5. Integration med Derive
|
|
- Gunnar Sommer
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 5. Integration med Derive 5.1 Symbolsk integration Kapitel 5: Integration med Derive Det er også uhyre nemt at integrere med Derive. Hertil benyttes integrationskommandoen INT( udtryk, variabel, ). Den findes i tre forskellige versioner: Stamfunktion: INT( udtryk, variabel) Ubestemt integral: INT( udtryk, variabel, integrationskonstant) Bestemt integral: INT( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) Stamfunktionen fastlægges algoritmisk som en konkret stamfunktion, altså uden en integrationskonstant. Læg mærke til, at syntaksen er præcis den samme, der benyttes af TI-89/92+: De tre kommandoer udføres derfor som vist: INT(X^3,x), INT(X^3, x, c) og INT(x^3, x, 0, 2) Man kan også nøjes med at indskrive det udtryk man gerne vil have integreret og efterfølgende klikke på integral-ikonet i værktøjsbjælken: Eller man kan vælge Integrate i Calculus-menuen. I begge tilfælde åbnes en dialogboks, hvor man skal angive integrationsvariablen og eventuelt grænserne for det bestemte integral: 62
2 Vælger vi Simplify kommer det til at se således ud: Endelig kan man også integrere ved at differentiere baglæns, men det står forklaret i kapitlet om differentiation! 5.2 Numerisk integration Hvis et bestemt integral ikke kan udregnes symbolsk, kan man i stedet bede om en approksimativ numerisk udregning. Den vil i givet fald blive udført med en adaptiv Simpson-rutine, dvs. antallet af delintervaller justeres indtil den ønskede nøjagtighed synes nået. På den måde kan man f.eks. udregne det følgende integral (der først returneres ubearbejdet med kommentaren: No elementary integral, når vi beder om det eksakte svar, og dernæst udregnes approksimativt med ): Man kan også sådan mest af pædagogiske årsager bestille en venstresum med kommandoen: LEFT_RIEMANN( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse, antal inddelinger) I ovenstående tilfælde finder vi fx således: 63
3 Man kan endda i simple tilfælde udregne venstresummen symbolsk og derved illustrere den fundamentale sammenhæng mellem integraler og summer: Vi kan endda som sædvanligt komme til at kigge summationsrutinen i kortene: Ligesom ved differentiation kan man også integrere i funktions- og data-tabeller. Det sker ved anvendelse kommandoen INT_DATA( x-y-tabel), der integreres ved hjælp af en trapez-sum. Vi viser et enkelt simpelt eksempel: Eksempel 1: Ved en accelerationsprøve med en bil foretages hvert sekund en måling af bilens fart. Resultatet fremgår af den nedenstående tabel: Antal sekunder efter start Fart i meter pr. sekund Skitsér grafen for den funktion v, der angiver bilens fart som funktion af tiden. Skitsér grafen for et skøn over den funktion a, der angiver accelerationen som funktion af tiden. Giv et skøn over den maksimal acceleration. Skitser grafen for et skøn over den funktion s, der angivere den tilbagelagte strækning som funktion af tiden. Giv et skøn over den vejstrækning, bilen har tilbagelagt i de første 8 sekunder af prøvekørslen. Løsning: Tabellen indskrives som en punkttabel v_data, hvorefter vi umiddelbart kan konstruere et plot over hastigheden som funktion af tiden: 64
4 For dernæst at finde accelerationsdataene skal vi udføre en tabeldifferentiation: Et skøn over den maksimale acceleration er altså 6 m/s 2 (som opnås efter 3 sekunders kørsel). Endelig skal vi have fat i vejlængden som funktion af tiden og det kræver en tabelintegration. Den viser samtidigt, at den samlede vejstrækning kan skønnes til ca. 135 m. 65
5 5.3 Sammenhængen mellem integraler og arealer Integralet er tæt knyttet til arealbegrebet, og det kan man nemt få illustreret med PLOTINT-kommandoen: PLOTINT( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse). Det genererer som vist en liste af tre plot-udtryk: Først grafen, så det område mellem x-aksen og grafen, som ligger over x-aksen, og endelig det område mellem x-aksen og grafen, som ligger under x-aksen: Værdien af integralet er så differensen mellem arealet af området over x-aksen og arealet af området under x-aksen: Hvis vi der i mod vil have bestemt det geometriske areal af det skraverede område, kan vi enten opdele det i passende stykker eller inkludere integranden i en numerisk værdi: 66
6 Hvis integralerne kan udregnes eksakt, vil Derive selv forsøge sig med en opdeling af området: Først integralet: Så arealet: Det kan selvfølgelig alt sammen nemt udtrækkes til arealet begrænset af to grafer. Igen kan arealet i almindelighed udregnes automatisk ved at inkludere et sæt numeriske tegn omkring differensen, dvs. udregne integralet: b A = f ( x) g( x) dx a 67
7 5.4 Regneregler for integration Kapitel 5: Integration med Derive Der findes også specifikke integrationsrutiner, såsom delvis integration og integration ved substitution. Problemet er nemlig, at kun de mest simple regneoperationer har en integrationsregel knyttet til sig: Når det kommer til integration af fx produkter må man i stedet forsøge sig med delvis integration eller integration med substitution. Delvis integration benyttes til produkter, hvor man skal kunne differentiere den første faktor og integrere den anden faktor. Kommandoen ser således ud: Hvis vi indsætter g'(x) for den anden faktor kan den uden videre integreres og vi finder: Men reglen er i øvrigt svær at illustrere, da den kræver et produkt, som Derive ikke kan håndtere på anden vis! Faktisk vil Derive af sig selv udføre en delvis integration, hvis integranden forenkles ved denne operation. Integration ved substitution benytter kommandoen INT_SUBST( y(x), x, u(x) ) hvor vi udfører substitutionen x = u 1 (t) til at udføre integrationen og dernæst substitutionen t = u(x) til at føre integralet tilbage til x. Tilsvarende bygges kommandoen op for bestemte integraler (men læg mærke til navneskiftet!): DEF_INT_SUBST( y(x), x, u(x), a, b ) Men her skiftes grænserne blot til t1 = u(a) og t2 = u(b) efter at integralet er blevet omformet med substitutionen x = u 1 (t). Til slut omdøbes t så igen til x, hvil- 68
8 ket godt kan virke lidt forvirrende, men navnet på integrationsvariablen er jo uden betydning for slutresultatet. Denne gang kan man godt se, at der er sket noget: Specielt integration med substitution kan være nyttig ved analysen af symbolske integraler, som ellers ikke kan knækkes af Derive. Fx kan vi få trukket symbolske konstanter uden for integralet. Forsøger vi os fx med integralet: har Derive ikke umiddelbart noget bud. Men foretager vi substitutionen t = k x, ser vi til vores glæde at integralet faktisk slet ikke afhænger af k og derfor i hvert fald kan udregnes numerisk: Som ved den delvise integration er det svært at give simple eksempler på overbevisende anvendelser af substitutionen, fordi Derive kaster sig over denne mulighed i langt de fleste eksempler helt af sig selv. Gode eksempler bliver derfor nemt lidt giftige! Vi skal se på et sådant senere hen. 69
9 5.5 Anvendelser af integralregning Kapitel 5: Integration med Derive Der findes også to specialkommandoer til typiske anvendelser af integralregningen. For det første kan vi udregne buelængder ved hjælp af kommandoen ARC_LENGTH( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) Det foregår altså på præcis samme måde som for TI-89/92+: For det andet kan vi beregne rumfanget af et omdrejningslegeme ved hjælp af kommandoen (hvor det er underforstået, at der drejes omkring x-aksen): VOLUME_OF_REVOLUTION(udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) Det er selvfølgelig ikke særligt ophidsende, men Derive kan faktisk også finde automatisk rumfanget af omdrejningslegemer, hvor vi i stedet drejer grundområdet (begrænset af x-aksen, grafen y = f(x) og de lodrette linjer x = a og x = b) omkring y-aksen. Det sker ved hjælp af kommandoen: VOLUMEY_OF_REVOLUTION( f(x), x, a, b) Det sker ved hjælp af en overraskende simpel formel: Endelig har Derive en kommando til udregning af overfladearealet for et omdrejningslegeme. Det skever ved hjælp af kommandoen: 70
10 AREA_OF_REVOLUTION( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) når vi drejer grundområdet omkring x-aksen: Og tilsvarende kan vi benytte kommandoen AREAY_OF_REVOLUTION( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) når vi drejer grundområdet omkring y-aksen: Alt sammen kan nemt illustreres i et 3d-grafvindue. Når vi fx drejer omkring x- aksen sker det ved tegning af fladen: [t, f(t) cos(s), f(t) sin(s) ] med a < t < b og 0 < s < 2π 71
11 5.6 Et giftigt eksempel: Plancks strålingslov Her i hundredåret for opdagelsen af Plancks konstant h, kan vi bruge hulrumsstrålingen til at illustrere, hvordan man håndterer semisymbolske beregninger med Derive. I forbindelse med strålingslovene for et sort legeme opstillede Planck det følgende berømte udtryk for tætheden af hulrumsstrålingen som funktion af bølgelængden λ og temperaturen T: s( λ ) = 2 2πch 1 5 hc λ kt λ Bemærkning: Udtrykket er specielt berømt, fordi det var første gang Plancks konstant h blev inddraget i en fysisk teori. Det førte blandt meget andet til Stefan-Boltzmanns lov for den totale udstråling, og Wiens forskydningslov for den maksimale strålingstæthed. Det er disse to love, vi nu vil forsøge at undersøge. Wiens forskydningslov: Vi starter med at tegne graferne for tæthedsfordelingen ved forskellige temperaturer. Vi får da brug for værdierne for naturkonstanterne c, h og k udtrykt i SI-enheder: c = m/s Først indskrives udtrykket for tætheden: e 1 h = 6, Js k = 1, J/K Derefter substitueres disse værdier for naturkonstanterne sammen med en passende værdi for temperaturen, fx T = 1000 K: 72
12 Så overføres udtrykket til grafvinduet i det vi sætter vinduesgrænserne til at lade x gå fra 0 til 10 5, dvs nm, så vi får lidt mere end det synlige område med, og lader Derive om at finde y-grænserne ved en autoscale: Her ses så grafen med et tydeligt maksimum ved λ = 2,9 µm, dvs. λ = 2900 nm. Undersøger vi nu tæthedsfordelingen ved forskellige temperaturer kan vi tydeligt se at maksimumspunktet forskydes: Når temperaturen stiger falder den optimale bølgelængde: Men hvordan afhænger maksimumspunktets bølgelængde λ af temperaturen T+ Det er netop indholdet af Wiens forskydningslov. For at finde ud af det kan vi jo bare differentiere tæthedsfunktionen med hensyn til bølgelængden: 73
13 Det ser jo rimeligt kompliceret ud, men vi forøger alligevel at lade Derive finde nulpunktet symbolsk: Men det får vi ikke meget ud af! Derive svarer stort set bare at i så fald skal tælleren være nul, og det kan jo være rigtigt nok! Vi kan så gøre et af to: Vi kan løse problemet numerisk, ved enten grafisk eller numerisk at finde værdien for den optimale λ for en stribe udvalgte værdier af T, og så se om fx en simpel potensmodel kan bruges til at fitte disse data, eller vi kan forsøge at løse problemet semisymbolsk ved hjælp af en passende substitution. Vi er ambitiøse og forsøger det sidste. Da argumentet for eksponentialfunktionen e hc kt λ er temmelig snasket forsøger vi os med substitutionen x hc = kt λ Det giver pote: Resultatet er nemlig en simpel transcendent ligning i x x e ( x 5) = 5 som Derive godt nok heller ikke kan løse symbolsk, men den kan til gengæld løses numerisk. Den har en triviel løsning i x = 0, som er uinteressant, så vi søger i intervallet ]1;5[: 74
14 Tilbage er der så kun at substituere udtrykket for λ og vi har fundet Wiens forskydningslov: Den optimale bølgelængde er altså omvendt proportional med temperaturen og indsættes værdierne for naturkonstanterne finder man: Men det skal understreges, at det kunne vi selvfølgelig også have fundet ved hjælp af den numerisk grafiske metode ud fra en tabel over sammenhørend værdier af λ og T. Stefan Boltzmanns lov: Vi går så over til at se nærmere på den samlede udstråling, som er givet ved integralet (dvs. arealet under tæthedskurven): 2 2πch 1 ( ) hc λ kt λ S = s λ dλ = dλ e 1 Den komme så til at afhænge af temperaturen, og spørgsmålet er blot: hvordan? Vi pudser Derive på integralet: Det får vi tydeligvis ikke meget ud af. Derive opgiver stort set at udregne integralet. Vi kunne jo nok også selv have fundet ud af at trække konstanterne udenfor! Igen kan vi så gøre et af to: Vi kan løse problemet numerisk, ved at beregne integralet numerisk for en stribe udvalgte værdier af T, og så se om fx en simpel potensmodel kan bruges til at fitte disse data, eller vi kan forsøge at løse problemet semisymbolsk ved hjælp af en passende substitution. Vi er ambitiøse og forsøger det sidste. Som før bemærker vi at argumentet for eksponentialfunktionen 75
15 er temmelig snasket, og forsøger os derfor igen med substitutionen e hc kt λ Det giver næsten pote: x hc hc = λ = kt λ ktx Bortset fra lidt sjov med den nedre grænse, der selvfølgelig skal være +, er det lykkedes os at hive alle konstanterne ud af integralet. Vi er derfor klar til at udregne integralet numerisk, men lad os lige prøve først med en symbolsk integration, efter at vi har håndrettet grænsen: Miraklet skete: Derive kunne faktisk godt finde ud af at regne det bestemte integral ud. Det er så meget mere imponerende, som at Derive ikke har nogen anelse om, hvordan stamfunktionen ser ud! Dermed har vi udledt Stefans Boltzmans lov ifølge hvilken den totale udstrålingen er proportional med fjerde potens af temperaturen. Og vi har endda fundet et fuldstændigt symbolsk udtryk for sammenhængen: π k S =σ T, σ= ch Sig så ikke, at Derive ikke kan integrere selv om den måtte have lidt hjælp undervejs! 76
Integralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereGrafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer
Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereSome like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS
Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereIntegralregning ( 23-27)
Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDernæst vil der komme et vindue frem, hvor man kan ændre på x- og y-aksen samt andre indstillinger så som farve og skrift.
IT Inden du starter med at tegne funktionerne ind i Graph er det en god ide, at indstille akserne til behovet. Det gør man ved at gå op i værktøjslinjen hvor man finder det ikon som her er markeret med
Læs mereIntegration. Frank Nasser. 15. april 2011
Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereLommeregnerkursus 2008
Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereKapitel 3: Modeller i Derive
3. Modeller i Derive 3.1 Indledende knæbøjninger For at regne på modeller i Derive skal vi bruge FIT-funktionen som tilpasser et datasæt til et vilkårligt udtryk med lineære parametre ved hjælp af mindste
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mere1. Graftegning i Derive
1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et
Læs mereØvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.
Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mere4. Differentiation med Derive
4. Differentiation med Derive 4.1 Symbolsk differentiation Det er uhyre nemt at differentiere med Derive. Der findes nemlig en differentiationskommando DIF( udtryk, variabel, [orden]). Oplyser man ikke
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntegration. Frank Villa. 8. oktober 2012
Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereINERTIMOMENT for stive legemer
Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet
Læs mereLæringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4
Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereUddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne
Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2
Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereKinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereNumeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen
Læs mereProjekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?
Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.
Læs mereArealer som summer Numerisk integration
Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mere1. Installere Logger Pro
Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Steffen Podlech 3F Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mere