I dag. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin

Transkript

1 I dag Normalfordlingn Hll Sørnsn Formiddag og ftrmiddag: Datatilrttlæggls i SAS (fra mandag) Hvad skal vi brug normalfordlingn til og hvorfor r dn vigtig? Histogram og normalfordlingstæthd Brgning af sandsynlighdr i normalfordlingn Fordling af gnnmsnit af normalfordlt variabl Er data normalfordlt? Mr dskriptiv statistik i SAS Korrlationskofficintn NB: Læs slv om linær, gomtrisk og ksponntil vækst. StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 1 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 2 / 30 Eksmpl: hjrncllr hos marsvin Hvad skal vi brug normalfordlingn til? Fra hvrt af 30 marsvin har man tilfældigt udvalgt n hjrncll fra t bstmt områd og optalt antallt af dndritic branch sgmnts. Rsultatr: Gnnmsnit og stikprøvsprdning: ȳ = 35.8, s = 10.8 Vil brug normalfordlingn til at bskriv variationn i data. Nu: Hvad btydr dt? I ftrmiddag: Er dt rimligt for diss data? Næst ug: Statistisk infrns for normalfordlt data Tænk på populationn af all marsvin. Hvad r dt gnnmsnitlig antal dndritic branch sgmnts for all diss marsvin? Dt vd vi ikk og kommr hllr aldrig til dt! Mn vi har tagt n stikprøv (sampl) på 30 marsvin og fåt gnnmsnittt ȳ = Stikprøvgnnmsnitttt r vors stimat vors bdst gæt på populationsgnnmsnittt. Hvis vi havd tagt n andn stikprøv havd vi fåt t andt gnnmsnit. Så hvor mgt kan vi stol på d 35.8? Hvor præcist r stimatt? Hvad kan vi konkludr om populationn udfra stikprøvn? Dt kan vi svar mgt præcist på hvis vi kan antag at antalln i populationn r normalfordlt! StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 3 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 4 / 30

2 Hvorfor ntop normalfordlingn? Carl Fridrich Gauss, Vi skal brug normalfordlingn i stort hl dtt kursus! Hvorfor ntop dnn fordling? Passr oft godt til (biologisk) data Pæn matmatisk gnskabr får pæn rsultatr for stimatr, konfidnsintrvallr, statistisk tst mm. Cntral grænsværdisætning (CLT): gnnmsnit af næstn hvad som hlst r approksimativt normalfordlt. Kalds også dn Gaussisk fordling. Opkaldt ftr Carl Fridrich Gauss tysk matmatikr og fysikr, StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 5 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 6 / 30 Marsvin: histogram Histogram og normalfordlingstæthd P r c n t Fortolkning af histogram, for t givt intrval: andln af obsrvationr i intrvallt r aral af rktangl andl obs. = samlt aral Kan vi tilpass n kuv til histogrammt, så vi får n tilsvarnd fortolkning? Sandsynlighdn for at havn i intrvallt r lig (rlativt) aral undr kurvn: sandsynlighd = aral undr kurvn i intrvallt samlt aral undr kurvn count Vil brug normalfordlingstæthdn (for passnd valg af µ og σ): f (x) = 1 2πσ 2 (x µ)2 /(2σ 2 ) StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 7 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 8 / 30

3 Marsvin: histogram og normalfordlingstæthd Normalfordlingn Tæthd for normalford. md middlværdi µ og sprdning σ, N(µ,σ): f (x) = 1 2πσ 2 (x µ)2 /(2σ 2 ) 25 P r c n t count Tæthd for normalfordling md middlværdi 35.8 og sprdning 10.8: f (x) = 1 2π (x 35.8)2 /( ) Histogram sammn md N(35.8, 10.8)-tæthd normrt så aral undr kurvn r dt samm som dt samld aral af rktanglrn. StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 9 / 30 Formln i sig slv ikk vigtig! Mn følgnd gnskabr r vigtig: Middlværdin µ rykkr kurvn/fordlingn til vnstr/højr Sprdningn σ ændrr brddn af kurvn/fordlingn Samlt aral undr kurvn r 1 Fortolkning: sandsynlighd for at havn i intrval r lig aralt undr kurvn ovr dtt intrval Spcilt: Sandsynlighd for at havn i intrvallt µ ± 2σ r Kan transformr til N(0, 1), og brgn sandsynlighdr dr. S figurrn på sid i bogn! StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 10 / 30 Normalfordlingn: sandsynlighd for µ ± kσ Øvls Hvad r mon middlværdi og sprdning for ndnstånd data? Dnsity 99.7% 95% 68% σ Dtt gældr for all middlværdir og sprdningr! Dnsity n = y StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 11 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 12 / 30

4 Transformation og brgning af sandsynlighdr Transformation og brgning af sandsynlighdr Transformation til N(0, 1): Hvis X r normalfordlt md mv. µ og sprdning σ så r Z = (X µ)/σ normalfordlt md mv. 0 og sprdning 1 Hvis Z r normalfordlt md mv. 0 og sprdning 1 så r X = µ + σ Z normalfordlt md mv. µ og sprdning σ. Drfor kan all N(µ, σ)-sandsynlighdr omskrivs til N(0, 1)-sandsynlighdr. Hvis X N(µ,σ), så r ( X µ P(X a) = P a µ ) ( = P Z a µ ) σ σ σ Sandsynlighdr i N(0,1) givt i Tabl B4, sid 462. Hvad r sandsynlighdn for at dr højst r 40 dndritic branch sgmnts i n cll for t tilfældigt udvalgt marsvin? Lad X vær antal antal dndritic branch sgmnts og antag at X r normalfordlt md mv og sprdning Skal find P(X 40). ( ) X P(X 40) = P Tilsvarnd: = P (Z 0.39) = 0.65 Hvad r sandsynlighdn for at dr r mllm 30 og 42 dndritic branch sgmnts i n cll for t tilfældigt udvalgt marsvin? Hvad r sandsynlighdn for at dr r mr nd 50 dndritic branch sgmnts i n cll for t tilfældigt udvalgt marsvin? StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 13 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 14 / 30 Fordling af gnnmsnit Fordling af gnnmsnit Tænk på populationn af all marsvin. Hvad r dt gnnmsnitlig antal dndritic branch sgmnts for all diss marsvin? Antag at antalln r normalfordlt md middlværdi µ og sprdning σ. Vi kndr ikk populationsværdirn µ og σ, mn vi kan stimr dm vha. vors stikprøv y 1,...,y n fra d 30 marsvin. Vi skrivr ˆµ = ȳ = 35.8, ˆσ = s = 10.8 Hvis vi havd tagt n andn stikprøv havd vi fåt t andt gnnmsnit. Intrssrt i vid nogt om fordlingn af gnnmsnittt ȳ r normalfordlt md middlværdi µ og sprdning σ/ n. Histogrammr ovr gnnmsnit af n stk. N(0, 1)-fordlt variabl. Dnsity n = y Dnsity Middlværdi? Sprdning? Fordling? n = y StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 15 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 16 / 30

5 Er data normalfordlt? Marsvin: histogram og normalfordlingstæthd I næstn hl kurst skal vi brug normalfordlingn som modl for vors data. Drfor r dt vigtigt at kunn kontrollr at data faktisk kan antags at komm fra n normalfordling. Sammnligning af histogram og normalfordlingstæthd (normrt så aral undr histogram og N-kurv r dt samm). Normal probability plot llr QQ-plot Hvad gør vi hvis normalfordlingsantaglsn ikk passr? Kan sommtidr transformr data, dvs. fx. brug log(x ) i stdt for X slv s opgav BK.4. Ikk-paramtrisk mtodr snr P r c n t Histogram sammn md N(35.8, 10.8)-tæthd normrt så aral undr kurvn r dt samm som dt samld aral af rktanglrn. count Er dr systmatisk afviglsr llr kan afviglsrn md rimlighd tænks at skylds tilfældighdr? StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 17 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 18 / 30 Marsvin: QQ-plot Marsvin: SAS-kod c o u n t Normal Quantils Sammnlignr fraktilrn i data md fraktilr i normalfordlingn, transformrt til N(0,1). Liggr punktrn omkring n rt lini? Næstn for pænt hr! SAS lavr plottt lidt andrlds nd forklart i bogn mn pointn r dn samm: Data kan antags at vær normalfordlt hvis punktrn liggr omkring n rt lini. Dr må ikk vær systmatisk afviglsr. data guinapigs; input cards; ; proc print; proc univariat data=guinapigs; var count; histogram count / normal; qqplot count / normal(mu=st sigma=st); Dt krævr slvfølglig n vis rfaring at s på sådann plots... StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 19 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 20 / 30

6 Dskriptiv/bskrivnd statistik i SAS PROC BOXPLOT Data: x 1,...,x n, vt. også y 1,...,y n. Ønskr at få ovrblik ovr data. Hvordan kan vi sammnfatt informationn i data? Summary masurs: PROC MEANS llr PROC UNIVARIATE Mål for cntralitt: gnnmsnit, mdian Mål for variabilitt: rang, prcntils/fraktilr, varians, sprdning Grafisk bskrivnd statistik Boxplots: PROC BOXPLOT Scattrplot, dvs. (x, y)-plot: PROC GPLOT Histogrammr: PROC UNIVARIATE QQ-plots (til normalfordlingskontrol): PROC UNIVARIATE Eksmpl: Lukæmidata fra opgav 3.8. Ønskr: Boxplots for ALL-data og for AML-data vd sidn af hinandn. Formål: Grafisk sammnligning af ovrlvlsn i d to gruppr. data lukmia; infil C:\Documnts and Sttings\hll\StatBK\opg3-8.txt firstobs=2; input typ $ survival; proc print data=lukmia; proc boxplot data=lukmia; plot survival*typ; StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 21 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 22 / 30 PROC UNIVARIATE PROC GPLOT givr n bunk summary statistics for n stikprøv kan tgn histogrammr og QQ-plots data amldata; st lukmia; if typ="aml"; proc print; proc univariat data=amldata; var survival; histogram survival / normal; qqplot /normal(mu=st sigma=st); Prøv vt. også for transformrd data: log(survival). Data fra Eksmpl 3.18 (sid 61): Systolisk og diastolisk blodtryk for 12 voksn Sammnhæng? Plot d to variabl mod hinandn! data blodtryk; infil C:\Documnts and Sttings\hll\StatBK\blodtryk.txt firstobs=3; input syst diast; proc print data=blodtryk; proc gplot data=blodtryk; plot syst*diast; StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 23 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 24 / 30

7 Korrlation Hvor stærk sammnhæng r dr mllm systolisk og diastolisk blodtryk? Ellr mr gnrlt: Par af obsrvationr: (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ). Hvor stærk r sammnhængn mllm x og y (Parson) korrlationskofficintn: r = 1 n 1 n i=1(x i x) (y i ȳ) s x s y Hvornår r r positiv/ngativ/nul? r liggr i intrvallt [ 1,1] og r ±1 hvis all (x i,y i ) liggr på n rt lini, udn afviglsr r målr gradn af linær sammnhæng! StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 25 / 30 Korrlation Korrlationrn r 0.86, 0.25, 0.17, Hvor r dn hvad? StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 26 / 30 Korrlation r målr gradn af linær sammnhæng. Mn dr kan sagtns vær n sammnhæng slvom r r nul! StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 27 / 30 PROC CORR proc corr data=blodtryk; var syst diast; Givr også størrlsr som vi ndnu ikk har rdskabrn til at fortolk. StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 28 / 30

8 Rsumé SAS-rsumé Middlværdi og sprdning i normalfordling Sandsynlighd som aral undr normalfordlingstæthd 95% sandsynlighd for at havn i intrvallt µ ± 2σ llr strngt tagt i intrvallt µ ± 1.96σ Brgning af sandsynlighdr: transformation til N(0, 1) og brug af tabl Kontrol af normalfordling vha. histogram og/llr QQ-plot Gnnmnittt af n normalfordlt variabl r ign normalfordlt md middlværdi µ og sprdning σ/ n. Dataindlæsning: nmmst vha. INFILE i DATA sætning. PROC MEANS: summary statistics for variabl, vt. opdlt i mindr biddr ftr værdin af n andn variabl. PROC UNIVARIATE: summary masurs, histogram, QQ-plot PROC BOXCPLOT: boxplot for variabl, vt. parallll boxplot svarnd til opdling ftr værdin af n andn variabl. PROC GPLOT: Scattr plots, dvs. (x, y)-plots PROC CORR: Parsonkorrlationskofficintn StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 29 / 30 StatBK (Ug 1, torsdag) Normalfordlingn 30 / 30