Knuder, lænker og fletninger.
|
|
- Caspar Nygaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Regionalmøde Esbjerg 2012 Aalborg Universitet
2 Hvorfor dette emne? Der er god matematik i knuder. Der er flotte billeder. Der er splinternye anvendelser i biologi/kemi. Gymnasieelever kan arbejde med knuder.
3 Hvad er en knude. Dem, vi kender - på snørebånd og strikkegarn. Næsten da. Definition - for jer, ikke eleverne. En knude er en lukket kurve uden selvgennemskæringer: En knude er billedet af [0, 1] under en kontinuert afbildning K : [0, 1] R 3 med K(0) = K(1) og K(t 1 ) K(t 2 ) ellers. K : S 1 R 3 kontinuert og injektiv - S 1 er cirklen. En knude er homeomorf til en cirkel.
4 Hvad er en knude. Dem, vi kender - på snørebånd og strikkegarn. Næsten da. Definition - for jer, ikke eleverne. En knude er en lukket kurve uden selvgennemskæringer: En knude er billedet af [0, 1] under en kontinuert afbildning K : [0, 1] R 3 med K(0) = K(1) og K(t 1 ) K(t 2 ) ellers. K : S 1 R 3 kontinuert og injektiv - S 1 er cirklen. En knude er homeomorf til en cirkel.
5 Hvad er en knude. Dem, vi kender - på snørebånd og strikkegarn. Næsten da. Definition - for jer, ikke eleverne. En knude er en lukket kurve uden selvgennemskæringer: En knude er billedet af [0, 1] under en kontinuert afbildning K : [0, 1] R 3 med K(0) = K(1) og K(t 1 ) K(t 2 ) ellers. K : S 1 R 3 kontinuert og injektiv - S 1 er cirklen. En knude er homeomorf til en cirkel.
6 Hvad er en knude. Dem, vi kender - på snørebånd og strikkegarn. Næsten da. Definition - for jer, ikke eleverne. En knude er en lukket kurve uden selvgennemskæringer: En knude er billedet af [0, 1] under en kontinuert afbildning K : [0, 1] R 3 med K(0) = K(1) og K(t 1 ) K(t 2 ) ellers. K : S 1 R 3 kontinuert og injektiv - S 1 er cirklen. En knude er homeomorf til en cirkel.
7 Hvor mange knuder findes der? Hvornår er to knuder ens? Når den ene kan deformeres over i den anden- uden at klippe i den. Definition - ambient isotopi To knuder K 1 og K 2 er ækvivalente, hvis der findes en kontinuert familie af afbildninger F t : R 3 R 3 så F 0 (x) = x. (F 0 er identiteten.), F 1 (K 1 ) = K 2 og F t er en knude for ethvert t. Kontinuert familie betyder F(x, t) = F t (x) er kontinuert. F : R 3 [0, 1] R 3
8 Hvor mange knuder findes der? Hvornår er to knuder ens? Når den ene kan deformeres over i den anden- uden at klippe i den. Definition - ambient isotopi To knuder K 1 og K 2 er ækvivalente, hvis der findes en kontinuert familie af afbildninger F t : R 3 R 3 så F 0 (x) = x. (F 0 er identiteten.), F 1 (K 1 ) = K 2 og F t er en knude for ethvert t. Kontinuert familie betyder F(x, t) = F t (x) er kontinuert. F : R 3 [0, 1] R 3
9 Hvor mange knuder findes der? Hvornår er to knuder ens? Når den ene kan deformeres over i den anden- uden at klippe i den. Definition - ambient isotopi To knuder K 1 og K 2 er ækvivalente, hvis der findes en kontinuert familie af afbildninger F t : R 3 R 3 så F 0 (x) = x. (F 0 er identiteten.), F 1 (K 1 ) = K 2 og F t er en knude for ethvert t. Kontinuert familie betyder F(x, t) = F t (x) er kontinuert. F : R 3 [0, 1] R 3
10 Billeder af knuder Trekløverknuden, Trefoil. Ottetalsknuden.
11 Flere knuder De 16 simpleste knuder Billeder fra De er allesammen forskellige. Simplest= færrest overkrydsninger.
12 Flere knuder De 16 simpleste knuder Billeder fra De er allesammen forskellige. Simplest= færrest overkrydsninger.
13 Knuder med givet antal overkrydsninger 1 med 3 overkrydsninger (trekløveret). 1 med 4 overkrydsninger (8-talsknuden) 2 med 5 3 med 6 7 med 7 21 med med 13 eller færre med 16 eller færre Flere oversigter på nettet. Rolfsens atlas fra knude wiki
14 Hvad med et råbåndsknob? 6 overkrydsninger. Billeder fra Det er ikke med! Råbåndsknobet er ikke en primknude.
15 Hvad med et råbåndsknob? 6 overkrydsninger. Billeder fra Det er ikke med! Råbåndsknobet er ikke en primknude.
16 Hvad med et råbåndsknob? 6 overkrydsninger. Billeder fra Det er ikke med! Råbåndsknobet er ikke en primknude.
17 Primknuder- sum af knuder Billeder fra Wikipedia KnotSum. En primknude er en knude, der ikke er en sum af to ikke-trivielle knuder.
18 Primknuder- sum af knuder Billeder fra Wikipedia KnotSum. En primknude er en knude, der ikke er en sum af to ikke-trivielle knuder.
19 Primknuder- sum af knuder Billeder fra Wikipedia KnotSum. En primknude er en knude, der ikke er en sum af to ikke-trivielle knuder.
20 Klassifikation Lav en tabel/en beskrivelse over alle primknuder med k overkrydsninger. Problem: Antal overkrydsninger afhænger af, hvor man ser knuden fra. Beskriv alle primknuder med k overkrydsninger i den projektion, det knudediagram, der har færrest.
21 Klassifikation Lav en tabel/en beskrivelse over alle primknuder med k overkrydsninger. Problem: Antal overkrydsninger afhænger af, hvor man ser knuden fra. Beskriv alle primknuder med k overkrydsninger i den projektion, det knudediagram, der har færrest.
22 Klassifikation Lav en tabel/en beskrivelse over alle primknuder med k overkrydsninger. Problem: Antal overkrydsninger afhænger af, hvor man ser knuden fra. Beskriv alle primknuder med k overkrydsninger i den projektion, det knudediagram, der har færrest.
23 Hvordan ved man om to knudediagrammer er ens? Klassifikation af knudediagrammer! Perkoknuderne: Blev betragtet som forskellige indtil 1974, hvor Kenneth Perko viste, de var ens. Billeder fra KnotPlot
24 Reidemeistermoves To knudediagrammer er ækvivalente (svarer til samme knude), hvis og kun hvis de kan bringes over i hinanden under Reidemeistermoves: Type I, Type II og Type III Billede fra Wikipedia om Reidemeistermoves
25 Invarianter - hvordan ser man, to diagrammer ikke er fra samme knude? Ønskes: Tal (eller algebraisk objekt - gruppe, ring,...), som Kan regnes ud for et givet knudediagram Giver det samme for diagrammer, der svarer til samme knude Skelner så godt som muligt... Konsekvens: To knude diagrammer er forskellige, hvis de har forskellig invariant.
26 Hvordan ved man, om man har en invariant? Husk: To diagrammer er ækvivalente hvis og kun hvis de kan flyttes over i hinanden under Reidemeistermoves. Konsekvens: Hvis et tal er invariant under de tre Reidemeistermoves, så er det en invariant.
27 Eksempler på knudeinvarianter: Trefarvet Et knudediagram er trefarvet, hvis man kan farve med højst tre farver og Mindst to farver skal bruges. Ved en overkrydsning er de tre kanter, der mødes, enten samme farve eller tre forskellige farver. Ottetalsknuden kan ikke trefarves Men trekløverknuden kan, så de er ikke ækvivalente.
28 Trefarvning er en invariant Vises for hvert Reidemeistermove. Billede fra Wikipedia om Reidemeistermoves
29 Trefarvning Den trivielle knude kan ikke trefarves, så trefarvede knudediagrammer er ikke den trivielle knude. Trefarvning skelner ikke godt. Der er kun to muligheder: Trefarvet eller ikke trefarvet.
30 Trefarvning Den trivielle knude kan ikke trefarves, så trefarvede knudediagrammer er ikke den trivielle knude. Trefarvning skelner ikke godt. Der er kun to muligheder: Trefarvet eller ikke trefarvet.
31 Andre invarianter Polynomier: Alexanderpolynomiet 1923 Jones polynomiet 1980 HOMFLY 1985 Givet ved iterativt at pille knuden fra hinanden. Kodeord - Skein relations.
32 Jones polynomiet Jones polynomiet V() opfylder V( uknuden ) = 1 og (t 1/2 t 1/2 )V(L 0 ) = t 1 V(L + ) tv(l )
33 En udregning af Jonespolynomiet Jones polynomiet for trekløverknuden. feature-column/fcarc-knots5
34 Pindetal/sticknumber Knuder, som er linjer bortset fra nogle knækpunkter. Hvor mange knæk skal man have for at lave en ikke-triviel knude? Svar: 6 Hvor mange skal man bruge for at lave eksempelvis Perkoknuden? Ikke udregneligt fra knudediagrammerne, men en invariant - hvis man skal bruge 10 pinde for at lave K 1 og 12 for K 2, så er de ikke ækvivalente. s(k 1 + K 2 ) s(k 1 )+s(k 2 )+1
35 Lænker og fletninger Lænker - Borromeoringene (efter en Borromeofamiliens barokpalads på Isola Bella i Lago Maggiore). De olympiske ringe! Flere knuder hægtet/lænket sammen med hinanden.
36 Fletninger Fra Wikipedia
37 Fletninger og lænker Fletninger med n strenge udgør en gruppe - de kan sættes i forlængelse af hinanden. Et-element: Ingen overkrydsninger Invers: Overkrydsninger tilbage igen. B n = σ 1,...,σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1,σ i σ j = σ j σ i, Ethvert link og dermed enhver knude kommer fra en fletning, hvis ender er syet sammen.
38 Proteiner slår knuder Se mere på Power Point slides.
39 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G2-117 math.aau.dk fajstrup
Knudeteori. Introduktion Isotopi-begrebet Trefarvning af knuder Primknuder og knudeklassifikation Jones-polynomiet Flere invarianter Nogle anvendelser
Knudeteori Introduktion Isotopi-begrebet Trefarvning af knuder Primknuder og knudeklassifikation Jones-polynomiet Flere invarianter Nogle anvendelser 1 Reklame Kenneth Hansen Knudeteori Forlaget Systime
Læs mereMatematiske. knuder og kæder. Benjamin Muntz Lærer ved H.C. Ørsted Gymnasiet
Matematiske knuder og kæder Benjamin Muntz Lærer ved H.C. Ørsted Gymnasiet bmmuntz@gmail.com Forventninger Hvad ved vi om knuder? Hvad er en matematisk knude? 1. Knuden eksisterer i 3 dimensioner. 2. d
Læs mere1 Indledende definitioner Polygonale knuder Opgaver... 3
K n u d e t e o r i o g J o n e s - p o ly n o m i e t U N F M at e m at i k C a m p 2 0 1 0 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 17. juli 2010 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereFlader. Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014
Flader Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014 Resumé I noterne her vil vi betragte begrebet flade fra et par forskellige synspunkter samt beskrive forskellige eksempler på flader. Vi vil desuden se
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik og Form Splines. NURBS
Matematik og Form Splines. NURBS Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Opgave: Find 3.grads polynomium p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at y b = p(0) = a 0 y s = p(1) = a 0 +
Læs mereKaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)
Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske
Læs mereSymmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens O
Offentlige foredrag i naturvidenskab nat.au.dk/foredrag Det Naturvidenskabelige Fakultet, Aarhus Universitet Folkeuniversitetet i Århus Symmetrier og mønstre Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering
MULTI 7 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Læs og skriv matematik Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereP2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereMattip projekt. Du skal arbejde med at: Kan ikke Kan næsten Kan. Repetere det faglige stof, du har lært i skolen. Lave din egen online matematikbog
Mattip projekt Du skal arbejde med at: Repetere det faglige stof, du har lært i skolen Kan ikke Kan næsten Kan Lave din egen online matematikbog Lave fremgangsmåder, sfilm og egne forklaringer Lave bevægelsesaktiviteter
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereInvarianter og kombinatoriske beviser
Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant
Læs mere5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK
Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereLineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
Læs mereLineær Algebra, 2015 1. kursusgang
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik
Læs mereEksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl.
Eksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl. Målsætning: Lærermål: At observere på og udvikle brugen af geogebra i forbindelse med eksperimenterende undersøgelser af vinkelsummer i matematik
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mere½Opgavenummer 1.1. Antal point Eksempler Beskrivelser. Korrekt regneudtryk, korrekt facit. 2 point
½Opgavenummer 1.1 Korrekt regneudtryk, korrekt facit. Korrekt regneudtryk, ingen facit bidrager negativt til helhedsindtrykket Løsning med korrekte elementer 0 point 16 350 2 = 12 197 Det koster 12197
Læs mereKortprojektioner L mm Problemformulering
Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder
Læs mereLærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):
Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen
Læs mereAlgebra med CAS i folkeskolen
Algebra med CAS i folkeskolen Introduktion Eksempler: Eksempel 1 Hvad er en ligning? Eksempel 2 KenKen med CAS, Eksempel 3 Parenteser og sliders Eksempel 4 Mere end x og konstanter Værktøjer: Introduktion,
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau
Læs mereNogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.
Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereFigurer med ligesidede trekanter deltaedere
Figurer med ligesidede trekanter deltaedere I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant. Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereFaktorforsøg. Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at. for alle i I. En faktor er en afbildning. hvor F er en mængde af labels.
Faktorforsøg Antag at X i, i I, er uafhængige reelle variable og at X i N (ξ i, σ 2 ) for alle i I En faktor er en afbildning f : I F hvor F er en mængde af labels. En faktor deler observationerne ind
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2018/19 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX Matematik
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereFørste del af rapporten består af et diagram, der viser, hvor mange point eleverne på landsplan fik i de enkelte opgaver.
Til matematiklæreren Dette er en rapport omtaler prøven med hjælpemidler maj 2016. Rapporten kan bruges til at evaluere dit arbejde med klassen og få ideer til dit arbejde med kommende klasser i overbygningen.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - Juni 2019 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mereÅrsplan for 5. klasse, matematik
Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA03
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2019 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 10. april, 2019 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereMatematik, Struktur og Form Splines. NURBS
Matematik, Struktur og Form Splines. NURBS Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 17 Opgave: Find 3.grads polynomium p (t ) = a0 + a1 t + a2 t 2 + a3 t 3 sål. at
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereTillæg til LEKS-Longitudinal
1 Tillæg til LEKS-Longitudinal En undersøgelse af uddannelsesforløb for unge, der i 2007 gik ud af 9. klasse i de københavnske folkeskoler Vibeke Hetmar, Peter Allerup og André Torre Institut for Uddannelse
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereEns eller forskellig?
Ens eller forskellig? Geometri i 5./6. klasse Niels Kristen Kirk, Christinelystskolen Kaj Østergaard, VIA UC Plan Didaktisk design - modellen Fra model til praksis indledende overvejelser En konkret udmøntning
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereSandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul
Sandsynlighed for matc i stx og hf 209 Karsten Juul . Udfald Vi drejer den gule skive om dens centrum og ser hvilket af de fem felter der standser ud for den røde pil. Da skiven sidst blev drejet, var
Læs mereSymmetri og matematik i natur og forståelse
Institut for Matematik Aarhus Universitet 26. september 2017 Felix Kleins Erlangen program (1872) Geometriske objekter skal klassificeres ved egenskaber, der er invariante under transformationer (symmetrier)
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereHunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.
4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMatematikken bag Numb3rs. UNF 2010. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag
Matematikken bag Numb3rs UNF 2010. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag TV-programmet Numb3rs Produceret af CBS i foreløbig 6 sæsoner med 13, 24, 24, 18, 23 og formentlig 16 afsnit. I alt 118.
Læs mereRæsonnementet er limen i problemløsning
Ræsonnementet er limen i problemløsning Matematik i marts 12:45 14:00 marts 2016 Niels Jacob Hansen - UCSj 1 Kursus indhold I workshoppen vil vi gennemføre og gennemskue et matematisk ræsonnement samt
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereKÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.
2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B
Læs mereUge Emne Formål Faglige mål Evaluering
Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mere