Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Transkript

1 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger Calculus 2-26 Uge Oversigt Matematik Alfa, Januar 23 Opgaver. Find gradient og retningsafledt 2. Angiv egenvektorer 3. Beregn et dobbeltintegral 4. Beregn en ortogonal projektion 5. Løs en lineær differentialligning 6. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 7. Bestem kritiske punkter og ekstrema Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave Betragt funktionen f(, ) = + + for >, >. ) Angiv f (5, 2). 2) Angiv f(5, 2). 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er. Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - løsning ) De partielle afledede beregnes 2) Gradienten angives f = ( + ) 2 f = ( + ) 2 f (5, 2) = 3 49 f(5, 2) = (f (5, 2), f (5, 2)) = ( 3 49, 4 49 ) Calculus 2-26 Uge 5.2-4

2 Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - løsning 7 f u (5,2) I retning u = (u, u 2 ) er den retningsafledede D u f(5, 2) = f(5, 2) u = ( 3 49, 4 49 ) (u, u 2 ) = 49 ( 3u + 4u 2 ) Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - løsning Den retningsafledede for En løsning er D u f(5, 2) = 49 ( 3u + 4u 2 ) = 3u + 4u 2 = u 2 + u 2 2 = u = ( 4 5, 3 5 ) Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - ekstra z Grafen z = + + Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - figur Tangenter til niveaukurver for z = + +. Calculus 2-26 Uge 5.2-8

3 Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - figur Skalerede gradienter 4 z for z = + +. Calculus 2-26 Uge Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 Betragt matricen A = ) Det oplses, at vektoren (,, ) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. 2) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke er af form t (,, ). Calculus 2-26 Uge Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - løsning. Egenværdi hørende til egenvektoren (,, ): = = 8 giver egenværdi Egenvektorer hørende til egenværdien 8: A 8I = Calculus 2-26 Uge Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - løsning giver det reducerede ligningssstem og dermed = = = 2 = hvor 2, 3 vælges frit. Som egenvektor ej på form t (,, ) kan vælges ( 4,, ). Calculus 2-26 Uge 5.2-2

4 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - gør prøve! = = 4 Så prøven stemmer! = 8 = Calculus 2-26 Uge Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - figur z (,,) ( 4,,) (3,,) Egenvektorer Calculus 2-26 Uge Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 Lad T betegne trekanten i -planen med hjørner (, ), (, ), (2, ) (tegn!). ) Opskriv to itererede integraler til udregning af et dobbeltintegral af form f(, ) da. 2) Udregn dobbeltintegralet T T sin( 3 ) da. Calculus 2-26 Uge Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - figur (2,) 2 T = {(, ) 2, 2 } = {(, ), 2} Calculus 2-26 Uge 5.2-6

5 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - løsning Dobbeltintegralet er Tpe I: T = {(, ) 2, 2 } T = {(, ), 2} f(, ) da = Dobbeltintegralet er Tpe II: T f(, ) da = 2 2 f(, ) d d 2 f(, ) d d Calculus 2-26 Uge Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - løsning T sin( 3 ) da = = = = 2 sin( 3 ) d d [ 2 2 sin( 3 ) 2 2 sin( 3 ) d [ 2 3 cos(3 ) ] = 2 ( cos()) 3.3 ] =2 = d Calculus 2-26 Uge Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - figur z 2 E = {(,, z) (, ) T, z sin( 3 )} Calculus 2-26 Uge Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 Betragt følgende vektorer i R 4, u = (,,, ) u 2 = (,,, ) u 3 = (,,, ) Det oplses at disse vektorer er indbrdes ortogonale. Lad U betegne det lineære underrum af R 4, som er udspændt af u, u 2 og u 3. Lad v betegne vektoren v = (,,, 5). ) Angiv projektionen (= den ortogonale projektion) proj U (v) af v ind på U. 2) Angiv afstanden fra v til U. Calculus 2-26 Uge 5.2-2

6 Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 - løsning ) Fra Sætning 7 fås projektionen af v = (,,, 5) på u = (,,, ), u 2 = (,,, ), u 3 = (,,, ) proj U (v) = proj u (v) + proj u2 (v) + proj u3 (v) = v u u u u + v u 2 u 2 u 2 u 2 + v u 3 u 3 u 3 u 3 = (,,, ) + 2 (,,, ) + 6 (,,, ) 3 = (, 5 2, 3 2, 2) Calculus 2-26 Uge Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 - løsning Restvektoren v proj U (v) = (,,, 5) (, 5 2, 3 2, 2) = (, 3 2, 3 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (, 3, 3, 3) = 2 = Calculus 2-26 Uge Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 - figur v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus 2-26 Uge Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 Angiv den fuldstændige løsning () til differentialligningen (for > ) + = 2. Angiv endvidere den løsning, der opflder betingelsen (2) = 5. Calculus 2-26 Uge

7 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - løsning A() = B() = + = 2 a() =, b() = 2 = 2 a() d = d = ln e A() b() d = e ln 2 d Calculus 2-26 Uge Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - løsning Som giver fuldstændig løsning () = Ce A() + B()e A() = Ce ln + 2e ln = C + 2 Calculus 2-26 Uge Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - retningsfelt I punktet (, ) tegnes et kort linjestkke med hældning () = + 2. Calculus 2-26 Uge Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved (2) = 5. I alt er løsningen (2) = C = 5 () = Calculus 2-26 Uge

8 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - figur Løsningskurve () = Calculus 2-26 Uge Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 ) Angiv en potensrækkefremstilling for sin. 2) Angiv grænseværdien Løsning ) Bent potensrækken sin = sin lim 3 cos. ( ) n (2n + )! 2n+ n= Calculus 2-26 Uge Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 - løsning sin =! 3! 3 + 5! 5... til at få skrevet ud sin = n= ( ) n+ (2n + )! 2n+ sin = 3! 3 5! Calculus 2-26 Uge Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 - løsning 2) Dermed er Det følger, at f() = sin 3 = ( ) n+ (2n + )! 2n 2 n= = 3! 5! 2... sin lim 3 cos = lim f() cos = f() cos = 6 Calculus 2-26 Uge

9 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 - figur Grafen for = sin 3 cos Calculus 2-26 Uge Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 Minimer under bibetingelsen = 8. Det kan frit benttes at et sådant minimum eksisterer. Løsning Sæt f(, ) = og g(, ) = = 8. De partielle afledede er f = 2 +, f = + 2 g = 2, g = 2 Calculus 2-26 Uge Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssstem bliver 2 + = λ2 + 2 = λ = 8 Løsningen giver = ± og videre fire punkter ( 3, 3), ( 3, 3), (3, 3), (3, 3) Indsættelse giver minimumspunkter/værdi (a, b) = ( 3, 3), (3, 3), f(a, b) = 9 Calculus 2-26 Uge Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 - figur z (3, 3,9) ( 3,3,9) Grafen for f Calculus 2-26 Uge

10 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, = ± 8 2 og minimer funktionen Løsning Den afledede er h() = f(, ± 8 2 ) = 8 ± 8 2 h () = De kritiske punkter a = ±3 giver minimumspunkter/værdi (a, b) = ( 3, 3), (3, 3), f(a, b) = 9 Calculus 2-26 Uge