Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14"

Transkript

1 5. maj 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14 Resten af semesteret Uge 20 (dvs. 10., 12. og 14. maj) er der er almindelige forelæsninger og øvelser, hvor man til sidstnævnte får lov til at evaluere kurset. Men det skulle også bringe os igennem pensum. Kapitel 12 handler om en række uforklarlige finansielle fænomener. Det vil nok forvirre mere end det gavner, så det dropper vi. Forelæsningerne mandag 17. maj aflyses derfor ret sikkert (endelig bekræftelse 12.). Onsdag 19. er helliget en fælles afslutningseance, dvs. jeg sender Cathrine og Jesper på sommerferie holder en slags sidste forlæning og øvelser m/ drikkevarer. Tid og sted er ikke helt fastlagt endnu, men jeg pønser på at gøre det, så vi kan gå direkte til mat/øk-informationsmødet onsdag 19. maj kl i aud. 6, hvor man kan høre om efterårets kurser, om nye og gamle studieordninger og se faglige oplæg med en bredere pensel. På et tidspunkt i uge 22 (mellem 24. og 28. maj) holder jeg en spørgetime. Præcise koordinater følger snart. Har du spørgsmål, så send en mail eller kig forbi mit kontor. Næste ugeseddel vil (udover nærmere spørgetime-info) indeholde oplysninger om pensum, og hvad jeg og I nu ellers ikke må glemme af praktiske ting. Den vil først udkomme om 14 dage, dvs. efter sidste forelæsning. Tirsdag 1. juni ved I godt, hvad I skal. Seneste forelæsninger Mandag 3/5: Kap. 10 om APT er vigtige; 10.4 mindre. Onsdag 5/5: Hvordan sætter man tal på en faktormodel? KFX-aktierne som eksempel. Se figurer og data-filer på hjemmesiden. Corporate finance fra kap. 11; de første par sider inkl. 1. Modigliani/Millerresultat: Virksomhedens værdi ufhænger ikke af gældens størrelse (det altså når kaptalmarkedet er perfekt/komplet, og der ikke er skatter, fallitomkostninger eller lignende friktioner). 1

2 Til første pkt. opridsede jeg en en tilgangsvinkel kaldet pricipal komponent analyse. Ideen er sådan set simpel nok; hvis man ellers kan huske sin linære algebra. Givet T observationer af den N-dimensionale mer-afkast-vektor, starter vi med at estimere middelværdier og kovarianser som sædvanlig, dvs. µ i = 1 r i,t og T Σ i,j = ĉov(r i, r j ) = 1 (r i,t µ i )(r j,t µ j ). T t Så er Σ en symmetrisk, positivt semidefinit matrix. (Det er den ihvertfald, hvis der ikke mangler observationer på kryds og tværs.) Derfor er dens egenværdier positive, dens egenvektorer ortogonale og vi kan skrive Σ = N e i v i vi hvor e 1,..., e N er egenværdierne ordnet efter størrelse og v erne er de tilhørende (normaliserede) egenvektorer. Dette står i enhver bog om lineær algebra; matøk er kan kigge i Messer (se specielt omkring ved diagonalisering ), eller hvilken bog man nu har haft i Mat 1GB, eller på sætning 9.10 i Ernsts Stat 1-noter. (Jeg brugte ordet spektralsætning ; ikke alle tekster vil gøre dette.) Man kan også (næææsten) læse det fra i den tidligere omtalte Economists Mathematical Manual af Berck og Sydsæter. Dette er dekomposition af Σ som en sum af rang-1 matricer. Og hvis mange af Σ s egenværdier er tæt på 0, så er Σ tæt på at have rang K(< N). Hvis vi har en eksakt faktorstruktur med K faktorer, så har den sande kovariansmatrix rank K; ellers tæt på hvis den idiosynkratiske støjs varians er lille. Det inspirer flg. algoritme Vælg K så e j 0 for j > K. I data vil e erne ofte meget hurtigt blive små. Typiske værdier ku være en stykker. t Brug faktorerne f j = v j r ej for j = 1,..., K Brug factor-loadings : B = v 1... v K e ek Det er ikke helt fjollet, for det vil betyde cov(f i, f j ) = δ i,j (øvelse: regn efter) og at K BB = e i v i vi Σ, 2

3 så teori og data passer sammen. Læg også mærke til, at groft sagt er de realiserede faktorer f j,t og B-matricen er noget vi kan regne ud & så opfatte som givne (dvs. glemme vi selv har lavet dem). Fx kunne man nu undersøge, om det ser ud til at APT-restriktionen holder. Man kunne også regressere sine kunstigt skabte faktorer på makro-data & se, om der er noget, der ligner noget. Man kunne også have lyst at inkludere et idiosynkratisk støjled, ɛ, og udstyre det med diagonal kovariansmatrice, Ω, hvor Ω i,i = Σ i,i K e i v i vi, om ikke andet så fordi, man så er i en ramme, hvor man kan lave formelle statistiske modeller og tests. Et naturligt spørgsmål er om APT restriktionen λ R K : Bλ = µ r 0 1, holder. Vores bedste bud (i en sum-af-kvadrat-afvigelser-forstand) er λ = arg min (µ r 0 1 Bλ) (µ r 0 1 Bλ), λ hvilket (vektordifferentier) vil sige λ = (B B) 1 B (µ r 0 1). Man kan så sætte tilbage og se om µ r 0 1 B λ 0. Det kan man lave rigtige statistiske tests for (hvorved det ikke er helt klart, at denne flerskridtsprocedure ikke bør laves til noget simultant) men vi nøjedes med at kigge på en graf (det såkaldte eye-ball test). Vil man vide mere dette emne, kan man kigge i kapitel 6 (6.4 og frem nok først) i bogen The Econometrics of Financial Markets af Cambell, Lo og MacKinley (udgivet 1997 af Princeton University Press). Eller man kan tage et kursus om multivariatanalyse (pt. en af Stat 2A-versionerne). Kommende forelæsninger Mandag 10/5: Mere kapitel 11; 2. Modigliani/Miller-resultat. Projekt-investering. Og så når jeg sikkert igan med opgave 6 nedenfor. Den regner jeg til forelæsningerne hvert år; nogle gane kommer der corporate finance spørgsmål til eksamen, nogle gange gør der ikke. Onsdag 12/5: Mere af det samme. 3

4 Kommende øvelser (onsdag 19/5 for begge hold jvf. indledningen) Nedenstående. Når der tales om egenkapitalen, er det synonymnt med værdien af aktierne. Opgave 6 gennemgår jeg som skrevet til forelæsningerne (se vejledende besvarelse på hjemmesiden), så... Vh, Rolf Opgaver til 14. øvelsesgang 1 S95 opg. 3 fra de gamle InvFin-eksamensopgaver. 2 S97 opg. 3 fra de gamle InvFin-eksamensopgaver. 3 S01 opg. 3 fra de gamle InvFin-eksamensopgaver. 4 S03 opg. 3 fra de (ikke så) gamle InvFin-eksamensopgaver. Regn også det spørgsmål 4.d (ligger på hjemmesiden), som jeg aldrig stillede (hvilket nok var en god ide). 5 Indse rigtigheden af (mao: bevis) de to påstande allersidst i noternes afsnit Ved samme risikoklasse forstås, at projektets betalingsvektor er proportional med virksomhedens oprindelige cash-flows. 6 (Opgave om kapitalstruktur) Betragt en 1-periode model med 5 tilstande, i = 1,..., 5. Antag, at tilstandene har sandsynligheder henholdsvis 0.25, 0.2, 0.2, 0.2 og 0.15, og at der er et risikofrit aktiv. En virksomhed har cash-flow x i til rådighed i hver tilstand i, som skal fordeles til obligationsejere og aktionærer. Vi antager at der i markedet er givet et sæt af tilstandspriser ( Arrow-Debreu-priser også kaldet; eller priser på simple aktiver ) p i, således at virksomhedens værdi til tid 0 er V 0 = 5 p i x i. 4

5 Foreløbig antager vi, at der ikke er nogle skatter. Vi sætter x i = i og p i = 1 6, i = 1..., 5. a. Hvad er virksomhedens værdi til tid 0, og hvordan er denne værdi fordelt på egenkapital og gæld, hvis gælden som skal betales tilbage til tid 1 har størrelsen 3. b. Sammenlign den risikofri rente med den rente obligationsejerne får, når de får hele lånet tilbage. Hvad er det forventede afkast på obligationen? c. Hvordan ser svarene ud i a. og b. hvis gældens størrelse ændres til 2? d. Gælden antages nu igen at være 3. Betragt følgende to projekter, som giver virksomheden nedenfor angivne cash-flows til tid 1 (i de forskellige tilstande): tilstand cash-flow for projekt cash-flow for projekt Begge projekter koster 1 at gennemføre til tid 0. Udregn for hver af de to 6 projekter ændringen af virksomhedens værdi og ændringen i gældens værdi, hvis projektet egenkapitalfinansieres. Diskuter! e. Som alternativ til egenkapital-finansiering betragter vi nu finansiering af de to projekter ved hjælp af udstedelse af gæld med lavere prioritet end den eksisterende (men højere prioritet end egenkapitalen). Hvor stor en hovedstol skal denne gæld med lavere prioritet have for at kunne finansiere projekt 1? Projekt 2? f. Aktionærerne kunne også gældsfinansiere på følgende måde: Tilbyd en højere hovedstol end 3 mod, at obligationsejerne betaler gennemførelsen af projekterne. Hvor meget skal hovedstolen forøges for at obligationshavernes gæld til tid 0 bliver 1 mere værd, når projekt 1 gennemføres? Og hvad når projekt 2 6 gennemføres? Udregn i begge tilfælde ændringen i egenkapitalens værdi. g. Antag nu, at der af x i skal betales 20% i skat - dog således at der i tilfælde af gældsfinansiering må fratrækkes 20% af hovedstolen (altså gældens størrelse på tid 3) uanset tilstand fra x i inden skatten udregnes. Sammenlign virksomhedens værdi i det oprindelige setup (før projekt 1 og 2) for forskellige grader af gældsfinansiering (hvor dog gælden ikke må være større end 5). h. Betragt samme situation som i g. Lad nu en funktion τ f (D) angive udgifter (til advokater etc.) som funktion af gældens størrelse D, som virksomheden må betale i tilfælde af fallit - udgifter som altså hverken går til aktionærer eller obligationsejere. Kan du konstruere τ f således at virksomhedens optimale kapitalstruktur (dvs. den som maksimerer virksomhedens værdi) har både egenkapital og gæld? 5

Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5

Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5 25. februar 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5 Husk at eksamenstilmelding foregår i uge 9 & 0 (23/2-7/3). Hvis man møder op i auditorium 8 onsdag 3/3 kl. 3.5, kan

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13, tirsdag 16/6 2003. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver:

22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver: 22. maj 2006 Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15 Nogle eksamensopgaver: 1 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN INVESTERING OG FINANSIERING Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 4 timers

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7

Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7 12. marts 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 7 Seneste forelæsninger Mandag 8/3: Resten af kapitel 5. Jeg beviste 1st and 2nd theorem of asset pricing eller mathematical

Læs mere

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3

Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 18. februar 2005 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Tirsdag 15/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksempel 5. Fredag 18/2: Resten af afsnit 3.3, afsnit

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Kvantitative metoder 1

Kvantitative metoder 1 Forår 2007 Kvantitative metoder 1 5. februar 2007 Præsentation af forelæserne Forelæser: Dorte Grinderslev Specialkonsulent i det økonomiske råd Mette Ejrnæs Lektor ved Økonomisk Institut Kontor på Bispetorvet,

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Vi sætter. (Signal støj- forhold) Poul Thyregod, 25. april Specialkursus vid.stat. foraar Lad Y i angiver observationer fra i te udtagne balle.

Vi sætter. (Signal støj- forhold) Poul Thyregod, 25. april Specialkursus vid.stat. foraar Lad Y i angiver observationer fra i te udtagne balle. Modellens parametre Mandag den 25 april Hierarkiske normalfordelingsmodeller Dagens program: Resume af ensidet variansanalysemodel med tilfældig effekt estimation af tilfældige effekter, fortolkning som

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006 Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W

Læs mere

Dagens tema: Middelværdi/varians-optimale porteføljer

Dagens tema: Middelværdi/varians-optimale porteføljer Dagens tema: Middelværdi/varians-optimale porteføljer Geometrien; frihåndstegninger. Et eksempel; 2004 opg. 3 med samt julelege. Tre sætninger: - To-fondsseparation (Prop. 30); fond (fund) bruges blot

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Ganganalyse. Modellering og estimation. Klaus Kähler Holst. 5. Januar 2006

Ganganalyse. Modellering og estimation. Klaus Kähler Holst. 5. Januar 2006 Ganganalyse Modellering og estimation Klaus Kähler Holst 5. Januar 2006 Oversigt 1 Introduktion 2 Model for ledvinkelsrotation 3 PCA 4 Perspektivering Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 5. marts 2007 regressionsmodel 1 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5, E.2) Variansen

Læs mere

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/ NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Kursets hjemmeside: http://staff.pubhealth.ku.dk/~skm/fsvpage/index.html

Kursets hjemmeside: http://staff.pubhealth.ku.dk/~skm/fsvpage/index.html Kursets hjemmeside: http://staff.pubhealth.ku.dk/~skm/fsvpage/index.html 1 Kandidatkursus i statistik efteråret 2010 Planen er sidst revideret den 6.9.2010 Oversigt over kursets forløb Periode Emne 7/9

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

I dag. Kursus Data matrice. Formål med PCA. Statistik. Principal komponent analyse, PCA, Esbensen kapitel 3. Splus. Anna Helga Jónsdóttir

I dag. Kursus Data matrice. Formål med PCA. Statistik. Principal komponent analyse, PCA, Esbensen kapitel 3. Splus. Anna Helga Jónsdóttir I dag Kursus 02593 Statistik Anna Helga Jónsdóttir Principal komponent analyse, PCA, Esbensen kapitel 3. Splus ahj@imm.dtu.dk 18. november 2008 Anna Helga Jónsdóttir (ahj@imm.dtu.dk) Kursus 02593 18. november

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

ØVELSER TIL KAPITEL 2 Med løsninger

ØVELSER TIL KAPITEL 2 Med løsninger ØVELSER TIL KAPITEL 2 Med løsninger Øvelse 1. I begyndelsen af 2008 blev aktierne i Royal Unibrew handlet til kurs 534 per aktie. Aktien lukkede i december 2008 i kurs 118,5. Royal Unibrew udbetalte en

Læs mere

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 8 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Reeksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 12. juni 2007 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladte.

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0 Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Velkommen til kurset. Teoretisk Statistik. Lærer: Niels-Erik Jensen

Velkommen til kurset. Teoretisk Statistik. Lærer: Niels-Erik Jensen 1 Velkommen til kurset Teoretisk Statistik Lærer: Niels-Erik Jensen Plan for i dag: 1. Eks: Er euro'en skæv? 4. Praktiske informationer 2. Eks: Regressionsmodel (kap. 1) 5. Lidt om kursets indhold 3. Hvad

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

! Variansen på OLS estimatoren. ! Multikollinaritet. ! Variansen i misspecificerede modeller. ! Estimat af variansen på fejlleddet

! Variansen på OLS estimatoren. ! Multikollinaritet. ! Variansen i misspecificerede modeller. ! Estimat af variansen på fejlleddet Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 4. februar 003 regressionsmodel Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5)! Opsamling fra sidst

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere