Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf... 3. Tegne graf ud fra forskrift... 3. Aflæse funktionsværdier grafisk: Kender, skal finde.... Beregne funktionsværdier: Kender, skal finde... 5 5. Løse simpel ligning grafisk: Kender, skal finde.... Løse simpel ligning ved beregning: Kender, skal finde... 7 7. Beregne forskrift ud fra to punkter på graf.... Beregn grafens skæringspunkt med -aksen... 9. Løse ligning af tpen f() = g() grafisk.... Løse ligning af tpen f() = g() ved beregning.... Bestemme -tilvæksten for en given -tilvækst.... Opstille og regne på lineære modeller... 3 3. Lineær regression og fortolkning af a og b... 5
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 3 Eksempel (Aflæse forskrift fra graf) Den lineære funktion med grafen () til højre må have forskriften f( ) 3 fordi grafen skærer -aksen i og fordi der er en - tilvækst på 3, hver gang vokser med. Tilsvarende har den lineære funktion med graf () forskriften f( ), fordi grafen skærer -aksen i og -tilvæksten er, hver gang vokser med.,5 - - 3 - () () - Opgave (Aflæse forskrift fra graf) Aflæs forskrifterne for hver af de fem lineære funktioner med graferne nedenfor. (3) () (5) - - - - () - () - () () (3) () (5)
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgave 3 (Tegn graf ud fra forskrift) Tegn i nedenstående koordinatsstem graferne for følgende lineære funktioner: () f( ) 3 () f( ) 5 (3) f( ) () f( ) 7 - - - - - - Eksempel (Aflæse funktionsværdier grafisk: Kender, skal finde ) Til højre er tegnet graferne for to lineære funktioner. Funktionsværdier for f i fås ved at "gå" hen til på -aksen, op til grafen og hen til -aksen. Her aflæses tallet. Da skrives: f() Tilsvarende, fås funktionsværdien for g i til at være: g( ) 3 En funktionsværdi er et tal, nemlig -værdien, der hører til den aktuelle -værdi! - - - - - - g ( ) f( )
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 5 Eksempel 5 (Beregning af funktionsværdier: Kender, skal finde ) Vi kigger på de to funktioner: f( ) og g( ). Funktionsværdien for f i udregnes ved at udskifte alle forekomster af i forskriften med og regne: f() Funktionsværdien for funktionen g i : g( ) ( ) 3 3 NB! Da funktionerne i dette eksempel netop har graferne i eksempel, får vi samme resultater som i eksempel. Opgave (Aflæse funktionsværdier grafisk: Kender, skal finde ) På figuren nedenfor er afbildet graferne for to lineære funktioner f og g. Du skal ved aflæsning angive følgende funktionsværdier i de tomme felter: f() f(5) g( ) g() Husk at markere aflæsningerne på graferne, ligesom i eksempel! f( ) - - - - - g( ) -
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgave 7 (Udregn funktionsværdier) Lad f( ) 3og g( ). Bestem funktionsværdierne nedenfor (husk mellemregninger som i eksempel 5): f() f(5) g( ) g() NB! Fik du samme resultater som ved aflæsning i opgave? Eksempel (Løs simpel ligning grafisk: Kender, skal finde ) Til højre er tegnet graferne for to lineære funktioner f og g. Løs følgende to ligninger grafisk: f( ) g( ) 7 I begge tilfælde kender vi altså - værdien og skal finde, sagt lidt løst. Derfor "går" vi fra den pågældende -værdi vandret hen til grafen og ned/op til -aksen og aflæser løsninger. Vi kan skrive: f( ) 5,5 g( ) 7 - - 5,5-7 f( ) g( ) Bemærkning 9 Der er altså tale om løsninger af ligninger i eksempel. Ligninger kan generelt set have ingen løsninger, én løsning, flere løsninger eller uendeligt mange løsninger!
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 7 Eksempel (Løs simpel ligning ved beregning: Kender, skal finde ) Lad f( ) og g( ). a) Løs ligningen f( ) 9. b) Løs ligningen g( ) 7. Løsninger: a) f( ) 9 9 5,5 Først lægges til på begge sider af lighedstegnet, derefter divideres med på begge sider. b) g( ) 7 7 Først trækkes fra på begge sider af lighedstegnet, derefter ganges med på begge sider af lighedstegnet. NB! Funktionerne i denne opgave har netop de grafer, som er vist i eksempel. Vi ser, at vi får samme resultater som i eksempel. Opgave (Løs simpel ligning grafisk: Kender, skal finde ) Nedenfor er afbildet graferne for to funktioner. a) Løs ligningen f( ) grafisk. b) Løs ligningen g( ) grafisk. NB! Husk at markere løsningerne! f( ) g ( ) - - - - - -
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgave (Løs simpel ligning ved beregning: Kender, skal finde ) Giver funktionerne f( ) 7 og g( ) 3. a) Løs ligningen f( ) ved beregning. b) Løs ligningen g( ) ved beregning. NB! Funktionerne har netop de grafer, som blev vist i opgave. Får du de samme løsninger som i opgave? Eksempel 3 (Beregne forskrift ud fra to punkter på grafen) a) Grafen for en lineær funktion f går igennem punkterne (,3) og (,7). Beregn forskriften for f. b) Grafen for en lineær funktion g går igennem punkterne (,) og (3, ). Beregn forskriften for g. Løsninger: a) a 7 3 b a 3 3 Heraf fås f( ). b) a 5 3 ( ) 5 b a ( ) ( ) Heraf fås g( ).
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 9 Opgave (Beregne forskrift ud fra to punkter på grafen) I hver af nedenstående delspørgsmål skal du beregne forskriften for den lineære funktion, hvis graf passerer igennem de to angivne punkter. a) (,) og (,5) b) (,) og (,) c) (,) og (,) d) (,7;,) og (5,;,9)
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgave 5 (Beregne forskrift ud fra to punkter på grafen) Bestem forskriften for den lineære funktion f, som opflder f( ) og f(3). Eksempel (Beregn grafens skæring med -aksen) Lad f( ). Beregn det punkt, hvor grafen skærer -aksen. Løsning: Da punkter på -aksen har -koordinat, skal vi altså løse ligningen f( ). Vi er dermed i et specialtilfælde af opgavetpen fra eksempel. f( ) Grafens skæringspunkt med -aksen har altså koordinaterne (,). Opgave 7 (Beregn grafens skæring med -aksen) a) Lad f( ) 3 3. Beregn det punkt, hvor grafen skærer -aksen. b) Lad f( ). Beregn det punkt, hvor grafen skærer -aksen.
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Eksempel (Løse ligning af tpen f () = g() grafisk) Graferne for de lineære funktioner f og g er afbildet i koordi- natsstemet til højre. Løs ligningen f( ) g( ) grafisk. f( ) Løsning: f( ) g( ),7 jf. markeringen på grafen. NB! Vi søger altså de værdier af, for hvilket f og g giver samme -værdi. Det svarer til at bestemme skæringspunktet mellem de to grafer og vælge -koordinaten (ikke begge koordinater!). - -,7 - g( ) Eksempel 9 (Løse ligning af tpen f () = g() ved beregning) Givet de to lineære funktioner: f( ) 3 og g( ). Løs ved beregning ligningen f( ) g( ). Løsning: Vi indsætter blot udtrkkene for f( ) og g( ) og løser ligningen: f( ) g( ) 3 3 3,5 3,5 7 I sidste skridt forlænger vi lige med i tæller og nævner for at få en brøk mellem hele tal. Tallet /7 er den eksakte løsning. I kommatal er det,7357 Bemærk, at da graferne fra eksempel netop er graferne for f og g i denne opgave, så skulle vi gerne få samme løsning. Det gør vi også op til den nøjagtighed, der med rimelighed kan aflæses med. Ved grafisk løsning tillades en lille afvigelse, da man ikke kan aflæse nøjagtigt! Opgave (Tegne graf, aflæse og beregne løsning til ligning af tpen f () = g()) Givet de to lineære funktioner: f( ) 3og g( ) 5. a) Tegn graferne for de to funktioner i koordinatsstemet på næste side. b) Løs ligningen f( ) g( ) grafisk. c) Løs ligningen f( ) g( ) ved beregning. Får du det samme som i b) eller tæt på?
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk - - - Eksempel (Bestemme -tilvæksten for en given -tilvækst) Lad f( ),7,9. a) Hvor meget vokser funktionsværdien med, når gives en positiv tilvækst på 5? b) Samme spørgsmål, hvis gives en tilvækst på. Løsninger: En omskrivning af formlen for a giver: a a. a) a,7 5 3,5 Når vokser med,7, vil funktionsværdien eller altså vokse med 3,5. b) a,7 ( ) 7 Når aftager med, vil funktionsværdien eller altså aftage med 7. Opgave (Bestemme -tilvæksten for en given -tilvækst) Lad f( ). Hvad sker der med funktionsværdien (-værdien), hvis vokser med 5? Samme spørgsmål, hvis aftager med 3.
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 3 Eksempel 3 (Opstille simpel lineær model) En kunde hos et elselskab skal betale et fast månedligt abonnement på kr. Derudover skal kunden betale,35 kr. pr. kwh energi, denne forbruger. Opstil en simpel lineær model, som angiver kundens månedlige udgifter til el som funktion af den forbrugte mængde energi i perioden. Løsning: Det er altid godt at gøre sig klart, hvad og skal betde (med enheder): : Antal brugte kwh. : Den samlede månedlige pris i kr. EL kwh Det er ret indlsende, at man får den variable del af prisen ved at gange antal kwh med prisen pr. kwh, altså,35 (hvis vi undertrkket enheden på de,35). Derefter lægges den faste pris til. Altså alt i alt:,35 Forskriften kan bruges til at udregne ting, men det vil vi overlade til en senere opgave. Opgave (Opstille simpel lineær model m. m.) Der er 5 liter vand i en beholder. Der tappes vand fra beholderen med en konstant hastighed på,5 liter i timen. a) Opstil en simpel lineær model, som beskriver indholdet af vand i beholderen som funktion af tiden efter start. Beskriv først med ord hvad og skal stå for, inklusiv enheder. b) Hvornår er der liter vand tilbage i beholderen? Løs som ligning. c) Hvor længe går der, før beholderen er tom? Løs igen som ligning.
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgave 5 (Opstille simpel lineær model) Et taa-firma tager et startgebr på 3 kr. og derudover kr. pr. kørt km. a) Opstil en simpel lineær model, som beskriver prisen for at køre i taaen som funktion af antal kørte km. Beskriv først med ord hvad og skal stå for, inklusiv enheder. b) Hvor meget koster det at køre 3 km? Hjælp: Udregn resultatet som en funktionsværdi. c) Hvor langt kan man køre for kr.? Hjælp: Optil ligning. d) Den lineære model er ikke helt realistisk. Der er et forhold ved taa-kørsel, som den ikke tager højde for. Hvilken? Opgave (Regne videre med simpel lineær model) I denne opgave skal du arbejde videre med den lineære model fra eksempel 3. En måned får kunden en regning på 5 kr. Hvor mange kwh havde kunden brugt den måned? Hjælp: Opstil ligning ud fra den lineære model og løs ligningen.
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 5 Eksempel 7 (Lineær regression med fortolkninger af a og b) I et forsøg med en væske i et måleglas anbragt på en vægt har man foretaget sammenhørende målinger af vægtens visning og væskemængden. Det har givet anledning til måleresultaterne i tabellen herunder til venstre. Ved at plotte punkterne ind i et koordinatsstem har man registeret, at der op til usikkerheder er tale om en lineær sammenhæng. Derfor er det relevant at udføre lineær regression på data. I dette tilfælde er Microsoft Ecel blevet benttet, men det kan i princippet være et vilkårligt program, som kan gøre det., g (ml) (g) 59,,5 3 7, 5 9,3 7, 3, 9, Vægt (g) Vægt som funktion af væskemængde =,77 + 5, Væskemængde (ml) Resultatet er, at den lineære sammenhæng er,77 5,, hvor er antal ml væske i måleglasset og er vægtens visning i gram. Vi skal give en fortolkning af a og b i den lineære sammenhæng: Vi ved, at b er grafens skæring med -aksen. Men det svarer til at, hvilket vil sige, at der er ml væske i måleglasset. Det betder, at vi kan fortolke b som massen af det tomme måleglas. Måleglasset vejer altså ca. 5, g. Hvad angår a,77, så ved vi, at den angiver -tilvæksten ved en -tilvækst på. Det betder her, at hvis vi kommer en ekstra ml væske i måleglasset, så øges vægtens visning med,77 g. Den ekstra ml væske vejer altså,77 g. Den opmærksomme læser vil måske opdage, at det betder, at masseflden (eller densiteten) af væsken er,77 g/ml. NB! Egentlig har a og b også enheder på her, det er bare de færreste programmer, som kan håndtere det. Men man kan tænke sig til det: Hældningskoeficienten a har altid den enhed, som fremkommer ved at dividere enheden på -aksen med enheden på -aksen. Konstantleddet b har altid samme enhed som den på -aksen. Det kan hjælpe én med at komme til fortolkningerne, hvis man indser dette!
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgave (Lineær regression med fortolkninger af a og b m. m.) I et forsøg hælder man en mængde vand i en elkedel og tænder for elkedlen. I tabellen til højre er angivet vandets temperatur som funktion af tiden. Enhederne står i parentes. a) Foretag lineær regression på data med et eller andet redskab, som kan angive forskriften for den bedste lineære sammenhæng og tegne punkter og grafen for den lineære sammenhæng. Hvor godt passer linjen til data? b) Opskriv tdeligt med ord og enheder, hvad og betder i modellen. (s) ( C),7 3,3 37 39, 5,3 57,,9 5, c) Giv en fortolkning af a og b i den konkrete model. Du skal inddrage de konkrete tal og bruge enheder. Hvad fortæller a og b? d) Bent modellen til at give et bud på, hvad vandets temperatur var efter 9 sekunder. e) Bent modellen til at give et bud på, hvor lang tid der går, før temperaturen når 95 C.
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk 7 Opgave 9 (Fortolkning af a og b i en lineær model) Indenfor naturgeografi arbejder man med en såkaldt standardatmosfære. Den indeholder en model over trkkets og luftens temperaturs afhængighed af højden over jordoverfladen. Hvad angår temperaturens afhængighed, har man følgende model i Troposfæren:,5 5 hvor er højden over jordoverfladen regnet i km og er temperaturen i C. Giv en fortolkning af a g b i den lineære sammenhæng. Prøv også at sætte enheder på.