artikel. Korax Kommunikation

Skriv en artikel. Korax Kommunikation Skriv en artikel Indledningen skal vække læserens interesse og få ham eller hende til at læse videre. Den skal altså have en vis appel. Undgå at skrive i kronologisk rækkefølge. Det vækker ofte større

Læs mere

Eksekvering få planerne ført ud i livet

Eksekvering få planerne ført ud i livet Eksekvering få planerne ført ud i livet Plastindustriens netværksdag 10. November 2009 Gitte Mandrup Ledelse & HR rykker sammen Ledelse Ledelseskraft Organisationsudvikling Eksekvering Fremdrift Ledelseslyst

Læs mere

Avisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet

Avisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Avisforside Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Vi vil meget gerne høre dine umiddelbare tanker om forsiden til avisen. Hvad forventer du dig af indholdet og giver den dig lyst til

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Evangeliet er læst fra kortrappen: Joh 14,1-11

Evangeliet er læst fra kortrappen: Joh 14,1-11 1 3. søndag efter påske II. Sct. Pauls kirke 17. april 2016 kl. 10.00. Salmer:674/434/219/206//230/430/379/efter bortsendelsesordene: Hos dig er glæde (129 salmer nr. 936)/375 Åbningshilsen Lagde I mærke

Læs mere

KOMPETENT KOMMUNIKATION

KOMPETENT KOMMUNIKATION KOMPETENT KOMMUNIKATION Kræves det, at eleverne kommunikerer deres egne idéer vedrørende et koncept eller et emne? Skal kommunikationen understøttes med beviser og være designet med tanke på et bestemt

Læs mere

Hvem skal samle handsken op?

Hvem skal samle handsken op? 85 Hvem skal samle handsken op? Henrik Peter Bang, Christianshavns Gymnasium, Niels Grønbæk, Institut, Claus Richard Larsen, Christianshavns Gymnasium, Kommentar til Udfordringer ved undervisning i enzymer,

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C Trøjborg 29. juni 2009 Kære 9. årgang. En tøjklemme. Ja, sådan ser den ud den er blevet lidt gammel og grå lidt angrebet af vejr og vind den er blevet brugt meget. I kender alle sammen tøjklemmer, nogle

Læs mere

DIGITAL DANNELSE DIGITALE MEDIER DIGITAL KULTUR F R A N K S T Ø V E L B Æ K P Æ D A G O G U D D A N N E L S E N S Y D H A V N U C C

DIGITAL DANNELSE DIGITALE MEDIER DIGITAL KULTUR F R A N K S T Ø V E L B Æ K P Æ D A G O G U D D A N N E L S E N S Y D H A V N U C C DIGITAL DANNELSE DIGITALE MEDIER DIGITAL KULTUR F R A N K S T Ø V E L B Æ K P Æ D A G O G U D D A N N E L S E N S Y D H A V N U C C DIGITALISERING ER IKKE ET VALG MEN ET VILKÅR PÅ VEJ MOD EN DIGITAL KULTUR

Læs mere

Hvad er matematik? Indskolingskursus

Hvad er matematik? Indskolingskursus Hvad er matematik? Indskolingskursus Vordingborg 25. 29. april 2016 Matematikbog i 50 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. Hvor stor

Læs mere

Sukkertoppen og Vibenhus 2013/14

Sukkertoppen og Vibenhus 2013/14 Sukkertoppen og Vibenhus 2013/14 Htx kort og kontant Htx er en af de tre muligheder, du har for at tage en studentereksamen. De to andre hedder hhx og stx. Htx giver adgang til alle videregående uddannelser

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

6. Kapitel Handling. Læs fra sidste afsnit på side 90 til første afsnit side 91

6. Kapitel Handling. Læs fra sidste afsnit på side 90 til første afsnit side 91 OTTENDE TRIN: Vi lavede en liste over alle de mennesker, vi havde gjort fortræd, og blev villige til at gøre det godt igen over for dem alle. 6. Kapitel Handling Læs fra sidste afsnit på side 90 til første

Læs mere

Mørket forsøger at lukke sig om os, vinterens mørke, vores eget mørke, al vores modstand - men lyset bryder igennem.

Mørket forsøger at lukke sig om os, vinterens mørke, vores eget mørke, al vores modstand - men lyset bryder igennem. 1 Juleaften 2009. Hvad er det bedste ved julen? ja, hvad er det bedste ved julen? Måske al hyggen i dagene op til jul, med pynt i gaderne, lys overalt, med julekalendere i fjernsynet, hvor man sammen har

Læs mere

Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF

Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF AT 2 ligger lige i foråret i 1.g. AT 2 er det første AT-forløb, hvor du arbejder med et skriftligt produkt. Formål Omfang Produktkrav Produktbedømmelse Opgavens

Læs mere

Vejledningsguide til SRP Sct. Knuds Gymnasium Indholdsfortegnelse

Vejledningsguide til SRP Sct. Knuds Gymnasium Indholdsfortegnelse Vejledningsguide til SRP Sct. Knuds Gymnasium Indholdsfortegnelse 1. Indledning 2. Den kreative (brainstorm, mindmap og pentagon) 3. Den procesorienterede (den lille model) 4. Den procesorienterede (den

Læs mere

Evaluering af 1. semester cand.it. i itledelse,

Evaluering af 1. semester cand.it. i itledelse, Evaluering af 1. semester cand.it. i itledelse, eftera r 2016 Indhold Indledning... 3 FU-møder... 4 Modulevaluering gjort tilgængelig på modulets sidste kursusgang... 4 Modul 1: Informationsteknologi,

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Bilag 3. Interview med leder af Film-X Kari Eggert Fortager d. 8-11-2013, København K. Interviewer: Hvordan og på hvilket grundlag opstod Film-X?

Bilag 3. Interview med leder af Film-X Kari Eggert Fortager d. 8-11-2013, København K. Interviewer: Hvordan og på hvilket grundlag opstod Film-X? Bilag 3 Interview med leder af Film-X Kari Eggert Fortager d. 8-11-2013, København K Interviewer: Hvordan og på hvilket grundlag opstod Film-X? Eggert: Det var helt tilbage i 1997-1998 hvor der var en

Læs mere