Vektorer. koordinatgeometri

Transkript

1 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

2 VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors endepnkt 6 Nlektor 7 LÄngde f ektor 8 Modst ektor4 9 TÄrektor 4 Tl gnge ektor5 Vektor pls ektor5 Vektor mins ektor6 rojektion6 4 rikprodkt7 5 rikprodkt: Vinkelret?7 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer8 7 rikprodkt: rojektion f ektor8 8 Determinnt9 9 Determinnt: rllel? Determinnt: Arel Krydsprodkt Krydsprodkt: rllel? Krydsprodkt: Arel 4 Krydsprodkt: Vinkelret ektor KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje 6 Ligning for linje 4 7 Ligning for pln5 8 Ligning for cirkel 6 9 Ligning for kgle6 Afstnd fr pnkt til linje 7 Afstnd fr pnkt til pln 7 Vinkel mellem linjer7 Vinkel mellem plner8 4 Vinkel mellem sideflder 8 5 Vinkel mellem linje og pln 9 6 VilkÅrligt pnkt på linje 9 7 SkÄring mellem to linjer l og m 9 8 SkÄring mellem linje og cirkel 9 SkÄring mellem linje og kgle 4 SkÄring mellem linje og pln 4 rojektion f pnkt på linje 4 rojektion f pnkt på pln 4 Tngent til cirkel 44 Tngentpln til kgle BEVISER 45 Beis for t i må prikke ind i en prentes 46 Beis for formel Beis for t i får nl når i prikker med nlektor 48 Beis for t inkelrette ektorer hr sklrprodkt nl 49 Beis for formlen for projektion f ektor 4 5 Beis for prmeterfremstilling for en linje 4 5 Beis for ligning for linje 5 5 Beis for ligning for pln 5 5 Beis for ligning for cirkel 5 54 Beis for ligning for kgle 5 En tidligere ersion f dete häfte hr skiftet dresse til Denne tidligere ersion indeholder mnge Åelser Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge Ç 4 Krsten Jl Nyeste ersion f dette häfte kn donlodes fr mtdk/noterhtm HÄftet mé rges i nderisningen his läreren med det smme sender en e-mil til kj@mtdk som oplyser t dette häfte enyttes, og oplyser hold, nie, lärer og skole /5-5

3 Koordinter til pnkt i plnen Koordintsystem i plnen Figren iser et koordintsystem i plnen De to koordintkser er inkelret på hinnden Begyndelsepnkt O Begyndelsespnktet er koordintksernes skäringspnkt Bogstet O rges ofte til t etegne egyndelsespnktet O hr koordintsättet (,) VEKTORER c KoordintsÄt til pnktet Q Vi nringer et flytrt pnkt i O O Vi forskyder pnktet 5 enheder i x-ksens retning så det kommer fr O til NÅr i forskyder 5 enheder i x-ksens retning, så lier x-koordinten 5 enheder stçrre NÅr i forskyder i x-ksens retning er det kn x-koordinten der Ändres AltsÅ hr koordintsättet ( 5,) Fr forskyder i pnktet enhed i y-ksens retning så det kommer fr til Q NÅr i forskyder enhed i y-ksens retning, så lier y-koordinten enhed stçrre NÅr i forskyder i y-ksens retning er det kn y-koordinten der Ändres AltsÅ hr Q koordintsättet ( 5,) Det fçrste tl i koordintsättet er pnktets x-koordint Det ndet tl i koordintsättet er pnktets y-koordint d KoordintsÄt til pnktet R Å den Çerste figr kn i kn komme til R ed t strte i O, forskyde i x-ksens retning og forskyde 4 i y-ksens retning Derfor er R (, 4) Koordinter til pnkt i rmmet Koordintsystem i rmmet Figren iser et koordintsystem i rmmet De tre koordintkser er inkelret på hinnden Begyndelsepnkt O Begyndelsespnktet er koordintksernes skäringspnkt Bogstet O rges ofte til t etegne egyndelsespnktet O hr koordintsättet (,,) Det hedder et pln, ikke en pln, men i geometri er egge dele korrekt I eksmensopger skries en pln c KoordintsÄt til pnktet R Q Vi nringer et flytrt pnkt i O x Vi forskyder pnktet 5 enheder i x-ksens retning så det kommer fr O til NÅr i forskyder 5 enheder i x-ksens retning, så lier x-koordinten 5 enheder stçrre NÅr i forskyder i x-ksens retning er det kn x-koordinten der Ändres AltsÅ hr koordintsättet ( 5,, ) Fr forskyder i pnktet enhed i y-ksens retning så det kommer fr til Q NÅr i forskyder enhed i y-ksens retning, så lier y-koordinten enhed stçrre NÅr i forskyder i y-ksens retning er det kn y-koordinten der Ändres AltsÅ hr Q koordintsättet ( 5,, ) Fr Q forskyder i pnktet enheder i z-ksens retning så det kommer fr Q til R NÅr i forskyder enheder i z-ksens retning, så lier z-koordinten enheder stçrre NÅr i forskyder i z-ksens retning, er det kn z-koordinten der Ändres AltsÅ hr R koordintsättet ( 5,,) Det fçrste tl i koordintsättet er pnktets x-koordint Det ndet tl i koordintsättet er pnktets y- koordint Det tredje tl i koordintsättet er pnktets z-koordint BemÄrk t pnkterne R og T ligger lige lngt oer xy-plnen som indeholder x-ksen og y-ksen Afsnit fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl R R z y T O Q (5,) R (, 4) S Q R (5,,) S (,4, ) x y

4 d KoordintsÄt til pnktet S Å den nederste figr på side kn i komme til S ed t strte i O, forskyde i x-ksens retning, 4 i y-ksens retning og i z-ksens retning Derfor er S (, 4, ) Vektor: Definition, sprogrg, mm En ektor er en pil His i forskyder en pil den t dreje den, så er pilen stdig smme ektor En ektor kn etegnes med et lille ogst med pil oer c Å figrerne f og g gälder: Vektorerne og er smme ektor, for de kn forskydes oer i hinnden d de hr smme längde og smme retning Vektorerne og c er ikke smme ektor d de hr forskellig längde Vektorerne d og e er ikke smme ektor d de hr forskellig retning d Å figr f går ektoren fr pnktet til pnktet Q SÅ kn denne ektor etegnes med Q Der gälder t Q og Q e NÅr en ektor er nrgt så den går fr et pnkt til et pnkt Q, så siger i: er ektorens strtpnktog er Q ektorens sltpnkt NÅr i fsätter ektoren d fr, så er dens sltpnkt Q Q d c h En firknt ABCD er et prllelogrm netop his AB DC 4 Vektor: Koordinter 4 Vi kn få en ektors koordintsät ed t träkke strtpnktets koordinter fr sltpnktets koordinter 4 En ektors koordintsät skries lodret 4c NÅr A, ) og B, ), er 4d NÅr A,, ) og B,, ), er ( AB ( ( AB ( 4e Eksempel 4f Eksempel Å figr f er (5,) og Q (,) Å figr g er R (,, ) og S (,, ) så ds Figr f Q ( 5) og ds A B Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl så RS d 4g Dette koordintsät fortäller t går 4h Dette koordintsät fortäller t d går i x-ksens retning og i x-ksens retning, i y-ksens retning i y-ksens retning og Dette kn i også se på figr f i z-ksens retning Afsnit 4 fortsätter pé näste side! Dette kn i også se på figr g D C x R z e S Figr g d y

5 4i His en ektors strtpnkt er O(,), så er ektorens koordinter = sltpnktets koordinter En ektor er stedektor for et pnkt his den går fr O(,) til pnktet OA er stedektor for A 5 Koordinter til ektors sltpnkt x 5 NÅr A (, ) og x AB er 5 NÅr A (,, ) y og AB y z B x, ) B x, y, ) ( y ( z B B er A A 5c I ord kn de to formler dtrykkes sådn: NÅr en ektor er fst d fr et pnkt, og mn lägger ektorens koordinter til pnktets koordinter, så får mn koordinterne til ektorens sltpnkt 5d Eksempel 5e Eksempel (4,) Ud fr figren sltter i: x, y, ), 6 Nlektor 5 ( z r r r, ( x, y, z) r Med disse etegnelser får i d fr figren: x, y, z) ( x r, y r, z ) ( r 6 Vekoren med längde kldes nlektor og etegnes med o som er ogstet lille o med pil oer 6 I plnen er o, og i rmmet er o 6c Å en figr er nlektor et pnkt 7 LÄngde f ektor 7 Symolet etyder längden f ektoren B B ( 45, ) (9, ) r r x 7 NÅr x, er 7c NÅr y y, er z x y x y z,5 7d Opge Bestem längden f ektoren I rmmet er dregningerne de smme,6 ortset fr t der er tre koordinter Sr Se 7 Sr Sr,5,6,5,6,9 Afsnit 7 fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

6 7e Opge Bestem fstnd mellem A(,) og B (6,5) Sr Se 4c, 7 Sr Se 4c Sr Se 4i, 4c A (,) B(6,5) 6 ( ) AB 5 AB 8 ( 6) 8 6 Afstnd mellem A og B er I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk fläsning på figr AfsÄtter pnkter med A's og B 's koordinter Forinder disse med ektor MÅler elektronisk dennes längde Resltt er ligesom ed dregning 8 Modst ektor 8 Koordinter til modst ektor x En ektor x hr den modstte ektor En ektor y y hr den modstte ektor z x 8 x 8c y y z 8d Modst ektor på figr Den modstte ektor til hr smme längde som og hr modst retning f 8e Eksempel Å figren er SÅ er Se 8 ( ) 9 TÄrektor Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter 9 NÅr i drejer en ektor 9 mod ret, så får i ektorens tärektor Se figr 9 Vi skrier â er tärektoren til oer en ektor for t etegne tärektoren En ektor i rmmet hr IKKE en tärektor Dette skyldes t en ektor i rmmet kn drejes 9 på endelig mnge måder Vi kn ikke ide hilken f disse i skl rge â Afsnit 9 fortsätter pé näste side! Figr 9 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 4 Krsten Jl

7 9c Formel for tärektor Vi dregner koordinterne til tärektoren ed hjälp f fçlgende formel: x y 9d y x 9e Eksempel: His, er â Se figr 9 9f Eksempel D skl IKKE hske t reglen Figr 9g iser et kdrt er nr 9 D skl läse reglen, Af 9 får i hske den, og forsté t den rges her Det smme gälder 5 AB lle tilsrende henisninger Vi omskrier hçjresiden med Formel 9d og får AB 5 Af dette og Formel 5 får i B ( 7, ( 5)) AltsÅ er B ( 8, ) Tl gnge ektor Koordinter til k Vi gnger en ektor med et tl ed t gnge her f ektorens koordinter med tllet: D C 5 A(7,) B Figr 9g k k c k k k k k d k på en figr,5 er ensrettet med d,5 er positi,5 er,5 gnge så lng som er modst rettet d er negti er gnge så lng som e er nlektoren o f LÄngden f k er k gnge längden f Se 7c g k er ensrettet med his k er positi k er modstrettet his k er negti h His er o eller prllel med, så findes et tl k så er k Vektor pls ektor Koordinter til,5 Afsnit fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 4 Krsten Jl

8 c på en figr d på en figr His er fst i forlängelse f som på figr e, så er His og er fst d fr smme pnkt ektoren R som på figr f, og QRS er et prllelogrm, så er digonlen R lig fr 's strtpnkt til 's spids Q Q R R Figr e Figr f S g Eksempel Figr h iser tre ektorer Af regel c får i 8 7 Herf og f får i 8 ( 7) ( ) AltsÅ er 4 Vektor mins ektor Koordinter til Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 4 Krsten Jl c på en figr d på en figr His og er fst i forlängelse f His og er fst d fr smme pnkt, hinnden som på figr e, så er T lig så er ektoren fr 's spids til 's spids Å figr f, er SQ lig T Q Q Figr e Figr f S rojektion rojektion f pnkt på linje NÅr i fr et pnkt går inkelret ind på en linje l, kommer i til et pnkt l på l som i klder projektionen f på l SÅdn kn i tegne projektionen (plngeometri) For t tegne projektionen f et pnkt på en linje l tegner i den linje m som går gennem og er inkelret på l SkÄringspnktet mellem m og l er det pnkt l i klder projektionen f på l Afsnit fortsätter pé näste side! l 8 7 l Figr h

9 c rojektion f ektor på ektor Linjen l er prllel med NÅr i projicerer strtpnkt og sltpnkt for på l, så får i strtpnkt og sltpnkt for en ektor som i klder projektionen f på d rojektion f pnkt på pln NÅr i fr et pnkt går inkelret ind på en pln, kommer i til et pnkt i som i klder projektionen f på l 4 rikprodkt 4 rikprodktet f to ektorer og er et tl NÅr i kender koordinterne, kn i dregne prikprodktet ed hjälp f formlerne i rmmerne rikprodktet kldes også sklrprodktet Sklr etyder tl 4 4c 5 rikprodkt: Vinkelret? 5 Symolet läses er inkelret på eller og er ortogonle 5 netop når his herken eller er nlektor 5c Opge t og Bestem t så og er ortogonle Sr Uden hjälpemidler, se 4 Sr t t og er ikke nlektor så de er ortogonle netop når deres prikprodkt er t = t + = t = t = I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Her stér hd Nspire går i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen og er ortogonle når t Kontrol på kdreret ppir NÅr t = er Å kdreret ppir tegner i denne ektor og Med inkelmåler måler i inklen mellem ektorerne Vi får t inklen er 9, som den sklle Äre Afsnit 5c fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 4 Krsten Jl

10 Tnkegng g spçrgsmålet Å figren er den pnkterede linje inkelret på Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en Ärdi f t som ligger mellem og 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer 6 NÅr i fsätter to ektorer d fr smme pnkt, dnner de to inkler Den f inklerne der er mindre end eller lig 8, klder i inklen mellem ektorerne 6 NÅr er inklen mellem og, er cos( ) 6c NÅr p hr ligningen cos() = p netop Ün lçsning i interllet 8 Denne lçsning etegnes cos (p) I Nspire mé cos ikke skries 8 6d Opge og Bestem inklen mellem og som en potens Tegnet skl Älges pé tegnpletten Sr Se 6, 6c, 4, 7 8 Vinkel mellem og er 8 ( ) cos ( ) cos ( ) 8 ( ) 94,987 94,4 I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Sr Sr Kontrol ed elektronisk fläsning på figr 8 Vi tegner og Ved elektronisk måling f inklen mellem disse får i 94,987 Det er smme resltt som i fik ed dregning 7 rikprodkt: rojektion f ektor 7 rojektionen f på er 7 LÄngden f projektionen f på er Afsnit 7 fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 4 Krsten Jl

11 7c Symolet x läses den nmeriske Ärdi f x når x er et tl Der gälder, 4 4, 4 4,,5, 5,,5, 5, os er längden f fordi er en ektor er den nmeriske Ärdi f fordi er et tl 7d Opge og Bestem projektionen f på Sr,7 Sr Sr I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter,,7 Se 7, 4, 7, Kontrol ed elektronisk fläsning på figr Elektronisk konstrktion f ektor og d fr O(,) linje l gennem 's strt- og sltpnkt linje m som er inkelret på l og går gennem 's sltpnkt skäringspnkt mellem l og m ektor fr O til skäringspnkt Denne ektor er projektionen f på Dens koordinter er lig endepnkts koordinter d strtpnkt er O Vi fläser elektronisk sltpnkts koordinter Det er (-,, -,7), smme resltt som ed dregning 7e Opge og Bestem längden f projektionen på 5 I rmmet er dregningerne de smme Sr ortset fr t der er tre koordinter 5 ( ) 5 5 Se 7,4, 7, 7c 5 ( ) 5 Sr Sr 8 Determinnt Kn plngeometri 8 Determinnten det(, ) f to ektorer på er et tl NÅr i kender koordinterne, kn i dregne determinnten ed hjälp f formlen i rmmen To ektorer i rmmet hr ikke en determinnt 8 det(, ) Afsnit 8 fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 4 Krsten Jl

12 8c Opge 8 og Bestem det(, ) Sr Uden hjälpemidler, se 8 Sr Sr 8 det(, ) 8 ( ) 6 9 Determinnt: rllel? Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt 9 Symolet läses og er prllelle 9 netop når det(, ) his herken eller er nlektor 9c Opge 4 og Bestem t så og er prllelle t Sr Uden hjälpemidler, se 9, 8 Sr 4 t og er ikke nlektor, så de er prllel netop når det(, ) ( ) t 4 6t 4 = 6t = 4 6t t Tnkegng g spçrgsmålet Å figren er den pnkterede linje prllel med Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en Ärdi f t som ligger mellem og Her stér hd Nspire går i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen når t når t når t når t Determinnt: Arel Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er A det(, ) Se figr Afsnit fortsätter pé näste side! A Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

13 Opge 8 og Bestem rel f prllelogrm dspändt f og Sr Se, 8, 7c Sr 8 Arel f prllelogrm dspändt f og er det(, ) ( ) c Eksempel Arelet T f treknt ABC er T det( AB, AC) C d Eksempel En skä firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet Krydsprodkt Kn rmgeometri A T Krydsprodktet f to ektorer og er en ektor NÅr i kender koordinterne, kn i dregne krydsprodktet ed hjälp f formlen i rmmen Krydsprodktet kldes også ektorprodktet B Q S R Vi skl ide t denne formel findes Vi skl ikke hske formlen Vi il ltid rge Nspire til t dregne krydsprodkt c Eksempel 4 Dette er dregnet på Nspire ed t tste cross({,-,5},{-,6,4}) eller Krydsprodkt: rllel? Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt netop når o his herken eller er nlektor Eksempel 9 9 og Å Nspire dregner i D er nlektor, er og prllelle Krydsprodkt: Arel Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt cross, Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er A Afsnit fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

14 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl Eksempel og Å Nspire dregner i Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er ) ( A c Eksempel Arelet T f treknt ABC er AC AB T d Eksempel: En skä firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet e Opge Figr iser klods i koordintsystem med enhed dm GÇr rede for t t ABCD er et prllelogrm, og estem rel f ABCD Sr Se f, 4d, Sr Se f, 4d, A(,,) B(,,) C(,4,) D(,,) AB 4 DC D DC AB er ABCD et prllelogrm AD Arel f ABCD er 6,78 AB AD Arel f ABCD er 6,7 dm 4 Krydsprodkt: Vinkelret ektor Kn rmgeometri I plnen kn rges tärektor 4 Krydsprodktet f to ektorer er en ektor der er inkelret på egge ektorer: og 4 HÇjrehÅndsreglen: Gri om med hçjre hånd så fingrene peger fr til SÅ il pege i tommelfingerens retning x y z Q R S A B C T A(,,) B(,,) C(,4,) D(,,) D A B C x y z dregnet f Nspire

15 KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje r r r t 5 r l 5 x, ) ( x, ( y r r r t r r x, y, ) ( x, y, z) ( z r l r r NÅr ( x, er et pnkt på l og NÅr ( x, y, z) er et pnkt på l og r r r er prllel med l, så er fçlgende er prllel med l, så er fçlgende en prmeterfremstilling for l: en prmeterfremstilling for l: x x r 5c t y y r 5d x x y y z z r t r r 5e NÅr 5c er en prmeterfremstilling for l, 5f NÅr 5d er en prmeterfremstilling så gälder: for l, så gälder: ( y x, ) er et pnkt på l x, y, ) er et pnkt på l r r er prllel med l 5g Antg t x, y, r og r i c 5c er erstttet med 5h estemte erstttet med tl SÅ estemte gälder: tl SÅ gälder: His i indsätter et tl for t og dregner hçjresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 5i En ektor der er prllel med l, kldes en retningsektor for l 5j NÅr A og B er to forskellige pnkter på l, så er AB prllel med l ( z r r r er prllel med l 5k NÅr A er et pnkt på l og AB er prllel med l, så er B et pnkt på l 5l Opgetype: Bestem prmeterfremstilling for linje Metode: His der ikke er oplyst koordinter til et pnkt på linjen, så find koordinter til et pnkt på linjen His der ikke er oplyst koordinter til en ektor der er prllel med linjen, så find koordinter til en ektor der er prllel med linjen IndsÄt koordinter fr pnkt og ektor i 5c eller 5d 5m Eksempel En linje l går gennem pnkterne A(5,, ) og B (5, 7, 4) For t estemme en prmeterfremstilling for l rger i 5j, 4d og 5d D A og B ligger på l, er AB prllel med l Antg t x, y, z, r, r og r i 5d er erstttet med estemte tl SÅ gälder: His i indsätter et tl for t og dregner hçjresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 55 x 5 AB 7 7 så l hr prmeterfremstillingen y t z 4 A B l Afsnit 5 fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

16 5n Eksempel Linjen på figren hr prmeterfremstillingen x 7 t y 4 NÅr t = er NÅr t = er NÅr t =,5 er x = 7 + ( )( ) = 9 y = 4 + ( ) = x = 7 + ( ) = y = 4 + = x = 7 +,5( ) = y = 4 +,5 =,5 x 7 5o Opge l : t Ligger pnktet (, ) på l? (Se 5n) y 4 Sr Uden hjälpemidler (, ) ligger kn på l his der er et tl t så 7 + t( ) = 4 + t = Af fçrste ligning får i t = NÅr t = gier den nden lignings enstreside 4 D den ikke gier : (, ) ligger ikke på l 6 Ligning for linje Kn plngeometri 6 NÅr ( x, er et pnkt på l og er inkelret på l, så kn i estemme en ligning for l ed fçrst t sätte ind i formlen ( x, y ) ( x x) ( y og derefter gnge ind i prenteserne og träkke smmen så i får en ligning f typen x y c l 6 NÅr x y c er en ligning for l, så er ektoren inkelret på l 6c NÅr i kender tllene, og c i en ligning x y c for en linje l, så kn i ndersçge om et pnkt ligger på l ed t sätte pnktets koordinter ind for x og y i ligningen His ligningen lier snd, så ligger pnktet på l His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på l 6d En ektor der er inkelret på l kldes en normlektor for l 6e Opge l : x + y 4 = nktet (, ) ligger på l Bestem Se 6c Sr Uden hjälpemidler D (, ) ligger på linjen l med ligningen x + y 4 =, lier ligningen snd når i indsätter pnktet + 4 = = Afsnit 6 fortsätter pé näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 4 Krsten Jl

17 6f Opge En linje l går gennem pnkterne A(, 7) og B(,) Bestem ligning for l på formen x y c Se 5j, 9, 9d og 6 Sr Uden hjälpemidler 5 D A(, 7) og B(,) ligger på l, er l prllel med AB 7 6 ( 6) 6 SÅ er l inkelret på AB D ( x, (, 7) er et pnkt på l, og er inkelret på l, hr l ligningen 5 x x ) ( y y ) ( 6 ( x ) ( 5) ( y 7) 6x 5y 7 Ligning for pln Kn rmgeometri 7 NÅr ( x, y, z) er et pnkt i en pln, og er inkelret på, c så kn i estemme en ligning for ed fçrst t sätte ind i formlen ( x x) ( y c( z z) og derefter gnge ind i prenteserne og träkke smmen så i får en ligning f typen x y cz d 7 NÅr x y cz d er en ligning for, så er ektoren inkelret på c 7c NÅr i kender tllene,, c og d i en ligning x y cz d for en pln, så kn i ndersçge om et pnkt ligger i ed t sätte pnktets koordinter ind for x, y og z i ligningen: His ligningen lier snd, så ligger pnktet i His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke i 7d NÅr A og B er to forskellige pnkter i, så er AB prllel med 7e En ektor der er inkelret på, kldes en normlektor for 7f NÅr og er prllelle med, så er inkelret på his og ikke er prllelle, ds his ikke er nlektor 7g Opge A (,, 4), B(,,) og C(, 4, ) ligger i pln Bestem ligning for Se 4d, 7d, 7f, 7 Sr D A (,, 4), B(,,) og C(, 4, ) ligger i, er fçlgende to ektorer prllelle med : AB 5 og AC AB AC 5 Udregnet pä Nspire Denne ektor er inkelret på d den ikke er nlektor og AB og AC er prllelle med 8 D ( x, y, z) (,, 4) er et pnkt i, og 5 er inkelret på, hr ligningen c x x ) ( y y ) c( z z ) ( 8 ( x ) 5 ( y ) ( ) ( z 4) 8x 5y z c ( x, y, z) Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 4 Krsten Jl

18 8 Ligning for cirkel Kn plngeometri 8 ( x x ) ( y r er ligning for en cirkel med centrm C x, y ) og rdis r ( 8 NÅr er et pnkt på en cirkel med centrm C, er cirklens rdis r C Se 7e 8c Eksempel En cirkel hr ligningen ( x ) ( y 5) 9 Vi omskrier til formen 8 : ( x ) ( y ( 5) ) Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 8d Metode: NÅr i kender en ligning for en cirkel, så kn i ndersçge om et pnkt ligger på cirklen ed t sätte pnktets koordinter ind for x og y i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på cirklen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på cirklen 8e Opge En cirkel hr ligningen x x y y 7 Bestem centrm og rdis Sr Uden hjälpemidler x x y y 7 x x y 5 y 5 7 Se i 8f- hordn d kommer frem til näste linje ( x ) ( y 5) 9 Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 9 Se 8 Se i 8f- hordn d kommer frem til näste linje 8f Forklring til 8e 8f- Koefficienten til x er Hldelen er, og i nden er Vi lägger til egge sider Koefficienten til y er Hldelen er 5, og 5 i nden er 5 Vi lägger 5 til egge sider Konstntleddet er 7 Vi träkker 7 fr egge sider 8f- Koefficienten til x er Hldelen er Derfor skl der stå i fçrste prentes Koefficienten til y er Hldelen er 5 Derfor skl der stå +5 i nden prentes BemÄrk: IfÇlge kdrtsätninger er ( x ) x x og ( y 5) y 5 y BemÄrk: IndsÄttes x o =, y o = 5 og r= i ( x x ) ( y r, så får i ( x ) ( y 5) 9 8f- His x-led eller y-led mngler, ser omskriningen lidt nderledes d: x y y 7 x y 5 y 5 7 ( x ) ( y 5) 8 Centrm er (, 5) og rdis er 8 9 Ligning for kgle Kn rmgeometri 9 ( x x ) ( y ( z z) r er ligning for en kgle med centrm C x, y, ) og rdis r ( z 9 NÅr er et pnkt på en kgle med centrm C, er kglens rdis r C Se 7c og 7e 9c Eksempel En kgle hr ligningen ( x ) y ( z 5) 8 Vi omskrier til formen 9: Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 8 ( ) ( y ) ( y ( 5) ) x 9d Metode: NÅr i kender en ligning ( x x ) ( y ( z z) r for en kgle, så kn i ndersçge om et pnkt ligger på kglen ed t sätte pnktets koordinter ind for x, y og z i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på kglen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på kglen 9e Opge En kgle hr ligningen x x y z z 8 Bestem centrm og rdis Sr Se forklring i 8e-8f x x y z z 8 x x y z 5 z 5 8 ( x ) y ( z 5) 8 Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 4 Krsten Jl

19 Afstnd fr pnkt til linje Kn plngeometri Afstnden d fr et pnkt x, y ) til en linje l : x y c x y c d ( er l d Opge Bestem fstnd fr (, ) til linjen l : 4x y Sr Afstnden fr ( x, = (,) til linjen l : x y c med = 4, =, c = er x y c 4 8 =, 6 4 ( ) 5 Afstnd fr pnkt til pln Kn rmgeometri Afstnden h fr et pnkt ( x, y, z) til en pln : x y cz d er h h x y cz d Se c Vinkel mellem linjer His i kender retningsektorer r l og r m for linjer l og m, så find inklen mellem r l og r m SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og m dnner Se 6 og 6d r l m r m 8 l His i kender normlektorer n og n for to linjer l og l i plnen, så find inklen mellem n og n SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og l dnner Se 6 og 6d c His i for to linjer l og l i plnen kender en retningsektor r og en normlektor n, så find inklen mellem ˆr og n SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og l dnner Se 9d og 6 og 6d x 6 x 8 d Opge To linjer l og m er giet ed l : y 4 t og m : y s z 5 z 5 Bestem den spidse inkel mellem l ogm Se Sr x 6 x 8 l : y 4 t m : y s r l = r m = z 5 z 5 Af prmeterfremstillingerne ser i t r l er prllel l og t r m er prllel med m, så inklen mellem disse ektorer er en f de to inkler mellem l og m : = cos r m ( l r ( ) ) = cos ( ) = 95, ,9 rl r m ( ) D > 9 gälder: Den spidse inkel mellem l og m er 8 95,9 = Afsnit d fortsätter pé näste side! 84, Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 4 Krsten Jl

20 Sr Vinkel mellem plner Kn rmgeometri Find inklen mellem normlektorer n og n til to plner og SÅ il og 8 Äre de to inkler som og dnner Se 6 og 6d 4 Vinkel mellem sideflder Kn rmgeometri 4 Figren iser inklen mellem to flder NÅr i skl finde, finder i inkler mellem de to plner der indeholder flderne Der er to inkler og mellem disse plner His det ikke er oplyst om inklen mellem flderne er den spidse eller stmpe f inklerne mellem plnerne, så må i rge 4 n 4 Til den ene sideflde skl i finde en normlektor n der peger ind i inklen (Brg hçjrehåndsreglen 4) Til den nden sideflde skl i finde en normlektor der peger d f inklen (Brg hçjrehåndsreglen 4) Vinklen mellem n og n er inklen mellem sideflderne 4c (His egge ektorer peger ind i inklen, eller egge peger d, finder i en inkel som ikke dnnes f sideflderne De to plner der indeholder sideflderne, dnner inklerne og ) 4 Opge Flden BCD er indeholdt i plnen med ligningen y + z = Bestem den stmpe inkel mellem flderne ABC og BCD n n B z A(,,) B(,,) C(,,) Sr A x C D y Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 4 Krsten Jl

21 5 Vinkel mellem linje og pln Kn rmgeometri 5 FÇrst: Find inklen mellem en normlektor n til plnen og en retningsektor r til linjen SÅ: His er mindre end 9: Fr 9 träkkes for t få inkel mellem linje og pln His er stçrre end 9: Fr träkkes 9 for t få inkel mellem linje og pln Se 6 og 6d GrÇn streg er pln set fr siden BlÅ streg er linje 6 VilkÅrligt pnkt på linje 6 Vi omskrier prmeterfremstillingen for en linje l: x 5 5 t 5t t y t t Et ilkårligt pnkt på l er ( x, (5t, t) 7 SkÄring mellem to linjer l og m r n? I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter r? n 7 BÅde l og m er giet ed prmeterfremstilling FÇrst finder i et ilkårligt pnt på her linje: l: ( x, (s, 5s) og m: ( x, (t, t) Vi skl estemme s og t så de to pnkter hr ens x-koordinter og ens y-koordinter: s t 5 s t Vi lçser dette ligningssystem mht s og t og får: s og t NÅr s er ( x, (s, 5s) (, 5) (4, ) SkÄringspnktet er ( x, (4, ) 7 BÅde l og m er giet ed ligning (kn plngeometri) Vi skl finde x og y så egge ligninger er opfyldt: l: x y m: x y 6 Vi lçser dette ligningssystem mht x og y og får x 4 og y SkÄringspnktet er ( x, (4, ) 7c l er giet ed ligning, m ed prmeterfremstilling (kn plngeometri) FÇrst finder i et ilkårligt pnkt på m : I 6 stér hordn i går m: ( x, (t, t) Vi indsätter dette pnkt i ligningen l: x y og får (t ) ( t) Vi lçser denne ligning mht t og får t NÅr t er ( x, (t, t) (, ) (4, ) SkÄringspnktet er ( x, (4, ) I 6 stér hordn i går rmetrene s og t i de to pnkter mé ikke Äre smme ogst Skri t Nspire låser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire låser ligningen med sole, eller skri mellemregninger I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er koordinter Skri t Nspire låser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 4 Krsten Jl

22 8 SkÄring mellem linje og cirkel Kn plngeometri 8 Linjen er giet ed prmeterfremstilling FÇrst finder i et ilkårligt pnkt på linjen : ( x, (t, t) Vi indsätter dette pnkt i cirklens ligning og får x 6x y y ( t) 6(t) ( t) ( t) Vi lçser denne ligning mht t og får t eller t NÅr t er ( x, (t, t) (, ) (, ) NÅr t er ( x, (t, t) (, ) (6, ) SkÄringspnkterne er (, ) og ( 6, ) 8 Linjen er giet ed ligning Linjen og cirklen er giet ed ligningerne x y 6 x 6x y y Vi lçser dette ligningssystem mht x og y og får x og y eller x6 og y SkÄringspnktet er ( x, (, ) og ( x, (6, ) I 6 stér hordn i går Skri t Nspire låser ligningen med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire låser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger 9 SkÄring mellem linje og kgle Kn rmgeometri 9 Vi indsätter et ilkårligt pnkt fr linjen i kglens ligning, os Se 6 og 8 4 SkÄring mellem linje og pln Kn rmgeometri 4 Vi indsätter et ilkårligt pnkt fr linjen i plnens ligning, os Se 6 og 7c 4 x 8 9 Opge ln og ligning l er giet ed: : x z 9 l : y 4 t 5 Bestem skäringspnkt mellem l og z Sr Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

23 4 rojektion f pnkt på linje Kn plngeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet (,) på linjen l: x y Q er skäringspnktet mellem l og linjen m der går gennem og er inkelret på l Af ligningen for l ser i t ektoren er inkelret på l, så m hr prmeterfremstillingen x m : t y Herefter kn i rge metoden fr 7c til finde Q 4 Opge En linje l går gennem pnkterne A(, ) og B(9, 4) Bestem projektionen f (, ) på l Sr rojektionen f på l er skäringspnktet mellem l og linjen m der er inkelret på l og går gennem Bestemme ligning for l 9 9 A(, ) og B(9, 4) ligger på en linje l AB Vektor prllel med l : Vektor inkelret på l : 5 5 l går gennem (x,y ) = (,) og er inkelret på 5, så l hr fçlgende ligning: (x x ) + (y y ) = 5(x ) + (y ) = 5x + y = Bestemme prmeterfremstilling for m r 5 m går gennem (x,y ) = (,) og er prllel med, så m hr fçlgende r x x r x 5 prmeterfremstilling: t ds t y y r y Bestemme skäringspnkt mellem l og m VilkÅrligt pnkt på m som er (+5t, +t) indsätter i i ligning for l : 5(+5t) + (+t) = Nspire lçser denne ligning mht t og får t = NÅr t = er det ilkårlige pnkt lig (+5( ), +( )) = (6, ) rojektionen f på l er ( 6,) Kontrol ed elektronisk fläsning på figr Elektronisk konstrktion: Tegn pnkter (,) og (9,-4) Tegn linje l gennem disse Tegn pnkt (,) Tegn linje m som er inkelret på l og går gennem (,) Tegn skäringspnkt mellem l og m Dette skäringspnkt er projektionen f på l AflÄs elektronisk koordinter til skäringspnkt Reslttet er (6,) ligesom i dregningen f projektionen 4 rojektion f pnkt på pln Kn rmgeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet ( 6,, 5) på plnen : x y z 5 Q er skäringspnktet mellem og linjen m der går gennem og er inkelret på Af ligningen for ser i t ektoren er inkelret på, så m hr prmeterfremstillingen x 6 m : y t z 5 Herefter kn i rge metoden fr 4 til finde Q Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

24 4 Tngent til cirkel Kn plngeometri 4 En tngent til en cirkel er en linje der hr präcis Üt pnkt fälles med cirklen Dette pnkt kldes rçringspnktet NÅr mn siger tngenten i, etyder det t er rçringspnktet 4 En tngent til en cirkel er inkelret på linjen gennem centrm og rçringspnkt 4c En linje er tngent til en cirkel netop his fstnden fr centrm til linjen er lig rdis 4d Eksempel nktet (4, 5) ligger på en cirkel med centrm C (,) Vi il finde en ligning for tngenten l i IfÇlge 4 er C inkelret på l, så i kn finde ligningen for l ed t rge 4c og 6 4e Eksempel Linjen l: x 4y 4 er tngent til en cirkel med centrm C (, 5) Vi il finde en ligning for cirklen IfÇlge 4c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til l Se og SÅ kn i estemme cirklens ligning ed t rge 8 4f Eksempel Vi il ndersçge om linjen l: x 4y 4 er tngent til cirlen M: ( x ) ( y 5) 8 Metode : Vi finder centrm og rdis som i 8c SÅ dregner i fstnden fr centrm til l og rger 4c Metode : Vi finder skäringspnkterne mellem l og M og rger 4 SkÄringspnkterne finder i som i 8 C l 44 Tngentpln til kgle Kn rmgeometri 44 En tngentpln til en kgle er en pln der hr präcis Üt pnkt fälles med kglen Dette pnkt kldes rçringspnktet NÅr mn siger tngentplnen i, etyder det t er rçringspnktet 44 En tngentpln til en kgle er inkelret på linjen gennem centrm og rçringspnkt 44c En pln er tngentpln til en kgle netop his fstnden fr centrm til plnen er lig rdis 44d Eksempel nktet (4, 5, ) ligger på en kgle med centrm C (,, 4) Vi il finde en ligning for tngentplnen i IfÇlge 44 er C inkelret på l, så i kn finde ligningen for ed t rge 4d og 7 C 44e Eksempel: lnen : x y z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde en ligning for kglen IfÇlge 44c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til Se SÅ kn i estemme kglens ligning ed t rge 9 44f Eksempel: Vi il ndersçge om plnen : x y z 4 C(,, 5) og rdis 4 Vi dregner fstnden fr C til og rger 44c Se er tngentpln til kglen med centrm Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl

25 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl BEVISER 45 Beis for t i må prikke ind i en prentes og er koordinter til, og tilsrende for og ) ( ) ( ) ( De to dtryk gier smme fire led, så de er smme tl: 45 ) ( 46 Beis for formel 46 og er koordinter til ) ( ) ( ) ( k k k k k k k ) ( k k k k k De to dtryk gie smme resltt, så de er smme tl: 46 ) ( k k 47 Beis for t i får nl når i prikker med nlektor og er koordinter til o så 47 o 48 Beis for t inkelrette ektorer hr sklrprodkt nl og er koordinter til, og tilsrende for NÅr i fsätter og d fr smme pnkt, er ektoren fr 's spids til 's spids NÅr kn i rge ythgors sätning på den iste treknt: ) ( ) ( ) ( ) ( N hr i eist t 48 his er Vi hr rgt ektorregel og 4, og tlregler: gnge ind i prentes, og ed pls er räkkefålge ligegyldig I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel, 4 og 7, og tlregler: ed gnge er räkkefålge ligegyldig, x =xx, kdrtrod i nden, og gnge ind i prentes I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel 4, og tlregel om nl gnge tl I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Her hr i rgt d Her hr i rgt 7 og Her hr i rgt 4

26 49 Beis for formlen for projektion f ektor Se figren til hçjre rojektionen f på er en ektor der er o eller prllel med, så i kn få projektionen frem ed t gnge med et tl: t NÅr c er ektoren på figren, er t c Begge sider i denne ligning prikker i med og får: t c Vi prikker ind i prentesen og får: ( t) c FÇrste led på hçjre side omskrier i med 46, og sidste led er d c er nlektor eller inkelret på : t Begge sider i denne ligning diiderer i med og får: t Vi indsätter dette dtryk for t i fçlgende ligning som i egrndede oenfor: t og får: 49 5 Beis for prmeterfremstilling for en linje r l er linjen som går gennem ( x, y ) og er prllel med r r r r t r x, ) ( x, ( y l t c Et pnkt ( x, ligger på l netop når ektoren fr ( x, y ) til ( x, er o r eller prllel med r ds r ektoren fr ( x, y ) til ( x, er lig t, hor t er et tl r ds r i får ( x, når i lägger t 's koordinter til (, ) r x y ltså x x r 5 t y y r så i hr eist t 5 er en prmeterfremstilling for linjen l som går gennem ( x, y ) og hr retningsektoren r r Se figr I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 4 Krsten Jl

27 5 Beis for ligning for linje Kn plngeometri l er linjen som går gennem ( x, y ) og er inkelret på xx Vektoren fr ( x, til ( x, er Se figr y y netop når Et pnkt ( x, ligger på l xx y y og dette gälder netop når xx yy ds 5 xx ) ( y y ) er o eller inkelret på ( Vi hr n eist t 5 er en ligning for linjen der går gennem ( x, og hr normlektoren 5 Beis for ligning for pln Kn rmgeometri Beiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger pln i stedet for linje 5 Beis for ligning for cirkel Kn plngeometri M er cirklen med centrm C( x, og rdis r Et pnkt ( x, ligger på M netop når ds längden f C er r längden f xx y y er r Ved hjälp f längdeformlen (se 7) kn i skrie dette sådn: ( xx ) ( yy ) D egge sider er, kn i oplçfte til nden SÅ får i ( xx r ) ( yy ) Dette er cirklens ligning (se 8) r ( x, y ) x x y y ( x, l 54 Beis for ligning for kgle Kn rmgeometri Beiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger kgle i stedet for cirkel Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 4 Krsten Jl

28 A fstnd 4, 7 fstnd fr pnkt til linje i plnen7 fstnd fr pnkt til pln7 fstnd mellem pnkter 4 fsätte ektor d fr pnkt, rel, rel f firknt, rel f firknt i plnen rel f firknt i rmmet rel f prllelogrm, rel f prllelogrm i plnen rel f prllelogrm i rmmet rel f treknt, rel f treknt i plnen rel f treknt i rmmet B egyndelsespnkt eiser D determinnt9, G gnge, krydsprodkt, gnge, prikprodkt7, 8 gnge, tl og ektor 5 gnge, ektorprodkt H hçjrehåndsregel K koordinter til pnkt i plnen koordinter til pnkt i rmmet koordinter til ektors sltpnkt koordintgeometri koordintsystem i plnen koordintsystem i rmmet koordintsät til pnkt koordintsät til ektor krydsprodkt, L ligning for cirkel6, 5 ligning for kgle 6, 5 ligning for linje4, 5 ligning for pln 5, 5 längde f projektion f ektor8 längde f ektor, 9 M mins, ektorer6 modst ektor 4 N normlektor4, 5, 7, 9 normlektor for linje4 normlektor for pln5 nlektor, nmerisk Ärdi 9 O ortogonl7 prllel, prllel i plnen prllel i rmmet prllelogrm prmeterfremstilling for linje, 4 pls, ektorer 5 prikke ind i en prentes prikke med nlektor prikprodkt 7, 8 projektion6, 7, 8, projektion f pnkt på linje6, projektion f pnkt på pln 7, projektion f ektor på ektor 7, 8 R retningsektor, 7, 9 rçringspnkt rçringspnkt på cirkel rçringspnkt på kgle S sklrprodkt 7 skäring9, skäring mellem linje og cirkel skäring mellem linje og kgle skäring mellem linje og pln skäring mellem to linjer 9 sltpnkt sltpnkt for ektor strtpnkt for ektor stedektor T tl gnge ektor 5 tngent tngent til cirkel tngentpln tärektor 4 V ektor ektor gnge tl 5 ektor mins ektor 6 ektor pls ektor 5 ektorprodkt ektors koordintsät ektors längde ektors sltpnkt, ektors strtpnkt ilkårligt pnkt på linje 9 inkel 8, 7, 8, 9 inkel mellem linje og pln 9 inkel mellem linjer 7 inkel mellem plner 8 inkel mellem sideflder 8 inkel mellem ektorer 8 inkelret 7,, X xy-plnen