Turist i Aarhus. Hvordan udnyttes tiden bedst?

Transkript

1 Turist i Aarhus Hvordan udnyttes tiden bedst? Morten Sloth Frandsen Antal anslag (Uden mellemrum): Maj 2015 Vejleder: Jens Lysgaard Institut for Økonomi

2 Executive Summary This paper briefly describes the Tourist Trip Design Problem and its uses and explains how it is based on two simplified versions, known as The Orienteering Problem and The Team Orienteering Problem, to show how a tourist can make the most of one day of sightseeing in the city of Aarhus. The Orienteering Problem is a problem consisting of a number of vertices with an associated score and a travel times to travel between vertices are given as well, and the goal is determine a tour or path that maximizes the collected score without violating the time constraint. The Team Orienteering Problem expands this problem to more than one tour or path, while still abiding the time limit and without revisiting vertices. Both of these are based on the classical Travelling Salesman Problem, except that they are not required to visit every single vertex, but are required to stay below a certain time constraint. The different uses of these two optimization problems are also briefly explained, to show that these problems can be used a number of places outside of the tourism industry. This paper constructs a dataset based on online reviews to come up with the most appealing attractions in Aarhus and their associated scores. Travel times between all available vertices are also computed to finish off the dataset. The dataset have a few delimitations as well, which are all explained, in order to only deal with a simple Orienteering Problem. This dataset is then used in an exact linear programming model of the Orienteering Problem to come up with an optimal tour through the city. The fact that the dataset seeks an optimal tour with an identical starting and ending vertex forces the exact model to include a few modifications compared to the general model where the starting and ending points differ. After the exact model has produced a solution, a simple construction heuristic is tested on the same dataset and this heuristic is then successfully improved twice and eventually comes up with an equally good but slightly faster tour than the exact model. The same procedure is then applied to the Team Orienteering Problem, where the exact model is done first, and then a sequential and parallel heuristic based on the best heuristic from the Orienteering Problem is tested, but both heuristics are this time outperformed by the exact model, and reasons for this difference is then discussed. Following the analyses the best known heuristics of the Orienteering Problem and the Team Orienteering Problem are introduced and explained. These heuristics are capable of solving much bigger dataset than the one constructed in this paper, and are much faster to compute than the exact models. A discussion of further variants of the Orienteering Problem is then made, to show how the model can be expanded to solve more complex optimization problems and account for even more variables and parameters. These variants include Time Windows, a Multi-Objective variant, Multiple Constraints and an Orienteering Problem with Hotel Selection. These variants take more real-life constraints into consideration which make them more applicable to a more general Tourist Trip Design Problem. To conclude the paper it is discussed why Personalized Electronic Tourist Guides are relevant and how all the described variants and heuristics can be used in such a device to help tourists plan their upcoming vacations. It is found that especially fast heuristics that are capable of recalculate optimal tours in real-time are useful in the Personalised Electronic Tourist Guides, so tourists can easily adapt to a new tour while on the move. Side 1 af 44

3 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemformulering Metode Afgrænsninger The Tourist Trip Design Problem Orienteringsproblemet Anvendelsesmuligheder Datasæt Eksakt Lineær Programmeringsmodel Heuristikker Resultater fra analysen af orienteringsproblemet Eksakt model Heuristikker Sammenligning Team Orienteringsproblemet Eksakt Lineær Programmeringsmodel TOP Heuristikker Analyse af resultaterne af Team Orienteringsproblemet Eksakt Model Heuristikker Sammenligning Udvidelser af problemerne Yderligere heuristikker Andre variationer af OP Time Windows Det Generaliserede OP og Multi-Objekt OP et Multi-Begrænsnings Orienteringsproblem Orienteringsproblemet med Hotel Selection Andre varianter af TOP TOPTW og Multiple Time Windows Personlige Elektroniske Turist Guides Konklusion...34 Side 2 af 44

4 7. Kildeliste...35 Bilag 1: Datasættet...37 Bilag 2: Eksakte Lineære Programmeringsmodel for OP et...38 Bilag 3: Heuristikker for OP et...39 Bilag 4: Eksakt Lineær Programmeringsmodel for TOP et...41 Bilag 5: Heuristikker for TOP et Indledning Der har gennem de seneste mange år, været en stigende interesse til at vi danskere rejser mere og mere ( 2015). Når flere og flere danskere rejser, vil der helt naturligt også følge en stigende interesse for at få mest muligt ud af rejserne. Interessen for at få mest muligt ud af sin rejse gælder uanset, om man snakker om den hårdtarbejdende funktionær, der ønsker at få mest muligt ud af sin tid væk fra arbejdet, om de nybagte studenter der står overfor et sabbatår, som ønsker at få mest mulig rejse for sin opsparing, eller vi taler om en romantisk weekendtur for to. Alle disse situationer kan formuleres som optimeringsproblemer som hører under paraplydefinitionen: The Tourist Trip Design Problem (TTDP)(Gavalas et al., 2014). Dette problem er et ruteplanlægningsproblem for rejsende, der er interesserede i at besøge flere forskellige seværdigheder, indenfor en given tidsramme, eller andre begrænsninger. Disse problemer er især interessante, da man som rejsende ofte kommer til at stå i en fremmed by, uden kendskab til hvad der er værd at se, og hvad der er spild af tid. Derfor har man ikke de optimale betingelser for at få det optimale ud af den tid man tilbringer i byen og dermed få det maksimale ud af sin tid eller sine penge. Hvad der endvidere er interessant i denne forbindelse er, hvor bredt TTDP egentligt dækker, da der er rig mulighed for at tage højde for en lang række forskellige kriterier, budgetter, begrænsninger, interesser, osv. Problemet kan altså modificeres til at kunne benyttes i en lang række forskellige individuelle situationer hvilket også gør at der er et rigtigt stort potentiale i problemet, hvis man får held til at udvikle succesfulde heuristikker eller algoritmer der kan benyttes til applikationer for turisterne. Desuden kan TTDP forkortes ned og derved skabe mange forskellige optimeringsproblemer som har mange andre anvendelsesmuligheder også, hvilket igen øger interessen for problemet, ikke blot for forbrugerne men bestemt også for forskere. Side 3 af 44

5 1.1 Problemformulering Denne opgave har til formål at undersøge hvorledes forskellige optimeringsproblemer kan hjælpe de rejsende under hensyntagen til forskellige opfattelser af tilfredsstillelse, mens der stadig tages højde for adskillige begrænsninger og kriterier. Derudover undersøges det, hvordan man bedst muligt løser disse forskellige optimeringsproblemer. Hvordan kan forskellige optimeringsproblemer hjælpe en rejsende med at få mest muligt ud af sin ferie? Til at hjælpe denne problemstilling, vil der især blive arbejdet med undersøgelsesspørgsmålet: Hvordan kan en turist få mest muligt ud af én eller flere dage med sightseeing i Aarhus? 1.2 Metode Der vil i denne opgave primært blive arbejdet med sekundær data især med anvendelse af akademiske artikler, og derfor formodes det også, at det er meget objektive kilder, der benyttes, da der ikke foreligger grund til at tro andet. Dog skal man huske at holde sig udgivelsestidspunkterne for øje, da der især ved heuristikker sker løbende udvikling, og derfor vil nogle heuristikker den dag i dag, være blevet overmatchet af nyere research. De generelle modeller holder dog i de fleste tilfælde stadig vand, og derfor betragtes disse stadig som værende gangbare. Hele opgaven er desuden præget af en deduktiv fremgangsmåde, hvilket vil sige at opgaven bygger på allerede eksisterende teorier og antager at disse præmisser er sande, og jeg har derfor en logisk tilgang hvor jeg kan aflede konklusioner, når jeg anvender disse teorier på specifikke tilfælde. Den deduktive tilgang er meget oplagt i denne opgave, da der især er fokus på teoretiske modeller og på at løse matematiske optimeringsproblemer. Til at løse problemstillingen, beskrevet i afsnit 1.1, vil der blive brugt eksakte modeller og heuristikker, samt kigget på og diskuteret yderligere heuristikker, der bør anvendes ved større datasæt. Disse modeller og heuristikker vil naturligvis blive beskrevet mere detaljeret i de relevante afsnit Afgrænsninger Da emnet i denne opgave er meget bredt vil der grundet det beskedne omfang af denne bacheloropgave blive foretaget visse begrænsninger for at undgå at opgaven bliver for overfladisk. Desuden vil det være alt for komplekst at begynde at foretage undersøgelser på større datasæt, da eksakte løsninger vil kræve meget tid, og de forskellige heuristikker der eksisterer, vil kræve stort arbejde med forskellige programmer, der ligger udenfor Microsoft Excel og egne kompetencer på dette område, herunder MATLAB, C++ m.fl., så disse vil kun blive diskuteret ud fra de givne resultater i litteraturen. Derfor er der blevet produceret et mindre datasæt som er begrænset til et simpelt orienteringsproblem. Af praktiske årsager er det ikke alle engelske udtryk fra litteraturen som vil blive oversat, og de udtryk som bliver oversat vil blive efterfulgt af det engelske ord i parentes, første gang dette udtryk benyttes i opgaven. Side 4 af 44

6 2. The Tourist Trip Design Problem The Tourist Trip Design Problem (TTDP) er et problem, hvor en turist besøger en by, en region, et land eller et kontinent, har en begrænset mængde tid til rådighed at rejse i, og derfor ikke er i stand til at besøge alle seværdighederne i området. Derfor skal personen altså lave en udvælgelse, der sikrer, at han eller hun får mest muligt ud af sin rejse, altså at den samlede tilfredsstillelse eller profit forsøges maksimeret. En forsimplet udgave er et orienteringsproblem, som vil blive beskrevet i næste afsnit, men ofte så vil løsninger fra orienteringsproblemet ikke være holdbare i virkeligheden. Dette skyldes, at der kan ske en lang række uforudsete hændelser eller der kan være væsentligt flere begrænsninger pålagt den enkelte turist, hvorfor vi er nødt til at udvide problemet, og tilføjes der nok udvidelser ender man med et TTDP. TTDP forsøger altså at tage højde for en række forskellige præferencer og begrænsninger for hver enkelt rejsende. På dette grundlag vil man komme frem til den eller de optimale ture rundt til en række forskellige seværdigheder i et givent område, således at der opnås mest mulig tilfredsstillelse eller udbytte af rejsen. Samtidig forsøges der ligeledes at tage højde for uforudsete eller stokastiske begivenheder. Under TTDP tages der altså højde for et hav af forskellige begrænsninger herunder f.eks. krævet besøgstid ved hver seværdighed, forventet kø ved hver seværdighed, maksimalt budget til samlet entré ved de forskellige seværdigheder, maksimal daglig tid til at besøge seværdigheder, særlige individuelle behov, forskellige transportmuligheder til rådighed etc. Målet for et TTDP er at ende ud med en næsten optimal rute der overholder en turists begrænsninger, fortæller i hvilken rækkefølge hvilke seværdigheder skal besøges og samtidig maksimerer den samlede tilfredsstillelse for turisten. Når vi beskriver TTDP et, så kan vi heller ikke komme uden om de Personlige Elektroniske Turist Guides (Personalised Electronic Tourist Guides) (PETs), som TTDP udgør en del af. En PET er en håndholdt enhed som søger at skabe en tur der maksimerer tilfredsstillelsen for en turist, og består typisk af tre primære funktioner (Gavala et al., 2014). Først dannes der en foreslået liste med seværdigheder ud fra hver enkelt turists præferencer, derefter genereres der en foreslået rute, hvor en algoritme bruges til at danne en optimal eller nær-optimal rute ud fra den foreslåede liste med seværdigheder og samtidig under hensynstagen til andre kriterier. Slutteligt er der typisk en funktion der gør at man kan tilføje eller fjerne en seværdighed på den rute der genereres, hvis dette ønskes. Vi ser tydeligt at den anden funktion med rutegenereringen via en algoritme, som tager højde for en række kriterier er selve definitionen på TTDP et. TTDP er et bredt problem som kan modificeres efter behov og derfor anvendes af alle typer af rejsende, hvad enten det være sig forretningsfolk, backpackere eller familier. Dette i sig selv gør emnet meget interessant, da det kan bruges på alle blot ved simple ændringer i datasættene eller begrænsningerne. Idéen ved at begrænse problemet til mindre problemer gør det mindre komplekst at arbejde med og derfor nemmere at opnå bedre og hurtigere resultater, hvis nu der i det givne tilfælde ikke er behov for det fulde problem. Med andre ord, problemet kan nemt tilpasses, og bør i mange tilfælde også tilpasses det konkrete problem man står med, og derfor vil vi nu se på orienteringsproblemet, som er en enkelt-turs variant som TTDP egentligt er baseret på, altså at man kun skal komme frem med én optimal tour indenfor én tidsbegrænsning. Side 5 af 44

7 3. Orienteringsproblemet I dette afsnit vil der først blive givet en introduktion til selve orienteringsproblemet og dens anvendelsesmuligheder i denne sammenhæng. Derefter vil et selvopfundet datasæt med udgangspunkt i virkeligheden blive introduceret for derefter at blive forsøgt løst, først ud fra en eksakt lineær programmeringsmodel og derefter ved hjælp af tre forskellige producerede konstruktionsheuristikker. Da TTDP, som beskrevet ovenfor, er et relativt bredt emne, vil denne opgave starte med at fokusere på en forsimplet version heraf, nemlig det vi kender som Orienteringsproblemet (OP), som også er det problem TTDP tager sit udgangspunkt i og blev første gang omtalt af Tsiligirides i 1984 (Tsiligirides, 1984). Denne variant af TTDP er en enkelt-turs variant som forsøger at maksimere tilfredsstillelsen, også kendt som profitten i litteraturen, samtidig med at de forbundne rejseomkostninger holdes under en vis grænse. Altså rejseomkostningerne, hvad enten det være sig omkostninger i form af tid, penge, afstand eller andet, bruges som en begrænsning i noget der minder om et klassisk Traveling Salesman Problem (TSP), dog med den undtagelse at orienteringsproblemet ikke skal besøge alle de forskellige punkter, men blot den kombination der giver den højeste profit under hensyntagen til loftet på omkostningerne. Hvis der imidlertid viser sig faktisk at være råd til at besøge alle punkterne under hensynstagen til rejseomkostningsbudgettet, så er der i stedet for tale om et klassisk TSP problem, hvor man så ville forsøge at minimere omkostningerne i stedet. Dette blev bevist af Golden et al. (1987) og derfor hører OP til klassen af NP-Hard problemer, hvilket vil sige at hvis der eksisterer en algoritme der kan løse dette problem i polynomial tid tyder det på at der også eksisterer algoritmer der kan løse alle andre NP problemer i polynomial tid. Dette virker på nuværende tidspunkt meget usandsynligt, da rigtigt mange komplekse problemer hører til i NP klassen. OP er også en variant af enkelt-turs problemer, som bliver forsket utroligt meget, da den læner sig meget op af selve TTDP problemet. Der findes to andre oplagte muligheder, The Profitable Tour Problem (PTP) (Dell Amico et al., 1995) og The Prize Collecting Travelleing Salesman Problem (PCTSP) (Balas, 1989). PTP forsøger at opnå den højest mulige profit fratrukket omkostningerne forbundet med hver seværdighed. Dette problem er også kendt som The Multiobjective Vending Problem (Keller et al., 1988), og PCTSP forsøger at minimere omkostningerne mens der mindst skal opnås en given profit, altså her bruges profitten som en begrænsning i modellen. Når vi snakker om rejsende der ønsker at få mest muligt ud af deres tid eller penge, så vil det netop være oplagt at se på rejseomkostningsbudgettet som en begrænsning i modellen og derfor er OP det oplagte valg i denne sammenhæng. Indenfor OP findes der også flere varianter, hvor der er forskel på om der er tale om et orienteret (directed) OP eller uorienteret (undirected) OP, og om hvorvidt der er et fast startpunkt og/eller slutpunkt. Hvis der findes et fast startpunkt kaldes det et rooted OP, mens et OP uden faste punkter til start og slut kaldes et unrooted OP. Hvis vi har et orienteret OP så skal man bevæge sig i en given retning på datasættets kanter, hvilket er ligegyldigt for et uorienteret OP. Desuden skelnes der også mellem om hvorvidt der skal startes og sluttes i samme punkt, altså om der skal laves en tour(også kendt som et circuit) eller en rute (path). OP er hårdere end rooted OP som igen er hårdere end unrooted OP. Dette skyldes at en algoritme til OP vil kunne bruges til rooted OP, ved blot at lade alle andre end startpunktet agere slutpunkt og teste dem alle, og ligeledes kan en algoritme til rooted OP bruges på unrooted ved at lade alle punkter agere startpunkt. Side 6 af 44

8 Selve navnet på problemet stammer fra sportsgrenen orienteringsløb, dog ikke den mest typiske konkurrenceform men en mere specifik form, kendt som et pointløb, som oftest bruges som et træningselement for orienteringsløbere. Pointløb går ud på, at der er et antal poster, som hver især har deres egen score, hvor deltagerne skal nå at besøge så mange poster som muligt indenfor en given tidsramme, og skal så forsøge at maksimere deres samlede score. Kommer de for sent i mål er der meget strenge straffe, der gør at dette på ingen måde er fordelagtigt. 3.1 Anvendelsesmuligheder OP opstod egentligt som en tilføjelse til Travelling Salesman Problemet, hvor en sælger dog ikke har tid til at besøge alle byerne. Dog kender sælgeren den forventede omsætning for hver by, og derfor ønskes omsætningen maksimeret, under hensynstagen til den tid der er til rådighed. (Tsiligirides, 1984). Vi ser altså, at OP kan ikke kun benyttes i forbindelse med TTDP, men kan også anvendes på mange andre områder, herunder ruteplanlægning og andre industrielle områder. Det kan være et firma, der leverer brændstof til tankstationer, som skal forsøge at beslutte hvilke tankstationer, der skal besøges den pågældende dag. Dette gøres ud fra at tage højde for hvor kritisk brændstofniveauet er hos de forskellige kunder, og bruge denne kritiske faktor som en score i modellen, og derudfra komme med en optimal rute, som Golden et al. (1987) har beskrevet det. Dog vil dette give meget mere mening som et Team Orienteringsproblem, da et sådan firma oftest har flere tankbiler til at køre rundt, dette problem vil blive beskrevet i afsnit 4. En anden applikation man kunne forestille sig, er den beslutning politikere skal foretage for at finde ud af hvilke byer i Danmark, eller et hvilket som helst andet demokratisk land, de skal besøge for at få flest mulige stemmer ud af deres begrænsede tid. Andre applikationer under OP et kan også dække over produktionsplanlægning, altså hvilke produkter skal produceres den pågældende dag, samtidig med at der tages højde for en tidsbegrænsning, eller en råvarebegrænsning. I sådan et tilfælde kan den samlede salgspris af produkterne, eller måske mere relevant hvor kritisk beholdningen af de pågældende varer, være scoren der pålægges produkterne i modellen. Den variant kræver dog, at omkostningerne ved at skifte fra et produkt til et andet er så dyrt eller besværligt, at det er fordelagtigt at færdiggøre produktionen af den krævede mængde af det produkt før der skiftes til et nyt. Som det ses, er der mange forskellige anvendelsesmuligheder for OP et, fælles for dem alle er dog at omkostningerne og scoren på punkterne ikke er kommensurable, altså at de ikke begge dele beskriver tid, penge eller lignende, da vi netop i sådan en situation er ovre i The Multiobjective Vending Problem i stedet. 3.2 Datasæt Til at hjælpe med at besvare underspørgsmålet: Hvordan kan en turist få mest muligt ud af en dag med sightseeing i Aarhus? har jeg dannet et datasæt med 8 forskellige seværdigheder fra Aarhus by og 1 hotel som agerer start- og slutpunkt. Disse seværdigheder er fundet vha. rejsehjemmesiden (2015), som er kendt for sine troværdige anmeldelser fra andre rejsende af alverdens seværdigheder i hele verden. De 8 forskellige seværdigheder er blevet udvalgt dels på baggrund af deres placering på Tripadvisor s rangliste over seværdighederne i Aarhus og dels på baggrund af en subjektiv vurdering over hvilke seværdigheder en typisk turist helst vil besøge, og også på egne erfaringer som turist i Aarhus. Side 7 af 44

9 F.eks. er Moesgård Museum fravalgt, da dette ligger ret langt fra Aarhus Centrum og ville derfor blot eksistere som en outlier i datasættet, derudover er shopping på strøget heller ikke medtaget som seværdighed, da det forventes at være et heldagsprojekt at skulle shoppe i Aarhus. Hotellet er udvalgt da det lå rangeret som nr. 1, med en score på 4,5 ud af 5 over 176 anmeldelser da datasættet blev oprettet. Datasættet blev oprettet den 23. marts 2015, og derfor er anmeldelser kommet senere end denne dato ikke medtaget. Datasættet består af følgende seværdigheder og i parentes er den gennemsnitlige besøgstid beskrevet: Den Gamle By (3 timer jf. Tripadvisor s hjemmeside) ARoS (2 timers besøgstid baseret på et subjektivt skøn) Aarhus Domkirke (15 minutters besøgstid baseret på et subjektivt skøn) Botanisk Have (90 minutters besøgstid baseret på et subjektivt skøn) Latinerkvarteret (90 minutters besøgstid baseret på et subjektivt skøn) Naturhistorisk Museum (1-2 timer jf. Tripadvisor s hjemmeside, så halvanden time er valgt) Marselisborg Slot + Marselisborg Mindepark + Marselisborg Dyrehave er blevet slået sammen da disse ligger i samme område(90 minutters besøgstid baseret på et subjektivt skøn) Tivoli Friheden (3 timers besøgstid som er baseret på et subjektivt skøn uden at tage højde for køer ved forlystelserne) Hotellet som er blevet udvalgt er Villa Provence og er placeret inde i hjertet af Aarhus C. Seværdighederne kan ses på følgende kort: Figur 1. Viser seværdighedernes placering i Aarhus by. (maps.google.dk, 2015) Side 8 af 44

10 Tilhørende datasættet har vi en række rejseomkostninger, som i dette tilfælde er den tid det tager at rejse mellem de forskellige seværdigheder til fods, og en række grad af tilfredsstillelse eller scorer. Disse scorer er så vidt muligt forsøgt gjort objektive ved at tage vurderingerne fra Tripadvisor, og regne den præcise score ud for hver enkelt seværdighed. Til rejsetiden er Google Maps blevet benyttet til at beregne tidsafstande mellem de forskellige destinationer til fods, og derefter er 50 % af besøgstiden for seværdigheden blevet tilføjet til hver ind- og udgående kant, således at der er taget højde for hele besøgstiden, uden at udvide problemet til at blive for komplekst. Rejseomkostningerne ses i følgende tabel: Hotel Den Gamle By ARoS Domkirke Botanisk Have Latinerkvarteret Naturhisorisk Museum Friheden Marselisborg Hotel 1,83 1,18 0,23 1,15 0,90 1,17 2,02 1,42 Den Gamle By 1,83 2,70 1,91 2,37 2,53 2,62 3,65 3,12 ARoS 1,18 2,70 1,33 2,02 1,95 2,17 2,98 2,47 Domkirke 0,23 1,91 1,33 1,23 0,94 1,21 2,19 1,63 Botanisk Have 1,15 2,37 2,02 1,23 1,80 1,87 2,95 2,43 Latinerkvarteret 0,90 2,53 1,95 0,94 1,80 1,77 2,83 2,30 Naturhistorisk Museum 1,17 2,62 2,17 1,21 1,87 1,77 3,03 2,50 Friheden 2,02 3,65 2,98 2,19 2,95 2,83 3,03 2,50 Marselisborg 1,42 3,12 2,47 1,63 2,43 2,30 2,50 2,50 Figur 2, rejsetid mellem seværdighederne inkl. 50 % besøgstid for hver ud- og indgående kant målt i timer. Og de forskellige scorer ses i følgende tabel (de præcise beregninger herfor kan ses i bilag 1): Hotel Den Gamle ByARoS Domkirke Botanisk Have Latinerkvarteret Naturhisorisk Museum Friheden Marselisborg Hotel 4,52 4,47 4,37 4,34 4,44 4,54 3,86 4,26 Den Gamle By 4,47 4,37 4,34 4,44 4,54 3,86 4,26 ARoS 4,52 4,37 4,34 4,44 4,54 3,86 4,26 Domkirke 4,52 4,47 4,34 4,44 4,54 3,86 4,26 Botanisk Have 4,52 4,47 4,37 4,44 4,54 3,86 4,26 Latinerkvarteret 4,52 4,47 4,37 4,34 4,54 3,86 4,26 Naturhistorisk Museum 4,52 4,47 4,37 4,34 4,44 3,86 4,26 Friheden 4,52 4,47 4,37 4,34 4,44 4,54 4,26 Marselisborg 4,52 4,47 4,37 4,34 4,44 4,54 3,86 Figur 3, scoren for hver seværdighed beregnet ud fra anmeldelserne fra Tripadvisor.dk (2015) Scorerne har samme værdi, uanset hvilken seværdighed man kommer fra, og det noteres at scoren for Marselisborg er baseret på anmeldelserne for alle 3 seværdigheder i Marselisborgområdet. Og scoren for Den Gamle By er f.eks. fundet ved formlen: ligeledes.. Resten af scorerne 3.3 Eksakt Lineær Programmeringsmodel Selve orienteringsproblemet er nu blevet gennemgået og formålet er blevet beskrevet, samtidig med at det datasæt, der ønskes optimeret, er blevet introduceret, så nu vil den eksakte matematiske model for OP blive beskrevet. OP et blev introduceret af Tsiligirides (1984), hvorimod vi kigger mod Vansteenwegen et al. (2011) for at finde den eksakte lineære programmeringsmodel. Selve modellen kan opstilles både som en graf med et sæt punkter og dertilhørende kanter/buer (edges/arches) eller som et sæt af hjørnepunkter med tilhørende kanter/buer. Er der tale om et orienteret OP, taler vi om buer, og er der omvendt tale om et uorienteret OP taler vi om kanter der forbinder punkterne. Den eksakte lineære programmeringsmodel er meget generel, men i denne opgave vil der blive arbejdet med en uorienteret graf, da det i det producerede datasæt er ligegyldigt, om man går den ene eller den Side 9 af 44

11 anden vej rundt. Dette gælder naturligvis kun, da datasættet er baseret på, at man går til fods rundt til seværdighederne, og tager ikke højde for andre transportmuligheder. Desuden antages det at der er tale om en tour, hvor man ønsker at ende ved sit hotel, hvilket vil sige, at der i denne opgave fås et start- og slutpunkt, som er identiske. Jeg definerer derfor en graf, hvor, er hjørnepunkterne (vertices) og K er sættet af kanter. Der er forbundet en ikke-negativ score for hvert hjørnepunkt og den symmetriske rejsetid fra i til j er forbundet med hver kant. Derudover har jeg givet et startpunkt, s og et slutpunkt t, hvor jeg ved at vores datasæt sikrer at jeg har en tour ved at s = t, og derudover er der en positiv tidsgrænse. Jeg kan ud fra de ovenstående notationer definere OP et som et heltalsprogrammeringsproblem hvor jeg har følgende beslutningsvariable:, hvis hjørnepunkt i efterfølges af hjørnepunkt j, ellers. Derudover beskriver positionen af hjørnepunkt i i touren og slutteligt beskriver N antallet af hjørnepunkter i datasættet. Det giver følgende model: s.t. Figur 4. En lineær programmeringsmodel for OP et med en objektfuntion og 9 begræsninger. (Vansteenwegen et al., 2011) Side 10 af 44

12 Da vores datasæt er lavet som en tour hvor, så giver det nogle små ændringer i modellen i objektfunktionen (1) samt i begrænsningerne (2), (3) og (4) i forhold til Vansteenwegen et al. s model. At vi har med en tour at gøre betyder at N netop skal tælles med på lige fod med andre, modsat når N betragtes som et slutpunkt. Objektfunktionen (1), forklarer at vi ønsker at maksimere den ønskede score af de besøgte hjørnepunkter, under hensyntagen til et givent positivt tidsbudget, hvilket sikres gennem begrænsning (2). Begrænsning (3) sikrer at hjørnepunkt 1 (altså hotellet) er både start- og slutpunkt for vores tour. Da vi netop ønsker at finde den optimale tour, eksisterer der også her en lille ændring, nemlig at det ikke kun er summen af alle x fra 1 til j der skal give 1, men også summen af alle x fra i til 1. Begrænsning (4) sikrer at der er sammenhæng mellem punkterne i touren og at hvert punkt besøges maksimalt én gang. Begrænsning (5), (6) og (7), sikrer at der ikke sker subtours i vores løsning, og er kendt som Miller-Tucker-Zemlin begrænsningen (Miller et al., 1960). Denne begrænsning sørger for at når, altså at går vi fra et punkt til et andet, så vil andet punkt have en placering én senere i touren end det foregående punkt. Hvis der derimod eksisterede en mulig løsning der indeholdte en eller flere subtours, så ville mindst én af disse tours ikke indeholde startpunktet, og det ville forårsage at -værdierne på denne subtour ville stige mod uendeligt, hvilket sikrer ikke kan ske (Pataki, 2003). I (6), er begrænsningen ændret fra til ift. den oprindelige MTZ-begrænsning, hvilket skyldes at vi har med et OP at gøre, hvor alle punkterne ikke nødvendigvis skal besøges da tidsbudgettet er vigtigere at overholde, og MTZ-formuleringen er fremsat til det klassiske Travelling Salesman Problem og netop sikrer, at alle punkter besøges på touren. En anden fordel ved MTZ-begrænsningen er også, at der blot skal tilføjes N ekstra variable, og cirka ekstra begrænsninger i vores Excel-ark for at subtours undgås. Slutteligt sikrer begrænsning (8), at vi har binære -beslutningsvariable, da man enten bevæger sig på en kant eller lader være, begrænsning (9) og (10) sikrer at beslutningsvariablerne er ikke negative heltal, da de skriver placeringen på touren og derfor ikke kan være decimaltal og ikke være negativ. Denne model er blevet benyttet i OpenSolver-tilføjelsesprogrammet i Microsoft Excel til at udregne den optimale rute ud fra det producerede datasæt. OpenSolver er et open source program til at optimere lineær programmering og heltalsprogrammering i Excel, og skal altså ses som en forbedring i forhold til Excel s egen solver. Modellen er blevet opstillet som et kompakt lineært programmeringsproblem (som kan ses i bilag 2), dog har vi naturligvis tale om både heltals og binære beslutningsvariable, hhv. og variablerne. Objektfunktionen indgår som en simpel sumproduktsformel der ganger med de tilsvarende, og det er naturligvis denne sum, der ønskes maksimeret. Hvad angår begrænsning (2), så er blevet fastsat til at være 11 timer i Excel, svarende til en dag fra ca. 9:00 om morgenen til kl. 20:00 aften, ud fra et subjektivt skøn om at hvis man rigtigt vil have noget ud af én dag i Aarhus, så er det ca. dette tidsrum man maksimalt vil bruge, dog tager modellen ikke højde for at der skal være tid til frokost, hvilket antages bliver gjort samtidig med besøgstiden det ene sted, uden at overskride den forventede besøgstid. Modellen er dog bygget op således at man nemt kan modificere til den enkelte turists behov. Ligesom ved objektfunktionen har vi her at gøre med en sumproduktsformel der bruges, dog denne gang over alle med de tilsvarende værdier. Side 11 af 44

13 Begrænsningerne (3) og (4) er nemt implementeret i Excel, da der blot er blevet beregnet en sum ud for hvert hjørnepunkt, både fra og til, i den kompakte notation, og så er flow-balance begrænsningen, begrænsning (4), blevet tilføjet i bunden, og den sikrer at går der en kant til et punkt, må der også gå én kant derfra igen, hvilket kan omformuleres til: og dermed let implementeres i Excel. Desuden har vi netop at gøre med en tour og ikke en rute, hvilket nemt sikres ved at tvinge modellen til at lade summen af og til begge at give 1. beslutningsvariablerne er blevet tilføjet under den kompakte notation for at virke mest overskuelig, og det er på denne måde også nemt at aflæse den optimale tour efter solveren har løst problemet. For at få tilføjet begrænsning (7) i Excel er den blevet omformuleret således: Begrænsningerne (8), (9) og (10) er nemt tilføjet til modellen i solveren ved at tilføje ganske simple begrænsninger. Resultaterne fra den eksakte model gennemgås i afsnit 3.5. Som tidligere nævnt er OP NP-hard, og derfor er eksakte løsninger kun mulige for mindre datasæt, som for eksempel i vores datasæt med 9 hjørnepunkter. Ved større datasæt benyttes heuristikker til at producere nær-optimale løsninger indenfor en overskuelig tidsramme. Dette vil blive forsøgt på vores lille datasæt i næste afsnit. Senere vil den bedste af disse heuristikker yderligere blive testet på et større datasæt fra litteraturen. 3.4 Heuristikker En heuristik er en anden tilgang til problemløsning, som bruger tommelfingerregler til at løse et problem, og søger at opnå gode, men ikke nødvendigvis optimale løsninger, som kan løses på kortere tid og løse problemer til alle praktiske formål. Med andre ord, vi forsøger at opstille en række forskellige steps der skal gennemgås for til sidst at ende op med en gyldig løsning, så tæt på den optimale løsning fra den eksakte model som muligt. Med baggrund i det producerede datasæt beskrevet i afsnit 3.2, er der blevet dannet 3 forskellige konstruktionsheuristikker, som vil blive testet herpå. Først skal det nævnes at et vigtigt step i heuristikkerne til dette datasæt er, at hver gang det vurderes om et hjørnepunkt skal tilføjes til touren eller ej, er et tjek af hvorvidt der er tid nok til at komme tilbage til slutpunktet uden at overskride tidsgrænsen, hvilket naturligvis gælder for alle 3 heuristikker. Den første heuristik er en simpel form for heuristik, nemlig en grådig (greedy) heuristik. En grådig heuristik er en meget generel heuristik som kan benyttes til mange forskellige slags problemer, og derfor er netop denne blevet valgt, som den første heuristik der testes på vores datasæt. En grådig heuristik søger at vælge det lokale optimum i hvert step af heuristikken, uden at tage højde for eventuelle globale optimums. Dette Side 12 af 44

14 vil altså sige, at heuristikken starter i punkt 1, tager så den højeste score derfra, tjekker at det er muligt at vende tilbage til slutpunktet, hvis det optimale punkt tilføjes, er det ikke muligt at vende tilbage til slutpunktet, forsøges med det næstbedste punkt og så fremdeles. Da punkterne ikke kan besøges mere end én gang, skal heuristikken naturligvis kun vælge blandt de punkter, som ikke allerede er blevet besøgt når vi når videre end første gang der vælges punkt. Den anden heuristik er dannet på baggrund af The Prize Collecting Problem (PCTSP), som er omtalt tidligere i opgaven. Det virkede mere sandsynligt, at denne tilgangsvinkel ville give et bedre resultat end den grådige heuristik, da denne tager højde for at de forskellige scorer er forbundet med en tilhørende omkostning, som der skal tages hensyn til, hvilket står i kontrast til den klassiske grådige heuristik. Heuristikken går ud på at de forskellige scorer fra vores datasæt, har fået fratrukket deres respektive rejseomkostninger, og derefter anvendes samme grådige tilgangsvinkel som i den første heuristik. Den tredje og sidste heuristik er dannet på baggrund af The Multiobjective Vending Problem (MVP), som også er nævnt tidligere i opgaven, sammen med den forrige heuristik. Det giver ikke meget intuitiv mening at trække rejseomkostningerne fra scoren, da de to ikke er kommensurable værdier, og derfor virker det mere fordelagtigt at se på forholdet mellem scorerne og omkostningerne. Derfor er denne heuristik dannet ved at scoren divideres med den tilhørende omkostning i stedet, for at give et bedre billede af hvor meget den givne score reelt koster os at skaffe. Heuristikken går altså ud på at de oprindelige scorer fra datasættet er blevet divideret med de respektive rejseomkostninger, og derefter benyttes den grådige heuristik endnu en gang. Heuristikkerne gennemgår derfor følgende steps i processerne mod en nær-optimal løsning: 1) Greedy Heuristik Step 1: Vælg den højeste score blandt de ikke-besøgte punkter Step 2: Tjekke om det er muligt at vende tilbage til slutpunkt, tilføj punkt hvis ja, gå tilbage til step 1 hvis nej og udeluk det netop afviste slutpunkt. Step 3: Gentag step 1 og 2 til der ikke kan tilføjes flere punkter og tilføj slutteligt punkt 1 igen. 2) PCTSP Heuristik Step 1: Producér nye scorer ved at subtrahere rejseomkostningerne fra de oprindelige scorer Step 2: Vælg den højeste score blandt de ikke-besøgte punkter Step 3: Tjekke om det er muligt at vende tilbage til slutpunkt, tilføj punkt hvis ja, gå tilbage til step 2 hvis nej og udeluk det netop afviste slutpunkt. Step 4: Gentag step 2 og 3 til der ikke kan tilføjes flere punkter og tilføj slutteligt punkt 1 igen. 3) MVP heuristik Step 1: Producér nye scorer ved at dividere rejseomkostningerne fra de oprindelige scorer Step 2: Vælg den højeste score blandt de ikke-besøgte punkter Step 3: Tjekke om det er muligt at vende tilbage til slutpunkt, tilføj punkt hvis ja, gå tilbage til step 2 hvis nej og udeluk det netop afviste slutpunkt. Step 4: Gentag step 2 og 3 til der ikke kan tilføjes flere punkter og tilføj slutteligt punkt 1 igen. Side 13 af 44

15 Det ses også hurtigt, at der til heuristikker er væsentligt færre begrænsninger, der skal tages højde for i forhold til den eksakte model. Dette skyldes, at man ved disse heuristikker automatisk får opfyldt alle kriterier, der eksisterer ved vores problem, nemlig at der ikke må være subtours og, at man ikke kan overskride tidsbudgettet. I næste afsnit vil resultaterne af disse heuristikker blive gennemgået sammen med resultaterne af den eksakte model, og disse resultater sammenlignes. 3.5 Resultater fra analysen af orienteringsproblemet I dette afsnit vil resultaterne fra den eksakte model først blive gennemgået, derefter følger resultaterne af de tre heuristikker fra forrige afsnit, og slutteligt vil resultaterne fra de to metoder blive sammenlignet Eksakt model Den eksakte model er som nævnt blevet implementeret i Microsoft Excel, mere præcist i tilføjelsesprogrammet OpenSolver ( 2015), og er blevet løst, så en optimal tour er blevet fundet. Selve implementeringen er nærmere beskrevet i afsnit 3.3 og undlades derfor her. Efter hele modellen er blevet implementeret i Excel er det egentligt blot at trykke på Solve i OpenSolver og vente på resultatet. Da datasættet er ret lille, har OpenSolver intet problem med at give os en optimal løsning efter cirka 3 sekunders arbejde, og denne optimale tour ser således ud:. Beslutningsvariablerne i modellen gør at det er meget intuitivt at aflæse denne rækkefølge, og viser endnu engang hvorfor begrænsning (6) i den eksakte model, fra afsnit 3.3, netop ikke bør have en nedre grænse på 2. Når, ser vi også nemt at punkt i ikke er med på touren, hvilket igen giver god intuitiv mening. Den optimale tour ender således med en samlet score på 26,42 og en samlet rejsetid på 10 timer og 56 minutter. Den optimale tour fra den eksakte model kan også ses på figuren på næste side fra Google Maps: Side 14 af 44

16 Figur 5, den optimale rute ses på samme kort, som seværdighederne (maps.google.dk, 2015) Vi kan se, hvordan modellen har fjernet diverse subtours, og ender med en løsning der skaber et godt flow i en cirkel, dog med en afstikker sydover til Marselisborg, og samtidig går udenom Den Gamle By og Tivoli Friheden Heuristikker De tre forskellige heuristikker, som er nævnt i afsnit 3.4, er også blevet implementeret i Microsoft Excel, dog er de alle sammen kun produceret manuelt, og dermed er der ikke blevet benyttet diverse programmer til dette. Dette skyldes blandt andet, at datasættet er så lille, at det blot ville kræve ekstra tid at kode disse konstruktionsheuristikker ind i et program, og derudover spiller heuristikkernes simple opbygning også ind. Der vil i afsnit 5.1, blive diskuteret yderligere og mere komplekse heuristikker, som alle kræver programmering, og også vil være bedre til især større datasæt. Heuristikkerne er blevet testet på datasættet én ad gangen, i samme rækkefølge som de er blevet beskrevet i afsnit 3.4, og ellers blot blevet gennemgået step for step til en endelig tour er blevet opnået, og slutteligt er denne tour så blevet sammenlignet ganske kort med den optimale tour fundet ved den eksakte model. Samtlige steps heuristikkerne har gennemgået er samlet i bilag 3. Den første heuristik, Greedy Heuristikken, anvender de scorer, som findes i figur 3 fra afsnit 3.2, og derfor går denne heuristik direkte i gang med at danne den bedst mulige tour, ud fra de givne betingelser der er opstillet for den, nemlig at den altid skal vælge det bedste tilbageværende punkt næsten uden hensynstagen til de forbundne rejseomkostninger. Resultatet af heuristikken kan aflæses i bilag 3, og viser at Greedy Heuristikken foretager 16 steps før den ender ud med en endelig tour der hedder: Side 15 af 44

17 . Sammenlignet med den eksakte model har vi her medtaget Den Gamle By, men udelader Botanisk Have og Marselisborg. Hvilket giver os en tour med en samlet tilfredsstillelse på 22,34 og en samlet rejsetid på 9,60 timer. Så vi har altså en tour der er 15,4 % dårligere end den eksakte model, men som også er 80 minutter kortere. Men da OP et kun ønsker at maksimere tilfredsstillelsen er besparelsen i rejsetid irrelevant, så længe alle løsninger overholder begrænsningen på de 11 timer. Vi kigger nu på den anden heuristik, altså PCTSP Heuristikken. PCTSP heuristikken starter med at skulle beregne nye scorer for alle seværdighederne, disse nye scorer kan se i følgende tabel: Hotel Den Gamle By ARoS Domkirke Botanisk Have Latinerkvarteret Naturhisorisk Museum Friheden Marselisborg Hotel 2,69 3,29 4,15 3,19 3,54 3,37 1,85 2,84 Den Gamle By -1,83 1,77 2,46 1,98 1,91 1,92 0,21 1,14 ARoS -1,18 1,82 3,05 2,33 2,49 2,37 0,88 1,79 Domkirke -0,23 2,61 3,15 3,12 3,50 3,33 1,67 2,63 Botanisk Have -1,15 2,15 2,45 3,15 2,64 2,67 0,91 1,82 Latinerkvarteret -0,90 1,99 2,52 3,43 2,54 2,77 1,03 1,96 Naturhistorisk Museum -1,17 1,90 2,30 3,16 2,48 2,68 0,83 1,76 Friheden -2,02 0,87 1,49 2,18 1,39 1,61 1,51 1,76 Marselisborg -1,42 1,40 2,00 2,75 1,91 2,14 2,04 1,36 Figur 6. Viser scorerne fratrukket den tilhørende rejseomkostning Denne tabel viser de nye scorer, som er fundet ved at subtrahere rejseomkostningerne fra scorerne. F.eks. fra Hotellet til Den Gamle By: og vi noterer os lige at tabellen ikke længere er symmetrisk. Herefter følger PCTSP Heuristikken de steps som er omtalt i afsnit 3.4, og ender efter 17 steps ud med en løsning der hedder:. For at sammenligne resultatet af denne heuristik med den eksakte model, er det naturligvis stadig de oprindelige scorer, jeg benytter til at beregne værdien af den endelige tour fra PCTSP heuristikken. Og det ses, at når man sammenligner resultatet fra PCTSP heuristikken med den eksakte model, så man får en lidt anden tour, som dog går igennem de samme 6 seværdigheder. Derfor har den nøjagtigt samme tilfredsstillelse, men det ses dog at heuristikken faktisk kommer med en løsning der har færre rejseomkostninger, hvilket vil sige man bruger 0,23 time, eller små 14 minutter, færre ved denne tour i forhold til den der opnås gennem den eksakte model. Slutteligt har vi den tredje heuristik, MVP Heuristikken. MVP Heuristikkens første step er, ligesom ved PCTSP heuristikken, at starte med at beregne nye scorer for seværdighederne, hvilket ses her: Hotel Den Gamle By ARoS Domkirke Botanisk Have Latinerkvarteret Naturhisorisk Museum Friheden Marselisborg Hotel 2,46 3,78 19,44 3,78 4,94 3,89 1,92 3,00 Den Gamle By 0,00 1,66 2,29 1,84 1,75 1,73 1,06 1,37 ARoS 0,00 1,67 3,30 2,15 2,28 2,09 1,30 1,73 Domkirke 0,00 2,37 3,37 3,55 4,72 3,76 1,76 2,62 Botanisk Have 0,00 1,91 2,22 3,57 2,47 2,43 1,31 1,75 Latinerkvarteret 0,00 1,78 2,29 4,64 2,41 2,57 1,36 1,85 Naturhistorisk Museum 0,00 1,73 2,06 3,62 2,33 2,52 1,27 1,70 Friheden 0,00 1,24 1,50 2,00 1,47 1,57 1,50 1,70 Marselisborg 0,00 1,45 1,81 2,69 1,78 1,93 1,82 1,55 Figur 7. Viser scorerne divideret med den tilhørende rejseomkostning. Side 16 af 44

18 Figur 7 viser de nye scorer for MVP Heuristikken, hvor f.eks. scoren for fra Hotellet til Den Gamle By er fundet ved formlen: Herefter følger MVP Heuristikken ligeledes de steps der er angivet i afsnit 3.4, og ender efter 15 steps ud med en endelig tour der hedder:. MVP heuristikken ender altså ud med samme optimale tour som PCTSP heuristikken, men MVP heuristikken benytter 2 færre steps end PCTSP, og MVP heuristikken virker til at være mere robust overfor ændringer i datasættet. Hvis vi antager, at de forskellige scorer blev ganget tifoldigt, men de samme rejseomkostninger blev beholdt, så ville MVP heuristikken vise et meget mere relevant billede af hvad de nye scorer skal vise, og derfor ville MVP heuristikken med alt overvejende sandsynlighed give et bedre resultat end PCTSP en. Derudover kunne man også forestille sig at man i stedet for at måle rejseomkostningerne i timer, ville måle i minutter, og så ville PCTSP heuristikken giver nogle meget anderledes resultater. Den optimale tour opnået gennem den bedste heuristik, MVP Heuristikken, kan ses på følgende figur fra Google Maps også: Figur 8. Viser den optimale tour fra MVP Heuristikken på samme kort som datasættet. (maps.google.dk, 2015) Vi ser, ligesom ved den eksakte model, at touren går udenom Den Gamle By og Tivoli Friheden, og samtidig laver en pæn cirkel rundt i Aarhus uden diverse subtours og dermed maksimerer den tilgængelige tid. Side 17 af 44

19 3.5.3 Sammenligning Når vi sammenligner resultaterne fra henholdsvis den eksakte lineære programmeringsmodel og de tre heuristikker, så ser vi, at heuristikkerne giver nogenlunde samme resultater, selv på et lille datasæt, og eftersom OP, som tidligere nævnt, er et NP-hard problem, så vil heuristikker blive mere og mere relevante og tidsbesparende i forhold til en eksakt model jo større datasættet bliver. Desuden bider vi mærke i at PCTSP og MVP heuristikkerne faktisk ender ud med en tour, der har en kortere rejsetid, end løsningen fra den eksakte model, hvilket skyldes at rejsetiden ikke er et objekt i modellen, og derfor vil man også kunne opnå samme løsning i den eksakte model ved at sænke til under 10,93, da OpenSolver så presses til at skulle finde en hurtigere tour. Den eksakte model har altså i modsætning til heuristikkerne den fordel at det er meget nemt at ændre i nogle af vores inputdata, dette gælder dog kun i denne opgave, da der er blevet arbejdet med manuelle heuristikker, og automatiske heuristikker i diverse hjælpeprogrammer hvilke kunne udligne denne fordel. Hvis vi f.eks. ønsker at ændre scoren for den ene seværdighed og se, hvordan dette ændrer sig i resultatet, eller hvis nu man vil se hvilken forskel der kan være på at bruge 8 timer kontra 11 timer. Derudover kan det også være, man forventer, at man vil bruge mere eller mindre tid et givent sted end i det er antaget i datasættet, og dette kan også nemt modificeres i inputdataet. Alle disse ting ville kræve at de manuelle heuristikker, skulle igennem samtlige steps én gang til for at komme frem med en ny løsning, hvorimod det i modellen kræver en ganske lille ændring og så at Solve modellen igen i OpenSolver for at komme frem med en ny løsning i løbet af ganske få sekunder. I forlængelse deraf kan vi observere at Tivoli Friheden ikke er inkluderet i nogle af resultaterne grundet den store rejseomkostning forbundet med dette punkt. Dette skyldes ikke mindst den høje besøgstid der er krævet ved denne seværdighed for at få det meste ud af stedet, og så er der ikke engang taget højde for eventuel tid i kø ved de forskellige forlystelser. Har vi derimod at gøre med en turist, f.eks. en børnefamilie, så kan vi nemt være sikre på at Tivoli Friheden bliver inkluderet i vores resultat, nemlig ved at scoren forhøjes til et tilpas stort tal til at det ville være alt for ufordelagtigt ikke at have den med i løsningen, f.eks. 50 i dette tilfælde. Vi ser desuden at den eneste løsning der indeholder Den Gamle By også er den eneste løsning der ikke opnår den optimale tilfredsstillelse, nemlig Greedy Heuristikken, og vi kan derfor anvende samme trick som for Tivoli Friheden, hvis vi havde et stort ønske om at besøge Den Gamle By. Der vil derfor være store fordele ved, at man kan arbejde med forskellige scorer afhængigt af hvilken turisttype, der ønsker at bruge datasættet. I denne opgave er scorerne,, blot dannet ud fra TripAdvisors vurderinger og derfor er der altså her tale om en gennemsnitlig turist. Dette vil også blive diskuteret en anelse nærmere i afsnit 5.3. Kigger vi lidt på de tre heuristikker, så startede vi ud med en ret simpel heuristik, men kunne nemt forbedre den over to gange ved at lave simple ændringer, og af netop denne årsag eksisterer der rigtigt mange forskellige heuristikker til at løse dette problem, hvor nogle af disse vil blive diskuteret og forklaret i afsnit 5.1. Side 18 af 44

20 Den bedste af heuristikkerne, MVP Heuristikken, sikrer endvidere at punkter der ligger tæt på det nuværende punkt også er mere værd end de ville være i den oprindelige Greedy Heuristik, og derfor skaber MVP Heuristikken ikke overraskende bedre løsninger. Desuden er den bedste af disse tre heuristikker, altså MVP heuristikken, blevet testet på et af de oprindelige benchmark datasæt, The 32-Locations Problem, fra Tsiligirides oprindelige artikel om OP et (Tsiligirides, 1984). Resultaterne af denne test og sammenligning med Tsiligirides oprindelige heuristikker kan ses i følgende figur: MVP Heuristik D-algoritme S-algoritme D(R-I) Algoritme S(R-I) Algoritme T max Score Distance Score Distance Score Distance Score Distance Score Distance , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,82 Figur 9. MVP Heuristikken sammenlignes med Tsiligirides 4 oprindelige heuristikker på The 32-Locations Problem. I tabellen ses det at MVP Heuristikken faktisk under visse grænser producerer ganske gode resultater, og i hvert fald outperformer D-algoritmen (Den Deterministiske Algoritme). D-algoritmen er bygget op således, at den holder sig indenfor visse sektorer af graf-området, ud fra nogle forudbestemte kriterier, og derfor er det mere blind overfor gode punkter som ligger udenfor denne sektor. S-algoritmen (Den Stokastiske Algoritme) er baseret på en Monte Carlo simulation og derefter at udvælge den bedste rute, og giver ikke overraskende bedre resultater end MVP Heuristikken, som udelukkende opbygger én rute ud fra sine kriterier og stopper når der ikke kan tilføjes flere punkter uden at overskrides. Derudover er MVP Heuristikken deterministisk opbygget, altså den finder altid frem til de samme løsninger for opgaven, modsat den stokastiske algoritme som er mere omfangsrig. At MVP Heuristikken bliver outperformet af begge R-I (Route Improvement) algoritmer er der intet overraskende i, snarere tværtimod. Dette skyldes at R-I heuristikkerne er forbedringsheuristikker, hvor MVP Heuristikken kun er en konstruktionsheuristik, altså R-I heuristikkerne forsøger at forbedre en allerede eksisterende rute, indtil alle muligheder er udtømt, ud fra de givne kriterier, og en nær-optimal løsning er nået. Kun en enkelt gang er MVP heuristikken bedre end de to R-I algoritmer, nemlig ved, hvilket der nok ikke skal lægges for meget i, og blot kan skyldes tilfældigheder. Side 19 af 44

21 Den eksakte model er også blevet forsøgt modificeret til at passe på Tsiligirides 32-locations problem, men uden at OpenSolver var i stand til at finde en brugbar løsning, og understreger blot endnu en gang vigtigheden af heuristikker ved større datasæt. 4. Team Orienteringsproblemet En ganske simpel, men yderst brugbar, udvidelse af orienteringsproblemet er det, vi kender som Team Orienteringsproblemet (TOP) og blev første gang omtalt i 1996 af Chao et al. (1996), og betyder at problemet tillader flere ture, som alle starter i det samme punkt. I praksis for en turist betyder dette at man har mere end én dag i en given by, region eller område til rådighed til at besøge seværdigheder, hvilket er tilfældet for rigtigt mange turister. Kigger vi på andet end turister, så kan det også bruges i forbindelse med andre ruteplanlægningsproblemer, som også blev nævnt i afsnit 3.1, så kan TOP bruges til at planlægge hvis man enten har 1 sælger, men har flere dage til rådighed, eller hvis man har flere sælgere/lastbiler til rådighed hver dag, hvilket er tilfældet i de fleste transportselskaber i dag. Derfor ser vi også at hvor OP var en særlig variant af Travelling Salesman Problemet, så er TOP en særlig variant af Ruteplanlægningsproblemet (Vehicle Routing Problem), hvor begrænsningen om at alle byer/kunder/punkter skal besøges én og kun én gang, i stedet blot hedder maksimalt én gang. Tænker vi på navnet orienteringsproblemet, som jo er opkaldt efter sportsgrenen, ja så betyder det bare at man nu er et hold af orienteringsløbere, der skal forsøge at besøge så mange forskellige poster som overhovedet muligt indenfor den fastsatte tidsramme. Af andre praktiske anvendelser af TOP kan også nævnes en talentspejder der skal forsøge at få de bedst mulige atleter scoutet blandt de forskellige high schools i USA, indenfor en kort tidsramme(butt & Cavalier, 1994) og et ruteplanlægningsproblem for teknikere der kun kan arbejde et begrænset antal timer hver dag og derfor skal udvælgelsen af kunderne optimeres (Tang & Miller-Hooks, 2005). TOP er ligesom OP NP-hard, hvilket skyldes at vi ved at reducere TOP til kun at gælde for én tur, så er vi allerede tilbage ved OP som vi har konstateret er NP-hard tidligere i opgaven, og derfor gælder mindst samme komplekse betegnelse for TOP et. I det næste afsnit vil den eksakte model fra OP et modificeres til at passe på TOP et, og i det efterfølgende vil to forskellige heuristikker foreslås. 4.1 Eksakt Lineær Programmeringsmodel I ovenstående afsnit har vi set hvordan OP et kan modificeres til et nyt problem, navnlig TOP et, og derfor kan vi også modificere vores eksakte lineære programmeringsmodel fra afsnit 3.3 til at beskrive TOP et. Modellen er baseret på Chao et al. s (1996) og Butt and Cavalier s (1994) definitioner, og ændrer lidt på vores begrænsninger og beslutningsvariable til at passe til den nye problemstilling. I forhold til Butt and Cavalier s definition er besøgstiden ved punkterne ikke medtaget, da disse netop allerede er taget højde for i vores datasæt ved at dividere 50 % af besøgstiden ud på hhv. alle ruter til og fra hjørnepunktet. Modellen definerer samme graf, G, med de samme tilhørende scorer,, og rejsetider,, som i afsnit 3.3. Vi har samme start- og slutpunkt givet og denne gang har vi blot flere tours der skal dannes og derudover Side 20 af 44

22 beskriver dag. stadigvæk en positiv tidsgrænse, denne gang er det bare den samlede tid til rådighed hver Som en tilføjelse til modellen ved OP et ændrer vi vores beslutningsvariable en smule, vi lader et heltal, h, være givet som antallet af dage til rådighed, og dermed antallet af tours der skal dannes, og lader så være 1, hvis punkt i efterfølges af punkt j på tour m, og ellers lade den være 0. Derudover vil være 1 hvis punkt i besøges på tour m og være 0 ellers, og slutteligt beskriver punkt i s placering på tour m. Det giver følgende model: s.t. Figur 10. En lineær programmeringsmodel for TOP et med en objektfuntion og 10 begræsninger. (Vansteenwegen et al., 2014) Som vi kan se er der ikke de store ændringer i forhold til modellen for OP et og derfor gennemgås modellen overfladisk her. Dog ses det i objektfunktionen (11), at det er ganget med scoren der ønskes maksimeret, hvilket er naturligt, da beskriver om netop det punkt besøges eller ej. Begrænsning (12) sikrer at det daglige tidsbudget overholdes. Begrænsning (13) og (14) sikrer at vi starter og slutter i punkt 1 Side 21 af 44

23 på alle tours og samtidigt at alle punkter besøges maksimalt én gang. Begrænsning (15) er vores flowbalance begrænsning som sikrer at der er forbindelse hele vejen gennem touren. MTZ-begrænsningen benyttes igen til at undgå subtours, nemlig i begrænsningerne (16), (17) og (18). Desuden sikrer begrænsning (16) at startpunktet, hotellet, altid er første punkt på touren. Slutteligt eksisterer begræsningerne (19), (20) og (21) blot for at sikre at vi får brugbare resultater, nemlig at beslutningsvariablerne er hhv. binære og ikke-negative heltal. Implementeringen af TOP i Microsoft Excel sker på nogenlunde samme måde som ved OP et og kan ses i bilag 4. Der er blevet arbejdet med en model med en værdi, og derfor er der blot lavet 2 kompakte notationer, én for hver tour, og så er der blevet tilføjet en kolonne der sikrer at fra begrænsning (14) overholdes, ved at summen af ture fra en et punkt for tour 1 er adderet med summen af ture fra punkter for tour 2. Den eksakte model er blevet testet på det producerede datasæt ligesom ved OP et blot med den ændring at der nu benyttes to dage med en tidsbegrænsning på 6 timer per dag, og disse resultater gennemgås i afsnit TOP Heuristikker Vi så i afsnit at den bedste heuristik for Orienteringsproblemet var MVP heuristikken. Derfor har jeg for Team Orienteringsproblemet forsøgt at danne to heuristikker ud fra denne tilgangsvinkel. Heuristikken er blevet modificeret således at de to heuristikker er hhv. sekventiel og parallel. Den sekventielle heuristik skaber den bedste mulige tour ud fra den nye begrænsning fuldstændigt ligesom for OP et, efter den bedste tour er dannet, så danner den en ny tour, som så ikke kan besøge samme punkter som den første tour. Den parallelle heuristik forsøger at danne to tours på samme tid, så den først tager bedste punkt fra startpunktet og tilføjer til rute 1, derefter næstbedste punkt fra startpunktet og tilføjer denne kant til rute 2. Derefter bliver der skiftevis tilføjet en kant til rute 1 og rute 2, under hensyntagen til hvilke punkter der allerede er blevet besøgt på begge ruter. Det noteres også at der naturligvis stadig skal tages højde for om det er muligt at vende tilbage til startpunktet, inden der tilføjes et punkt til en rute, hvilket gælder for begge heuristikker. Der er blevet valgt både en sekventiel og parallel heuristik, da disse to forskellige klasser af heuristikker er vidt forskellige, og derfor går frem på to forskellige måder, og derfor forventes det at de kommer frem med forskellige resultater, der kan sammenlignes. Desuden stammer idéen også fra Clarke and Wright s velkendte Savings Algorithm (Lysgaard, 1997) som netop har både en sekventiel og en parallel version. TOP et kan også omformuleres som et VRP, og derfor virkede det oplagt at teste begge udgaver på det producerede datasæt i denne opgave. Det forventes at den sekventielle heuristik producerer de bedste resultater, hvis de to bedste punkter fra startpunktet ligger relativt tæt samlet i grafområdet, da den parallelle ellers vil have to tours der kommer til at overlappe en del. Det forventes derimod at den parallelle er hurtigere at løse, da denne kombinerer de to tours til en enkelt proces, og derved vil der være færre tilbageværende mulige punkter til sidst at vælge imellem, når heuristikken nærmer sig, men at den kun vil komme med nær-optimale resultater, såfremt det bedste og det næstbedste punkt i forhold til startpunktet ligger i to vidt forskellige retninger. Dette skyldes også at vi så i afsnit at MVP heuristikken sikrer at de nærliggende punkter er mere værd Side 22 af 44

24 for heuristikken i forhold til kun at betragte punkterne med de højeste scorer, derfor vil den parallelle ende med 2 meget overlappende tours, hvis det bedste og næstbedste punkt fra startpunktet er tæt placeret. Heuristikkerne gennemgår derfor følgende steps i processerne mod en nær-optimal løsning: 1)Sekventielle Heuristik Step 1: Producér nye scorer ved at dividere rejseomkostningerne fra de oprindelige scorer Step 2: Vælg den højeste score blandt de ikke-besøgte punkter Step 3: Tjekke om det er muligt at vende tilbage til slutpunkt, tilføj punkt hvis ja, gå tilbage til step 2 hvis nej og udeluk det netop afviste slutpunkt. Step 4: Gentag step 2 og 3 til der ikke kan tilføjes flere punkter og tilføj slutteligt punkt 1 igen. Step 5: Åben tour 2, efter tour 1 har færdiggjort step 4, herefter gennemgå step 2, 3 og 4 igen. 2) Parallelle Heuristik Step 1: Producér nye scorer ved at dividere rejseomkostningerne fra de oprindelige scorer Step 2: Vælg den højeste score blandt de ikke-besøgte punkter og tilføj til tour 1 Step 3: Tjekke om det er muligt at vende tilbage til slutpunkt, tilføj punkt hvis ja, gå tilbage til step 2 hvis nej og udeluk det netop afviste punkt fra denne tour. Step 4: Vælg den højeste score blandt de ikke-besøgte punkter og tilføj til tour 2 Step 5: Tjekke om det er muligt at vende tilbage til slutpunkt, tilføj punkt hvis ja, gå tilbage til step 4 hvis nej og udeluk det netop afviste punkt fra denne tour. Step 6: Gennemfør steps 2 til 5, til begge tours ikke kan tilføje flere punkter og tilføj slutteligt punkt 1 igen til begge tours I næste afsnit vil resultaterne af disse 2 heuristikker blive gennemgået sammen med resultaterne af den eksakte model for TOP et, og disse resultater sammenlignes. 4.3 Analyse af resultaterne af Team Orienteringsproblemet I dette afsnit vil resultaterne fra den eksakte model for TOP blive gennemgået, derefter følger resultaterne af de to heuristikker fra forrige afsnit, og slutteligt vil resultaterne fra de to metoder blive sammenlignet Eksakt Model Ligesom for den eksakte model for Orienteringsproblemet er den eksakte model for Team Orienteringsproblemet blevet implementeret i tilføjelsesprogrammet OpenSolver,og er blevet løst, så to optimale tours er blevet fundet. Selve implementeringen er nærmere beskrevet i afsnit 4.1 og undlades derfor her. Side 23 af 44

25 Datasættets størrelse gør endnu engang at der heller ikke er problemer for OpenSolver med at producere en optimal løsning efter cirka 3 sekunder igen. De optimale tours kan aflæses i bilag 4 og ser således ud: og. Beslutningsvariablerne i modellen gør det endnu engang nemt at aflæse de to tours, og vi lægger mærke til at Den Gamle By er med i løsningen under TOP i stedet for Marselisborg, hvilket nok skyldes Marselisborgs ydre placering i Aarhus by, og derfor ikke har samme værdi over flere dage i modsætning til én dag. De optimale tours ender med en samlet score på 26,69 og en samlet rejsetid på hhv. 6 timer og 5 timer og 43 minutter. De optimale tours fra den eksakte model kan også ses i følgende figur fra Google Maps, hvor den blå tour viser touren på dag 1, og den røde tour er dag 2: Figur 11. Blå tour viser dag 1 og den røde tour viser dag 2, begge i samme kort som for datasættet. (maps.google.dk, 2015) Vi kan altså ud fra kortet nemt se hvordan den eksakte model vælger seværdigheder tæt på hotellet, og går udenom både Marselisborg og Tivoli Friheden, der begge ligger væsentligt længere mod syd, netop for at opnå mest tilfredsstillelse indenfor tidsrammerne Heuristikker De to tidligere beskrevne heuristikker for TOP et er ligesom heuristikkerne for OP et blevet implementeret i Microsoft Excel og er ligeledes også kun blevet produceret manuelt, og uden hjælpeprogrammer. Heuristikkerne er igen blevet testet på datasættet én ad gangen, i samme rækkefølge som de er blevet beskrevet i afsnit 4.2, og ellers blot blevet gennemgået step for step til to endelige tours er fundet for hver heuristik. Side 24 af 44

26 Til de to heuristikker for TOP et benyttes de samme scorer som MVP Heuristikken benyttede og beregnede for OP et, og disse scorer kan ses i figur 7. Den første heuristik, den sekventielle, starter ud fuldstændigt som MVP Heuristikken fra OP et, og efter 13 steps er første tour færdiggjort, og derefter starter anden tour som efter yderligere 7 steps er færdiggjort. Den sekventielle heuristik foretager altså 20 steps i alt for at producere de følgende to optimale tours (som også kan aflæses i bilag 5): og tour 2: og giver en samlet tilfredsstillelse på 26,42 og samlede rejsetider på hhv. 5 timer og 57 minutter, og 5 timer og 4 minutter. Det er altså to tours med en samlet tilfredsstillelse der er 1 % dårligere end for den eksakte model. Den anden heuristik, den parallelle heuristik, forsøger som nævnt at skabe begge de optimale tours på samme tid, men producerer de to optimale tours på samme antal steps, nemlig 20, som alle kan ses i bilag 5, og ender med følgende tours: og. Disse to tours giver en samlet tilfredsstillelse på 22,17 og rejsetid på hhv. 4 timer og 47 minutter, og 3 timer og 51 minutter. Vi får altså to optimale tours som er cirka 17 % dårligere end den eksakte model, og det ses ret tydeligt at de 6 timer ikke bliver udnyttet optimalt begge dage. Den bedste løsning fra heuristikkerne, altså løsningen fra den sekventielle, kan også ses på dette kort, hvor den blå rute igen viser dag 1 og den røde viser dag 2: Figur 12. Figuren viser den optimale løsning fra den sekventielle heuristik hvor den blå tour viser dag 1 og den røde tour viser dag 2, begge i samme kort som for datasættet. (maps.google.dk, 2015) Side 25 af 44