Resonant Tunneling Diodes

Transkript

1 Resonant Tunneling Diodes Af studerer nanoteknologi på 8. semester ved Institut for Fysik og Nanoteknologi på Aalborg Universitet. Hans primære interesser er teori og modellering af fysiske fænomener indenfor faststoffysik. repetit. dk Igennem mit studie på Aalborg Universitet er jeg i et projekt på det teoretiske plan kommet til at beskæftige mig med en type dioder kaldet Resonant Tunneling Diodes (RTDs) eller Esaki dioder. Hvor dioder normalt kun leder strøm i en bestemt retning, leder RTD dioder kun strøm ved en eller flere ganske bestemte spændinger. En IV-karakteristik for en RTD diode er vist på Fig. 1. Heraf ses det at strømmen stiger som funktion af spændingen op til et vist punkt, hvorefter strømmen falder som funktion af spændingen. Virkemåden af denne diode type afhænger direkte af det kvantemekaniske fænomen kaldet tunnelering. Jeg vil i denne artikel prøve at beskrive tunneleringsfænomenet og altså også dets direkte anvendelse i RTDs. Derudover vil jeg beskrive en metode baseret på transfer matrix formalismen, hvorpå man kan beregne strømmen gennem en RTD [4] [3] [1]. Modsat den klassiske mekanik kan kvantemekanikken ikke forstås ud fra intuition, da kvantepartikler ikke opfører sig som klassiske partikler. Manglen på den intuitive forståelse kommer i høj grad til udtryk i tunneleringsfænomenet. Kort fortalt er tunnelering muligheden for, at en kvantepartikel transmitteres igennem en potentialbarriere, selvom den ikke har energi nok til det. Hvis man skal prøve at forklare tunnelering med klassisk mekanik, kan man forestille sig en bold med kinetisk energi K som skal passere en bakketop. Hvis bolden har potentiel energi V 0 på toppen af bakken vil bolden kun rulle over bakken (transmitteres) 20

2 Gamma 149 Figur 1: IV-karakteristik for en RTD. hvis K > V 0, ellers ruller den tilbage (reflekteres). I det klassiske billede er udfaldet altså enten refleksion eller transmission, der er ikke nogen mellemting. For kvantepartikler er historien ikke så simpel, her kan partiklen godt transmitteres selvom dens energi E er mindre end højden på potentialbarrieren, V 0. I det kvantemekaniske billede taler man om sandsynlighed for transmission og sandsynlighed for refleksion. Således er sandsynligheden for transmission ved E < V 0 altså større end nul og denne sandsynlighed kan beregnes. På Fig. 2 er vist en potentialbarriere med højde V 0 og en indkommende elektron med energi E. Området til venstre for barrieren kaldes 1, barrieren kaldes 2 og området til højre for barrieren kaldes 3. En elektron i dette system kan beskrives ved følgende tre bølgefunktioner. Bølgefunktionen er et udtryk for opholdssandsynligheden af elektronen. ψ 1 (x) = A 1 e ik1x + B 1 e ik 1x (1) ψ 2 (x) = A 2 e ik2x + B 2 e ik 2x (2) ψ 3 (x) = A 3 e ik3x + B 3 e ik3x, (3) 21

3 Resonant Tunneling Diodes Gamma 149 Figur 2: Illustration a tunnelering gennem en potentialbarriere. her er k i bølgetallet for tilstanden k i = 2m(E V i )/. (4) Alle tre bølgefunktioner består af to bølger, der løber i hver sin retning og de to bølger er vægtet med koefficienterne A i og B i. Således beskriver ψ 1 en elektron i område 1 og denne elektron kan enten bevæge sig langs +x (indkommende elektron) eller langs -x (reflekteret elektron). For at bølgefunktionerne beskriver en fysisk virkelighed er det et krav, at bølgefunktionen og dens afledte er kontinuert ved grænserne mellem de tre forskellige områder. For område 1 og 2 gælder ψ 1 (0) = ψ 2 (0) og dψ 1 dx hvilket giver følgende to ligninger for koefficienterne = dψ 2, (5) x=0 dx x=0 A 1 + B 1 = A 2 + B 2 (6) ik 1 A 1 ik 1 B 1 = ik 2 A 2 ik 2 B 2. (7) Dette ligningssystem kan skrives på matrixform og ved at invertere matricen fås følgende relation mellem bølgefunktionen i område 1 og bølgefunktionen i område 2 22 A 1 B 1 = k 2 k 1 1 k 2 k k 2 k k 2 k 1 A 2 B 2 = ˆM 12 A 2 B 2. (8)

4 Gamma 149 Figur 3: Illustration af tunnelering gennem en dobbelt potentialbarriere. Området imellem de to barrierer kaldes en potentialbrønd. Områderne nummereres fra 1 til 5 fra venstre mod højre. Matricen ˆM ab kaldes diskontinuitetsmatricen (discontinuity matrix) og beskriver bølgefunktionens opførsel hen over en grænseflade mellem to områder a og b. Ved at gøre tilsvarende betragtninger ved næste grænseflade og ved at skifte koordinatsystemet kan der opstilles en matrix som beskriver bølgefunktionens opførsel imellem to grænseflader (f.eks. inden i en barriere, se [4] [1] for detaljer). Den er givet ved ˆM i = e ik iw i 0 0 e ik. (9) iw i hvor indekset i er det pågældende område og w i er bredden af området. Denne matrix kaldes udbredelsesmatricen (propagation matrix). For at illustrere anvendelsen af denne formalisme betragtes strukturen vist på Fig. 3. Strukturen inddeles i områder, som nummereres fra 1 til 5 fra venstre mod højre. Den matrix, der beskriver bølgefunktionens opførsel igennem hele strukturen, kaldes systemmatricen. Den opstilles ved at betragte strukturen f.eks. fra venstre mod højre. Det første, en elektron ser, er en grænseflade mellem område 1 og 2, dernæst en barriere, så en grænseflade etc. Systemmatricen bliver da ˆM S = ˆM 12 ˆM 2 ˆM 23 ˆM 3 ˆM 34 ˆM 4 ˆM 45, (10) hvor et-index matricer er udbredelsesmatricer og to-index matricer er diskontinuitetsmatricer. Både barriere og brønd beskrives med en udbredelsesmatrix. Forskellen ligger i faktoren k i i eksponentialfunktionerne indeholdt i udbredelsesmatricen. Fra Lign. 4 kan det ses, at når energien E er mindre end V i, sådan som det er tilfældet i en barriere, er k i imaginær. Dermed vil ˆM i,11 være en eksponentielt stigende funktion af w x. Modsat, 23

5 Resonant Tunneling Diodes Gamma 149 når E er større end V i er k i reel og ˆM i,11 er en plan bølge som bevirker et faseskift af den oprindelige elektronbølge. Fra systemmatricen Lign. 10 fås relationen mellem koefficienterne i område 1 og koefficienterne i område 5 A 1 B 1 = ˆM S A 5 B 5. (11) Transmissionssandsynligheden er forholdet mellem sandsynligheden for, at der er en indkommende elektron og sandsynligheden for at en elektron transmitteres. Ved at bruge Lign. 11 fås T G = A 5e ik 1x 2 A 1 e ik 5x 2 = A 5A 5 A 1A 1 = A 5A 5 (M S,11 A 5 ) (M S,11 A 5 ) = 1 M S,11 2. (12) Her står T G for global transmissionskoefficient, fordi det er transmissionskoefficienten for hele systemet. M i,11 elementerne indgår i første potens i M S,11, hvoraf det ses, at T G er aftagende som funktion af antallet af barrierer og deres bredder, dersom M i,11 er eksponentielt stigende som funktion af barrierebredden (hvis området i er en barriere). RTD dioder er i princippet opbygget som strukturen vist på Fig. 3. På figuren er vist to barrierer adskilt af en potentialbrønd. Hvis transmissionssandsynligheden igennem hver af de to barrierer er meget mindre end 1 vil energiniveauerne i potentialbrønden være kvantiserede. Da transmissionssandsynligheden ikke er 0 for barriererne, er energiniveauerne ikke fuldstændigt kvantiserede. Energiniveauerne omtales derfor som kvasi-kvantiserede. En elektron med en energi, som ikke matcher et energiniveau vil dermed have lille sandsynlighed for at eksistere i potentialbrønden. På Fig. 4 er vist hvordan transmissionssandsynligheden udvikler sig som funktion af energien E af den indkommende elektron i en tripel barrierestruktur. Barrierehøjden er V 0 = 0.5 ev, bredden af barriererne er 20 Å og bredden af brøndene er 50 Å. På figuren ses det, at selv for E < V 0 er der energier for hvilke transmissionssandsynligheden bliver 1. Disse energier svarer til et kvasi-kvantiseret energiniveau. Når der påtrykkes en spænding over strukturen ændres barriere strukturen da potentialet på den ene side nu er højere end på den anden side. 24

6 Gamma 149 Figur 4: Transmissionssandsynlighed som funktion af elektronenergi i en tripel barrierestruktur. Dermed fås en barriere struktur som den vist på Fig. 5. Ved at inddele både barrierer og brønde i et stort antal firkant barrierer/brønde af forskellige højder, som det er antydet på Fig. 5, kan denne type struktur også behandles med transfer matrix formalismen. Tunnelstrømmen igennem strukturen må forventes at være proportional med tunneleringssandsynligheden og dens afhængighed af elektronenergien kan udtrykkes ved I 0 T G (E) [f L (E) f R (E)] D(E)dE. (13) I dette udtryk er T G (E) den globale transmissionssandsynlighed, f L (E) og f R (E) er Fermi-fordelingsfunktionerne på henholdsvis venstre og højre side af strukturen og D(E) er tilstandstætheden. Fordelingsfunktionerne er givet ved f L (E) = 1 e (E+eV E F )/kt + 1 og f R (E) = 1 e (E E F )/kt + 1, (14) hvor det antages at strukturen er forspændt således, at strømmen løber fra venstre mod højre. V er spændingen over strukturen T er temperatu- 25

7 Resonant Tunneling Diodes Gamma 149 Figur 5: Dobbelt barrierestruktur under en påtrykt spænding. Det ses at potentialet for en elektron falder hen igennem strukturen. ren og E F er Fermi-energien. Da alle elektronerne ikke kan antage samme energiniveau vil de fordele sig som beskrevet ved Fermi-fordelingen. Derfor er det nødvendigt at integrere over alle energier som det er gjort i Lign. 13. For at der kan gå en strøm fra venstre mod højre er det naturligvis nødvendigt, at der findes en elektron i det pågældende niveau på venstre side. Det er også en nødvendighed at der er et hul (et tomt energiniveau) med samme energi på højresiden. Faktoren f L (E) f R (E) kan således antage værdier mellem 1 og -1 svarende til en strøm der løber mod højre og en der løber mod venstre. Kun når der er en elektron på venstre side med energi E og et hul på højre side med energi E løber der en strøm fra venstre mod højre. På Fig. 6 er transmissionssandsynligheden som funktion af påtrykt spænding vist. Her kan det ses, at transmissionssandsynligheden aldrig bliver 1 sådan som det var tilfældet på Fig. 4. Sandsynligheden er derimod væsentligt lavere end 1 og det skyldes at barriererne ikke længere er lige høje pga. den påtrykte spænding. På Fig. 7 er vist en beregning af tunneleringsstrømmen som funktion af påtrykt spænding. Her kan det ses at strømmen først stiger til et maksimum og herefter falder. Området hvor spændingen falder kaldes negative differential resistance, fordi strømmen falder som funktion af spændingen som forklaret tidligere. Et karakteristika ved RTDs er deres peak-to-valley forhold, altså for- 26

8 Gamma 149 Figur 6: Tunneleringssandsynlighed som funktion af spænding i en dobbelt barrierestruktur. Det ses at sandsynligheden ikke når op på 1. Figur 7: Tunnelstrømmen som funktion af spænding i en dobbelt barrierestruktur. Den store peak er pga. resonant tunnelering og negative differential resistance området følger lige efter den store peak hvor strømmen falder. 27

9 Resonant Tunneling Diodes Gamma 149 holdet mellem strømmen ved resonans og strømmen uden for resonans. Dette er vist på Fig. 1. Beregningen her giver peak-to-valley forhold på over 1000, hvilket er langt højere end hvad der kan opnås eksperimentelt. I [5] er opnået forhold på 7,6. Denne store forskel skyldes, at barrierebredden og brøndbredden har meget stor betydning. Transmissionskoefficienten igennem en barriere afhænger eksponentielt af bredden på barrieren, hvilket også kan ses ud fra Lign. 9. Eftersom barrierebredden er på omkring 20 Å og brøndbredden 40 Å [2] [6] er nøjagtig produktion vanskelig og det gør at peak-to-valley forholdet bliver betydeligt mindre end det teoretisk beregnede forhold. RTDs har ikke fundet stor anvendelse indenfor elektronik, men en af fordelene ved RTDs er, at de er enormt hurtige med responstider i GHzområdet [3]. Dette skyldes, at elektrontransporten er baseret på tunneleringsfænomenet og altså ikke på ledning i traditionel forstand. En anden interessant anvendelse af RTDs er multi-valued logic. Hvis en RTD har mere end en peak giver det mulighed for at ændre logiske design fra binære til andre baser. Dette kan også gøres med traditionelle CMOS kredsløb men ved at bruge RTDs kan kredsløbene laves meget simplere og effektive. [1] Litteratur [1] Kevein F. Brennan and April S. Brown. Theory of Modern Electronic Semiconductor Devices. Wiley, [2] L. L. Chang, L. Esaki, and R. Tsu. Resonant tunneling in semiconductor double barriers. Applied Physics Letters, 24, [3] Koichi Meazawa and Arno Förster. Nanoelectronics and Information Technology. Wiley, [4]. Theoretical investigation of the resonant tunneling phenomenon and its applications in resonant tunneling diodes [5] Yoshiyuki Suda and Hajime Koyama. Electron resonant tunneling with a high peakto-valley ratio at room temperature in si 1 x ge x /si triple barrier diodes. Applied Physics Letters, 79, [6] R. Tsu and L. Esaki. Tunneling in a finite superlattice. Applied Physics Letters, 22,