Største- og mindsteværdi Uge 11

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Største- og mindsteværdi Uge 11"

Transkript

1 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009

2 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner

3 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. : Definitioner

4 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. : Definitioner

5 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x A. : Definitioner

6 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x A. Analogt defineres globalt maksimumspunkt. : Definitioner

7 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n ) A kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i en omegn omkring a og med x = a. Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse: ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x A. Analogt defineres globalt maksimumspunkt. Mindsteværdien for f er værdien af f i et globalt minimumspunkt. Størsteværdien er værdien af f i et globalt maksimumspunkt. : Definitioner

8 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. : Definitioner

9 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. : Definitioner

10 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt : Definitioner

11 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt 1. Stationære punkter for f. : Definitioner

12 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt 1. Stationære punkter for f. 2. Punkter hvor f ikke har partielle afledede. : Definitioner

13 : Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en. Hvis f er differentiabel i det indre punkt a og hvis f har lokalt ekstremum i a, så gælder, at f (a) = (0, 0,..., 0), dvs. a er et stationært punkt. Ekstremumspunkterne for f på mængden A (hvis der er nogen) findes blandt 1. Stationære punkter for f. 2. Punkter hvor f ikke har partielle afledede. 3. Randpunkterne for A. : Definitioner

14 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. : Definitioner

15 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. : Definitioner

16 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. : Definitioner

17 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. : Definitioner

18 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. : Definitioner

19 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. Lad f (x, y) = (2x + y) e xy. Vi finder største- og på området givet ved ulighederne y + 2x 4, x 0, y 0. : Definitioner

20 I de to eksempler er der tale om en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde A. Vi ved derfor, at største- og for f på A eksisterer. Vi skal "blot" finde disse værdier. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Vi finder største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 og på cirkelskiven x 2 + y 2 1. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. Lad f (x, y) = (2x + y) e xy. Vi finder største- og på området givet ved ulighederne y + 2x 4, x 0, y 0. Hele undersøgelsen præsenteres i Maple-worksheet til denne uge. : Definitioner

21 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. : Definitioner

22 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. : Definitioner

23 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. Hvis størsteværdien kun antages på den del af randen, som ikke tilhører A, så har f ingen størsteværdi. : Definitioner

24 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. Hvis størsteværdien kun antages på den del af randen, som ikke tilhører A, så har f ingen størsteværdi. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Både største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 antages kun på randen. Derfor har f hverken største- eller på den åbne cirkelskive x 2 + y 2 < 9. n er ] 81, 46 [ 3. : Definitioner

25 åben cirkelskive) Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f kan udvides til en kontinuert funktion på A, så har f på A en største- og en. Hvis størsteværdien kun antages på den del af randen, som ikke tilhører A, så har f ingen størsteværdi. Lad f (x, y) = 2x 2 y 2 2x 2 y 4. Både største- og på cirkelskiven x 2 + y 2 9 antages kun på randen. Derfor har f hverken største- eller på den åbne cirkelskive x 2 + y 2 < 9. n er ] 81, 46 [ 3. På cirkelskiven x 2 + y 2 1 antages størsteværdien i (0, 0), mens en antages på randen. Derfor har f ingen på den åbne cirkelskive x 2 + y 2 < 1, men har en størsteværdi, nemlig f (0, 0) = 0. n er ] 2, 0]. : Definitioner

26 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. : Definitioner

27 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f ikke er opadtil begrænset på A, dvs. ikke opfylder nogen ulighed af formen f (x, y) C for alle (x, y) A, så har f ingen størsteværdi på A. : Definitioner

28 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f ikke er opadtil begrænset på A, dvs. ikke opfylder nogen ulighed af formen f (x, y) C for alle (x, y) A, så har f ingen størsteværdi på A. Lad f (x, y) = 1 1 (x 2 +y 2 ) for x 2 + y 2 < 1. f er ikke opadtil begrænset på cirkelskiven x 2 + y 2 < 1, så har ingen størsteværdi, men har en 1. n er [0, [. : Definitioner

29 Lad f være kontinuert og lad A være en ikke lukket, men dog begrænset mængde. Hvis f ikke er opadtil begrænset på A, dvs. ikke opfylder nogen ulighed af formen f (x, y) C for alle (x, y) A, så har f ingen størsteværdi på A. Lad f (x, y) = 1 1 (x 2 +y 2 ) for x 2 + y 2 < 1. f er ikke opadtil begrænset på cirkelskiven x 2 + y 2 < 1, så har ingen størsteværdi, men har en 1. n er [0, [. Betragt f (x) = (1 x) sin ( 1 x ) på intervallet ]0, 1]. f er kontinuert og begrænset, men har hverken største eller. f kan ikke udvides til en kontinuert funktion på [0, 1], da lim x 0 f (x) ikke eksisterer. n er ] 1, 1[. : Definitioner

30 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. : Definitioner

31 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. : Definitioner

32 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. : Definitioner

33 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). : Definitioner

34 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. : Definitioner

35 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. : Definitioner

36 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. : Definitioner

37 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 ) ( ) 2. Værdi g 0, 3 2 = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. : Definitioner

38 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. På cirklen er g (y, z) = h (z) = z 2 6z + 8 = (z 2) (z 4). : Definitioner

39 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. På cirklen er g (y, z) = h (z) = z 2 6z + 8 = (z 2) (z 4). for h på [ 2, 2] er h ( 2) = 24 og h (2) = 0. : Definitioner

40 Lad f (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 6z. Bestem største- og for f på kuglen x 2 + y 2 + z 2 4. Ét stationært punkt: (0, 0, 1). Værdi f (0, 0, 1) = 3. Randen af kuglen er kugleoverfladen givet ved x 2 = 4 ( y 2 + z 2). På denne er f (x, y, z) = g (y, z) = 4 + y 2 + 2z 2 6z. Bestemmer største- og for g på cirkelskiven y 2 + z 2 4. Stationært punkt for g er ( 0, 3 2 ). Værdi g ( 0, 3 2 ) = 1 2. Randen af cirkelskiven er cirklen givet ved y 2 = 4 z 2. På cirklen er g (y, z) = h (z) = z 2 6z + 8 = (z 2) (z 4). for h på [ 2, 2] er h ( 2) = 24 og h (2) = 0. Konklusion: Størsteværdi for f er f (0, 0, 2) = h ( 2) = 24 og er f (0, 0, 1) = 3. : Definitioner

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Optimering i Moderne Portefølje Teori

Optimering i Moderne Portefølje Teori Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT

Læs mere

Lineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis

Lineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis Lineær programmering Ekstrema- teori og praksis Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0 Vores metode er også nytteløs her MAT3, EFTERÅR 2011 GROUP G3-112 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AALBORG UNIVERSITET 16. DECEMBER

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2

CALCULUS SLIDES TIL CALCULUS 1 + 2 CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen 34 5. Gradient

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002

GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002 GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable

Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Ekstrema, Teori og Praksis

Ekstrema, Teori og Praksis Kasper H. Christensen Andreas D. Christoffersen Christoffer Gøthgen Stine M. Jensen Kenneth V. L. Offersen Vini M. Olsen Ekstrema, Teori og Praksis - Ikke-lineæar optimeringsproblemer Vejleder: Martin

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

er en n n-matrix af funktioner

er en n n-matrix af funktioner Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering

Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering Gruppe G3-106 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag 20. december 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Funktion af to eller flere variable I

Funktion af to eller flere variable I MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktion a to eller lere variable I Dierentiation og Optimering. udgave 005 FORORD Dette notat giver en indøring i de grundlæggende begreber or analse a reelle unktioner a to og

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

[SS] Optimal control theory with economic applications, af Atle Seierstad og Knut Sydsæter; North Holland 1987.

[SS] Optimal control theory with economic applications, af Atle Seierstad og Knut Sydsæter; North Holland 1987. OPTIMERING 6. september 2007 Oversigt nr. 1 Emnet for kurset i optimering vil her i efteråret 2007 blive variationsregning og optimal kontrolteori. Hensigten er at I skal stifte bekendtskab med disse metoder

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Konstruktion af Splines

Konstruktion af Splines Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere