Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge
|
|
- Minna Toft
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge
2 Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik? Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering Potensregneregler Æstetik og reduktioner 9. Reduktion af kvadratrødder Æstetisk reduktion af brøker Reduktion af logaritme-udtryk Vektorer og matricer 4 De n dødssynder 8. Plus mellem brøker Plus mellem kvadratrødder Kvadratet af en parentes Gange ind i parentesen Faktorudligning i brøker
3 Indledning Matematikere er dovne, men har samtidig respekt for andres dovenskab. De foretrækker æstetik, for matematik kan være svært, så man skal altså sørge for, at udtryk er så simple som mulige. Der er ingen grund til at gøre ligninger grimme og ulæselige for læseren. Vær så doven, du kan, uden at forsømme noget, og respektér andres dovenskab. Matematikere kan godt nde på at 'småskændes', når det kommer til god skik. Det behøver ikke engang være matematik. Hvordan man skal skrive programmeringskode, hvordan man bør formulere sig på tekst, eller hvor tæt en gasbrænder må være på en creme brulé - det er bare nogle ting, som matematikere har holdninger til. Så selvfølgelig har de stærke holdninger til deres eget fag. Selvom der er uenigheder blandt matematikere, hvad angår god skik, så er der alligevel nogle tilfælde, som de este er enige om. Det er disse, jeg vil tage hånd om heri.. Hvad er god matematisk skik? God skik i matematik kan beskrives som 'maksimal æstetisk reduktion'. Her betyder 'maksimal reduktion', at man skal reducere brøker, så meget man kan, det vil sige, at vi ikke gider have 0 men derimod. Dette gælder også kvadratrødder, logaritmeudtryk og lignende tilfælde. Æstetik er højere rangeret end reduktion. Man kan f.eks. være udsat for, at der står. Det kan gode være, at det er den simpleste måde at skrive dette tal på. Men det er satme også en grim måde. Kvadratrødder i nævneren er matematikkens svar på sokker i sandalerne. Vi vil hellere have, at man skriver. Mere om dette senere. I dette notesæt beskriver jeg dog kun ret simple tilfælde med tal.
4 Starttips før ulvehyl Før jeg går i gang med at snakke om de uskrevne regler, så vil jeg lige komme med nogle tips, som jeg selv benytter. Disse tips skulle gerne være brugbare, når man skal opfylde den matematiske skik.. Primtalsfaktorisering En af de redskaber, man (måske ubevidst) bruger ved brøkreduktion, er primtalsfaktorisering, som betyder, at man skriver et tal ved at gange primtal sammen. Eksempel (Primtalsfaktorisering af 00) Lad os kigge tallet 00 som eksempel. Vi tænker måske først, 'hmmmm, 00 er jo 0 gange 0'. Så det kan vi prøve at skrive: 00 = 0 0. Men vi kan gå videre. For 0 kan vi jo skrive som gange, så vi får: 00 = 0 0 = ( ) ( ). Det gode ved, at alt er ganget sammen, er, at vi kan ophæve parenteserne og bytte rundt på faktorerne, som det passer os. Så vi kunne eventuelt skrive: 00 = = =. Nu har vi primtalsfaktoriseret 00, da vi kun bruger primtallene og til at beskrive 00 med. Uanset hvordan vi startede med at angribe 00, så ville vi ende med den samme primtalsfaktorisering. Vi kunne f.eks. have gået følgende vej: eller 00 = 0 = (4 ) = 4 = ( ) =, 00 = 4 = ( ) ( ) =. Vi ser altså, at vi når frem til det samme resultat i sidste ende, selvom vi starter på forskellige måder. Så der er ingen grund til forvirring, hvis udgangspunktet I arbejder med ikke er ligesom mit. 4
5 .. PRIMTALSFAKTORISERING Eksempel (Primtalsfaktorisering af ) Lad os prøve et andet eksempel:. Vi kan se, at den slutter på et -tal, så er en faktor. Hvad skal ganges med? Jamen vi ved, at 0 = 00, så vi skal i hvert fald lige have 0 mere: 40 = 00. Vi mangler så kun, men det er jo. Vores første omskrivning er altså: = 4. Dette er faktisk vores eneste omskrivning, da både og 4 er primtal. Eksempel (Primtalsfaktorisering af ) Vi kigger nu på tallet. Hvis du ikke ved det, så kan jeg fortælle, at vi hurtigt kan se, at er en primtalsfaktor for. Hvordan? Hvis vi tager tværsummen af, + + =, ses det, at dette tal er heltalsdivisibelt med. Denne regel gælder dog kun for. Men så kan vi prøve at gange sammen. = 99, vi mangler blot at redegøre for. Men da = 4 har vi, at = 99 + = + 4 = ( + 44) = 47. Bemærk, at jeg blot tog uden for en parentes, da tallet er ganget på både og 4. Vi har nu nået primtalsfaktoriseringen af, da og 47 er et primtal. Eksempel 4 (Primtalsfaktorisering 4) Lad os slutte med tallet 4. Da dette er et lige tal, så er en del af primtalsfaktoriseringen. Dermed er 4 =. Vi ser, at også er et lige tal, så vi bruger samme argument igen: 4 = ( 6) = 6. Igen er 6 et lige tal, så samme argument bruges her Da og begge er primtal, er vi i mål. 4 = 6 = ( ) =. KAPITEL. STARTTIPS FØR ULVEHYL
6 .. POTENSREGNEREGLER. Potensregneregler Når jeg skriver potensregneregler, så omfatter dette også omskrivninger af blandt andet brøker og kvadratrødder. Regneregel (Addition og subtraktion af potenser) Betragt tallene a, b, c R. Så gælder følgende relationer a b+c = a b a c, a b = a b, og a 0 =. Lad os nu kigge på nogle eksempler, hvor vi anvender disse relationer. Eksempel 6 (Addition af potenser) Betragt, hvis vi umiddelbart ikke kan udregne denne, så kan vi bruge den første regneregel nævnt i ovenstående boks: = ++ = = 4 4 =. Eksempel 7 (Potenser og brøker) Vi kigger på produktet af og 8. 8 = = = + = = = 4. En anden måde at lave udregningen på kan være at omskrive brøken i stedet: 8 = = = = = 4. Eksempel 8 (Hvad med π?) Lad os gange π 00 og π 0 π 49 π 00 π 0 49 = π = π = π = π. KAPITEL. STARTTIPS FØR ULVEHYL 6
7 .. POTENSREGNEREGLER Regneregel 9 (Brøker som potenser) Vi kigger igen på tallene a, b, c R. Der gælder relationerne a b c = c a b = c a b, a b c = ( a b) c = (a c ) b Bemærk, at a ikke må være negativ i den første regel, hvis c er et lige tal. Hvis c =, så svarer dette til kvadratroden, når vi ser på første regel. Endvidere svarer c = til kubikroden osv. Vi skal huske på, at a IKKE må være negativ, når vi skal bytte rundt på rødder og potenser, f.eks. eksisterer ikke. Dermed er = 4 = ( ) = (udeneret). Så længe, du arbejder med tal større end 0, så går det nok. Vi kigger igen på nogle eksempler, hvor vi anvender de her regler. Eksempel 0 (Tilbage til π!) Lad os kigge på π 00 og (π ) 0 : π 00 (π ) 0 = π 00 π 0 = π 00 π 00 = π = π 0 =. Eksempel (Kvadratroden af π?) Vi kigger nu i stedet på π 00. Husk, at a = a: π 00 = ( π 00) = π 00 = π 00 = π 00. Tilsvarende kan vi kigge på den 00. rod af π 00, 00 π 00 : 00 π 00 = ( π 00) 00 = π = π = π = π. Eksempel (Jeg skal give jer -taller.) Lad os kigge på og kubikroden af denne: = ( ) = = = =. Hvad med kubikroden af og så opløftet denne i tredje? = ( ) = = = =. Så vi kan altså bare bytte rundt rækkefølgen af potenser er rødder, som det passer os, da det giver det samme i sidste ende. - Selvfølgelig så længe I ikke prøver at tage kvadratroden af noget negativt for de reelle tal. KAPITEL. STARTTIPS FØR ULVEHYL 7
8 .. POTENSREGNEREGLER Jeg slutter lige af med to regler, som egentligt er et specialtilfælde af de andre regler, men hvis du læser denne 'guide', så gider du nok ikke tænke så meget (på beviser). Regneregel (Brøkregler) Betragt tallene a, b og c. En tidligere regneregel fra boks nummer kan generaliseres på følgende måde: a b = ( ) b a Nedenstående regel er også en god huskeregel: c a b = c b a. Eksempel 4 (Et lille eksempel) Betragt 4 = 4 =. Vi kunne også udregne nævneren først og så ikke bruge den 4 = Vi får altså det samme. = = ( ) = ( ) = =. KAPITEL. STARTTIPS FØR ULVEHYL 8
9 Æstetik og reduktioner Vi skal nu i gang med at bruge nogle af de indledende fs, så vi kan få skrevet svarene som, vores matematiske læsere vil have dem.. Reduktion af kvadratrødder Lad os kigge på kvadratrødder. Oftest støder man på, at man skriver et eller andet tal i en kvadratrod som facit, og så lader det umiddelbart til, at facitlisten får noget helt andet. De vigtigste regler at huske på i forhold til kvadratrødder er a = a, og a b = a b. Hvad skal vi reducere ved kvadratrødder? Jamen hvis du ser et tal som 7, så er dette forfærdeligt at se på, vi vil hellere have. Hvorfor? Jamen fordi hvis vi nu var udsat for, at 7 skulle divideres med tre, så kunne vi principielt ikke komme videre. Når vi så ved, at 7 =, så ved vi også, at 7 =. Lad os begynde på eksemplerne. Jeg bruger (primtals)faktorisering i alle disse, så kig eventuelt på det afsnit, hvis du ikke allerede kan nde ud af det. Eksempel (Hvorfor er 7 som ovenfor?) 7 = = = =. Bemærk, at de faktorer, der har en lige eksponent skilder sig af med kvadratoden. De tal, der ikke har en lige eksponent bliver altså 'fanget' i kvadratroden. Eksempel 6 ( 99) 99 = 9 = 9 = =. Der står ganget med kvadratroden af. 9
10 .. REDUKTION AF KVADRATRØDDER Eksempel 7 ( 400) 400 = 4 00 = 4 00 = 0 = 0 = 0. Bemærk, at vi egentligt bare er tilfredse med at have en lige eksponent, uden det er et primtal, som er grundtal. Vi kunne sagtens have splittet 0 op i sine primtalsfaktorer, men det er bare unødigt arbejde. Vi kunne også have lavet opsplitningen: 400 = 6 = 6 = 4 = 4 = 0. Det giver det samme i sidste ende. Vi skal altså blot lede efter lige eksponenter. Eksempel 8 ( 8) Bruges primtalsfaktorisering: 8 = 4 = 4 = = 9. Benyttes viden om tallet 8 = 9 = 9. Primtalsfaktoriseringen er langsom men sikker. Eksempel 9 ( 7) Her vil primtalsfaktorisering helt sikkert være handy, hvis vi skal nde ud af, hvilke tal det her består af: 7 = 46 = 69 = = 77 = 7. Det er let at sortere et -tal fra, da der indgår enten 0 eller som sidste cier i et tal, der er heltalsdivisibelt med. Husk desuden reglen med, at en tværsum divisibel med er et tal divisibel med. Vi har nu: 7 = 7 = 7 = 77 = 77. Bemærk, at siden vi ikke kan reducere 7 eller yderligere, så slår vi dem sammen. Altså er den æstetisk-reducerede måde at skrive 7 på lig med 77. KAPITEL. ÆSTETIK OG REDUKTIONER 0
11 .. ÆSTETISK REDUKTION AF BRØKER. Æstetisk reduktion af brøker I dette afsnit fokuserer vi ikke kun på reduktion af brøker. Vi vender nemlig tilbage til tilfældet, som BØR skrives. Som jeg skrev tidligere: Kvadratrødder i nævneren er matematikkens svar på sokker i sandalerne. Lad os kigge på, hvordan vi omskriver dem: Eksempel 0 ( ) Lad os kigge på. Prøv at forlænge brøken med (dvs. vi ganger med dette i tæller og nævner): = = = =. Som i ovenstående eksempel forholder det sig faktisk sådan med alle forskellige tilfældene: 0 = 0 0, 0 = 0 0, 00 = 00 00, = Vi kan ikke rigtigt reducere yderligere. Men de kan vi faktisk i de andre tilfælde, 0 selvom sidstnævnte måske ikke er så forfærdelig rar at tage hul på i hånden. Det kan faktisk være en idé at vente med omskrivningen til vi har reduceret brøkerne. Eksempel ( 0 ) = = = Det er nu, vi omskriver i stedet. Vi ganger blot med i både tæller og nævner, da dette er kvadratroden, der skal fjernes fra nævneren: = 0 = = = = = 0. Det følger altså samme princip som før. KAPITEL. ÆSTETIK OG REDUKTIONER
12 .. REDUKTION AF LOGARITME-UDTRYK Eksempel ( 00 ) Den her er meget nem, da vi allerede ved, at 00 = 0: 00 = 0. Havde vi taget den anden rute, så ville de tage lidt længere tid: 00 = = 0 00 = = 0. Jeg synes altså, at man bør vente med at få kvadratroden i tælleren, til man er sikker på, at kvadratroden i sig selv er skrevet på den 'æstetisk-reducerede' form.. Reduktion af logaritme-udtryk Vi kigger nu på logaritme-udtryk. Hvis du ikke allerede har tjekket afsnittet ud med potens-regneregler (eller kan dem i forvejen), så er det nok en god idé at få læst det. Regneregel (Logaritme regneregler (den naturlige)) Lad a og b være reelle tal. Bemærk, at jeg bruger log som den naturlige logaritme, dvs log = ln. Da gælder: log(a b) = log(a) + log(b), for a, b > 0 ( a ) log = log(a) log(b), b for a, b > 0 log(a b ) = b log(a), for a > 0, log(e) =, log() = 0. Vi kan nu gå i gang med omskrivningerne. Eksempel 4 (Simple multiplikation og brøker) Vi bruger regnereglerne til at reducere udtrykkene. Først multiplikation: Så division: log log( ) = log() + log() = log(). ( ) = log() log() = 0 log() = log(). Bemærk, at multiplikationen kun er lavet som eksempel. Normalvis ville man formentlig bruge potensregnereglen der. KAPITEL. ÆSTETIK OG REDUKTIONER
13 .. REDUKTION AF LOGARITME-UDTRYK Eksempel (log( )) Lad os prøve at reducere dette udtryk på forskellige måder. Først er der log( ) = log() + log() + log() + log() = 4 log(). Alternativt, og den måde, jeg synes, er bedst, kan man sige: log( ) = log( 4 ) = 4 log(). Eksempel 6 (log(e e e e)) Nu er det vigtigt, at du kan dine potensregneregler. ( ) ( ) ( ) log(e e e e) = log e e = log e + = log(e 6 + ) = log e 7 = 7 log(e) = 7. Så først samles de tre e'er, og kvadratroden omskrives til en potens. Dernæst lægges potenserne sammen i de næste udtryk. Derefter 'lokker' vi potensen ned foran log-funktionen. Slutteligt omskrives logaritmen af e til. Eksempel 7 (log(8e )) Kan vi omskrive denne laban til noget mere lækkert? Ja da! log(8e ) = log(8) + log(e ) = log( ) + log(e) = log() + = (log() + ). Alternativt kunne man skrive log(8e ) = log( e ) = log((e) ) = log(e) = (log() + log(e)) = (log() + ). Bemærk, der er intet galt i f.eks. at slutte med resultatet + log(), jeg kan bare godt lide at have tal uden for en parentes, hvis det passer med det, der står indeni. Nu burde du have fået nok eksempler til at kunne klare dig selv. Det håber jeg i hvert fald. Ellers må du skrive. KAPITEL. ÆSTETIK OG REDUKTIONER
14 4 Vektorer og matricer I forhold til vektorer og matricer kan æstetitik faktisk spille en stor rolle i forhold til 'omfanget' af en udregning. Lad os kigge på nogle eksempler. Eksempel 8 (Skalarprodukter) [ Lad os kigge på vektorerne ] [ ]. og Skal vi nde skalaproduktet af disse, får vi: = 4 ( 4) = = Tallene i dette tilfælde er ligetil, så det gør ikke det store, men vi kan lave en omskrivning for at gøre det mere 'behageligt' for os selv. Vi ser, at vi faktisk kan tage 4 uden for begge vektorerne. Det vil sige: 4 6 = 4 4, = 4. 4 Husk, man kan bevæge skalarer rundt, som det passer en, når man ganger dem. Det vil sige: = = = 6 ( ( ) ) = 6 ( ) = 6 = 6 Ja, den sidste multiplikation er måske ikke helt lige så let, som det andet var, men så se næste eksempel. 4
15 Eksempel 9 (Skalarprodukt) Lad os nu kigge på vektorerne, og. Vi bider mærke i, at der står divideret med, da det er grimt. MEN vi omskriver det ikke med det samme. Lad os i stedet tage denne faktor ud foran vektorerne: =, og =. Lad os nu prøve at udregne prikproduktet: = = = ( + + ) = ( + + 9) = = 6 6 =. Læg mærke til, hvordan vi slipper for at skrive en hulens masse kvadratrødder, fordi vi bare smider det grimme tegn ud foran, da det går igen. Endnu et tidspunkt, hvor det er handy at sætte et eventuelt tal uden for en vektor er i forbindelse med længder af vektorerne. Eksempel 0 (Længder af vektorer) Vi kigger nu på vektoren 4 u = 6. 8 Længden af v er: u = = = 6 = 6 = 6 = 4. Men vi ved, at u = 4 4. Vi kan faktisk udregne længden af den angivne vektor og gange 4 på bagefter. Det vil altså sige: u = = = 4. Dette var en meget mere behagelig måde, at gøre tingene på. KAPITEL 4. VEKTORER OG MATRICER
16 Eksempel (Længder af vektorer) Vi kigger nu på to andre vektorer: v = og w = Vi kan omskrive begge disse vektorer: v = og w = 6. Lad os nu udregne længden af v: v = + + ( ) = + + = = =. Vi ser, at v er en enhedsvektor, da den har længde. Vi kigger nu på w: w = = = 6 6 = 6 = 6. Vi ser altså meget nemt, at w har længden 6. Samme teknik er mulig at bruge for matricer. Vi skal dog være opmærksom på, at det er ALLE indgange i matricen, der påvirkes, når vi tager en konstant ud. Vi tager jo ikke rigtigt længden af en matrix, så hvad kan det bruges til? Jo, det kan måske hjælpe med at gøre multiplikationer lettere. Eksempel (Rotationsmatricer) Betragt en rotationsmatrix, som roterer vektorer med 4 grader. ] Her går [ igen i alle indgange, så vi kan hive denne snøvs ud af matricen: [ ]. Så hvis vi har en vektor, vi vil rotere, f.eks. [ ] r =, kan vi blot gange den på ovenstående matrix og slutte af med at gange sidst: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 = =. + på til KAPITEL 4. VEKTORER OG MATRICER 6
17 Man kan så gange brøken ind, hvis man gider. Dette kan være meget nt, hvis der er kvadratrødder, som alle er ens. Dermed kan man slippe for at skrive dem alle og blot nøjes med. KAPITEL 4. VEKTORER OG MATRICER 7
18 De n dødssynder I dette kapitel kigger vi kort på, hvad studerende nogle gange gør, som er så forkert, at det burde resultere i en billet til helvede. Eller måske ikke så galt, I er jo søde mennesker det meste af tiden, men fejlene skal altså kses! Jeg har valgt at kalde afsnittet 'De n dødssynder', da jeg ikke vil sætte tal på antallet af disse dummefejl. Hvis du synes noget mangler, så kontakt mig gerne.. Plus mellem brøker De este ved godt, at brøker skal have fælles nævner, før vi kan lægge tællerne sammen, så hvorfor laver I stadig dumme ting. Lad os kigge på to eksempler: + 7 = = 6 FORKERT = = = = = 4 RIGTIGT Husk det nu. Forlæng brøkerne, så de ender med samme nævner.. Plus mellem kvadratrødder Som om plus mellem brøker, hvor nævnerne ikke passer, ikke er fjollet nok, så er der dælme også nogle, der prøver at splitte kvadratrødder op med plus. Lad os kigger på to eksempler igen: = = + 4 = 7 FORKERT = = RIGTIGT Lad være med at være fjollet. Du må kun splitte kvadratrødder op, når et tal er ganget på, og i det tilfælde skal kvadratrødder også ganges på hinanden.. Kvadratet af en parentes Studerende bliver ved med at fucke up i ere tilfælde med denne. Lad være med det. Den ene er, at de glemmer, at en potens påvirker alt i en parentes: (x) = x (x) = x FORKERT RIGTIGT Husk det nu. Parenteser spiller en vigtig rolle i matematik, derfor er det altid vigtigt at huske dem. F.eks. i dette tilfælde, som fucker med mange studerende: = 9 FORKERT = 9 RIGTIGT ( ) = 9 FORKERT ( ) = 9 RIGTIGT 8
19 .4. GANGE IND I PARENTESEN Det er altså meget vigtigt, at I husker at bruge parenteserne, ellers kan man ende med et helt andet resultat i sidste ende. Vi snakker liv eller død her..4 Gange ind i parentesen Nu bliver du vel lidt kålhøgen, men der er folk, der ikke kan nde ud af dette. 0(x + ) = 0x + FORKERT 0(x + ) = 0x + 0 RIGTIGT Husk, at det, der er ganget på en parentes, påvirker ALLE LED inden i parentesen. Ikke kun det første led.. Faktorudligning i brøker Om jeg begriber, at jeg bliver nødt til at sige det her, men der er mange, der laver den her skodfejl. Hvis du har noget stående i nævneren, så skal alle led i tælleren divideres med dette: x + x x x + x x x + x x = x + x FORKERT = x + FORKERT = x(x + ) x = x + RIGTIGT KAPITEL. DE N DØDSSYNDER 9
Løsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merepotenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3
Læs mereSammensætning af regnearterne
Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereIndhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.
Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver
Læs merebrikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereBogstavregning. Kvadratsætninger: Når man snakker om hvad kvadratsætninger er der snakke om tre forskellige slags kvadratsætninger
Bogstavregng Regng med parteser: Man skal her tænke tilbage til hvad man lærte på matematik C omkrg gange d i parteser. At man tager tallet der stå udfor partes og ganger med hvert led de i partes sådan
Læs mereEn uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12
7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt
Læs mereBasal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:
Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merepotenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTal og Regneoperationer
Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTal og Regneoperationer
Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs meredynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereKap 5 - beviser - matematikb2011
Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereDe 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.
Læs mereALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER
ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereKapitel 5 Renter og potenser
Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring
Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mere4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.
. Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereVejledning til Excel 2010
Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereformler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mere