Tidsskrift for fysik Forår 2008 Nr. 149

Transkript

1 Afsender: Gamma Niels Bohr Institutet Blegdamsvej København Ø Returneres ved varig adresseændring MAGASINPOST B Gamma Γ Tidsskrift for fysik Forår 2008 Nr. 149 Fortale s 3 Nyheder og meddelelser s 4 Signe Riemer-Sørensen Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet s 8 René Petersen Resonant Tunneling Diodes s 20 Boganmeldelser Malene Flagga: Stjernedrømme - Kosmologi fra Babylon til det ydre rum s 30 Redigeret af Peter C. Kjærgaard: Bind 3: Lyset over landet s 32 Redigeret af Henry Nielsen og Kristian H. Nielsen: Bind 4: Viden uden grænser s 32 Paradokser og opgaver s 36 Indhold s 48

2 . Gamma Gamma er grundlagt i 1971 og finansieres af Niels Bohr Institutet. Bladet udkommer 4 gange om året og fås gratis ved henvendelse til redaktionen. Vi beder dog vore læsere om at afhente Gamma på en skole, et institut eller vores hjemmeside, hvis man har mulighed for det. Redaktion: Thomas R.N. Jansson (TJ) Silja Heilmann (SH)(ansv.) Andreas Lemark (AL) Katrine Rude Laub (KRL) Michael F. Artych (MFA) Om Forsiden En klump mørkt stof smiler til Hubble Space Telescope. Illustration: Silja Heilmann Skribenter: John R. Nielsen (JRN) Adresse: Gamma Niels Bohr Institutet Blegdamsvej København Ø Tlf: gamma@nbi.dk Redaktionstid: Se den aktuelle redaktionstid på vores hjemmeside. Adresseændring: Meddeles til postvæsenet, hvis man modtager Gamma uden kuvert, og til redaktionen, hvis man modtager bladet i kuvert. Afbestillinger skal ske på hjemmesiden. Abonnementsnummer (tallet bagefter f.eks KHC ) bedes oplyst. Artikler: Vi modtager gerne artikler, debatindlæg og kommentarer. Vi foretrækker kommunikation over og manuskripter i L A TEX eller txt format, men Microsoft Word og Corel Wordperfect filer modtages også. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. ISSN NBI-tryk oplag 2700

3 Paradokser og opgaver Fortale Kære læser I anledning af den globale opvarmning ønsker Gamma et glædeligt forforår! Vi byder i dette nummer på en artikel af PhD studerende Signe Riemer- Sørensen, der omhandler de 23 procent af universets energifordeling, der får partikelfysikere til at rømme sig anstrengt og giver astronomer blanke øjne af fascination. Nemlig det gådefulde mørke stof, som holder hele universet sammen med sin tyngdekraft, men som kun lader sig påvise indirekte. Bladets anden artikel er forfattet af specialestuderende René Petersen og omhandler noget mere jordnært og måske i nær fremtid overordenligt brugbart. Resonant Tunneling Diodes - dioder der baserer elektrontransport på det kvantemekaniske tunneleringfænomen og ikke på ledning i traditionel forstand, hvilket giver dem markant hurtigere responstider end almindelige dioder. Michael F. Artych fra redaktionen anmelder bogen Stjernedrømme af fysikeren Malene Flagga og når frem til, at her er en bog, der er god at stikke ikke-naturvidenskabelige familiemedlemmer som ikke forstår ens fysikersjæl. Astronom John Rosendal Nielsen anmelder de to sidste bind i firbindsværket om dansk naturvidenskabs historie og tager hatten af for videnskabshistorikernes store arbejde. Dette nummers PhD comics omhandler et farligt kollektivt-psykologisk fænomen kaldet: The Vortex of Unproductivity, som Gammas redaktører desværre kender lidt for godt... Lad det ikke få magten over dig også! Fornøj dig med de sædvanlige spredte forskningsnyheder og fordyb dig derefter i hovedbruddene. God læselyst Gamma 46

4 Nyheder og meddelelser Paradokser og opgaver Katrine Rude Laub (KRL), Thomas R. N. Jansson (TJ) og Silja Heilmann (SH) I skjul af lyden AKUSTIK En gruppe forskere fra Duke University har i modsætning til tidligere antaget fundet ud af, at det er teoretisk muligt at lave en 3D-overflade, som kan lede en lydbølge forbi overfladen uden at ændre bølgen. Objektet er dermed uhørligt svarende til usynlige objekter i optik. I 2006 blev det nemlig i en artikel vist, at man ville kunne lave et usynligt objekt, og kun få måneder efter blev der fremstillet et materiale, der var usynligt for mikrobølgestråling. Der findes ingen naturlige materialer med disse egenskaber, så for at realisere et uhørligt eller usynligt objekt vil det være nødvendigt at konstruere et kunstigt metamateriale. Den tekniske formåen indenfor konstruktionen af akustiske metamaterialer er ikke kommet så langt som for optiske metamaterialer, men gruppen mener, det burde være muligt at fremstille et uhørligt metamateriale. Hvor de optiske metamaterialer kun kan skjule objekter fra elektromagnetisk ståling ved smalle frekvensbånd, virker de akustiske metamaterialers skjulende egenskaber i et bredere frekvensbånd. Det har tidligere været påstået, at det ikke ville være muligt at fremstille et uhørligt 3D-objekt, men i gruppens artikel fra januar 2008, vises det nu at være teoretisk muligt for både 3D- og 2D-objekter. Hvis et materiale med disse egenskaber kan fremstilles i virkeligheden, vil det have store anvendelsesmuligheder for f.eks. ubåde, som ville være umulige at opdage med sonar. Koncertsale ville også kunne nyde glæde af teknologien, hvor objekter mellem scenen og publikum kunne skjules fra lydbilledet. Steven Cummer fra gruppen mener også at opdagelsen har betydning indenfor seismiske bølger og havbølger. Kilder: [1] S. A. Cummer et. al., Scattering Theory Derivation of a 3D Acoustic Cloaking Shell, Physical Review Letters, 100, , TJ Vi kan tælle det samlede antal elementer af værdi 0 ved successivt at gennemløbe de 2n + 1 mængder, A i, og i hver af dem registrere de elementer af værdi 0, som vi støder på. Det giver ialt (2n + 1)n elementer af værdi 0, men da hvert af dem ligger i 2 af mængderne A i, bliver hvert af dem talt med 2 gange, og altså må antallet (2n + 1)n være lige, dvs n må være lige. Jeg vil omvendt vise, at hvis n er lige, så er det muligt at give elementerne i B værdierne 0 og 1 sådan, at hver mængde A i indeholder n elementer af værdi 0. Dertil definerer vi en afstand d på mængden {1, 2,, 2n + 1} ved d(i, j) = min{ i j, 2n + 1 i j } (det er let at se, men i realiteten uvigtigt, at d faktisk er en metrik). Lad nu b B være givet, og lad i og j i være bestemt således, at b A i A j. Så tilskriver vi b værdien 0, hvis og kun hvis d(i, j) n/2. Denne fordeling opfylder, at hver mængde, A i har netop n elementer af værdi 0. Det er lettest at overskue, hvis problemstillingen anskueliggøres ved hjælp af en regulær (2n + 1) kant M med vinkelspidser P i, i = 1, 2,, 2n + 1, og B identificeres med mængden af sider og diagonaler i M, medens A i betegner mængden af sider og diagonaler med P i som det ene endepunkt. Den foreslåede tilskrivning af værdierne 0 og 1 svarer til, at elementer i A i, der får værdien 0, er de n korteste linjer, der udgår fra P i. 45

5 Paradokser og opgaver Nyheder og meddelelser Y C A D K (b) Betragt de omskrevne cirkler om trekanterne ACD og BCD. Lad CX være tangenten til den første cirkel i C og lad CY være tangenten til den anden cirkel i C (X og Y er punkter på tangenterne). Så er DCX = CAD og DCY = CBD. Derfor er ifølge (1) DCX + DCY = 90. Og da CD ligger inden for vinklen dannet af CX og CY, slutter vi, at de to tangenter står vinkelret på hinanden. Svar Elementært Lad n være et positivt helt tal og lad A 1, A 2,..., A 2n+1 være delmængder af en mængde, B. Antag, at (a) hver mængde A i har netop 2n elementer, (b) hver fællesmængde A i A j, i j, har præcis ét element, (c) hvert element i B ligger i mindst to af mængderne A i. For hvilke værdier af n kan man give hvert element i B en værdi, 0 eller 1, sådan at hver mængde A i har nøjagtig n elementer af værdi 0? Vi viser først, at betingelsen (c) kan skærpes til følgende: (d) hvert element i B ligger i netop to af mængderne A i. Antag, at et element, x 0 ligger i de tre mængder, A k, A l og A m. Fjern m fra mængden {1, 2,, 2n+1}; tilbage er en mængde M af 2n elementer. Til hveret j M tilegnes det element i A m, der tillige ligger i A j ; der er kun et sådant element ifølge (b). Lad os kalde det g(j); så er specielt g(k) = x 0 og g(l) = x 0. Det følger nu af (c) at funktionen g afbilder M på A m, der jo også har netop 2n elementer, (a). Derfor er g bijektiv, en modstrid. 44 X E B Virusbekæmpelse BIOFYSIK Mange vira kan bekæmpes med kemikalier. Desværre skader disse også ofte raske celler, og desuden er der risiko for, at virussen muterer og bliver resistent. Derfor er mekanisk krigsførelse måske vejen frem. Viras genetiske materiale er omsluttet af en proteinkappe med en veldefineret struktur, den såkaldte capsid. Bestråles denne med laserstråler i nærheden af det infrarøde område, kan den fås til at vibrere, når resonansfrekvensen rammes, hvilket beskadiger virussen. Fænomenet svarer til når højfrekvent lyd får glas til at vibrere og evt. splintres, som når Bianca Castafiore bryder ud i sang. Tunes laseren korrekt vil kun viraene og ikke de omkringliggende celler tage skade. Kilder: [1] [2] J. Phys.: Condens. Matter 19 No 47 [3] Phys. Rev. Lett. 100, (2008) [4] Bølle-bølger KRL OPTIK OG HYDRODYNAMIK Det engelske ord rogue wave oversættes måske bedst til dansk med bølle-bølge. Udtrykket dækker over et sagnomspundet sø-fænomen, der længe har været mistænkt for kun at eksistere i fantasifulde søulkes hjerner. Kæmpemæssige ensomme bølger på op til 30 meters højde, der midt på dybt hav og til tider i stille vejr dukker op som ud af ingenting og udretter enorm skade. For nyligt fik sø-skrønerne om kæmpebølger dog ære og oprejsning. Nye satellitdata bekræfter, at enorme ensomme oceanbølger faktisk forekommer langt oftere, end man rent statistisk forventer. Dog er årsagen til, at de forekommer så 5

6 Nyheder og meddelelser Paradokser og opgaver relativt ofte, stadig uvis. Men noget kunne tyde på, at et lignende fænomen i optikkens verden kan være med til at kaste lys på bølle-bølgernes oprindelse. Solli et al. [1] har eksperimenteret med laserpulse i et non-lineært optisk medie og mener de har fundet optikkens svar på søens bølle-bølger i form af solitoner. Solitoner er groft sagt solitære og meget robuste bølgepakker, der propagerer i dispersive medier med konstant hastighed og form. Normalt vil en bølgepakke, der propagerer i et dipersivt medie, ændre form, men i solitonens tilfælde udlignes den dispersive effekt netop af en nonlineær effekt. For lys, der propagerer i glas, er der f.eks. tale om den nonlineære Kerr effekt. Kerr-effekten er det fænomen, at glassets brydningsindex 1 afhænger af lysets elektriske feltkomponents amplitude i anden potens. Solli et al. tilføjede i deres forsøg tilfældig støj til en jævn laser bølgepuls og sendte denne gennem en non-lineær optisk fiber. Den indgående bølgepuls var frekvensmæssigt smal, men det bølgetog de fik ud i den anden ende bestod af et meget bredt spektrum af frekvenser. Dette er en velkendt effekt, der skyldes mediets nonlineære karakter og kaldes superkontinuums generering. Forskerne fandt, at der i det udgående bølgetog var et overraskende højt antal pulse med abnormal høj amplitude. De valgte at kalde dem bølle-bølge events. De fandt ligeledes, at fordelingen af bølger med forskellig amplitude havde nogenlunde samme form som den tilsvarende ocean-bølge fordeling lavet vha. satellitdata. Begge havde en karakterisktisk overrepræsentation af solitære bølger med overraskende stor amplitude. Solli et al. benyttede Schrödingers nonlineære ligninger til numerisk at simulere den superkontinuums generering, der fandt sted i den optiske fiber. De fandt, at disse bølle-bølge events skyldtes solitoner, der undervejs i fiberen dannedes, blev forstærket og skubbet til lavfrekvensområdet. Optiske solitoner har den egenskab, at de er i stand til at opsamle energi fra andre bølgepakker, de passerer, hvilket er årsagen til, at de til tider udvikler enorm amplitude. Solli et al. mente at kunne vise, at dannelsen af disse amplitudemæssigt store solitoner var nært sammenknyttet med den støj, de adderede til den indgående bølgepuls. Den forholdsvis lille pertubation, som støjen udgør, forstærkes nemlig kraftigt 6 1 Brydningsindexet angiver, hvor meget lysets hastighed reduceres i mediet C A D K (a) Der tegnes en retvinklet trekant, BCE, med E udenfor ABC, så BCE CAD. Så er og CAD = CBE, ACD = BCE (2) AD AC = BE BC, E B CA CB = CD CE Den anden ligning i (2) medfører, at ACB = DCE; dette, kombineret med den anden ligning i (3) viser, at trekanten ABC er ensvinklet med DEC, og derfor, at AB AC = DE DC, (4) Den første ligning i (2) sammen med formel (1) giver DBE = CBD + CBE = CBD + CAD = 90. Endelig følger af første ligning i (3) og den anden betingelse i opgaven (AC BD = AD BC), at BD = BE. Derfor er DBE en ligebenet retvinklet trekant, og altså er DE = 2 BD. Indsættes dette i formel (4), får vi resultatet i (a): AB CD AC BD = 2. (3) 43

7 Paradokser og opgaver Nyheder og meddelelser Da AE = AG, er AE og AG sider i et kvadrat AEQG, hvis fjerde vinkelspids Q er skæringspunktet mellem de to linjer, der indeholder linjestykkerne EF og GH. Da diagonalen EG halverer vinklerne AEF og AGH, ligger centrene for begge de betragtede indskrevne cirkler på EG, og altså er E = K og G = L. Da kvadratet AEQG er indeholdt i polygonen AEF HG, er ABC = AEF + AGH AEQG = 2 AEG, som påstået. Det ses, lighedstegnet gælder, hvis og kun hvis AB = AC. Svar Begge dele Lad D være et punkt inden i en spidsvinklet trekant, ABC, sådan at ADB = ACB + 90 og AC BD = AD BC (a) Beregn værdien af forholdet AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Lad K være et vilkårligt punkt på linien CD udenfor C. Vinklerne ved D opfylder, at ADK = CAD+ ACD og BDK = CBD+ BCD. Lægger vi dem sammen, får vi ADB = CAD + CBD + ACB. Sammen med første betingelse i opgaven giver det Denne ligning er nøglen til opgavens løsning. CAD + CBD = 90. (1) Figur 1: Olietankeren esso-nederlander rammes af en ordentlig soliton. af nonlineære interaktioner, bla. det man kalder modulations instabilitet, og dette gør det nemmere for solitoner at fissionere og for uudforusigelige og tilsyneladende usandsynlige bølgebegivenheder at udvikle sig. Solli et al. påpeger, at Schrödingers nonlineære ligninger er blevet brugt ofte til at modelere solitoner både i optiske og hydrodynamiske sammenhænge. Det er derfor oplagt at udforske, om det er ligheder mellem de effekter der ligger bag dannelsen af enorme ensomme oceanbølger og de optiske bølle-bølger. Der er et utal af måder, hvorpå man kan forestille sig at støj adderes til oceanernes bølgepulse, såsom f.eks. skift i vindretning, og måske er det her forklaringen på ocean-bølle-bølgernes oprindelse gemmer sig. Kilder: [1] Optical rogue waves, D. R. Solli, C. Ropers, P. Koonath1 & B. Jalali, Nature Vol 450 ( ) December 2007 [2] Rogue waves surface in light, Dong-Il Yeom and Benjamin J. Eggleton, NEWS & VIEWS, Nature Vol 450 December 2007 SH 42 7

8 Paradokser og opgaver Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet Af Signe Riemer-Sørensen Signe Riemer-Sørensen er PhD studerende på Dark Cosmology Centre ved NBI med projektet Characterization of Dark Matter from Observations. signe@ dark-cosmology.dk Hvad er mørkt stof Et kig ud i Universet med Hubble Space Telescope (som på Fig. 1) afslører flotte og fascinerende strukturer såsom spiralgalakser, elliptiske galakser, galaksehobe (og forgrundsstjerner, men dem ser vi bort fra her). De har alle det til fælles at de lyser, men det mest spændende er alt det vi ikke ser, og som alligevel holder det hele sammen med sin tyngdekraft: Det mørke stof. Observationer viser at over 20% af den samlede energi i Universet er mørkt stof, hvorimod kun ca. 4% er almindeligt stof som vi kender det fra Jorden, stjerner, gas mv. De sidste nogle og 70% er mørk energi som bl.a. får Universets udvidelse til at accelerere. Som navnet antyder er det mørke stof mørkt, og det betyder at vi ikke kan se det direkte, men kun ser effekten af dets tilstedeværelse. Rotationshastigheder i galakser I spiralgalakser som dem på Fig. 1 eller vores egen galakse, Mælkevejen, bevæger stjernerne sig i cirkelbaner omkring centrum fastholdt af tyngdekraften. Hvis vi antager at det kun er stjernernes masse, der bidrager til tyngdefeltet i galaksen er det relativt let at forudsige stjernernes banehastigheder ved hjælp af Newtons love. Især i de ydre dele af galaksen, hvor 8 Af antagelsen om, at ABC er spidsvinklet, følger let, at punkterne K og M ligger i det indre af siderne AB og AC. For bestemtheds skyld antages det, at B > C (tilfældet B = C er let). Da NBA = NBC + B = A 2 + B A + B + C > = π 2 2, ligger fodpunktet P på AB s forlængelse, og på den anden side ses Q at ligge på liniestykket AC mellem M og C. Vi har så Svar Retvinklet ABC = AKL + KBL + ALM + LCM = AKL + KP L BP L + ALM + LQM LCQ = AKL + KNL + ALM + LNM = AKNM QED. ABC er retvinklet med den rette vinkel i A. Lad D være fodpunktet for højden fra A. Linien gennem centrene for de indskrevne cirkler i trekanterne ABD og ACD skærer siderne AB og AC i hhv. K og L. Vis at arealet af AKL er højst halvt så meget som arealet af ABC. B E = K A F D H Q G = L Lad AF E være billedet af ABD ved spejlingen i halveringslinjen for BAD, og lad AHG Af symmetrigrunde er den indskrevne cirkel for ABD også indskrevet i AF E, og den indskrevne cirkel for ACD også indskrevet i AHG. C 41

9 Paradokser og opgaver Signe Riemer-Sørensen Så er 2 n + 1 = ((3m + 1)3 k+1 1) u + 1 = u j=1 u ( 1) u j ((3m + 1)3 k+1 ) j. j Her er alle led undtagen leddet svarende til j = 1 delelige med 3 2k, men så er 2 n + 1 ikke deleligt med 3 2k, og derfor heller ikke med n 2. Svar Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel i punktet N. Fra punktet L nedfældes de vinkelrette på AB og AC, fodpunkterne kaldes hhv. K og M. Vis, at firkanten AKNM har samme areal som trekanten ABC. A M K L Q B C P N Længden af et linjestykke, fx BN, betegnes BN og arealet af en polygon, fx AKNM, betegnes AKN M. Da BAN = N AC, er BN = NC, og altså BN = CN. Fra punktet N nedfældes de vinkelrette på AB og AC; fodpunkterne kaldes hhv. P og Q. Af symmetrigrunde er KL = LM og P N = NQ. I de retvinklede trekanter P BN og QCN er P N = QN og BN = CN, og altså har vi også P B = QC. I de to trekanter LBP og LCQ er grundlinierne BP og CQ lige lange, og da højderne LK og LM også er lige lange, er LBP = LCQ. Da linjerne KL og P N er parallelle er KP L = KNL, og analogt er LQM = LNM (iøvrigt er trekanterne KP L og MQL kongruente, og det samme gælder KN L og M N L, men det får vi ikke brug for). 40 Figur 1: Et kig ud i Universet med Hubble Space Telescope. Man ser tydeligt spiralarmene i nogle af galakserne, mens andre er elliptiske tilsyneladende uden indre struktur ( man uden problemer kan antage sfærisk symmetri så tyngdefeltet er givet ved en central punktmasse med en masse svarende til summen af stjernemasser (B på Fig. 2). Stjernernes banehastiheder kan måles ved hjælp af Doppler effekten på emissionslinier i stjernespektret (A på Fig. 2) og sammenlignes med forudsigelserne. Resultatet, som er skitseret på Fig. 2 er en enorm afvigelse mellem forudsigelse og måling. Især i de ydre dele af galaksen, hvor forudsigelsen ellers er mest simpel, aftager de målte banehastigheder ikke med afstanden fra centrum som vi havde forventet, men forbliver konstant så langt ud vi kan måle. Forskellen kan bedst forklares ved tilstedeværelsen af en halo af partikler, som tilføjer ekstra tyngdekraft til galaksen, men som ikke lyser: mørkt stof. Hvis haloen strækker sig længere ud end stjernerne i galaksen, forklarer det hvorfor de målte hastigheder ikke aftager. 9

10 Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet Paradokser og opgaver som påstået. Bevis for (iv): En umiddelbar følge af (iii). Bevis for (v): Ved brug af (iv) kan vi successivt fjerne primfaktorer i n, indtil vi ender med en divisor d af formen d = p(= p 1 ), og med egenskaben (2). Ved at bruge (iii) med n erstattet af p fås p 2 p/p + 1 = 3, Figur 2: Rotationskurven af en spiralgalakse. Kurven A illustrerer målinger af stjernernes banehastigheder mens B illustrerer de forventede hastigheder, hvis tyngdepotentialet udelukkende skyldes stjernernes masse. Især i de ydre dele stemmer de to kurver meget dårligt overens og forskellen forklares bedst ved tilstedeværelsen af en halo af mørkt stof partikler. Galaksehobe - de største strukturer Det mørke stof er også nødvendigt på større skala. Galakser er ikke bare tilfældigt fordelt i Universet, men derimod gravitationelt bundet i strukturer vi kalder for galaksehobe. De består af galakser og er de største observerede systemer i Universet i ligevægt. Den højre del af Fig. 3 viser et optisk billede af den meget almindelige galaksehob Abell Galakserne udgør kun ganske få procent af massen i en galaksehob % af massen er derimod varm (ca. 10 kev) gas, der befinder sig mellem galakserne. Vi ser gassen fordi den udsender røntgenstråling som vist på den venstre del af Fig. 3. Lysstyrken af røntgenstrålingen fortæller hvor meget gas der er, og fotonenergien afhænger af gassens temperatur. Observationer viser at gassen er af størrelsesorden 10 7 K, hvilket er alt for varmt til at gassen kan være bundet udelukkende af sit eget (plus galaksernes) tyngdepotentiale. Galaksehobe er nødt til at bestå af op mod 80-90% mørkt stof, hvis de skal være tunge nok til at holde på gassen. Det giver galaksehobe en samlet masse på solmasser. 10 og altså p = 3. Hvis n > 3, udfører vi den samme proces (at fjerne primfaktorer), men nu standser vi, når der er to primfaktorer i d, altså ved en divisor d i n af formen 3d, og med egenskaben (2). Nu bruger vi (iii) med n erstattet af d, og får og altså d = p 2 3p/p + 1 = 9, Bevis for (vi): Vi viser først, at der for ethvert positivt helt tal k gælder, at 2 3k + 1 kan skrives 2 3k + 1 = (3m + 1)3 k+1, hvor m er et helt tal. Beviset føres ved induktion. Påstanden er opfyldt for k = 1 med m = 0, så lad os antage, at den er opfyldt for k, og lad os se på som udregnes til 2 3k = ((3m + 1)3 k+1 1) 3 + 1, ((3m + 1)3 k+1 ) 3 3((3m + 1)3 k+1 ) 2 + 3(3m + 1)3 k+1, der har den ønskede form. Lad nu n være et ulige tal, som er deleligt med 3 2 (tilfældet n lige er uinteressant ifølge (i)), og lad os skrive n på formen n = 3 k u, hvor k 2 og u er et ulige tal, som ikke er deleligt med 3. 39

11 Paradokser og opgaver Signe Riemer-Sørensen (iv) Hvis n har egenskaben (2), og p er den største primtalsdivisor i n, har tallet n/p egenskaben (2). (v) Hvis n har egenskaben (2), er n delelig med 3, og hvis n > 3, er n deleligt med 3 2. item(vi) Hvis n er delelig med 3 2, har n ikke egenskaben (1). Påstanden følger let af (i) (vi). Bevis for (i): Da 2 n + 1 er ulige, må n være ulige. Bevis for (ii): Klart. Bevis for (iii): Betragt den multiplikative gruppe G bestående af de restklasser modulo n, som er primiske med n. Hvis n har primfaktoropløsningen n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k, hvor 2 < p 1 < p 2 < < p k, er G s orden og altså har vi φ(n) = (p 1 1)p e (p 2 1)p e (p k 1)p e k 1 k, 2 φ(n) = 1 i G. Ifølge (2) er 2 n = 1 i G, og altså 2 2n = 1 i G. Lad o betegne ordenen af 2 s restklasse i gruppen G. Så er o divisor i såvel φ(n) som 2n. Da p k kun forekommer i potensen e k 1, forekommer p k højst i potensen e k 1 i o s primfaktoropløsning, og da o er divisor i 2n, er o divisor i 2p e 1 1 p e 2 2 p e k 1 k. Da p k er ulige, følger heraf, at o er divisor i p e 1 1 p e 2 Da 2 pe 1 1 pe 2 2 pe k 1 k (p k 1) = 1 i G. n/p k = p e 1 1 p e 2 2 p e k 1 k = n p e 1 1 p e 2 2 p e k 1 k (p k 1) 2 p e k 1, og altså at k Figur 3: Røntgenstrålingen (ventre) og det optiske billede (højre) af galaksehoben Abell 2029 (NASA). Gravitationelle linser Massefordelingen i galaksehobe kan kortlægges med en metode, der hedder gravitationel lensing. Den benytter at generel relativitetsteori fortæller os, hvordan tilstedeværelsen af masse krummer rumtiden, og at lys bevæger sig i rette linjer i rumtiden, hvorved dets bane bliver påvirket af store masser. Som vist på Fig. 4 afbøjes lyset fra en fjerntliggende kvasar 1 så vi observerer flere identiske billeder samt forvrængninger i form af buer. På Fig. 1 kan man også se effekten af gravitationel lensing. Buerne er ikke fejl i observationen, men skyldes afbøjningen af lyset fra bagvedliggende objekter. Og hvad man ikke kan se med det blotte øje, er at nogle de lysende prikker er fuldstændig identiske idet de er billeder af det samme bagvedliggende objekt. De identiske billeder og buerne kan bruges til at opstille en model for massefordelingen, som kan sammenlignes med det optiske billede og røntgenstrålingen. 38 er 2 n/p k = 2 n 2 pe 1 1 pe 2 2 pe k 1 k (p k 1) = 1 i G, 1 Kvasarer kaldes også aktive galaksekerner. De udsender kraftig stråling fra stof der falder ind i et centralt supertungt sort hul. 11

12 Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet Paradokser og opgaver Opgave Trekantet A Figur 4: Gravitationel lensing. Lyset fra en fjern kvasar (= quasar) afbøjes af en galaksehob som ligger i synslinien og skaber et forstyrret billede med buer og dobbelte billeder, der kan bruges til at udlede massefordelingen i galaksehoben (NASA, ESA, and A. Feild (STScI)). Verdens største trafikuheld Ikke alle galaksehobe er i ligevægt som Abell 2029 (på Fig. 3). Universets mest dramatiske trafikuheld, sammenstødet mellem to galaksehobe som tilsammen kaldes Bullet Cluster, er et af de bedste argumenter for eksistensen af mørkt stof. På den venstre del af Fig. 5 ses galakserne i de to galaksehobe der har gennemgået sammenstødet. De befinder sig ca. 3.4 milliarder lysår fra Solen, så alle de lysende prikker på billedet er galakser. Konturene viser massefordelingen, som den er kortlagt med gravitationel lensing. Galakserne er gravitationelt bundet til hoben, så derfor fordeler de sig ligesom massen. I en normal galaksehob vil fordelingen af den varme gas følge massefordelingen ligesom galakserne, men i Bullet Cluster er det anderledes. Den højre del af Fig. 5 viser røntgenstrålingen fra gassen og de samme konturer som i den venstre del af figuren. Chokfronten i gassen skyldes sammenstødet, og det er den der har givet Bullet Cluster sit navn. Den lille klump i højre side kom for nogle hundrede millioner år siden fra venstre og bevægede sig gennem den store klump. Galakserne i galaksehobe er så langt fra hinanden, at sandsynligheden for at de støder sammen er forsvindende lille. Det samme gælder for det mørke stof, som 12 F E B D C Trekanten ABC er ligebenet med AB = AC, D er midtpunktet på BC, E på AC er det punkt, hvor ED er vinkelret på AC og F er midtpunktet af DE. Vis, at AF står vinkelret på BE. Opgave Kvadratisk n er et helt tal, så 2n+1 er et kvadrattal. Vis, n+1 er sum af to sukcessive kvadrattal. Svar Heltalligt Bestem alle hele tal, n > 1, for hvilke 2n +1 n er et helt tal. 2 Det er klart, at tallet n = 3 har egenskaben (1). Jeg påstår, at det er det eneste tal n > 1 med denne egenskab. Beviset består af følgende trin: (i) Hvis n har egenskaben (1), er n ulige. (ii) Hvis n har egenskaben (1), har n også egenskaben n 2 n + 1 (2) (iii) Hvis n har egenskaben (2), og p er den største primtalsdivisor i n, gælder n 2 n/p

13 Signe Riemer-Sørensen Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail eller per almindelig post (se adresse på bagsiden). Første indsendte, korrekte løsning til en af de stillede opgaver bringes i næste nummer af Gamma. Opgave Firkantet Figur 5: Bullet Cluster: Til venstre det optiske billede af Bullet Cluster med konturene for massefordelingen fra gravitationel lensing. Til højre det samme udsnit af himlen i røntgenstråling, som viser gassens fordeling sammen med massefordelingen (NASA). fra naturens side har en meget lille vekselvirkning og dermed en meget lille sandsynlighed for sammenstød. Det eneste der rigtig støder sammen er gassen, som består af helt almindeligt stof. Når gassen i de to klumper støder sammen, opstår der en gnidning, som bremser gassen i forhold til resten af galaksehoben. Hvis det mørke stof opførte sig som de kendte partikler i Standardmodellen, ville de støde sammen ligesom gassen og vi ville ikke observere den markante forskel mellem massefordelingen og gasfordelingen. Derfor mangler det mørke stof i Standardmodellen. A E D C Lad C være et vilkårligt punkt på liniestykket AB mellem A og B, og tegn halvcirkler til samme side over diametrene AB, AC og CB. Lad D være det punkt på halvcirklen AB, der har CD vinkelret på AB, og lad EF være fællestangenten til de to små halvcirkler. 36 Vis, at ECF D er et rektangel. F B Zoologisk have af kandidater Hovedparten af tyngdekraften i Universet kommer fra det mørke stof som udgør 23% af den samlede energi. Det almindelige stof som vi kender det fra planeter, stjerner, gas, osv. udgør kun 4%. Det er altså kun de 4%, der kan beskrives ved hjælp af Standardmodellen for partikelfysik. Inden vi kigger på hvad det mørke stof kan være, er det vist på tide med en lille opsummering af hvad vi egentlig ved om det mørke stof. i) Det skal have en masse så det kan bidrage til tyngdekraften. ii) Det skal kunne fordeles i en halo, hvilket er nemmest hvis det er en partikel. iii) Det må ikke vekselvirke med almindeligt stof, og det skal være mørkt. iv) Det er en fordel, hvis det kan dannes i det tidlige Univers og så holde op med at vekselvirke efterhånden som Universet afkøles som følge af udvidelsen. 13

14 Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet Boganmeldelser Figur 6: Det samlede energiindhold i Universet. Eftersom Standardmodellen ikke indeholder nogen partikel, der opfylder alle ovenstående kriterier, er det nødvendigt med udvidelser for at få teorier med kandidater til det mørke stof. Der er mange muligheder, og et par stykker af dem er supersymmetri, sterile neutrinoer og ekstra dimensioner. I supersymmetri har alle partikler en supersymmetrisk makker, som enten må være meget tungere end de almindelige partikler eller have en meget mindre vekselvirkning, da vi ellers ville have detekteret dem i partikelaccelerator eksperimenter. Den letteste supersymmetriske partikel er i de fleste modeller neutralinoen, som er stabil, det vil sige den henfalder ikke, så den er en rigtig god kandidat til det mørke stof. En anden mulighed er at udvide neutrinosektoren. Vi observerer kun venstredrejede neutrinoer, mens alle andre partikler observeres som både venstredrejede og højredrejede. De højredrejede neutrinoer kan sagtens eksisterer så længe de ikke vekselvirker med resten af partiklerne i Standardmodellen gennem den svage kernekraft, hvorfor de har fået navnet sterile. Hvis de eksisterer kan de faktisk være med til at forklare hvorfor de almindelige neutrinoer har masse og foretager oscillationer som dem man observerer i neutrino-eksperimenter. Den letteste sterile neutrino en fin kandidat til det mørke stof. Endnu er det ikke lykkedes at indarbejde tyngdekraften i Standardmodellen. Der har dog været adskillige forsøg, og en del af dem ender med ekstra sammenkrøllede dimensioner og nogle partikler kaldet axioner. Med de rigtige modelparametre kan axionerne udgøre det mørke stof. Det er endda muligt at have både ekstra dimensioner og supersymmetri på en gang og så bliver axionens superpartner, axinoen, også en kandidat 14 nere dansk astronomi i det 20. århundrede. Han benyttede kvantefysikken til at forstå stjernernes grundstofsammensætning. Det blev samtidigt perioden, hvor Brorfelde Observatoriet blev oprettet, og hvor astronomien flyttede til den sydlige halvkugle, da Danmark blev indlemmet i Big Science projektet ESO (European Southern Observatory). Big Science projekter og ekspeditioner dominerer den næste del. Polarudforskning og Galathea-ekspeditionen er blandt de projekter, der bliver beskrevet. Af Big Science projekter bliver CERN og det allerede nævnte ESO s historie introduceret. Den sidste del har formidling og debat på programmet. Her bliver naturvidenskaben i bl.a. medierne, skolen og populærvidenskaben (fra forsker til folk) beskrevet. Til slut i bogen ser Peder Olesen Larsen på den naturvidenskabelige forskning udover perioden frem til 2005, hvor han prøver at svare på, hvordan det går for dansk forskning. Selvom vi nok ikke får et klart svar nu, da det er svært behandle historien så tæt på, vil jeg mene, at der nok ikke er grundlag for den store optimisme. De to sidste bind i værket er absolut læseværdige, selvom man får fornemmelsen af, at man kun skraber overfladen i naturvidenskabshistorien. Man kan ikke andet end beundre videnskabshistorikernes store arbejde, der har krævet meget tid. Teksten er rimelig homogen på trods af mange forfattere, og den er velillustreret med mange billeder, malerier og tegninger. De satiriske tegninger er guld værd, og er samtidig perfekte til at underbygge teksten. Det eneste, der måske kan skræmme nogen fra at købe bøgerne, er prisen: 1500 kroner for hele værket, men så kan man da ønske sig dem som gave over flere gange til den simple pris af 500 kroner for hver bog. God videnskabshistorisk læselyst! JRN 35

15 Boganmeldelser Signe Riemer-Sørensen i slutningen af perioden. Der var mange fordomme, der skulle nedbrydes. Men der var flere kvinder, der gjorde sig bemærket - såsom geofysikeren Kirstine Meyer. I den sidst del af bindet bliver den naturvidenskabelige formidling og debat behandlet. Det beskrives, hvordan naturvidenskaben blev udbredt til den brede offentlighed ved bl.a. foredrag og i magasiner og ugeblade. Populærvidenskaben og folkeoplysningen bliver beskrevet med nogen humor med enkelte satiriske tegninger, som man ikke bør snydes for. Fjerde bind af værket hedder Viden uden grænser og dækker perioden Dette bind er ligeledes inddelt i fire dele, hvor den første del også giver et signalement af perioden. Historisk kan man måske bedre forholde sig til denne tid, da den er tættere på os. Indenfor teoretisk naturvidenskab blev perioden præget af reduktionisme, hvor fysikernes søgen efter enhedsteorier bl.a. førte til kvantefysikken og relativitetsteorien. Anden del handler om udviklingen af de naturvidenskabelige discipliner og institutioner, hvor to kapitler specielt fangede min interesse. Det første handler om Niels Bohr og hans institut for teoretisk fysik, som i dag stadig bærer hans navn. Hvis man har læst en rimelig god Bohr biografi, er der ikke mange nyheder i dette kapitel, men man får hele instituttets historie sat i et større perspektiv med historien om Niels Bohrs søn, Aage Bohr, der endnu engang får sat instituttet på verdenskortet. Kapitlet om astronomien med Elis og Bengt Strömgren som hovedaktører er absolut også værd at stifte bekendtskab med. Ligesom Niels Bohr kom til at dominere dansk fysik, kom Bengt Strömgren til at domi- 34 til det mørke stof. Som det fremgår af ovenstående findes der en hel zoologisk have af kandidater til det mørke stof, så det er ikke mangel på kandidater, der holder os tilbage. Problemet ligger i at observere noget der befinder sig millioner af lysår væk og ikke lyser. Indtil videre har vi kun beskæftiget os med de inddirekte observationer af mørkt stof det vil sige effekten af dets tilstedeværelse på det lysende stof, men der findes også andre metoder. Direkte detektion Ligesom alle de 300 mia. andre stjerner i Mælkevejen bevæger Solen sig rundt om galaksens centrum i cirkelbaner med en hastighed på ca. 220km/s. Det betyder, at vi bliver slynget gennem galaksens halo af mørkt stof som vist på Fig. 7. Dermed må vi også støde ind i mørkt stof partikler. Vi kender kun energitætheden af det mørke stof, så det præcise antal partikler vi rammer afhænger af deres masse, men det er af størrelsesorden et par stykker pr. liter. Ligesom med neutrinoerne, som kun vekselvirker ganske svagt, mærker vi ikke denne bombardering af partikler. Men hvis der er bare en lille vekselvirkning, kan man bygge meget følsomme detektorer, der kan måle sammenstødet mellem atomkerner og mørkt stof. Desværre vil der være mange flere sammenstød fra almindeligt stof end fra mørkt stof, så man er nødt til at kende baggrunden og sin detektor enormt godt. Endnu er der ikke nogen, der har detekteret det mørke stof direkte, men en ìkke-detektion er også et resultat, fordi det tillader os at sige noget om hvor meget det mørke stof må vekselvirke med almindeligt stof. Mørkt stof der udsender lys En anden mulighed er at det mørke stof kan henfalde eller, hvis det er sin egen antipartikel, annihilere. Middellevetiden skal bare være tilstrækkelig stor til at der stadig er masser af det mørke stof tilbage i dag, selv om det blev dannet kort efter Big Bang. Neutralinoen, som er den bedste supersymmetriske kandidat til det mørke stof, er sin egen antipartikel og dermed et godt eksempel på annihilationer. Selv om neutralinoerne ikke annihilerer direkte til fotoner, er en del af slutproduktet altid fotoner, som på grund af neutralinoens masse vil have bølgelængder svarende til 15

16 Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet Boganmeldelser Figur 7: Solen bevæger sig gennem Mælkevejens halo af mørkt stof så vi bombarderes med mørkt stof partikler ( martoff/sagenap/galaxy.gif). gammastråling. Det præcise signal fra det mørke stof vil afhænge af den specifikke model. For supersymmetriens vedkommende kan vi håbe at LHC 2 vil fortælle os mere om de tilladte parametre og dermed hvilket signal vi skal lede efter. Gammastråler er meget energirige og derfor teknisk svære at detekterer fordi de fleste materialer er gennemsigtige for så kortbølget stråling. Det kan være en af forklaringerne på hvorfor man endnu ikke har detekteret det svage (men mulige) lys fra annihilerende mørkt stof. Der er heldigvis mere følsomme teleskoper på vej. Går alt efter planen opsender NASA deres nye gamma-teleskop GLAST 3 til maj. Det skal kortlægge hele himlen i gammastråling og vil dermed hjælpe os i jagten på identiteten af det mørke stof. Følsomheden af GLAST er 17 gange bedre end forgængeren EGRET 4 og den rumlige opløsning er mere end dobbelt så god. Den rumlige opløsning er vigtigt, fordi vi ikke ved ret meget om hvor klumpet det mørke stof er fordelt i galaksen. Hvis det klumper meget, vil der være større sandsynlighed for at det annihilerer i klumperne, da tætheden er større og sandsynligheden for annihilationer er proportional med kvadratet på tætheden Large Hadron Collider ved CERN 3 Gamma ray Large Area Space Telescope 4 Energetic Gamma Ray Experiment Telescope Udover en beskrivelse af styrkelsen af naturvidenskaben igennem øget tilførsel af penge og nye bygninger beskriver den første del, hvordan de enkelte fagområder indenfor naturvidenskaben udviklede sig i perioden. Med en baggrund i fysik finder jeg selvfølgelig kapitlet om fysik og astronomi mest interessant. I bind 2 af dette værk kan man læse om Ørsteds dominerende rolle i dansk fysisk naturvidenskab, og det er en dominans, der havde sine negative sider. Ørsteds forældede syn på fysik betød, at teoretisk fysik ikke eksisterede i det meste af det 19. århundrede. Astronomien havde det lidt bedre i perioden med opførelsen af observatoriet på Østervold i Den dansk-tyske astronom d Arrest blev hentet op til observatoriet, hvor han udførte et betydeligt arbejde indenfor astrospektroskopi. Astrofysikken blev dog ikke videreført af hans efterfølger som astronomiprofessor, da hverken Thorvald N. Thiele eller Elis Strömgren følte sig tiltrukket af astrofysiske problemstillinger. Tredje del af første bind beskriver tidens udøvere af naturvidenskaben. I denne del bliver vi præsenteret for et anderledes billede på en naturvidenskabelig uddannet person end nørden, som vi har i dag. Ingeniøren og andre med en akademisk dannelse blev anset for helte, og i flere forfatteres romaner blev de portrætteret som heroiske idealtyper. I de populære ugeblade blev der bragt en længere række af portrætter og nekrologer over ledende danske polyteknikere, der skulle være et ikon og rollemodel for andre dannede borgere. Det blev samtidigt tiden for kvindernes ankomst til den akademiske verden. Det var dog i yderst begrænset omfang i begyndelsen, at kvinder fandt vej til universiteterne, men de øgedes i antal 33

17 Boganmeldelser De to sidste bind om dansk naturvidenskabs historie Signe Riemer-Sørensen Bind 3: Lyset over landet Redigeret af Peter C. Kjærgaard 518 sider Aarhus Universitetsforlag, kr. Bind 4: Viden uden grænser Redigeret af Henry Nielsen og Kristian H. Nielsen 527 sider Aarhus Universitetsforlag, kr. I 2006 udkom de sidste bind af firbindsværket om dansk naturvidenskabshistorie, og selvom anmeldelsen kommer sent, er bøgerne stadig aktuelle. Derfor skal læserne ikke snydes for en anmeldelse af bøgerne i Gamma. Tredje bind beskriver perioden og bærer titlen Lyset over landet. Det var en periode, hvor Danmark blev væsentlig mindre med tabet af Slesvig, Holstein og Lauenburg som følge af nederlaget i Danmark var blevet et demokrati - det var dog et begrænset demokrati, hvor kun mænd over 30 år kunne stemme. Kvinder, gårdkarle, tjenestefolk og andre under tjeneste, uden eget tag over hovedet, fattige, forbrydere og fjolser kunne ikke stemme ved et valg. Samfundet oplevede en overgang fra landbrugssamfund til industrisamfund, og industrien gav mulighed for vækst i naturvidenskaben. Det blev derfor ligeledes en periode, hvor store revolutionerende opfindelser blev udviklet af industriens mænd og patenteret. Afstandene blev mindre med de nye opfindelser indenfor kommunikation og transport. Man kunne kommunikere over store afstande med telegrafen, telefonen og radioen. Rejser blev væsentligt kortere med damplokomotivet, bilen og flyvemaskinen. Desuden kom der nye energikilder til som gas og elektricitet og kloakering blev forbedret til fordel for befolkningens helbredstilstand. Det er ikke så underligt, at de nye opfindelser lagde grunden for tidens fremskridts-optimisme. Begejstringen for naturvidenskaben kendte næsten ingen grænser. Ingeniører, kemikere og opfindere var tidens helte, hvilket dog fik et brat stop med 1. verdenskrig. Dette er beskrevet godt i det første kapitel Kundskab er magt, der giver et kort signalement af naturvidenskaben i perioden. Kapitlet udgør den første del, Naturvidenskab i det unge demokrati. Bogen er derudover delt ind i tre dele, der har titlerne En professionel videnskab, Den ny tids videnskabsfolk og Offentlighed og debat. 32 Figur 8: Kortlægning af Universet med galaksetællingen 2dF ( TDFgg/). Usynlige legoklodser Selv om vi ikke ved hvor meget det mørke stof klumper i galakserne, ved vi en del om hvordan det klumper på større skala. Vi har set at det mørke stof dominerer tyngdekraften i galakser og galaksehobe, så hvis vi antager at det mørke stof tiltrækker og fastholder det lysende stof, kan vi bruge det til at spore fordelingen af det mørke stof. På Fig. 8 ses et plot af positionen og afstanden til ca galakser i en skive af himlen fra galaksetællingen 2dF 5. Det er helt tydeligt at galakserne ikke er jævnt fordelt, men klumpet sammen i strukturer. Dermed må det mørke stof også være klumpet i strukturer. Fig. 9 viser en computersimulering af strukturdannelsen i Universet, og man ser tydeligt samme slags struktur som for galakserne på Fig. 8. Uden at inddrage det mørke stof i simulationerne og ligningerne, kan man ikke reproducere de observerede strukturer, så det mørke stof er nødvendige, men usynlige, legoklodser i Universet. Der er andre teorier, der kan forklare enkeltstående observationer såsom rotationskurver, gassen i galaksehobe, strukturdannelsen mv., men endnu er det kun det mørke stof, der 5 2 Degree Field Galaxy Redshift Survey 17

18 Usynlige legoklodser - om mørkt stof i Universet Boganmeldelser Figur 9: Strukturen af det mørke stof fra en computersimulering (Millenium Simulation). kan forklare alle observationerne tilfredsstillende. Det har så den ulempe at vi ikke aner, hvad det er, men vi lever i en spændende tid, hvor vi forhåbentlig kommer svaret nærmere. Og selv uden at kende identiteten af det mørke stof, kan vi sagtens gå ud en stjerneklar aften og lade os fascinere af alt det, der lyser... til at forklare de ligninger, som dukker op undervejs. Der er mange informationer om f.eks. Einstein og hans teorier, som er svære at forstå for den almindelige mand/kvinde, og her er Stjernedrømme god til at give et overkommeligt indblik i, hvordan man f.eks. skal forstå krumningen af rummet, når et objekt bevæger sig ind i et andet tungt objekts gravitationsfelt og lignende fænomener. Ormehuller og tidsrejser er et populært emne og det er derfor ikke underligt, at Flagga også har inkluderet dette i bogen. Igen får man rigeligt med gode illustrationer, og det er dejligt. Ikke alle har let ved at visualisere sig et ormehul og slet ikke et sort hul, hvor tiden skulle stå stille. En andet positivt indslag, der går igen i hvert kapitel, er en opsummering af relevante begivenheder fra kapitlet, med dato angivet for hver af dem. Meget ofte læser man en masse informationer om dit og dat, mens kun meget lidt af det egentligt trænger igennem ens tykke skal og bliver hængende. Ved at reservere en side til opsamling af alle de informationer, der er skrevet undervejs i kapitlet, samt flere andre, får læseren en chance for at repetere og rent faktisk huske indholdet. Bogen er helt klart bedst egnet til ikke-naturvidenskabelige personer. Det vil sige, at størstedelen af al den information, der bliver givet i bogen vil forekomme enten indlysende for en matematiker/fysiker eller meget let tilgængelig. Alle kan gå på nettet og slå op om Bohr/Newton/Fourier, men ikke alle vil forstå det, der bliver skrevet mellem linierne, og det er her Stjernedrømme giver en god forklaring, altså en bog der giver et springbræt ind i en fysikers/astronoms verden. Hvis jeg skulle introducere et intetanende familiemedlem til videnskaben ville denne bog være på min liste over muligheder, da mine lærerbøger typisk er af anden kaliber. MA 18 31

19 Boganmeldelser Signe Riemer-Sørensen Guder, stjerner og fysikken! Stjernedrømme - Kosmologi fra Babylon til det ydre rum Malene Flagga 192 sider, ill. Nyt Teknisk Forlag, kr. Titlen og forsiden på bogen får mig til at tænke på, hvor stort et univers vi faktisk lever i og giver samtidig en følelse af, hvor lille verden egentlig er. Universet er enormt stort, og det kan være svært at begribe. Derfor har Malene Flagga valgt at tage udgangspunkt i noget vi kender, Jorden. Bogen er inddelt i tre hovedgrupper. Den geometriske kosmologi, Den ny kosmologi og Den moderne kosmologi. Med vores Jord og solsystem som udgangspunkt beskriver Flagga skridt for skridt de mange begivenheder, som mennesket har været igennem, og hvad de har betydet for os. Hun starter dengang mennesket troede på guder, dæmoner og andre fantastiske væsner. De tegnede illustrationer af de mange unikke personer, som har bidraget til skabelsen af datidens videnskab, er venlige, rare og genkendelige. Det er næsten ligesom at se tegneseriefigurer komme frem en gang imellem for at hilse på læseren. Enkelte store navne, Einstein, Niels Bohr & Newton har fået tildelt små afsnit for sig selv, hvor det forklares, hvad de har bidraget med og hvordan. Når man læser bøger, der præsenterer en historisk gennemgang, bliver man ofte træt og uinteresseret. I Stjernedrømme er teksten gjort meget venlig og letlæselig, og mange illustrationer er til rådighed for læseren 30 19

20 René Petersen Resonant Tunneling Diodes Af René Petersen René Petersen studerer nanoteknologi på 8. semester ved Institut for Fysik og Nanoteknologi på Aalborg Universitet. Hans primære interesser er teori og modellering af fysiske fænomener indenfor faststoffysik. repetit. dk Igennem mit studie på Aalborg Universitet er jeg i et projekt på det teoretiske plan kommet til at beskæftige mig med en type dioder kaldet Resonant Tunneling Diodes (RTDs) eller Esaki dioder. Hvor dioder normalt kun leder strøm i en bestemt retning, leder RTD dioder kun strøm ved en eller flere ganske bestemte spændinger. En IV-karakteristik for en RTD diode er vist på Fig. 1. Heraf ses det at strømmen stiger som funktion af spændingen op til et vist punkt, hvorefter strømmen falder som funktion af spændingen. Virkemåden af denne diode type afhænger direkte af det kvantemekaniske fænomen kaldet tunnelering. Jeg vil i denne artikel prøve at beskrive tunneleringsfænomenet og altså også dets direkte anvendelse i RTDs. Derudover vil jeg beskrive en metode baseret på transfer matrix formalismen, hvorpå man kan beregne strømmen gennem en RTD [4] [3] [1]. Modsat den klassiske mekanik kan kvantemekanikken ikke forstås ud fra intuition, da kvantepartikler ikke opfører sig som klassiske partikler. Manglen på den intuitive forståelse kommer i høj grad til udtryk i tunneleringsfænomenet. Kort fortalt er tunnelering muligheden for, at en kvantepartikel transmitteres igennem en potentialbarriere, selvom den ikke har energi nok til det. Hvis man skal prøve at forklare tunnelering med klassisk mekanik, kan man forestille sig en bold med kinetisk energi K som skal passere en bakketop. Hvis bolden har potentiel energi V 0 på toppen af bakken vil bolden kun rulle over bakken (transmitteres) 20 29

21 Resonant Tunneling Diodes René Petersen holdet mellem strømmen ved resonans og strømmen uden for resonans. Dette er vist på Fig. 1. Beregningen her giver peak-to-valley forhold på over 1000, hvilket er langt højere end hvad der kan opnås eksperimentelt. I [5] er opnået forhold på 7,6. Denne store forskel skyldes, at barrierebredden og brøndbredden har meget stor betydning. Transmissionskoefficienten igennem en barriere afhænger eksponentielt af bredden på barrieren, hvilket også kan ses ud fra Lign. 9. Eftersom barrierebredden er på omkring 20 Å og brøndbredden 40 Å [2] [6] er nøjagtig produktion vanskelig og det gør at peak-to-valley forholdet bliver betydeligt mindre end det teoretisk beregnede forhold. RTDs har ikke fundet stor anvendelse indenfor elektronik, men en af fordelene ved RTDs er, at de er enormt hurtige med responstider i GHzområdet [3]. Dette skyldes, at elektrontransporten er baseret på tunneleringsfænomenet og altså ikke på ledning i traditionel forstand. En anden interessant anvendelse af RTDs er multi-valued logic. Hvis en RTD har mere end en peak giver det mulighed for at ændre logiske design fra binære til andre baser. Dette kan også gøres med traditionelle CMOS kredsløb men ved at bruge RTDs kan kredsløbene laves meget simplere og effektive. [1] Litteratur [1] Kevein F. Brennan and April S. Brown. Theory of Modern Electronic Semiconductor Devices. Wiley, [2] L. L. Chang, L. Esaki, and R. Tsu. Resonant tunneling in semiconductor double barriers. Applied Physics Letters, 24, [3] Koichi Meazawa and Arno Förster. Nanoelectronics and Information Technology. Wiley, [4] René Petersen. Theoretical investigation of the resonant tunneling phenomenon and its applications in resonant tunneling diodes [5] Yoshiyuki Suda and Hajime Koyama. Electron resonant tunneling with a high peakto-valley ratio at room temperature in si 1 x ge x /si triple barrier diodes. Applied Physics Letters, 79, [6] R. Tsu and L. Esaki. Tunneling in a finite superlattice. Applied Physics Letters, 22, Figur 1: IV-karakteristik for en RTD. hvis K > V 0, ellers ruller den tilbage (reflekteres). I det klassiske billede er udfaldet altså enten refleksion eller transmission, der er ikke nogen mellemting. For kvantepartikler er historien ikke så simpel, her kan partiklen godt transmitteres selvom dens energi E er mindre end højden på potentialbarrieren, V 0. I det kvantemekaniske billede taler man om sandsynlighed for transmission og sandsynlighed for refleksion. Således er sandsynligheden for transmission ved E < V 0 altså større end nul og denne sandsynlighed kan beregnes. På Fig. 2 er vist en potentialbarriere med højde V 0 og en indkommende elektron med energi E. Området til venstre for barrieren kaldes 1, barrieren kaldes 2 og området til højre for barrieren kaldes 3. En elektron i dette system kan beskrives ved følgende tre bølgefunktioner. Bølgefunktionen er et udtryk for opholdssandsynligheden af elektronen. ψ 1 (x) = A 1 e ik1x + B 1 e ik 1x (1) ψ 2 (x) = A 2 e ik2x + B 2 e ik 2x (2) ψ 3 (x) = A 3 e ik3x + B 3 e ik3x, (3) 21