LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

Transkript

1 LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som a opfylder a = I Z slår dette derimod fejl: Eksempelvis for heltallet 2 Z findes der a ikke noget heltal x Z med 2x = (brøken er ikke et heltal) Dette viser sig at sætte 2 kraftige begrænsninger på hvilke operationer der er tilladte for matricer af heltal hvis altså resultatet igen skal være en heltalsmatrix Lad i det følgende M m,n (Z) betegne mængden af (m n)-matricer hvor alle matrixindgange er hele tal Matricerne A M m,n (Z) svarer til lineær afbildninger f : Z n Z m på vektorer af hele tal En matrix A M m,n (Z) er regulær/invertibel hvis A findes og også er en heltalsmatrix Bemærk at A M m,n (Z) godt kan være regulær i M m,n (R) samtidig med at A ikke er invertibel som heltalsmatrix En heltalsmatrix A er invertibel præcist når den tilhørende afbildning f : Z n Z m er bijektiv I afleveringsopgave 32(i)(c) skulle det vises at hvis en heltalsmatrix A er invertibel, så er det(a) = det(a ) = ± Hvis du i stedet løste 32(ii) eller 32(iii) i afleveringen, så overvej som opvarmning hvorfor 32(i)(c) er sand Opgave (a) Vis det omvendte af 32(i)(c): Vis at hvis en heltalsmatrix A har determinant ±, så er A invertibel som heltalsmatrix (dvs A findes og består af heltal) Hint: Se på komplementmatricen K(A) Løsning Først genkalder vi os lige løsningen til 32(i)(c): Hvis A er en invertibel heltalsmatrix, så gælder det A det A = det E = Den eneste måde hvorpå kan skrives som et produkt af heltal er hvis faktorerne er ±, så hvis A er invertibel, er det A = ± Lad os nu omvendt antage at det A = ±, så er A i det mindste regulær som reel matrix Ifølge [, Sætning 364] er den reelle invers givet ved A = det A K(A)t Indgang (i, j) i komplementmatricen K(A) er tallet A ij der er determinanten af A hvor i te række og j te søjle er fjernet Determinanten af en heltalsmatrix fremkommer ved summer og produkter af heltal og er derfor også et heltal, tallene A ij er altså heltal Matricen K(A), og dermed K(A) t, er således heltallig Til sidst ganger vi med / det A = /(±) = ± og ser at den inverse matrix A faktisk er heltallig! Hvis vi ganger en række i en heltallig matrix med 2 indeholder den stadig heltal Den omvendte operation, at gange med 2, er dog ikke tilladt, for der bliver resultatet ikke altid en heltalsmatrix Opgave (b) (og opgave (b )) Hvilke rækkeoperationer M i (c), B ij, S ij (c) kan vi udføre på heltalsmatricer hvis resultatet altid skal være en heltalsmatrix? Hvad hvis vi kræver at den omvendte rækkeoperation også skal være heltallig? Hvilke operationer er så tilladt?

2 LINALG JULENØD Det svarer til at spørge: Hvilke operationsmatricer for heltal er invertible (og altså har determinant ±)? Løsning Type M: Hvis vi ganger en række med et tal c og vil være sikre på at resultatet alttid bliver heltallig, så skal c Z Hvis den omvendte operation, at gange med /c, også altid skal give heltal, så skal /c Z Det eneste tidpunkt hvor både c og /c er heltal er hvis c = ± For operationsmatricer ved vi at det M i (c) = c Ifølge opgave (a) er M i (c) en invertibel heltalsmatrix netop når determinanten er ±, dvs når c = ± Samlet: De eneste operationer af type M der er tilladt, er M i (±) Type B: Hvis vi bytter om på to rækker i en matrix af heltal, så har vi stadig kun heltalsindgange Den omvendte operation, at foretage samme byt en gang til, er også okay Operationmatricerne B ij er heltalsmatricer og har altid determinant, så de er invertible (vi har endda B ij = B ij ) Samlet: Bytteoperationerne B ij er alle tilladt Type S: Hvis vi tager række j og lægger c kopier til række i, så skal c Z for at vi altid for heltal Den omvendte operation, at lægge c kopier af række j til række i, er okay hvis vi allerede har c Z Operationmatricerne S ij (c) er heltalsmatricer hvis c Z og har altid determinant, så de er invertible ifølge (a) Samlet: Sumoperationerne S ij (c) er tilladt for alle c Z Rækkeoperationerne ovenfor er de eneste rækkeoperationer vi tillader på heltalsmatricer: Operationen skal være heltallig, og den inverse operation skal også være heltallig sådan at vi altid kan komme tilbage til udgangspunktet 2 Opgave (c) Betragt matricen M := M (Z) Redegør for at M ikke kan omdannes til en diagonalmatrix med rækkeoperationer så længe vi kun bruger (tilladte) heltallige operationer Hint: Ethvert produkt af (række)operationsmatricer er en matrix med determinant ± Vis dernæst at hvis vi blander række- og søjleoperationer, så kan M godt omdannes til en diagonalmatrix Er M invertibel? Nedenfor følger en løsning indsendt af Mads Munch Hansen Den overordnede strategi er at hvis vi udfører rækkeoperationer på M, så svarer det til at gange et produkt af operationsmatricer P på M fra venstre Løsning (af Mads Munch Hansen) I det følgende vil det blive undersøgt hvilke egenskaber en heltalsmatrix P skal have for at produktet P M er lig en diagonalmatrix D M 2 (Z), hvor M er defineret som i opgaveformuleringen, og deraf udlede en modtrid Antag for modstrid at P = P k P hvor P,, P k er tilladte heltallige operationsmatricer og D = P M er en diagonalmatrix Det gælder så at det(p ) = det(p k ) det(p ) = ± Vi har at det(m) = 4, og så må vi have at det(d) = det(p M) = det(p ) det(m) = ±4

3 Lad så følger det at LINALG JULENØD a b P =, c d D = P M a b 2 = c d 0 2 2a a + 2b = 2c c + 2d Siden D er en diagonalmatrix, må c = 0 og 2b = a, så fås 4b 0 D = 0 2d Siden det(d) = 8bd = ±4, men indebærer det at bd = ± 2 hvilket er umuligt siden P er et produkt af de tilladte heltalsmatricer og derfor ikke kan have indgange i de ikke-hele tal Da fører antagelserne om, at P = P k P og P M = D til en modsigelse Det er således umuligt at et produkt af de tilladte rækkeoperationer omdanner M til en diagonalmatrix For at vise at M godt kan transformeres til en diagonalmatrix, ved at blande (heltallige) række- og søjleoperationer, har vi at ( M = ) ( ) so ønsket Siden det(m) = 4 ±, er M ikke heltalligt invertibel (jævnfør (a)) Opgave (d) Vis at enhver heltalsmatrix A kan omdannes med (heltallige) rækkeoperationer til en trappematrix Hint: Se på første søjle Skift fortegn indtil alle søjlens tal er 0 Bliv ved med at trække det mindste (positive) tal i søjlen fra de øvrige så de bliver mindre Til sidst bliver der dannet en masse nuller og et enkelt positivt tal det første trappetrin Følgende løsning er indsendt af Debbie Falden I løsningen benyttes positiv i betydningen svagt positiv, dvs 0 er tilladt Løsning (af Debbie Falden) Man betragter en vilkårlig heltalsmatrix, hvor man først kun koncentrerer sig om første søjle Alle indgangene i første søjle laves til positive heltal større end eller lig nul ved at benytte den tilladte operation M i (c), for c = ± Da gælder om heltal, at man altid vil kunne trække et lavere positivt heltal, fra et højere positivt heltal og danne et positivt heltal Hvis det laveste positive heltal er lig nul, vil man få det højeste positive heltal, mens man vil få et nyt positivt heltal lavere end det højeste, hvis tallene er forskellige fra nul Man er interesseret i at første søjle består at et heltal, og nul i de resterende indgange, for at danne første trin i en trappematrix Det svarer til at summen af indgangene i første søjle, er lig det største positive heltal i søjlen efter rækkeoperationer Er summen ikke lig dette, består søljen derfor af mindst to heltal forskellige fra nul Man vil da kunne trække rækken med det laveste positive heltal forskellig fra nul, fra rækken med det højeste, og danne et nyt positivt heltal i rækken med det højeste, samt mindske summen Det vil sige

4 LINALG JULENØD man benytter operationen S ij ( ) hvor j er indgangen med det laveste tal forskellig fra nul, og i er indgangen med det højeste tal forskellig fra nul Hvis summen af indgangene er højere end det nye højeste positive heltal, da vil der være mindst to indgange forskellig fra nul Denne fremgangsmåde fortsættes til summen ikke kan gøres mindre Da vil summen være lig det største positive heltal, og man vil have en søjle med kun ét positivt heltal Dette tal rykkes til første række, ved hjælp af ombytning Man koncentrerer sig nu om den næste søjle hvor ikke alle indgange på nær første række er lig nul For andet trin i en trappematrix er det ikke relevant om der står et tal over indgangen i anden række Da man desuden vil beholde nul i alle indgange på nær den første i første søjle, vil man ikke foretage nogen rækkeoperationer der involverer første række Ser man derfor bort fra første række, benyttes samme fremgangsmåde som for første søjle, hvor man trækker det laveste positive heltal forskellig fra nul fra det højeste indtil summen ikke kan gøres lavere Da vil der højst være et tal forskellig fra nul, og dette tal rykkes ved ombytning til andet trin i trappematricen Dette mønster fortsættes til man har dannet de mulige trin i trappematricen, og det ses derfor at ved at benytte operationerne M i (±), S ij ( ) og B ij kan man omdanne enhver heltalsmatrix til en trappematrix Opgave (e) Vis at hvis A er en kvadratisk heltalsmatrix med det A = ±, så kan A omdannes til enhedsmatricen udelukkende ved brug af rækkeoperationer Løsning Først anvender vi (d) til at omdanne A til en trappematrix T Da A og T er kvadratiske, står der altså kun 0 under diagonalen i T, så T er en øvre trekantsmatrix Idet alle de tilladte rækkeoperationsmatricer har determinant ±, jævnfør (b), gælder det T = ± det A = ± Determinanten af trekantsmatricen T er produktet af diagonalindgangene ± = det T = t t 22 t nn, og da alle indgange i T er heltal, må der gælde t = ±, t nn = ± Ved at gange nogle af rækkerne med kan vi opnå at alle tal i diagonalen af T er Vi trækker nu sidste række af T fra de andre for at lave nuller i sidste søjle: Hvis t in 0 for i < n, lægger vi t in (række n) til række i, hvilket er tilladt idet t in er et heltal Vi fortsætter med at lave nuller over diagonalen i næstsidste søjle osv Til sidst har vi så nuller over hele diagonalen, og vi har opnået enhedsmatricen Samler vi alle overvejelserne fra opgaverne får vi følgende sætning om heltalsmatricer: Sætning (Julenød) For enhver kvadratisk heltalsmatrix A er følgende udsagn ækvivalente: A er invertibel, dvs A findes og er heltallig det A = ± A kan omdannes til E ved (tilladte) rækkeoperationer A kan skrives som et produkt af (tilladte) operationsmatricer For ikke-invertible heltalsmatricer kan vi altid lave dem om til en trappematrix med rækkeoperationer, jævnfør (d), men som (c) viser, kan vi ikke altid opnå nuller over trinene, og da slet ikke en reduceret trappematrix

5 LINALG JULENØD Hvis man blander række- og søjleoperationer, kan man komme længere med reduktion af en heltalsmatricer og nå den såkaldte Smith normal form : a a a 3 hvor heltallet a går op i a 2 som går op i a 3 som går op i a 4 osv Litteratur [] N V Pedersen, Lineær Algebra, 2nd ed, Københavns Universitet, 2009