Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig om forhold mellem ensliggende sider i ensvinklede treknter. Trigonometri er mtemtik, der er udviklet med det formål t kunne eregne størrelser f vinkler og længder. Det kn fx være de spidse vinkler i retvinklede treknter, ukendte sider i en treknt eller højden på træer, redden f søer, fstnde i rummet m.m. I trigonometrien nvendes trigonometriske funktioner, og dem skl du rejde med i dette kpitel. De trigonometriske funktioner kldes sinus, osinus og tngens. Du skl ligeledes eregne vinkler, længder og reler ved hjælp f trigonometri. Du kn eller skl ruge et digitlt værktøj til mnge f opgverne og undersøgelserne i dette kpitel. MÅL, FGORD OG EGREER Målet er, t du: kn undersøge og rgumentere for, hvordn du finder ukendte vinkler og længder vh. trigonometri kn forklre flere smmenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede treknter kn eregne længder, vinkler og reler i omverdenen kn nvende de trigonometriske funktioner, sinus, osinus og tngens, til t eregne vinkelstørrelser og sidelængder i retvinklede treknter kn nvende trigonometri til t eregne trekntsreler. Du skl rejde med: Pythgors sætning hosliggende ktete modstående ktete ligednnethed enhedsirkel enhedstreknt sinus osinus tngens. FORHÅNDSVIDEN OPGVE 1 eskriv egreerne og sætningerne i oksen til højre med ord og tegninger. LIGEDNNETHED PYTHGORS SÆTNING RETVINKLET TREKNT VINKELSUM I TREKNT HYPOTENUSE KTETE LÆNGDEFORHOLD ENSLIGGENDE VINKLER VED PRLLELLE LINJER LIGEENET TREKNT PRLLELLE LINJER
TRIGONOMETRI 57 OPGVE 2 100 R 5,8 30 4,5 D 50 8,8 100 13,5 E OPGVE 5 Linjestykkerne og ED er prllelle. 20 D 10 E F Forklr, hvorfor de to treknter er ligednnede. eregn de mnglende vinkelstørrelser og sidelængder i hver figur. 2,5 OPGVE 3 Treknt og treknt DE er ligeenede. Tegn din egen skitse f figuren. Mrker på skitsen, hvilke vinkler der hr smme størrelse. Forklr, hvorfor treknt og treknt DE er ligednnede. D eregn længden f linjestykkerne, E og E. E 8 D 18 OPGVE 6 rug et digitlt værktøj til t løse opgven med. 12 Hvilke vinkler hr smme størrelse i de to treknter? eregn længden D og længden E. OPGVE 4 I tellen herunder er vist sidelængder i forskellige retvinklede treknter. Vinkel er i lle treknter den rette vinkel. Tegn tre retvinklede treknter, hvor vinkel er den rette vinkel, og siden i lle tilfælde er 3. Tegn treknterne, så vinkel er henholdsvis 20, 40 og 60. Udfyld en tel som vist herunder. Mål eller eregn vinkel, siden og siden i de tre treknter, og udfyld de mnglende felter i en tel som vist herunder. Vinkel Vinkel Vinkel Treknt 1 30 40 90 20 3 Treknt 2 15 24 90 40 3 Treknt 3 5 13 90 60 3 eregn de mnglende sidelængder.
58 TRIGONOMETRI TEORI SIDER OG VINKLER I TREKNTER Når du skl finde ukendte vinkler og sider i en treknt, kn du ruge forskellige metoder. Nogle gnge kn du eregne et resultt. Nogle gnge kn du tegne og måle et resultt. Du kn fx eregne en sidelængde ved hjælp f Pythgors sætning, hvis treknten er retvinklet, og du kender længden f de to ndre sider eregne fstnde og længder ved hjælp f forholdet mellem ligednnede figurer eregne en vinkelstørrelse i en treknt, hvis du kender størrelsen f de to ndre vinkler tegne en tegning f den givne sitution i et estemt længdeforhold og måle på tegningen. OPGVE 8 Vilm vil på en solrig dg måle højden på en ygning i nærheden f skolen. Hun hr tget en tvlelinel, der måler 1 meter, med ud. Vilm strter med t måle længden f tvlelinelens skygge til t være 75 m. Derefter måler hun skyggen f ygningen til t være 30 m. Tegn en skitse f situtionen. Forklr, hvordn Vilm kn finde højden f ygningen ud fr de målinger, hun hr foretget. Hvor høj er ygningen? D Hvor lng ville ygningens skygge være, hvis tvlelinelens skygge vr 1,5 m? OPGVE 9 Her er en retvinklet treknt. Løs opgverne på dette opslg smmen med din mkker. I kn evt. ruge et digitlt værktøj til t løse opgverne. OPGVE 7 Thorjørn er kitesurfer.? 26 m Hvilke vinkler/sider kn eregnes eller måles, hvis I udover vinkel kun kender vinkel og vinkel? vinkel og? vinkel og? og? og? Undersøg, om det er muligt t eregne jer frem til lle trekntens vinkler og sider, hvis I kun kender den rette vinkel og én nden vinkel. den rette vinkel og to sider. den rette vinkel, én nden vinkel og én side. 1,5 m 10 m OPGVE 10 Om en retvinklet treknt kender vi siden og relet. 10 relet f = 20 Hvor højt oppe i luften efinder kiten sig? Vis, hvordn du kn finde ud f, hvor lng linen er, hvis kiten efinder sig 19 m over hvoverflden, og den vndrette fstnd stdig er 10 m. Tl med din mkker om, hvorvidt I kunne hve esvret de to spørgsmål på ndre måder. eregn længden f den nden ktete. eregn længden f hypotenusen.
TRIGONOMETRI 59 OPGVE 11 Mie og Louise hr fået følgende opgve f deres lærer: I skl estemme relet f den irkelformede græsplæne, der ligger tæt på skolen. I må ikke etræde græsset, og I skl ruge vinkelmåling som en del f jeres metode.. De hr fået udleveret en teodolit til t måle vinkler og et meterhjul. OPGVE 13? H 1 15 m 3 m 3,6 m Flgstng H 2 55 40 10 m I græsplænens entrum står en flgstng. I irklens periferi står to hegnspæle H 1 og H 2, som er endepunkter i en dimeter i irklen. Mie og Louise stiller sig i punkt på dimeterens midtnorml og måler vinklen mellem sigtelinjerne til de to hegnspæle. Herefter går de 10 meter længere frem til punkt og måler på smme måde som i punkt sigtevinklen. I punkt er sigtevinklen 40, og i punkt er sigtevinklen 55. Tegn en tegning f situtionen i et pssende længdeforhold. rug tegningen til t estemme længden f græsrelets dimeter. eregn relet f græsplænen. Tegningen viser en flod, hvor det ikke direkte er muligt t måle redden. Det er dog muligt ved hjælp f nogle målinger på lnd t eregne redden. De to røde lodrette linjestykker på tegningen er prllelle. Forklr, hvorfor de to treknter på tegningen er ligednnede. Forklr, hvordn målingerne kn ruges til t finde redden f floden. Hvor red er floden? OPGVE 14 I en regulær n-knt er lle vinkler og sider lige store. En regulær n-knt kn inddeles i kongruente treknter, der lle mødes i polygonens entrum. D OPGVE 12 I 9. E på Smsøgdes Skole hr eleverne fået til opgve t finde den længst mulige fstnd i klsseloklet, som kn måles lngs en ret linje. De kender følgende mål på loklet: højden er 3,5 m, redden er 8 m, og længden på loklet er 6 m. Tegn en skitse f loklet. Undersøg, hvor mnge forskellige digonllængder der er i klsseloklet. estem længden f den længste digonl i klsseloklet. D eregn den længste lige fstnd i jeres eget klsselokle. E Hvd er vinkelsummen i en treknt? Hvor mnge grder er hver vinkel i den regulære femknt DE? Tegn en femknt. Vis, t du kn finde vinkelsummen i din femknt ved t finde vinkelsummen i fem treknter og trække 360 fr. D Skriv en formel, som I kn ruge til t eregne vinkelsummen i en vilkårlig n-knt.
60 TRIGONOMETRI TEORI ENHEDSTREKNTER I ENHEDSIRKLEN ENHEDSTREKNTER Enhedstreknter er retvinklede treknter, hvor længden f hypotenusen er 1. Der kn tegnes mnge forskellige enhedstreknter - til højre er vist nogle eksempler. Hvis mn skl tegne forskellige enhedstreknter, så kn det gøres ved t tegne dem i en enhedsirkel. 1 1 1 1,0 0,8 ENHEDSIRKEL I et koordintsystem kldes irklen med entrum i punktet (0, 0) og rdius 1 koordintsystemets enhedsirkel. Når enhedsirklen er tegnet, så er det let t tegne enhedstreknter i 1. kvdrnt. Mn tegner hypotenusen fr (0, 0) til et punkt på enhedsirklen. Derefter tegner mn kteterne prllelt med x- og y-ksen. 1,0 0,6 0,4 0,2 0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 I retvinklede treknter kn det være hensigtsmæssigt t kunne præisere, hvordn kteter og spidse vinkler er pleret i forhold til hinnden. Derfor kldes den ktete, der er det ene en i en spids vinkel for den hosliggende ktete til vinklen. Den ktete, der ligger overfor en spids vinkel kldes den modstående ktete til vinklen. Modstående ktete til Hosliggende ktete til Hosliggende ktete til Modstående ktete til
TRIGONOMETRI 61 UNDERSØGELSE SMMENHÆNGEN MELLEM SPIDSE VINKLER OG KTETELÆNGDER I ENHEDSTREKNTER Undersøgelse for to personer. Mteriler: Smmenhængen mellem spidse vinkler og ktetelængder (U3), evt. filen Enhedstreknt i enhedsirkel og et digitlt værktøj. I skl undersøge smmenhængen mellem spidse vinkler og ktetelængder i enhedstreknter. Til undersøgelsen skl I enten selv tegne en enhedsirkel i et digitlt værktøj, hvori I kn tegne enhedstreknter eller I kn ruge filen Enhedstreknt i enhedsirkel. DEL 1 I skl undersøge smmenhængen mellem den spidse vinkel og kteterne i en enhedstreknt. Til undersøgelsen kn I ruge filen, hvor I kn tegne enhedstreknter i 1. kvdrnt. Udfyld først venstre splte (Hosliggende ktete) på smmenhængen mellem spidse vinkler og ktetelængder (U3). Løs opgverne herunder ved hjælp f den tel, I hr udviklet i undersøgelsen. I lle treknterne er den rette vinkel. OPGVE 15 I enhedstreknten er = 0,2588. Hvor stor er? Hvor stor er? Hvor lng er siden? OPGVE 16 I enhedstreknten er = 50. Hvor lng er den hosliggende ktete? Hvor lng er den modstående ktete? Hvor stor er? OPGVE 17 I enhedstreknten er = 36,7. ngiv et intervl, som længden f den hosliggende ktete tilhører. ngiv et intervl, som længden f den modstående ktete tilhører. OPGVE 18 I enhedstreknten er = 0,83. ngiv et intervl, som størrelsen f tilhører. ngiv et intervl, som størrelsen f tilhører. 5 10 15 Hosliggende ktete Modstående ktete OPGVE 19 Findes der en enhedstreknt, hvor de to kteter er lige store? Hvis j, hvor store er de spidse vinkler i denne treknt, og hvorfor hr de denne størrelse? eskriv udviklingen i længden f den hos liggende ktete, når s størrelse stiger fr 5 til 85. DEL 2 Undersøg på smme måde som i DEL 1, hvordn længden f den modstående ktete til ændres, når s størrelse stiger fr 5 til 85. Forklr, hvorfor 0 og 90 ikke er med i skemet.
62 TRIGONOMETRI TEORI SINUS OG OSINUS I ENHEDSTREKNTER I hr undersøgt smmenhængen mellem ktetelængder og spidse vinkler i enhedstreknter og fundet ud f, t til en estemt vinkelstørrelse svrer en estemt længde f såvel den hosliggende som den modstående ktete. Hver f disse størrelser hr et nvn. Længden f den hosliggende ktete til en spids vinkel v i en enhedstreknt kldes osinus til vinklen. Det skrives os(v). Længden f den modstående ktete til en spids vinkel v i en enhedstreknt kldes sinus til vinklen. Det skrives sin(v). 1 sin(v) v os(v) De fleste lommeregnere og digitle værktøjer hr osinus og sinus indygget, så mn ikke ehøver tegne enhedstreknter for t estemme osinus og sinus til en vinkel. UNDERSØGELSE SINUS OG OSINUS I VILKÅRLIGE RETVINKLEDE TREKNTER Undersøgelse for to personer. Mteriler: Evt. et digitlt værktøj. I skl undersøge, hvordn mn kn estemme sinus og osinus til spidse vinkler i en retvinklet treknt, der ikke er en enhedstreknt. DEL 1 og 1 1 1 er ensvinklede. I en enhedstreknt gælder, t sinus til en spids vinkel er lig med længden f den modstående ktete osinus til en spids vinkel er lig med længden f den hosliggende ktete Herunder er tegnet en vilkårlig retvinklet treknt og en enhedstreknt. De to treknter er ensvinklede. 1 2 4,5 4 1 4 1 1 1 1 os() sin() Hvd er sklfktoren fr til 1 1 1? Hvor lng er siden 1 og siden 1? DEL 2 To treknter, der er ensvinklede, er også ligednnede. I ensvinklede treknter er der ltid smme forhold mellem de ensliggende sider. I ved nu følgende: Forholdet mellem ensliggende sider i ensvinklede treknter er konstnt. Forklr, hvorfor følgende må gælde for sinus til en spids vinkel i en vilkårlig retvinklet treknt: sin() = modstående ktete = hypotenusen Forklr, hvorfor følgende må gælde for osinus til en spids vinkel i en vilkårlig retvinklet treknt: os() = hosliggende ktete = hypotenusen
TRIGONOMETRI 63 OPGVE 20 rug din lommeregner til t eregne sinus- og osinus-værdierne. sin(25 ) os(25 ) sin(53 ) os(53 ) sin(78 ) os(78 ) Tegn enhedstreknter i enhedsirklen med smme grdtl som i punkt, og smmenlign de eregnede værdier med de værdier, der kn flæses i koordintsystemet. OPGVE 21 OPGVE 23 Ivn og hns venner er ved t konstruere en rmpe til sopox-re. De vil opsætte et skilt, der skl oplyse tilskuerne om rmpens hældning, men de er i tvivl om, hvor mnge proent der skl stå på skiltet. Vinklen ved rmpens fod er 20 grder. Treknt er retvinklet, og er den rette vinkel. eregn de mnglende vinkler og sidelængder, når = 35 og = 8 = 65 og = 15 = 45 og = 14 D = 25 og = 5 OPGVE 22 Peter skl ordne fuger på en væg. Hn hr en stige, der er 4,3 m lng. f sikkerhedsmæssige årsger skl vinklen mellem jorden og stigen være 75. 20 Tegn din egen skitse f situtionen. Hvor højt er mn oppe over jorden, hvis mn går 1 meter op d rmpen? Rmpen er 20 meter lng. Hvor høj er rmpen på det højeste punkt? D Hvor lng er fstnden, hvis rmpen hr en hældning på 20, og rmpen er 20 meter lng? E Vis med eregning, hvilket proenttl der eskriver rmpens hældning. OPGVE 24 lm og Emilie kitesurfer. Linen er 25 meter lng, når den er rullet helt ud. eregn, hvor højt oppe kiten flyver i de to situtioner, der er vist herunder. 25 m 25 m 75 Hvor højt kn stigen nå op d muren? 75 1,30 m 65 1,30 m
64 TRIGONOMETRI TEORI EREGN VINKLER Når mn kender en spids vinkel v i en retvinklet treknt, så kn mn ved hjælp f en lommeregner estemme sin(v) og os(v). Hvis mn desuden kender længden f hypotenusen, kn mn eregne længden f de to kteter. Det er også muligt t eregne, hvor stor vinklen er, hvis mn kender sinus eller osinus til vinklen. Hvis sinus til vinklen er 0,84 - hvor stor er vinklen så? I koordintsystemet herunder er der tegnet en vndret linje gennem 0,84 på y-ksen. Linjen er prllel med x-ksen og skærer enhedsirklen. Derefter er der tegnet en linje gennem (0, 0) og til skæringspunktet. Vinklen v kn herefter flæses til 57,14. y 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 57,14 x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 På lommeregneren skl mn ruge den omvendte funktion til sinus-funktionen. Med den funktion, kn mn eregne, hvd vinklen v er, når mn kender sin(v). Den skrives ofte som sin 1 og læses som sinus i minus første. På smme måde findes den omvendte funktion os 1 til osinusfunktionen. OPGVE 25 Undersøg på din lommeregner og med et digitlt værktøj, hvordn du kn finde vinklerne herunder. sin(v) = 0,7313 sin(v) = 0,9986 sin(v) = 0,2079 D os(v) = 0,7986 E os(v) = 0,9455 F os(v) = 0,1219 OPGVE 26 rejd smmen med din mkker om denne opgve. Undersøg, hvd der sker med vinkelstørrelsen, jo tættere sinus til vinklen v kommer på henholdsvis 0 og 1. Undersøg, hvd der sker med vinkelstørrelsen, jo tættere osinus til vinklen v kommer på henholds vis 0 og 1. egrund jeres svr og præsenter jeres forklring for et ndet mkkerpr. I kn fx lve en videopræsenttion. OPGVE 27 I treknt er = 90, = 4 og = 9. Tegn en skitse. eregn vinklerne og. eregn længden f. OPGVE 28 I treknt er = 90, = 2 og = 7. Tegn en skitse. eregn vinklerne og. eregn længden f. OPGVE 29 I treknt er = 90, = 15 og = 25. Tegn en skitse. eregn vinklerne og. eregn længden f.
TRIGONOMETRI 65 TEORI TNGENS Undersøgelse for to personer. Mteriler: Digitlt værktøj. I kender funktionerne sinus og osinus og hr rejdet med, hvordn smmenhængen mellem kteter, hypotenuse og spidse vinkler i retvinklede treknter kn ruges til t eregne ukendte sidelængder og vinkler. Men det er også muligt t finde de spidse vinkler i en retvinklet treknt, hvis mn kender kteterne uden t være nødt til t eregne længden f hypotenusen. Dertil enyttes en funktion, der kldes tngens. I den retvinklede treknt, hvor er den rette vinkel, er tngens til vinklen lig med den modstående ktete divideret med den hosliggende ktete. tn() = egreet Tngens lev indført f den dnske professor, mtemtiker og læge Thoms Finke (1561-1656). Som 22-årig, i 1583, udgv Thoms Finke sit mtemtiske værk Geometriæ rotundi, der etyder Det rundes geometri. Det vr heri, hn præsenterede tngensfunktionen. Værket lev en f tidens mest erømte og nerkendte øger om geometri. UNDERSØGELSE TNGENS DEL 1 D I undersøgte funktionerne sinus og osinus tegnede I enhedstreknter, hvor hypotenusen vr 1. I denne undersøgelse skl I se på treknter, hvor længden f den ene ktete er 1. Tegn som vist på skærmilledet en vinkel på 40 med vinkelspidsen i punktet (0, 0) og x-ksen som vinklens højre en. Tegn en linje gennem (1, 0) vinkelret på x-ksen. Forklr, hvordn I kn flæse tn(40 ) ved t ruge jeres tegning. Smmenlign resulttet med den eregnede værdi på jeres lommeregner. Smmenlign på smme måde som i punkt og flæsning og lommeregnerværdi f følgende værdier for tngens: tn(15 ) tn(25 ) tn(35 ) tn(45 ) DEL 2 Undersøg, hvd der sker med tn(v), når vinklen v nærmer sig 90. OPGVE 30 Forklr, hvorfor mn kn finde længden f den røde ktete ved t løse ligningen: tn(34 ) = 10 Løs ligningen og eregn længden f. OPGVE 31 eregn længden f de røde kteter. 2 74 58 R 13 34 = 10
66 TRIGONOMETRI TEORI SINUS, OSINUS OG TNGENS Herunder er et smlet overlik over de trigonometriske funktioner. SINUS OSINUS TNGENS sin() = modstående ktete = hypotenusen os() = hosliggende ktete = hypotenusen tn() = modstående ktete = hosliggende ktete OPGVE 32 OPGVE 33 7 5,83 51,34 F E 4 D Tegn et skem som vist herunder, og eregn de mnglende sider og vinkler i treknt 1, 2 og 3. Treknt 1 Treknt 2 Treknt 3 Vinkel 50 25 Vinkel 45 Side 2 m 5 m Side 3 m Side Tegn en skitse f figuren. estem de mnglende sider og vinkler i disse treknter: F, EF, E og DE. OPGVE 34 Tegn en treknt,, hvor = 90 = 7 tn() = 0,5 Tegn en treknt,, hvor = 90 = 2 Tegn en treknt,, hvor = 90 os() = sin() D Tegn en treknt,, hvor = 90 sin() = os()
TRIGONOMETRI 67 OPGVE 35 I kn eregne sidelængder i en retvinklet treknt ved hjælp t osinus, sinus og tngens, hvis I re kender længden på én f siderne og størrelsen på én f de spidse vinkler. 25 I kn eregne sidelængde ved t ruge formlen for tngens til vinkel. Forklr, hvorfor følgende må gælde: tn(25 ) = 10. Vis, hvordn I kn ruge ligningen fr punkt til t eregne længden f. Forklr, hvordn I kn eregne ved hjælp f osinus til. OPGVE 36 eregn de mnglende vinkler og sidelængder. = 10 8,9 27 OPGVE 38 Vilm vil måle højden på den højeste ygning i nærheden f skolen. Hun hr tget en digitl fstndsmåler og en vinkelmåler med ud i skolegården. Der er tre ygninger i nærheden f skolen, som godt kunne være den højeste ygning. Vilm hr følgende målinger på disse ygninger: ygning : Vinkel (v) = 20,4, og fstnd til top = 53,35 m. ygning : Vinkel (v) = 13,7, og fstnd til top = 61,75 m. ygning : Vinkel (v) = 17,5, og fstnd til top = 78,63 m. Tegn en skitse f situtionerne. Hvilken ygning er højest? Hvor lngt stod Vilm fr hver f de tre ygninger, d hun foretog sine målinger? R 9 OPGVE 39 Tegningen herunder viser et tværsnit f et hus. Tgets hældning er 35. 10 OPGVE 37 35 l h 3 m 30 39,5 m 12 m Vis med eregning, hvor høj (h) rutsjenen er. Vis med eregning, hvor lng (l) rutsjenen er. Hvor højt er huset (linjestykket )? Hvor lngt er linjestykket?
68 TRIGONOMETRI UNDERSØGELSE TRIGONOMETRI OG TREKNTSREL Undersøgelse for to personer. I kender flere relformler for treknter. I kender Herons formel, og I kender formlen en hlv højde gnge grundlinje. Løs opgverne på dette opslg smmen med din mkker. OPGVE 40 I en treknt er = 2,8, = 4,7 og = 52,3. rug den nye formel til t eregne trekntens rel. OPGVE 41 eregn relet f hver treknt. h 3 H DEL 1 Højden h deler treknt i to retvinklede treknter. Vi ser på H, der indeholder vinkel. R 6 47 4 H h 36,34 3 6 8 4 75 Find et udtryk for højden h, som indeholder siden og sinus til. Sæt det udtryk for h, som I hr fundet, ind i formlen = 1 2 h. DEL 2 Nu hr I en ny formel til eregning f en treknts rel. I formlen indgår vinklen. Hvordn ser formlen ud, hvis det skl være, der indgår? Hvordn ser formlen ud, hvis det skl være, der indgår? OPGVE 42 I treknt er = 8, og = 30. Treknten hr relet 14. eregn længden f siden. OPGVE 43 relet f treknt er lig med 9,368. Siden er 4 lng, og siden er 7 lng. estem størrelsen f.
TRIGONOMETRI 69 OPGVE 44 Treknt er ikke retvinklet. h = 10 OPGVE 46 DE er en regulær femknt. Femkntens omskrevne irkel hr rdius 5. Femknten er smmenst f fem kongruente, ligeenede treknter. 60 D 12 Forklr, hvordn I kn eregne og i treknt. eregn og. Forklr, hvordn I kn eregne længden f linjestykket. D eregn længden f linjestykket E eregn trekntens rel. D v 5 E estem topvinklen v i de fem treknter. estem relet f den regulære femknt. esvr de smme spørgsmål for en regulær 12-knt, når dens omskrevne irkel hr rdius 5. D Kn I finde en formel for relet f en regulær n-knt, når rdius i dens omskrevne irkel er r? OPGVE 45 Treknt er ligeenet med = = 7. er 70. Tegn en skitse f treknten, og skriv de kendte mål på. estem og. estem relet f treknt. OPGVE 47 Sigrid vil designe et ord, der kn stå ind til væggen. Hun hr en rund plde med en dimeter på 120 m. Herunder er vist en skitse f Sigrids ord. Hun skl vide, hvor lngt linjestykket er, d det hr etydning for, hvor ordet kn stå i lejligheden. 60 m 140 Forklr, hvordn den ligeenede treknt kn deles i to kongruente retvinklede treknter. Forklr, hvordn I kn eregne længden f korden i irklen ved hjælp f trigonometri. eregn længden f linjestykket. Sigrid vil lægge mosikker på ordet. D Forklr, hvordn I kn eregne ordpldens rel. E eregn ordpldens rel.
70 TRIGONOMETRI TEM HVORDN FINDER VI HØJDEN, LÆNGDEN OG RELET? Tem for to personer. Mteriler: Hvordn finder vi højden, længden og relet? (12), evt. digitlt værktøj og evt. div. tegneredsker. I skl i dette tem forklre og vise, hvordn mn ved hjælp f trigonometri kn finde højder, længder eller reler. På rket Hvordn finder vi højden, længden og relet? (12), er der vist eller eskrevet forskellige situtioner. Det er situtioner, hvor der er højder og længder, mn ikke umiddelrt kn komme til t måle, og hvor mn skl eslutte, hvilke mål der skl tges, hvis mn skl kunne eregne en estemt længde eller et estemt rel. DEL 1 For hvert kort skl I på illedet øverst tegne de længder og/eller vinkler, der skl måles. Under illedet skriver I en forklring på hvilke længder og/eller vinkler, der skl måles, og hvordn I mener, mn kn eregne den søgte højde eller længde eller det søgte rel. DEL 2 Sæt jer smmen med et ndet mkkerpr, og tl om, hvordn I hr esvret punkt i DEL 1. Er I enige om, hvordn mn kn finde de søgte længder og relet? Er der flere måder, hvorpå I mener, mn kunne hve fundet de søgte tl? I skl i hver sitution forestille jer, t I hr et meterhjul, et lngt måleånd til t måle længder og fstnde smt en teodolit til t måle vinkler.
TRIGONOMETRI 71 EVLUERING På denne side skl I enten ruge rket egreer og fgord Trigonometri (E3) eller jeres egen egresog. I kn ruge relevnte digitle værktøjer efter eget vlg. DEL 1 I denne evlueringsopgve skl I rejde to til fire elever smmen. Lv ni kort. Skriv ét f egreerne herunder på hvert kort, og læg dem på ordet med forsiden opd. OSINUS HOSLIGGENDE KTETE TNGENS MODSTÅENDE KTETE SINUS PYTHGORS SÆTNING ENHEDSTREKNT LIGEDNNETHED ENHEDSIRKEL Vælg på skift et kort, og forklr egreet for de ndre i gruppen. Når lle i gruppen hr forstået egreet, lægges kortet til side. Fortsæt, til lle egreer er forklret, og skriv stikord undervejs. Hvis der er kort med egreer, som ingen i gruppen kn forklre, hænger I kortene op på tvlen. Når lle grupper hr forklret de egreer, de kn, så skl egreerne på tvlen forklres for hele klssen. Det kn være en nden elev eller læreren, der hjælper med t forklre egreet. DEL 2 For hvert f de ni egreer, du lige hr rejdet med, skl du vise et eksempel eller en tegning. skrive din egen forståelse f egreet. Løs opgverne i DEL 3-6 smmen med din mkker. DEL 3 Tegn en enhedstreknt ( = 90 ), hvor = 50. Hvor lng er s hosliggende ktete? Hvor lng er s modstående ktete? Tegn en enhedstreknt ( = 90 ), hvor = 0,7. Hvor mnge grder måler? D Hvor mnge grder måler? DEL 4 eregn v, når sin(v) = 0,2639. eregn v, når os(v) = 0,2567. Treknt er retvinklet ( = 90 ). Længden f siden er 5, og længden f siden er 12. eregn længden f hypotenusen. D eregn sin() og estem og. I den retvinklede treknt ( = 90 ) gælder: = 35 og = 7 m. E eregn længden f de to kteter i treknten. DEL 5 eregn v, når tn(v) = 0,3277. eregn v, når tn(v) = 250. I treknt er = 5,4 m, = 7,2 m og = 62,48. eregn trekntens rel. Treknt hr relet 12 m 2. Siden hr længden 8 m, og siden hr længden 6 m. D eregn størrelsen f. DEL 6 John og Svend hr en meterlinel og en teodolit. Forklr vh. en skitse, hvordn de kn finde højden på et træ. fstnden fr et hus hen til en 12 m høj flgstng uden t ruge meterlinelen.
72 TRIGONOMETRI TRÆN 1 FÆRDIGHEDER Du skl ruge lommeregner eller et digitlt værktøj til opgverne på denne side. OPGVE 1 estem vinkel v, når sin(v) = 0,1234 sin(v) = 0,9876 sin(v) = 0,4711 OPGVE 2 estem vinkel v, når os(v) = 0,1234 os(v) = 0,9876 os(v) = 0,4711 OPGVE 8 I treknt er = 4,54, = 7,9 og = 38,5. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn trekntens rel. OPGVE 9 Treknt hr relet 23,54 m 2. Siden er 6,9 m lng og siden er 12,7 m lng. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn. OPGVE 10 eregn relet f treknterne. OPGVE 3 estem vinkel v, når tn(v) = 0,2438 tn(v) = 1,2345 tn(v) = 10 R 5 m 10 m OPGVE 4 I treknt ( = 90 ) er kteten = 4,7, og hypotenusen = 6,3. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn størrelsen f trekntens spidse vinkler. OPGVE 5 I treknt ( = 90 ) er = 3,9, og = 5,2. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn størrelsen f trekntens spidse vinkler. eregn længden f hypotenusen. 65 85 6 m 7,5 m OPGVE 11 Morten vil måle højden på en vindmølle. Hn plerer sig 100 m fr møllen. Morten måler med en teodolit, t vinklen fr et punkt på jorden til møllens top er 47. Tegn en skitse f situtionen. Hvor høj er møllen? Hvor lngt er der fr punktet på jorden til møllens top? OPGVE 6 I treknt ( = 90 ) er = 27,54, og hypotenusen = 8,4. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn længden f de to kteter. OPGVE 7 I treknt ( = 90 ) er = 65,49, og kteten = 3,9. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn længden f trekntens to ndre sider.
TRIGONOMETRI 73 TRÆN 2 FÆRDIGHEDER Du skl ruge lommeregner eller et digitlt værktøj til opgverne på denne side. OPGVE 1 estem vinkel v, når sin(v) = 1 2 sin(v) = 2 2 sin(v) = 3 2 OPGVE 2 estem vinkel v, når os(v) = 1 2 os(v) = 2 2 os(v) = 3 2 OPGVE 3 estem vinkel v, når tn(v) = 3 3 tn(v) = 1 tn(v) = 3 OPGVE 4 I en retvinklet treknt er kteterne og henholdsvis 5,7 m og 4,2 m. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn længden f hypotenusen. eregn størrelsen f hver f de spidse vinkler. OPGVE 5 I treknt ( = 90 ) er = 17,2, og = 8,9. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn længden f hypotenusen. eregn størrelsen f trekntens spidse vinkler. OPGVE 8 I treknt ( = 90 ) er = 52,9, og hypotenusen = 23,4. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn længden f de to kteter. OPGVE 9 I treknt er = 8,52, = 5,41 og = 82,97. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn trekntens rel. OPGVE 10 Treknt hr relet 47,28 m 2. Siden er 14,8 m lng og = 53,4. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn længden f siden. OPGVE 11 eregn længden f korderne. R 5 m 5 m 60 80 OPGVE 6 I treknt ( = 90 ) er kteten = 9,5, og hypotenusen = 12. Tegn en skitse, og skriv de kendte mål på. eregn størrelsen f trekntens spidse vinkler. eregn længden f siden. OPGVE 12 Et grntræ er knækket i stormen. OPGVE 7 I treknt ( = 90 ) er = 47,51, og kteten = 14,6. eregn længden f trekntens to ndre sider. 15 m 30 Hvor lngt er det stykke f grntræet, der er knækket f? Hvor højt vr træet, før det knækkede?
74 TRIGONOMETRI TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 I en retvinklet treknt ( = 90 ) gælder = 8 og = 15. eregn længden f hypotenusen. eregn størrelsen f vinklerne og. OPGVE 2 I en retvinklet treknt, hvor er den rette vinkel, er = 6 og = 35. Tegn en skitse f treknten og skriv de kendte mål på. eregn. eregn længden f de to kteter. OPGVE 3 I en retvinklet treknt ( = 90 ) kender mn længden f to sider. eregn størrelsen f de spidse vinkler i treknten, når: = 3 og = 5. = 7 og = 10. = 3 og = 5. OPGVE 4 I en retvinklet treknt ( = 90 ) kender mn længden f en side og størrelsen f. eregn længden f de to sidste sider, når: = 23,19 og = 5,46. = 52,17 og = 34,27. = 37,26 og = 17,38. OPGVE 5 Grundlinjen i en ligeenet treknt er 12 m. Højden h på grundlinjen er 9 m. Tegn en skitse f treknten. eregn trekntens vinkler. OPGVE 6 I treknt er = 47,36, = 12,4 m og = 8,3 m. eregn trekntens rel. Hvor lng skl siden være, hvis og siden er uændrede, og trekntens rel skl være 50 m 2? OPGVE 7 Treknt er retvinklet med = 90. Udtryk os(), sin() og tn() ved hjælp f siderne, og. Gør rede for, t der ltid gælder tn() = sin() os(). OPGVE 8 Per Sørensen vil gerne hve et højed i sin hve. Hn vil opygge det f jord med en skrå knt. Den skrå knt skl være 1 m, og Per vil gerne hve, t vinklen mellem den lve del f hven og skråningen er 50. 1 m Hvor højt er edet hævet over den øvrige hve? Hvor lng er den vndrette fstnd fr den skrå knts strt til højedets strt? Den ene side f højedet er 3,5 m lng. Hvor mnge m3 jord skl der være i skråningen til denne side, når vi ikke regner hjørnerne med? OPGVE 9 Om firknt D oplyses, t er ret, = 43 og D = 38 (se skitsen). 5 38 D 50 Desuden gælder, t = 5, D = 7 og, t relet f treknt D er lig med 22,20. Tegn en skitse f figuren, og tilføj løende de i punkt -E eregnede vinkelstørrelser og længder. eregn længden f siden D. eregn længden f digonlen D. D eregn relet f D og f firknt D. E eregn størrelsen f og D i firknten. 7 45
TRIGONOMETRI 75 TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE 1 eregn de spidse vinkler i den retvinklede treknt ( = 90 ), når: = 3 og = 4. = 4 og = 9. = 7 og = 12. OPGVE 2 eregn de mnglende sider i den retvinklede treknt ( = 90 ), når: = 4,7 og = 32,58. = 12,9 og = 54,72. = 23,78 og = 17,73. rug den pythgoræiske læresætning og resulttet fr punkt til t vise, t der for enhver vinkel gælder: os 2 () + sin 2 () = 1 OPGVE 7 Der skl ygges et hlvtg op d en mur som vist på figuren. Tghældningen er estemt f vinklen v. Hlvtgets højde etegnes h (se figuren). OPGVE 3 I treknt gælder = 30 m, = 16 m og = 34 m. rug den omvendte pythgoræiske læresætning til t evise, t er retvinklet. eregn størrelsen f trekntens spidse vinkler. 2 m v 3 m h OPGVE 4 I en retvinklet treknt er den ene ktete 4 m kortere end hypotenusen. Den nden ktete er 8 m lng. Tegn en skitse f treknten. Kld hypotenusens længde for x, og skriv mål på skitsen. Opstil en ligning til eregning f hypotenusen. eregn længden f hypotenusen og den ukendte ktete. D eregn trekntens vinkler. OPGVE 5 Treknt er ikke retvinklet. Der gælder = 5,7 m og = 12,5 m. Trekntens rel er 28,34 m 2. estem størrelsen f. Hvd er den mindste og den største højde hlvtget kn få, når v skl være mindst 15 og højst 45? OPGVE 8 Et ski i hvsnød efinder sig i positionen (se figuren). Skiet udsender nødsignler, der opfnges f to kystevogtningssttioner og. I måles vinklen til 66,4, og i måles vinklen til 23,6. fstnden mellem og er 72 km. OPGVE 6 Treknt er retvinklet med = 90. Udtryk os() og sin() ved hjælp f siderne, og. Hvis mn opløfter os() til nden potens, skrives det os 2 (). os 2 () etyder ltså (os()) 2. Tilsvrende med sin 2 (). eregn os 2 () + sin 2 () ved hjælp f udtrykkene fr punkt. 66,4 23,6 72 km Gør rede for, t treknt er retvinklet. eregn fstnden fr skiet til sttionen. eregn fstnden fr skiet til sttionen. D Hvor lngt er skiet fr kysten?