Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14

Transkript

1 5. maj 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14 Resten af semesteret Uge 20 (dvs. 10., 12. og 14. maj) er der er almindelige forelæsninger og øvelser, hvor man til sidstnævnte får lov til at evaluere kurset. Men det skulle også bringe os igennem pensum. Kapitel 12 handler om en række uforklarlige finansielle fænomener. Det vil nok forvirre mere end det gavner, så det dropper vi. Forelæsningerne mandag 17. maj aflyses derfor ret sikkert (endelig bekræftelse 12.). Onsdag 19. er helliget en fælles afslutningseance, dvs. jeg sender Cathrine og Jesper på sommerferie holder en slags sidste forlæning og øvelser m/ drikkevarer. Tid og sted er ikke helt fastlagt endnu, men jeg pønser på at gøre det, så vi kan gå direkte til mat/øk-informationsmødet onsdag 19. maj kl i aud. 6, hvor man kan høre om efterårets kurser, om nye og gamle studieordninger og se faglige oplæg med en bredere pensel. På et tidspunkt i uge 22 (mellem 24. og 28. maj) holder jeg en spørgetime. Præcise koordinater følger snart. Har du spørgsmål, så send en mail eller kig forbi mit kontor. Næste ugeseddel vil (udover nærmere spørgetime-info) indeholde oplysninger om pensum, og hvad jeg og I nu ellers ikke må glemme af praktiske ting. Den vil først udkomme om 14 dage, dvs. efter sidste forelæsning. Tirsdag 1. juni ved I godt, hvad I skal. Seneste forelæsninger Mandag 3/5: Kap. 10 om APT er vigtige; 10.4 mindre. Onsdag 5/5: Hvordan sætter man tal på en faktormodel? KFX-aktierne som eksempel. Se figurer og data-filer på hjemmesiden. Corporate finance fra kap. 11; de første par sider inkl. 1. Modigliani/Millerresultat: Virksomhedens værdi ufhænger ikke af gældens størrelse (det altså når kaptalmarkedet er perfekt/komplet, og der ikke er skatter, fallitomkostninger eller lignende friktioner). 1

2 Til første pkt. opridsede jeg en en tilgangsvinkel kaldet pricipal komponent analyse. Ideen er sådan set simpel nok; hvis man ellers kan huske sin linære algebra. Givet T observationer af den N-dimensionale mer-afkast-vektor, starter vi med at estimere middelværdier og kovarianser som sædvanlig, dvs. µ i = 1 r i,t og T Σ i,j = ĉov(r i, r j ) = 1 (r i,t µ i )(r j,t µ j ). T t Så er Σ en symmetrisk, positivt semidefinit matrix. (Det er den ihvertfald, hvis der ikke mangler observationer på kryds og tværs.) Derfor er dens egenværdier positive, dens egenvektorer ortogonale og vi kan skrive Σ = N e i v i vi hvor e 1,..., e N er egenværdierne ordnet efter størrelse og v erne er de tilhørende (normaliserede) egenvektorer. Dette står i enhver bog om lineær algebra; matøk er kan kigge i Messer (se specielt omkring ved diagonalisering ), eller hvilken bog man nu har haft i Mat 1GB, eller på sætning 9.10 i Ernsts Stat 1-noter. (Jeg brugte ordet spektralsætning ; ikke alle tekster vil gøre dette.) Man kan også (næææsten) læse det fra i den tidligere omtalte Economists Mathematical Manual af Berck og Sydsæter. Dette er dekomposition af Σ som en sum af rang-1 matricer. Og hvis mange af Σ s egenværdier er tæt på 0, så er Σ tæt på at have rang K(< N). Hvis vi har en eksakt faktorstruktur med K faktorer, så har den sande kovariansmatrix rank K; ellers tæt på hvis den idiosynkratiske støjs varians er lille. Det inspirer flg. algoritme Vælg K så e j 0 for j > K. I data vil e erne ofte meget hurtigt blive små. Typiske værdier ku være en stykker. t Brug faktorerne f j = v j r ej for j = 1,..., K Brug factor-loadings : B = v 1... v K e ek Det er ikke helt fjollet, for det vil betyde cov(f i, f j ) = δ i,j (øvelse: regn efter) og at K BB = e i v i vi Σ, 2

3 så teori og data passer sammen. Læg også mærke til, at groft sagt er de realiserede faktorer f j,t og B-matricen er noget vi kan regne ud & så opfatte som givne (dvs. glemme vi selv har lavet dem). Fx kunne man nu undersøge, om det ser ud til at APT-restriktionen holder. Man kunne også regressere sine kunstigt skabte faktorer på makro-data & se, om der er noget, der ligner noget. Man kunne også have lyst at inkludere et idiosynkratisk støjled, ɛ, og udstyre det med diagonal kovariansmatrice, Ω, hvor Ω i,i = Σ i,i K e i v i vi, om ikke andet så fordi, man så er i en ramme, hvor man kan lave formelle statistiske modeller og tests. Et naturligt spørgsmål er om APT restriktionen λ R K : Bλ = µ r 0 1, holder. Vores bedste bud (i en sum-af-kvadrat-afvigelser-forstand) er λ = arg min (µ r 0 1 Bλ) (µ r 0 1 Bλ), λ hvilket (vektordifferentier) vil sige λ = (B B) 1 B (µ r 0 1). Man kan så sætte tilbage og se om µ r 0 1 B λ 0. Det kan man lave rigtige statistiske tests for (hvorved det ikke er helt klart, at denne flerskridtsprocedure ikke bør laves til noget simultant) men vi nøjedes med at kigge på en graf (det såkaldte eye-ball test). Vil man vide mere dette emne, kan man kigge i kapitel 6 (6.4 og frem nok først) i bogen The Econometrics of Financial Markets af Cambell, Lo og MacKinley (udgivet 1997 af Princeton University Press). Eller man kan tage et kursus om multivariatanalyse (pt. en af Stat 2A-versionerne). Kommende forelæsninger Mandag 10/5: Mere kapitel 11; 2. Modigliani/Miller-resultat. Projekt-investering. Og så når jeg sikkert igan med opgave 6 nedenfor. Den regner jeg til forelæsningerne hvert år; nogle gane kommer der corporate finance spørgsmål til eksamen, nogle gange gør der ikke. Onsdag 12/5: Mere af det samme. 3

4 Kommende øvelser (onsdag 19/5 for begge hold jvf. indledningen) Nedenstående. Når der tales om egenkapitalen, er det synonymnt med værdien af aktierne. Opgave 6 gennemgår jeg som skrevet til forelæsningerne (se vejledende besvarelse på hjemmesiden), så... Vh, Rolf Opgaver til 14. øvelsesgang 1 S95 opg. 3 fra de gamle InvFin-eksamensopgaver. 2 S97 opg. 3 fra de gamle InvFin-eksamensopgaver. 3 S01 opg. 3 fra de gamle InvFin-eksamensopgaver. 4 S03 opg. 3 fra de (ikke så) gamle InvFin-eksamensopgaver. Regn også det spørgsmål 4.d (ligger på hjemmesiden), som jeg aldrig stillede (hvilket nok var en god ide). 5 Indse rigtigheden af (mao: bevis) de to påstande allersidst i noternes afsnit Ved samme risikoklasse forstås, at projektets betalingsvektor er proportional med virksomhedens oprindelige cash-flows. 6 (Opgave om kapitalstruktur) Betragt en 1-periode model med 5 tilstande, i = 1,..., 5. Antag, at tilstandene har sandsynligheder henholdsvis 0.25, 0.2, 0.2, 0.2 og 0.15, og at der er et risikofrit aktiv. En virksomhed har cash-flow x i til rådighed i hver tilstand i, som skal fordeles til obligationsejere og aktionærer. Vi antager at der i markedet er givet et sæt af tilstandspriser ( Arrow-Debreu-priser også kaldet; eller priser på simple aktiver ) p i, således at virksomhedens værdi til tid 0 er V 0 = 5 p i x i. 4

5 Foreløbig antager vi, at der ikke er nogle skatter. Vi sætter x i = i og p i = 1 6, i = 1..., 5. a. Hvad er virksomhedens værdi til tid 0, og hvordan er denne værdi fordelt på egenkapital og gæld, hvis gælden som skal betales tilbage til tid 1 har størrelsen 3. b. Sammenlign den risikofri rente med den rente obligationsejerne får, når de får hele lånet tilbage. Hvad er det forventede afkast på obligationen? c. Hvordan ser svarene ud i a. og b. hvis gældens størrelse ændres til 2? d. Gælden antages nu igen at være 3. Betragt følgende to projekter, som giver virksomheden nedenfor angivne cash-flows til tid 1 (i de forskellige tilstande): tilstand cash-flow for projekt cash-flow for projekt Begge projekter koster 1 at gennemføre til tid 0. Udregn for hver af de to 6 projekter ændringen af virksomhedens værdi og ændringen i gældens værdi, hvis projektet egenkapitalfinansieres. Diskuter! e. Som alternativ til egenkapital-finansiering betragter vi nu finansiering af de to projekter ved hjælp af udstedelse af gæld med lavere prioritet end den eksisterende (men højere prioritet end egenkapitalen). Hvor stor en hovedstol skal denne gæld med lavere prioritet have for at kunne finansiere projekt 1? Projekt 2? f. Aktionærerne kunne også gældsfinansiere på følgende måde: Tilbyd en højere hovedstol end 3 mod, at obligationsejerne betaler gennemførelsen af projekterne. Hvor meget skal hovedstolen forøges for at obligationshavernes gæld til tid 0 bliver 1 mere værd, når projekt 1 gennemføres? Og hvad når projekt 2 6 gennemføres? Udregn i begge tilfælde ændringen i egenkapitalens værdi. g. Antag nu, at der af x i skal betales 20% i skat - dog således at der i tilfælde af gældsfinansiering må fratrækkes 20% af hovedstolen (altså gældens størrelse på tid 3) uanset tilstand fra x i inden skatten udregnes. Sammenlign virksomhedens værdi i det oprindelige setup (før projekt 1 og 2) for forskellige grader af gældsfinansiering (hvor dog gælden ikke må være større end 5). h. Betragt samme situation som i g. Lad nu en funktion τ f (D) angive udgifter (til advokater etc.) som funktion af gældens størrelse D, som virksomheden må betale i tilfælde af fallit - udgifter som altså hverken går til aktionærer eller obligationsejere. Kan du konstruere τ f således at virksomhedens optimale kapitalstruktur (dvs. den som maksimerer virksomhedens værdi) har både egenkapital og gæld? 5