Dynamiske Rentemodeller
|
|
|
- Kim Brandt
- 10 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Dynamiske Renemodelle BD & ande én-fako modelle Noa il Invesmens
2 Ovesig Behove fo dynamiske modelle. Klassiske dynamiske modelle og foskellige specifikaione. De klassiske modelles mangle. Ny indsig og modene modelle. BD modellen. BD modellens løsning. BD eksemple. Efe BD modellen... af6
3 Moivaion og ko hisoisk baggund En simplificee opdeling af fixed income modelle e følgende. Saiske Modelle Dynamiske Modelle Lige vigige men foskellige fomål. 3af6
4 Saiske Modelle De saiske modelle modelle e modelle udelukkende fo nuiden, id. age udgangspunk i obseveede obligaionspise og beskæfige sig med a fie dagens Eng.: Nulkuponenesuku zeo-coupon yields zeo-coupon inees aes pue discoun aes spo aes kæ ban, mange navne! 4af6
5 Saiske Modelle II ypisk anages en funkionel fom fo R(-kuven, dvs. de vælges en model som f.eks. Nelson-Siegel, exended Nelson-Siegel (Svensson Polynomial (cubic spline exponenial splines CIR (mee senee ec. Man esimee de model-paamee, som give bedse fi il makedspise. 5af6
6 Nulkuponenekuve-esimaion Exended Nelson-Siegel: e y ( a be ce d e e, f Asympoisk ene ( y a > Shoem fasdecay ( y a b Medium em,iniially zeo,fas decay ~, Long em, iniially zeo, slow decay ~, 5 paamee Robus model Mege fleksibel 6af6
7 Saiske Modelle III Modellen kan heefe anvendes il a pisfassæe ande fixed income akive idag, f.eks. Obligaione udenfo esimaions-sample. Sandad swaps. FRA s (fowad ae ageemens. Ande med kende femidige bealinge. Modellene indeholde ine dynamisk elemen og buges ikke il a modellee (scenaie af femidige pise elle enekuve. Næse mogen gen-esimees hele modellen. 7af6
8 Indledende ovevejelse om usikkehed... Fem il dee punk ha vi ekapiulee den saiske modelleing... Men idligee i kuse ha vi snakke mege om volailie, og ene e nauligvis også volaile/usike ove iden... Denne ekendelse e føse skid i pogessionen Saiske Modelle Dynamiske Modelle Fo a kunne analysee usikkehed om ene og obligaionspise e de nødvendig a modellee denne usikkehed sam de simple fakum a iden alså gå, og a de e noge de hedde femiden! 8af6
9 Modelleing af usikkehed Hvofo e de nødvendig a modellee usikkeheden? Fodi de e alige akive, hvis femidige bealinge afhænge af udviklingen af enen/enene i femiden! F.eks. $ Konveebae (callable obligaione. $ Opione på obligaione. $ Opione på ene, caps/floos. $ Realkedi obligaione! $ Viksomhedsobligaione. $ Pensions- og livsfosikingsfopligelse. $ swapione, CMS. Sælig vame emne i DK fo iden! 9af6
10 Modelleing af usikkehed II De nævne insumene/akive kan IKKE pisfassæes vha. saiske enesukumodelle à la Nelson-Siegel, fodi cash flows ikke e deeminisiske. Nogle analyikee mene a kunne klae sagen ved a lægge e spead il nulkupon enekuven, men den holde ikke. De e inkonsisen og hel uden eoeisk fundamen. De e en udbed paksis i fosiking men ses også ofe anvend i eakedien. In finance we do no value inees-sensiive secuiies by discouning hei cash flows by a easuy yield plus a spead. Rahe we use laices o simulaions o discoun inees-sensiive cash flows. hose ae he only ways ha wok. So all of hese mehods ha jus add speads o a yield ae no going o give you pecision... On Wall See, someimes we alk abou speads - bu ha is only afe we have deemined pice. We say, "his anslaes ino a spead," bu we would neve use he spead o come up wih wha he pice should be. David Babbel af 6
11 Modelleing af usikkehed III Vi må konsuee dynamiske modelle, som kan geneee femidige nulkuponenesuku scenaie, og som kan illægge sandsynlighede il disse foskellige femidige scenaie. Denne indsig daee sig ilbage il miden af 97ene. De vigigse aikle blev skeve af disse folk Meon (973 Vasicek (977 Cox, Ingesoll & Ross (978, 985 og ande Disse navne epæsenee de klassiske (Makovmodelle, som vi nu skal se lid på... af 6
12 De klassiske modelles idé in : De ages udgangspunk i nulkuponpisen/diskoneingsfakoen: P( x,, nauilsand, (veko af fakoe, id Udløbsdao De modelleede pise skal have flg. egenskab (eminalbeingelse P( x,, af 6
13 De klassiske modelles idé II in : Fakoene navngives og sokasiske pocesse fo dees udvikling ove id specificees. id inflaionsniveau id Consume Confidence Index x( id Poduciviy Index id "Renen" ec. De anvende pocesse e Iô-pocesse/diffusione: Wiene poces d x( α ( x, d β ( x, dw Dif Volailie 3 af 6
14 De klassiske modelles idé III in 3: E en maemaisk agumen (Iô s lemma buges il a vise, a obligaionspisens dynamik må væe (supe ko noaion dp P x dx P d P x ( dx hvo P( e de pisfunkional, som vi lede efe. P e alså selv en Iô-poces. Rimelig absak og som sådan ikke sælig anvendelig infomaion... 4 af 6
15 De klassiske modelles idé IV in 4: De økonomiske agumen: De må ikke væe mulighede fo dynamisk abiage i modellen-, vi vil have, a modellen skal væe inen konsisen. P(x,, skal løse følgende PDE: P P x ( α βλ ββ P x x P hvo λ e makedspisen på eneisiko... De esee blo a løse denne ligning unde hensynagen il eminalbeingelsen... 5 af 6
16 Alenaiv epæsenaion af løsningen En ækvivalen/alenaiv epæsenaion af løsningen e den såkalde Feynman-Kac (pobabilisic epesenaion epæsenaion P( x,, Q E e ( u, x u du hvo Q e de isikoneuale sandsynlighedsmål. Kan disse ligninge mon løses fo P(? De afhænge sæk af, hvodan fako-pocesse blev specificee... 6 af 6
17 Løsninge?? De e en chance fo a finde eksplicie/analyiske løsninge, hvis vi ha E begænse anal fakoe. Valg pæne pocesse fo disse. De indlysende fako-valg i en model fo obligaionsmakede e nauligvis enen,, men hvilken ene? adiionel ha man valg den (ulakoe ene (he insananeous sho ae, selvom de nem kan agumenees fo, a de ikke e de smaese valg. 7 af 6
18 En kamp mellem specifikaione He følge nogle af (ophavsmændene il de mes beøme specifikaione: Meon (973 Vasicek (977 d d µ d σdw ( κ ( θ d σdw ( Dohan (978 d σw ( Cox, Ingesoll & Ross (985 d κ ( θ d σ dw ( Lukkede løsningsfomle kan udledes fo obligaionspise og enesukuen i alle disse ilfælde 8 af 6
19 Flee specifikaione og fobindelsen mellem dem Unesiced model d(αβdσ γ dz γ α γ½ γ Vasicek d(αβdσdz Cox, Ingesoll & Ross d(αβdσ / dz Bennan & Schwaz d(αβdσdz CEV dβdσ γ dz β α β Meon dαdσdz GBM dβdσdz X-model dσ γ dz β γ3/ Dohan dσdz CIR dσ 3/ dz 9 af 6
20 af 6 Eksempel: Vasicek modellen Nulkupon obligaionspis Nulkupon enesuku κ σ κ σ θ κ κ κ 4, ( / (, ( ( exp, (, (, (, ( ( (, ( B B A e B e A P B (, (, ( ln, ( B A R De kan endvidee udledes fomle fo obligaionsopione.
21 af 6 Eksempel: CIR modellen Nulkupon obligaionspis Nulkupon enesuku / ( / ( ( ( ( (, ( ( (, ( ( ( (, (, (, ( σ κ γ γ κ γ γ γ γ κ σ κθ γ γ κ γ γ B e e A e e B e A P (, (, ( ln, ( B A R Igen kan de udledes fomle fo obligaionsopione.
22 Obsevaione og kiik Bemæk: Man få fakisk også enesukukuven på idspunk ud! Dvs: Vi få en saisk model som specialilfælde! Dee e på en måde lække, men de e på samme id de søse poblem med disse modelle... De e nemlig sådan, a vesionene af disse modelle sjælden fie de obseveede obligaionspise sælig god. Dee e egenlig ikke oveaskende se i lyse af, a de ofe ovehovede ikke anvendes nogen infomaion fa makedes obligaionspise i esimaion af modellene. Esimaion af modellene age ypisk udgangspunk i en idsseie af ene,. af 6
23 Eksemple på ene- og disk.-fk.- kuve Vasicek em Sucue Vasicek Discoun Funcion.6. Zeo coupon Inees Rae Discoun faco ime o Mauiy ime o Mauiy 3 af 6
24 Vasicek esimaions-eksempel En idsseie-basee esimaion kunne give følgende esula mean eveison ae, κ.5 mean evesion niveau, θ.6 volailie. Makedspis på isiko. Iniial ene,,.3 ids konsisen! Vasicek em Sucue Cuve Men Nelson-Siegel esimaionsesulae som e basee på obligaionspise e ikke den samme kuve! Zeo coupon inees ae ime 4 af 6
25 Alenaiv esimaions-pocedue Esimaion af en klassisk model som Vasicek s kan også basees på fining il makedspise og man få sandsynligvis e god esula! Hel i åd med Nobelpisvinde Richad Feynman s udalelse: Give me hee paamees and I can fi an elephan. Give me five and I can make i wave i s unk! Men...esimaene vil sandsynligvis vaiee emmelig mege fa dag il dag (de sande vædie e konsane. og esimaene kan væe økonomisk meningsløse f.eks. negaive elle mege høj mean evesion niveau og volailie. 5 af 6
26 Delkonklusion De klassiske modelle ha e poblem med vikeligheden de e som ofes noge de ikke fie Modellene e inen konsisene,...men ikke eksen konsisene (kalibebae. 6 af 6
27 Fining af CIR modellen il makede Eksempel/Øvelse
28 Ny indsig Disse svaghede blev fo alvo ekend omking miden af 98ene. Speciel blev de indse af en ække foskee, a hvis vi vil modellee enesuku-dynamikken e de usma a ignoee den infomaion, som e indehold i dagens obseveede enekuve. modellen fo dagens enekuve og den obseveede/fiede makedskuve skal semme oveens modellen skal væe eksen konsisen. Pioneene va Ho & Lee (986, Heah, Jaow & Moon (987,988,99 Black, Deman &oy (99 8 af 6
29 Ho & Lee modellen Uheldigvis blev Ho & Lee modellen huig beegne som den føse dynamiske abiagefi enesuku model Dee ha medfø so foviing som om de klassiske modelle ikke va abiagefi... De e fakisk paadoksal, - speciel nå man age i beagning, a Ho & Lee modellen beskive pisudviklinge som P n ( i P n ( i ( P n i og efe en næmee opskif, så modellen i en hvis fosand sle ikke abiagefi, ide enene i modellen kan blive negaive! 9 af 6
30 Ho & Lee egenskabe De e alså mange meninge om, hvad abiagefi egenlig beyde. De e imidleid koek a fasslå, a Ho & Lee s model va den føse som opfylde kave om eksen konsisens ingen saisk abiage. Ho & Lee modellen va ikke videe opeaionel og mege vanskelig a esimee.... men ideen va sluppe løs... 3 af 6
31 Black, Deman & oy s model BD modellen blev huig kul, isæ i Danmak. Goldman Sachs woking pape va svæ a få fa i. Mange af modellens dealje va udelad i den opindelige aikel. Mege få pesone kende modellen il bunds og va i sand il a buge den. ScanRae/Rio implemeneede modellen i dees syseme man va nød il a kende modellen! 3 af 6
32 E næmee kig på BD modellen BD modellen e en en-fako model, de anvende den koe ene som fako. I sin opindelige udgave e de en diske ids model. Usikkeheden beskives vha af e binomialgie, dvs. (i,n (ilsand i, id n 3 af 6
33 Lid noaion Lad os beegne -peiode nulkuponpisen i ilsand i og på id n som P n ( i Favæ af dynamisk abiage (inen konsisens medføe P n i ( P n i ( { n n qp ( ( q P ( } i i hvo q e den isikoneuale sandsynlighed. I den basale udgave af BD modellen, anages denne a væe lig ½! Bemæk: Enhve femidig ilsandsbeinge foding kan pisfassæes, hvis alle binomialgiees koe ene e kend af 6
34 34 af 6 Geneel pisfassæelse Pisfassæelseselaionen e og hvis de e mellemliggende bealinge (kupone ( n i n i n i n i n i n i n i V V V V P V ( n i n i n n i n i n i n n i n i V V c V V c P V
35 Eks: Pisfassæelse af kuponobligaion 3 åig % sående lån Binominalgie fo ene Binomialgie fo obl.pise Obligaionspisen findes ved a diskonee ilbage peiode fo peiode med sa ved udløbe, hvo vædien e kend. 35 af 6
36 Implemeneing Den geneelle algoime kan le pogammees baglæns ekusion. De de skal besemmes e den koe ene i hve af giees knudepunke. 36 af 6
37 Men de e dé, de e de vanskelige... fa sa ha vi ikke disse ene. Ved begyndelsen se giee ud som følge???? Så inden vi kan komme videe, skal modellen løses.? 37 af 6
38 Løsning af modellen Løsning af BD modellen e en komplicee affæe, hvo vi skal sike os, a giee med koe ene e konsisen med den obsevede/esimeede iniiale enesukukuve (eksen konsisens. den obsevede/esimeede iniiale volailieskuve. abiage piselaionen (inen konsisens. Disse e de nødvendige inpus defo e BD modellen auomaisk eksen konsisen! 38 af 6
39 Løsning af BD modellen Den iniiale diskoneingsfunkion - elle ækvivalen den iniiale enesukukuve - anages kend/obsevee. Sammenhængen e (diske diskoneing P ( P( ( R( Eksempel P( R(.99 % kend/obsevee/esimee % %.5% 3% 39 af 6
40 Hvilken volailieskuve? Den volailies-suku, de skal buges som inpu, vedøe nulkuponenene en peiode (ex. e å femme. I mogen e de o mulige enekuve: Zeo coupon inees ae ime Zeo coupon inees ae Zeo coupon inees ae ime ime 4 af 6
41 Volailiee Fo eksempel R (7 Denne vol beegnes σ (8! R (7 Volailieen definees og beegnes som σ ( Disse esimae opnås elaiv le... ~ ( ln R ( σ R ln R ( ( 4 af 6
42 BD s eksempel σ ( % 9% 8% 7% 6% (unødvendig/meningsløs Volailieen e ypisk afagende dvs volailieen e ofe lavee fo lange ene. En sidse anagelse: σ ( n sdev(ln ( n konsan fo give n Hemed kan modellen løses! Bemæk: E elaiv so fobeedende abejde ifh. de klassiske modelle. De e pisen fo eksen konsisens. 4 af 6
43 Løsning af BD eksemple in besemmelse af og Vi ha σ ( og P( ln 9% P( P ( P ( P( o ligninge i o ubekende. Subsiue og educe af 6
44 Løsning af BD eksemple II (. c 9.79% 9.79% e (. e.9.38 og føse in e demed komple 4.3% 4.3%? %? 9.79%? 44 af 6
45 Løsning af BD eksemple III in : Besemmelse af ln σ (3 og P(3 R ( R ( Én ligning i én ubekend..., and 8% P( P ( P ( P( ( R ( ( R ( P(.36 ( R ( e ( R ( 45 af 6
46 46 af 6 Løsning af BD eksemple IV Vi finde.757 ( 5.459% ( (.85 (.7553% (.36 P e R R P R Vendes ilbage il abiage elaionen.. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( P P P P P P P P P P P P c
47 47 af 6 Løsning af BD eksemple V o ligninge i e ubekende... men husk den sidse anagelse. Den skal buges nu... ( ( ( ( 4 ( e e e e konsan ln ln σ σ σ σ σ c c
48 48 af 6 Løsning af BD eksemple VI De idligee ligningssysem e nu ( ( ( ( ( ( ( ( 4 e P P e e P P σ σ σ Dee e o ligninge i o ubekende. Vi løse numeisk % 3.77% 7.% 9.76% ( σ
49 o ås giee 4.3% 9.4% % 3.77% 9.79% 9.76% Kompleksieen øges ikke ved a gå længee ud! Alenaiv meode: Fowad inducion (Jamshidian af 6
50 he BD Model Mean Revesion SOI: 3->5%, SOV: 5->% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% % af 6
51 he BD Model Mean fleeing SOI: 3->5%, SOV: % fla Lowe limi 3,5 % 3, %,5 %, %,5 %, %,5 %, % % 3% 5% % 5% % 5% % Uppe limi 5 af 6
52 he BD Model Evoluion of local volailiy SOI: 3->5% 3% 5% % 5% % 5% % SOV Local volailiy 5 af 6
53 he BD Model Log-nomalfodeling fo koe ene efe 5 å SOI: 3->5%; SOV: 5->%;-3Y 5% % 5% % 5% % % 5% % 5% % 5% 3% 35% 53 af 6
54 Videeudvikling af BD/HL ideene BD modellen kan væe lid æls a implemenee, og mange kan man bede lide koninuee modelle. Defo e de i nyee id ske de, a man ha fosøg a kombinee de bedse egenskabe fa BD/HL modellene med de gode gamle klassiske modelles dyde. De e de komme en ække nye modelle ud af... Ho & Lee: Hull & Whie: BD: Black & Kaasinski: d θ( d σdw ( d ( θ( a d σdw ( σ'( dln [ θ( ln] σ( dw ( σ( ln ( θ( a( ln d σ( dw ( 54 af 6
55 Øvelse Ideføseene-gieiegneake:Check (deføseeå ud a modellen e kalibee,dvs.beegn P(, P(, P(3 og find volailieeneσ( og σ(3. Check pisfassæelsen af s.lån 5%5 ibegge GIRE. Beegn deføse nulkupon-ene(feks ud ilfem åide o mulige kuveom eå og vis kuvene isam me gaf. De o gie give samme pise ilfixed income secuiies idag,fodi modellene e kalibeeilsam me enekuve, men hvad med enedeivae????? 55 af 6
56 Eksemple på anvendelse af BD modellen
57 En opion på en obligaion åig Ameikansk call på 3 åig % s.lån, sike 99 Binominalgie, ene.5 Obligaionspise 98. Opion * * Opionen execises med de samme Vha BD modellen findes pisen på den ameikanske call opion il.8. Vædien af konveeba obl. IKONV-CallOpion af 6
58 Realkediobligaione Obligaion Foding på pulje af undeliggende lån Konveeba obl Model Pepaymen Risk af Call Opion Debioene e ikke homogene: Foskellige Call opione Ande ing: Konveeingsomkosninge. Ska. Opsigelsesvasel. mm. Siafhængighed?? 58 af 6
59 Pisfassæelse af danske eale Renesuku Volailie ko ene model, e.g. BD Koe ene Debio Model Pisfass æelse Renabilies beegninge mm Pice/Risk/Reu n 59 af 6
60 Caps/Floos Ko beskivelse Opione basee på en femidig pengemakedsene (ofe 3M elle 6M LIBOR. Caps sike en maksimal funding ae, floos sike en mindse indskudsene. Libo Compensaion fom puchased cap Libo Sike Sike Libo Libo Compensaion fom puchased floo ime (monhs ime (monhs 6 af 6
61 Pisfassæelse af Cap 3Y Cap på Y ae, sike % 3Y Cap (Y Y Call IRG (Y Y Call IRG (Y Binomialgie Y Call IRG Y Call IRG / (. 9 / ( Vædi 3Y Cap af 6
Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.
Markedsværdiansættelse af L&P-selskaber
Insiu fo Finansieing Cand.mec. afhandling Fofaee: Henik Deman Seffen Haslev Vejlede: Andes Gosen Makedsvædiansæelse af L&P-selskabe - Med fokus på sepaeing af pensionskundene i besande med hve dees enegaani
Annuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På
Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.
16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode
Misspecifikationer i modal-split modeller
Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: [email protected] Absak Økonoeiske
Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................
Ejendomsværdibeskatning i Danmark
DET SAMFUNDSVIDENSABEIGE FAUTET Økonomisk Insiu ØBENAVNS UNIVERSITET andidaspeciale aine Gønbæk von Fühen Ringsed Ejendomsvædibeskaning i Danmak Analysee i en anvend geneel ligevægsmodel Vejlede: oul Schou
Elementær Matematik. Parameterkurver
Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8 Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse....7. Undesøgelse af paameekuve...8 5. Kuvelængde
HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00
1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,
Annuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.
Erhvervs- og Selskabsstyrelsen
Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak
Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige
Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen
Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?
Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer
Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion
Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.
- 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)
Projekt 1.8 Design en optimal flaske
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn
Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis
side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD [email protected] Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke
Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:
0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække
Forløb om annuitetslån
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes
Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler
Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee
Gravitationsfeltet. r i
Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo
Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet
Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig
Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) 1. 19.08.13 - introduktion/repetition af kerneområderne
Undevisningsbeskivelse Redig e Fag: Tilføj foløb Genee beskivelse Tilføj supplemen Temin: Juni 2014 Læe(e): Niveau: abejdsfome Psykologi C->B, VAF Flemming Johansen (FLJO) B fokuspunke Insiuion: VUC Vejle,
Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer
Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov
Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul
Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1
Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70
61 Få Anal få (udyk i usind) Belgien 120 Fankig 9 000 Øsig 350 Danmak 120 Iland 5 000 Pougal 3 600 Tyskland 2 000 Ialien 11 000 Finland 70 Gækenland 9 000 Luxemboug 7 Sveige 440 Spanien 24 000 Nedelandene
Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.
Keples lve Skeve af Jacb Lasen.å HTX Slagelse Udgive i samabejde med Main Gyde Pulsen.å HTX Slagelse 1 De Lve På baggund af den danske asnm Tych Bahes bsevaine. De va isæ paallaksemålinge af Mas placeing
Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente
N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke
Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende
Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007
Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014
Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom
EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og
EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes
CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering
CoCo-obligatione i matematisk modelpespektiveing CoCo bonds in a mathematical modeling pespective af JENS PRIERGAARD NIELSEN ######-#### THESIS fo the degee of MSc in Business Administation and Management
DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004
DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies
MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST
ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.
Magnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og
Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.
Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001
Magnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I
2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk
Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø [email protected] 3 simple yper differenialligninger
Elektrostatisk energi
Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,
De dynamiske stjerner
De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til
Praksis om miljøvurdering
Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012
I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.
Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion
Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST
Vej og Tafikeknik Design Køselsdynamik 1 Kæfe og enegi I den klassiske fysiks ideale eden, il en paikel, de ikke e udsa fo en esuleende kaf, beæge sig i en fas ening med konsan hasighed. De il ikke opæde
FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!
FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig
Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder
Miljøpojekt N. 812 2003 Fivillige dykningsaftale i indsatsomåde Gundlag og mulighede belyst ud fa kvælstofpoblematikken Egon Noe og Andes Højlund Nielsen Danmaks JodbugsFoskning Helene Simoni Thoup og
Opsparing og afvikling af gæld
Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:
Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages
Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.
Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver
Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var
Trivselsundersøgelse 2010
Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og
Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion
Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En
Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder
Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen
Undervisningsmaterialie
The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan
rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,
ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet
Wear&Care Brugervejledning. A change for the better
A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone
Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen
Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk [email protected] A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et
Projekt 2.3 Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Pojekt. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende metode til beegning af aeale af figue, de e bestemt af kumme kuve, a siden oldtiden væe at tilnæme disse med polygone.
Sabatiers princip (elevvejledning)
Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne
STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:
2016-2019 RESUMÉ/LÆSEVEJLEDNING
Nyudda ede i SMV e e 2016-2019 RESUMÉ/LÆSEVEJLEDNING Nedenfo flge e ko amle eum fo indaen Nyuddannede i SMV ene am levejledning il o undeende pojeke/angninge il hhv. Regionale Udvikli g idle Mle i g og
Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked
Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens
AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007
AKTUEL ANALYSE Nye tie på boligmakeet 24. janua 2007 De høje pisstigningstakte på boligmakeet e løjet af, og meget tale fo en fotsat afæmpning i en kommene ti. Sien boligmakeet vente i 1993, e pisene vokset
Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som
8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...
Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller
Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Kemiske reakionshasigheder Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel 1 Reakionshasigheder Den generelle løsning il den separable differenialligning