Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Polynomiumsbrøker 1 2.1 Definitionsmængder................ 2 2.2 Grafer........................ 3 3 Polynomiers division 3 3.1 Division med rest.................. 4 3.2 Forklaring og pointe................ 6 3.3 Polynomiers division................ 8 3.4 Et fantastisk resultat................ 9 4 Asymptoter for polynomiumsbrøker 10 4.1 Vandrette asymptoter............... 10 4.2 Skrå asymtoter................... 10 4.3 Lodrette asymptoter................ 11
Resumé I dette lille dokumenter ser vi på den funktionstype som hedder polynomiumsbrøker eller med et fint ord: Rationelle funktioner. Vi skal se på hvilke asymptoterne graferne for disse funktioner kan have. I den forbindelse introducerer vi en teknik kaldet polynomiers division som kan bruges til at finde sådanne asymptoter. 1 Introduktion Vi skal her se på en vigtig type af funktioner, nemlig de såkaldte polynomiumsbrøker. De er vigtige fordi de er tilpas komplicerede til at have nogle interessante egenskaber, men samtidigt består de af de simpleste komponenter vi har: polynomier. Den vigtigste grund til at arbejde med polynomiumsbrøker er at de næsten altid har grafer med en eller flere asymptoter. Derfor er det en god mulighed for at vænne sig til asymptotebegrebet. Forudsætninger: For at læse dette dokument har du (selvfølgelig) brug for at kende til polynomier. Derudover skal du gerne have arbejdet lidt med grænseværdibegrebet og set definitionen af hvad en asymptote er. Det er også en fordel hvis du kan huske hvordan man dividerer store tal med hinanden uden lommeregner. 2 Polynomiumsbrøker En polynomiumsbrøk er præcis hvad navnet antyder: side 1
Definition 1. Hvis f og g er to polynomier, så kaldes funktionen h defineret ved: h(x) = f(x) g(x) for en polynomiumsbrøk eller en rationel funktion. Eksempel 1. Hvis f og g er givet ved henholdvis: og f(x) = x 2 + 2x 1 g(x) = 3x 3 x så kan vi definere en polynomiumsbrøk, h ved: h(x) = f(x) g(x) = x2 + 2x 1 3x 3 x 2.1 Definitionsmængder Eftersom ethvert reelt tal kan sættes ind i ethvert polynomium, er der kun en eneste ting at bekymre sig om hvis man skal sætte tal ind i en polynomiumsbrøk: Nemlig om man kommer til at dividere med nul. Derfor er det nemt at se hvad definitionsmængden for en polynomiumsbrøk er: side 2
Lemma 2. Hvis f og g er to polynomier, og h er polynomiumsbrøken givet ved: h(x) = f(x) g(x) så består definitionsmængden for h af alle reelle tal, undtagen dem hvor g(x) giver nul. Skrevet med symboler: Dm(f) = R \ {x R g(x) = 0} Øvelse 1. Lad h være polynomiumsbrøken givet ved: Hvad giver h(2)? Hvad er Dm(h) h(x) = x3 + 2x 2 + x x 2 x 2.2 Grafer Det er svært at sige noget generelt om hvordan graferne for polynomiumsbrøker ser ud, fordi det kan være meget forskelligt. Men vi kan 3 Polynomiers division Nu skal vi se på en metode til at omskrive polynomiumsbrøker (eller i hvert fald nogle af dem) til en smartere form. Det går ud på at man side 3
(på en måde) kan udføre divisionen af de to polynomier. Det minder en smule om den måde man dividerer heltal med hinanden på. 3.1 Division med rest Inden vi kaster os ud i at dividere polynomier med hinanden, vil jeg lige minde om hvordan man dividerer to heltal med hinanden, og hvad man gør når divisionen ikke går op. Eksempel 2. Hvis vi har to hele tal, x og y, f.eks: og x = 2173 y = 14 så kunne det være interessant at vide hvor stor brøken: x y = 2173 14 egentlig er. Dertil har vi en metode som foregår omtrent sådan her: 1. Vi skriver divisionen op. I vores eksempel: 2. Vi fokuserer på det første ciffer i x (2-tallet i vores eksempel) og spørger hvor mange gange divisionen går op dette. Eftersom svaret er ingen gange, gør vi intet. Hvis det skal være helt logisk så skriver vi faktisk et nul oven over dette ciffer, sådan her: 0 Men eftersom dette nul blive ligegyldigt til sidst vil vi smide det væk i de videre udregninger. side 4
3. Derefter kigger vi på de to første cifre i x, altså 21, og spørger om divisionen går op i dette. Nu er svaret 1 gang, fordi 14 går én hel gang op i 21. Derfor skriver vi et 1-tal for oven, sådan her: 1 4. Derefter udregner vi hvad 1 14 giver (det er meget let!) og skriver resultatet under de to første cifre i x, sådan her: 1 1 4 5. Derefter trækker vi de 14 som vi lige regnede ud fra det tal (21) som står ovenover og skriver resultatet nedenunder. Desuden trækker vi de sidste cifre (som vi endnu ikke har brugt) med ned. Det ser sådan her ud: 1 1 4 7 7 3 6. Herefter kører det faktisk bare forfra. Det vil sige at vi fortsætter som om vi ville dividere 14 op i de 773 som står i nederste linje. Eftersom 14 ikke går op i 7 alene, spørger vi hvor mange gange det går op i 77. Svaret er 5, og det giver følgende som næste skridt (se om du kan se hvor alle de ekstra dele er kommet fra): 7. Og en gang mere: 1 5 1 4 7 7 3 7 0 7 3 side 5
1 5 5 1 4 7 7 3 7 0 7 3 7 0 3 8. Svaret er nu at divisionen går op 155 gange med 3 til rest. Med andre ord: Hvis man ganger 14 med 155, så får man noget som er 3 mindre end 2173. Eller helt præcist: (Tjek selv at det passer!) 2173 = 155 14 + 3 3.2 Forklaring og pointe Den præcise forklaring på hvad der foregår (og hvorfor) er en smule kompliceret (lang og kedelig), men man kan godt regne det ud hvis man kigger godt efter. Det hjælper hvis man husker på hvad det er vi er i gang med: Vi prøver at gætte et tal som man kan gange med 14 og få 2173 (eller så tæt på som muligt). I skridt nummer 2 spørger vi helt præcist: Hvor mange tusinde gange går 14 op i 2000. (Bemærk at de sidste tre cifre aldrig vil kunne ændre på svaret til dette spørgsmål. Derfor ignorerer vi dem.) Eftersom svaret er nul, går vi videre til punkt 3. I punkt 3 spørger vi hvor mange hundrede gange 14 går på i 2100. (Nu er 1-tallet i til gengæld vigtigt. Hvis det f.eks. havde været et 8-tal, kunne divisionen gå en ekstra gang op.) Denne gang er svaret 1 (hundrede) gange, så derfor skriver vi et 1-tal på hundredernes plads i antallet af gange som divisionen går op. side 6
I punkt 4 regner vi så ud hvor meget vi har ramt indtil nu. Det er denne gang en meget nem udregning af 1 (hundrede) gange 14, som selvfølgelig giver 14 (hundrede). Derefter trækker vi de 1400 fra de 2173, for at se hvor meget vi mangler at ramme. Bemærk at det som vi her regner ud altid vil være mindre end 1400, fordi ellers var den foregående division gået op mindst 1 gang mere. Derfor kan vi starte forfra, idet vi spørger hvor mange ti gange 14 går op i resten. Og sådan kører det videre, indtil vi har spurgt hvor mange gange 14 selv går op i en eller anden rest. Bemærk at i dette sidste skridt vil resten altid blive mindre end 14. Den sidste indsigt er så vigtig at vi rammer den ind som en sætning: Sætning 3. Hvis x og y er to hele tal, så kan vi udføre division med rest af y op i x. Det resulterer i en såkaldt kvotient q (antallet af gange divisionen går op) og en rest, r. De opfylder tilsammen at: x = q y + r Resten r vil altid være mindre end y. Naturligvis er der et par småting der kan gå anderledes end i eksemplet ovenfor. I det næste eksempel har vi lavet en (lidt vild) udregning, hvor alt hvad der kan gå anderledes gør det: Eksempel 3. Denne gang får du ikke hvert skridt forklaret. Prøv at lave beregningen selv, og sammenlign dit resultat med nedenstående: Vi vil dividere x = 256240 med y = 14. side 7
1 8 3 0 2 14 2 5 6 2 4 0 1 4 1 1 6 2 4 0 1 1 2 4 2 4 0 4 2 0 4 0 2 8 1 2 3.3 Polynomiers division Nu vil vi opfinde en måde at dividere polymomier med hinanden på. Metoden minder på mange måder om division med rest i de hele tal, men der er også et par forskelle. Især skal du være opmærksom på følgende: Hvis f og g er to polynomier, og vi sætter os for at dividere f med g, så spørger vi altså os selv om hvad man skal gange g med for at få f (eller så tæt på som muligt). Her mener vi helt præcist hvilket polynomium man skal gange g med for at forsøge at få f. Eksempel 4. Jeg vil denne gang prøve at dividere femtegradspolynomiet f, givet ved: f(x) = med andengradpolynomiet g, givet ved: g(x) = 4x 2 2x + 3 side 8
Udregningen står nedenunder. Prøv om du kan se hvordan (og hvorfor) hvert enkelt skridt er foretaget: 2x 2 + 9 4 x 15 8 4x 2 2x + 3 8x 4 + 5x 3 6x 2 + 2x 4 8x 4 4x 3 + 6x 2 9x 3 12x 2 + 2x 9x 3 9 2 x2 + 27x 4 15 2 x2 19x 4 4 15 2 x2 + 15x 4 45 8 17x 2 + 13 8 3.4 Et fantastisk resultat Metoden til division af polynomier har en helt fantastisk konsekvens, som du sikkert har hørt før, men som du garanteret aldrig har fået bevist. Det kan vi nu: (Og vi gør det, selvom det egentlig ikke hører hjemme i et metode dokument som dette.) Sætning 4. Hvis f er et polynomium, og x 0 er en såkaldt rod i f. (Det er bare en smart måde at sige på, at x 0 er reelt tal som opfylder at: f(x 0 ) = 0) så vil division med polynomiet g, givet ved: g(x) = x x 0 gå op! Sagt med andre ord, f vil kunne skrives som: f(x) = (x x 0 ) p(x) hvor p(x) er et polynomium af grad 1 lavere end f. side 9
4 Asymptoter for polynomiumsbrøker 4.1 Vandrette asymptoter De nemmeste asymptoter at få øje på er de vandrette. Vi minder lige om hvad det vil sige at være en vandret asymptote: Definition 5 (Vandret asymptote). Hvis f : R R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen for f at have den vandrette linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 y = a} f(x) a eller f(x) a eller eventuelt begge dele., når x, når x 4.2 Skrå asymtoter De sjoveste (men nok også sværeste) asymtoter at få øje på er de skrå. Dem minder vi også lige om hvad betyder: Definition 6 (Skrå asymptote). Hvis f : R R er en funktion og a og b er reelle tal, så siges grafen for f at have den skrå linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 y = ax + b} f(x) (ax + b) 0, når x side 10
eller f(x) (ax + b) 0 eller eventuelt begge dele., når x 4.3 Lodrette asymptoter Til sidst har vi de lodrette asymptoter. De er nok de mest irriterende, fordi de burde være så nemme, men så er det alligevel ret besværligt. Definition 7 (Lodret asymptote). Hvis f : R R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen for f at have den lodrette linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 x = a} 1. a ligger uden for definitionsmængden Dm(f). 2. Man kan lade x gå imod a, sådan at x 1, x 2, x 3... ligger i definitionsmængden Dm(f). 3. f(x), når x a side 11