Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 1/12. Cepheider
|
|
- Gerda Bech
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 1/12 Cepheider Af Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf Oktober 2017
2 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 2/12 Indholdsfortegnelse Cepheider...3 Introduktion...3 Størrelsesklassebegrebet...3 Afstandsbestemmelse...4 HR-diagrammet...6 κ-mekanismen...7 Cepheiders indre karakteristika...7 Sammenfatning...8 Andre Cepheidetyper...9 Eksempel - δ Ceph...9 Referencer...11
3 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 3/12 Cepheider Introduktion Mange (alle?) stjerner pulserer på en eller anden måde. En bestemt klasse af pulserende stjerner kaldes for cepheider. De er opkaldt efter δ Ceph, som var den anden fundne stjerne af den type pulsering. Den først fundne cepheide-stjerne hedder η Aql, og den blev opdaget af Edward Pigott 10/ Den anden opdagelse af δ Ceph blev kort tid efter opdaget af John Goodricke. Det er denne typer cepheider, som beskrives i denne note. Henrietta S. Leavitt opdagede i 1908 ved at observere cepheider i ca. samme afstand, at deres tilsyneladende gennemsnitslysstyrke, m, og deres periode, P, hang sammen på en simpel måde. 4 år senere kom den danske astronom Ejnar Hertzsprung med den første kalibrering af periode og absolutte gennemsnitslysstyrke, M. En typisk lyskurve for en cepheide ser ud som på illustration aksen viser den tilsyneladende størrelsesklasse, og derfor er tallene faldende for stigende lysstyrke. Illustration 1: Lyskurver for cepheider. E. Hubble har lavet disse grafer. Kilde:[1] Cepheider lyser ganske voldsomt, og derfor er de velegnede til at finde afstande til meget fjerne galakser. Derfor vil vi nedenfor gennemgå nogle formler, der gør det muligt at bestemme afstande til cepheider. Størrelsesklassebegrebet Hipparchus observerede stjerner og opdagede, at de ikke lyser lige kraftigt. Han indførte derfor 6 størrelsesklasser, for at kvantificere stjernernes lysstyrke. De kraftigste stjerner fik tildelt størrelsesklassen 1, mens de svageste fik størrelsesklassen 6. Altså, jo større størrelsesklasse, des svagere lys fra stjernen.
4 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 4/12 Da kameraet blev opfundet (og kikkerten også var introduceret af Galilei) reviderede Norman Pogson størrelsesklassebegrebet, og hans definition gælder i dag. Han definerede at forholdet mellem to stjerners målte intensiteter (også kaldet tilsyneladende luminositet) afhænger eksponentielt af deres målte størrelsesklasser. Grunden til, at man får en sådan funktion er, at hjernen opfatter lys på en logaritmisk måde. Formlen lyder l 1 =2,5119 m2 m 1. l 2 Den absolutte luminositet, L, af en stjerne hænger sammen med den tilsyneladende luminositet via afstandskvadratloven. Skrevet som formel l= L 4 π d. 2 Ovenfor er d afstanden til stjernen. Man definerer den absolutte bolometriske størrelsesklasse, M, som den målte tilsyneladende størrelsesklasse, hvis man er i afstanden 10 pc. (1 pc = 3, m.) Dvs. M = m(10 pc.) Denne definition kan bruges til at sammeknytte m, M og d i én formel. Hvis man måler m og på anden vis kan finde M, kan man altså bestemme afstanden til en stjerne. Afstandsbestemmelse Vi forestiller os at observere en stjerne, og vi ønsker at finde dens afstand. Vi benytter definitionen af størrelsesklasse, afstandskvadratloven samt definitionen af absolut størrelsesklasse. Det giver l(d)= L L pc) l(10 pc)= l(10 =2,5119 m M π d 4 π (10 pc) l(d) ( pc) d log( ( pc) d 2 =2,5119m M 100 )=(m M) 0,4 2 log(d) 2=(m M) 0,4 5 log(d) 5=m M. Ovenfor er det underforstået, at enheden for d er pc. Det er principielt en simpel sag at måle m, så hvis vi kan finde M for stjernen, så kan vi straks bestemme dens afstand d under forudsætningen af, at der ikke er interstellar absorption mellem os og stjernen. Øvelse a) Gennemgå beregningerne ovenfor i detalje. b) Isoler afstanden d i den sidste formel. I dag er den accepterede sammenhæng mellem den gennemsnitlige absolutte størrelsesklasse, M, og cepheidens periode P, målt i døgn, til M V = 2,78 log(p(d)) 1,35. (Kilde: ESA/ESO-exercises eller [5].) Indeks V betyder, at størrelsesklassen gælder i V-båndet, som er et grønt filter, man kan lægge foran sin detekter. Man skal altså også måle m V, (man kalder også m V for 'V') for at beregne afstanden d. Hvis man ønsker at bestemme stjernes absolutte luminositet, skal man bruge M og ikke M V. Man kan beregne M ved hjælp af formlen M bol = M V + B.C. og B.C. kan beregnes, når man kender temperaturen. Se formel (3). [4] B.C. kaldes for den bolometriske korrektion og den omtales nedenfor.
5 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 5/12 M er altså et mål for al den strålingsenergi, som stjernen udsender, mens M V er et mål for den strålingsenergi, som opfanges i et bestemt bølgelængdeområde. Når vi måler lyset fra stjernen, er der sket absorption i kikkertoptikken samt i atmosfæren. Stjerner lyser i vidt forskellige bølgelængdeintervaller, da bølgelængdefordelingen af lyset afhænger stærkt af stjernernes temperaturer. En CCD-detektor, som måler det indkomne lys, er heller ikke lige følsom i alle bølgelængdeområder. Derfor måler vi ikke M direkte. I praksis måler man stjernens tilsyneladende størrelsesklasse gennem forskellige farvefiltre. Et system er UBVRI-systemet. (Ultraviolet, Blå, Visuel, Rød, Infrarød.) Foruden at måle gennem disse filtre, måler man på en række standardstjerner, som har kendte størrelsesklasser i de forskellige farvebånd. Derved kan man kalibrere sit udstyr, så man uanset udstyr får ensartede størrelsesklasser i de forskellige farvebånd. For at finde størrelsesklassen for alle bølgelængder, skal man benytte den tidligere nævnte størrelse, B.C., den bolometriske kor-rektion, som skal adderes til V-størrelsesklasserne. Den bolometriske korrektion afhænger kraftigt af stjernens temperatur, så den varierer fra stjerne til stjerne - og man skal altså have et mål for stjernens temperatur. Den kan findes, hvis man har målt både B- og V- størrelsesklassen. B.C Bolometrisk korrektion (K) mamajeks_data fittet_kurve Illustration 2: Den blå er modellers værdier for B.C. mens den røde er den bedst tilpassede kurve for temperaturer under 25 kk.modeldata (blå kurve) er taget fra [9]. Det viser sig, at temperaturen er givet ved formlen 8540 K = (B V )+0,865. [8] Den bolometriske korrektion er i Astrophysical Quantities [4] givet ved udtrykket B.C.=42,54 10 log( eff ) eff. Hvis man er interesseret i temperaturområdet omkring cepheiderne, som vi jo er, er nedenstående formel mere præcis. B.C.=44,8 9,96 log( ) 2,60 log( 5800 K ) K. 0,945 Illustration 2 og 3 viser de to modelkurver.
6 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 6/12 Bolometrisk korrektion Model og beregning fra Astrophysical Quantities B. C modeldata fra_astr_quantities Illustration 3: Her er røde kurve modellen fra Astrophysical Quantities. HR-diagrammet Et Hertzsprung-Russell-diagram, forkortet HR-diagrammet, er f. eks. en (, log(l))-kurve, hvor er stjernens overfladetemperatur og L er stjernens absolutte luminositet - også kaldet dens effekt. Det viser sig, at stjernerne placering i dette diagram siger en del om, hvad der foregår inde i dem. På den såkaldte hovedserie, som er markeret med grønt i illustration 4, foregår der hydrogen-fusion i stjernernes indre, mens der i gigantfaserne foregår helium-fusion. Man kan finde cepheiderne i det såkaldte ustabilitetsspor, og stjernerne er alle forsvundet fra hovedserien. Se illustration 4. Der findes flere typer Cepheider, men her vil vi kun betragte de klassiske typer af population I-stjerner. Cepheiderne ligger i toppen af det røde område, dvs. de har temperaturer i intervallet ~6-10 kk og deres middelradier er i intervallet ~ solradier. Illustration 4: HR-diagram. Det røde område viser hvor blandt andet cepheider findes. Kilde: [2].
7 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 7/12 κ-mekanismen Grunden til, at disse stjerner pulserer, skyldes en speciel mekanisme, som kaldes κ-mekanismen. I cepheiden findes et lag af ioniseret helium. Enkelt ioniseret helium, He +, har en god evne til at lade lys passere, mens dobbeltioniseret helium, He 2+ er ganske uigennemtrængeligt for stråling. Når stjernen har sin mindste radius, er den varmest. Derfor er der energi nok til at dobbeltionisere helium. Lyset kan ikke trænge igennem dette plasma, og det udadgående strålingstryk stiger derfor voldsomt. På et tidspunkt vil strålingstrykket overstige det nedadgående tryk fra gassen, der ligger over det ioniserede helium-område, og derfor vil stjernen udvide sig ret hurtigt. Når en gas udvider sig, afkøles den. Derfor vil stjernens temperatur aftage under ekspansionen, og en del af de dobbeltioniserede helium-atomer vil rekombinere med mindst en elektron. Derfor vokser gennemskinneligheden, og sollyset kan derfor undslippe stjernen. Den har altså en stor udstråling. Pga. den afgivne strålingsenergi falder strålingstrykket og det indadgående tryk fra gravitationen bliver atter størst - stjernen trækker sig sammen. Så stiger temperaturen igen, og der kommer flere dobbeltioniserede helium-atomer, og det hele starter forfra. For at der kan blive varmt nok i stjernens ydre dele til at dobbeltionisering af helium kan forekomme, skal stjernen have en vis størrelse. Det viser sig, at Solen er for let, så den vil aldrig opleve en periode som cepheide. Cepheiders indre karakteristika Det er også lykkes at finde en sammenhæng mellem en cepheides middelradius, R, og dens periode. Denne relation lyder log ( R R )=0,680 log(p(d))+1,146. [3]. Det er tydeligt at se, at selv for kortperiodiske cepheider, er deres radier væsentligt større end Solens radius. De er kæmpestjerner, hvad vi jo i forvejen vidste udfra deres placering i HR-diagrammet. Vi kan bruge Pogsons definition af størrelsesklasser til at finde cepheiders middeltemperatur og gennemsnitlige absolutte luminositet ved at sammenligne med en kendt stjernes værdier - for eksempel for Solen. Solens absolutte luminositet L = 3, W, dens absolutte størrelsesklasse M = 4,78 og dens effektive 1 temperatur = 5,8 kk. Først starter vi med at finde en relation mellem to stjerners absolutte størrelsesklasser og luminositeter. L 1 l 1 = L π d l = L π d l 1 =2,5119 m 2 m 1 4 π d 2 l 2 ( 1 2) L ( 2 4 π d 2 2) =2,5119 m 2 m 1 ( L d L 2 d 1 2) =2,5119m 2 m 1 L 1 =2,5119 M 2 M 1. L 2 1 Den effektive temperatur forstås som den temperatur, der giver det bedste Planckkurvefit til stjernespektret. For Solens vedkommende har den denne temperatur nogle hundrede km nede i fotosfæren.
8 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 8/12 Ved sidste beregning ovenfor, har vi sat afstandene mellem de to stjerner til 10 pc, og dermed kan vi indsætte deres absolutte størrelsesklasser på m 1 og m 2 's pladser. Bemærk, at i formlen ovenfor skal den bolometriske størrelsesklasse indsættes. Den bolometriske størrelsesklasse er et mål for den samlede lysudsendelse fra stjernen, mens M V kun dækker lyset, der kan passere det grønne (visuelle) filter. Sammenhængen mellem de to størrelsesklasser er M bol = M V + B.C., hvor B.C. er en korrektionsfaktor. Faktoren er negativ. Den kan beregnes, eller man kan slå den op i et opslagsværk. Øvelse Gennemgå beregningerne ovenfor i detalje. Hvis man anvender Solens værdier får man følgende sammenhæng for cepheidens absolutte lysstyrke L = 2,5119 4,78-M L. Endelig kan man, hvis man ikke har målt B-V, benytte Stefans lov beregne stjernens overfladetemperatur. L = L ( R 2 R ) ( 4 ) til at Sammenfatning Formlerne til at finde størrelsesklasse, afstand, radius, luminositet og temperatur er sammenfattet nedenfor. Absolut størrelsesklasse: M V = 2,78 log(p(d)) 1,35. (1) Bolometrisk størrelsesklasse M: M bol =M V +B.C. (2) Bolometrisk korrektion: B.C.=42,54 10 log( eff ) eller eff B. C.=44,8 9,96 log( ) 2,60 log( 5800 K ) K (3) 0, K Stjernes temperatur = (B V )+0,865 (4) Afstand: d=10 ( m M +5 5 ) pc (5) Absolut lysstyrke i middel: L=2,5119 4,78 M bol L (6) Gennemsnitsradius: log( R R )=0,680 log(p(d))+1,146 (7) Gennemsnitstemperatur: 1 = ( R R ) 2 ( L L ) 1 4 fra L=4 π R 2 σ 4 (8)
9 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 9/12 Andre Cepheidetyper De cepheider, som er dækket af ovenstående beskrivelse er alle stjerner af typen population I, dvs. det er stjerner, som har et stort indhold, Z, af tungere grundstoffer. Her betyder 'stort' at Z = 0,01-0,02. (Z er procentdelen af stjernens masse, der består af grundstoffer tungere end helium.) Hvis stjernen er en population II-stjerne har den et metalindhold, der er ca. en tiendedel af indholdet for population I-stjerner. Det giver sig også til kende i dens pulsationshastighed. Formlen bliver der M V = 2,78 log(p(d))+0,1. [5] & [6]. For samme periode lyser de altså ca. 1,5 størrelsesklasse svagere. Man kalder cepheider af denne type for W Vir stjerner. Man kan skelne de to cepheidetyper ved at undersøge deres lyskurver. Et eksempel kan ses i illustration 5. Illustration 5: il venstre δ Ceph. il højre W Vir. Læg mærke til udjævningen på den faldende del af kurven for W Vir. Størrelsesklasserne er ikke visuelle størrelsesklasser. (Maks-min værdierne i V-båndet er 3,48 og 4,37.) Wikipedia samt [6]. Endelig findes der også δ Scu-stjerner, RR Lyrae stjerner. Dem kan man læse mere om i [7]. Eksempel - δ Ceph I illustration 5 kan man se en lyskurve for δ Ceph. Perioden er 5,366 d. Middelstørrelsesklassen m aflæses til V = (3,48+4,37)/2 = 3,93. Udfra disse oplysninger kan vi nu beregne følgende størrelser: M V = -2,78 log(5,366)-1,35 = -3,38. Afstanden til stjernen er d=10 ( 3,93 ( 3,38)+5 5 ) pc=289 pc. Stjernens middelradius er R=R 10 0,680 log(5,366)+1,146 R =43,9 R =3, m=0,20 AU. For at finde temperaturen og den absolutte luminositet skal vi løse ligningerne (2), (3), (6), (8) mht og L. (Hvis vi havde B, kunne (4) og anvendes til at finde.) 4 π R 2 σ 4 =2,5119 4,78 M L M= 3,38+(42,54 10 log( ) K ).
10 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 10/12 Man kan løse ligningerne grafisk eller i et godt CAS-værktøj. I nspire kan ikke beregne den rigtige løsning, så der laves i stedet for et regneark indeholdende kolonnerne,, M samt beregningerne for (5) og (7). Herunder er der et eksempel på tabellen og i illustration 7 er grafen tegnet efter at 2. aksens værdier er blevet korrigeret. L= 4 π R2 σ 4 M L L=2,5119 4,78 M ΔL rel ,84 1, , Illustration 6: Både 3.- og 4. kolonne er målt i enheder af Solens absolutte luminositet. Dermed får man en middeltemperatur på = 5,84 kk og en middelluminositet L = 2,0 kl. Udfra resultaterne er det tydeligt at se, at cepheiden er enorm i forhold til Solen, både mht. middelradius og absolut luminositet. Det er derfor, at cepheider er så nyttige, når man skal bestemme kosmologiske afstande δ Ceph L/LꙨ l_stefans_lov l_bolometrisk (K) Illustration 7: I grafen er den absolutte luminositet beregnet vha. (6) og (8). Skæringspunktet angiver stjernens temperatur og absolutte luminositet. Øvelse. Strålingsvariationen for δ Cep. Antag at cepheidens temperatur ikke varierer ret meget, så du kan sætte den til =5,84 kk. a) Beregn den bolometriske korrektion. b) Find den tilsyneladende visuelle størrelsesklasse, når stjernen lyser kraftigst. c) Beregn den bolometriske størrelsesklasse. d) Beregn cepheidens maksimaludstråling. Sammenlign med middelluminositeten. e) Hvor meget ændrer stjernens radius sig? Ovenstående overslag ændrer sig naturligvis, hvis man inkluderer den temperaturvariation stjernen gennemgår.
11 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 11/12 Referencer Ap. J, 512, , Gieren et al. Calibrating the Cepheid Period-Radius Relation with Galacatic and Magellanic Cloud Cepheids. 4. C. W. Allen, Astrophysical Quantities, 3 rd edition, Athlone Press, Cepheid-period. 6. Hofffmeister et al, 1985, Variable Stars. ( 7. Kurtz et al, Asteroseismology, Springer Verlag he Astrophysical Journal Supplement, Volume 208, Issue 1, article id. 9, 22 pp. (2013). 10. Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics.
12 Cepheider. Af Michael A. D. Møller. Oktober side 12/12 Illustration 8: Pickerings computere. Henrietta Swan Leavitt sider under grafen på væggen. [10].
Astronomernes værktøj
Astronomernes værktøj Teleskoper Spejlkikkerter Refraktorer Kikkertens fordele Den samler lys ind på et stort overfladeareal i forhold til øjet. Den kan opløse små detaljer bedre end øjet kan gøre. Den
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 010 Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 010 Computerøvelse (brug MatLab) Det er tanken at I - i forbindelse med hver øvelsesgang - får en opgave som kræver
Læs mereFormelsamling i astronomi. Februar 2016
Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereMODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING
MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-
Læs mereSTJERNEMODEL. Hydrodynamik. Termodynamik. Kernefysik. Atomfysik. Strålings teori. Numeriske teknikker. Matematik. Elementar partikelfysik
Strålings teori Termoynamik Atomfysik Kernefysik Hyroynamik Matematik STJENEMODE Numeriske teknikker Stjerners egenskaber Svingnings perioer Elementar partikelfysik Stjernehobe OBSEVATIONE Solneutrinoer
Læs mereFormelsamling i astronomi. November 2015.
Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske
Læs mereMåling af afstande i Universet ved hjælp af Cepheider
1 Afstandsmåling ved hjælp af Cepheidemetoden. Måling af afstande i Universet ved hjælp af Cepheider Denne øvelse er baseret på materiale oprindeligt udarbejdet af Fabrice Mottez (Frankrig) i 2003, med
Læs mereDenne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart.
Kære bruger Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Af hensyn til copyright indeholder den ingen fotos. Mvh Redaktionen Nye
Læs mereStjernetællinger IC 1396A
Galakser-Mælkevejen Mælkevejen Aktører: William Herschel (1738-1822) Jacobus Kapteyn (1851-1922) Harlow Shapley (1885-1972) Robert Trumpler (1886-1956) Edwin Hubble (1889-1953) Stjernetællinger Herschel
Læs mereAfstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk
1/7 Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk Afstandsstigen I astronomien har det altid været et stort problem at bestemme afstande. Først bestemtes afstandene til de nære objekter som Solen,
Læs mereBitten Gullberg. Solen. Niels Bohr Institutet
Solen Niels Bohr Institutet 1 Sol data Gennemsnits afstanden til Jorden Lysets rejse tid til Jorden 1 AU = 149 598 000 km 8.32 min Radius 696 000 km = 109 Jord-radier Masse 1.9891 10 30 kg = 3.33 10 5
Læs mereExoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November side 1/6
Exoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November 2011. side 1/6 Exoplanetdetektion I denne øvelse skal du måle en lyskurve for en stjerne, når den krydses af en af sine planeter. Dataene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus
Læs mereUndersøgelse af lyskilder
Felix Nicolai Raben- Levetzau Fag: Fysik 2014-03- 21 1.d Lærer: Eva Spliid- Hansen Undersøgelse af lyskilder bølgelængde mellem 380 nm til ca. 740 nm (nm: nanometer = milliardnedel af en meter), samt at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus
Læs mereKosmologi supplerende note
Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 1/10 Kosmologi supplerende note Denne note omhandler skalafaktoren for Universets ekspansion, og i modellen er inkluderet de seneste
Læs mereMODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET
MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og
Læs mereAfstandsbestemmelse i Universet med SN Ia-metoden
Afstandsbestemmelse i Universet med SN Ia-metoden Denne øvelse blev oprindeligt produceret af J.-C. Mauduit & P. Delva, inspireret af en tilsvarende øvelse af N. Ysard, N. Bavouzet & M. Vincendon i Frankrig.
Læs mereBig Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole)
Big Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole) Har du nogensinde tænkt på, hvordan jorden, solen og hele universet er skabt? Det er måske et af de vigtigste spørgsmål, man forsøger
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereKapitel 6. Solen og andre stjerner
Astronominoter 2000. Lærer: Michael A.D. Møller. Side 6-1 Kapitel 6. Solen og andre stjerner 6.1. Introduktion Når man observerer en stjerne på himmelen, afhænger det sete i høj grad af det udstyr, man
Læs mereUdarbejdet af, Michael Lund Christensen og Dennis Nielsen: Favrskov Gymnasium for Aktuel Naturvidenskab, maj 2017.
Udarbejdet af, Michael Lund Christensen og Dennis Nielsen: Favrskov Gymnasium for Aktuel Naturvidenskab, maj 2017. Link til artiklen: http://aktuelnaturvidenskab.dk/fileadmin/aktuel_naturvidenskab/nr-4/an4-2015kemimellem-stjern.pdf
Læs mereSOLOBSERVATION Version
SOLOBSERVATION Version 3-2012 Jørgen Valentin Enkelund JVE januar 2012 1 SOLOBSERVATION INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Solen Vores nærmeste stjerne 2. Elektromagnetisk emission fra brint 3. Egne observationer
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereKlimamodel for en planet. Illustration 1: Foto: Mario Hoppmann.
Klimamodel for en planet Illustration 1: Foto: Mario Hoppmann. Af Michael Andrew Dolan Møller August 2017 Klimamodel for planeter. Af Michael Andrew Dolan Møller. August 2017. side 1/13 Indholdsfortegnelse
Læs mereHubble relationen Øvelsesvejledning
Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger
Læs mereKvalifikationsbeskrivelse
Astrofysik II Kvalifikationsbeskrivelse Kursets formål er at give deltagerne indsigt i centrale aspekter af astrofysikken. Der lægges vægt på en detaljeret beskrivelse af en række specifikke egenskaber
Læs mereKnud Erik Sørensen HAF Variable stjerner af stor historisk og praktisk betydning
Variable stjerner af stor historisk og praktisk betydning 1 Hvorfor hedder det en cepheide? Navn efter stjernen δ-cephei Binær, 891 ly, næstnærmeste cepheide. Opdaget 1784 af Goodricke Regelmæssigt varierende
Læs mereOptisk gitter og emissionsspektret
Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................
Læs mereForsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde
Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde Formål Formålet med denne forsøgsrække er, at vise mange aspekter inden for emnet lys med udgangspunkt i begrænset materiale. Formålet med forsøget er at beregne
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereResumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven
Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereMørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet
Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den
Læs mereStrålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave
LW 014 Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave FORMÅL: At undersøge den aktuelle strålingsbalance for jordoverfladen og relatere den til drivhuseffekten. MÅLING AF KORTBØLGET STRÅLING
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereSpektroskopi af exoplaneter
Spektroskopi af exoplaneter Formål At opnå bedre forståelse for spektroskopi og spektroskopiens betydning for detektering af liv på exoplaneter. Selv at være i stand til at oversætte et billede af et absorptionsspektrum
Læs mereKapitel 6. Solen og andre stjerner
Astronominoter 2000. Lærer: Michael A.D. Møller. Side 6-1 Kapitel 6. Solen og andre stjerner 6.1. Introduktion Når man observerer en stjerne på himmelen, afhænger det sete i høj grad af det udstyr, man
Læs mereFagdidaktik 27. nov 2014
Fagdidaktik 27. nov 2014 Fra læreplanen - målene kunne orientere sig på stjernehimlen og kunne identificere planeter og udvalgte stjernebilleder kunne indsamle, bearbejde og fortolke astronomiske data
Læs mereTransit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen
Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereStjernernes død De lette
Stjernernes død De lette Fra hovedserie til kæmpefase pp-proces ophørt. Kernen trækker sig sammen, opvarmes og trykket stiger. Stjernen udvider sig pga. det massive tryk indefra. Samtidig afkøles overfladen
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereLysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse:
Lysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Der findes en række forskellige elektromagnetiske bølger. Hvilke bølger er elektromagnetiske bølger? Der er 7 svarmuligheder.
Læs mereVariable stjerner. Teori og observationer.
Variable stjerner Teori og observationer. Hvad er variable stjerner. Variable stjerner er stjerner, hvis lysstyrke ændres. Ændringer af klarheden kan være fra tusindedele af en størrelsesklasse til 20
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereAstronomidata med SIMBAD. At hente og anvende data fra Internettet til at datere Hyaderne.
Astronomidata med SIMBAD At hente og anvende data fra Internettet til at datere Hyaderne. Aladin s portal til data Man kan hente Aladin her: http://aladin.u-strasbg.fr/aladindesktop/ Programmet er java-baseret,
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs mereBrugen af billeder til databehandling SALSAJ SUCH A LOVELY SMALL ASTRONOMY-APPLET IN JAVA
Brugen af billeder til databehandling SALSAJ SUCH A LOVELY SMALL ASTRONOMY-APPLET IN JAVA Formål Hvorfor anvende astronomiske billeder i undervisningen? For at demonstrere hvordan information trækkes ud
Læs mereI dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen.
GAMMA Gammastråling minder om røntgenstråling men har kortere bølgelængde, der ligger i intervallet 10-11 m til 10-16 m. Gammastråling kender vi fra jorden, når der sker henfald af radioaktive stoffer
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereArbejdsopgaver i emnet bølger
Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller
Læs mereGUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1
GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereSpektralanalyse. Jan Scholtyßek 09.11.2008. 1 Indledning 1. 2 Formål. 3 Forsøgsopbygning 2. 4 Teori 2. 5 Resultater 3. 6 Databehandling 3
Spektralanalyse Jan Scholtyßek 09..2008 Indhold Indledning 2 Formål 3 Forsøgsopbygning 2 4 Teori 2 5 Resultater 3 6 Databehandling 3 7 Konklusion 5 7. Fejlkilder.................................... 5 Indledning
Læs mereStrålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen
Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereLøsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet
V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør
Læs mereDannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U.
Dannelsen af Galakser i det tidlige Johan P. U. Fynbo, Adjunkt Univers Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse Observationer af de første galakser Et dybt billede af himlen væk fra Mælkevejens
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereAfstande Afstande i universet
Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet
Læs mereDer påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.
Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er
Læs mereFagdidaktik 12. nov 2013
Fagdidaktik 12. nov 2013 Fagdidaktisk kursus 12. nov 2013 Kometjagt Solens rotationstid Introduktion til SalsaJ Afstanden til NGC 691 Vej Jupiter SOHO-data Formål: Kometsøgning Solens rotationstid Kometsøgning
Læs mereSeriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc
Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc På forbedringsvejlederuddannelsen anvender vi seriediagrammer til at skelne mellem tilfældig og ikketilfældig variation. Med et seriediagram
Læs mereBegge bølgetyper er transport af energi.
I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling(em-stråling). Herunder synligt lys, IR-stråling, Uv-stråling, radiobølger samt gamma og røntgen stråling. I skal stifte bekendtskab med EM-strålings
Læs mereUniversets opståen og udvikling
Universets opståen og udvikling 1 Universets opståen og udvikling Grundtræk af kosmologien Universets opståen og udvikling 2 Albert Einstein Omkring 1915 fremsatte Albert Einstein sin generelle relativitetsteori.
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereKom godt i gang med Fable-robotten
Kom godt i gang med Fable-robotten 1. Først skal du installere programmet på din computer. Gå ind på shaperobotics.com og under support vælger du download: Her vælger du, under PC App om du kører Windows
Læs mereHvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space
Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space Først lidt om naturkræfterne: I fysikken arbejder vi med fire naturkræfter Tyngdekraften. Elektromagnetiske kraft. Stærke kernekraft. Svage kernekraft.
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mere1. Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6%.
Kapitel 4 Øvelse 43 1 Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6% Konstantfaktoren er 117, fremskrivningsfaktoren er 1,61 og vækstraten er 61% 3 Konstantfaktoren er 0,84,
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereI dag. Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvilken betydning har skiven omkring det sorte hul?
Galakser 2014 F8 1 I dag Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvad er en quasar og hvordan ser spektret fra sådan en ud? Hvilke andre typer af aktive galakser findes der, og hvad er deres
Læs mereBegge bølgetyper er transport af energi.
I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling(em-stråling). Herunder synligt lys, IR-stråling, Uv-stråling, radiobølger samt gamma og røntgen stråling. I skal stifte bekendtskab med EM-strålings
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mereDrivhuseffekten. Hvordan styres Jordens klima?
Drivhuseffekten Hvordan styres Jordens klima? Jordens atmosfære og lyset Drivhusgasser Et molekyle skal indeholde mindst 3 atomer for at være en drivhusgas. Eksempler: CO2 (Kuldioxid.) H2O (Vanddamp.)
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereRøntgenspektrum fra anode
Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng
Læs mereIntroduktion til den afledede funktion
Introduktion til den afledede funktion Scenarie: Rutsjebanen Tilsigtede viden Bredere kompetencemål Nødvendige matematiske forudsætninger Tid Niveau Materialer til rådighed At give en forståelse for konceptet
Læs mereBig Bang Modellen. Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning.
Big Bang Modellen Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning. Jacob Nielsen 1 Varmestråling spiller en central rolle i forståelsen af universets stofsammensætning og udvikling. Derfor
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereSUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER
SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og
Læs mere