Matematik, der afgør spil

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik, der afgør spil"

Transkript

1 Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning, så skal du følge med her: Traditionelt set har matematisk spilteori drejet sig om sandsynlighedsregning. Grundlaget for den teori blev lagt allerede i det 17. århundrede af især matematikerne Jacob Bernoulli og Laplace, og er siden blevet hvermandseje. Visse spil kan dog stadig drille en matematiker. F. eks. det såkaldte»monty Halls paradoks«: Du er med i et spil, hvor du skal vælge mellem 3 døre: Bag den ene er en bil og bag de øvrige geder. Når du har truffet dit valg, åbner værten en/den af de 2 andre døre, som skjuler en ged, med spørgsmålet: Vil du skifte dør? Sandsynligheden for gevinst fordobles, hvis du gør. De fleste spil indeholder et element af tilfældighed, men der findes en del spil, der ikke indeholder tilfældigheder med Skak som en af de vigtigste repræsentanter. Nogle af disse spil indeholder i stedet begrænset information, som f. eks. Sten Saks Papir, hvor det ikke er terninger, men modstanderens valg, der afgør spillet. Et andet kendt eksempel er Prisoner s Dilemma, som er beskrevet i Famøs i marts 1996 i artiklen At stemme eller ikke at stemme II der i øvrigt er en god artikel. Overvejelserne herom kaldes strategisk spilteori, men bliver ofte bare omtalt som spilteori. Tilbage er den mængde spil, hvor man kan sikre en sejr hver gang; De rene kombinatoriske spil.

2 48 Matematik, der afgør spil Knuseren... Kombinatoriske spil er f. eks. Kryds og Bolle, Lejligheder, Kalaha, Skak, Nim, Go osv. Der er stor forskel på dem: I nogle er der løkker, dvs. man kan komme tilbage til en tidligere tilstand, i nogle er samme træk ikke tilgængelig for begge spillere, sædvanligvis er den ene spiller sort og den anden hvid, i nogle har hver spiller mere end 1 træk per tur, osv. I den traditionelle, stramme definition af kombinatoriske spil er der kun 2 spillere, da resultatet ellers kan afhænge af sympatier spillerne imellem. De 2 spillere har i hver tur kun 1 træk til rådighed. Taberen er den, der først løber tør for træk. Den anden vinder. Det kan lyde som en stor begrænsning, men der er stadig en meget stor mængde spil at arbejde på. Desuden kan man ofte benytte teknikker herfra til at analysere de øvrige kombinatoriske spil. Det første spil, der blev løst ved kombinatorisk spilteori, var Nim, som er kendt i Europa allerede i starten af det 16. århundrede. Løsningen blev fundet i 1901, og da Piet Hein opdagede resultatet, ødelagde det spillet for ham. Hvis et spil er endeligt og uden løkker, og man sørger for, at begge spillere har samme træk til rådighed, er det klart, at man kan tegne en orienteret graf over alle trækmulighederne med udgangspunkt i spillets start. Hver trækmulighed resulterer i et delspil, hvor man kan gentage proceduren, indtil der ikke er flere trækmuligheder, 0-spillet. Definition 1 En spillers træk er en overgang fra et spil til et Famøs marts 2012

3 Mads Thrane 49 andet, og derfor beskrives vinderen af et spil, som Næste eller Foregående spiller. Det kaldes udfaldet. En option er et delspil, der er muligt at komme til ved 1 træk. 0-spillet vindes af Foregående, da det jo var sidste træk, der resulterede heri. For de øvrige spil kan man ud fra optionerne, altså trækmulighedernes resultat, afgøre udfaldet; Hvis der blandt optionerne er en med udfaldet Foregående, så har spillet selv udfaldet Næste. Ellers har spillet udfaldet Foregående. Ved at»rulle grafen op«afgøres vinderen uden der er foretaget et fysisk træk. Og man behøver ikke en modstander, bare en startposition. Nim er et af de enkleste af disse: Det er et spil med flere stakke bestående et af forskelligt antal pinde. Traditionelt med 3 stakke med i alt 12 pinde. Du kender det måske fra filmen Sidste år i Marienbad (Alain Resnais, 1961). 2 spillere skiftes til at trække. Et træk består i at fjerne et antal pinde, dog mindst 1, fra 1 stak. Den, der tager den sidste pind, vinder. Eksempel 2 Betragt situationen med 1 stak af n pinde. Det er klart, at 1 spiller altid vinder ved at rydde bordet. En mindre triviel situation er 2 stakke med hhv. 5 og 3 pinde: Du ser nok hurtigt, at det gælder om Figur 1 Løsning af (3, 4, 5) = at trække først og gøre antallet af pinde i de 2 stakke ens, for herefter at efterabe den andens træk. Samtidig er det klart, at hvis der er 2 stakke med samme antal, når du skal trække, så er du i problemer.

4 50 Matematik, der afgør spil Findes der en vinderstrategi, hvis stakkene er af størrelse 3, 4 og 5 eller størrelse 2, 4 og 6? Løsningen for alle positioner i Nim, som Charles L. Bouton fandt, er at tage hver staks størrelse, repræsentere dem på binær form og lægge dem sammen, hvor der ses bort fra menter (!), således en stak af størrelse 3 og 1 omformes til 11 1 = 10. Hvis resultatet er 0, har du en tabersituation. Figur 2 Løsning af (2, 4, 6) = Altså gælder det om at fjerne pinde, så spillet får værdien 0. Beviset er at indse, at fra 0 kun kan flyttes til en ikke-0 position og omvendt. Eksempel 3 Så er der en vinderstrategi for spillet 3, 4 og 5? Ja; Figur 1 viser at værdien er 2. Der er dog problemer med spillet 2, 4 og 6. Figur 2 viser at værdien er 0, og derfor efterlader alle træk en vinderposition. Prøv selv med 6, 5, 1. Vindertrækket findes ved at oversætte stakstørrelserne til binærværdier, reducere den længste stak, således at binærværdien sikrer et lige antal 1 ere i hver cifferposition på tværs af stakkene Ensbetydende med at eksklusivt eller giver 0. Hvis det ikke er muligt, så er du fortabt. Nuvel, der er 10 slags mennesker: Dem, der forstår binært, og dem der ikke gør... Hvis du forstod vittigheden, altså at 2 på binærform skrives 10, så kan du trygt spille om hvem, der skal vaske op efter festen næste gang Husk dog at vælge opstilling efter, om du skal trække først eller sidst. Famøs marts 2012

5 Mads Thrane 51 Men hvor Bouton kun fandt en løsning for Nim, udviklede Sprague og Grundy uafhængigt af hinanden en samlet teori først i 1930 erne, der viste, at alle upartiske spil kan gives en Nimværdi og derfor kan lægges sammen som ovenfor beskrevet. Sprague/Grundy-teorien skabte grundlaget for kombinatorisk spilteori, som i dag spreder sig ud over andet og mere end upartiske spil, nemlig Partizanspillene. Partizanspil, som er en matematisk talefejl for partiske spil, er meget anderledes end upartiske spil, da der er træk, som kun den ene spiller kan foretage, f. eks. må kun hvid flytte de hvide tårne i Skak. Det er additionsstrukturen, der gør teorien interessant og enkel; Additionen af to spil er som forventet at man kan trække i enten det ene spil eller i det andet, hvorefter turen overgives til modspilleren. F. eks. betragtes hver stak i Nim som selvstændige spil, som adderes. To spil, G og H, har samme Nimværdi, hvis det for alle spil, X, gælder at o(g + X) = o(h + X), hvor o er udfaldsfunktionen, der angiver om næste eller foregående spiller vinder. Ækvivalensmængden over udfaldsfunktionen udgør en gruppe, der er isomorf med N Hvor her betegner den direkte sum, og ikke den specielle addition,. Du har lige har lært at tage elementer på ækvivalensmængden, benytte gruppeisomorfien derpå (ved at tage binærværdien af staklængden), og så benytte den specielle addition,, der netop svarer til additionen af 2 elementer i gruppen, N Z 2, hvorefter du benytter den inverse gruppeisomorfi til at finde elementet i ækvivalensmængden, kaldet kvotienten. Se f. eks. beregningen øverst Z 2

6 52 Matematik, der afgør spil side 4, der svarer til: (..., 0, 1, 1) + (..., 0, 0, 1) = (..., 0, 1, 0). Piet Heins kompenserede sit tab af Nim var ved at udvikle et nyt kombinatorisk spil, Nimbi, der ikke så let lod sig løse. I Nimbi kan additionen først benyttes relativt sent i spillet, hvilket gør det besværligt at reducere. En miserabel situation Kender du Sidste år i Marienbad godt, vil du måske indvende, at der gjaldt det jo om at ikke tage den sidste pind, hvilket også er den traditionelle måde at spille på. Vinderbetingelsen er altså vendt om Kaldet Misère. Bouton mål var faktisk at løse denne type Nim, men det er mere besværligt, for hvor alle upartiske spil kan relateres til en Nim-stak, via en Nimværdi, så er det ikke tilfældet, når vinderbetingelsen vendes. For at eksemplificere problemet, tag spillet, G, som er 2 stakke á 2 pinde, for nemheds skyld skrevet, G = (2, 2). Det er en taberposition, uanset hvilken vinderbetingelse man benytter. Under den almindelige vinderbetingelse er Nimværdien 0. Hvilken Nimværdi bør den have under Misère? Nimværdien 0 er en dårlig kandidat, da spillet H, som er stakken bestående af 0 pinde, er en vinderposition under Misère. Altså er o(h + 0) o(g + 0) Tilsvarende argument gælder for H = (2),..., H = (n). Tilbage er H = (1), stakken bestående af 1 pind: Problemet med den er, at o(g + G) o(h + G). Kompleksiteten under den nye vinder betingelse synliggøres ved at se på antallet af spil af en given længde: Der er op til isomorfi ved nimværdier (ækvivalens) kun 6 almindelige spil af længde maks 5: stakkene 0 til 5, mens der er over 4 millioner under Misère Famøs marts 2012

7 Mads Thrane 53 betingelsen. Problemet er, at den bagvedliggende kvotient for Misère spil ikke er den samme for alle spil, strukturen er en monoid, altså en gruppe uden invers, og den kan ikke findes ved ækvivalens over alle spil. Men lige netop for Misère Nim findes der en enkel metode, som Bouton faktisk fandt: Spil, som du ville spille Nim, med mindre du efterlader lutter stakke á 1 pind. I den givne situation: sørg for at efterlade et ulige antal stakke á 1 pind. Metoden kan benyttes på flere Misère spil. Hvis den metode virker, kaldes spillet for et tamt Misère spil. De forsøg på at finde kvotienten, som blev gjort før år 2000, prøvede at finde en ækvivalens under alle spil. Desuden har det sandsynligvis været svært at acceptere den manglende invers. Løsningen kom omkring år 2005 og blev givet af T. E. Plambeck og A. N. Siegel. Det er spændende læsning med en algebraoplysende bivirkning. Introduktion til kombinatorisk spilteori fås i bogen Lessons in Play (A. K. Peters, 2007).

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Tegnere: Maria Bekker-Nielsen Dunbar (forside) Kristian Knudsen Olesen (side 31) Deadline for næste nummer: 20. maj

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Matematik i børnehøjde

Matematik i børnehøjde Matematik i børnehøjde Uglerne 2009 Hættegården Vi spillede kryds og bolle Det begyndte nærmest ved en tilfældighed. Et par piger gik rundt med en kurv med murerværktøj i plastik og vi faldt i snak om,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling Skyde opgaver Ideer til forskellige skydeøvelser, som træner forskellige aspekter Stress/spænding Tennis-skydning, 2 og 2 skyder match, hver sin skive. Skyde på kryds, to og to, på samme skive Koncentration

Læs mere

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang løber 3 point SKOLESKAK SKOLESKAK LÆRERVEJLEDNING til skak i skolen Det skal være sjovt at blive klogere! Dansk Skoleskak og Skolemælk har i samarbejde udviklet dette materiale for at skabe mere leg, læring

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL Indledning Den kolde krig er betegnelsen for perioden 1948 til 1989, hvor USA og USSR i kølvandet på anden verdenskrig

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Gæt et tal Søren Eilers

Gæt et tal Søren Eilers 22 Gæt et tal Søren Eilers Et gæt En aften midt i oktober faldt jeg på nettet over en konkurrence afholdt af radioprogrammet Detektor på P om at gætte det tal mellem 0 og 00, der var halvdelen af gennemsnittet

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Leg med tal og former

Leg med tal og former Rose-Marie Eriksson Leg med tal og former sjove aktiviteter i naturen Oversat af Anna Garde Rose-Marie Eriksson Leg med tal og former sjove aktiviteter i naturen 1. udgave, 1. oplag, 2012 2012 Dafolo Forlag

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta.

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta. Alhambra Et spil af Dirk Henn for 2-6 spillere. De bedste bygmestre fra Europa og den arabiske verden vil bevise deres kunstfærdige arkitektur. Du har fået stillet deres bygningsarbejdere til rådighed

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Lav et gameshow til tv2-zulu!

Lav et gameshow til tv2-zulu! Lav et gameshow til tv2-zulu! Et problemorienteret projektarbejde gennemført i 1. og 2.g (matematik A og B) Indhold Præsentation af klasserne og rammerne for forløbet...3 Projektets overordnede udviklingssigte...3

Læs mere

Spil og ludomani - et studieretningsprojekt om poker (matematik A og andet fag, se nedenfor).

Spil og ludomani - et studieretningsprojekt om poker (matematik A og andet fag, se nedenfor). 7.4.07 Kristian Priisholm med tak til mine kolleger Annette og Katrine for bistand om psykologi. Spil og ludomani - et studieretningsprojekt om poker (matematik A og andet fag, se nedenfor). Introduktion

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Velkommen til årets studenter, forældre, familie og skolens medarbejdere

Velkommen til årets studenter, forældre, familie og skolens medarbejdere Velkommen til årets studenter, forældre, familie og skolens medarbejdere Kære studenter årgang 2015 I dag er en festdag! I den sidste uges tid har skolen summet af liv: spænding, nervøsitet inden sidste

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse. Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6.

Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse. Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6. Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6. klasse Indhold Indledning 3 Undervisningsforløbet 4 Mål for forløbet

Læs mere

Introduktion til. og Ligedannethed i 3. klasse. Lærervejledning

Introduktion til. og Ligedannethed i 3. klasse. Lærervejledning Introduktion til og Ligedannethed i 3. klasse Lærervejledning Udarbejdet af: Cathrine Gretoft Cecilie Handberg Bettina Skou Frederiksberg Seminarium LEGO Digital Designer og Ligedannethed Som lærerstuderende

Læs mere

Besvær med at læse og skrive?

Besvær med at læse og skrive? såd an KO MM ER DU VID ER E Besvær med at læse og skrive? Få hjælp eller hjælp andre videre Gør som Louise, Tommy, Anne Lise og Frederik MED IT & UNDERVISNING VIT_Kampagne_Generel_K2.indd 1 04/10/13 17.36

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Forandringsprocesser i demokratiske organisationer

Forandringsprocesser i demokratiske organisationer Forandringsprocesser i demokratiske organisationer 4 nøgleudfordringer Af Tor Nonnegaard-Pedersen, Implement Consulting Group 16. juni 2014 1 Bagtæppet: Demokratiet som forandringsmaskine I udgangspunktet

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

opløsning - det om DPI, PPI og LPI » DPI - PPI - LPI? » Hvad er opløsning for noget? » Opløsning - i praksis S I D E 1

opløsning - det om DPI, PPI og LPI » DPI - PPI - LPI? » Hvad er opløsning for noget? » Opløsning - i praksis S I D E 1 KNL DtP s ARTIKLER Opløsning - det om DPI, PPI og LPI opløsning - det om DPI, PPI og LPI I takt med at flere og flere køber digitalkameraer, og begynder at bruge computeren til at redigere deres billeder

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 2010

Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 2010 Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 1 Indhold Indhold Introduktion Information om undersøgelsen og resultatforklaring 3 Tilfredshed og Loyalitet Vurderinger og sammenligninger 5 Hvordan skaber du større

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere