Matematik, der afgør spil

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik, der afgør spil"

Transkript

1 Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning, så skal du følge med her: Traditionelt set har matematisk spilteori drejet sig om sandsynlighedsregning. Grundlaget for den teori blev lagt allerede i det 17. århundrede af især matematikerne Jacob Bernoulli og Laplace, og er siden blevet hvermandseje. Visse spil kan dog stadig drille en matematiker. F. eks. det såkaldte»monty Halls paradoks«: Du er med i et spil, hvor du skal vælge mellem 3 døre: Bag den ene er en bil og bag de øvrige geder. Når du har truffet dit valg, åbner værten en/den af de 2 andre døre, som skjuler en ged, med spørgsmålet: Vil du skifte dør? Sandsynligheden for gevinst fordobles, hvis du gør. De fleste spil indeholder et element af tilfældighed, men der findes en del spil, der ikke indeholder tilfældigheder med Skak som en af de vigtigste repræsentanter. Nogle af disse spil indeholder i stedet begrænset information, som f. eks. Sten Saks Papir, hvor det ikke er terninger, men modstanderens valg, der afgør spillet. Et andet kendt eksempel er Prisoner s Dilemma, som er beskrevet i Famøs i marts 1996 i artiklen At stemme eller ikke at stemme II der i øvrigt er en god artikel. Overvejelserne herom kaldes strategisk spilteori, men bliver ofte bare omtalt som spilteori. Tilbage er den mængde spil, hvor man kan sikre en sejr hver gang; De rene kombinatoriske spil.

2 48 Matematik, der afgør spil Knuseren... Kombinatoriske spil er f. eks. Kryds og Bolle, Lejligheder, Kalaha, Skak, Nim, Go osv. Der er stor forskel på dem: I nogle er der løkker, dvs. man kan komme tilbage til en tidligere tilstand, i nogle er samme træk ikke tilgængelig for begge spillere, sædvanligvis er den ene spiller sort og den anden hvid, i nogle har hver spiller mere end 1 træk per tur, osv. I den traditionelle, stramme definition af kombinatoriske spil er der kun 2 spillere, da resultatet ellers kan afhænge af sympatier spillerne imellem. De 2 spillere har i hver tur kun 1 træk til rådighed. Taberen er den, der først løber tør for træk. Den anden vinder. Det kan lyde som en stor begrænsning, men der er stadig en meget stor mængde spil at arbejde på. Desuden kan man ofte benytte teknikker herfra til at analysere de øvrige kombinatoriske spil. Det første spil, der blev løst ved kombinatorisk spilteori, var Nim, som er kendt i Europa allerede i starten af det 16. århundrede. Løsningen blev fundet i 1901, og da Piet Hein opdagede resultatet, ødelagde det spillet for ham. Hvis et spil er endeligt og uden løkker, og man sørger for, at begge spillere har samme træk til rådighed, er det klart, at man kan tegne en orienteret graf over alle trækmulighederne med udgangspunkt i spillets start. Hver trækmulighed resulterer i et delspil, hvor man kan gentage proceduren, indtil der ikke er flere trækmuligheder, 0-spillet. Definition 1 En spillers træk er en overgang fra et spil til et Famøs marts 2012

3 Mads Thrane 49 andet, og derfor beskrives vinderen af et spil, som Næste eller Foregående spiller. Det kaldes udfaldet. En option er et delspil, der er muligt at komme til ved 1 træk. 0-spillet vindes af Foregående, da det jo var sidste træk, der resulterede heri. For de øvrige spil kan man ud fra optionerne, altså trækmulighedernes resultat, afgøre udfaldet; Hvis der blandt optionerne er en med udfaldet Foregående, så har spillet selv udfaldet Næste. Ellers har spillet udfaldet Foregående. Ved at»rulle grafen op«afgøres vinderen uden der er foretaget et fysisk træk. Og man behøver ikke en modstander, bare en startposition. Nim er et af de enkleste af disse: Det er et spil med flere stakke bestående et af forskelligt antal pinde. Traditionelt med 3 stakke med i alt 12 pinde. Du kender det måske fra filmen Sidste år i Marienbad (Alain Resnais, 1961). 2 spillere skiftes til at trække. Et træk består i at fjerne et antal pinde, dog mindst 1, fra 1 stak. Den, der tager den sidste pind, vinder. Eksempel 2 Betragt situationen med 1 stak af n pinde. Det er klart, at 1 spiller altid vinder ved at rydde bordet. En mindre triviel situation er 2 stakke med hhv. 5 og 3 pinde: Du ser nok hurtigt, at det gælder om Figur 1 Løsning af (3, 4, 5) = at trække først og gøre antallet af pinde i de 2 stakke ens, for herefter at efterabe den andens træk. Samtidig er det klart, at hvis der er 2 stakke med samme antal, når du skal trække, så er du i problemer.

4 50 Matematik, der afgør spil Findes der en vinderstrategi, hvis stakkene er af størrelse 3, 4 og 5 eller størrelse 2, 4 og 6? Løsningen for alle positioner i Nim, som Charles L. Bouton fandt, er at tage hver staks størrelse, repræsentere dem på binær form og lægge dem sammen, hvor der ses bort fra menter (!), således en stak af størrelse 3 og 1 omformes til 11 1 = 10. Hvis resultatet er 0, har du en tabersituation. Figur 2 Løsning af (2, 4, 6) = Altså gælder det om at fjerne pinde, så spillet får værdien 0. Beviset er at indse, at fra 0 kun kan flyttes til en ikke-0 position og omvendt. Eksempel 3 Så er der en vinderstrategi for spillet 3, 4 og 5? Ja; Figur 1 viser at værdien er 2. Der er dog problemer med spillet 2, 4 og 6. Figur 2 viser at værdien er 0, og derfor efterlader alle træk en vinderposition. Prøv selv med 6, 5, 1. Vindertrækket findes ved at oversætte stakstørrelserne til binærværdier, reducere den længste stak, således at binærværdien sikrer et lige antal 1 ere i hver cifferposition på tværs af stakkene Ensbetydende med at eksklusivt eller giver 0. Hvis det ikke er muligt, så er du fortabt. Nuvel, der er 10 slags mennesker: Dem, der forstår binært, og dem der ikke gør... Hvis du forstod vittigheden, altså at 2 på binærform skrives 10, så kan du trygt spille om hvem, der skal vaske op efter festen næste gang Husk dog at vælge opstilling efter, om du skal trække først eller sidst. Famøs marts 2012

5 Mads Thrane 51 Men hvor Bouton kun fandt en løsning for Nim, udviklede Sprague og Grundy uafhængigt af hinanden en samlet teori først i 1930 erne, der viste, at alle upartiske spil kan gives en Nimværdi og derfor kan lægges sammen som ovenfor beskrevet. Sprague/Grundy-teorien skabte grundlaget for kombinatorisk spilteori, som i dag spreder sig ud over andet og mere end upartiske spil, nemlig Partizanspillene. Partizanspil, som er en matematisk talefejl for partiske spil, er meget anderledes end upartiske spil, da der er træk, som kun den ene spiller kan foretage, f. eks. må kun hvid flytte de hvide tårne i Skak. Det er additionsstrukturen, der gør teorien interessant og enkel; Additionen af to spil er som forventet at man kan trække i enten det ene spil eller i det andet, hvorefter turen overgives til modspilleren. F. eks. betragtes hver stak i Nim som selvstændige spil, som adderes. To spil, G og H, har samme Nimværdi, hvis det for alle spil, X, gælder at o(g + X) = o(h + X), hvor o er udfaldsfunktionen, der angiver om næste eller foregående spiller vinder. Ækvivalensmængden over udfaldsfunktionen udgør en gruppe, der er isomorf med N Hvor her betegner den direkte sum, og ikke den specielle addition,. Du har lige har lært at tage elementer på ækvivalensmængden, benytte gruppeisomorfien derpå (ved at tage binærværdien af staklængden), og så benytte den specielle addition,, der netop svarer til additionen af 2 elementer i gruppen, N Z 2, hvorefter du benytter den inverse gruppeisomorfi til at finde elementet i ækvivalensmængden, kaldet kvotienten. Se f. eks. beregningen øverst Z 2

6 52 Matematik, der afgør spil side 4, der svarer til: (..., 0, 1, 1) + (..., 0, 0, 1) = (..., 0, 1, 0). Piet Heins kompenserede sit tab af Nim var ved at udvikle et nyt kombinatorisk spil, Nimbi, der ikke så let lod sig løse. I Nimbi kan additionen først benyttes relativt sent i spillet, hvilket gør det besværligt at reducere. En miserabel situation Kender du Sidste år i Marienbad godt, vil du måske indvende, at der gjaldt det jo om at ikke tage den sidste pind, hvilket også er den traditionelle måde at spille på. Vinderbetingelsen er altså vendt om Kaldet Misère. Bouton mål var faktisk at løse denne type Nim, men det er mere besværligt, for hvor alle upartiske spil kan relateres til en Nim-stak, via en Nimværdi, så er det ikke tilfældet, når vinderbetingelsen vendes. For at eksemplificere problemet, tag spillet, G, som er 2 stakke á 2 pinde, for nemheds skyld skrevet, G = (2, 2). Det er en taberposition, uanset hvilken vinderbetingelse man benytter. Under den almindelige vinderbetingelse er Nimværdien 0. Hvilken Nimværdi bør den have under Misère? Nimværdien 0 er en dårlig kandidat, da spillet H, som er stakken bestående af 0 pinde, er en vinderposition under Misère. Altså er o(h + 0) o(g + 0) Tilsvarende argument gælder for H = (2),..., H = (n). Tilbage er H = (1), stakken bestående af 1 pind: Problemet med den er, at o(g + G) o(h + G). Kompleksiteten under den nye vinder betingelse synliggøres ved at se på antallet af spil af en given længde: Der er op til isomorfi ved nimværdier (ækvivalens) kun 6 almindelige spil af længde maks 5: stakkene 0 til 5, mens der er over 4 millioner under Misère Famøs marts 2012

7 Mads Thrane 53 betingelsen. Problemet er, at den bagvedliggende kvotient for Misère spil ikke er den samme for alle spil, strukturen er en monoid, altså en gruppe uden invers, og den kan ikke findes ved ækvivalens over alle spil. Men lige netop for Misère Nim findes der en enkel metode, som Bouton faktisk fandt: Spil, som du ville spille Nim, med mindre du efterlader lutter stakke á 1 pind. I den givne situation: sørg for at efterlade et ulige antal stakke á 1 pind. Metoden kan benyttes på flere Misère spil. Hvis den metode virker, kaldes spillet for et tamt Misère spil. De forsøg på at finde kvotienten, som blev gjort før år 2000, prøvede at finde en ækvivalens under alle spil. Desuden har det sandsynligvis været svært at acceptere den manglende invers. Løsningen kom omkring år 2005 og blev givet af T. E. Plambeck og A. N. Siegel. Det er spændende læsning med en algebraoplysende bivirkning. Introduktion til kombinatorisk spilteori fås i bogen Lessons in Play (A. K. Peters, 2007).

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Go, go, go Søren Wengel Mogensen

Go, go, go Søren Wengel Mogensen 4 Blokkens spil Go, go, go Søren Wengel Mogensen Du har set Russell Crowe gøre det i A Beautiful Mind. Nu skal du gøre det i Famøs. Der er selvfølgelig tale om at spille go. Go er meget kort navn for et

Læs mere

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Tegnere: Maria Bekker-Nielsen Dunbar (forside) Kristian Knudsen Olesen (side 31) Deadline for næste nummer: 20. maj

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

T-1.24; Spil læg 3 til.

T-1.24; Spil læg 3 til. T-1.24; Spil læg 3 til. Faglige mål: Addition. At SPØRGE og SVARE i, med, om matematik. At omgås SPROG og REDSKABER i matematik. Lektionsmål: * Kan adderer med 2 og 3. * Stiller spørgsmål, der er relevante

Læs mere

4. Fokus på samarbejde og kommunikation (modsat traditionel matematikundervisning hvor det mundtlige aspekt fylder meget lidt).

4. Fokus på samarbejde og kommunikation (modsat traditionel matematikundervisning hvor det mundtlige aspekt fylder meget lidt). Aalborg d.27/6-16 Undervisning af elever med nedsat talforståelse Af Rasmus Hasselbalch, læse- og matematikkonsulent, VUC & HF Nordjylland Hvis man ved screening med LINU eller PSP screeningen ser tegn

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459 Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Roskilde Ungdomsskole. Fælles mål og læseplan for valgfaget. Bordrollespil

Roskilde Ungdomsskole. Fælles mål og læseplan for valgfaget. Bordrollespil Roskilde Ungdomsskole Fælles mål og læseplan for valgfaget Bordrollespil April 2016 Fælles mål FORMÅL FOR BORDROLLESPIL SOM VALGFAG Stk. 1 Eleverne skal i faget bordrollespil lære spillets grundlæggende

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejle HF og VUC, Campusvejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering. Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte

Læs mere

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang løber 3 point SKOLESKAK SKOLESKAK LÆRERVEJLEDNING til skak i skolen Det skal være sjovt at blive klogere! Dansk Skoleskak og Skolemælk har i samarbejde udviklet dette materiale for at skabe mere leg, læring

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Test og evaluering: Årsplan matematik 1.A 2015/2016 Nordvest privatskole Hussein Mansour

Test og evaluering: Årsplan matematik 1.A 2015/2016 Nordvest privatskole Hussein Mansour Årsplan matematik 1.A 2015/2016 Nordvest privatskole Hussein Mansour Undervisningen i matematik i 1. klasse bygger i stor udstrækning på de erfaringer, som børnene har tilegnet sig i børnehaveklassen,

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Oversættelse af tekster på andre sprog - via Google

Oversættelse af tekster på andre sprog - via Google Oversættelse af tekster på andre sprog - via Google Introduktion Google har udviklet en maskine, der kan oversætte tekster til forskellige sprog. Du har måske været på ferie i Tyskland eller Frankrig.

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4)

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) Leg med trekanter 19 Præmieopgave og svar på sidste bloks abestreger! Jingyu She Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) I sidste præmieopgave blev læseren bedt om at finde sandsynligheden for,

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Om dagens tema: Billedligt talt. NATIONALT VIDENCENTER FOR INKLUSION OG EKSKLUSION / www.nvie.dk / NATIONAL CENTRE FOR INCLUSIVE PRACTICE

Om dagens tema: Billedligt talt. NATIONALT VIDENCENTER FOR INKLUSION OG EKSKLUSION / www.nvie.dk / NATIONAL CENTRE FOR INCLUSIVE PRACTICE Om dagens tema: Billedligt talt Om dette oplæg: Sprogligt talt Citat: Undervisningsdifferentiering, når fokus er på elever i komplicerede læringssituationer Eller undervisningsdifferentiering i et inkluderende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/Juni,

Læs mere

8:30-14:30 Sproglig udvikling Kort aktivitet Planlægning af undervisningsforløb Fremlæggelse af undervisningsforløb

8:30-14:30 Sproglig udvikling Kort aktivitet Planlægning af undervisningsforløb Fremlæggelse af undervisningsforløb 8:30-14:30 Sproglig udvikling Kort aktivitet Planlægning af undervisningsforløb Fremlæggelse af undervisningsforløb Kaffepause 10:00-10:15 Frokost 12:15-13:00 Kaffepause 13:45-14:00 SPROGLIG UDVIKLING

Læs mere

Årsplan for 4. klasse matematik på Solhverv Privatskole

Årsplan for 4. klasse matematik på Solhverv Privatskole Årsplan for 4. klasse matematik på Solhverv Privatskole Klasse / hold: 4. klasse Skoleår / periode: 2015/2016 Team / lærere: Grethe Søgaard Der arbejdes ud fra Fælles mål efter 6. klasse. http://uvm.dk/uddannelserog-dagtilbud/folkeskolen/faelles-maal

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012

Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Ude/inde 2.-9. klasse matematik (kan udvikles til andre fag) Talsalat

Ude/inde 2.-9. klasse matematik (kan udvikles til andre fag) Talsalat Ude/inde 2.-9. klasse matematik (kan udvikles til andre fag) Talsalat Alle deltagere står i en rundkreds med en person i midten. Alle deltagere i kredsen har en plads, enten ved et kryds på jorden, en

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Lærervejledning til Læs selv matematik

Lærervejledning til Læs selv matematik Lærervejledning til Læs selv matematik Målgruppe 4-7. klasse Formål Formålet med "Læs selv matematik" er at føje en ekstra dimension til matematikundervisningen. Med "Læs selv matematik" vil eleverne opleve,

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole Uddannelse HTX Fag og niveau Matematik B Lærer(e) PBL Hold 2. c. KDS

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Mål Kompetencer Matematiske arbejdsmåder. Problembehandling. Ræsonnement

Mål Kompetencer Matematiske arbejdsmåder. Problembehandling. Ræsonnement Forslag til årsplan for 9. klasse, matematik Udarbejdet af Susanne Nielson og Pernille Peiter revideret august 2011 af pædagogisk konsulent Rikke Teglskov 33-38 Rumgeometri Kende og anvende forskellige

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Leg med tal og former

Leg med tal og former Rose-Marie Eriksson Leg med tal og former sjove aktiviteter i naturen Oversat af Anna Garde Rose-Marie Eriksson Leg med tal og former sjove aktiviteter i naturen 1. udgave, 1. oplag, 2012 2012 Dafolo Forlag

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Side 1. Databaser og SQL. Dagens gang. Databasebegreber. Introduktion til SQL Kap 1-5

Side 1. Databaser og SQL. Dagens gang. Databasebegreber. Introduktion til SQL Kap 1-5 Databaser og SQL Introduktion til SQL Kap 1-5 1 Dagens gang Databaser Database begreber Mapning af klasser til relationel model Normalisering Opgaver til næste gang 2 Databasebegreber A database is a:

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Black Jack (21): Sådan spiller man Black Jack. 1. Formålet er at komme så tæt på summen 21 som muligt. Man må ikke overskride 21.

Black Jack (21): Sådan spiller man Black Jack. 1. Formålet er at komme så tæt på summen 21 som muligt. Man må ikke overskride 21. Indhold Black Jack (21):... 3 Whist... 4 Bismarck... 5 Rummy (500)... 6 Casino... 7 Spar Dame... 8 Ruder Syv... 9 Gammel Jomfru... 10 Olsen... 12 Snyd... 13 29... 14 31... 15 Gris... 16 Normale spil Black

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling Skyde opgaver Ideer til forskellige skydeøvelser, som træner forskellige aspekter Stress/spænding Tennis-skydning, 2 og 2 skyder match, hver sin skive. Skyde på kryds, to og to, på samme skive Koncentration

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere