CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2

Transkript

1 CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4

2

3 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen Gradient 4 6. Maksimum/minimum 5 7. Lagrangemetoden 64 II. Integration 75. Dobbelt integral 75. Itereret integral Generelle områder 9 4. Koordinatskift III. Potensrækker 5. l Hospitals regel og uegentlige integraler 5. Talfølger og rækker 3. Potensrækker 9 4. Talorpolnomier 37 IV. Differentialligninger 43. Grafiske/numeriske metoder 43.. ordens ligninger Generelle metoder 58 V. Matricer 67. Vektorer og matricer 67. Lineære afbildninger Lineære ligninger 8 4. Determinanter 9 VI. Egenvektorer og diagonalisering 99. Egenvektorer 99. Diagonalisering 8 VII. Skalarprodukt og projektion 9. Ortogonal projektion 9 VIII. Appendiks 9. Polære koordinater og komplekse tal 9 IX. Opgaver 4. August 4 3

4 4 INDHOLD. Januar Januar August 4 66 Litteratur 7 Stikord 73

5 Forord "Slides" til forelæsningerne i Calculus og er her samlet på tværs. Der er desuden et stikordsregister, som kan være til ntte. Man kan navigere via indholdsfortegnelse og stikordsregister. I øvrigt henvises til hjemmesiden for kurset. De sædvalige forkortelser er: Lærebøger [S] James Stewart: Calculus, concepts and contets. nd. edition. [LA] Anders Kock & H.A. Nielsen: Lineær algebra & Differentialligninger. 5

6

7 I Differentiation. Kontinuitet.. Oversigt [S] 9.6,.,., App. H. Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater Test polære koordinater.. En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces Figur D (,) f(,) D R, f : D R.3. Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. D R Mængden af tal kaldes vœrdimœngden. f(d) = {f(,) R (,) D} 7

8 8 I. DIFFERENTIATION.4. Bestem definitionsmængden [S]. Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(,) = 9 giver en funktion med definitionsmængde D = {(,) 9 } = {(,) + 3} som er cirkelskiven med centrum i og radius 3. Værdimængden er intervallet g(d) = [,3] R.5. Et populært problem [S]. Functions of several variables Eksempel Aktive væsker,,z blandes med proportional virkning V = z Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? + + z = V = ( ) D = {(,) >, >, + < } Bestem maksimum for funktionen V på mængden D..6. Graf og niveaukurve [S] 9.6,. Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R er en flade i rummet R 3. Γ f = {(,,z) (,) D,z = f(,)} Niveaukurven(konturlinjen) af kote k for en funktion f : D R er en kurve i planen R. Koter k vælges fra værdimængden. f (k) = {(,) D f(,) = k}.7. Udseende saddel [S]. Functions of several variables Figur z Grafen af f(,) =

9 . KONTINUITET 9.8. Udseende saddel [S]. Functions of several variables Figur = ± 4 Niveaukurver for f(,) =.9. Halvkugleskal [S]. Functions of several variables Eksempel 3,4,8 Grafen er en halvkugleskal Niveaukurver er cirkler g(,) = 9 Γ g = {(,,z) + 9,z = 9 } = {(,,z) + + z = 9,z } g (k) = {(,) + 9, 9 = k} = {(,) + = 9 k }.. Globus [S]. Functions of several variables Figur z Grafen for g(,) = 9.. Breddegrader [S]. Functions of several variables Figur

10 I. DIFFERENTIATION + = 9 k Niveaukurver for g(,) = 9.. Top og dal [S]. Functions of several variables Figur z Grafen af f(,) = Top og dal [S]. Functions of several variables Figur Niveaukurver for f(, ) = + +

11 . KONTINUITET.4. Udvid til mange variable [S]. Functions of several variables Eksempel Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrkket f(,,z) = ln(z ) + sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(,,z) R 3 z > } Værdimængden er f(d) = R.5. Goddag igen til grænseværdier [S]. Limits and continuit Definition Grænseværdien af f(,) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(,) = L (,) (a,b) f(,) L for (,) (a,b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (,) er tilstrækkeligt tæt på (a,b)..6. Helt præcist [S] Appendi D - Functions of two variables 5 Definition Grænseværdien lim (,) (a,b) f(,) = L eksisterer, hvis ɛ > δ > : ( a) + ( b) < δ f(,) L < ɛ.7. Ingen grænseværdi [S]. Limits and continuit Eksempel f(,) = + har ingen grænseværdi for (,) (,). Løsning f(,) =, f(,) =,.8. Regneregler som forventet [S].3 Calculating limits using the... Regneregler () Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. () Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. (3) Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. (4) Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. (5) Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne.

12 I. DIFFERENTIATION.9. Kontinuitet på n [S]. Limits and continuit 3 Definition Kontinuitet af f(,) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(,) = f(a,b) (,) (a,b) f(,) f(a,b) for (,) (a,b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a,b) D... Godt naboskab [S]. Limits and continuit Figur D (,) (a, b) f(,) f(a, b) Kontinuitet.. Helt præcist [S] Appendi D - Functions of two variables Definition Kontinuitet lim f(,) = f(a,b) (,) (a,b) hvis der gælder ɛ > δ > : ( a) + ( b) < δ f(,) f(a,b) < ɛ.. Test kontinuitet [S]. Limits and continuit Test Hvis f(,) er en kontinuert funktion defineret i hele R, så er lim f(,) = f(,). (,) (,) Løsning Dette er netop definitionen på kontinuitet i (,). Afkrds:.3. Regler om kontinuitet [S]. Limits and continuit Morale for kontinuitet () De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. ja nej

13 . KONTINUITET 3 () De kendte elementære funktioner sin,cos,tan,arcsin,...,ep,log,... er kontinuerte. (3) Funktionsudtrk er kontinuerte, hvor de er definerede..4. Anvend regler [S]. Limits and continuit Eksempler om kontinuitet () Kontinuert på R + + () Kontinuert på R, pπ cos sin (3) Kontinuert når + > ln( + ).5. Kontinuert de rigtige steder [S]. Limits and continuit Eksempel, 6, 7 { g(,) = +, (,) (,), (,) = er ikke kontinuert i (,), da g(,) ingen grænseværdi har for (,) (,). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(,) er kontinuert på mængden R \{(,)} af alle talpar fraregnet (,)..6. Hul i taget [S]. Limits and continuit Figur z Ikke kontinuert i (,).7. Øvelse [S]. Limits and continuit Eksempel 4, 8 { 3 f(,) = +, (,) (,), (,) = er kontinuert på mængden R.

14 4 I. DIFFERENTIATION Løsning viser, at f(,) = f(,), når (,) (,).8. Øvelse grafisk [S]. Limits and continuit Figur z Kontinuert i (,).9. Udvid det hele til mange variable [S]. Limits and continuit Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Eksempel Funktionen f(,,z) = er kontinuert på mængden R 3 \{(,,)}. + + z.3. Populære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P θ O

15 . KONTINUITET 5.3. Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem bestemmer et kartesisk koordinatsstem. Polen og punktet med polære koordinater (,) bestemmer -aksen og polen og punktet med polære koordinater (, π ) bestemmer -aksen. P(r cos(θ), r sin(θ)) r θ O.3. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsstem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater = r cos(θ), = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (,), > har polœre koordinater r = +, θ = tan ( ).33. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel Et punkt med polære koordinater har kartesiske koordinater (r,θ) = (, 5π 4 ) = r cos θ = cos 5π 4 = = r sin θ = sin 5π 4 = (,) = (, ).34. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Figur

16 6 I. DIFFERENTIATION P(3,3) 5π/4 3 π/4 P(, ).35. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel Et punkt med kartesiske koordinater har polære koordinater (,) = (3,3) r = + = = 3 θ = tan = tan 3 3 = π 4 (r,θ) = (3, π 4 ).36. Test polære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (,) = (,) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (,π). (b) (r,θ) = (, π ). (c) (r,θ) = (, π 4 ). Løsning (,) Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) r = + = + = tan θ = = = θ = π Delmængder i polære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel a b Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater.

17 . PARTIELLE AFLEDEDE 7 I kartesiske koordinater ved {(,) a + b, } I polære koordinater ved {(r,θ) a r b, θ π}.38. Funktioner i polære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel En funktion g : R \{} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (,) + I polære koordinater = r cos(θ), = r sin(θ) er funktionen g givet ved (r,θ) (r cos θ) (r sin θ) (r cos θ) + (r sin θ) = (cos θ) (sin θ) = cos(θ). Partielle afledede.. Oversigt [S].7, 3., 3.4,.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk afledede Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning.. Tangenthældning [S].7 Derivatives 3 Definition Den afledede af f() i tallet a er df d (a) = f f(a + h) f(a) (a) = lim h h

18 8 I. DIFFERENTIATION (a + h, f(a + h)) (a, f(a)) f().3. Botanik for afledte [S] 3., 3.4 Derivatives... d d (n ) = n n d d (e ) = e d d (ln()) = d d (a ) = ln(a)a.4. Botanik for afledte [S] 3., 3.4 Derivatives... d (sin()) = cos() d d (cos()) = sin() d d d (tan()) = + tan () d d (sin ()) = d d (tan ()) = +.5. Vælg og afled [S].3 Partial derivatives Eksempel Givet funktionen f(,) = Hold fast Hold fast d d f(,) = d d f(,) = 3 4

19 . PARTIELLE AFLEDEDE 9.6. Partielt afledt [S].3 Partial derivatives 4 Definition Den partielle afledede af f(,) med hensn til i punktet (a,b) er f f(a + h,b) f(a,b) (a,b) = lim h h Den partielle afledede af f(,) med hensn til i punktet (a,b) er f f(a,b + h) f(a,b) (a,b) = lim h h.7. Skrives forskelligt [S].3 Partial derivatives Notation Ses også f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,).8. Nemt at aflede [S].3 Partial derivatives Eksempel Funktionen f(,) = har partielle afledede f (,) = f (,) = Graf uden kanter [S].3 Partial derivatives Figur - Eksempel z f(,) = 3 + 3

20 I. DIFFERENTIATION.. Nttige regler [S].3 Partial derivatives Morale for Partielle afledede () f beregnes ved at holde fast og differentiere med hensn til. () f beregnes ved at holde fast og differentiere med hensn til. (3) Alle regneregler for differentiation i en variabel, +,,,/, sammensatfunktion, inversfunktion kan benttes... Udregning af partielle afledede [S].3 Partial derivatives Eksempel 3 f(,) = sin( + ) har partielle afledede ( ) f (,) = sin ( + ) d = cos( d + + ) + ( ) f (,) = sin ( + ) d = cos( d + + ) ( + ).. Udregning af partielle afledede [S].3 Partial derivatives Eksempel f(,) = ln( + + ) har partielle afledede ( ) f (,) = ln ( + + ) d d + + = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) og tilsvarende f (,) = ( + + ).3. Test partielle afledede [S].3 Partial derivatives Test Betragt funktionen f(,) = 3 +. (a) f = 3 +. (b) f = (c) f = 3 +. (d) f = 3 +. (a) (b) (c) (d) Afkrds den rigtige påstand: Løsning For fastholdt f (,) = d d (3 + ) = 3 +

21 . PARTIELLE AFLEDEDE.4. Partielt afledt, grafisk [S].3 Partial derivatives Grafisk bestemmelse f(,)= h 3 Niveaukurver omkring (, ) = (,). Sæt g(h) = f( + h, ) og aflæs støttepunkter: h g(h) Partielt afledt, grafisk [S].3 Partial derivatives Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter giver grafen h g(h) z Heraf f.eks. f (, ) = g ().5(.6 +.).85 h.6. Test grafisk afledede [S].3 Partial derivatives Test Betragt niveaukurverne for en funktion f(, ), f(, ) = og bedøm: f= f= f=5 (a) f (,) >. (b) f (,) <. (c) f (,) <. (d) f (,) >. Løsning f(, ) er voksende med voksende afledt. Afkrds to sande: (a) (b) (c) (d).7. Udvid til mange variable [S].3 Partial derivatives Eksempel 5

22 I. DIFFERENTIATION Omtalen af partielle afledede udvides umiddelbart til flere end to variable. har tre partielle afledede f(,,z) = e ln(z) f = e ln(z) f = e ln(z) f z = e z.8. Afled flere gange [S].3 Partial derivatives Notation for højere afledede f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,).9. Mere afledning [S].3 Partial derivatives Eksempel, 6 Afledede og højere afledede f = f = 3 + 3, f = 3 4 f = 6 + 3, f = 6 4 f = 6, f = 6.. Endnu en afledning [S].3 Partial derivatives Eksempel 3 f(,) = sin( + ) Afledede og højere afledede f = cos( + ) + f = sin( + ) ( + ) f = sin( + ) ( + ) 3 + cos( + ) ( + ).. Endnu en afledning [S].3 Partial derivatives

23 . PARTIELLE AFLEDEDE 3 Eksempel 3 - fortsat Afledede og højere afledede f(,) = sin( + ) f = cos( + ) ( + ) f = sin( + ) ( + ) 4 + cos( + ) ( + ) 3 f = sin( + ) ( + ) 3 + cos( + ) ( + ).. Der er kun det halve arbejde [S].3 Partial derivatives Sætning (Clairaut) Antag at f er defineret på en (lille) cirkelskive med centrum i (a,b). Hvis f,f er kontinuerte på cirkelskiven, så gœlder f (a,b) = f (a,b) "Højere partielle afledede afhænger ikke af differentiations rækkefølgen.".3. Overbevis [S] Appendi E A few proofs Bevis (Clairaut) (h) = (f(a + h,b + h) f(a + h,b)) (f(a,b + h) f(a,b)) Omskrives ved middelværdisætningen (h) = (f (c,b + h) f (c,b))h Ved ombtning af, for (c,d),(c,d ) tæt ved (a,b). = f (c,d)h f (c,d )h = f (c,d)h Konklusion ved kontinuitet af de dobbelte afledede..4. Opgaver er sundt [S].3 Partial derivatives Øvelse 53 f(,) = 3 4 Find f og f. f = f = 3 4 f = 48 f = f = Mange opgaver er meget sundt [S].3 Partial derivatives Øvelse 55 f(,,z) = z 3 + z

24 4 I. DIFFERENTIATION Find f z. f = z 3 + z f = z 3 f z = f z = z.6. Sidste opgave [S].3 Partial derivatives Øvelse 77 f(,) = ( + ) 3/ e sin( ) Find f (,). f(,) = ( + ) 3/ e = ( + ) 3/ e f (,) = lim 3 f (,) = lim.7. Sidste opgave [S].3 Partial derivatives Øvelse 77 - fortsat f (,) = lim 3 f (,) = lim ( ) f (,) = lim =.8. Partielle differentialligninger [S].3 Partial derivatives Definition En partiel differentialligning er et udtrk i de partielle afledede. Ligningen u + u = kaldes Laplaces ligning. Ligningen kaldes bølgeligningen. u t = a u.9. Laplaces ligning [S].3 Partial derivatives Eksempel 8 Funktionen u(,) = e sin er løsning til Laplaces ligning Løsning giver u + u = u = e sin, u = e sin u = e cos, u = e sin u + u =

25 3. TANGENTPLAN 5.3. Bølgeligningen [S].3 Partial derivatives Eksempel 9 Funktionen u(t, ) = sin( at) er løsning til bølgeligningen u tt = a u Løsning u t = acos( at), u tt = a sin( at) u = cos( at), u = sin( at) giver u tt = a u.3. Test Laplaces ligning [S].3 Partial derivatives Test Funktionen f(, ) = er en løsning til Laplace s ligning f/ + f/ =. Løsning Udregningen giver f = 3, f =, f = 5, f = f + f = Afkrds: ja nej 3. Tangentplan 3.. Oversigt [S].7,.9,.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approimation i en og flere variable Test approimation Differentiabilitet i flere variable Differentialet af en funktion Test differentialet 3.. Tangentlinje [S].7 Derivatives

26 6 I. DIFFERENTIATION Figur = f(a) + f (a)( a) (a, f(a)) f() I R, f : I R 3.3. Ligning for tangent [S].7 Derivatives Definition Tangentlinjen for grafen for en funktion = f() i et punkt (a,b), b = f(a) er linjen gennem (a,b), som indeholder tangentvektoren (,f (a)) til grafen (,f()) En ligning for tangentlinjen er b = f (a)( a) 3.4. Find tangentlinjen [S].7 Derivatives Eksempel Find ligningen for tangentlinjen til = i punktet (3, 6). Den afledede er Ligningen for tangentlinjen er = 8, (3) = ( 6) = ( )( 3) eller = 3.5. Tangentplan [S].4 Tangent planes and linear approimations

27 3. TANGENTPLAN 7 Figur D (,) f(,) D R, f : D R 3.6. Tangentplan [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(,) i et punkt (,,z ), z = f(, ) er planen gennem (,,z ), som indeholder tangentvektorerne til koordinatkurverne på grafen Γ f. (,,f (, )), (,,f (, )) (,,f(, )), (,,f(,)) 3.7. Ligning for tangentplan [S].4 Tangent planes and linear appro. Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f,f i en lille cirkelskive om (, ). Tangentplanen for grafen i et punkt (,,z ), z = f(, ) har ligning Bevis Indsættes z z = f (, )( ) + f (, )( ) (,,z) = (,,z ) + (,,f (, )) = ( +,,z + f (, )) er ligningen opfldt. Ligeså for den anden tangentvektor Find tangentplan [S].4 Tangent planes and linear... Eksempel Find ligningen for tangentplanen til z = + i punktet (,,3). Løsning De partielle afledede er z = 4,z = z(,) = 3, z (,) = 4, z (,) = I punktet (,,3) er tangentplanen givet ved z 3 = 4( ) + ( )

28 8 I. DIFFERENTIATION 3.9. Tangentplan [S].4 Tangent planes and linear approimations Figur - Eksempel z Tangentplan i (,,3) 3.. Find endnu en tangentplan [S].4 Tangent planes and linear... Eksempel Find en ligning for tangentplan i (,,f(,)). f = f = 3 + 3, f = 3 4 f(,) =, f (,) = 9, f (,) = 4 I punktet (,,z ) = (,,) er tangentplanen givet ved Som giver z z = f (, )( ) + f (, )( ) z = 9( ) + 4( ) 3.. Test tangentplan [S].4 Tangent planes and linear... Test Lad f(, ) = +. Så har grafen for f vandret tangentplan i (,, ). Løsning Udregningen giver f = +, f = f (,) = Afkrds: ja nej 3.. Lineær approimation [S].9 Linear approimations Definition Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion kaldet lineariseringen af f i a. L() = f(a) + f (a)( a)

29 3. TANGENTPLAN 9 Approimationen f() f(a) + f (a)( a) kaldes den lineære approimation af f for a Find approimation [S].9 Linear approimations Eksempel Find den lineære approimation af f() = i a =. Løsning Lineariseringen er Approimationen er f () =, f () = L() = + ( ) + ( ), for 3.4. Approimation i to variable [S].4 Tangent planes and lin Definition Tangentplanen er grafen for en lineær funktion kaldet lineariseringen til f i (a,b). Approimationen L(,) = f(a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)( b) f(,) f(a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)( b) kaldes den lineære approimation af f for (,) (a,b) Brug approimation [S].4 Tangent planes and linear appro. Eksempel f = f = 3 + 3, f = 3 4 f(,) =,f (,) = 9,f (,) = 4 I punktet (,) er den lineære approimation Benttes til tilnærmelse f(,) + 9( ) + 4( ) f(.,.9) + 9(. ) + 4(.9 ) = Test approimation [S].4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approimation til funktionen f(,) = + i punktet (,) = (,). Den er givet ved (a) f(,) (c) f(,) +. ( ) + ( ). (b) f(,). 4 (d) f(,) ( + ).

30 3 I. DIFFERENTIATION Løsning Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (,). Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) (d) 3.7. Test approimation [S].4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(,) = + giver i punktet (,) f = ( + ), f = ( + ) f (,) =, f (,) = 4 Approimationen af f for (, ) (, ) skrives f(,) ( ) + ( ) Omskriv differentiabel [S].4 Tangent planes and linear appro. Bemærkning En funktion = f() er differentiabel i a, hvis 5 = f (a) + ɛ hvor ɛ, når 3.9. Tilvækst [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition For funktion z = f(,) er tilvæksten i (a,b) 6 z = f(a +,b + ) f(a,b) Eksempel For z = + er tilvæksten i (a,b) Altså z = (a + ) + (b + ) (a + b ) z = a + b Differentiabilitet i to variable [S].4 Tangent planes and linear... 7 Definition z = f(, ) er differentiabel i (a, b), hvis hvor z = f (a,b) + f (a,b) + ɛ + ɛ ɛ,ɛ, når, Bemærkning En funktion er differentiabel, når den lineære approimation er god.

31 3. TANGENTPLAN Differentiabilitet som forventet [S].4 Tangent planes and lin... 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f,f i en omegn af (a,b). Så er f differentiabel i (a,b). Bemærkning I så fald f(a +,b + ) f(a,b) + f (a,b) + f (a,b) når,. 3.. Brug approimation [S].4 Tangent planes and linear appro. Eksempel f = e f = e + e, f = e f(,) =,f (,) =,f (,) = I punktet (,) er den lineære approimation Benttes til tilnærmelse e + ( ) +.e. (.) + (. ) + (.) = 3.3. Differentialet [S].4 Tangent planes and linear approimations Definition Differentialet af en funktion = f() er 9 d = f ()d og for funktionen z = f(,) Bemærk df = f (,)d + f (,)d dz = z z d + d z dz 3.4. Skriv differentialet [S].4 Tangent planes and linear appro. Eksempel 4 f = + 3 Benttes til tilnærmelse f = + 3, f = 3 dz = ( + 3)d + (3 )d f(,3) = 3,f (,3) = 3,f (,3) = f(.5,.96) (.4) = Opgave [S].4 Tangent planes and linear approimations Øvelse 9 f(,) =

32 3 I. DIFFERENTIATION Begrund differentiabilitet om (,4) og find den lineære approimation. Løsning er kontinuerte om (,4). når (,) (,4). f =, f = + ( ) + ( 4) Opgave fortsat [S].4 Tangent planes and linear approimations Øvelse 9 - fortsat Skrives også Beregn tilnærmelse ( + ) (.) +.4 = Test differentialet [S].4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(a + b). Differentialet er: (a) dz = ad + bd. (b) dz = a a+b d + (c) dz = aln(a + b)d + bln(a + b)d. Løsning Udregningen giver differentialet z = b a+b d. a a+b, z = Afkrds den rigtige: b a+b dz = z d + z d (a) (b) (c) 3.8. Udvid til mange variable [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition Omtalen af tangentplan, lineær approimation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Funktionen w = f(,,z) har tangentplan i punktet (a,b,c,d), d = f(a,b,c) med ligning w d = f (a,b,c)( a) + f (a,b,c)( b) + f z (a,b,c)(z c) 3.9. Udvid til mange variable [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition - fortsat Funktionen w = f(,, z) har lineær approimation f(,,z) f(a,b,c) + f (a,b,c)( a) + f (a,b,c)( b) + f z (a,b,c)(z c)

33 3. TANGENTPLAN 33 og differential dw = w w w d + d + z dz 3.3. Afsluttende opgave [S].4 Tangent planes and linear appro. Øvelse Find differentialet af Løsning Beregn først w = ln + + z d w = z d + z = + + z 3.3. Afsluttende opgave [S].4 Tangent planes and linear appro. Øvelse - alternativ Løsning Beregn w = ln + + z = ln( + + z ) w = + + z = + + z 3.3. Afsluttende opgave [S].4 Tangent planes and linear appro. Øvelse - fortsat Ved smmetri Differentialet er w = w = ln + + z w = + + z + + z,w z z = + + z dw = d + d + zdz + + z

34 34 I. DIFFERENTIATION 4. Kædereglen 4.. Oversigt [S] 3.5,.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matriform Test matriform Differentiation af implicit funktion Test implicit funktion 4.. Sammensat funktion [S] 3.5 The chain rule Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g() differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med F () = f (g())g () For = F() = f(g()) skrives d d = d du du d 4.3. Overbevis [S] 3.5 The chain rule Bevis u = g( + ) g(), = f(u + u) f(u) giver der har kædereglen som grænseværdi for. = u u d d = d du du d 4.4. Brug kæderegel [S] 3.5 The chain rule Eksempel Find F () for F() = +. f(u) = u, u = g() = + er differentiable med F = f g er differentiabel med Altså f (u) = u, g () = F () = f (g())g () = + d + = d Kæderegel i en variabel igen [S].5 The chain rule

35 4. KÆDEREGLEN 35 Sætning (Kædereglen) = f(), = g(t) Med differentialer d = g (t)dt, d dt f(g(t)) = f (g(t))g (t) d dt = d d d dt d = f ()d = f ()g (t)dt 4.6. Kædereglen i to variable [S].5 The chain rule Figur t (,) (,) (,) z t z t z Sammensat funktion 4.7. Kæderegel i to variable [S].5 The chain rule Sætning (Kædereglen) Antag at z = f(,) er differentiabel og (t),(t) er differentiable funktioner. Den sammensatte funktion z(t) er differentiabel med dz dt = z d dt + z d dt Skrives også kompakt z = z + z 4.8. Differentialer sammensatte [S].5 The chain rule Bemærkning Kædereglen med differentialer, z = f(,). d = d dt dt, d d = dt dt dz = z z d + d ( z d dz = dt + z ) d dt dt 4.9. Overbevis [S].5 The chain rule

36 36 I. DIFFERENTIATION Bevis - kæderegel giver der har kædereglen som grænseværdi for t. z = z z + + ɛ + ɛ z t z t + z t dz dt = z d dt + z d dt 4.. Brug kæderegel [S].5 The chain rule Eksempel z = + 3 4, = sin t, = cos t z = + 3 4, z = + 3 Kædereglen giver = cos t, = sin t z = z + z = ( )cos t + ( + 3 )( sin t) Heraf for t = z () = ( + 3) + ( + ) = Brug kæderegel [S].5 The chain rule Eksempel - fortsat Og videre herfra z = + 3 4, = sin t, = cos t z = ( )cos t + ( + 3 )( sin t) z = (4sin t cos t + 6cos 4 t)cos t (sin t + sin t cos 3 t)sin t 4.. Test kæderegel [S].5 The chain rule Test Lad f(,) =, = t, = t 3. Så giver kædereglen f (t) = (t t 3 ) t Afkrds: ja nej

37 4. KÆDEREGLEN 37 Løsning Udregningen giver f =, f =, = t, = 3t f = f + f = (t t 3 )t t 3t = 4t 3 5t To gange to kæderegel [S].5 The chain rule 3 Sætning (Kædereglen) Antag at z = f(,) er differentiabel og (s,t),(s,t) er differentiable funktioner. Den sammensatte funktion z(s,t) er differentiabel med z s = z s + z s z t = z t + z t Altså z s = z s + z s z t = z t + z t 4.4. Kæderegel udregning [S].5 The chain rule Eksempel 3 z = e sin, = st, = s t z = e sin, z = e cos s = t, t = st, s = st, t = s z s = z s + z s = e sin()t + e cos()st = e st sin(s t)t + e st cos(s t)st z t = z t + z t = e sin()st + e cos()s = e st sin(s t)st + e st cos(s t)s 4.5. Udvid til mange variable [S].5 The chain rule 4 Sætning (Kædereglen generelt) Antag at u er en differentiabel funktion af variable,..., n, som hver er differentiable funktioner af variable t,...,t m. Så er Mere kompakt skrives u = u + + u n t i t i n t i u t i = n j= u j j t i 4.6. Kæderegel kan ej undværes [S].5 The chain rule Eksempel 5 u = 4 + z 3 Beregn u s i (r,s,t) = (,,). = rse t, = rs e t, z = r ssin t

38 38 I. DIFFERENTIATION u s = u s + u s + u z z s = 4 3 re t + ( 4 + z 3 )rse t + 3 z r sin t 4.7. Kædereglen [S].5 The chain rule Eksempel 5 - fortsat = rse t, = rs e t, z = r ssin t (,,) =, (,,) =, z(,,) = u s = 4 3 re t + ( 4 + z 3 )rse t + 3 z r sin t u s (,,) = ( 4 + ) + = Jacobimatricen [LA] $. Kædereglen i matri-formulering Definition For en differentiabel afbildning g : R n R m (u,...,u n ) (g (u,...,u n ),...,g m (u,...,u n )) er Jakobimatricen følgende m n-matri g u... d u (g) =..... g m u... g u n g m u n 4.9. Kædereglen [LA] $. Kædereglen i matri-formulering Sætning For differentiable afbildninger er sammensætningen R n g R m f R p R n f g R p differentiabel og Jakobimatricen er matriproduktet d u (f g) = d g(u) (f)d u (g) 4.. Matricer er godt [S].5 The chain rule Eksempel 5 (Matriform) u = 4 + z 3 Beregn u s. = rse t, = rs e t, z = r ssin t

39 4. KÆDEREGLEN 39 d(u) = ( ) u r u s u t = ( ) r s t u u u z r s t z r z s z t 4.. Matriprodukt [S].5 The chain rule Eksempel 5 (Matriform) - fortsat Svaret er u = 4 + z 3, = rse t, = rs e t, z = r ssin t ( ur u s u t ) = ( z 3 3 z ) set re t rse t s e t rse t rs e t rssin t r sin t r scos t u s = 4 3 re t + ( 4 + z 3 )rse t + 3 z r sin t 4.. Test matriform [S].5 The chain rule Test Lad g(,) = (,). Så er Jacobimatricen: ( (a) ). (b) ( ). (c) Løsning Funktionerne g =, g = med ( ). Afkrds den rigtige: g =, g =, g =, g = ( ) ( ) g g giver Jacobimatri =. g g (a) (b) (c) 4.3. Implicit given funktion [S].5 The chain rule Implicit funktion Ligningen F(,) =, F (a,b) definerer en løsningsfunktion () med F(,()) = for tilpas nær a. Kædereglen giver F + F = og deraf 6 () = F F 4.4. Kurve er graf [S].5 The chain rule Figur

40 4 I. DIFFERENTIATION F(,) = 4.5. Inddirekte beregning [S].5 The chain rule Eksempel 8 F = = F = 3 6, F = 3 6 d d = F F = = når F = Test implicit funktion [S].5 The chain rule Test Lad F(,) = e + e. Ligningen F(,) = definerer en funktion () for nær. Der gælder: (a) () =. (b) () =. (c) () =. Løsning Udregningen giver F = e, F = e = F /F Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) 4.7. Udvid til flere variable [S].5 The chain rule Implicit funktion generelt F(,,z) =, F z (a,b,c) definerer en løsningsfunktion z(, ) med F(,, z(, )) = for (, ) tilpas nær (a, b). Kædereglen giver F + F + F z z =

41 4. KÆDEREGLEN 4 og deraf 7 z = F F z, z = F F z 4.8. Inddirekte beregning flere variable [S].5 The chain rule Eksempel 9 F = z 3 + 6z = F = 3 + 6z, F = 3 + 6z, F z = 3z + 6 z = F = 3 6z F z 3z + 6 = + z z + z = F = 3 6z F z 3z + 6 = + z z Opgave [S].5 The chain rule Øvelse 9 u = + + z Beregn u p. = p + r + t, = p r + t, z = p + r t u = + z u = + z ( + z) u z = ( + z) 4.3. Opgave [S].5 The chain rule Øvelse 9 - fortsat = p + r + t, = p r + t, z = p + r t u = + z, u = + z ( + z), u z = ( + z) u p = u p + u p + u z z p u p = + z ( + z) + + z ( + z) + ( + z) = t p

42 4 I. DIFFERENTIATION 5. Gradient 5.. Oversigt [S].6 Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren August, opgave Delvis afledt [S].6 Directional derivatives and the... Definition - gentaget De partielle afledede af f(,) i punktet (, ) er når grænseværdierne eksisterer. f (, ) = lim h f( + h, ) f(, ) h f (, ) = lim h f(, + h) f(, ) h 5.3. Delvis afledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel De partielle afledede af f(,) = sin() i punktet (,) beregnes ved variabel differentiation Højere afledede f (,) = cos() f (,) = cos() f (,) = sin() f (,) = cos() sin() f (,) = f (,) f (,) = sin() 5.4. Delvis afledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur z z = sin

43 5. GRADIENT Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Definition Den retningsafledede af f(,) i punktet (, ) i retning af en enhedsvektor u = (a,b) er D u f(, ) = lim h f( + ah, + bh) f(, ) h Bemærkning Den partielle afledede af f(,) med hensn til er den retningsafledede i retning e = (,) og den partielle afledede af f(,) med hensn til er den retningsafledede i retning e = (,) Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Definition - figur u = (a, b) (, ) hu = ( + ha, + hb) 5.7. Retningsafledt direkte [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel Den retningsafledede af funktionen f(,) = + i punktet (,) i retningen u = ( 3 5, 4 5 ) beregnes direkte f( D u f(,) = lim h, + 4 5h) f(,) h h ( = lim h) h h h = lim 5 h = h Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur

44 44 I. DIFFERENTIATION z u z = +, D (3/5,4/5) z(,) = 5.9. Retningsafledt, grafisk [S].6 Directional derivatives and the... Grafisk bestemmelse 3 4 f(,)= Niveaukurver og retning u = (, ). = (,) og g(h) = z = f( + hu). Aflæs støttepunkter: h g(h) Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter giver grafen h g(h).9 3 z Heraf f.eks. D u f( ) = g ().5(.9/.7 +./.8).33 h 5.. Retningsafledt, formel [S].6 Directional derivatives and the... 3 Sætning

45 5. GRADIENT 45 For en differentiabel funktion f(,) er den retningsafledede punktet (,) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved D u f(,) = f (,)a + f (,)b Bevis Funktionen g(h) = f( + ha, + hb) har afledt g f( + ah, + bh) f(, ) () = lim = D u f(, ) h h Konklusion fra kædereglen g () = f (, )a + f (, )b 5.. Retningsafledt udregnet [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - gentaget Funktionen f(,) = + har partielle afledede f (,) =, f (,) = Den retningsafledede i punktet (,) i retningen u = ( 3 5, 4 5 ) beregnes D u f(,) = f (,) f (,) 4 5 = = 5.3. Retningsafledt og vinkel [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning Hvis enhedsvektoren u danner en vinkel på θ med -aksen, så er og den retningsafledede kan skrives u = (cos θ,sin θ) 6 D u f(,) = f (,)cos θ + f (,)sin θ u θ (cos θ,sin θ) 5.4. Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel Den retningsafledede af f(,) = i punktet (,) i retning π 6 er D u f(,) = f (,)cos π 6 + f (,)sin π 6 3 = (3 3) + ( 3 + 8)

46 46 I. DIFFERENTIATION Specielt er D u f(,) = Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur z (,,) π/6 u Retning π/ Retningsafledt, prikprodukt [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning Den retningsafledede af f(,) i punktet (,) i retning af en enhedsvektor u = (a,b) kan ved brug af prikproduktet skrives 7 D u f(,) = f (,)a + f (,)b = (f (,),f (,)) (a,b) 5.7. Gradient [S].6 Directional derivatives and the... 8 Definition For en funktion f(,) er gradienten følgende vektor f(,) = (f (,),f (,)) Bemærkning Ved brug af standard enhedsvektorerne e = (,),e = (,) skrives gradienten f(,) = f (,)e + f (,)e 5.8. Gradient [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 3 Gradienten af f(,) = sin + e i punktet (,) er f(,) = (cos + e,e ) I punktet (,) = (,) fås f(,) = (cos + e, e ) = (,)

47 5. GRADIENT Gradient og retningsafledt [S].6 Directional derivatives... Sætning For en differentiabel funktion f(,) er den retningsafledede punktet (,) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved 9 Bevis Netop formlen 7. D u f(,) = f(,) u 5.. Retningsafledt og gradient [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - gentaget Funktionen f(,) = + har gradient f(,) = (,) Den retningsafledede i punktet (,) i retningen u = ( 3 5, 4 5 ) beregnes D u f(,) = f(,) ( 3 5, 4 5 ) = (,) ( 3 5, 4 5 ) = 5.. Gradient [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur u f(,) (,) f(,) = (,), u = ( 3 5, 4 5 ) 5.. Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 4 Gradienten af f(,) = 3 4 er f(,) = ( 3,3 4) For den retningsafledede i retning (,5) bruges enhedsvektoren u = 9 (,5) D u f(,) = ( 3,3 4) 9 (,5) = 9 ( )

48 48 I. DIFFERENTIATION 5.3. Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 4 - fortsat I retning u = 9 (,5) er I punktet (,) = (, ) fås D u f(,) = ( 3,3 4) D u f(, ) = ( 4,8) = (,5) 9 (,5) 5.4. Mange variable [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning For en funktion f i n variable er den retningsafledede i et punkt R n i retning af en enhedsvektor u R n Fra kædereglen følger D u f( ) = lim h f( + hu) f( ) h D u f( ) = n f i ( )u i i= 5.5. Mange variable [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning - fortsat For en funktion f i n variable er gradienten en vektor i R n 3 f = ( f,..., f ) n = (f,...,f n ) For en enhedsvektor u R n er den retningsafledede 4 D u f = f u n = f i u i i= 5.6. Retningsafledt, 3 variable [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 5 Gradienten af f(,,z) = sin z er f = (sin z,z cos z, cos z) For den retningsafledede i retning (,, ) bruges enhedsvektoren u = 6 (,, ) D u f = (sin z,z cos z, cos z) 6 (,, ) = 6 (sin z + z cos z cos z)

49 5. GRADIENT Retningsafledt, 3 variable [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 5 - fortsat I retning u = 6 (,, ) er I punktet (,,z) = (,3,) fås D u f = (sin z,z cos z, cos z) D u f(,3,) = (,,3) 6 (,, ) 6 (,, ) = Maksimal retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... 5 Sætning Betragt en differentiabel funktion f() i mange variable. Den maksimale vœrdi af den retningsafledede D u f() er lœngden f() og denne antages, når u har samme retning som gradienten f(). Bevis D u f = f u = f cos θ Da θ er vinklen mellem f og u følger påstanden af egenskaberne for cos θ Størst variation [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 6 Gradienten af f(,) = e er f(,) = (e,e ) Den retningsafledede er størst i retning (,) med maksimal værdi f = e + I punktet (,) er den retningsafledede er størst i retning (,) med maksimal værdi f = Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning Betragt et punkt (, ) på niveaukurven f(,) = k. En tangentvektor v til niveaukurven i (, ) er vinkelret paa gradienten Hvis gradienten f(, ), så er en ligning for tangenten til niveaukurven. f(, ) v f(, ) (, ) = 5.3. Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning - figur

50 5 I. DIFFERENTIATION tangent: f(, ) (, )= f(,)=k f(, ) (, ) Vinkelret på niveaukurverne vokser og aftager funktionen hurtigst Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 6 - figur Tangenter til niveaukurver for z = e Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 6 - figur Skalerede gradienter. z for z = e Opgave Matematik Alfa, August Opgave 5 Betragt funktionen f(,) = + ln( ).. Angiv gradientvektoren f(, ).. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (,) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5,4/5). Løsning

51 5. GRADIENT 5. Gradienten beregnes f = 3 /( ) f = + /( ) f(,) = (f (,),f (,)) = (,3/3) Opgave Matematik Alfa, August Opgave 5 - fortsat f(,). I retning u = (3/5, 4/5) er den retningsafledede D u f(,) = f(,) u = (,3/3) (3/5,4/5) = 5/5 u (,) Opgave Matematik Alfa, August Opgave 5 - Ekstra z 3 ++> z= +ln( 3 ++) Definitionsområdet. Grafen Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Opgave 5 - figur

52 5 I. DIFFERENTIATION Tangenter til niveaukurver for z = + ln( ) Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Opgave 5 - figur Skalerede gradienter. z for z = + ln( ). 6. Maksimum/minimum 6.. Oversigt [S].7; [LA] 3 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer August, opgave Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Definition En funktion f(,) har et lokalt maksimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en lokal maksimumsværdi. En funktion f(,) har et lokalt minimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en lokal minimumsværdi Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values

53 6. MAKSIMUM/MINIMUM 53 Definition - figur z lokalt maksimum lokalt minimum 6.4. Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Velkendt figur z lokalt maksimum lokalt minimum Snit for = 6.5. Absolut maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a,b), hvis der for alle (,) D gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en absolut maksimumsværdi i D. En funktion f : D R har et absolut minimum i punktet (a,b), hvis der for alle (,) D gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en absolut minimumsværdi i D Absolut maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Eksempel Funktion f : R R givet ved f(,) = + +

54 54 I. DIFFERENTIATION opflder f(,) f(,) = Altså har f et absolut maksimum i punktet (,) med en absolut maksimumsværdi på. Der er ikke noget absolut minimumspunkt Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Niveaukurver 3 4 Aflæs: lokalt maksimumspunkt i (3,3) med maksimumsværdi Absolut maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Sprogbrug For lokalt/absolut maksimum eller minimum bruges betegnelser lokalt ekstremum lokal ekstremumsværdi absolut ekstremum absolut ekstremumsværdi 6.9. Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values En variabel - figur lokalt maksimum f ( ) = f ( ) = lokalt minimum 6... ordens kriterium [S].7 Maimum and minimum values Sætning

55 6. MAKSIMUM/MINIMUM 55 Hvis f(,) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle afledede eksisterer i (a,b) så er Skrives også med gradienten f (a,b) = = f (a,b) (a,b) lokalt maks/min f(a,b) = 6.. Kritisk punkt [S].7 Maimum and minimum values Definition En funktion f(,) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis f(a,b) = (f (a,b),f (a,b)) = Når de partielle afledede findes, er et lokalt maksimum/minimum et kritisk punkt. Et kritisk punkt, som hverken er lokalt maksimum eller minimum, kaldes et saddelpunkt. 6.. Kritisk punkt [S].7 Maimum and minimum values Kritisk punkt z z lokalt maksimum Saddelpunkt 6.3. Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel har kritisk punkt f(,) = f(,) = (, 6) = (,) = (,3) Omskrivningen f(,) = ( ) + ( 3) + 4 viser, at (,3) er et absolut minimum på D = R Absolut minimum [S].7 Maimum and minimum values Eksempel - figur

56 56 I. DIFFERENTIATION z Absolut minimum i (,3) 6.5. Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel har kritisk punkt f(,) = f(,) = (,) = (,) = (,) f(,) <, f(,) >, (,) viser, at (,) ikke er et lokalt ekstremum, altså er (,) et saddelpunkt Ekstremumspunkt [S].7 Maimum and minimum values Eksempel - figur z Saddelpunkt i (,) ordens kriterium [S].7 Maimum and minimum values Sætning - (en variabel) Antag den afledede f (a) = Så gœlder (a) f (a) > a lokalt minimum (b) f (a) < a lokalt maksimum

57 6. MAKSIMUM/MINIMUM ordens kriterium, lokalt maksimum [S].7 Maimum and minimum values En variabel - figur lokalt maksimum f ()= f ( )> f ( )< f () er aftagende omkring = : f () < ordens kriterium [S].7 Maimum and minimum values 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(,) har kritisk punkt (a,b) og lad f (a,b) = = f (a,b) D = f (a,b)f (a,b) f (a,b) (a) D >, f (a,b) > (a,b) lokalt minimum (b) D >, f (a,b) < (a,b) lokalt maksimum (c) D < (a,b) saddelpunkt 6... ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - to variable Antag f(, ) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) =. Hesse matricen ( ) f (a,b) f (a,b) f (a,b) f (a,b) har determinant D = f (a,b)f (a,b) f (a,b). Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. (a) D >, f (a,b) > (a,b) lokalt minimum (b) D >, f (a,b) < (a,b) lokalt maksimum (c) D < (a,b) saddelpunkt 6... ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - mange variable Givet f(,..., n ). En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum i et indre punkt P er P (f) = ( f (P),..., f (P)) = n Hesse matricen H P (f) er den smmetriske n n-matri, hvis ij te indgang er (Denne kan diagonaliseres). f i j (P)

58 58 I. DIFFERENTIATION 6... ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - fortsat I det kritiske punkt P : (a) Hvis alle egenværdier er positive, så er P et lokalt minimum. (b) Hvis alle egenværdier er negative, så er P et lokalt maimum. (c) Hvis der forekommer både positive og negative egenværdier, så er P et saddelpunkt ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - Eksempel Funktionen f(,,z) = + 3 z har gradient (f) = (4,6, z) og kritisk punkt P = (,, ). Hesse matricen 4 H P (f) = 6 har egenværdier 4,6 > of <. Andenordenstesten giver: P er et saddelpunkt Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values To variabele - figur z har et saddelpunkt i (,). z = Ekstremumspunkters tpe [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 3 f(,) = har kritiske punkter, hvor De kritiske punkter bestemmes f(,) = (4 3 4,4 3 4) = (,) 3 =, 3 = 3 =, ( 3 ) 3 = (,) = (,),(,),(, ) 6.6. Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values

59 6. MAKSIMUM/MINIMUM 59 Eksempel 3 - figur z z = Ekstremumspunkters tpe [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 3 - fortsat f = 4 3 4, f = giver f =, f = 4, f = D = f f f = D(,) = 6 < (,) saddelpunkt. D(,) = 8 >, f (,) = > (,) lokalt minimum 3. D(, ) = 8 >, f (, ) = > (, ) lokalt minimum 6.8. Populært skema [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 3 - fortsat Konklusions skema (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 6 saddel (, ) 8 minimum (, ) 8 minimum 6.9. Ekstremumspunkters tpe [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 4 f(,) = har kritiske punkter, hvor Foruden (,) = (,) fås, 4 3 =, = 5 =, = 5 =, = (,) (,),(±.64,.9),(±.86,.65) Konklusion [S].7 Maimum and minimum values

60 6 I. DIFFERENTIATION Eksempel 4 - fortsat f = 4 3, f = f =, f =, f = 8 4 (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ).. 8. maksimum (.64,.9) maksimum (.64,.9) maksimum (.86,.65) saddel (.86,.65) saddel 6.3. Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 En kasse uden låg laves af m krdsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. giver med kritiske punkter, hvor V = z, z + z + = V = + V = ( ) ( + ) =, V = ( ) ( + ) = 6.3. Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 - figur z Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6

61 6. MAKSIMUM/MINIMUM 6 Relevante punkter,, >, fås for =, = =, = Altså 3 =, = (,) = (,) (,) = ±(,) Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 - fortsat V = ( ) ( + ), V = ( ) ( + ) V = ( )( + ) ( )4( + ) 4( + ) 4 V = ( )( + ) ( )4( + ) 4( + ) 4 V = (4 6 )( + ) ( )4( + ) 4( + ) Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 - fortsat V (,) =, V (,) = V (,) =, V (,) = /, V (,) = (a,b) V (a,b) V (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 4 3/4 maksimum Kantlængder for størst rumfang er (,,z) = (,,) Lukket mængde [S].7 Maimum and minimum values Definition Givet en delmængde D R. Et punkt (a,b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a,b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Eksempel D = {(,) + } har randpunkter og er lukket. {(,) + = } Randpunkt [S].7 Maimum and minimum values Definition - figur

62 6 I. DIFFERENTIATION randpunkt D Absolut ekstremum [S].7 Maimum and minimum values 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrœnset delmœngde D R, så antager f både en absolut maksimumsvœrdi og en absolut minimumsvœrdi i punkter, der ligger i mœngden D. D absolut maksimum absolut minimum Køreplan [S].7 Maimum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D:. Find værdier af f i kritiske punkter i D. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra. og Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af f(,) = + på rektanglet f har kritisk punkt D = {(,) 3, } f(,) = (, + ) = (,) = (,) 6.4. Ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 - figur

63 6. MAKSIMUM/MINIMUM 63 z 3 (3,) 6.4. Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 - fortsat f(,) = + Randen opdeles i 4 tilfælde:. f(,) =, 3. f(3,) = 9 4, 3. f(,) = 4 + 4, 3 4. f(,) =, Ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 - fortsat f(,) = + I alt er der 6 punkter at tabellægge (a,b) (,) (,) (3,) (3,) (,) (,) f(a, b) 9 4 Absolut maksimumspunkt og -værdi: f(3,) = 9 Absolut minimumspunkt og -værdi: f(, ) = f(, ) = Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 Betragt funktionen f(,) givet ved f(,) = + + for >, >. Det oplses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde.. Angiv dette kritiske punkt.. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 - løsning f(,) = + +

64 64 I. DIFFERENTIATION har kritisk punkt f = (, ) = (,) =, = (,) = (,) Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f = 3,f =,f = 3 f (,) =,f (,) =,f (,) = Andenordenstesten giver (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 3 3 minimum Altså er punktet (,) lokalt minimum for f på mængden >, > Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 - Figur z (,) 7. Lagrangemetoden 7.. Oversigt [S].8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August, opgave Skitse [S].8 Niveaukurver

65 7. LAGRANGEMETODEN 65 f(,)= 3 g(,)=k Lagrange situation 7.3. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,), når samtidig ligningen g(,) = k er opfldt. Ligningen g(,) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(,) = k kan løses, = φ(), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i variabel f(,φ()). Hvis løsningskurven til ligningen g(, ) = k kan parametriceres med ((t), (t)), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i variabel t f((t),(t)) Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Eksempel Bestem ekstremumspunkter for funktionen når samtidig ligningen f(,) = + 3 g(,) = + = er opfldt. Løsning Niveaukurverne for f er linjer + 3 = c. Ekstremum findes når disse tangerer cirklen + = Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - figur f(,)= f(,) = + 3, g(,) = + =

66 66 I. DIFFERENTIATION 7.6. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - fortsat Niveaukurverne + 3 = c tangerer cirklen + = for værdier af c, hvor har dobbeltrod. Diskriminanten er for c = ±, som giver punkter ( 3 + c) + = 6c + c 36c 4(c ) = 4c + 4 (,) = ±(,3) 7.7. Lagrange multiplikator [S].8 Lagrange multipliers Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,) under begræsningen g(,) = k. I ligningen f(, ) = λ g(, ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrkker at niveaukurven for f i (, ) tangerer begræsningskurven g(,) = k Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,) under begræsningen g(,) = k. (a) Find,,λ så f(,) = λ g(,) g(,) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). blandt disse. Maksimum og minimum er 7.9. Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Ligninger Lagranges ligningssstem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(, ) under begræsningen g(, ) = k. f (,) = λg (,) f (,) = λg (,) g(,) = k 7.. Multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - igen Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(, ) = + 3, når samtidig ligningen g(,) = + = er opfldt.

67 7. LAGRANGEMETODEN 67 Lagrangeligningerne er = λ 3 = λ + = 7.. Multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - igen fortsat Der løses 3 = og + (3) = der giver Lagrange multiplikator er (,) = ±(,3) λ = ± 7.. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,,z), når samtidig ligningen g(,,z) = k er opfldt. Ligningen g(,,z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(,) = k kan løses, z = φ(,), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i variabel f(,,φ(,)) 7.3. Lagranges multiplikator [S].8 Lagrange multipliers Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,, z) under begræsningen g(,, z) = k. I ligningen f(,,z ) = λ g(,,z ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrkker at niveaufladen for f i (,,z ) tangerer begræsningsfladen g(,,z) = k Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,, z) under begræsningen g(,, z) = k. (a) Find,,z,λ så f(,,z) = λ g(,,z) g(,,z) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). blandt disse. Maksimum og minimum er