Dynamiske Porteføljevalg

Transkript

1 Dynamiske Porteføljevalg Rasmus Højberg Andersen Bachelorprojekt, Matematik-Økonomi Vejleder: Claus Munk, Institut for Regnskab og Finansiering 9. februar 2004

2 Indhold 1 Indledning 3 2 En periode middelværdi-varians analyse Middelværdi-variansanalysen Problemervedénperiodemodellen Formueudviklingen Formueudviklingenidiskrettid Overgangentilkontinuerttid Formueudviklingenikontinuerttid Investors nyttefunktion Nyttefunktionenidiskrettid Bellmanligningen Denkontinuertemodel Investors optimale strategi Den optimale strategi findes Sammenligningafresultaterfradetomodeller En bestemt type nyttefunktion Lidtomgenerellenyttefunktioner CRRAnyttefunktioner Analyse af resultaterne Er den optimale strategi uafhængig af investeringshorisonten? Konklusion 32 9 Litteraturliste 33 A Diverse udregninger og beviser 34 A.1 J er en konkav funktion i W A.2 Indsættelse i δj (W, t) A.3 Løsningen af differentialeligningen A.4 G(t) positiv for alle værdier af A

3 B Stokastiske processer 38 B.1 Definitionerogsætninger B.2 Anvendelseriprojektet B.2.1 Afkastetidendiskretemodel B.2.2 Afkastetidenkontinuertemodel B.2.3 Denindirektenyttefunktionsdrift B.2.4 Outperformance-sandsynlighed

4 Kapitel 1 Indledning I dette bachelorprojekt undersøges hvordan en investor skal sammensætte og løbende tilpasse sin portefølje. Det antages at investor er nyttemaksimerende, således at målet er at opnå den højest mulige forventede livstidsnytte. Nytten antages at komme fra det løbene forbrug og den arv som investor efterlader sig. Det antages yderligere at investor ikke har nogen lønindkomst, dermed finansieres forbruget og arven udelukkende igennem formuen. For at finde den forbrugs og investeringsstrategi der giver den maksimale forventede livstidsnytte er vi nød til at bestemme investors nyttefunktion, herunder hvordan formuen påvirkes af de løbene forbrugs og investerings valg. Der præsenteres to modeller til at bestemme en optimal portefølje. I kapitel 2 behandles middelværdi-varians analysen og der udledes en række resultater om hvordan investors optimale investeringsbeslutning ser ud i en periode. Da middelværdi-varians analysen kun betragter en periode er den ikke særligt velegnet til at bestemme de optimale investeringsbeslutninger i resten af investor levetid. Der tages heller ikke højde for den forbrugsbeslutning som investor laver sideløbende med investeringsbeslutningen, det er disse problemer ved én periode modellen der føre til brugen af en dynamisk model. I en dynamisk model inddrages forbrugsbeslutningen og investor tillades dynamisk at ændrer sine beslutninger. Den bedste tilnærmelse til den virkelige verden fås, hvis investor kan ændrer sine beslutninger på alle tidspunkter. Derfor er det en kontinuert dynamisk model der arbejdes frem imod i kapitlerne 3-4. I kapitel 3 opstilles formueudviklingen dog først i diskret tid, altså hvor forbruget og investerings valget, kun kan ændres på et endeligt antal tidspunkter. Derefter omformuleres formueudviklingen til kontinuert tid, ved at lade tidsintervallerne i den diskrete udgave gå mod nul. Kapitel 4 omhandler hvordan investors nyttefunktion ser ud. Som ved formueudviklingen opstilles funktionen først i diskret tid og derefter udledes en kontinuert udgave ved en grænseværdi betragtning. I slutningen af kapitel 4 opstilles den kontinuerte dynamisk model. Under antagelse af at den risikofrie rente, volatiliteten og aktivernes forventede afkast er konstant over tid findes en optimal strategi i kapitel 5. Som afslutning herpå, sammenlignes denne strategi med resultaterne fra middelværdi-varians analysen. Den optimal strategi fra kapitel 5 behandles sammen med en bestemt type nyttefunktion, i kapitel 6 og denne strategi relateres til den virkelige verden, i kapitel 7. 3

5 Bilag A indeholder nogle udregninger og beviser der bruges i de forskellige kapitler. I bilag B defineres de stokastiske processer som bruges til at modellere aktivernes prisudvikling i kapitel 3. Desuden præsenteres nogle vigtige egenskaber ved stokastiske processer, herunder Ito s lemma der anvendes i kapitel 5. 4

6 Kapitel 2 En periode middelværdi-varians analyse Da det kun er investors porteføljevalg der betragtes i middelværdi-varians analysen, er målet at maksimere den forventede nytte som afkastet kan finansiere. Problemet for investor er at afkastet er behæftet med en vis usikkerhed. Således at investor ikke kan være sikker på at modtage det forventede afkast. I forhold til dette antages investor at foretrække et højt forventet afkast og en lille usikkerhed. Investor skal altså foretager et trade-off mellem det forventede afkast og variansen på porteføljen. Dette gøres ved blandt alle de mulige porteføljer at finde de porteføljer der har den mindst varians til et givent forventet afkast. Denne middelværdi-varians analyse foretages i afsnit 2.1 og dens begrænsninger diskuteres i afsnit Middelværdi-varians analysen Middelværdi-varians analysen søger at finde den optimale portefølje for en investor der kun bekymre sig om afkastets middelværdi og varians i en given periode. Investor antages agerende i et marked hvor alle aktiver handles uden restriktioner på priser eller mængder og uden transaktionsomkostninger eller skatter. Markedet antages at bestå af d usikre aktiver, med normalfordelte afkast R N (µ, Σ), hvorvektorenµ angiver det forventede afkast og Σ er d d kovariansmatricen, der angiver afkastets usikkerhed. De enkelte aktivers andel af porteføljen angives ved porteføljevægtene x 1,..., x d eller som vektoren X. Med disse antagelser kan porteføljens afkast betragtes som en sum af normalfordelte stokastiske variable og normalfordelingens additive ³ egenskaber gør at også porteføljens afkast bliver normalfordelt, R P N X > µ, X > ΣX.Problemet er at finde den portefølje der har den mindste varians, til et givet forventet afkast på r, altså minimeringsproblemet: 5

7 min X Var{R P } = u.b.b. dx dx x i x j Σ ij = X > ΣX i=1 j=1 E{R P } = X > µ = r dx x i = X > 1 =1 i=1 Her betegner 1 enhedsvektoren. Da objektfunktionen er konveks og bibetingelserne er lineære findes en løsning til problemet ved at opstille Lagrangefunktionen, L = 1 2 X> ΣX λ 1 (X > µ r) λ 2 (X > 1 1). Objektfunktionen er ganget med en halv da det letter notationen i førsteordensbetingelserne mht. x 1,..., x d, men ikke ændrer på løsningens gyldighed. L = 1 x i 2 (2x iσ ij +2 X x j Σ ij ) λ 1 µ i λ 2 =0, i =1,..., d j6=i dette kan omskrives til vektorudtrykket ΣX λ 1 µ λ 2 1 = 0. Hvis vi antager at Σ er invertibel kan X isoleres i denne ligning, X = λ 1 Σ 1 µ + λ 2 Σ 1 1. (2.1) Lagrangemultiplikatorerne kan findes ved at bruge i de to bibetingelser, X > =(λ 1 Σ 1 µ + λ 2 Σ 1 1) > = λ 1 µ > Σ 1 + λ 2 1 > Σ 1 L λ 1 = 0 X > µ = λ 1 µ > Σ 1 µ + λ 2 1 > Σ 1 µ = r, L λ 2 = 0 X > 1 = λ 1 µ > Σ λ 2 1 > Σ 1 1 =1. Vi har to ligninger med to ubekendte, så lagrangemultiplikatorerne kan findes som løsning til systemet µ λ1 = λ 2 µ µ > Σ 1 µ µ > Σ > Σ 1 µ 1 > Σ µ r 1 Med denne løsning kan porteføljen med den mindste varians, blandt de porteføljer der har r som forventet afkast, bestemmes ved at bruge (2.1) ogporteføljens varians kan findes som Var(R p )=X > ΣX.. 6

8 Hvis udregningen gentages for alle mulige forventet afkast, fremkommer en stribe porteføljer der bestemmer den optimale investeringsstrategi for alle investorer. Porteføljen med mindst varians blandt disse porteføljer kaldes for minimumvariansporteføljen. Hvis minimerings problemet fra før løses uden den første bibetingelse, fås minimumvariansporteføljen, X min = Σ > Σ Minimumvariansporteføljens varians er så > Σ 1 1 og det forventede afkast (1 > Σ 1 1) 2 er 1> Σ 1 µ. Plottes standardafvigelsen mod middelværdien for alle de optimale 1 > Σ 1 1 porteføljerne, vil de ligge på en kurve som kaldes for den efficiente rand. Minimumvariansporteføljen ligger i bunden af den efficiente rand. Middelværdi-standartafvigelsesdiagram Af (2.1) ses det at de optimale porteføljers sammensætning netop bestemmes ved en afvejning mellem det forventede afkast og variansen/kovariansen for afkastet på aktiverne i porteføljen. Porteføljerne er dog kun optimale hvis der ikke eksisterer et risikofrit aktiv. [7] Hvis et risikofrit aktiv eksisterer er det optimalt at investere en del af formuen i det risikofrie aktiv og resten i en portefølje bestående af de usikre aktiver. I middelværdi-standartafvigelsesdiagrammet ligger de optimale porteføljer derfor på en linje, der skærer anden aksen i det risikofrie afkast, r f og tangerer den efficiente rand. Linjen kaldes for kapitalmarkedslinjen og porteføljen i skæringspunktet kaldes tangentporteføljen, afkastet på denne benævnes R f T. Tangentporteføljen findes ved at maksimere hældningen på kapitalmarkedslinjen som er givet ved E{ R f T } r q f Var{ R f. T } 7

9 Maksimeringsproblemet der skal løses er altså: max f (x) = X> µ r f X X> ΣX = x> (µ r f 1) (X > ΣX) 1/2 dette problem har førsteordensbetingelsen f 0 (x) =(µ r f 1) X > ΣX 1/2 X > ΣX 3/2 X > (µ r f 1)ΣX =0. ved at betragte middelværdi-standartafvigelsesdiagrammet ses at vi er sikre på at en funden løsning er optimal, hvis bare den giver en positiv hældning på kapitalmarkedslinjen. Førsteordensbetingelsen giver at følgende to vektorer skal være ens Σ 1 (µ r f 1)= X> (µ r f 1) (X > X. (2.2) ΣX) For at finde en løsning til denne ligning kan begge vektorer deles med deres længde. Længden af venstresiden er og længden af højresiden er 1 > Σ 1 (µ r f 1) 1 > X> (µ r f 1) (X > ΣX) Af (2.2) fås at løsningen er, X = X> (µ r f 1) (X > ΣX) X = Σ 1 (µ r f 1) 1 > Σ 1 (µ r f 1). Tangentporteføljen har følgende karakteristika X tan = ³ Var frt = X > tan ΣX tan = og hældningen på kapitalmarkedslinjen bliver og er altså positiv. (µ r f 1) > Σ 1 (µ r f ) 1 > Σ 1 (µ r f 1) r = (µ r f 1) > Σ 1 ΣΣ 1 (µ r f 1) (1 > Σ 1 (µ r f 1)) 2 1 > X = X> (µ r f 1) (X >. ΣX) 1 1 > Σ 1 (µ r f 1) Σ 1 (µ r f 1), (2.3) 1 [1 > Σ 1 (µ r f 1)] 2 (µ r f1) > Σ 1 (µ r f 1). q (µ r f 1) > Σ 1 (µ r f 1), Med indførelsen af det risikofrie aktiv er det altså nu porteføljerne på kapitalmarkedslinjen, der giver den mindste varians til et givet afkast. Investors optimale beslutning er altid at vælge en portefølje på denne linje. Et interessant resultat er, at alle de optimale porteføljer kan findes, blot man kender to af porteføljerne på linjen. Typisk tangentporteføljen og en portefølje 8

10 der kun indeholder det risikofrie aktiv. Altså kan afkastet på alle de efficiente porteføljer findessometvægtetgennemsnitafafkastetpåtoafporteføljerne, dette begreb kaldes for two-fund separation. Uden et risikofrit aktiv haves også two-fund separation, i dette tilfælde er det typisk porteføljerne på den efficiente rand der findes ved at bruge tangentporteføljen og minimumvariansporteføljen [6 s ] 2.2 Problemer ved én periode modellen I en periode middelværdi-varians analysen betragtes kun en investeringsbeslutning på et givet tidspunkt. Hvilket betyder at der ikke tages højde for at investor hele tiden modtager ny information og derfor kan have behov for at ændre sin beslutning dynamisk. Det betyder også at der ikke tages højde for hvordan nytten til andre tidspunkter påvirkes af den valgte beslutning. Faktisk betragter modellen slet ikke forbrugssiden af investors beslutning. Dette kan dog ses som om forbrugsbeslutningen allerede er taget og at investeringsbeslutningen blot skal søge at dække dette forbrug bedst muligt. Desuden er antagelsen om at afkastet er normalfordelt ikke særlig realistisk. Eksempelvis tillægges der en positiv sandsynlighed for alle negativt afkast, men ved begrænset hæftelse kan der ikke forekomme afkast under 100%. Lognormalfordelingen antager kun positive værdier og kunne derfor bruges i stedet, men den har ikke normalfordelingens additive egenskaber og derfor ville porteføljens afkast ikke få en pæn fordeling. Det er problematisk om man overhovedet kan bestemme afkastenes middelværdi og varians-kovarians nøjagtigt nok til at resultaterne kan bruges i praksis. Desuden er der så mange aktiver i den virkelige verden at modellen ville blive meget omfattende at anvende. Dog kan modellen bruges, hvis det er mindre problemer der skal analyseres og som et værktøj, til at forstå problematikken omkring det trade-off mellem middelværdi og varians, der er i de fleste investeringsbeslutninger [1 s.8-10]. Det er problemet med at investor i den virkelige verden hele tiden har mulighed for ændre sine beslutninger, der motiverer til brugen af en dynamisk model. I næste kapitel startes gennemgangen af denne model, ved at beskrive investors formueudvikling. 9

11 Kapitel 3 Formueudviklingen Da det er en investors livstidsnytte der søges maksimeret, haves at investeringshorisonten er investors forventede restlevetid, denne sættes til T år. I den diskrete model opdeles T i N intervaller af varigheden t = T N. Altså haves N +1 tidspunkter, nemlig t i = i t,hvori =0, 1, 2,..., N. Investorvælgertil hvert tidspunkt t n en forbrugsrate, c tn og en portefølje, θ tn, disse beslutninger holdes fast indtil tidspunkt t n+1, vor en ny forbrugsrate og portefølje vælges. Investors forbrugsmulighed, og dermed nytte, afhænger af størrelsen af formuen. For at finde den forbrugsrate og portefølje der maksimere den forventede nytte er det derfor nødvendigt at vide hvordan investors formue udvikler sig. I dette kapitel udledes et udtryk for hvordan formuen W t, udvikler sig på baggrund af valget af portefølje og forbrug. I afsnit 3.1 udledes udtrykket i en diskrete tidsramme. I afsnit 3.2 og 3.3 går vi over til en kontinuert tidsramme. 3.1 Formueudviklingen i diskret tid Somiénperiodemodellenbetragtervid usikre aktiver og et risikofrit aktiv. Den årlige risikofrie rente i perioden [t n,t n+1 ) er r tn. Prisen pr. enhed af aktiv i til tidspunkt t n angives med Pt i n. For det risikofrie aktiv defineres Pt o n som værdien af en krone fremdiskonteret fra t 0 til t n med de risikofrie renter. Lad endeligt Nt i n 1 angive antallet af enheder af aktiv i holdt i den foregående periode. Hvis det antages at aktiverne aldrig udbetaler udbytte eller foretager lignende udbetalinger vil formuen på tidspunkt t n være givet ved den til t n 1 valgte porteføljes nuværende værdi, W tn = dx Nt i n 1 Pt i n, n =0, 1,...,N. i=0 På dette tidspunkt vælges der en ny portefølje (θ 0 t n,θ 1 t n,...,θ d t n ),hvorθ i t n = N i t n P i t n angiver værdien der er investeret i aktiv i. Forbrugsraten der vælges på tidspunkt t n angives med c tn,iperioden[t n,t n+1 ) et der så et forbrug på c tn t. Hvis det antages at investor ikke har nogen ikke finansiel indkomst, skal både forbruget og den nye portefølje finansieres udelukkende af den nuværende formue, således at 10

12 som kan omskrives til dx W tn = Nt i n Pt i n + c tn t, i=0 dx (Nt i n 1 Nt i n )Pt i n = c tn t. i=0 Da aktiverne ikke udbetaler udbytte er forskellen i formuen fra den ene til den anden periode udelukkende bestemt af forskellen i værdien af porteføljen på de to tidspunkter. Forskellen i formuen fra tidspunkt t n til t n+1 er, W tn +1 W tn = dx Nt i n Pt i n+1 i=0 Dette udtryk kan så omskrives på følgende måde, dx Nt i n 1 Pt i n. i=0 W tn+1 W tn = = = = = dx Nt i n Pt i n+1 i=0 dx Nt i n 1 Pt i n + i=0 dx Nt i n (Pt i n+1 Pt i n ) i=0 dx θ i t n i=0 dx i=0 dx (Nt i n 1 Nt i n )Pt i n i=0 dx Nt i n (Pt i n+1 Pt i n ) c tn t i=0 dx i=0 N i t n P i t n (P i t n+1 P i t n ) P i t n dx θ i t n Rt i n c tn t, i=0 c tn t θ i t n hvor Rt i n = Pt i n+1 Pt i n /Pt i n angiver afkastet i perioden fra t n til t n+1,påaktiv i. Afkastet for det risikofrie aktiv kan skrives som R 0 t n = P 0 t n+1 P 0 t n P 0 t n = P 0 t n (1 + r tn t) P 0 t n P 0 t n = r tn t. Ved at benytte vektornotation θ tn =(θ 1 t n,...,θ d t n ) T og R tn =(R 1 t n,...,r d t n ) T, er formueudviklingen givet ved W tn +1 W tn = θ 0 t n r tn t + θ t n R tn c tn t. (3.1) Afkastet på de usikre aktiver R tn kan dekomponeres i et forventet afkast og en stokastisk del der har middelværdi nul (se Bilag B.2.1), R tn = µ tn t + σ tn ε tn t. Indsættes dette i (3.1) fås 11

13 W tn+1 W tn = θ 0 t n r tn t + hθ tn, µ tn t + σ tn ε tn ti ctn t = θ 0 t n r tn t + hθ tn, µ tn i t + hθ tn, σ tn ε tn i t c tn t Formueudviklingen har altså følgende udseende i den diskrete tidsramme [1 s.13-14] W tn+1 W tn =(θ 0 t n r tn + θ t n µ tn c tn ) t θ t n σ tn ε tn t. (3.2) 3.2 Overgangen til kontinuert tid I en diskret tidsramme er investor begrænset til kun at kunne ændre sine beslutninger på forudbestemte tidspunkter, medens han i en kontinuert tidsramme hele tiden kan ændre disse. Når vi går fra den diskrete til den kontinuerte tidsramme opstiles en mere realistisk model af virkeligheden, hvor det er muligt for investor kontinuerligt at tage stilling til ændringer i økonomien og indrette forbrugs og investerings beslutningen efter dette. Overgangen foretages ved at lade tidsintervallerne i den diskrete model blive uendeligt små. På denne måde fremkommer en kontinuert tidsrække. Desuden gør vi brug af teorien fra Bilag B til at beskrive udvikling i aktiekurserne. 3.3 Formueudviklingen i kontinuert tid Hvis vi forsat antager at ingen af de usikre aktiver udbetaler udbytte eller har lignende stød i prisudviklingen, kan teorien om udviklingen i stokastiske processer bruges til at beskrive prisudviklingen på de usikre aktiver (se Bilag B.2.2). Prisudviklingen i den kontinuerte model antages at være, dp t = diag(p t )(µ t dt + σ t dz t ). (3.3) Hvor diag(p t ) er d d matricen der indeholder priserne, Pt i,påded usikre aktiver i diagonalen og nuller udenfor. µ t er en vektor der indeholder afkastets forventede værdi og σ t er en matrice der måler afkastets volatilitet, begge afhænger af tidspunktet t. dz t = ε t dt stammer fra en standart Brownsk bevægelse, sådan at dz t v N(0,dt). Disse antagelser betyder at prisudviklingen for aktiv i er en diffusions proces og er givet ved dp i t = P i t (µ i tdt + d P j=1 σ ij t dz t ). Vi kan hermed gå over til at betragte formueudviklingen i den kontinuerte model, når vi lader t 0 i (3.2) fås dw t =(θ 0 t r t + θ t µ t c t )dt + θ t σ t dz t. 12

14 I den kontinuerte tidsramme vil formuen på ethvert tidspunkt være givet ved værdien af porteføljen W t = P d i=0 N i t P i t = P d i=0 θi t. Således kan den del af formuen der er investeret i det risikofrie aktiv beskrives ved formuen minus værdien investeret i de usikre aktiver θ 0 t = W t P d i=1 θi t = W t θ t 1. Dette kan så bruges til at omskrive formueudviklingen dw t = ((W t θ t 1)r t + θ t µ t c t )dt + θ t σ t dz t = (r t W t + θ t (µ t r t 1) c t )dt + θ t σ t dz t Som i den simple model indføres nu porteføljevægtene for aktiverne i porteføljen. Porteføljevægte for de enkelte aktiver defineres som π i t = θi t, i =1,...,d W t sådan at det risikofrie aktivs andel af formuen er givet ved θ 0 t W t = W t θ t 1 W t =1 P d i=1 θi t W t =1 P d i=1 πi t =1 π t 1. Med indførslen af porteføljevægtene har vi at θ t = W t π t og formueudviklingen kan omskrives til dw t = W t (r t + π t (µ t r t 1))dt c t dt + W t π t σ t dz t Endeligt defineres et mål for markedsprisen på risiko, λ t.dettedefineres som forholdet mellem det forventede merafkast på de usikre aktiver og volatiliteten, λ t = σ 1 t (µ t r t 1) µ t = σ t λ t + r t 1, omskrivningen gælder når σ t er invertibel og viser at det forventede afkast på de usikre aktiver er beskrevet som det risikofrie afkast plus en risikopræmie, hvis størrelse bestemmes af λ t. Med denne opdeling haves det endelige udtryk for formueudviklingen [1 s.17-19], dw t = W t (r t + π t σ t λ t )dt c t dt + W t π t σ t dz t. (3.4) I kapitel 4.2 skal det antages at σ t, µ t og r t alle er konstante over tid, dette medføre at også λ t er konstant og at formueudviklingen er givet ved, dw t = W t (r + π t σλ)dt c t dt + W t π t σdz t. (3.5) 13

15 Kapitel 4 Investors nyttefunktion Vi går nu over til at opstille den nyttefunktion som skal maksimeres. Ved at lave en række antagelser om investors nytte, findes nyttefunktionen i diskret tid i afsnit 4.1. Ud fra dette udledes Bellman ligningen i afsnit og vi ser at denne ligning kan bruges til at løse modellen ved hjælp af dynamisk programmering. Endeligt findes investors nyttefunktion i kontinuert tid i afsnit 4.2 ved at lade tidsintervallerne i den diskrete model gå mod nul. 4.1 Nyttefunktionen i diskret tid Investor har en nytte knyttet til hver af perioderne og denne nytte afhænger af forbruget. Nytten knyttet til perioden der starter til tidspunkt t n beskrives således af funktionen U tn (c t0,c t1,...,c tn 1 ). Det antages at nytten knyttet til en periode kun afhænger af forbruget i denne perioder. Dette betyder eksempelvis at nytten af et restaurationsbesøg i en periode ikke afhænger af om man besøger den samme restaurant i de andre perioder. Altså er den direkte nytte af forbruget c tn givet ved funktionen U tn (c tn ). Denne antagelse er måske ikke så realistisk, det kunne tænkes at, hvis investor oplever at have et højt forbrug så opbygges der en præference for dette. Antagelsen indebære dog at investor i sin nuværende forbrugsbeslutning tager højde for hvordan forbrugsmuligheden i de efterfølgende perioder påvirkes og uden antagelse bliver modellen betydeligt mere kompliceret. Det antages at den direkte nytte af et givent forbrug på et tidspunkt, er det samme som nytten af et tilsvarende forbrug på et andet tidspunkt, altså hvis c ti = c tj er U ti (c ti )=U tj (c tj ). Sagt på en anden måde er nyttefunktionerne i de forskellige perioder ens, t n : U tn (c tn )=U(c tn ), hvor U er den fælles nyttefunktion. Det antages at man altid foretrækker at forbruge nu frem for senere, således at nytten af forbruget i fremtiden skal korrigeres med en tidspræferencerate, denne benævnes δ. Dette kan minde om en form for tilbagediskontering af nytten. Altså nytten til tidspunkt t i af forbruget c tn iperioden[t n,t n+1 ) er givet som e δ(tn ti) U(c tn ) t. Samtidigt antages det 14

16 at nytten er additiv således at nytten af forbruget i restlevetiden efter tidspunkt t i kan opsummeres som N 1 P e δt n U(c tn ) t. n=t i Endeligt er det rimeligt at antage at udover den nytte der kommer fra forbruget, har investor også tilknyttet en nytte til størrelsen af formuen på dødstidspunktet, W T. Denne nytte kunne typisk komme fra at efterlade noget til ens arvinger. Nytten betegnes med funktionen B(W T ) og antages at være uafhængig af forbruget. Nu kan investors livstids nyttefunktionen opskrives som eu(c t0,c t1,...,c tn 1,W T )= N 1 X n=0 e δtn U(c tn ) t + e δt B(W T ). Det er denne nyttes forventede værdi " N 1 # X E e δtn U(c tn ) t + e δt B(W T ), (4.1) n=0 som skal maksimeres. Derfor defineres en værdifunktion, J ti, som supremum af den betingede middelværdi af livstidsnytten til tidspunkt t i. Supremum tages over investors mulige forbrug og investeringsvalg, (c tn,θ tn ), og der betinges med en bestemt udvikling frem til tidspunktet t i. Endeligt antages det at investor til tidspunktet t i kan bestemme sine valg for (c tn,θ tn ) for alle fremtidige tidspunkter t n, uanset udviklingen frem til t n. Værdifunktion for i =0, 1,...,N 1 bliver så J ti = sup (c t n,θt n )N 1 n=i " N 1 X E ti n=i # e δ(tn ti) U(c tn ) t + e δ(t ti) B(W T ). (4.2) En sådan værdifunktionen J ti beskriver den højst mulige forventede nytte investor kan opnå fra et tidspunkt t i. Udtrykket for investors maksimale forventede livstidsnytte er så givet ved J t0,hvor " N 1 # X J t0 = sup E e δtn U(c tn ) t + e δt B(W T ). (4.3) [1 s.11-13] (c t n,θt n )N 1 n=0 n= Bellman ligningen Ved at omskrive værdifunktionen i (4.2) er det muligt at løse optimeringsproblemet med dynamisk programmering. Til tidspunkt t i vælges en forbrugsrate c ti,ogdermederu(c ti ) kendt på tidspunkt t i.dettebetyderat E ti [e δ(t i t i ) U(c ti ) t] =E ti [U(c ti ) t] =U(c ti ) t. 15

17 J ti = Benyttes lineariteten af betingede middelværdier kan (4.2) omskrives til sup (c t n,θt n )N 1 n=i ( " N 1 #) X U(c ti ) t + E ti e δ(tn ti) U(c tn ) t + e δ(t ti) B(W T ). n=i+1 VedendnuengangatbenyttesatU(c ti ) t ikke afhænger af hvad der sker i de efterfølgende perioder fås, J ti = sup (c t n,θt n ) U(c t i ) t + sup (c tn,θ tn ) N 1 n=i+1 " N 1 X E ti Sidste led i dette udtryk kan omskrives til sup (c t n,θt n )N 1 n=i+1 = e δ(t i+1 t i ) " N 1 X E ti n=i+1 sup (c t n,θ tn )N 1 n=i+1 n=i+1 e δ(t n t i ) U(c tn ) t + e δ(t t i) B(W T ) " N 1 X E ti n=i+1 # e δ(t n t i ) U(c tn ) t + e δ(t ti) B(W T ). # (4.4) e δ(t n t i+1 ) U(c tn ) t + e δ(t t i+1) B(W T ) hvor δ(t i+1 t i )= δ t. På tidspunktet t i+1 ved vi mere om udviklingen end på tidspunktet t i, derfor giver regnereglerne for betingede middelværdier at e δ t = e δ t E ti sup (c t n,θt n )N 1 n=i+1 = e δ t E ti [J ti+1 ] sup " N 1 X E ti (c tn,θ tn ) N 1 n=i+1 n=i+1 e δ(t n t i+1 ) U(c tn ) t + e δ(t t i+1) B(W T ) " N 1 X E ti+1 n=i+1 # e δ(t n t i+1 ) U(c tn ) t + e δ(t ti+1) B(W T ) Værdifunktionen i (4.4) ernugivetved J t = sup U(ct ) t + e δ t E t [J t+ t ] ª. (4.5) (c t,θ t) Denne ligning kaldes for Bellman ligningen, den er interessant fordi den kan løses ved brug af dynamisk programmering. Dette gøres ved at vælge de c N 1 og θ N 1 der maksimerer U(c N 1 ) t + e δ t E tn 1 [B(W T )], hvor W T er givet ved (3.2), altså W T = W tn 1 +(θ 0 t N 1 r tn 1 + θ t N 1 µ tn 1 c tn 1 ) t θ t N 1 σ tn 1 ε tn 1 t. Dette gøres for alle de situationer investor kan befinde sig i til tidspunktet, t N 1 også haves værdien af J tn 1.Hereftervælgesdec N 2 og θ N 2 der maksimerer # # 16

18 U(c N 2 ) t + e δ t E tn 2 [J tn 1 ] for alle de situationer investor kan være i til tidspunktet, t N 2 og sådan at (3.2) gælder, så haves J tn 2. Derefter forsættes indtil tidspunktet t 0,hvordersåer fundet en optimal strategi og værdien af J ti er kendt på alle tidspunkter. Det er dog stadig problmatisk at løse modellen i diskret tid og den kontinuerte udgave af modellen er mere elegant og kommer frem til analoge resultater [1 s.14-15] 4.2 Den kontinuerte model Når vi går over til at betragte en kontinuert model er forbrugs og investerings beslutningerne kontinuerte processer der kan ændres i alle tidspunkter, (c t ) [0,T ] og (θ t ) [0,T ]. Det er interessant at kigge på hvilke kombinationer af forbrug og porteføljer der kan tillades for at modellen giver økonomisk mening. Lad nu A t betegne denne mængde af tilladte beslutningsstrategier i tidsintervallet fra t og til T. For at beslutnings processerne (c s ) s [t,t ] og (θ s ) s [t,t ] ligger i A t kræves det at c s altid er positiv. Dette er en naturlig betingelse og bruges bl.a. når vi senere differentierer mht. c. Hvis vi antager, at der ikke er nogen restriktioner i markedet, kan θ s antage alle reelle værdier. Da vi har antaget at investor ingen ikke finansiel indkomst har, kræves det dog at formuen holdes positiv til alle tidspunkter. Mere specifikt er det nødvendigt at c t og π t er målelige, hvilket kan fortolkes sådan at de kun må afhænge af informationer der er tilgængelig til tidspunkt t. Endeligt skal processerne have passende integrabilitets egenskaber. I dette kapitel har vi indtil nu angivet den valgte portefølje med værdien investeret i aktiverne, θ, nu går vi over til at bruge porteføljevægtene, π. Dette gøres for at have samme notation som i formueudviklingen og når formuen er givet er der ikke en betydningsmæssig forskel på de to beskrivelser. Vi går nu over til at opstille modellen i kontinuert tid [1 s.16]. I den udgave af den kontinuerte model der opstilles her, antages det at σ t, µ t og r t alle er konstante over tid. Det antages altså at det forventede afkast og usikkerheden på aktiverne er konstante, samtidigt med at rentestrukturen er flad. Dette er ristiktive antagelser, men laves for at gøre det nemmer at komme frem til en optimal strategi. Uden disse antagelser bliver modellen noget mere kompliceret, da antagelserne betyder at udviklingen i priserne (3.3) beskrives ved en geometrisk Browns bevægelse og dermed er de fremtidige priser lognormalfordelte (se Bilag B.2.2). Antagelserne betyder også at formueudviklingen er givet ved (3.5) og kun afhænger af tidspunktet og af de beslutninger der træffes af investor. Dette medføre så at værdifunktionen J t bliver en funktion der kun afhænger af tidspunktet og investors formue. Værdifunktionen kaldes derfor også for investors indirekte nyttefunktion og skrives J (W t,t). Som i gennemgangen af formueudviklingen fremkommer investors nyttefunktion i kontinuert tid, ved at lade længden af tidsintervallerne i den diskrete model gå mod nul. Lader vi t 0 i (4.1) bliver summen til et integrale og investors forventede livstidsnytte er givet ved 17

19 " Z # T E e δt n U(c tn )dt + e δt B(W T ). (4.6) 0 Når t 0 i (4.2) bliver værdifunktionen tilsvarende givet ved h R i T J t = sup E t e δ(u t) U(c t u )du + e δ(t t) B(W T ). (c,θ) A t Vi skal nu gøre brug af den fremgangsmåde der blev omtalt i afsnit om Bellman ligningen. Hvis vi bruger J (W t,t) som notationen for den indirekte nyttefunktion er (4.5) i en diskret tidsramme givet som J (W t,t)= sup U(ct ) t + e δ t E t [J (W t+ t,t+ t)] ª. (4.7) c t 0,π t R n Ved at gange igennem med e δ t,trækkej (W t,t) fra på begge sider, bruge at J (W t,t)=e t [J (W t,t)] og dividere med t, fås e δ t ½ 1 J (W t,t)= sup e δ t U(c t )+ 1 ¾ t c t 0,π t R n t E t[j (W t+ t,t+ t) J (W t,t)] Nårviidetteudtryklader t 0 vil e δ t 1 t δ, e δ t U(c t ) U(c t ), 1 t E W,t [J (W t+ t,t+ t) J (W t,t)] LJ (W, t) Øverste udtryk regnes med l Hôpital s regel og det næste ses let. I det sidste udtryk betegner LJ (W, t) den indirekte nyttefunktions drift på tidspunkt t og denne er ifølge Ito s lemma givet ved (se Bilag B.2.3), LJ (W, t) = J t (W, t)+j W (W, t) W r + π > σλ c J WW (W, t) W 2 π > σσ > π, her bruges J W (W, t) som notation for J W (W, t) og J WW (W, t) for 2 J W (W, t). 2 Altså er 4.7 i den kontinuerte model omskrevet til δj (W, t) = µ U (c)+ J sup t (W, t)+j W (W, t) W r + π > σλ c c>0, π R + 1 n 2 J WW (W, t) W 2 π > σσ > π (4.8) som kaldes for Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) ligningen. Vi vil forvente at den indirekte nyttefunktion løser HJB ligningen for alle værdier af formuen til alle tidspunkter. Specielt må terminalbetingelsen, 18

20 J (W, T )=B (W ) være opfyldt for alle mulige værdier af W. Det er ikke umiddelbart til at løse HJB ligningen men vi kan anvende en verifikations sætning til at give en nødvendig betingelse for et optimum. [1 s ]. 19

21 Kapitel 5 Investors optimale strategi Idettekapitelfindes investors optimlae strategi under antagelse om at σ t, µ t og r t er konstante over tid. I afsnit 5.2 sammenlignes denne strategi med resultaterne fra middelværdi-varians analysen i kapitel 2. Vi finder at resultaterne fra de to modeller er parallelle med hensyn til optimal investeringsstrategi, eksistensen af en tangentportefølje og two-fund separation. 5.1 Den optimale strategi findes Verifikations sætningen der anvendes til at løse HJB ligningen er følgende Sætning 1 Antag V (W, t) er en løsning til HJB ligningen og lad C (W t,t) og Π (W t,t) være givet ved U(c)+ V t (W, t) (C (W, t), Π (W, t)) = arg max +V c>0, π R n W (W, t) W r + π > σλ c V WW (W, t) W 2 π > σσ > π Hvis beslutningsstrategierne c t = C (W t,t), π t = Π (W t,t), er tilladte, altså tilhøre A 0.HererWT den formue som fremkommer af at vælge (c t,π t ). Så er beslutningsstrategierne optimale og løsningen til HJB ligningen, /V, er lig med den indirekte nyttefunktion, " Z # T J (W, t) =V (W, t) =E t e δ(u t) U(c t )du + e δ(t t) B(WT ). t For at finde kandidater til (c t,π t ) betragtes førsteordens optimumbetingelserne mht. c og π i HJB ligningen, de er hhv. U 0 (c) J W (W, t) =0, 20

22 og J W (W, t) Wσλ+ J WW (W, t) W 2 σσ > π =0. Bemærk at en intuitiv optimumbetingelse må være at marginal nytten af at forbruge en ekstra enhed nu, er den samme som marginal nytten af at investere en enhed optimalt. Denne betingelse er netop førsteordens betingelsen mht. c, altså at U 0 (c) =J W (W, t). Udfradettekanvifinde en optimal forbrugsstrategi c t ved at lade I betegnedeninversefunktiontilu 0 (c). En optimal forbrugs strategi vil være c t = C (Wt,t) hvor funktionen C er defineret som C (W t,t)=i [J W (W, t)]. Hvis π isoleres i den anden førsteordensbetingelse vil W σ kunne forkortes væk og tilbage er π = J W (W, t) σ > 1 λ, J WW (W, t) W her er J WW (W, t) 6= 0da funktionen er voksende og det er antaget at W 6= 0. En optimal investeringsstrategi er givet ved π t = Π (Wt,t), hvor Π (W t,t)= J W (W, t) σ > 1 J W (W, t) λ = σ > σ 1 (µ r1), J WW (W, t) W J WW (W, t) W (5.1) her er brugt at markedsprisen på risiko er givet ved λ = σ 1 (µ r1). Når disse kandidater til en optimale strategi indsættes i HJB ligningen fås et grimt udtryk som heldigvis kan forkortes. I HJB ligningens første led bruges at U (c) =U (I [J W (W, t)]). Det andet led kan ikke forkortes. Det tredje led omskrives på følgende måde: J W (W, t) W r + π > σλ c à " µ = J W (W, t) W r + J W (W, t) J WW (W, t) W σ > 1 λ > σλ #! I [J W (W, t)] = J W (W, t) Wr J W (W, t) W µ JW (W, t) σ > > 1 λ σλ J W (W, t) I [J W (W, t)] J WW (W, t) W = J W (W, t) Wr J W (W, t) 2 J WW (W, t) λ> λ J W (W, t) I [J W (W, t)]. Det fjerde led omskrives på følgende måde: ³ = 1 2 J WW (W, t) W J WW (W, t) W 2 π > σσ > π σ > 1 λ > σσ > ³ J W (W,t) J WW (W,t)W σ > 1 λ J W (W,t) J WW (W,t)W = 1 2 J WW (W, t) W 2 ³ JW (W,t) J WW (W,t)W 2 λ > σ 1 σσ > σ > 1 λ = 1 J W (W,t) 2 2 J WW (W,t) λ> λ. 21

23 Adderes de fire led sammen igen er HJB ligningen blevet omskrevet til δj (W, t) = U (I [J W (W, t)]) + J t (W, t) J W (W, t) I [J W (W, t)] + J W (W, t) Wr 1 J W (W, t) 2 2 J WW (W, t) λ> λ. (5.2) Husk på sætning 1 giver, at hvis vi kan finde en J (W, t) der opfylder terminalbetingelsen og løser (5.2) sådan at de beskrevne strategier er tilladte, er strategierne optimale og J (W, t) er den indirekte nyttefunktion. I næste afsnit skal vi prøve at finde en sådan J (W, t) og dermed en optimal strategi for en bestemt type af nyttefunktioner. Endeligt bør det bemærkes at vi kun har undersøgt førsteordens betingelserne, men vi er sikre på at anden ordens betingelserne for optimum også er opfyldte, da det er antaget at U (c) er konkav i c og det kan vises at J (W, t) er konkav i W (se Bilag A.1). Lad os vende tilbage til resultatet om den optimale investeringsstrategi. Den siger at alle investorer med en nyttefunktion givet ved (4.6), vil investere sådan at porteføljevægtene i de usikre aktiver er givet ved (5.1). Dette betyder, at alle investorer vil have en del af deres formue investeret i en bestemt portefølje bestående af de usikre aktiver.denne portefølje kaldes for tangentporteføljen og svarer til tangentporteføljen i middelværdi-varians analysen. Andelen af formuen der investeres i denne tangentportefølje er givet ved summen af vægtene i (5.1). Investor placerer resten af sin formue i det risikofrie aktiv og dette er andel 1 1 > π =1+ J W (W, t) J WW (W, t) W 1> σ > 1 λ af hele formuen. Som i middelværdi-varians analysen er der altså også tale om two-fund separation i denne model. Tangentporteføljen er en portefølje der kun består af de usikre aktiver og er givet ved [1 s ]. π tan = J W (W,t) J WW (W,t)W σ > 1 λ JW (W,t) J WW (W,t)W 1> (σ > ) 1 λ = 1 σ > 1 λ. (5.3) 1 > (σ > ) 1 λ 5.2 Sammenligning af resultater fra de to modeller Middelværdi-varians modellen betragter kun en periode og ser således kun på investors nytte i en periode. Det er selvfølgelig mere relevant at betragte hele investors livstidsnytte. Altså at vurderer hele investors forbrugs og investerings beslutning under et. Således er den kontinuert dynamisk model grundlæggende 22

24 at foretrække frem for middelværdi-varians analysen. Dette underbygges også af at det i middelværdi-varians analysen blev antaget at afkast på aktiverne er normalfordelte. Mens antagelserne i den kontinuerte model betød at de fremtidige priser på aktiverne blev lognormalfordelte og det vises i næste kapitel at med yderligere antagelser om investors nyttefunktion bliver de fremtidige formuer også lognormalfordelt. Her er antagelsen med lognormalfordelingen klart den mest realistiske. Idet normalfordelingen har positiv sandsynlighed for selv meget store negative afkast, og der ved investeringer med begrænset hæftelse ikke kan komme afkast under 100%, lognormalfordelingen derimod sikre positive værdier af priserne og formuen. I begge modeller er den optimale investeringsstrategi at investere en del af formuen i en fast portefølje af de usikre aktiver. Og resten af formuen i det risikofrie aktiv. Der er altså tale om two-fund separation og tilstedeværelsen af en tangentportefølje i begge modeller. Tangentporteføljen i de to modeller er henholdsvis givet ved 2.3 og 5.3. Sammenlignes disse to udtryk ses det, at de faktisk er identiske. Der er dog forskel på hvordan µ, r og σ er defineret i de to modeller. I middelværdi-varians analysen betragtes de over en periode, mens de i den kontinuerte model måles over uendeligt små tidsintervaller. Dette betyder eksempelvis at µ i middelværdi-varians analysen angiver det forventede afkast i hele den betragtede periode. Hvorimod µ i den kontinuerte model angiver det forventede afkast i dette øjeblik. En anden forskel på de to tangentporteføljer er at vi i middelværdi-varians analysen ikke har udregnet en formel for hvordan investor optimalt fordeler sin formue mellem tangentporteføljen og det risikofrie aktiv. For at vi kan gøre dette kræver det at vi ved hvor investor vil ligge sig på kapitalmarkedslinjen og dette kræver en antagelse omkring investors nyttefunktion. I den kontinuerte model skal vi tilgengæld kende J W (W, t) og J WW (W, t) for at kunne bestemme fordelingen af formuen og dette kræver igen en antagelse om investors nyttefunktion. En sådan antagelse laves i næste kapitel. 23

25 Kapitel 6 En bestemt type nyttefunktion I dette kapitel introduceres først nogen egenskaber og mål for generelle nyttefunktioner. Derefter gennemregnes den kontinuerte model med en bestemt type nyttefunktion som kaldes for CRRA nyttefunktioner (Constant Relative Risk Aversion). 6.1 Lidt om generelle nyttefunktioner De nyttefunktioner der indføres i dette kapitel er alle pæne, i den forstand at de er kontinuerte og differentiable. De opfylder således alle de betingelser der kræves, for at vi kan regne med dem i modellen. Nyttefunktionerne skal yderligere have den egenskab at den optimale strategi er invariant over for stigende affine transformationer i nyttefunktionen. Dette betyder at de to nyttefunktioner U (x) og a + bu(x), hvora R og b>0, skalføretildensamme optimale strategi. Det antages at investor er grådig og risiko avers, dette betyder at det er stigende og konkave nyttefunktioner der er relevante i denne sammenhæng, altså nyttefunktioner med henholdsvis U 0 (x) > 0 og U 00 (x) < 0. Ved en grådig investor forstås,at investor altid tillægger en positiv nytte til mere forbrug. Ved en risiko avers investor forstås, at investor foretrækker en sikker gevinst frem for er usikkert spil med et tilsvarende forventet payoff. Altså en investor der vælger ikke at deltage i et spil, hvor der er halvtreds procent chancen for at vinde en krone og halvtreds procent chance for at tabe en krone. Jo mindre konkav nyttefunktionen er jo mindre risiko avers er investor. Ved en linear nyttefunktion er investor indifferent i et spil som ovenstående og kaldes risiko neutral. En risiko avers investor deltager aldrig i et spil med negativ forventet payoff. Om investor vil deltage i et spil med et positivt forventet payoff, afhænger af hvor risiko avers investor er. Det er derfor nyttigt med et mål for størrelsen af investors risiko aversion. U 00 (x) er et mål for hvor konkav nyttefunktionen er 24

26 og kan derfor bruges som et mål for hvor risikoavers investor er. Men ved også at inddrage hvor hurtigt nytten ændres når x ændres, U 0 (x), fås et bedre mål. De to mest anvendte risikomål blev introduceret af John W. Pratt og Kenneth J. Arrow, de er den absolutte risikoaversion (ARA) og den relative risikoaversion (RRA), givet ved ARA(x) = U 00 (x) U 0 (x), RRA(x) = xu 00 (x) U 0 (x). Det ses at både ARA(x) og RRA(x) er invariante over for affine transformationer i U (x), dette er smart da den optimale strategi heller ikke ændres ved sådanne transformationer. Bemærk at hvis nyttefunktionen er meget konkav så er U 00 (x) mere negativ og risiko aversionen større. Det forventes at en rig investor er mere tilbøjelig til at indgå i et usikkert spil end en fattig. Således er den fattige investor mere risikoavers end den rige og hvis x betegne investors formue, er ARA(x) er en faldende funktion af x. ARA(x) siger altså noget om hvor tilbøjelig investor er til at indgå i et helt fair spil som det ovenstående. Mens RRA (x) siger noget om tilbøjeligheden til at indgå i et lignende spil hvor indsatsen er en procentdel af x. I næste afsnit behandles en bestemt type af nyttefunktion med konstant relativ risikoaversion (CRRA). Hvis vi tænker os at x angiver investors formue betyder det at have en konstant relativ risikoaversion at uanset størrelsen af ens formue er man lige avers mod at indgå i et fair lotteri hvor indsatsen er en procentdel af formuen. En CRRA nyttefunktion defineres ved U (x) = x1 γ 1 γ, x 0 (6.1) hvor 0 <γer en konstant. Denne funktion tillader ikke umiddelbart γ =1,men i dette tilfælde benyttes nyttefunktionen U (x) = x1 γ 1, x 0 1 γ der bortset fra en konstant er identisk med nyttefunktionen (6.1) og de to nyttefunktioner giver derfor de samme optimale strategier. Ved at brug l Hôpital s regel, fås x 1 γ 1 x 1 γ ln (x) lim = lim =ln(x). γ 1 1 γ γ 1 1 For γ =1sættes U (x) i (6.1) altså til ln (x) og dette stemmer overens med at og dermed er U 0 (x) =x γ, ARA (x) = γ x, U 00 (x) = γx 1 γ RRA(x) =γ. Endeligt bemærkes at ARA(x) er en aftagende funktion af x og at konstanten γ angiver den relativ risikoaversion. I næste afsnit antages nyttefunktionerne i modellen at være af samme type som (6.1) og en optimal strategi udledes. [1 s. 5-6] 25

27 6.2 CRRA nyttefunktioner I dette afsnit antages de to nyttefunktioner i modellen at være CRRA nyttefunktioner, vi har altså U (c) = c1 γ 1 γ W, B(W )= 1 γ 1 γ, 0 <γ<1 Så får den indirekte nyttefunktion udseendet J (W, t) = sup (c,θ) A t E t " Z T t # δ(u t) c1 γ u e 1 γ du + e δ(t t) W 1 γ T. 1 γ CRRA nyttefunktionen har U 0 (c) =c γ,medinversi (a) =a 1/γ sådan at U (I (a)) = a1 1/γ 1 γ.vedatladea = J W (W, t) og bruge følgende omskrivning U (I [a]) ai[a] = a1 1/γ 1 γ aa 1/γ = a1 1/γ 1 γ a1 1/γ i(5.2), fremkommer ligningen δj (W, t) = = a 1 1/γ µ 1 1 γ 1 = γ 1 γ a1 1/γ, γ 1 γ J W (W, t) 1 1/γ + J t (W, t)+j W (W, t) Wr 1 2 J W (W,t) 2 J WW (W,t) λ> λ. For at finde en indirekte nyttefunktion J (W, t) der løser denne ligning, gætter vi på at løsningen har den egenskab at hvis formuestørrelsen ændres er de optimale porteføljevægte uændrede. det optimale forbrug ændret proportionalt med formuen. Altså hvis (c t,π t ) er en optimal strategi givet (W t,t), med tilhørende formueudvikling W,såmå(kc t,π t ) være en optimal strategi givet (kw t,t), med tilhørende formueudvikling kw. Gættet giver følgende J (kw t,t) = E t " Z T = k 1 γ E t " Z T = k 1 γ J (W t,t), som med k =1/W giver at t e δ(u t) (kc u) 1 γ 1 γ du + e δ(t t) (kw T )1 γ 1 γ # t e δ(u t) c u 1 γ 1 γ du + e δ(t t) W 1 γ T 1 γ # J (W t,t)=j (1,t) W 1 γ 1 γ (1 γ)j (1,t) W = 1 γ = g(t)γ W 1 γ 1 γ, 26

28 hvor g(t) =[(1 γ) J (1,t)] 1 γ. Vi skal senere se at funktionen g(t) spiller en vigtig rolle for den optimale strategi men først vises det at funktionsværdien ved udløbet af investeringshorisonten er en. Til tidspunktet T er terminalbetingelsen opfyldt og den indirekte nyttefunktion er givet ved B (W T ),altsåj (W T,T)= W 1 γ T 1 γ.hermeder g(t )=[(1 γ) J (1,T)] 1 γ = 1 (1 γ) 11 γ γ 1 γ =1 1 γ γ =1. Følgende afledte skal bruges for at kunne indsætte i udtrykket for δj (W, t) J W (W, t) = g(t) γ W γ, J WW (W, t) = γg(t) γ W γ 1, J t (W, t) = γ 1 γ W 1 γ g(t) γ 1 g 0 (t), efter indsættelse og ved at flytte rundt på ledene, se Bilag A.2, fås µ δ g(t) γ 1 W 1 γ 1 γ r 1 2γ λ> λ g(t) γ 1 γ γ 1 γ g0 (t) =0. I denne ligning er både g(t) γ 1 og W 1 γ strengt positive. Derfor skal g 0 (t) opfylde følgende ligning g 0 (t) = 1 γ γ = µ δ 1 γ r 1 µ δ γ r 1 γ γ 2γ λ> λ 1 γ 2γ 2 λ> λ Altså en differential ligning g 0 (t) =Ag(t) 1, hvor A = δ γ r 1 γ γ g(t) g(t) 1. 1 γ 2γ 2 λ> λ. γ 1 γ Denne differential ligning har betingelsen g(t )=1og løsningen er (se Bilag A.3) g(t) = 1 A A(T ³1+[A 1] e t). Vi har at 1 J (W t,t)= ³1+[A t) γ 1] e A(T W 1 γ A 1 γ, løser problemet og fra sætning 1 er den optimale strategi givet ved 27

29 Π (W, t) = J W (W, t) J WW (W, t) W σ > 1 1 λ = σ > 1 λ γ = 1 σ > σ 1 (µ r1). γ C (W, t) =I [J W (W, t)] = g(t) γ W γ 1/γ 1 = g(t) W. Det er altså optimalt at forbruge en andel af formuen der varierer med størrelsen af funktionen g(t). Det er derfor interessant at kigge nærmere på funktionen g(t). Denne afhænger ikke af W, så forbruget udviser altså constant returns to scale mht. formuen. Til gengæld afhænger g(t) af A og dermed af risikoaversionen, γ, og afkastet på aktiverne, r og µ. Da disse er antaget konstante over tiden er A konstant over tiden. Dermed er g(t) en aftagende funktion i tiden. Faktisk vil g(t) 1 når t T, sådan at den del af formuen der går til forbrug konvergerer mod hele formuen efterhånden som investeringshorisonten bliver mindre. For at modellen giver mening må det kræves at forbruget er positivt, hvilket så igen kræver at g(t) = 1 A 1+[A 1] e A(T t) > 0. Mendetkanvisesat g(t) > 0 for alle værdier af A (se Bilag A.4) og g(t) er kun defineret for 0 t T, så der er altså altid et positivt forbrug. Den optimale investeringsstrategi er som i den simple model givet som et tradeoff mellem merafkastet, (µ r1) og en størrelse der afhænger af volatiliteten, σ. Desuden afhænger strategien af størrelsen på den relativ risikoaversion, γ.fra udledningen af tangentporteføljen i slutningen af afsnit 5.1 ses det, at andelen af formuen investeret i de usikre aktiver er giver ved, 1 γ 1> σ > 1 (µ r1). Andelen er stor hvis aktivernes forventede afkast er stort og den risikofrie rente er lille, ikke noget overraskende resultat. Det er heller ikke overraskende at hvis risikoaversion stiger, så vil denne andel falde og dermed vil andelen investeret i det risiko frie aktiv stiger. Bemærkelsesværdigt er det til gengæld at porteføljevægtene ikke afhænger af t, dvs. det er optimalt at vælge de samme porteføljevægte uanset ens tidshorisont. Dette undersøges nærmere i kapitel 7. Hvis vi vender tilbage til formueudviklingen ved vi at denne er givet ved (3.5). I denne ligning kan vi indsætte den optimale strategi og efter at have forkortet fås dw t = W t (r + 1 γ λ λ)dt 1 g(t) W 1 tdt + W t γ λ dz t. Dette kan omskrives til dw t = W t (r + 1 γ λ λ 1 g(t) )dt + 1 γ λ dz t. 28

30 Det ses at ligesom priserne på aktiverne følger også formueudviklingen en geometrisk Brownsk bevægelse, dog med en tidsafhængig drift. Dermed er fremtidige værdier af formuen lognormalfordelt og holder sig positive. [1 s ] 29

31 Kapitel 7 Analyse af resultaterne 7.1 Er den optimale strategi uafhængig af investeringshorisonten? Et normalt investering råd er at har man en lang investeringshorisont, skal man have en overvægt af aktier i ens portefølje. Hvorimod investorer med en kort tidshorisont, skal have en overvægt af obligationer i porteføljen. Men resultatet af vores model angiver at investors optimale investeringsstrategi er uafhængig af tidshorisonten! Det skal nu undersøges om der kan findes en forklaring på denne modstrid. Forklaringen kan være at aktier historisk set giver et højere afkast end obligationer. Dette kan understøttes ved at betragte outperformance-sandsynligheder, som er sandsynligheden for at en aktieinvestering klarer sig bedre end en obligationsinvestering. I vores model gør en placering i det risikofrie aktiv det ud for en obligationsinvestering. En krone investeret i det risikofrie aktiv er efter T år blevet til e r f T og vi ved at ln( PT P 0 ) er normalfordelt med middelværdi (µ σ 2 /2)T og varians σ 2 T. På baggrund af dette kan outperformance-sandsynligheden udledes til at være (se Bilag B.2.4), µ Ã PT P >e r f T (µ r f σ 2 /2)! T = φ, P 0 σ hvor φ er fordelingsfunktionen for en standartnormalfordelt stokastisk variabel. Ved at indsætte værdier for µ, r f, σ, ogt kan outperformance-sandsynligheder udregnes for forskellige scenarier. Med en volatilitet på 20% og et forventede merafkast på over 2% vil outperformance-sandsynligheden være over 50% for alle investeringshorisonter. Og outperformance-sandsynligheden vil vokse med investeringshorisonten. Altså er sandsynligheden for at en aktie investering klare sig bedre end en obligationsinvestering større jo længere ens tidshorisont er. Dette kan udlægges sådan at aktieandelen bør vokse med investeringshorisonten. Men den risikoaverse investor er også nød til at vurderer størrelsen af et eventuelt tab på en investering i de usikre aktiver. Variansen på afkastet vokser med investeringshorisonten og dermed vokser sandsynligheden for dårlige afkast også. Dette betyder 30

32 at investor i valget af sin aktieandel er nød til at lave en afvejning mellem et større forventede afkast og en voksende risiko for dårlige afkast. For investor i vores model udligner disse to effekter hinanden således at investeringsbeslutningen ikke afhænger af investeringshorisonten. [1 s.28-30][3] I vores model antager vi at investor har ingen ikke finansiel indkomst. Det kan i stedet antages at investor både har en formue og modtager en lønindkomst. Modellen kan stadig bruges til at bestemme en optimal forbrugs og investeringsstrategi. Dette gøres ved at den forventede lønindkomsts nutidsværdi sammen med investors reelle formue, udgør den formue som investors bygger sine beslutninger på. Hvis den fremtidige lønindkomst betragtes som et aktiv, er en del af formuen investeret i dette aktiv. Resten af formuen er fordelt mellem tangentporteføljen og det risikofrie aktiv, sådan at modellens optimale strategi følges. Da værdien af den fremtidige lønindkomst falder med investeringshorisonten, vil usikkerheden på lønindkomsten påvirker hvordan den reelle formue skal investeres. For de fleste mennesker er lønindkomsten ikke korreleret med aktiepriserne og ligner derfor en obligationsinvestering. I dette tilfælde vil lønindkomsten udgøre en del af den formueandel der optimalt skal placeres i det risikofrie aktiv. Dette betyder at aktieandelen vil falde med investeringshorisonten. Men det modsatte kan også være tilfældet, er lønindkomsten korreleret med aktiepriserne vil aktieandelen stige med investeringshorisonten. Dette kan eksempelvis være tilfældet hvis investors aflønnes med aktieoptioner. I begge tilfælde afhænger aktieandelen af investeringshorisonten. [3] Modellen kan altså udvides ved at lade investor have en lønindkomst, den kan også udvides ved at lade σ t, µ t og r t varierer over tid. Gøres dette er prisudviklingen ikke længere en generaliseret Brownsk bevægelse. Dermed bliver modellen og udledningen af den optimale strategi mere kompliceret, end i den udgave af modellen der er gennemgået her. Ienmodelhvorσ t, µ t og r t tillades at varierer over tid vil der komme fluktueringer i afkastet. En risikoaverse investor vil forsøge at skabe et stabilt forbrugsgrundlag, ved at tilpasse sine portefølje efter disse fluktueringer. Dette betyder at den optimale investering ikke er konstant over tid med disse forudsætninger. [2 s.47] 31

33 Kapitel 8 Konklusion Der er gennemgået to modeller til at bestemme en investors optimale investeringsstrategi. De to modeller er middelværdi-varians analysen og en dynamiske portefølje model, med kendte markedsvilkår. Middelværdi-varians analysen viser, at investor står over for et trade-off mellem det forventet afkast og usikkerheden på investeringen. Resultatet er at en del af formue skal investeres i det risikofrit aktiv og resten af formuen placeres i en tangentportefølje, der har en fast sammensætning af de usikre aktiver. I denne model er det kun en periode der betragtes og defor er det ikke muligt at ændre strateg undervejs. Den dynamiske portefølje model tager højde for dette og tager også højde for investors forbrugsbeslutning. Resultatet i denne model dikterer også at investor skal investere en del af sin formue i en tangentportefølje og resten af formuen placeres i det risikofrie aktiv. Løsningen indebære at både opdelingen af formuen og fordelingen af aktiverne i selve tangentporteføljen, er uafhængige af investors tidshorisont. Resultatet er diskuteret i relation til, at de fleste investeringsråd lyder på at aktieandelen skal vokse med investeringshorisonten. Vi kan forklare resultatet med, at det er to modstridende effekter der ophæver hinanden. Den ene effekt er at det forventede merafkast vokser med investeringshorisonten og den anden at det samme er tilfældet med variansen på afkastet, da investor er antaget både grådig og risikoavers ophæver de to effekter altså hinanden. Hvis man husker på at det i modellen er antaget at markedsvilkårene er de samme til alle tidspunkter, er det egentligt ikke så mærkeligt at aktieandelen skal være uafhængig af tiden. Men brydes antagelsen om at investor ikke har nogen lønindkomst eller antagelsen om at markedsvilkårene er kendte, kan det faktisk vises at aktieandelen afhænger af investeringshorisonten. Det kunne derfor være interessant at arbejdevideremedendynamiskemodelmedenlønindkomstellerikkekonstante markedsvilkår. Endeligt er resultaterne fra de to modeller sammenlignet og bortset fra forskelle i modelopbygningen er de to resultater faktisk identiske. I begge skal formuen opdeles mellem det risikofrie aktiv og den samme tangentporteføljen. Der er dog den væsentlige forskel på de to modeller at man i middelværdivarians analysen er nød til at antage et normalfordelt afkast, mens prisudviklingen er antaget lognormalfordelt i den dynamiske model. 32

34 Kapitel 9 Litteraturliste 1. Claus Munk: Portfolio and consumption Decisions and Equilibrium (s. 1-30), Asset Pricing. May 7, Claus Munk: Dynamic Asset Allocation. April 4, Claus Munk og Carsten Sørensen: Skal investorer med lang investeringshorisont have større aktieandel?. Finans/Invest, 7/2001, s Claus Munk: Fixed Incom Analysis: Securities, Pricing, and management (Chapter 3: Stochastic processes and stochastic calculus). January 23, John C. Hull: Options, Futures & Other Derivates (Chapter 10: Model of the Behavior of Stock Prices). Fourth edition. Prentice Hall Grinblatt, Titman: Financial Markets and Corporate Strategy, 2. edition. McGraw-Hill Richard Stanton, Associate Professor of Finance Haas School of Business, U.C. Berkeley : CAPM - Mathematical Details. Lecture notes Martin Jacobsen: Videregående sandsynligheds regning, 2. udgave. Institut for Matematisk Statistik, Københavns Universitet Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations, 5. udgave, Springer Verlag. 33

35 Bilag A Diverse udregninger og beviser I dette bilag forefindes en række udregninger og beviser som bruges i forskellige kapitler. A.1 J er en konkav funktion i W Det skal altså vises at følgende funktion er konkav i W, " Z # T J t =supe t e δ(u t) U(c u )du + e δ(t t) B(W T ). (c,θ) t Lad nu (c 1, θ 1 ) være en optimal strategi givet formuen W 1t og (c 2, θ 2 ) være en optimal strategi givet formuen W 2t.Defineres en strategi ved (c α, θ α )=α (c 1, θ 1 )+(1 α) (c 2, θ 2 ). for en konstant, α (0, 1), er denne strategi tilladt, givet formuen W αt = αw 1t +(1 α)w 2t. Den underliggende formueudvikling er givet ved dw t = W t (r + π t λσ)dt c t dt + W t π t σdz t. Denne formueudvikling er lineær i den forstand at dw αt = αdw 1t +(1 α)dw 2t. Således at formuen til tiden T er givet ved W αt = αw 1T +(1 α)w 2T. Detskalnublotvisesat J t (W αt ) α J t (W 1t )+(1 α) J t (W 2t ). Dette gøres ved vurderingen 34

36 " Z # T J t (W αt ) E t e δ(u t) U(αc 1 +(1 α)c 2 )du + e δ(t t) B(αW 1T +(1 α)w 2T ), t samt ved at udnytte at U(c u ) og B(W T ) er antaget konkave, dette giver " Z # T J t (W αt ) α E t e δ(u t) U(c 1 )du + e δ(t t) B(W 1T ) t " Z # T +(1 α) E t e δ(u t) U(c 2 )du + e δ(t t) B(W 2T ). Hvilket viser at J t er en konkav funktion. A.2 Indsættelse i δj (W, t) I afsnit 6.2 skal de tre afledte t J W (W, t) = g(t) γ W γ, J WW (W, t) = γg(t) γ W γ 1, J t (W, t) = γ 1 γ W 1 γ g(t) γ 1 g 0 (t), og sammenhængen J (W t,t)= g(t)γ W 1 γ, 1 γ indsættes i følgende ligning δj (W, t) = γ 1 γ J W (W, t) 1 1/γ + J t (W, t)+j W (W, t) Wr 1 2 Dette giver, J W (W, t) 2 J WW (W, t) λ> λ. δ g(t)γ W 1 γ 1 γ = γ g(t) γ W γ 1 1/γ γ + 1 γ 1 γ W 1 γ g(t) γ 1 g 0 (t) (g(t) γ W γ ) 2 γg(t) γ W γ 1 λ> λ, +g(t) γ W γ Wr 1 2 der flyttes rundt og forkortes δ g(t)γ W 1 γ γ 1 γ 1 γ g(t)γ 1 W 1 γ γ 1 γ W 1 γ g(t) γ 1 g 0 (t) g(t) γ W 1 γ r 1 g(t) γ W 1 γ λ > λ =0. 2 γ 35

37 Ved at sætte udenfor parentes, fås g(t) γ 1 W 1 γ δ g(t) 1 γ γ 1 γ γ 1 γ g0 (t) g(t)r 1 g(t) 2 γ λ> λ =0, og ved at flytte rundt inde i parentesen, fås µ δ g(t) γ 1 W 1 γ 1 γ r 1 2γ λ> λ g(t) γ 1 γ γ 1 γ g0 (t) =0, det er denne ligning der arbejdes viderer med i teksten A.3 Løsningen af differentialeligningen I afsnit 6.2 skal følgende differentialeligning løses g 0 (t) =Ag(t) 1, g(t )=1 hvor A er en konstant givet ved δ γ r 1 γ γ 1 γ 2γ λ > λ. 2 Differentialeligningen kan løses på sædvanligvis, der fås g(t) t = Ag(t) 1 1 g(t) = t Ag(t) 1 Z Z 1 Ag(t) 1 g(t) = t 1 ln (Ag(t) 1) = t + C A ln (Ag(t) 1) = At + AC Ag(t) 1=Ke At Ag(t) =Ke At +1 g(t) = 1 A Ke At +1, hvor C og K er to konstanter. Terminalbetingelsen g(t )=1giver så løsningen er 1 Ke AT +1 =1 A Ke AT = A 1 K =(A 1) e AT, g(t) = 1 [A 1] e AT e At +1 A g(t) = 1 A(T ³1+[A 1] e t). A 36

38 A.4 G(t) positiv for alle værdier af A Vi har følgende funktion g(t) = 1 A A(T ³1+[A 1] e t), hvor A = δ γ r 1 γ γ 1 γ 2γ λ > λ. Dette kan omskrives til 2 g(t) =e A(T t) + 1 A(T ³1 e t), A For at vise at g(t) > 0 er det nok at vise 1 A 1 e A(T t) 0, hvordet anvendes at T t 0 og at e A(T t) > 0. Men 1 A 1 e A(T t) 0 gælder altid, da A < 0 e A(T t) 1, A > 0 e A(T t) 1. Altså er g(t) positiv for alle værdier af A. 37

39 Bilag B Stokastiske processer I dette bilag behandles teorien bag de stokastiske processer som bruges til at modellere aktivernes prisudvikling. Processerne defineres og Ito s lemma der bruges til at løse modellen i kapitel 5 introduceres. B.1 Definitioner og sætninger Ved en stokastisk proces forstås en familie af stokastiske variable, der kunne for eksempel være tale om priserne på en aktie der udvikler sig fra et begyndelsestidspunkt og frem, (P t ) t 0.Førstdefineres en speciel type af stokastisk proces der kaldes for Markov processer, de har den egenskab at det kun er processens nuværende værdi der har indflydelse på bestemmelsen af de fremtidige værdier. Definition 2 En stokastisk proces (z t ) t 0 med værdier i et udfaldsrum S udstyret med et sandsynlighedsmål P kaldes for en Markov proces, hvis t>t 0 A S : P (z t A (z s ) t s 0 )=P (z t A z t ) Hvis udfaldsrummet er de reelle tal siger definitionen at sandsynligheden for at en fremtidig værdi ligger i et interval er den samme uanset om vi har givet alle tidligere værdier af processen eller kun den nuværende. Dette stemmer overens med at den nuværende aktiepris tager højde for al den information som ligger i tidligere priser og de fremtidige priser derfor kun afhænger af den nuværende. Herefter defineres en række forskellige typer af stokastiske processer. Definition 3 En stokastisk proces (z t ) t 0 kaldes for en standart Brownsk bevægelse, hvis (i) z 0 =0, (ii) t > t 0: z t z t N (0, t t), (iii) 0 <t 0 <t 1 <...<t n er de stokastiske variable z t1 z t0,...z tn z tn 1 uafhængige, (iv) z er kontinuert. En standart Brownsk bevægelse kan også beskrives ved z = ε t, hvorε N (0,1). 38

40 For en standart Brownsk bevægelse er z altså normalfordelte med middelværdi nul og varians t. Hvis vi betragter en kontinuert proces skrives ændringen dz og vi kan fortolke dette sådan at dz N (0, dt) eller at dz = ε dt. Definition 4 En stokastisk proces (x t ) t 0 kaldes for en generaliseret Brownsk bevægelse, hvis x t = a t + b z, hvor a og b er konstanter og z er en standart Brownsk bevægelse. For en generaliseret Brownsk bevægelse er x altså normalfordelte med middelværdi a og varians b 2 t. I en model for aktiepriser sættes a = µ og b = σ, konstanterne fortolkes henholdsvis som det forventede afkast og aktieprisernes volatilitet. Idet σ 2 angiver varians per tidsenhed. Definitionen kan generaliseres yderligere ved at lade a og b være funktioner af t og x t. Definition 5 En stokastisk proces (x t ) t 0 kaldes for en diffusions proces, hvis x t = a(x t,t) t + b(x t,t) z, hvor a(x t,t) og b(x t,t) er funktioner og z er en standart Brownsk bevægelse. Diffusions processer, generaliserede og standart Brownske bevægelse er alle Markov processer. Ved at lade a og b selv være stokastiske processer, kan vi definerer stokastiske processer der generelt ikke er Markov processer. Definition 6 En stokastisk proces (W t ) t 0 kaldes for en Ito proces, hvis W t = a t t + b t z, hvor a t og b t er stokastiske processer og z er en standart Brownsk bevægelse. Alle de gennemgåede processer kan opskrives i kontinuerte udgaver, en kontinuert Ito proces bruges i Ito s lemma. Sætning 7 (Ito s lemma) Lad(W t ) t 0 være en Ito proces givet ved dw t = a t dt + b t dz, og lad G(W t,t) være en funktion der er differentiabel i t og to gange differentiabel i W. Så vil processen y t = G(W t,t) være en Ito proces, dg =( G t + G a t + 1 W t 2 2 G W 2 t b 2 t )dt + G W t b t dz. (B.1) Beviset for Ito s lemma er for omfattende at medtage her, det kan findes på side 44 i [9]. Ito s lemma gælder for Ito processer og dermed også for den sidst type af processer der defineres, det er nemlig en bestemt type diffusions proces, hvor a(x t,t) og b(x t,t) er på formen en konstant gange x t. Definition 8 En stokastisk proces (x t ) t 0 kaldes for en geometrisk Brownsk bevægelse, hvis dx t = µx t dt + σx t dz, (B.2) hvor µ og σ er konstanter og z er en standart Brownsk bevægelse. 39

41 Hvis en akties prisudvikling (P t ) t 0 følger en geometrisk Brownsk bevægelse, har afkastet konstant forventet værdi, µ og volatilitet σ. Dette ses ved at dividere igennem med x t = P t i(b.2), dp t = µdt + σdz, P t hvor størrelsen dp t P t angive afkastet over den næste lille tidsperiode, dt. Foren sådan prisudvikling gælder at fremtidige værdier er lognormalfordelte. Sætning 9 En geometrisk Brownsk bevægelse (P t ) t 0, har den egenskab at: t > t 0 ln( P t P t ) N([µ σ 2 /2][t t], σ 2 [t t]). Bevis. Bruges Ito s lemma for en geometrisk Brownsk bevægelse (P t ) t 0 med funktionen G(P t,t)=ln(p t ),havesat a t = µp t, b t = σp t, G t =0, G P = 1 P t, 2 G P 2 = 1 Pt 2, indsættes dette i (B.1), fås dg =(µ σ2 )dt + σdz. 2 Da µ og σ er konstanter følger processen y t = G(P t,t) en generaliseret Brownsk bevægelse, hvilket betyder at en ændring y t er normalfordelt med middelværdi (µ σ2 2 ) og varians σ2 t. For to vilkårlige tidspunkter t > t 0, fås y t y t =(µ σ2 2 )(t t)+σ(z t z t ), men y t = G(P t,t)=ln(p t ),sådetteerdetsammesom ln( P t =(µ P t ) σ2 2 )(t t)+σ(z t z t ), hvilket viser det ønskede. Et spændende resultat ved disse stokastiske processer er at den graf som eksempelvis en geometrisk Brownsk bevægelse følger er kontinuert, men ikke differentiabel i noget punkt. Fen Ito proces kaldes a t for processens drift. Dog betegner driften i en geometrisk Brownsk bevægelse ofte den relative drift, µ og ikke den absolutte drift, µx t. I stedet for Brownsk bevægelse bruges undertiden også navnet en Wienerproces, efter Norbert Wiener der var den første til at formulere processerne matematiske i Navnet Brown stammer fra en botaniker som i 1828 studerede bevægelsen af blomsterpollen nedsunket i vand. I næste afsnit beskrives hvordan de stokastiske processer der er defineret her anvendes i projektet. [4][5] 40

42 B.2 Anvendelser i projektet I dette afsnit gennemgås hvordan teorien fra B.1 bruges i projektet B.2.1 Afkastet i den diskrete model I den diskrete udgave af modellen antages aktiv i at have en prisudviklingen (P t ) t [0,T ] der følge en diffusions proces, givet ved dx Pt i = Pt i µ i t t + σ ij t n ε i t n t, dermed er afkastet på aktiv i givet ved, j=1 Rt i = P t i Pt i For alle aktiverne haves så at = µ i t t + dx j=1 σ ij t n ε j t n t. R t = µ t t + σ t ε t t, hvor R t er vektoren der indeholder aktiernes afkast, µ t er en vektor der indeholder afkastets forventede værdi og σ t er en matrice der måler afkastets følsomhed overfor eksogene stød i økonomien. Plads (i, j) i matricen fortolkes som det j te støds effekt på aktiv i s afkast. σ t kaldes afkastets volatilitet og σ t σ > t t er varians-kovarians matricen på tidspunkt t. Størrelsen ε t t stammer fra en d-dimensional standart Brownsk bevægelse, ε t er således en vektor af standartnormalfordelte variable og indeholder de eksogene stød i økonomien. B.2.2 Afkastet i den kontinuerte model Prisudviklingen i den kontinuerte udgave af modellen svarer til dem der bruges i den diskrete model, blot er tidsintervallerne der betragtes uendeligt små, dt. Vi har altså at de enkelte aktivers pris følger en diffusions proces givet ved dp i t = P i t (µ i tdt + dx j=1 σ ij t dz j t), prisudviklingen for alle aktiverne kan derfor beskrives ved dp t = diag(p t )(µ t dt + σ t dz t ). hvor diag(p t ) er d d matricen der indeholder priserne, Pt i,påded usikre aktiver i diagonalen og nuller udenfor. I kapitel 4.2 antages det at µ t og σ t er konstanter dette betyder at udviklingen i priserne beskrives ved en geometrisk Browns bevægelse. Sætning 9 giver så at de fremtidige værdier er lognormalfordelte. 41

43 B.2.3 Den indirekte nyttefunktions drift I udledningen af HJB ligningen i kapitel 4.2 anvendes Ito s lemma til at bestemme den indirekte nyttefunktions drift. Fra kapitel 3 haves at formueudviklingen (W t ) t [0.T ] er beskrevet ved den geometrisk Brownsk bevægelse (3.5), med notationen i Ito s lemma svarer dette til at a t = W t (r + π t σλ) c t, b t = W t π t σ. Indsættes dette i (B.1), fås dg =( G t + G [W t (r + π t σλ) c t ]+ 1 W t 2 2 G Wt 2 π t σσ > π t )dt + W t π t σdz. W 2 t Funktionen G (W t,t) der bruges i Ito s lemma er den indirekte nytte funktion (4.7), der jo netop er en funktion af W og t. Heraf fås at den indirekte nyttefunktions drift, der benævnes LJ (W t,t), ergivetved LJ (W t,t)= J t + J (W t [r + π t σλ] c)+ 1 W t 2 2 J W 2 t W 2 t π t σσ > π t. B.2.4 Outperformance-sandsynlighed Det er antaget at prisudviklingen, P t, er givet ved en geometrisk Brownsk bevægelse, sætning 9 giver at dette medføre at ln (P t ) er en generaliseret Brownsk bevægelse og at ln( PT P 0 ) er normalfordelt med middelværdi (µ σ 2 /2)T og varians σ 2 T. En krone investeret i det risikofrie aktiv er efter T år blevet til e r f T og sandsynligheden for at den er mere værd end en krone investeret i de usikre aktiv efter T år er givet ved, P µ PT P 0 >e r f T µ = P ln = 1 P µ PT P 0 µ PT µ ln = N ( r f T ), >r f T P 0 r f T hvor N er fordelingsfunktionen for fordelingen af ln( P T P 0 ).Vedatladeφ angive fordelingsfunktionen for en standartnormalfordelt stokastisk variabel, kan vi bruge at N (x) =Nφ( x (µ σ2 /2)T σ ), outperformance-sandsynligheden findes T da til at være, µ Ã PT P >e r f T (µ r f σ 2 /2)! T = φ. σ P 0 42